第一篇：線性代數(shù)習(xí)題2

第2章

線性方程組

練習(xí)題

1、已知 ?1 =(1 , 1 , 0 , 1)T，?2 =(2 , 1 , 3 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 0 , 0)T，?4 =(0 , 1 , ?1 , ?1)T，? =(0 , 0 , 0 , 1)T，（1）求向量組 ?1，?2，?3，?4 的秩，（2）判定 ? 是否可以表為 ?1，?2，?3，?4 的線性組合，說明理由。（4，可以）

2、設(shè)向量組 ?1 =(1 , 1 , 1)T，?2 =(1 , 2 , 3)T，?3 =(1 , 3 , t)T，求（1）當(dāng) t 為何值時，?1，?2，?3 線性無關(guān)？（2）當(dāng) t 為何值時，?1，?2，?3 線性相關(guān)？此時將 ?3 表為 ?1 與?2 的線性組合。

（t ? 5 時，?1，?2，?3 線性無關(guān)；t = 5時，?1，?2，?3 線性相關(guān)，且 ?3 = ??1 + 2?

2）

3、確定 ? 為何值時，向量 ? =(0 , 1 , ?)T 可以表為向量組 ?1 =(1 , 2 , 3)T，?2 =(2 , ?1 , 1)T，?3 =(?1 , ?1 , ?2)T，?4 =(?2 , 1 , ?1)T 的線性組合，并求出一個具體表達(dá)式。

（? =1；? = ?1 + ?2 + ?3 + ?）

?k??1??1??k?3?????????

4、設(shè) ?1??1?，?2??k?，?3??1?，????2?，討論 k 為何值時，（1）? 不能由 ?1，?1??k??1???2??????????2，?3 線性表出；（2）? 能由 ?1，?2，?3 線性表出，且表示法唯一；（3）? 能由 ?1，?2，?3 線性表出，且表示法不唯一，并求出一個具體表示。

（（1）? 2；（2）k ? 1且 k ? ?2 ；（3）1，? = ?2 ?）

5、已知向量組 ?1 =(1 , 0 , 2 , 3)T，?2 =(1 , 1 , 3 , 5)T，?3 =(1 , ?1 , a+2 , 1)T，?4 =(1 , 2 , 4 , a+8)T 及 ? =(1 , 1 , b+3 , 5)T，求（1）a、b 為何值時，? 不能表示成 ?1，?2，?3，?4 的線性組合；（2）a、b 為何值時，? 有 ?1，?2，?3，?4 的唯一線性表示式，寫出該表示式。

（當(dāng) a = ?1 且 b ? 0 時，不可以；當(dāng) a ? ?1 時，有唯一的線性表示式

2ba?b?1b?1??2??3?0??

4）a?1a?1a?1???

6、已知 ?1 =(1 , 2 , ?3 , 1)T，?2 =(5 , ?5 , a , 11)T，?3 =(1 , ?3 , 6 , 3)T，? =(2 , ?1 , 3 , b)T，問（1）a、b 取何值時，? 不能由 ?1，?2，?3 線性表示？（2）a、b 取何值時，? 可以由 ?1，?2，?3 線性表示？并寫出表示式。

（b ? 4 時，不能；b = 4 且 a ? 12 時，唯一表示：? = ?1 + 0 ? ?2 + ?3 ； b = 4 且 a = 12 時，表示不唯一：? =(1?2c)?1 + c ?2 +(1?3c)?3（c 為任意常數(shù)））

7、設(shè)向量組 ?1 =(2 , k , 1)T，?2 =(k?1 , ?1 , 2)T，?3 =(4 , 1 , 4)T 線性相關(guān)，求k 值。（k = 1 或 k = 9 / 4）

8、設(shè) n 維（n > 1）向量組

?1 =(0 , 1 , 1 , … , 1 , 1)T，?2 =(1 , 0 , 1 , … , 1 , 1)T，…，?n =(1 , 1 , 1 , … , 1 , 0)T，試判斷該向量組是否線性相關(guān)。（線性無關(guān)）

9、已知向量組 ?1，?2，…，?s（s ? 2）線性無關(guān)，設(shè) ?1 = ?1 + ?2，?2 = ?2 + ?3，…，?s?1 = ?s?1 + ?s，?s = ?s + ?1，討論向量組 ?1，?2，…，?s 的線性相關(guān)性。

（s 為奇數(shù)時，線性無關(guān)；s 為偶數(shù)時，線性相關(guān)）

10、設(shè)向量組 ?1，?2，?3 線性無關(guān)，問常數(shù)l，m滿足什么條件時，向量組 l?2 ? ?1，m ?3 ? ?2，?1 ? ?3 線性無關(guān)。（l m ? 1）

11、設(shè)向量組 ?1 =(1 , 2 , ?1 , 1)T，?2 =(2 , 0 , t , 0)T，?3 =(0 , ?4 , 5 , ?2)T 的秩為 2，求 t 的值。（t = 3）

12、設(shè)向量組 ?1，?2，?3，?4，?5，其中 ?1 =(1, ?1, 2, 4)T，?2 =(0, 3, 1, 2)T，?3 =(3, 0, 7, 14)T，?4 =(1, ?2, 2, 0)T，?5 =(2, 1, 5, 10)T。求（1）向量組 ?1，?2，?3，?4，?

5的秩；

（2）找出向量組的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示。

（3；?1，?2，?4 為其一個極大無關(guān)組，?3 = 3?1 + ?2 + 0 ? ?4，?5 = 2?1 + ?2 + 0 ? ?4）

13、已知向量組 ?1 =(1 , 1 , 1 , 3)T，?2 =(?1 , ?3 , 5 , 1)T，?3 =(3 , 2 , ?1 , p+2)T，?4 =(?2 , ?6 , 10 , p)T，問：

（1）p 取何值時，向量組 ?1，?2，?3，?4 線性無關(guān)？試將向量 ? =(4 , 1 , 6 , 10)T 用 ?1，?2，?3，?4 線性表出。

（2）p 取何值時，向量組 ?1，?2，?3，?4 線性相關(guān)？求出 ?1，?2，?3，?4 的一個極大無關(guān)組，并將其余向量用極大無關(guān)組線性表示。

（p ? 2時，線性無關(guān)，??2?1?3p?41?p?2??3??4；P = 2 時，線性相關(guān)，極大無關(guān)p?2p?2組：?1，?2，?3，且 ?4 = 0 ??1 + 2?2 + 0 ? ?

3）

?kx1?2x2?x3?0?

14、已知齊次線性方程組 ?x1?x2?x3?0 有非零解，求 k 的值。（?2 或 3）

?2x?kx?02?1

15、設(shè) 3 ? 4 矩陣 A 為一齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，且 r(A)= 2，又已知 ?1 =(1 , 1 , 3 , 1)T，?2 =(?1 , 1 , ?1 , 3)T，?3 =(5 , ?2 , 8 , ?9)T，?4 =(?1 , 3 , 1 , 7)T 均為該齊次線性方程組的解。試求它的一個基礎(chǔ)解系，并將其余解表為該基礎(chǔ)解系的線性組合。

37（基礎(chǔ)解系：?1，?2 ；且 ?3??1??2，?4 = ?1 + 2 ?）

16、已知向量組 ?1 =(1 , ?2 , 1 , 0 , 0)T，?2 =(1 , ?2 , 0 , 1 , 0)T，?3 =(0 , 0 , 1 , ?1 , 0)T，?x1?x2?x3?x4?x5?0?3x?2x?x?x?3x?0?12345?4 =(1 , ?2 , 3 , ?2 , 0)T 都是下面齊次線性方程組的解：?，判斷

x?2x?2x?6x?02345???5x1?4x2?3x3?3x4?x5?0?1，?2，?3，?4 是否為該方程組得一個基礎(chǔ)解系？若是，說明理由；若不是，在此向量組的基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)增減后，構(gòu)成一個基礎(chǔ)解系。

（不是?；A(chǔ)解系為：?1，?2，?，其中 ? =(5 , ?6 , 0 , 0 , 1)T）

x4??1?2x1?x2??

17、用基礎(chǔ)解系表示下列方程組的全部解 ?x1?3x2?7x3?4x4?3。

?3x?2x?x?x??2234?1?0??1???1????????1??2???1?（?????c1???c2??，c1、c2 為任意常數(shù)）

010???????0??0??1??????? 1?1??x1??1?1???????A?2a?2?b?2B?3X?

18、設(shè) ?x2?，試就 a、b 的各種取值情況，討論線??，??，?x??0?3aa?2b???3??????3?性方程組AX = B 的解，如果有解，求出其解。

（當(dāng) a = 0 時，無解；當(dāng) a ? 0 且 a ? b 時，有唯一解：x1?1?且 a = b 時，有無窮多解：x1?1?

19、已知非齊次線性方程組 AX = B 的增廣矩陣?A 經(jīng)初等行變換化為如下形式：

11,x2?,x3?0 ；當(dāng) a ? 0 aa11,x2??c,x3?c，c 為任意常數(shù)）aa?1??0A??A,B?????0??0?寫出它的全部解。0?4120k?8001200??1???1?，討論 k、t 取何值時方程組無解，有解；當(dāng)有解時，?0???t?2????1??4???1???????1?2??????2?（當(dāng) t ? ?2 時，無解；當(dāng) t = ?2 且k = ?8 時，全部解為 ?????c1???c2??，c1、010???????0??0??1?????????1???1??????1???2?c2 為任意常數(shù)；當(dāng) t = ?2 且k ? ?8 時，全部解為 ?????c??，c 為任意常數(shù)）

00?????0??1?????

x3?x4?0?x1?x2??x2?2x3?2x4?1?20、當(dāng) a、b 為何值時，線性方程組 ? 無解，有唯一解和無窮多

?x?(a?3)x?2x?b234??x3?ax4??1?3x1?2x2?解？在方程組有無窮多解時，用其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示出線性方程組的全部解。

（a = 1 且 b ? ?1 時，無解；a ? 1 時，唯一解；a = 1 且 b = ?1 時，無窮多解：??1??1??1????????1???2???2??????c1???c2??，c1、c2 為任意常數(shù)）

010???????0??0??1???????

?x1?x2?kx3?4?

21、討論k為何值時線性方程組??x1?kx2?x3?k2 無解，有唯一解，有無窮多解？在有無

?x?x?2x??423?1窮多解的情況下，用基礎(chǔ)解系表示其全部解。

?0???3?????（當(dāng)k = ?1時，無解；當(dāng)k ? ?1且 k ? 4時，唯一解；當(dāng)k = 4時，無窮多解：???4??c??1?，?0??1?????c為任意常數(shù)）

22、設(shè)四元非齊次線性方程組 AX = B 的系數(shù)矩陣的秩為 3，已知 ?1，?2，?3 為它的三個解向量，其中 ?1 =(2 , 0 , 5 , ?1)T，?2 + ?3 =(2, 0, ?2 , 6)T，試求該方程組的全部解。

?2??2??????0??0?（?????c??，c為任意常數(shù)）

512??????1???8?????

23、已知矩陣 A 是元非齊次方程組的系數(shù)矩陣，且 r(A)= 3，?1，?2，?

3是該方程組的三個不同解向量，其中 ?1 + 2?2 + ?3

=(2 , 4 , 6 , 8)T，?1 + 2?3 =(1 , 3 , 5 , 7)T，試求 4 元非齊次方程組的全部解。（??（24、設(shè) A 為 3 ? 4 矩陣，r(A)= 2，且已知非齊次線性方程組 AX = b 的三個解為 ?1 =(1 , ?1 , 0 , 2)T，?2 =(2 , 1 , ?1 , 4)T，?3 =(4 , 5 , ?3 , 11)T，求：（1）齊次線性方程組 AX = 0 的通解；（2）用基礎(chǔ)解系表示出 4 元非齊次線性方程組 AX = b 的全部解。

（? = c1(?2 ? ?1)+ c2(?3 ? ?2)= c1(1 , 2 , ?1 , 2)T + c2(2 , 4 , ?2 , 7)T，c1、c2 為任意常數(shù)；? = ?1 + ? =(1 , ?1 , 0 , 2)T + c1(1 , 2 , ?1 , 2)T + c2(2 , 4 , ?2 , 7)T，c1、c2 為任意常數(shù)）

25、已知 ?1 =(1 , 2 , 0)T，?2 =(1 , a+2 , ?3a)T，?3 =(?1 , b+2 , a+2b)T，? =(1 , 3 , ?3)T，當(dāng) a、b 為何值時，?1，?2，?3 是 R3 的一組基？并求 ? 在這組基下的坐標(biāo)。

?a?11?（a ? 0 且 a + 5b + 12 ? 0；?，0?）

a?a?13，1，2)T?c(2,0,?2,?4)T，c 為任意常數(shù)。）22

26、在 R3 中給定兩組基：?1 =(1 , 1 , 0)T，?2 =(0 , 1 , 1)T，?3 =(1 , ?1 , 2)T ；?1 =(1 , 0 , 1)T，?2 =(0 , 1 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 4)T，求非零向量 ?，使它在上述兩組基下有相同的坐標(biāo)。

（? = c(0 , 1 , 1)T，c 為任意非零常數(shù)）

x4?x5?0?x1?x2??x3?2x5?0，求其解空間的一組正交基。

27、設(shè)齊次線性方程組 ?x1??x2?x3?x4?x5?0?121?，1，0)T，(?1 , 0 , 1 , 0 , 1)T）（(1 , 1 , 1 , 0 , 0)T，(?，333

28、設(shè) ?1 =(1 , ?2 , 2)T，?2 =(2 , ?4 , 4)T，?3 =(?1 , 0 , ?1)T，?4 =(?2 , 2 , ?3)T，?5 =(5 , ?3 , ?7)T

? R3，求（1）R3 的子空間 L(?1，?2，?3，?4，?5)的維數(shù)和一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。（2）?1，?2，?3，?4，?5 在這組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的坐標(biāo)。

22?21??1?2（dim L(?1，?2，?3，?4，?5)= 3，?,?,?，??,?,??，33?33??3?312??2?,?,??；(3 , 0 , 0)，(6 , 0 , 0)，(?1 , 1 , 0)，(?4 , 1 , 0)，(?1 , 1 , 9)）

33??3

29、設(shè)向量組 ?1，?2，?3，其中

?1 =(?1 , 1 , 0)T，?2 =(?1 , 0 , 1)T，?3 =(1 , 1 , 1)T，并且 ?1 與 ?2 線性無關(guān)，?3 與 ?1，?2 相互正交，（1）試判斷 ?1，?2，?3 是否為 R3 上的一組基；（2）如果是，將其化為 R3 上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

?1,（是；??2?1TTT?1?1,0?，??,?,?266??T?12???,，??6??3T13,1???）3?T

30、證明題

?x1?2x2?2x3?0?（1）設(shè)方程組 ?2x1?x2??x3?0 的系數(shù)矩陣為 A，三階矩陣 B ? 0，且滿足 A B = 0，求?3x?x?x?023?1① 參數(shù) ? ；② 該方程組的全部解；③ 證明行列式 ? B ? =0。

（1；? = c(0 , 1 , 1)T，c 為任意常數(shù)）

（2）設(shè)實矩陣 Am?n（n < m），且線性方程組 A X = B 有唯一解，證明：AT A 是可逆矩陣，并求其解矩陣 X 的表達(dá)式。（X =(AT A)?1 AT B）

（3）設(shè) A 為 n 階非零矩陣，求證：若存在一個 n 階非零矩陣 B，使 A B = 0，則 ? A ? = 0。

（4）設(shè) A 為 m ? n 矩陣，B 為 n ? m 矩陣（m < n），E 是 m 階單位矩陣，若 A B= E，求證： A 的行向量組線性無關(guān)。

（5）設(shè)向量組 ?1，?2，?3 線性無關(guān)，證明：向量組 ?1 + ?2，3?2 + 2?3，?1 ? 2?2 + ?3 線性無關(guān)。

（6）求證：n 維向量組 ?1，?2，…，?n 線性無關(guān)的充要條件是 n 維標(biāo)準(zhǔn)向量組 ?1，?2，…，?n 可以由 ?1，?2，…，?n 線性表示。

（7）設(shè) ?1，?2，…，?s 為一組 n 維向量（s ? 2），且向量組

?1??2??3????s?2??1??3????s?，求

?s??1??2????s?1證：向量組 ?1，?2，…，?s 線性無關(guān)的充分必要條件是 ?1，?2，…，?s 線性無關(guān)。

（8）設(shè) ?1，?2，…，?m 為一個 n維向量組，已知 r(?1，?2，…，?s)= r(?1，?2，…，?s，?s+1，…，?m)，求證：{ ?1，?2，…，?s }? { ?1，?2，…，?s，?s+1，…，?m }。

（9）已知向量組 ?1，?2，…，?m+1（m ? 1）線性無關(guān)，向量組 ?1，?2，…，?m 可表為 ?i = ?i + t i ?m+1（i = 1，2，…，m），其中 t i（i = 1，2，…，m）是數(shù)。證明：向量組 ?1，?2，…，?m 線性無關(guān)。

（10）設(shè)向量組 ?1，?2，?3，…，?n 的前 n ? 1 個向量線性相關(guān)，后 n ? 1 個向量線性無關(guān)，證明：① ?1 能由 ?2，?3，…，? n?1 線性表示；② ?n 不能由 ?1，?2，…，? n?1 線性表出。

（11）設(shè)向量 ? 可由向量組 ?1，?2，…，? r ? 1，? r 線性表示，但向量 ? 不可由向量組 ?1，?2，…，? r ? 1 線性表示。試證：向量組 ?1，?2，…，? r ? 1，? r 與 ?1，?2，…，? r ? 1，? 有相同的秩。

（12）設(shè) ?1，?2，?3 是某個向量組的極大無關(guān)組，?1，?2，?3 是此向量組的部分組，并且 ?1 = ?1 + ?2 + ?3，?2 = ?1 + ?2 + 2?3，?3 = ?1 + 2?2 + 3?3。證明：?1，?2，?3 也是此向量組的極大無關(guān)組。

（13）設(shè)向量組 ?1，?2，…，?m 線性無關(guān)，向量 ?1 可由該向量組線性表示，而向量

?2 不能由該向量組線性表示，證明：m + 1 個向量 ?1，?2，…，?m，l ?1 + ?2

（l 為常數(shù)）線性無關(guān)。

?x1?x2?x?x?4（14）在線性方程組?3?x1?x3??x2?x4?a1?a2中，a1?a2?b1?b2。求證：方程組有解，并用其導(dǎo)出組?b1?b2的基礎(chǔ)解系表示其全部解。（? =(a1 ? b2 , b2 , a 2 , 0)T + c(1 , ?1 , ?1 , 1)T，c 為任意常數(shù)）

（15）設(shè) ?1，?2，?3 是齊次線性方程組 AX = 0 的一個基礎(chǔ)解系，證明：?1 + ?2，?2 + ?3，?3 + ?1 也是該齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系。

（16）設(shè) ? 是非齊次線性方程組 AX = b 的一個解，?1，?2，… , ? n ? r 是其導(dǎo)出組 AX = 0 的一個基礎(chǔ)解系，證明：?1，?2，… , ? n ? r，? 線性無關(guān)。

（17）設(shè) ? 是非齊次線性方程組 AX = b 的一個解，?1，?2，… , ? n ? r 是其導(dǎo)出組 AX = 0 的一個基礎(chǔ)解系，且 ?1，?2，… , ? n ? r，? 線性無關(guān)，證明：? + ?1，? + ?2，… , ? + ? n ? r，? 線性無關(guān)。

（18）證明：正交向量組是線性無關(guān)的。

?AO?（19）如果 A 與 B 分別是兩個 n 階正交矩陣，證明：分塊矩陣C?? ?OB?? 是正交矩陣。

??

第二篇：線性代數(shù)附錄答案習(xí)題1和習(xí)題2

習(xí)題一

1.計算下列排列的逆序數(shù)

1）9級排列 134782695；

2）n級排列

n(n?1)?2。1

解：（1）?(134782695)?0?4?0?0?4?2?0?0?0?10 ；

（2）?[n(n?1)?21]?(n?1)?(n?2)???1?0?2.選擇i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897為偶排列。

解：（1）令i?3,k?8，則排列的逆序數(shù)為：?(127435689)?5，排列為奇排列。從而i?3,k?8。

（2）令i?3,k?6，則排列的逆序數(shù)為：?(132564897)?5，排列為奇排列。與題意不符，從而i?6,k?3。3.由定義計算行列式

n(n?1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j(luò)1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因為j1,j2,j3至少有一個大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一數(shù)為0，從而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5?(?1)?(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5?0。

4.計算行列式： 40?211）?131； 2）

122?41?14?1111； 3）

1?111011?***； 07a213279b24）；5）21284c1?5?12525d2146416(a?1)2(b?1)2(c?1)2(d?1)2(a?2)2(b?2)2(c?2)2(d?2)2(a?3)2(b?3)2。2(c?3)(d?3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.計算n階行列式：

xy0?001230xy?001?1000x?0002?2 1）； 2）?????????000?xy000y00?0x000?n?1n?00?00；

????2?n0?n?11?n1?a1111?a2 3）??11x????y122?21222?21（ai?0）； 4）223?2。??????1?an222?n?00y0?000x?00xy?00解：（1）原式=x??????(?1)n?1y0x?00（按第一列展00?xy?????00?0x00?xy開）

=xn?(?1)n?1yn。n(n?1)2320?1000?2（2）行列式=???000000?n?1n?00?00（后n?1列和加到第一列，????2?n0?01?n再按第一列展開）

n(n?1)(?1)(?2)?(1?n)

=2(n?1)!

=(?1)n?1。

2111?101?a11?111?a2?1（第一行第一列為添加的部分，注意（3）行列式=0?????011?1?an此時為n?1級行列式）

111?0???1c1?1c21?00a11c1?c3a

2??r2?r1r3?r1?1a1?1??1?011???a1an00?01a10010??1000a2?rn?1?r11?c1?cn?1an??a2?0

0?an?????an

=(1?11???)a1a2?an。a1an122?200?0r2?r11r3?r10（4）行列式?101??rn?r1?????100?n?222?21?02?10=1?(?1)（按第二行展開）????00?n?2??2(n?2)!。提高題

1.已知n級排列j1j2?jn?1jn的逆序數(shù)為k，求排列jnjn?1?j2j1的逆序數(shù)。解：設(shè)原排列j1j2?jn?1jn中1前面比1大的數(shù)的個數(shù)為k1，則1后面比1大的數(shù)的個數(shù)為(n?1)?k1，于是新排列jnjn?1?j2j1中1前比1大的個數(shù)為(n?1)?k1個；依此類推，原排列j1j2?jn?1jn中數(shù)i前面比i大的數(shù)的個數(shù)為ki，則新排列jnjn?1?j2j1中n)?1i前比in?大的個數(shù)為

(n?i)?ki個記?(j1?j2n?jkj1?k2???k1，?k故新排列的逆序數(shù)為

n(n?1)?k。2[(n?1)?k1]?[(n?2)?k2]??[(n?(n?1)?kn?1]?1?2??(n?1)?k?2.由行列式定義計算

2xx121x1?14 f(x)?中x與x3的系數(shù)，并說明理由。

32x1111x解： 由于行列式定義中的每一項來自于不同行和不同列的n個元素的乘積。而該行列式中每個元素最高含x的一次項，因此x4的項只能由對角線上的元素乘積所得到x4，故x4的系數(shù)為(?1)?(1234)?2＝2。

同樣的考慮可得x3的系數(shù)為(?1)?(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.設(shè)P(x)?1a2a2???21an?1an?1?????xn?1a1n?1n?1，其中ai互不相同。a2?n?1an?

11）說明P(x)是一個n?1次多項式；

2）求P(x)?0的根。

解：1)把P(x)按第一行展開得：P(x)?A11?1?A12?x???A1n?xn?1。11而A1n??1a1a2??a1n?2n?2?a2?0，所以P(x)是一個n?1次多項式。

??n?2an?1?an?1根據(jù)范德蒙行列式

P(x)?(x?a1)(x?a2)?(x?an?1)(a1?a2)?(a1?an)(a2?a3)?(a2?an?1)?(an?2?an?1)

2)因為x?ai（i?1,2,?,n?1）代入P(x)中有兩行元素相同，所以行列式為零，從而P(x)?0的根為a1,a2,?,an?1。

習(xí)題二解答

1.計算 1）?x1x2?a11?x3??a21?a?31a12a22a32a13??x1????a23??x2? ；

?a33????x3??0??10??；求 A2、A3、A4。2）已知A???10???10??222解：1）a11x1 ； ?(a12?a21)x1x2?(a13?a31)x1x3?a22x2?(a23?a32)x2x3?a33x3?0??0??0???????000000? ；A3??? ；A4???。

2）A2???100??000??000???????10010000000???????311??11?1?????2.設(shè) 1）A??212?，B??2?10?，求 AB?BA。

?101??123??????abc??1ac?????

2）A??cba?，B??1bb?，求 AB。

?111??1ca??????a?b?ca2?b2?c2?22?2???2解：1）?20 ；2）?a?b?c0?b?2ac??4?4?2??3a?b?c???3.設(shè)A是n階實方陣，且A?A?0。證明A?0。

b2?2ac?222?a?b?c?。a?b?c???a11a12?a21a22證明：設(shè)A???????an1an2????a1n??a11a21??a2n?a12a22，則A??????????ann??a1na2n????an1??an2?。從而。???ann?2?a121?a2?21???an1?222?a?a???a1222n2A?A??????????????????0。

????222??a1n?a2n???ann?222222222所以a11?a21???an1?a12?a22???an2?a1n?a2n???ann?0。因為aij為實數(shù)，故aij?0（i,j?1,2,?,n）。即A?0。

?a1???a2?，a,a,?,a互不相同。證明與A可交換的矩陣只4.設(shè)A??n??12???an??能為對角矩陣。

?b11b12?b21b22?證明：設(shè)與A可交換的矩陣為B??????bn1bn2?a1b11a1b12?a2b21a2b22 ??????anbn1anbn2????b1n??b2n?，由AB?BA得： ???bnn??anb1n???anb2n?。?????anbnn??a1b1n??a1b11a2b12???a2b2n??a1b21a2b22??????????anbnn??a1bn1a2bn2即 aibij?ajbij（i,j?1,2,?,n）。由于a1,a2,?,an互不相同，所以i?j時，?b110?0b22bij?0。故B???????0bn2?0??0??。即B為對角矩陣。?????0?5.證明任一方陣可表示成一對稱矩陣和一反對矩陣之和。證明：設(shè)A為方陣，記B?(A?A?)2，C?(A?A?)2，則可知B為對稱矩陣，C為反對稱矩陣。且A?B?C。

6.設(shè)f(?)?am?m???a1??a0，定義f(A)?amAm???a1A?a0E，其中A?211???是n階方陣。已知f(?)??2???1，A??312?，計算f(A)。?1?10????513???解：f(A)?A2?A?E??803?。??21?2???7.已知方陣A滿足A2?A?7E?0。證明A及A?2E可逆，并求它們的逆矩陣。

證明：由A2?A?7E?0，可得：A(A?E)?7E。所以A可逆，且A?1?(A?E)。7同理由A2?A?7E?0，可得：(A?3E)(A?2E)?E。所以A?2E可逆，且(A?2E)?1?A?3E。

8.求下列矩陣的逆陣：

?211??223??13??? ；3）?1?10? ； 1）? ；2）121??????21???121??112??????1111??21?????11?1?121? ；5）??。4）??1?11?1??21?????1?1?112?????1??5解：1）??2??53??3?1?1??1?4?3??5 ；2）1??13?1? ；3）?1?5?3? ； ????4?1???1?13???164???????5??1111??8?42?1????8?42?1?11?1?1?1??。4）；5）

8?4?4?1?11?1?16?????1?1?118?????422???9.已知A??120?，且AB?A?2B，求B。??123????010??1??1?121?，解：由AB?A?2B，可得B?(A?2E)A。又(A?2E)???2??1?3?1???120??所以B?(A?2E)?1A???152??。?2?6?1???10.設(shè)A是n階方陣，如果對任意n?1矩陣X均有AX?0。證明A?0。

?a11a12?a21a22?證明：記A??????an1an2????a1n??1????a2n?0??，取X?，由AX?0，可得ai1?0

?0??????ann??0?（i?1,2,?,n）。同理可得aij?0（i,j?1,2,?,n）。從而A?0。11.已知4階方陣A的行列式A?5，求A*。

解：因為 AA??AE，兩邊取行列式有 AA??A。所以 A*?53?125。

4?A12.設(shè)A，B分別為m，n階可逆方陣，證明分塊矩陣??C證明：因為 A，B可逆，所以 A?0，B?0。故

0? ?可逆，并求逆。

B?A0?AB?0，從而CB?A??C0??X11可逆。記??B??X21X12??A?是?CX22??0??A的逆，則??B??C0??X11?B???X21X12???E，X22?AX11?E?X11?A?1???AX12?0?A0?X12?0??于是?，解得?。故矩陣??的逆為?1?1CB???X21??BCA?CX11?BX21?0?1???CX12?BX22?E?X22?B?A?1??1?1??BCA0??。?1B?A??1?1?1?，其中A，C存在，求X。0??013.設(shè)X???C?0解：因為 ??CA??0C?1??0X??E，所以????0??A?10??CA??0C?1??。?的逆為??10?0??A14.求下列矩陣的秩：

?224114??32?1?3????1?1?302?1??? ；

1）?2?13 ；2）1???121113??705?1?????312?2?1?1???1aa2?

3）?1bb2?1cc2?a3??b3?。c3??解：1）2。2）4。3）當(dāng)a?b?c時，秩為1；當(dāng)a,b,c有某兩個相等時，秩為2；當(dāng)a,b,c互不相等時，秩為3。

提高題

1.秩為r的矩陣可表示為r個秩為1的矩陣之和。

證明：設(shè)矩陣A的秩r，由推論1?結(jié)果可知：存在可逆矩陣P和Q使得?EPAQ??r?00??1?Er，即 A?P??0??00??10??Ir?1?I1 Q?P[???????0??00??00??1其中? ]Q，0?Ik（k?1,2,?,r）表示第k行k列元素為

1、其余元素為0的r階方陣。記A?1[??Ik0??1k?P?00? ]Q（k?1,2,?,r），則?Ak的秩為1，且A?A1???Ak。2.設(shè)m?n矩陣A的秩為1，證明：

?a11）A可表示成???????b1?b?n?； ?am??2）A2?kA(k是一個數(shù))。

證明：1）因為A的秩為1，所以存在某元素aij?0。記A的第i行元素為?b1,?,bn?，則A的任一行向量可由第i行線性表示（否則與i行向量線性無關(guān)，與A的秩為1矛盾）。記a1,?,an依次為第1行、?、第n行的表示系數(shù)，則有?A??a1??????b1?bn?。

??am???a12）由1）A????????b1?bn?，所以

??am???A2?[?a1???????b?a1???]?(b?a1??1?bn?][????b1?bn?1a1???bnan)????b1???am????am????am???a1?

?k??????b?b?1n?（其中k?b1a1???bnan）。

?am????1? 設(shè)A是n階方陣，X是n?1矩陣?1?3.??，證明：

????1??

1）AX的第i個元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常數(shù)a，則A?1的每一行元素之和也相等。

bn??a11a12?a21a22證明：1）記A???????an1an2????a1n??a11?a12???a1n????a2n?a?a???a21222n?，則AX??。

????????ann?a?a???ann??n1n2?a???a

2）若A的每一行元素之和等于常數(shù)a，由1）AX????aX，由于A??????a?可逆，所以a?0。從而A?1X?11X，即A?1的每一行元素之和等于常數(shù)。aa4.證明：

1）上（下）三角矩陣的乘積仍是上（下）三角矩陣；

2）可逆的上（下）三角矩陣的逆仍是上（下）三角矩陣。證明：1）記A?aij??n?n，B?bjk??n?n為上三角矩陣，C?AB。則i?j?k時，aij?0，bjk?0。對任意s，當(dāng)i?s時，ais?0，當(dāng)k?i?s時bsk?0，即任意s，aisbsk?0。從而i?k時，cik?ai1b1j???aisbsk???ainbnk?0。故上三角矩陣的乘積仍是上三角矩陣。同理可證明下三角矩陣的情形。

?a11a12?0a22?

2）對可逆的上三角矩陣A?????0?0?a11a12?0a22?對于?A?E??????0?0變換

????a1n??a2n?，aii?0（i?1,2,?,n），???ann?????a1na2n?ann?10?0???01?0?，先進(jìn)行第二類初等行

????????00?1?1，再作第三類初等行變換把左邊變成單位矩陣時，右邊ri（i?1,2,?,n）aii即為上三角矩陣。亦即可逆的上三角矩陣的逆仍是上三角矩陣。5.已知實三階方陣A滿足：1）aij?Aij；2）a33??1。求A。解：因為AA??AE，所以AA??A。由于aij?Aij，從而有A??A??A。于是A?0或A?1。

若A?0，則AA??AA??0，由于A為實三階方陣，由習(xí)題3可得A?0。此與a33??1矛盾。從而A?1。

6.設(shè)A?E?????，其中?是n?1非零矩陣。證明：

1）A2?A的充分必要條件是?????1； 2）當(dāng)?????1時，A是不可逆矩陣。

證明：1）若A2?A，即有E?(????2)?????E?????。又?是n?1非零矩陣，所以???是n?n非零矩陣，從而?????2?1，即?????1。以上每步可逆，故命題成立。

2）當(dāng)?????1時，由1），A2?A。若A可逆，則可得A?0，矛盾。故A是不可逆矩陣。

7.設(shè)A，B分別是n?m、m?n矩陣，證明：3EmAB?En?AB?Em?BA。EnB?En?AB；En?Em0??Em證明：因為???A?AEn????Em又??AB??Em???En??0B?Em，所以?En?AB?AB??Em0??Em?BAB?Em????，所以AEn???AE0En?n????B?Em?BA。從而命En題成立。

8.A，B如上題，??0。證明：?En?AB??n?m?Em?BA。

0??Em??Em??證明：由于??0，可得1?A???AE?n??????EmB?????En???0?B??，所以 1En?AB?????EmAB?En?Em0B??m?n?En?AB； 1En?AB???Em又??AB??Em0???Em?BAB??Em????，故AEn???AE0En?n????B??Em?BA。從而En?En?AB??n?m?Em?BA。

第三篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

習(xí)題 三（A類）

1.設(shè)α1＝(1，1，0)，α2＝(0，1，1)，α3＝(3，4，0).求α1-α2及3α1+2α2-α3.解：α1-α2=(1,1,0)-(0,1,1)=(1,0,-1),3α1+2α2-α3=(3,3,0)+(0,2,2)-(3,4,0)=(0,1,2)

2.設(shè)3(α1-α)+2(α2+α)＝5(α3+α)，其中α1＝(2，5，1，3)，α2＝(10，1，5，10)，α＝(4，1，-1，1).求α.解：由3（α1-α）+2(α2+α)=5(α3+α)整理得：α=16163(3α1+2α2-5α3),即α=(6,12,18,24)

=(1,2,3,4)3.（1）×

（2）×

（3）√

（4）×

（5）×

4.判別下列向量組的線性相關(guān)性.（1）α1=(2,5), α2=(-1,3);(2)α1=(1,2)，α2=(2,3), α3=(4,3);(3)α1=(1,1,3,1),α2=(4,1,-3,2),α3=(1,0,-1,2);(4)α1=(1,1,2,2,1),α2=(0,2,1,5,-1),α3=(2,0,3,-1,3),α4=(1,1,0,4,-1).解：（1）線性無關(guān)；（2）線性相關(guān)；（3）線性無關(guān)；（4）線性相關(guān).5.設(shè)α１,α２,α3線性無關(guān)，證明：α１，α１+α２，α１+α２+α3也線性無關(guān).證明：設(shè)

k1?1?k2(?1??2)?k3(?1??2??3)?0，即

(k1?k2?k3)?1?(k2?k3)?2?k3?3?0.由?1,?2,?3線性無關(guān)，有

?k1?k2?k3?0,? ?k2?k3?0,?k?0.?3所以k1?k2?k3?0,即?1,?1??2,?1??2??3線性無關(guān).6.問a為何值時，向量組

?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a)

'''線性相關(guān)，并將?3用?1,?2線性表示.13?1223?7(5?a),當(dāng)a=5時，?3?a117解：A?23?1?17?2.7.作一個以(1，0，1，0)和(1，-1，0，0)為行向量的秩為4的方陣.解：因向量(1,0,0,0)與（1,0,1,0）和(1,-1,0,0)線性無關(guān), 所以(1,0,0,0)可作為方陣的一個行向量，因（1,0,0,1）與(1,0,1,0)，（1，-1，0，0），（1，0，0，?1?10）線性無關(guān)，所以(1,0,0,1)可作為方陣的一個行向量.所以方陣可為??1??10?10010000??0?.0??1?

8.設(shè)?1,?2,?,?s的秩為r且其中每個向量都可經(jīng)?1,?2,?,?r線性表出.證明：?1,?2,?,?r為?1,?2,?,?s的一個極大線性無關(guān)組.【證明】若

?1,?2,?,?r

(1)線性相關(guān)，且不妨設(shè)

?1,?2,?,?t(t

(2)是(1)的一個極大無關(guān)組，則顯然（2）是?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組，這與?1,?2,?,?s的秩為r矛盾，故?1,?2,?,?r必線性無關(guān)且為?1,?2,?,?s的一個極大無關(guān)組.9.求向量組?1=(1,1,1,k),?2=(1,1,k,1),?3=(1,2,1,1)的秩和一個極大無關(guān)組.【解】把?1,?2,?3按列排成矩陣A，并對其施行初等變換.?1?1A???1??k11k11??1??20????01???1??01??1??010????0k?10???1?k1?k??011??1??010????0k?10???01?k??011k?1001??0? 1??0?當(dāng)k=1時，?1,?2,?3的秩為2,?1,?3為其一極大無關(guān)組.當(dāng)k≠1時，?1,?2,?3線性無關(guān)，秩為3，極大無關(guān)組為其本身.10.確定向量?3?(2,a,b),使向量組?1?(1,1,0),?2?(1,1,1),?3與向量組?1=(0,1,1), ?2=(1,2,1),?3=(1,0,?1)的秩相同，且?3可由?1,?2,?3線性表出.【解】由于

?0?A?(?1,?2,?3)?1???1?1?B?(?1,?2,?3)?1???01211111??1??0?0????1???02??1??a?0???b???01102?100???1;?0??2??,b?a?2??

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

?0?c?(?1,?2,?3,?3)?1???112110?12??1??a?0???b???0210010?? ,2?b?a?2??a要使?3可由?1,?2,?3線性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0時滿足題設(shè)要求，即?3=(2,2,0).11.求下列向量組的秩與一個極大線性無關(guān)組.(1)α1=(1,2,1,3),α2=(4,-1,-5,-6),α3=(1,-3,-4,-7);(2)α1＝(6，4，1，-1，2)，α2＝(1，0，2，3，-4)，α3＝(1，4，-9，-6，22)，α4＝(7，1，0，-1，3)；

(3)α1＝(1，-1，2，4)，α2＝(0，3，1，2)，α3＝(3，0，7，14)，α4＝(1，-1，2，0),α＝(2，1，5，6).解：（1）把向量組作為列向量組成矩陣Α，應(yīng)用初等行變換將Α化為最簡形矩陣B，則 11??1 0 ??1 4 1???1 4 1??1 4 1?9?????5?????0 1 ?2 ?1 ?30 ?9 ?55????????A??9???0 1 ??B

?1 ?5 ?4??0 ?9 ?5?9?0 0 0???????0 0 0?????0 0 0??3 ?6 ?7??0 ?18 ?10??????0 0 0?5可知：R（?。?R（B）=2，B的第1，2列線性無關(guān)，由于Α的列向量組與B的對應(yīng)的列向量有相同的線性組合關(guān)系，故與B對應(yīng)的Α的第1，2列線性無關(guān)，即α1,α2是該向量組的一個極大無關(guān)組.（2）同理，? 6 1 1 7??0-11 55 7??1 2-9 0??????? 4 0 4 10 ?8 40 10-11 55 7??????? 1 2-9 0???1 2-9 0???0-8 40 1?????????1 3-6 ?10 5-15-10 5-15-1??????? 2 ?4 22 3??0 ?8 40 1??0 0 0 0????????1 2-9 0?7?0 1-5-?11?45?0 0 0-11??240 0 10 ?11??0 0 0 0????1 2-9 0??1 0 0 0???????0 1-5 00 1 0 0????????0 0 10 0???0 0 1 0??B?????0 0 0 10 0 0 1??????0 0 0 0??0 0 0 0?????????

可知R(Α)=R(B)=4,Α的4個列向量線性無關(guān),即α1,α2,α3,α4是該向量組的極大無關(guān)組.(3)同理，?1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2??1 0 3 1 2?????????-1 3 0-1 10 3 3 0 30 1 1 0 10 1 1 0 1??????????, A???2 1 7 2 5??0 1 1 0 1??0 0 0-4-4??0 0 0 1 1?????????4 2 14 0 60 2 2-4-20 0 0 0 00 0 0 0????????可知R(Α)=R(B)=3,取線性無關(guān)組α1,α3,α5為該向量組的一個極大無關(guān)組.12.求下列向量組的一個極大無關(guān)組,并將其余向量用此極大無關(guān)組線性表示.(1)α1=(1,1,3,1),α2=(-1,1,-1,3),α3=(5,-2,8,-9),α4=(-1,3,1,7);(2)α1=(1,1,2,3),α2=(1,-1,1,1),α3=(1,3,3,5),α4=(4,-2,5,6),α5=(-3,-1,-5,-7).解：(1)以向量組為列向量組成Α,應(yīng)用初等行變換化為最簡形式.3??1 0 1?1-1 5-1????1-1 5-1??1-1 5-1?2????7??????1 1-2 30 2-7 47??????0 1-2 2???0 1-2??B, A?????3-1 8 1??0 2-7 4?2?0 0 0 0???????0 0 0 0?????0 0 0 0??1 3-9 7??0 4-14 8 ??0 0 0 0?????可知,α1,α2為向量組的一個極大無關(guān)組.?x1?x2?5?37?x1?x2??2設(shè)α3=x1α1+x2α2,即?解得,x1?,x2??

22?3x1?x2?8?x?3x??9?12?x1?x2??1??x1?x2?3設(shè)α4=x3α1+x4α2,即?解得,x1?1,x2?2

?3x1?x2?1?x?3x?7?12所以a3?32a1?72a2,a4?a1?2a2.?1 1 1 4-3??1 1 1 4-3??1 0 2 1-2???????1-1 3-2-10-2 2-6 20 1-1 3-1????????B(2)同理, A???2 1 3 5-5??0-1 1-3 1??0 0 0 0 0???????3 1 5 6-70-2 2-6 20 0 0 0 0??????可知, α

1、α2可作為Α的一個極大線性無關(guān)組，令α3=x1α1+x2α?x1?x2?1可得：?即x1=2,x2=-1,令α4=x3α1+x4α2, x?x?3?12?x1?x2?4可得：?即x1=1,x2=3,令α5=x5α1+x6α2, ?x1?x2??2?x1?x2??3可得：?即x1=-2,x2=-1,所以α3=2α1-αx?x??1?122 α4=α1+3α2,α5=-2α1-α 13.設(shè)向量組?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s秩相同且?1,?2,?,?m能經(jīng)?1,?2,?,?s線性表出.證明?1,?2,?,?m與?1,?2,?,?s等價.【解】設(shè)向量組

?1,?2,?,?m

(1)與向量組

?1,?2,?,?s

(2)的極大線性無關(guān)組分別為

?1,?2,?,?r

(3)和

?1,?2,?,?r

(4)由于（1）可由（2）線性表出，那么（1）也可由（4）線性表出，從而（3）可以由（4）線性表出，即

r?i??aj?1ij?j(i?1,2,?,r).因（4）線性無關(guān)，故（3）線性無關(guān)的充分必要條件是|aij|≠0，可由（*）解出?j(j?1,2,?,r),即（4）可由（3）線性表出，從而它們等價，再由它們分別同（1），（2）等價，所以（1）和（2）等價.14.設(shè)向量組α1,α2,…,αs的秩為r1,向量組β1,β2,…,βt的秩為r2,向量組α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βt的秩為r3,試證:

max{r1,r2}≤r3≤r1+r2.證明：設(shè)αs1,…，?Sr1為α1,α2,…，αs的一個極大線性無關(guān)組, βt1,βt2,…,?t為β1，r2β2,…,βt的一個極大線性無關(guān)組.μ1，…，?r為α1, α2，…，αs，β1，β2，…，βt的一

3個極大線性無關(guān)組，則α

s1，…，?S和βt1，…，β

r1tr2

可分別由μ1，…，?r線性表示，所

3以，r1≤r3，r2≤r3即max{r1,r2}≤r3，又μ1，…，?r可由α

3s1, …，αsr1，βt1，…，βtr2線性表示及線性無關(guān)性可知：r3≤r1+r2.15.已知向量組α1=(1,a,a,a)′,α2=(a,1,a,a)′,α3=(a,a,1,a)′,α4=(a,a,a,1)′的秩為3,試確定a的值.解：以向量組為列向量，組成矩陣A，用行初等變換化為最簡形式： ?1 a a a??1 a a a??1?3a a a a???????a 1 a aa-1 1?a 0 00 1-a 0 0???????? ?a a 1 a??a-1 0 1-a 0??0 0 1-a 0???????a a a 1a-1 0 0 1-a0 0 0 1-a??????由秩A=3.可知a≠1,從而1+3a=0，即a=-

13.16.求下列矩陣的行向量組的一個極大線性無關(guān)組.?25?75(1)??75??***42043??1??1320?；

(2)??2134???48??11201213025?141???1?.3???1???1????2【解】(1)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?3;

??3?????4???1????2(2)矩陣的行向量組??的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?4.??3?????4?17.集合V1＝{(x1,x2,?,xn)｜x1,x2,?,xn∈R且x1?x2???xn＝0}是否構(gòu)成向量空間?為什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，設(shè)??(x1,x2,?,xn)?V1,??(y1,y2,?,yn)?V2,k?R)則

????(x1?y1,x2?y2,?,xn?yn)k??(kx1,kx2,?,kxn).因為

(x1?y1)?(x2?y2)???(xn?yn)?(x1?x2???xn)?(y1?y2???yn)?0, kx1?kx2???kxn?k(x1?x2???xn)?0,所以????V1,k??V1,故V1是向量空間.18.試證：由?1?(1,1,0),?2?(1,0,1),?3?(0,1,1),生成的向量空間恰為R3.【證明】把?1,?2,?3排成矩陣A=(?1,?2,?3),則

1A?1010101??2?0, 1所以?1,?2,?3線性無關(guān)，故?1,?2,?3是R3的一個基，因而?1,?2,?3生成的向量空間恰為R3.19.求由向量?1?(1,2,1,0),?2?(1,1,1,2),?3?(3,4,3,4),?4?(1,1,2,1),?5?(4,5,6,4)所生的向量空間的一組基及其維數(shù).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?3,?4,?5)?1?2???1??01112343411214??1??50????06???4??01?1023?2041?1114??1???30????02???4??01?1003?2001?1104???3 ?,2??0?∴?1,?2,?4是一組基，其維數(shù)是3維的.20.設(shè)?1?(1,1,0,0),?2?(1,0,1,1),?1?(2,?1,3,3),?2?(0,1,?1,?1),證明: L(?1,?2)?L(?1,?2).【解】因為矩陣

A?(?1,?2,?1,?2)?1?1???0??010112?1330??1??10????0?1????1??01?1002?3000??1 ?,0??0?由此知向量組?1,?2與向量組?1,?2的秩都是2，并且向量組?1,?2可由向量組?1,?2線性表出.由習(xí)題15知這兩向量組等價，從而?1,?2也可由?1,?2線性表出.所以

L(?1,?2)?L(?1,?2).21.在R3中求一個向量?，使它在下面兩個基

(1)?1?(1,0,1),(2)?1?(0,?1,1),?2?(?1,0,0)?2?(1,?1,0)?3?(0,1,1)?3?(1,0,1)

下有相同的坐標(biāo).【解】設(shè)?在兩組基下的坐標(biāo)均為(x1,x2,x3)，即

?x1??x1???????(?1,?2,?3)x2?(?1,?2,?3)x2,???????x3???x3???1?0???1?1000??x1??0????1x2??1????1????1?x3???1?101??x1????0x2???1????x3??

即

?1?1???0?210?1??x1????x?0, 1??2?0????x3??求該齊次線性方程組得通解

x1?k,x2?2k,x3??3k

(k為任意實數(shù))故

??x1?1?x2?2?x3?3?(k,2k,?3k).22.驗證?1?(1,?1,0),?2?(2,1,3),?3?(3,1,2)為R3的一個基，并把?1?(5,0,7), ?2?(?9,?8,?13)用這個基線性表示.【解】設(shè)

A?(?1,?2,?3),B?(?1,?2)，又設(shè)

?1?x11?1?x21?2?x31?3,?2?x12?1?x22?2?x32?3, 即

?x11?(?1,?2)?(?1,?2,?3)x21???x31x12??x22, ?x32??記作

B=AX.則

?1?(A?B)??1???0?1?0???***?2507?9??r2?r1???8????13???1?0???0233?1?0???0342010557001?9?r2?r3????17?r?2?r3??13??23?13???3??2???9??作初等行變換??13???????4??

因有A?E,故?1,?2,?3為R3的一個基，且

?2?(?1,?2)?(?1,?2,?3)3????13???3, ??2??即

?1?2?1?3?2??3,?2?3?1?3?2?2?3.（B類）

1.A 2.B 3.C 4.D 5.a=2，b=4 6.abc≠0

7.設(shè)向量組α1,α2,α3線性相關(guān),向量組α2,α3,α4線性無關(guān),問:(1)α1能否由α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.(2)α4能否由α1,α2,α3線性表示?證明你的結(jié)論.解：(1)由向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，知向量組α1, α2, α3的秩小于等于2,而α2, α3, α4線性無關(guān)，所以α2, α3線性無關(guān)，故α2, α3是α1, α2, α3的極大線性無關(guān)組，所以α1能由α2, α3線性表示.（2）不能.若α4可由α1，α2，α3線性表示,而α2，α3是α1，α2，α3的極大線性無關(guān)組,所以α4可由α2，α3線性表示.與α2，α3，α4線性無關(guān)矛盾.8.若α1,α2,…,αn,αn+1線性相關(guān),但其中任意

n個向量都線性無關(guān),證明:必存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使

k1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0.證明:因為α1，α2，…，αn，αk1α1+k2α2+…+kn+1αn+1=0

n+1=0，由任意

n+1線性相關(guān)，所以存在不全為零的k1，k2，…，kn，kn+1使若k1=0，則k2α2+…+kn+1αn個向量都性線無關(guān)，則k2=…=kn+1=0,矛盾.從k1≠0,同理可知ki≠0,i=2, …,n+1,所以存在n+1個全不為零的數(shù)k1,k2,…,kn,kn+1,使k1a1+k2a2+…+kn+1an+1=0.9.設(shè)A是n×m矩陣,B是m×n矩陣,其中n＜m,E為n階單位矩陣.若AB=E,證明:B的列向量組線性無關(guān).證明：由第2章知識知，秩A≤n,秩B≤n，可由第2章小結(jié)所給矩陣秩的性質(zhì)，n=秩E≤min{秩A，秩B}≤n，所以秩B=n，所以B的列向量的秩為n，即線性無關(guān).

第四篇：線性代數(shù)習(xí)題答案

綜合練習(xí)一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er?2,s?5,t?8或r?5,s?8,t?2或r?8,s?2,t?5.01Fi?2,j?1.01G?12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序數(shù)為k2;當(dāng)k為偶數(shù)時,排列為偶排列,當(dāng)k為奇數(shù)時,排列為奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)?(aa1222a13a1411?a22?a33?a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x?18.01Nf?(x)g?(x)s?(x).01O?1.f??(x)g??(x)s??(x)02AB、D.02B?3.02C6.02Dx?0,?1,?2.02E(?1)n?1(n?1)xn.02F(12?13?????1)n!.02G(?1)n(n?1)2nn?1(n?1)n.2.02H(?1)n?1(na?x)xn?1.02I(?1)n[(??1)n??n].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa?0,b?0.4403G?1,?3.03Ha?bii03If(x)?2x2?3x?1.i?1i?1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1?a?a2)(1?a)3.04Bn?1.04Cx1x2...xn?1(1?a1x1?a2x2?...?anxn).04Dx1x2...xn[1?a(1x?1?...?1.1x2xn)]04E(x?1)n..49.04F1?(?1)a1?(?1)2a2an1?...?(?1)anan?1...a2a1?n04G?(n?1)?當(dāng)a??,??n?1??n?1?????當(dāng)a??.05A0.05B?1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H?9,18.06An!(n?1)!(n?2)!...2!1!.06B?(cos?).4ij1i?cos?j07A(1?x)2(10?x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E?2.08Fa?0且b??b/4.08Gf(x)?2x2?3x?1.08H甲、乙、丙三種化肥各需3千克,5千克,15千克.綜合練習(xí)二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a?2n).01N(A?B)(A?B).01S(2)A2?49(A2?E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(?1)n?1n?1k2(n?1)!.(2)(?1)n?1n!(k?1,2,?,n).01V兩年后在崗職工668人,培訓(xùn)人員334人.01W即晴天概率為146256,陰天的概率為6248256,下雨天的概率為256.?xn?x4??260?01X??1??y???023/2??1/200????xn?.???y?n?1??n??y?????zn?1?????01/40?????zn???4??236??z???22?4???01?2102A498?22?42??.02B2n?1??02??42???01?21??.02C???2?22???02?42???22?2??.??1nn(n?1)???2.4n?14n00?02D?2???01n??.02E?n?1n?1?42.400??????001???002nn.2n?1??.?0002n??.50.?100?02FA?????200??6?1?.由于A5?A.?1???1000?03A(1)(?1)n?11(2)???1200??n!A.?0?230?.?00?34??(3)?A?6E.(4)12(E?B).(5)B??(E?2A)?1.?10103BB????5?10??E.03D?1??211??.03C(2)A2?A??5(A?2E).03EA?1?1(A?3E).(A?4E)?1110?6(A?E).03FB?1??114(5A2?3A?E).03G(EA?BA)?1?B(E?AB)?1B?1.03HB?1?110(A2?3A?4E).03I(E?AB)?1?E?A(E?BA)?1B.??1000?1/21/200??03NA?1???????0??03O1?122??????21?2??.??1/2?1/61/39?1/8?5/24?1/121/4????2?21????00?201?00?34??03P??0??0012?3?????3?1000?????52000??03Q?(A1?A2A?41A3)?1?A?11A2(A4?A3A?11A2)?1????A?1?1?1(A?4A3(A1?A2A4A3)4?A3A?11A2)?1?.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)?1/3;(6)576;(7)3.04B10804F??5?2?1??220??????101??.04G??A??0A(b??TA?1?)???,05AD.05C2.05D當(dāng)a?1且b?2,r(A)?4;當(dāng)a?1且b?2時,r(A)?2;.51.當(dāng)a?1,b?2或a?1,b?2時,r(A)?3.05E當(dāng)c??1,并且a??1或b?0時,r(A)?1;當(dāng)c??1,a??1且b?0時,r(A)?3;當(dāng)c??1,但a??1或b?0時,r(A)?3;當(dāng)c??1,a??1且b?0時,r(A)?2.05F當(dāng)a?b?0時,r(A)?0;當(dāng)a?b?0時,r(A)?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n?1;當(dāng)a?b,且a?(n?1)b?0時,r(A)?n.05G11?n.05Hr[(A*)*]???n,如果r(A)?n,?0,如果r(A)?n.??1111???1010?05K??11?1?1???05L??010?4??1?11?1??.??1?1?11???0010???.?0002????2?400???1100?05M???2?200???05N???1220??0022??.???00?12???0?233??.?00?34??05OA.?02?111?06A?1??321???.06B???202??.?030???5?2?2??31?1?06C??4?3?2?06D????22?.3???19/21?3/2?.?21?112???300?1?06E??????020??.06F???21????001????.?1?21??01?21???0?30?06G???00?3??????300?.?.52.綜合訓(xùn)練三01AC.01BB.01CB.01Dt?1.01Ea?2b.01F(1)當(dāng)t?5時,?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)t?5時,?1,?2,?3線性無關(guān);(3)?3???1?2?2.01G(1)當(dāng)a?1時,?1,?2,?3線性相關(guān);(2)當(dāng)b?2且a?1時,?可由?i唯一的表出:????1?2?2;當(dāng)b?2且a?1時,?可由?i線性表出:??(?2t?1)?1?(t?2)?2?t?3,其中t是任意常數(shù).02AB.02BC.02C B.02D D.02E t?5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)當(dāng)a??2時,?不能用?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)a??2且a?1時,?有唯一的表達(dá)式:???a?11(a?1a?2??a?2?)212?a?2?3;當(dāng)a?1時,??(1?k?l)?1?k?2?l?3,?k,l.02J(1)若??0且???3,?可由?1,?2,?3唯一線性表示;(2)若??0,?可由?1,?2,?3線性表示,但不唯一;(3)若???3,?不能由?1,?2,?3線性表示.02K(1)當(dāng)b?2時,?不能由?1,?2,?3線性表出;(2)當(dāng)b?2,a?1時,?可唯一表示為????1?2?2;當(dāng)b?2,a?1時,?可表示為???(2k?1)?1?(k?2)?2?k?3()k為任意常數(shù).02L(1)當(dāng)a??1,b?0時,?不能表示成?1,?2,?3,?4的線性組合;(2)當(dāng)a??1時,?有唯一表示式:???2ba?1?a?b?1b1?a?1?2?a?1?3?0.?402M(1)當(dāng)a??4時,?可由?1,?2,?3唯一線性表出..53.(2)當(dāng)a??4時,?不能由?1,?2,?3線性表示.(3)當(dāng)a??4且3b?c?1時,?可由?1,?2,?3線性表出,但不唯一:??t?1?(2t?b?1)?2?(2b?1)?3(t為任意常數(shù)).02N不等價.03AD.03B1.03C?n.03D(1)R(?1,?2,?3,?4)?2;向量組的一個極大無關(guān)組為?2,?4;?1?2(?2??4),?3??2?3?4;(2)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關(guān)組為?1,?3,?5;?2??1?3?5,?4??1??3??5;(3)R(?1,?2,?3,?4,?5)?3;向量組的一個極大無關(guān)組為?1,?2,?3;?4??1??2??3,?5??1??2?0.?3.03ER(?1,?2,?3,?4,?5)?3.03Fa?15,b?5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct?1.??x1y11?04D4.04E矩陣?xy??221??????的秩小于3.??xny?n1???1????14????2???22?04F(1)C??????3?,(C?R);(2)k1????7???0??k?0?12?,(k1,k2?R);??2???0?15???????2????3/2????3/4?(3)C??????1??3/2??C2??1???7/4??0?,(C1,C2?R).??0?????1??04G(1)無解;(2)(1/2,2,?1/2,0)T?k(1/2,0,?1/2,1)T,其中k為任意常數(shù);(3)(514,?3314,0,7)T?k(?1,?1,2,0)T.(k為任意常數(shù));.54.(4)C131(?7,177,1,0,0)T?C(10191112?7,7,0,1,0)T?C3(7,?7,0,0,1)T?(2,?3,0,0,0)T,(C1,C2,C3?R).04H(1)?1,?2,?3是所給方程組的基礎(chǔ)解系.(2)?1,?2,?3不是所給方程組的基礎(chǔ)解系.?1?04I當(dāng)??1時,有解,解為????1????k??1??2??,其中k為任意常數(shù).?0????1??04J(1)當(dāng)??1且???45時,方程組有唯一解;?1?當(dāng)??1時,其通解為????1????k?0??1??,其中k?0???為任意實數(shù);?1??當(dāng)???45時,原方程組無解;(2)當(dāng)???2且??1時,方程組唯一解;當(dāng)???2時,方程組無解;當(dāng)??1時,方程組有無窮多組解.全部解為???2??????1???k??1???1?0??k???0?12?????0???0?1?,其中k1,k2是任意常數(shù).?04K(1)當(dāng)a?0時,方程組無解;??x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時,方程組有唯一解:???x2?1,??x3?0;???x1?2/a,當(dāng)a?0,b?3時,方程組有無窮多解:???x2?1?3t,(t?R).?2??x3?t.(2)當(dāng)a?0或a?0時b?4,方程組無解;方程組不可能有唯一解;當(dāng)a?0且b?4時,方程組有無窮多解.通解是.55.(6,?4,0,0,0)T?k1(?2,1,1,0,0)T?k2(?2,1,0,1,0)T?k3(?6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意實數(shù).(3)當(dāng)a??1,b?36時,方程組無解;當(dāng)a??1,a?6時,方程組有唯一解,x(b?36)a?1,x??12?(a?4)(b?36)1?6?2a?1,xb?3623?0,x4?a?1;當(dāng)a??1,b?36時,方程組有無窮多解,通解為(6,?12,0,0)T?k(?2,5,0,1)T.k為任意常數(shù);當(dāng)a?6時,方程組有無窮多解,通解是(1(114?2b),?1(12?2b),0,1(b?T77736))?k(?2,1,1,0)T.04L(1)當(dāng)a?b,b?c,c?a時,方程組僅有零解x1?x2?x3?0.(2)當(dāng)a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k1(1,?1,0)T(k1為任意常數(shù)).當(dāng)a?c?b時,方程組有無窮多組解,全部解為k2(1,0,?1)T(k2為任意常數(shù)).當(dāng)b?c?a時,方程組有無窮多組解,全部解為k3(0,1,?1)T(k3為任意常數(shù)).當(dāng)a?b?c時,方程組有無窮多組解,全部解為k4(?1,1,0)T?k5(?1,0,1)T(k4,k5為任意常數(shù)).??2????104M(1)方程組有無窮多組解,通解為??4???????1??k?(k為任意常數(shù)?5?0????2?).?1??(2)當(dāng)m?2,n?4,t?6時,方程組(I),(II)同解.04Na?2,t?4.04O非零公共解為t(?1,1,1,1)T.(t為任意常數(shù))04P原來至少要有3121個桃子,最后還剩下1020個桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G??1.05H1..56.05I(1,2,3,4)T?k(1,1,1,1)T,其中k是任意實數(shù).05J(?3,2,0)T?k(?1,1,1)T.(k為任意常數(shù))05K通解為(?9,1,2,11)T?k1(?10,6,?11,11)T?k2(8,4,?11,?11)T05L3m?2n.05M?2.??1/2??0?05N通解為?1/2???1????k???,其中k為任意常數(shù).?0??1????1??1???05O(1)?1可由?2,?3,?4線性表出.(2)?4不能用?1,?2,?3線性表出.?x1??k2t,06A(2)通解是??x2?k2,其中t是任意實數(shù).??x3?t,06B通解是(a8,4,?2,1)T1?2a2?4a3,a2?2a3,a3,0)T?k(?,其中k是任意實數(shù).06E方程組的唯一解為(ATA)?1ATb.06L(II)的通解為c1(a11,a12,...,a1,2n)T?c2(a21,a22,...,a2,2n)T?...?cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn為任意常數(shù).綜合練習(xí)四??1/2???1/6????1/(23)?01A?45.01B?1???1/2???2????1/6????;?3??1/(23)??.?0?;?0???2/6??0???1/(23)??3/2??02A(1)?1?0,?2?2,?3?3,???1/2??k???1?0對應(yīng)特征向量為1??1/2??,?1??.57.??1???1?2?2對應(yīng)特征向量為k2???,?0???1???3對應(yīng)特征向量為k??33?1?.??1??(2)?1?8,?2??3??1,?2??1?8對應(yīng)特向量為k1???1??,其中k1為任意非零常數(shù).?2???1???2??3??1對應(yīng)特征向量為k2???0?1???k3???2??,其中k2,k3是不全為??1????0??零的實數(shù).?(3)??1????0??1??2??3?2全部特征向量為k1?2???k2?0?,(k1,k2不全為零).?0????1??02BA的特征值是1,2,2a?1,?a?2??2??1?對應(yīng)的特征向量依次是k??????1?3??,k2?2?,k3?1?.(k1,k2,k3全不為0).?0????1????a?1??02CA的特征值??2(二重)及??0,??2對應(yīng)特征向量為k1(0,1,0)T?k2(1,0,1)T.??0對應(yīng)特征向量為k3(1,0,?1)T.02D(1)當(dāng)b?0時,A的特征值為?1??2????n?a,則任一非零向量均為其特征向量.(2)當(dāng)b?0時,A的特征值為?1??2????n?1?a?b,?n?a?(n?1)b當(dāng)?1????n?1?a?b對應(yīng)特征向量為??1?1????1??1k1??0??0??0??????k2??1???kn?1??0??????0?,?0???????1??.58.??1???a?(n?1)b對應(yīng)特征向量為k?1??nn??,(kn?0).?????1??02Ea?2,b??3,c?2,?0?1.??2n?2?1??1?02F1??12n?2??1??2n2?3n?1??????.???1?1?2n?2???02GA與B特征值相同但不相似.?02Ha?7,b??2,P???1?5??11??22?02I?1???10?2??.?0?.1????013??02Ja??1,b?8,c??10.02K(1)|?E?A|??4?a34??a23??a2??a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k?(2)?2i(i?1,2,?,n);i(i?1,2,?,n);(3)?ki?i(i?1,2,?,n);(4)?i(i?1,2,?,n);(5)1?(i?1,2,?,n);(6)|A|1,2,?,n);i?(i?i(7)f(?i),(i?1,2,?,n).03E?|A|???2??1.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全為零.??0對應(yīng)特征向量為k1?1?k1?1?...?kn?1?n?1(k1,k2,...,k3不全為零的任意常數(shù)).03L3,2,?2.03M(1)P?1AP全部特征值是?1,??12,?,?n.P?i是P?1AP的屬于?i的特征向量..59.(2)(P?1AP)T全部特征值是??11,?2,?,?n.PT?i是(PAP)T的屬于?i的特征向量.03P??1(n?1重),??3,??1對應(yīng)特征向量為k1(?y2,y1,0,?,0)T?k2(?y3,0,y1,?,0)T???kn?1(?yn,0,0,?,y1)T,k1,k2,?,kn?1不全為0,??3對應(yīng)特征向量為kn(x1,x2,?,xn)T,kn?0.??04AD.04B?54?6??3?33??.??7?68??04C(1)a??3,b?0,???1.(2)A不能相似于對角陣.?4?04D當(dāng)a?1時,A?1?116?114???.?44?2??當(dāng)a?11???14?1022?2時,A?30??10?55???.?22519???13?25?04E(1)?3?k(1,0,1)T(2)A?1??6??2102?.(k);?為任意非零常數(shù)?5213????011?04F??1/20?1/2??000?04G???.?10?1???1/20?1/2????.?1?10???111?04H??111??.04IA?P?P?1?P(2E)P?1?2E.??111????54?04J?6??3?33???.?7?68??04OA的特征值是2與1(n?1重)..60.X1?(1,1,?,1)T是A屬于??2的特征向量,X2?(?1,1,0,?,0)T,X3?(?1,0,1,?,0)T,?,Xn?(?1,0,0,?,1)TA屬于??1的特征向量.??1?1?1??1??2n2n2n??A?1????11?1??1??2n2n2n??????.??????12n?112n?1?2n??05A0.05BA能對角化.05CA能對角化.???1??1?05D(1)??1???2?(2)???;?1??;(3)???3????1??1????;??2???1????(4)???1?(5)A?2?.??;不能對角化;(6)?2??0?????4???05E令P???212??100???,則????1??1????.?011????0??21?005F(1)T?1???2?40?3??212??,T?1AT???010???1?22?????00?2?.????1?11??263??(2)T???1?11???1??3??3???263?,TAT??.????011??6???63????111???236?05GP???12???0??0??36?,P?1AP??1??.??111????4???236??.61.??221???5353??05HQ???142???5353?,QTAQ??2???2???.??7??05?2????353??05Ia??1,b??3.A能對角化.05J?0??1,a??3,b?0.A不能相似于對角陣.??1????1????05Kx?y?0.05L?111??111??.05MA~???????111???1?.??0????????????9?05N????1?05PA~B.?0?.??001?05Q(1)x?0,y??2;(2)P???210??.???11?1??06An!.06B?6.06C?(2n?3)！.06Dk(k?2)2.06FO.06EE.?3n?13n?106G(1)??(2)6n?1???3?1??2?3n?12?3n?1???;??93??;???(3)?100??1?3n?1?2?3n1?3n??.??1?3n?2?2?3n2?3n??06Hx100?5100?1.06Ix5100?3?2100?13.n06Ja?1?n??5?6??3??,nlim??an??5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是綜合練習(xí)五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.??00101F??010??.01Gy2?1?y22?y23.100???01H(1)f?z21?z22,相應(yīng)的線性變換為z?Py?(P?1112P1)x.P1????010???,P?1002??013??,?001?????001????x1??(2)z2?z22???11?1/2??z1?12?z3.相應(yīng)的線性變換??x2????x3???1?1?2????z2??.?001/2????z3???100(3)f??12y222?2y3相應(yīng)的線性變換x????????110???1/21/21??y,??x1?01I??x?1??21?2????y1???2?01Jc?3,4y21?9y22.???3??122??y2?x3??2?21????y?3??111???263?01Ka??2,b??3.x?Cy,C????111???263?,???21??0??63?01Lf(x)?x2221,x2,x31?2x2?x3?2x1x2?2x2x3?4x1x3.切平面方程為2x1?x2?x3?1.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(?2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)??2;(2)???1.??101??22??411?02I????0,P???010??02NB?1??3???141?????11?.?114?.??0?22??.63.綜合練習(xí)六01A(1)V1是向量空間.(2)V2是向量空間.01B(1)W1不是子空間.(2)W2是子空間.dimW2?2.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一組基.(3)W3是子空間,dimW3?2.(?1,1,0),(2,0,1)是W3的一組基.(4)W4不是子空間.(5)W5不是子空間.01CW1?W2是V的子空間,W1?W2不一定是V的子空間.T02B??511??4,14,?4,?4??.?02C坐標(biāo)變換公式為?x1??1?1?1??x1???x1???21?2??x1???x2??????102????x?2??或??x???????3??2???00?1??x2?x??0?10????x?3????x?3????11?1????x3???在所給定的兩組基下具有相同坐標(biāo)的全部向量為k??3????2??,k??3?為任意實數(shù).?T02D(1)(3,4,4)T;(2)??11?2,?5,13?2??.?02E(???5/21/2??1,?2)?(?1,?2,?3)????3/23/2??.?5/25/2??02F??(1,?2,?2)T時,?坐標(biāo)乘積的極大值是18.?002G(1)A?1??100???1100????0?110??.?10?11??(2)所求非零向量??0??1?0??2?0??3?k?4?k?4(k為非零任意常數(shù)).02H(1)??111???011??;(2)??001??1?(1,0,0)T,?2?(0,1,0)T,?3?(0,0,1)T;(3)A???1?1????.02I(1,1,?,1).??3??.64.a11?a12??03A?a21?a22?a11?a12?a31?a32??a2203C(1)??a12?a?32a21a11a31a23?a13??;a33??a12a22?a12a32a13?a23?a13??.a33???0?11??03B??020?.?2?10????a11?a21(2)??k?a?31ka12a22ka32a13?a23??;k?a33???a11?a21a11?a12?a21?a22(3)??a21?a31a21?a22?a31?a32?aa31?a32?31a11?a12?a13?a21?a22?a23?a21?a22?a23?a31?a32?a33???a31?a32?a33?.65.

第五篇：線性代數(shù)習(xí)題冊

線 性 代 數(shù)

習(xí)

題

冊

江蘇師范大學(xué)科文學(xué)院

第一章矩陣

重點掌握：矩陣的運算；行列式的計算；元素的代數(shù)余子式和伴隨矩陣的定義；可逆矩陣的性質(zhì)和逆矩陣的求法；矩陣秩的求法等。

一、逆矩陣

對于記作，若有． 為可逆矩陣

；

滿足，則稱

為可逆矩陣，且

為的逆矩陣，運算律：（1）對于可逆為可逆矩陣．

可逆, 且，有

．

．，取（2）可逆，可逆，且．

對于（3）對于，取與，取都可逆，有

可逆，且，有

． ．

．

（4）對于可逆，取

可逆, 且，有

．

．

（5）（6）可逆與都可逆

．

．

二、矩陣的初等變換

初等變換 行變換 列變換 ① 對調(diào) ② 數(shù)乘

, 記作

③ 倍加

經(jīng)過初等變換得到初等矩陣：

．

（1）

（2）

（3）定理

設(shè)（1）對（2）對是

矩陣，則

進(jìn)行一次行初等變換，相當(dāng)于用一個階的初等矩陣左乘；.進(jìn)行一次列初等變換，相當(dāng)于用一個階的初等矩陣右乘求逆矩陣的初等變換法：

（都是初等矩陣）

由此可得：對（矩陣的位置）成為

施行“初等行變換”，當(dāng)前列 時，則后

列（的位置）為

．

三、矩陣的秩

1、子式：在中, 選取行與

列, 位于交叉處的 個數(shù)按照原來的 的一個階子式, 記作

個．

． 相對位置構(gòu)成階行列式, 稱為 對于給定的, 不同的2、矩陣的秩：在中，若

；

階子式總共有(1)有某個階子式(2)所有的 稱

階子式

（如果有，或者

階子式的話）． ．

階梯矩陣.的秩為，記作定理 任意一個矩陣，均可以經(jīng)過一系列行初等變換化為定理 初等變換不改變矩陣的秩.定理 階矩陣可逆

.典型習(xí)題練習(xí)

＊1設(shè)是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與

等價的矩陣是（）

A． B．

C． D．

2．設(shè)3階陣A．0 B．1 C．

2＊3如果A 4設(shè)階方陣D．3，則的秩為（）

可逆，則下列結(jié)論正確的是（）

； C

； D 的行向量線性相關(guān)。； B 是2階可逆矩陣，則下列矩陣中與等價的矩陣是____________。＊5設(shè)為三階方陣，且，則____________。

＊6設(shè)為三階方陣，的行列式

____________。，則

___________。＊7．已知三階方陣8．設(shè)矩設(shè)矩陣，矩陣，則矩陣的秩=____________。

9．設(shè)矩陣＊10設(shè)n階可逆矩陣，矩陣

滿足，則矩陣，則的秩=____________。

=____________。

11．3階矩陣，則的秩為____________。

12矩陣，則行列式=____________。

13＊14已知三階方陣

。的行列式，則。

15已知矩陣，則=____________。

＊16設(shè)矩陣，則的特征值為____________。

17計算行列式

＊18計算行列式

＊19計算行列式。

20計算行列式

＊21設(shè)

，求。

＊22設(shè)，求。

＊23設(shè)，求。

＊24設(shè)，求。

＊25設(shè)

26已知

＊27證明：如果矩陣

階矩陣滿足，求 ,求證：可逆，并求的逆。

是可逆對稱矩陣，則也是對稱矩陣。

第二章線性方程組

重點掌握：向量組間的線性關(guān)系：線性相關(guān)和線性無關(guān)；向量組極大無關(guān)組和秩的求法，線性方程組基礎(chǔ)解系的求法等。

一、線性方程組

一、克拉姆（Cramer）法則

定理（克拉姆法則）如果含有個方程的元線性方程組

（1）的系數(shù)行列式

則方程組（1）有唯一解，并且

其中是將系數(shù)行列式的第列元

元線性方程組

換成常數(shù)項

后得到的行列式.定理 如果如果含有個方程的的系數(shù)行列式，則方程組（2）僅有零解.二、解線性方程組的消元法

定理（1）（2）若, 有解有解時，若

；，則有唯一解；

個自由未知量．，則有無窮多組解，此時，一般解中有定理(1)

僅有零解

；

(2)

由于對推論 如果矩陣

有非零解[即有無窮多個解]有，由此得到

．

元齊次線性方程組

必有非零解.中，方程的個數(shù)少于未知量的個數(shù)，即，則方程組特別地，對于含有個方程的元齊次線性方程組

由定理2.2和定理2.4可以得到

定理 齊次線性方程組

有非零解

．

三、向量及其線性運算

1．向量的線性組合 設(shè)維向量，及（為正整數(shù)），若有數(shù)組，稱為的線性組合，或稱

可由向量組

線性表示．

使得

2．線性相關(guān)與線性無關(guān) 對維向量組，若有數(shù)組

則稱向量組

線性相關(guān)，否則稱為線性無關(guān)．，僅當(dāng)數(shù)組

稱向量組向量組線性無關(guān)，否則稱為線性相關(guān)． 線性相關(guān)

元齊次線性方程組

全為0時，才有

不全為0，使得

線性無關(guān)：對維向量組

（1）

有非零解.向量組特別地，當(dāng)向量組

線性無關(guān)

元齊次線性方程組（1）僅有零解.時，由定理2.5可推出： 線性相關(guān)

方程組（1）的系數(shù)行列式

向量組

線性無關(guān)

方程組（1）的系數(shù)行列式

四、向量組的秩

極大線性無關(guān)組：設(shè)向量組為（1）在（2）在都可以表為則稱的秩，記作：秩中有個向量中有，若

線性無關(guān)；

個向量的話）．[即

中每一個向量

個向量線性相關(guān)（如果有的線性組合] 為向量組的一個極大線性無關(guān)組，簡稱為極大無關(guān)組，稱為向量組

．[即極大無關(guān)組所含的向量個數(shù)] 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系 設(shè)

(1)(2)當(dāng)（1）（2）時，有

線性相關(guān)線性無關(guān)線性相關(guān)線性無關(guān)

； ．

； ．

五、線性方程組解的結(jié)構(gòu)

1、齊次線性方程組 不妨設(shè)的基礎(chǔ)解系 的一般解為

()

依次令

可求得 因為（1）（2）所以，?，線性無關(guān)，是解空間的一個基，稱為齊次方程組

解的結(jié)構(gòu) 的一個基礎(chǔ)解系．

2、非齊次線性方程組設(shè) 的一個基礎(chǔ)解系為 的特解為，一般解為，則有

()

六、若標(biāo)準(zhǔn)正交基

為向量空間，的一個基，（1）正交化：取，，為正交向量組（兩兩正交），且與向量組（2）單位化，取

等價．

則向量組為的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基．

典型習(xí)題練習(xí)

＊1．設(shè)向量組

線性相關(guān)，則向量組中（）

A．必有一個向量可以表為其余向量的線性組合 B．必有兩個向量可以表為其余向量的線性組合 C．必有三個向量可以表為其余向量的線性組合 D．每一個向量都可以表為其余向量的線性組合 ＊2．下列結(jié)論不正確的是（）A 如果B 如果，?，?，則，?，線性相關(guān)；

線性相關(guān)，則其中某個向量是其它向量的線性組合；

C 向量組的任何一個向量可由它的極大無關(guān)組線性表示；

D 如果一個向量組線性無關(guān)，則它的任何一個部分向量組也線性無關(guān)。

＊3．設(shè)向量組

線性無關(guān)，則向量組（）A．均不為零向量 B．任意兩個向量不成比例

C．任意s-1個向量線性無關(guān) D．任意一個向量均不能由其余s-1個向量線性表示 ＊4.設(shè)向量，則下列向量是單位向量的是（）

A． B．

C．

D．

5．設(shè)為3階非奇異矩陣，則齊次線性方程組：的解為_________________.＊6．設(shè)是一個4維向量組，若已知

可以表為的線性組合，且表示法惟一，則向量組的秩為____________。

5．如果＊7．若有非零解，則=____________。

元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩，則它的基礎(chǔ)解系含解向量的個數(shù)為____________。

8.已知向量組

＊9．已知向量組，的秩為2，則數(shù)____________.，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個極大無關(guān)組。

＊10已知向量組，,（1）求向量組的秩；（2）求向量組的一個極大無關(guān)組。

＊11試確定

的值，使齊次方程組有非零解，并求方程組的解。

＊12已知向量組 ,判斷，是否可以表示為其余向量的線性組合。若可以，求其表示式。

＊13已知向量組 ,14．證明：包含零向量的向量組一定線性相關(guān)。，判別向量組是否線性相關(guān)。如果現(xiàn)行相關(guān)，將其中一個向量表為其余向量的線性組合。

第四章 矩陣的特征值和特征向量

重點掌握：矩陣的特征值和特征向量的計算；矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)；相似矩陣矩陣對角化問題等。

一、特征值與特征向量

對階矩陣稱為，若有數(shù)

和

維列向量

滿足，則稱數(shù)

為的特征值，非零向量的屬于特征值的特征向量．

說明：

1、特征向量

2、階方陣值，即滿足方程，特征值問題是對方陣而言的． 的特征值，就是使齊次線性方程組的都是矩陣的特征值．

有非零解的

3、稱以記

4、設(shè)（1）（2）特征方程：

有非零解

．

或者

為未知數(shù)的一元次方程，它是階方陣的為的特征方程． 的特征多項式．

次多項式，稱其為方陣的特征值為，則有

；

特征矩陣：

或者 特征多項式：特征值和特征向量的性質(zhì)

定理 設(shè)是階矩陣，則

與

有相同的特征值．

定理 階矩陣定理

設(shè)可逆的充分必要條件是它的任一特征值不等于零． 的互異特征值為

線性無關(guān)．，與之對應(yīng)的特征向量依次為，則向量組注意：

1、屬于不同特征值的特征向量是線性無關(guān)的．

2、屬于同一特征值的特征向量的非零線性組合仍是屬于這個特征值的特征向量．

3、矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一；一個特征向量不能屬于不同的特征值．

定理

設(shè)無關(guān)的特征向量為的互異特征值為，重數(shù)依次為，則向量組

線性無關(guān)．

定理

設(shè)（1）（2）

． 0是的特征值． , 則 ；

． 的特征值

；，則，對應(yīng)的線性推論

一元多項式：矩陣多項式：定理 設(shè)(1)(2)[注] 一般結(jié)論：若 為的全體特征值為

． ,則的全體特征值

二、相似矩陣及其性質(zhì)

對于或稱是階方陣和，若有可逆矩陣

．，使得，則稱矩陣

與

相似，的相似矩陣，記作相似矩陣的性質(zhì) 性質(zhì)1

與

[

與

有相同的特征多項式]； 的特征值相同．

推論 若階方陣與對角形矩陣

相似，則性質(zhì)2 即是的個特征值．

（．

為正整數(shù)）．

性質(zhì)3

[相似矩陣一定等價，顯然有相等的秩；反之不然] 性質(zhì)4 單位矩陣的相似矩陣就是其本身．

性質(zhì)5 性質(zhì)6 性質(zhì)7 若，且

與

可逆

．

即相似矩陣或都可逆或都不可逆．當(dāng)它們都可逆時，它們的逆矩陣也相似．

相似對角化

若方陣對能夠與一個對角矩陣相似，稱，若可找到可逆矩陣，使

可對角化．

為對角矩陣，這就稱為把方陣階方陣對角化． 定理 階方陣推論 如果似．[其中[注] 可對角化的有個線性無關(guān)的特征向量．

]互不相等，則

．] 的特征值． 可對角化．，重數(shù)依次為，有個線性無關(guān)的特征向量． 的每一個

重特征值，則

可對

與對角陣

相階矩陣個特征值[的主對角線的元依次為的主對角元素為有個互異特征值的全體互異特征值為推論1 推論2 設(shè)角化的充要條件是，對應(yīng)于每個特征值定理 階矩陣特征矩陣與對角矩陣相似的充分必要條件是對于

． 的秩為定理 也可以敘述為：階矩陣重特征值，齊次線性方程組

與對角矩陣相似的充分必要條件是對于的基礎(chǔ)解系中恰含有的每一個

個向量．

三、實對稱矩陣的特征值和特征向量

1．實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì) 定理

實對稱矩陣的特征值都是實數(shù)．[即

] 定理 實對稱矩陣的屬于不同特征值的特征向量相互正交．

2、正交矩陣 實矩陣（1）（2）滿足是正交矩陣是正交矩陣

時，稱為正交矩陣．

． ．

（3）即

是正交矩陣，的列向量組是兩兩正交的單位向量．

（4）是正交矩陣，即的行向量組是兩兩正交的單位向量． 定理 [設(shè)為階實對稱矩陣]是以的存在正交矩陣，使得

[即]．其中即，設(shè)為

個特征值為對角元素的對角矩陣．，使得

成為對角矩陣． 一定有個線性無關(guān)的階實對稱矩陣，則存在正交矩陣，若

是推論 設(shè)特征向量． 的重特征值, 則對應(yīng)于特征值

3、實對稱矩陣對角化方法——利用正交矩陣將對稱矩陣對角化的方法 根據(jù)上述結(jié)論，利用正交矩陣將對稱矩陣化為對角矩陣，其具體步驟為： ① 求② 由的特征值；，求出的特征向量；

③ 將特征向量正交化；

④ 將特征向量單位化．

典型習(xí)題練習(xí)

1.已知矩陣A．C．2．設(shè) B． D．與對角矩陣，則

相似，則（）

為3階矩陣，且必有一個特征值為（）

A． B．

C． D． ＊3．設(shè)矩陣A．1 C．3 B．2 D．4，則的線性無關(guān)的特征向量的個數(shù)是（）

＊4.設(shè)3階實對稱矩陣的特征值為，則 __________。

5．已知為矩陣的重特征值，則的另一特征值為____________。

＊6．已知三階方陣7．已知3階矩陣的特征值為的特征值為，則且矩陣

與

________。相似，則

_________.＊8求矩陣的全部特征值及對應(yīng)的全部特征向量。

＊9．求矩陣的全部特征值及對應(yīng)的全部特征向量。

＊10設(shè)矩陣

＊11設(shè)矩陣，求可逆矩陣，使為對角矩陣。，求可逆矩陣，使為對角矩陣。

＊12矩陣

13證明：如果矩陣

與，求可逆矩陣，使為對角矩陣。

相似，則 與相似 14：證明：如果矩陣

與相似，則 =。

第四章 二次型

重點掌握：二次型及其矩陣；矩陣的合同的性質(zhì)；二次型標(biāo)準(zhǔn)型與規(guī)范型的求法；二次型正，負(fù)慣性指數(shù)和秩的計算等。一、二次型的矩陣表示

含有個變量

稱為元二次型，簡稱為二次型．

：稱：稱只含有平方項的二次型

稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）．

1．矩陣表示：令，則，于是

為實二次型（本章只討論實二次型）為復(fù)二次型 的二次齊次多項式

其中，．即，（2）

其中為對稱矩陣，因為（）．

2、標(biāo)準(zhǔn)形：

對于二次型，我們討論的主要問題是：尋求可逆的線性變換，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形． 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣為

3、合同矩陣： 對于同于．記為定理 ∽∽為對稱矩陣，若有可逆矩陣．

． 為可逆矩陣，若，即

與

合同，則

亦為

使得, 則稱矩陣

與

合同，或

合定理 設(shè)對稱矩陣．

二、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

1．正交變換法 說明：

1、二次型經(jīng)可逆變換

2、要使二次型經(jīng)可逆變換

后，其秩不變，但的矩陣由

變?yōu)?/p>

；

變成標(biāo)準(zhǔn)形，就是要使

也就是要使稱為對角矩陣．，總有正交矩陣，使

由于對任意的實對稱矩陣此結(jié)論應(yīng)用于二次型，有，即．把定理

任給二次型準(zhǔn)形

（），總有正交變換，使化為標(biāo)

其中是的矩陣的特征值．

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟：、將二次型表成矩陣形式、求出 的所有特征值，求出；

；，記

；、求出對應(yīng)于特征值的特征向量、將特征向量；

正交化，單位化，得、作正交變換

2、配方法，則得的標(biāo)準(zhǔn)形．

用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，其特點是保持幾何形狀不變． 問題：有沒有其它方法，也可以把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形？

問題的回答是肯定的．下面介紹一種行之有效的方法——拉格朗日配方法． 拉格朗日配方法的步驟：、若二次型含有的平方項，則先把含有的乘積項集中，然后配方，再對其余的變量同樣進(jìn)行，直到都配成平方項為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形；、若二次型中不含有平方項，但是，則先作可逆線性變換

（且化二次型為含有平方項的二次型，然后再按1中方法配方．

定理 對于實二次型

定理 對于實對稱矩陣, 存在可逆矩陣, 使得 , 存在可逆變換）, 使得

3、初等變換法

求可逆矩陣 可逆, 使得

：（是初等矩陣）

典型習(xí)題練習(xí)

1設(shè)2元二次型

正定，則矩陣

可取為（）

A． B．

C．2 二次型A．1 B．2 C．3 D．4 D． 的秩為（）若3階實對稱矩陣 是正定矩陣，則的正慣性指數(shù)為__________。＊4實二次型的正慣性指數(shù)=__________。

＊5矩陣

對應(yīng)的二次型 __________。