第一篇：高等數(shù)學(xué)極限習(xí)題500道匯總

當(dāng)x?x0時(shí)，設(shè)?1＝o(?)，?1?o(?)且limx?x0?存在，? ???1?求證：lim?lim．x?x0???x?x0?1 21若當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?(1?ax)3?1與?(x)?cosx?1是等價(jià)無(wú)窮小，則a?1313A．　B．　C．?　D．?． 2222 答（）當(dāng)x?0時(shí)，下述無(wú)窮小中最高階的是A　x2　B1　?cosx　C　1?x2?1　D　x?sinx 答（）求極限lim(n? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nnsin(?n2?2)．n??n??n???11)ln(1?)． 2nlimx?0e x2?1?x2的值?_____________ 3xsinxan?1?an2 設(shè)有數(shù)列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及l(fā)iman．n??n??n?? 設(shè)x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?2xnxn?1，xn?xn?1 1，求limyn及l(fā)imxn．n??n??xn(1?2x)sinx?cosx求極限lim之值． x?0x2 設(shè)limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)v(x)?AB．x?x0 lim?ln(1?x)?x?11(x?1)2? A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）sinxxlim(1?2x)x?0? A．1 B．e2 C．e D．2 答（）設(shè)u(x)?1?xsinf(u)?1f?u(x)??1求：lim及l(fā)imu(x)之值，并討論lim的結(jié)果．u?1x?0x?0u?1u(x)?11.f(u)?u2x x2?9lim2的值等于_____________ x?3x?x?6 ex?4e?xlimx?x??3e?2e?x 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）(2?x)3(3?x)5lim?x??(6?x)8 1A.?1　B.1　C.5　D.不存在2?33答：（）(1?2x)10(1?3x)20xx3?3x?2lim?____________ limx的值等于____________ 求極限lim3 ．x??x?0e?e?x(1?6x2)15x?1x?x2?x?11?6x?41?2x求lim之值． x?0x(x?5)3已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問(wèn)limv(x)?？為什么？x?x0 關(guān)于極限limx?053?e1x結(jié)論是：55A　 B　0 C　　D　不存在 34 答（）設(shè)limf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是x?x0x?x0f(x)?0x?x0g(x)g(x)B.lim??x?x0f(x)C.limf(x)g(x)??A.limx?x0 D.limf(x)g(x)??x?x0 答（）f(x)?excosx，問(wèn)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是不是無(wú)窮大量． limtanx?arctanx?01?x??　D.? 22 答（）A.0 B.不存在.C.arctan(x2)lim?x??x? 2 答（）A.0 B.? C.1 D.limx??2x?12x?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在? 答（）設(shè)f(x)? 32?e1x，則f(?0)?___________ limarccotx?01?x? 2 答（）A.0 B.? C.不存在.D.lima?cosx?0，則其中a?x?0ln1?xA.0 B.1 C.2 D.?3e2x?e?x?3xlim的值等于____________ 答（）x?01?cosx lim2(1?cos2x)?x?0 xA.2 B.?2 C.不存在.D.0答：（）px2?qx?5設(shè)f(x)?，其中p、q為常數(shù)．x?5問(wèn)：(1)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1．x?5(x2n?2)2?(x2n?2)2(3x2?2)3求極限lim． 求極限lim． x??(xn?1)2?(xn?1)2x??(2x3?3)2 已知limx?1x4?3?A?B(x?1)?c(x?1)2?0(x?1)2??試確定A、B、C之值． ax3?bx2?cx?d已知f(x)?，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．2x??x?1 x?x?2試確定常數(shù)a，b，c，d之值．已知limx?1(a?b)x?b3x?1?x?3?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說(shuō)法是否正確？為什么？ ?(x)＂若lim?(x)?0，則limx?x0x?x0 當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是無(wú)窮大，且limg(x)?A，x?x0證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)也為無(wú)窮大．用無(wú)窮大定義證明：limx?1 2x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：limlnx???． x?1x?0?用無(wú)窮大定義證明：limtanx??? 用無(wú)窮大定義證明：lim?x?2?0x?1?01???． x?1 ＂當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?A是無(wú)窮小＂是＂limx?xf(x)?A＂的：0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件 答（）若limx?xf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．0x?x0證明：limf(x)x?x)?b的充分必要條件是 0g(x limf(x)?b?g(x)x?x?0．0g(x)1用數(shù)列極限的定義證明：liman?0 用數(shù)列極限的定義證明：limann??，(其中0?a?1)．n???1用數(shù)列極限的定義證明：limn(n?2)1?52lim1?cos(sinx)2ln(1?x)的值等于___________ n??2n2?． x?02?(cosx)sinx求極限lim?1?x?0x3之值．(0?a?1)． 設(shè)limf(x)?A，試證明：x?x0對(duì)任意給定的??0，必存在正數(shù)?，使得對(duì)適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：limx?x0x?x0 f(x)?A． x2n?1?x求f(x)?lim2n的表達(dá)式 ?xn?與?yn??xn?yn?是否也必發(fā)散？若數(shù)列同發(fā)散，試問(wèn)數(shù)列 n??x?1 2n??x2n?1(其中a、b為常數(shù)，0?a?2?)，設(shè)f(x)?lim(1)求f(x)的表達(dá)式；x2n?1sin?x?cos(a?bx)(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1應(yīng)用等階無(wú)窮小性質(zhì)，求極限limx?01?5x?1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)． ． 求極限lim2x?0xx?2x1n求極限lim(1?4x)?(1?6x)(1?ax)?1． 求極限lim(n為自然數(shù))．a(chǎn)?0． x?0x?0xx(5?2x)?x?2． x?3x?3131213求極限lim 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，f(x)f(x)??(x)?a?1，lim?A，x?x0?(x)x?x0g(x)f(x)??(x)證明：lim?A．x?x0g(x)且lim 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)，?(x)是無(wú)窮小且?(x)??(x)?0證明：e?(x)?e?(x)~?(x)??(x)． 若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮?。畡t當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價(jià)無(wú)窮??？為什么？ 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)是無(wú)窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)? 與?(x)??(x)是等價(jià)無(wú)窮小． 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮?。C明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 若x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小。試判定：?jiǎn)?？為什么??(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價(jià)無(wú)窮小 sinx?x??x(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無(wú)窮大 lim 答（）1limxsin之值x??x(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無(wú)窮大 答（）已知limx?0Atanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2)?1(其中A、B、C、D是非0常數(shù))則它們之間的關(guān)系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C 答（）xn?1設(shè)limx?0及l(fā)im?a存在，試證明：a?1． 設(shè)x?1計(jì)算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?x)n??nn??xn??n242n21x2x3?(a2?1)x?ax3?3x2?3x?2求lim(sin?cos)計(jì)算極限lim(a?0)計(jì)算極限lim x??x?ax?2xxx2?a2x2?x?22ex?excosx?lim(cosxcosx?cosx)? 計(jì)算極限lim 計(jì)算極限limx?0x?ln(1?x2)x?0?2222n??n????an?滿足an?0及l(fā)im設(shè)有數(shù)列n??an?1?r(0?r?1)，試證明liman?0． n??ann???an?滿足an?0且limnan?r，設(shè)有數(shù)列(0?r?1)，試按極限定義證明：liman?0． n??設(shè)limf(x)?A(A?0)，試用“???”語(yǔ)言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 1試問(wèn)：當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?x2sin，是不是無(wú)窮小？ x設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在x0的某去心鄰域，使得x?x0x?x0在該鄰域?yàn)閒(x)?g(x)． ln(1?3x?2)11計(jì)算極限lim． 設(shè)f(x)?xsin，試研究極限lim 23x?2x?0f(x)arcsin(3x?4x?4)x 設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為xn?則當(dāng)n??時(shí)，xn是(A)無(wú)窮大量(B)無(wú)窮小量n?1?(?1)nn2，n??(C)有界變量，但不是無(wú)窮小(D)無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)lim(01?1x)x?e(B)xlim(??01?1x)x?e?1x??(C)lim(1?1)x?e?1(D)lim(1?1)?xx??xx??x?0 答（）設(shè)x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limn??xn． ?eax?1設(shè)f(x)???x，當(dāng)x?0，且lim?xf(x)?A?b，當(dāng)x?0?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?1(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(D)a可取任意實(shí)數(shù)且A?b?a答：()?ln(1?ax)設(shè)f(x)d???x，當(dāng)x?0，且limf(x)?A，??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a可取任意實(shí)數(shù)且a?b?A(D)a，b可取任意實(shí)數(shù)，而A僅取A?lna答：（?1?cosax設(shè)f(x)??x2，當(dāng)?x?0，且limf(x)??b，當(dāng)x?0x?0?A則a，b，A間正確的關(guān)系是(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)A?a2(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)A?a22(C)a可取任意實(shí)數(shù)b?A?a2(D)a可取任意實(shí)數(shù)b?A?a22 答（））設(shè)有l(wèi)im?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內(nèi)復(fù)合函數(shù)f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請(qǐng)給出證明；若判定不成立，請(qǐng)舉出例子，并指明應(yīng)如何加強(qiáng)已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當(dāng)x?1?設(shè)f(x)??x?1　適合limf(x)?Ax?1?a，當(dāng)x?1?則以下結(jié)果正確的是(A)僅當(dāng)a?4，b??3，A?4(B)僅當(dāng)a?4，A?4，b可取任意實(shí)數(shù)(C)b??3，A?4，a可取任意實(shí)數(shù)(D)a，b，A都可能取任意實(shí)數(shù) 答（）?1?bx?1　當(dāng)x?0?設(shè)f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a 當(dāng)x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實(shí)數(shù)(D)b?6，a可取任意實(shí)數(shù) 答（）設(shè)?(x)?(1?ax)213 ex?2e?x求lim． ?1，?(x)?e?ecosx，且當(dāng)x?0時(shí)?(x)~?(x)，試求a值。x??3ex?4e?x2x?2axsin設(shè)lim()?8，則a?____________． lim(1?3x)x?____________． x??x?0x?a 當(dāng)x?0時(shí)，在下列無(wú)窮小中與x2不等價(jià)的是(A)1?cos2x(B)ln1?x2(C)1?x2?1?x2(D)ex?e?x?2 答（）當(dāng)x?0時(shí)，下列無(wú)窮小量中，最高階的無(wú)窮小是(A)ln(x?1?x2)(B)1?x2?1(C)tanx?sinx(D)e?ex?x?2 答（）計(jì)算極限limx?01?1?x2ex?cosxx?xnn?122 lim3x?5?sin4?_____________________ x??5x?32x計(jì)算極限limx?13n(x?1)(x?1)?(x?1)???x?x?n計(jì)算極限 lim n?1x?1(x?1)x?1?x計(jì)算極限 lim(cosx??0 討論極限limarctanx)．x?11的存在性。研究極限limarccot1的存在性。x?0xx?1x2?2x?3研究極限lim． x??x?1 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中，為無(wú)窮大的是sinx11(A)(B)lnx(C)arctan(D)arccotxxx 答（）limx?11?________________。lnx?1n??設(shè)an?0，且liman?0，試判定下述結(jié)論“存在一正整數(shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)，恒有an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設(shè)有數(shù)列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出極限liman存在的n??n??結(jié)論。an?1?an?滿足an?0；設(shè)有數(shù)列?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設(shè)limx?x0f(x)存在，limg(x)存在，則limf(x)是否必存在？x?x0x?x0g(x)f(x)?A?0，則是否必有l(wèi)img(x)?0．x?x0g(x)若limf(x)?0，limx?x0x?x0 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中為無(wú)窮小量的是11sinx2x2(B)ln(x?1)(A)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1 答（）設(shè)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A是常數(shù)），試證明limx?x0g(x)?0．f(x)若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?0，limx?x0x?x0f(x)?A，g(x)則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請(qǐng)予證明，若不能肯定，請(qǐng)舉例說(shuō)明，并指出為何加強(qiáng)假設(shè)條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時(shí))必不存在。n??lime?e?e1n2nn?1n?e?(A)1(B)e(C)e(D)e2 答（）lim(1?2???n?1?2???(n?1))?____．n?? x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)f(x)?1?sin，試判斷：xx(1)f(x)在(0，1)，內(nèi)是否有界;(2)當(dāng)x??0時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大.設(shè)f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大? 設(shè)?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當(dāng)x?1時(shí)（）1?x(A)?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小;(B)?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小;(C)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小;(D)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小.答（）x3?ax2?x?4設(shè)lim?A，則必有x?1x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.答（）x2?1當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;1x?1的極限(C)為?;(D)不存在但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?(1?ax)232?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。3x2?2求a，b使lim(?ax?b)?1 設(shè)lim(3x2?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x??x?1x???設(shè)x1?1，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??設(shè)x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n???計(jì)算極限lim(x?x?x?x)計(jì)算極限limx?0x???1?xsinx?cos2x xtanx計(jì)算極限limx?04?tanx?4?sinx2?2cosax研究極限lim(a?0)的存在性。x?0xetanx?esinx2n?? ?xn?收斂，并求極限limxn．設(shè)x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數(shù)列設(shè)x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． n??2 設(shè)x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn．n??2 設(shè)a1，b1是兩個(gè)函數(shù)，令an?1?anbn，bn?1?liman存在，limbn存在，且liman?limbnn??n?bn??n??an?bn，(n?1，2，?)試證明：2 ?ecosx?e計(jì)算極限 lim?x?x?x計(jì)算極限lim 2x???x?0?xn????x?x?x 計(jì)算極限lim(1?2?12)x x??x?xn??n??若limxnyn?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及l(fā)imyn?0至少有一式成立＂的結(jié)論。設(shè)數(shù)列?xn??，yn?都是無(wú)界數(shù)列，zn?xnyn，?zn?是否也必是無(wú)界數(shù)列。試判定：31??計(jì)算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1 如肯定結(jié)論請(qǐng)給出證明，如否定結(jié)論則需舉出反例。極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B． C．1；　D．e． 答（）?12 ex?e?x極限lim的值為（）x?0x(1?x2)A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）極限lim1?cos3x的值為（）x?0xsin3x123A．0；　B．；　C．；　D．． 632 答（）下列極限中不正確的是 xtan3x3?2A．lim?；　B．lim??；x?0sin2xx??1x?122 x2?1arctanxC．lim?2；D．lim?0．x?1sin(x?1)x??x 答（）cos? ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2)極限lim?x?0x2A．0；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）1x 極限lim(cosx)?x?0A．0；　B．e；　C．1；　D．e． 答（）12?12 當(dāng)x?0時(shí)，與x為等價(jià)無(wú)窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當(dāng)x?1時(shí)，無(wú)窮小量1－x是無(wú)窮小量x?1的1?2xA．等價(jià)無(wú)窮小量；B．同階但非等價(jià)無(wú)窮小量； C．高階無(wú)窮小量；D．低階無(wú)窮小量． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，無(wú)窮小量2sinx?sin2x與mxn等價(jià)，其中m，n為常數(shù)，則數(shù)組（m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）1 已知lim(1?kx)x?0x?e，則k的值為1A．1；　B．?1；　C．；　D．2． 2 答（）1極限lim(1?)2的值為x??2xA．e；　B．e；　C．e；　D．e?14?14x 答（）下列等式成立的是21A．lim(1?)2x?e2；　B．lim(1?)2x?e2；x??x??xx 11C．lim(1?)x?2?e2；D．lim(1?)x?1?e2．x??x??xx 答（）1極限lim(1?2x)xx?0?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1x?4x??x?1)的值為（）A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 答（）2x?1極限lim?2x?1?x????2x?1??的值是A．1；　B．e；　C．e?12；　D．e?2． 答（）下列極限中存在的是A．limx2?111x??x；　B．limx?01?e1；C．limxsin；　xx??x 答（）極限limtanx?sinxx?0x3的值為A．0；B．1b　C．12　D．?． 答（）極限limsinxx??x???A．1；　B．0；　C．?1；　D．?． 答（）已知lima?cosxx?0xsinx?12，則a的值為A．0；　B．1；　C．2；　D．?1． 答（）已知limsinkxx?0x(x?2)??3，則k的值為A．?3；　B．?32；　C．6；　D．?6． 答（）D．lim1x?02x?1 x2?1設(shè)lim(?ax?b)?0，則常數(shù)a，b的值所組成的數(shù)組(a，b)為x??x?1 A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）4x2?3設(shè)f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數(shù)組（a，b）可表示為A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）極限limx2?6x?8x?2x2?8x?12的值為A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 答（）下列極限計(jì)算正確的是A．limx2nx?n??1?x2n?1；　B．xlimsinx???x?sinx?1；C．limx?sinxx?0x3?0；　D．lim(n??1?12n)n?e2． 答（）極限lim(x3x2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 答（）數(shù)列極限lim(n??n2?n?n)的值為A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 答（）x2已知lim?3x?cx?1x?1??1，則C的值為A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 答（）已知limx2?ax?6x?11?x?5，則a的值為A．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（）?ex?2，x?0?設(shè)函數(shù)f(x)??1，x?0，則limf(x)?x?0?x?cosx，x?0?A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx，x?0設(shè)f(x)????x?x?1，則 ?，x?0?1?e1xA．limx?0f(x)?0；B．xlim?0?f(x)?xlim?0?f(x)；C．xlim?0?f(x)存在，xlim?0?f(x)不存在； D．xlim?0?f(x)不存在，xlim?0?f(x)存在． 答（）?tankx設(shè)f(x)???x，x?0，且lim?x?3，x?0x?0f(x)存在，則k的值為 A．1；　B?．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim(x?1xx?3?)?4；B．xlim?0?e?0；1C．limsin(x?1)x?0(12)x?0；D．limx?1x?0． 答（）若limf(x)x?0xk?0，limg(x)x?0xk?1?c?0(k?0)． 則當(dāng)x?0，無(wú)窮小f(x)與g(x)的關(guān)系是A．f(x)為g(x)的高階無(wú)窮小；B．g(x)為f(x)的高階無(wú)窮小；C．f(x)為g(x)的同階無(wú)窮小； D．f(x)與g(x)比較無(wú)肯定結(jié)論． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價(jià)無(wú)窮??； B．等價(jià)無(wú)窮?。籆．高階無(wú)窮?。? D．低階無(wú)窮?。? 答（）當(dāng)x?0時(shí)，sinx(1?cosx)是x3的 A．岡階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮?。?B．等價(jià)無(wú)窮??；C．高階無(wú)窮??； D．低階無(wú)窮?。? 答（）設(shè)有兩命題： ?xn?必收斂；命題“a”，若數(shù)列?xn?單調(diào)且有下界，則命題“b”，若數(shù)列?xn??、yn??、zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn??，zn?都有收斂，則?xn?必收斂 數(shù)列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設(shè)有兩命題： 命題甲：若limf(x)、limg(x)都不存在，則lim?f(x)?g(x)?必不存在；x?x0x?x0x?x0x?x0命題乙：若limf(x)存在，而limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。x?x0x?x0則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）設(shè)有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0f(x)?0；g(x)命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。答（）若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)x?x9x?x0x?x0A．必為無(wú)窮大量;B．必為無(wú)窮小量;C．必為非零常數(shù);D．極限值不能確定 ．設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?an??，bn?，且lim(bn?an)?0，則 n?? 答（）?an??A．，bn?必都收斂，且極限相等;?an??B．，bn?必都收斂，但極限未必相等;?an?收斂，而?bn?發(fā)散;C．?an?和?bn?可能都發(fā)散，也可能都D．收斂． 答（）下列敘述不正確的是 A．無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的商為無(wú)窮小量； B．無(wú)窮小量與有界量的積是無(wú)窮小量；C．無(wú)窮大量與有界量的積是無(wú)窮大量；D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的積是無(wú)窮大量。答（）下列敘述不正確的是 A．無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)窮小量；B．無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量；C．無(wú)窮小量與有界量的乘積是無(wú)窮小量；D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量的乘積是無(wú)窮大量。答（）若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的是 A．lim?f(x)?g(x)???;B．lim?f(x)?g(x)??0;x?x0x?x0x?x0x?x0C．limx?x0f(x)?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0g(x)答（）設(shè)函數(shù)f(x)?xcos1，則當(dāng)x??時(shí)，f(x)是 xA．有界變量； B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量； C．無(wú)窮小量； D．無(wú)窮大量． 答（）若limf(x)?A(A為常數(shù)），則當(dāng)x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)?A是 x?x0A．無(wú)窮大量;B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量;C．無(wú)窮小量;D．有界，而未必為無(wú)窮小量 ． 答（）設(shè)函數(shù)f(x)?xsin1，則當(dāng)x?0時(shí)，f(x)為 xA．無(wú)界變量;B．無(wú)窮大量;C．有界，但非無(wú)窮小量;D．無(wú)窮小量． 答（）f(x)在點(diǎn)x0處有定義是極限limf(x)存在的 x?x0A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條件． 答（）

第二篇：高等數(shù)學(xué)極限習(xí)題500道

當(dāng)x?x0時(shí)，設(shè)?1＝o(?)，?1?o(?)且lim求證：lim x?x0?存在，????1???1x?x0?limx?x0?．?1 若當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?(1?ax)23?1與?(x)?cosx?1是等價(jià)無(wú)窮小，則a? 1313A．　B．　C．?　D．?．2222 答（）階的是2當(dāng)x?0時(shí)，下述無(wú)窮小中最高A　x　B1　?cosx　C　1?x n??2?1　D　x?sinx（）n 答n??? 求limn?ln(2n?1)?ln(2n?1)?之值． 求極限lim(?1)nsin(?n?2)．2e?1?x11求極限lim(n?)ln(1?)． lim3x?0n??2nxsinx x22的值?_____________ 設(shè)有數(shù)列a1?a，a2?b(b?a)，an?2?求證：limyn?lim(an?1?an)及l(fā)iman．n??n??n??an?1?an2 設(shè)x1?a，x2?b．(b?a?0)xn?2?記：yn?1xn?1?sinx2xnxn?1xn?xn?1，1，求limyn及l(fā)imxn．n??n??xn求極限limx?0(1?2x)?cosxx2之值． 設(shè)limu(x)?A，A?0；且limv(x)?Bx?x0x?x0試證明：limu(x)x?x0v(x)?A．B lim?ln(1?x)?(x?1)2?x?11A．? B．1 C．0 D．ln2 答（）lim(1?2x)x?0sinxx? A．1 B．e C．e D．2 2 答（）設(shè)u(x)?1?xsin求：lim212.f(u)?ux及l(fā)imu(x)之值，并討論x?0f(u)?1u?1u?1limf?u(x)??1u(x)?1 的結(jié)果．x?0limx?9x?x?6 xx?32的值等于_____________ lime?4ex?x?xx??3e?2e? 1A． B．2 C．1 D．不存在3答：（）lim(2?x)(3?x)(6?x)835x??? A.?1　B.1　C.12?32053　D.不存在答：（）lim(1?2x)(1?3x)(1?6x)321510x???__________3__ limxe?e1?2xx?xx?0的值等于____________ 求極限lim x?3x?2x?x?x?132 求lim．1?6x?4x?1x?0x(x?5)之值． 已知：limu(x)??，limu(x)v(x)?A?0x?x0x?x0問(wèn)limv(x)?？為什么？x?x0 關(guān)于極限lim5351結(jié)論是：54x?03?exA　　　B　0　　C　　D　不存在 　　　　　　　　　　　　　　答（）設(shè)limx?xf(x)?A，limg(x)??，則極限式成立的是0x?x0A.limf(x)x?xg(x)?00B.limg(x)x?xf(x)??0C.limx?xf(x)g(x)??0D.limf(xg(x)x?x)??0 答（）f(x)?excosx，問(wèn)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是不是無(wú)窮大量． limtanx?1x?0arctanx?A.0 B.不存在.C.?2　D.??2 答（）limarctan(x2)x??x?A.0 B.? C.1 D.?2 答（）lim2x?1?x??x2?3A.2 B.?2 C.?2 D.不存在 答（）設(shè)f(x)?31，則f(?0)?___________ 2?ex limarccot1x?0x?A.0 B.? C.不存在.D.?2 答（）lima?cosx?0，則其中x?0ln1?xa?A.0　　B.1　　C.2　　D.?3 　　　　　　　　　　　　　　答（）lime 2xx?0?e?3x的值等于__________1?cosx2(1?cos2x)x?x__ limx?0? A.2　　B.?2　　C.不存在.D.0答：（）設(shè)f(x)?px?qx?5x?52，其中p、q為常數(shù)． 問(wèn)：(1)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1；x??(2)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?0；x??(3)p、q各取何值時(shí)，limf(x)?1．x?5求極限limx??(x2nn?2)?(x222nn?2)22(x?1)?(x?1)4． 求極限lim(3x?2)(2x?3)3232x??． 已知limx?3?A?B(x?1)?c(x?1)(x?1)2?2?x?1?0 試確定A、B、C之值． 已知f(x)?試確定常數(shù)ax3?bx22?cx?dx?x?2a，b，c，d之值．，滿足(1)limf(x)?1，(2)limf(x)?0．x??x?1 已知lim(a?b)x?b3x?1?x?3x?x0x?1?4，試確定a，b之值． 1??＂上述說(shuō)法是否正確？?(x)為什么？ ＂若lim?(x)?0，則limx?x0 當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是無(wú)窮大，且limg(x)?A，x?x0 證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)也為無(wú)窮大．用無(wú)窮大定義證明：用無(wú)窮大定義證明：limx?12x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：x?1tanx??? 用無(wú)窮大定義證明：3x?0 lim?lnx???．limx???02x?1?0lim1x?1???． 用無(wú)窮大定義證明：用無(wú)窮大定義證明：x??? lim(x?4x)???．limlogx???a x???(其中0?a?1)． 若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)都是無(wú)窮小，則當(dāng)x?x0時(shí)，下列表示式哪一個(gè)不一定是無(wú)窮小.(A)?(x)??(x)(B)?(x)??(x)(C)ln?1??(x)??(x)?(D)22 ?(x)?(x)2　　　　　　　　　　　答（）＂當(dāng)x?x0，?(x)是無(wú)窮小量＂是＂當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)是無(wú)窮小量＂的(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）＂當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?A是無(wú)窮小＂是＂limf(x)?A＂的：x?x0(A)充分但非必要條件(B)必要但非充分條件(C)充分必要條件(D)既非充分條件，亦非必要條件　　　　　　　　　　　　　答（）若limf(x)?0，limg(x)?0，但g(x)?0．x?x0x?x0證明：lim　　　limf(x)g(x)x?x0?b的充分必要條件是?0．n f(x)?b?g(x)g(x)x?x0用數(shù)列極限的定義證明用數(shù)列極限的定義證明：liman?? ?0，(其中0?a?1)． ?1(0?a?1)．：liman??1n用數(shù)列極限的定義證明lim1?cos(sinx)2ln(1?x)2：limn(n?2)2n?52n???1． 2x?0的值等于___________ 求極限lim?(cosx)xsinx3?1?之值． x?0(1?xsinx)?求極限limx?0x?1x3?之值． lim(cosx?sinx)xx22x2x?1x?0?__________ __ lim(1?2x)x(cosx)23x?1x?0?_____________ lim(1?sinx)?1x?0?__________2sinx3limx?0x?x?11?x?1求極限limx()?1??之值． ?______________ x???x?1?0??(x)?u(x)??(x)，且當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)~?(x)． 設(shè)在x0的某去心鄰域內(nèi)試證明：當(dāng) x?x0時(shí)　?(x)~u(x)．設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)?0，?(x)?o??(x)?，?1(x)~?(x)．lim求證：lim?(x)??(x)u(x)?A．x?x0存在(?A?0)?1(x)??(x)u(x)572x?x0求limx?0(1?3x)?(1?2x)(2x?1)?1之值． 設(shè)當(dāng)x?x0，?(x)，?1(x)，?(x)，?1(x)均為無(wú)窮小，且?(x)~?1(x)；?(x)~?1(x)，如果lim1?(x)?(x)1x?x0?A 試證明：lim?1??(x)??(x)?lim?1??1(x)??1(x)．x?x0x?x0 設(shè)當(dāng)x?x0，?(x)，?(x)都是無(wú)窮小，且?(x)?0，?(x)?0試證明：?1??(x)? ?(x)~?(x)?(x)． 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)均為無(wú)窮小，且試證明：lim?(x)~?1(x)；如果lim?1．?(x)?(x)x?x0?A?1??(x)?a?(x)?1x?x0?lim?1??1(x)?a?(x)x?x0(式中a是正常數(shù))用數(shù)列極限的定義證明 limn??1?0． n!設(shè)limxn?A，且B?A?C．n??試證必有正整數(shù)N存在，使當(dāng) B?AA?Cn?N時(shí)恒有　?xn?成立．22 設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?xn?，?yn?滿足(1)limxn?0；n??(2)yn?M(M為定數(shù))．試證明：lim(xn?yn)?0．n?? xsin設(shè)limf(x)?A，求證：limf(x)?A． 求極限limx?0x?x0x?x021x sinxx1?sin求極限lim?cosln(1?x)?coslnx? 求極限limx?0x???1x． 1x求極限limx??2x1?x2arctan1x． 求極限lim1x(1?e)xx?? 求極限limarctanx?arcsinx?? 求極限limx?02?11x2?2x ． 求數(shù)列的極限lim(sinn??n?1?sinn)設(shè)lim?(x)?u0，且?(x)?u0，又limf(u)?Ax?x0u?u0試證：limf??(x)??Ax?x0 設(shè)f(x)?x?1lnx試確定實(shí)數(shù)a，b之值，使得： 當(dāng)x?a時(shí)，f(x)為無(wú)窮小；當(dāng)x?b時(shí)，f(x)為無(wú)窮大。設(shè)f(x)?xtanx2，問(wèn)：當(dāng)x趨于何值時(shí)，f(x)為無(wú)窮小。若limf(x)?A，limg(x)?B，且B?Ax?x0x?x0 證明：存在點(diǎn) x0的某去心鄰域，使得在該鄰域內(nèi)　g(x)?f(x)．設(shè)limf(x)?A，試證明：x?x0對(duì)任意給定的??0，必存在正數(shù)?，使得對(duì)適含不等式0?x1?x0??；0?x2?x0??的一切x1、x2，都有f(x2)?f(x1)??成立。已知：limf(x)?A?0，試用極限定義證明：x?x0x?x0limf(x)?A． 若數(shù)列?xn?與?yn?同發(fā)散，試問(wèn)數(shù)列?xn?yn?是否也必發(fā)散？求f(x)?lim x2n?1?x?12n?1n??x2n的表達(dá)式 x設(shè)f(x)?limn??sin?x?cos(a?bx)22nx?1(其中a、b為常數(shù)，0?a?2?)，(1)求f(x)的表達(dá)式；(2)確定a，b之值，使limf(x)?f(1)，limf(x)?f(?1)．x?1x??1求f(x)?lim211?(lnx)22n?1n??的表達(dá)式 求f(x)?lim2xn?2n?x?n?1?nn??x?xn的表達(dá)式． 設(shè)?(x)?x?3x?3，fn(x)?1??(x)??(x)????(x)，求f(x)?limfn(x)．n????xxx求f(x)?lim?x?????的表達(dá)式． 2222n?1?n??1?x(1?x)(1?x)??求f(x)?limxnnnn??1?x的表達(dá)式． 設(shè)Sn??k?1k，其中bk?(k?1)!，求limSn． n??bk22nn?x(1?x)x(1?x)x(1?x)求f(x)?lim?1?????2nn??222???的表達(dá)式。?求f(x)?limx(1?(1?limx)?nnnx?1nn?1的表達(dá)式，其中n??x)?13a?2(?b)n?1 x?0．求數(shù)列的極限n??3a?2(?b)n．(其中a?b?0)． n求數(shù)列的極限limn??5?3?3?(?2)32n． 求數(shù)列的極限lim(n??12?34?53???2n?12n)． 求數(shù)列的極限 lim(1?2q?3q???nqn??n?1)，其中q?1．求數(shù)列的極限111??lim?????? n??a(a?1)(a?2)(a?1)(a?2)(a?3)(a?n?1)(a?n)(a?n?1)??其中a?0．求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限?1?11lim?????? n??1?33?5(2n?1)(2n?1)???1111lim??????n??2?33?4n(n?1)?1?2? ?．?求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限liman23n???12?2?3???(n?1)(其中a?0)222?2?1n?lim(1?2?3???(n?1)? ?．n??n?2?2??求數(shù)列的極限limn??n(n?2?n?1)． 求數(shù)列的極限limn???n?4n?5?(n?1)． n?3n?6?(n?1)(n?1)n432?求數(shù)列的極限limn??． 求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限limannn??2?a2 ．(其中a?1)．lim(1?n??12)(1?132)?(1?1n2)． 求數(shù)列的極限lim10000nn?12n??． 求數(shù)列的極限limn??n?4n?33n?5n?1nnn22． 求數(shù)列的極限lim(n?1?n??n)． 求數(shù)列的極限limn??1?2?3． 求數(shù)列的極限lim2n?a?n?b?2n2n2n?1n?2n??．(a?0，b?0且b?2)3　求數(shù)列的極限limn(1?n??n2n?1)． 求數(shù)列的極限limn(n??n?1n?2?1)． 求極限lim． n?12n?13?10?2?10若在x0的某鄰域內(nèi)f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B．n??x?x0x?x02?10?3?10試判定是否可得：若lim?(x)?0，limx?x0x?x0A?B． 1?b?0，則lim?(x)?(x)?0是否成立？為什么？x?x0?(x)確定a，b之值，使limx????3x?4x?7?(ax?b)?0，2?并在確定好a，b后求極限limxx????3x?4x?7?(ax?b)2? 求極限lim(xx??x?1x?12?x)． 求極限limx??2x?cosx3x?sinx2． 2求極限limx??(x?1)?(2x?1)?(3x?1)???(10x?1)(10x?1)(11x?1)2 2求極限limxx????2x?2x?5?(x?1)． 求極限lim(4x?8x?5?2x?1)． x????討論極限limx??2e3x3x?3e?e2?2x4e?2x． 求極限lim22(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(2x?3)(3x?2)22232x??． 求極限limx??(x?1)(2x?1)(3x?1)(4x?1)(5x?1)(5x?3)?2(4x?3)(3x?2)(6x?7)25234335x2x22． 求極限limx??． 求極限limx???a1?a(a?0，a?1)． 求極限limtan2x?tan(x??4??x)． 4確定a，b之值，使當(dāng)x???時(shí)，f(x)?x?4x?5?(ax?b)為無(wú)窮小． 2求極限limx?1x?3x?2x?4x?35x?1?234． 求極限limx?2x?5x?6x?4x?0223． 求極限limx?23x?2?2x?2． 求極限limx?22x?53x?42． 求極限lim52xx?5?253． 24求極限limx?0(1?2x)?(1?x)3(1?4x)?(1?3x)?2(2x?a)n4m 求極限limx?0(1?x)?(1?x)x2． 53求極限lim?anmx?ax?ax2axax22(m，n為自然數(shù))． 求極限lim(1?2x)?(1?4x)x x?0求極限limx?0(1?3x)?1． 設(shè)f(x)??(a?2)x?12?(a?1)x?ax?1問(wèn)：(1)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)??；(2)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)?x?1112；(3)當(dāng)a為何值時(shí)，limf(x)?0，并求出此極限值。x?2求極限limx?0cscx?cotxx1?tanx?x3． 求極限limx?01?cosaxx2． 求極限limx?0sinx?1． 求極限limx??tanx?tan??(0???)x??22?2cosxxx?0求極限limx?01?sinx?cosx1?sinpx?cospx(p為常數(shù)，p?0)． 討論極限lim． 求極限limx?0ln(1?3x)1?xsinx?cosx． ． 求極限limx?0xtanxxen?1?2求數(shù)列的極限limnsin． lim(arctan?)n?1． n??n??n4n??n2lim2sin． 求數(shù)列的極限limn(1?cos)． n?1n??n??2n求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限 設(shè)f(x)是定義在x0?(a，b)，則?a，b?上的單調(diào)增函數(shù)，(A)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(B)f(x0?0)存在，但f(x0?0)不一定存在(C)f(x0?0)，f(x0?0)都存在，而(D)limf(x)存在x?x0x?x0 limf(x)不一定存在 設(shè)x1?a?0，且xn?1?　答（）axn，證明：limxn存在，并求出此極限值n?? ．設(shè)x1?2，且xn?1?2?xn，證明limxn存在，并求出此極限值n??。設(shè)x1?0，且xn?1?12(xn?axn)(其中a?0)，證明極限limxn存在，并求出此極限值．n?? 設(shè)x0?1，x1?1?x01?x0，?，xn?1?1?xn1?xn． 證明極限limxn存在，并求出此極限值。n??n??3n1111設(shè)xn???2???n，求證：limxn存在.n??1?13?13?13?1設(shè)xn?1?122?12???12，(n為正整數(shù))求證：limxn存在． 設(shè)x1?12，x2?1?32?41，?，xn?；1?3?5?(2n?1)2?4?6?(2n)，(1)證明：xn?2n?1(2)求極限limxn．n??求極限limx??100x?10x?1x?0.1x?0.01x?0.001xn?1xn322． 設(shè)數(shù)列?xn?適合3?r?1,(r為定數(shù)）證明：limxn?0． n??求極限limx?tanx?3tanxcos(x???6． 3)求數(shù)列的極限limn??2nn!． n?0．)．用極限存在的＂夾逼準(zhǔn)求數(shù)列的極限lim(n??則＂證明數(shù)列的極限1n?12limn???1n?22??212nn?n3求數(shù)列的極限求數(shù)列的極限limnn??sinn!． n?122x??111ln(2?3e)lim?????．． 222?求極限lim3xn??x???(n?1)(n?2)(2n)ln(3?2e)??63求極限limx??ln(x?5x?7)ln(x?3x?4)2． 求極限limx???x?x?xx?x． ??x?，當(dāng)x?0??2設(shè)f(x)?sin2x，g(x)???x??，當(dāng)x?0 ??2討論limg(x)及l(fā)imf?g(x)?．x?0x?0設(shè)lim?(x)?u0，limf(u)?f(u0), 證明：limf??(x)??f(u0)。x?x0u?u0x?x0無(wú)限循環(huán)小數(shù)0.9?的值(A)不確定(B)小于1(C)等于1求極限limxm?xnD)無(wú)限接近1x?1xm?xn?2(m、n為正整數(shù))．(答（若數(shù)列?an?適合an?1?an?r(an?an?1)(0?r?1)求證：limaa2?ra1．n??n?1?rn設(shè)x?n!其中, 求極限limxn＋1n?anna?0是常數(shù)，n為正整數(shù) n??x n求數(shù)列的極限lim(sec?2n??n)n． 設(shè)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小且lim?(x)?f(x)?A x?x0證明：lim?(x)?f(x)?Ax?x0 設(shè)lim0f(x)?A，且A?0，x?x試證明必有x0的某個(gè)去心鄰域存在，使得 在該鄰域內(nèi)1f(x)有界.下述結(jié)論：＂若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，則當(dāng)x?x0時(shí)，ln?1??(x)?與ln?1??(x)?也 是等價(jià)無(wú)窮小＂是否正確？為什么？）應(yīng)用等階無(wú)窮小性質(zhì)，1?5x?2求極限lim1?3xarctan(1?x)?arctan(1?x)x1x?0． 1求極限limx?0x?2x1． 求極限lim(1?4x)2?(1?6x)3xx?0． 1求極限limx?0(1?ax)n?1x(n為自然數(shù))．a(chǎn)?0． 求極限lim(5?2x)3?x?3x?2x?3． 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小，且limf(x)x?x0?(x)x?x0?a?1，limf(x)??(x)g(x)f(x)??(x)g(x)x?x0?A，證明：lim ?A．設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)，?(x)是無(wú)窮小且?(x)??(x)?0證明：e ?(x)?e?(x)~?(x)??(x)．若當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮?。畡t當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)??(x)與?1(x)??(x)是否也是等價(jià)無(wú)窮??？為什么？ 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，?(x)、?(x)是無(wú)窮小，且?(x)??(x)?0.證明：ln?1??(x)??ln?1??(x)?　　　與?(x)??(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)是比g(x)高階的無(wú)窮小．證明：當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)?g(x)與g(x)是等價(jià)無(wú)窮?。? 若x?x0時(shí)，?(x)與?1(x)是等價(jià)無(wú)窮小，?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是無(wú)窮小。試判定：?(x)??(x)與?1(x)??(x)也是等價(jià)無(wú)窮小嗎？為什么？等價(jià) 確定A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?ln(x?21?x)與g(x)?Ax，2n是等價(jià)無(wú)窮?。?設(shè)f(x)?sinx?2sin3x?sin5x，g(x)?Ax，求A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)~g(x)． n 設(shè)f(x)?eg(x)?Ax(a?x)2?e(a?x)2?2ea2，(a為常數(shù))n求A及n，使當(dāng)x?0時(shí)，f(x)~g(x).設(shè)f(x)?　g(x)?xx?2?2Akx?1?x，確定k及A，使當(dāng)x???時(shí)，f(x)~g(x)． 設(shè)?(x)?x?3x?2，?(x)?c(x?1)，確定c及n，使當(dāng)x?1時(shí)，?(x)~?(x)n3 證明不等式：ln(1?求極限lim(ax?ex?0bx1n1)?1n．(其中n為正整數(shù))ax)x，(a，b為正的常數(shù))求極限lim(x?0?bx1求極限limx?1x?1x?1axan，(n為任意實(shí)數(shù))． 求極限xlim?x，(a?0，a?1)求極限lim3x2lnx?lnx0x?x0)x，(a?0，b?0)(x0?0)0求極限limx?a?aa3x?1x?ax?0?x2x?2(a?0，a?1)． e5x求極限limx?0etanx?exxsinx1?xa1?xb12x1． 求極限limx?02e?exx． 求極限lim?1xx?0． 求極限lim(x?0)x(a?0，b?0且a?1，b?1，a?b)1求極限limx(ax????aaxx?1)(a?0，a?1)． 求極限limx?0ln(secx?tanx)sinx． 求極限limln(1?ex???求極限limxln(x0?x)?ln(x0?x)?2lnx0xcosxcos?1)ln(1?b)(a，b為常數(shù)，且a?0).(x0?0)．xx?02求極限lim(x??)x??(??k???2，k?z)． 求極限limcosx????x． 1求極限lim(1?2x)x 求極限lim(x?02x?12x?1)3xx??． 求極限lim(x??12x?x?12x?x?122)． cotxx求極限lim(sinx)x?tanx2? 2???求極限limtan(?x)x求極限lim(sinx?cosx)． ?x?0?4??x?012x?0． 1求極限lim(cosx??0x)． 求極限lim(1?xx?x)x． 求極限lim?(x?2)ln(x?2)?2(x?1)ln(x?1)?xlnx?x 求極限limx???x?0lncosxx2． 求極限lim 求極限lim?ln(1?x)?ln(x?1)?x．x?－1lnxx???x?12． 11?en).求數(shù)列的極限limn?ln(n?1)?lnn?． 求數(shù)列的極限lim(nnn??n??求數(shù)列的極限limn(en??an?ebn)，其中a，b為正整數(shù)． 求數(shù)列的極限limnn??211??ln(a?)?ln(a?)?2lna;其中a?0是常數(shù) ??nn??求數(shù)列的極限lim(n??2n?1n?121)． 求數(shù)列的極限limn(an??nn?1)，其中a?0． 求數(shù)列的極限?(2?limn?en???n1)n?en(2?1)n2??2e?． ?求數(shù)列的極限lim(n??a?2nb)，其中a?0，b?0． 求數(shù)列的極限lim(n??n(n?1)2n?12n?1)． n求數(shù)列的極限 ?3n2?2?lim??2n??3n?4??1x1x 計(jì)算極限：limsin(n?a??)． n??22設(shè)f(x)?xsin?sinx，limf(x)?a，limf(x)?b，則有x?0x??(A)a?1，b?1(B)a?1，b?2(C)a?2，b?1(D)a?2，b?2　　　　　　　　　　　　　　答（）計(jì)算極限limx?01xlne?ex2x???enxn 計(jì)算極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)secx?cosx1?x?1?x222 x?0求極限limx?0tanmxsinnx(m，n為非零常數(shù))計(jì)算極限limx?0a?21?x?1 計(jì)算極限limx?a?0x?x?a2計(jì)算極限在limx?0x?aln(a?x)?ln(a?x)?2lna(a?0)計(jì)算極限limx?01?cosx1?cosx2． 1(1?1tanx)xsinx422(a?0)計(jì)算極限limx?0xsinx計(jì)算極限limx?0(e?1)?1?x2(1?cosx)ln(1?x)limsinxxx???(A)1(B)?(C)0(D)不存在但不是無(wú)窮大 　　　　　　　　　　　　　　　答（）limxsinx??1x之值(A)?1(B)?0(C)??(D)不存在但不是無(wú)窮大　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limAtanx?B(1?cosx)Cln(1?2x)?D(1?e?x2x?0?1(其中A、B、C、D是非0常數(shù)))則它們之間的關(guān)系為(A)B?2D(B)B??2D(C)A?2C(C)A??2C　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）n設(shè)x?1計(jì)算極限lim(1?x)(1?x)(1?x)?(1?xn??242)設(shè)limxn?0及l(fā)imn??xn?1xn22n??2?a存在，試證明：a?1． 求lim(sin22?cos1)x x??xx計(jì)算極限limx?ax?(a?1)x?ax?a23(a?0)計(jì)算極限limx?2x?3x?3x?2x?x?2232 計(jì)算極限limx?0e?exxcosx2x?ln(1?x)計(jì)算極限xxx??limlim(coscos2?cosn)?x?0?222?n????r(0?r?1)，試證明liman?0． n??設(shè)有數(shù)列?an?滿足an?0及l(fā)iman?1annn??n??設(shè)有數(shù)列l(wèi)iman?0． n???an?滿足an?0且liman?r，(0?r?1)，試按極限定義證明：設(shè)limf(x)?A(A?0)，試用“???”語(yǔ)言證明limx?x0x?x0f(x)?A． 試問(wèn)：當(dāng)x?0時(shí)，?(x)?x?x0x?x0xsin21x，是不是無(wú)窮??？ x0的某去心鄰域，使得設(shè)limf(x)?A，limg(x)?B，且A?B,試證明：必存在在該鄰域?yàn)閒(x)?g(x)． 設(shè)f(x)?xsin1x，試研究極限lim1f(x)x?0 計(jì)算極限limx?2ln(1?332x?2)． arcsin(3x?4x?4)n?1?(?1)n?n?2設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為xn?n，則當(dāng)n??時(shí)，xn是(A)無(wú)窮大量(B)無(wú)窮小量(C)有界變量，但不是無(wú)窮小(D)無(wú)界變量，但不是無(wú)窮大 　答（）以下極限式正確的是(A)1xlim??0(1?x)x?e(B)xlim??0(1?1x)x?e?1(C)limx??(1?1x)x?e?1(D)limx??(1?1x)?x?0　　　　　　　　　　　　　　　　答（）設(shè)x1?10，xn?1?6?xn(n?1，2，?)，求limx??n． n ?eax?1設(shè)f(x)???x，當(dāng)x?0，且limf(x)?A??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?1(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(D)a可取任意實(shí)數(shù)且A?b?a答：()?ln(1?ax)設(shè)f(x)d??x，當(dāng)?x?0，且limf(x)?A，??b，當(dāng)x?0x?0則a，b，A之間的關(guān)系為(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?a(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)，A?b(C)a可取任意實(shí)數(shù)且a?b?A(D)a，b可取任意實(shí)數(shù)，而A僅取A?lna答：（）?1?cosax，當(dāng)x?0?2設(shè)f(x)??，且limf(x)?Axx?0?b，當(dāng)x?0?則a，b，A間正確的關(guān)系是(A)a，b可取任意實(shí)數(shù)(B)a，b可取任意實(shí)數(shù)(C)a可取任意實(shí)數(shù)(D)a可取任意實(shí)數(shù)A?a22aA?2a2 b?A?ab?A?22 答（）設(shè)有l(wèi)im?(x)?a，limf(?)?A，且在x0的某去心鄰域x?x0u?a內(nèi)復(fù)合函數(shù)f??(x)?有意義。試判定limf??(x)??A是否x?x0 成立。若判定成立請(qǐng)給出證明；若判定不成立，請(qǐng)舉出例子，并指明應(yīng)如何加強(qiáng)已知條件可使極限式成立。?x2?2x?b，當(dāng)x?1?設(shè)f(x)??　適合limf(x)?Ax?1x?1?a，當(dāng)x?1?則以下結(jié)果正確的是(A)僅當(dāng)a?4，b??3，A?4(B)僅當(dāng)a?4，A?4，b可取任意實(shí)數(shù)(C)b??3，A?4，a可取任意實(shí)數(shù)(D)a，b，A都可能取任意實(shí)數(shù)　　　　　　　　　　　　　　　答（）?1?bx?1　當(dāng)x?0?設(shè)f(x)??　且limf(x)?3，則xx?0?a　　　　　當(dāng)x?0?(A)b?3，a?3(B)b?6，a?3(C)b?3，a可取任意實(shí)數(shù)(D)b?6，a可取任意實(shí)數(shù)　　　　　　　　　　　答（）設(shè)?(x)?(1?ax)213 ?1，?(x)?e?ecosx，且當(dāng)x?0時(shí)?(x)~?(x)，試求a值。求limx??e?2ex2sinxx?x?x3e?4e． 設(shè)lim(x??x?2ax)?8，則a?__________x?a __．__． lim(1?3x)x?0?__________ 當(dāng)x?0時(shí)，在下列無(wú)窮小中與x不等價(jià)的是(A)1?cos2x(B)ln1?x(C)1?x222 ?x?1?x(D)e?e2x?2　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）當(dāng)x?0時(shí)，下列無(wú)窮小量中，最高階的無(wú)窮小是(A)ln(x?1?x)(B)1?xx?x22?1(C)tanx?sinx(D)e?e?2　　　　　　　　　　　　　　　　答（）計(jì)算極限limx?01?ex21?xn?12?cosx limx??3x?54?sin?_____________________ 5x?3x22計(jì)算極限limx?xnx?1???x?x?n x?1(x?1)n?1計(jì)算極限 lim(x?1)(3x?1)?(nx?1)x?1計(jì)算極限 lim(cosx??0x)?x ．討論極限limarctanx?11x?1的存在性。研究極限limarccotx?01的存在性。x研究極限limx??x?2x?3x?12． 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中，為無(wú)(A)sinxx(B)lnx(C)arctan窮大的是 11(D)arccotxx）答（lim1lnx?1x?1?________________?！按嬖谝徽麛?shù)N，使當(dāng)n?N時(shí)，恒有設(shè)an?0，且liman?0，試判定下述結(jié)論n??an?1?an”是否成立？ 若liman?A試討論liman是否存在？ n??n??設(shè)有數(shù)列 ?an? 滿足lim(an?1?an)?0，試判定能否由此得出n??極限liman存在的n??結(jié)論。設(shè)有數(shù)列?an?滿足ana?0；n?1?r，0?r?1，試證明liman?0 n??an設(shè)limf(x)g(x)x?x0存在，limg(x)存在，則x?x0x?x0limf(x)是否必存在？ limg(x)?0．若limf(x)?0，limx?x0f(x)g(x)x?x0?A?0，則是否必有x?x0 當(dāng)x??0時(shí)，下列變量中為無(wú)窮(A)1x2小量的是sin1x2(B)ln(x?1)1(C)lnx(D)(1?x)1x ?1答（）x?x0 設(shè)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A是常數(shù)），試證明 limg(x)f(x)f(x)g(x)?0．若limg(x)?0，且在x0的某去心鄰域內(nèi)g(x)?0，limx?x0x?x0?A，則limf(x)必等于0，為什么？x?x0 若limf(x)?A，limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)x?x0x?x0x?x0是否必不存在？若肯定不存在，請(qǐng)予證明，若不能肯定，請(qǐng)舉例說(shuō)明，并指出為何加強(qiáng)假設(shè)條件，使可肯定f(x)?g(x)的極限(x?x0時(shí))必不存在。若limf(x)??，limg(x)?A，試判定limf(x)?g(x)是否為無(wú)窮大？x?x0x?x0x?x0 設(shè)x?x0，f(x)??，g(x)?A，試證明lim?f(x)?g(x)???． x?x0設(shè)當(dāng)x?x0時(shí)，f(x)??，g(x)?A(A?0)，試證明limf(x)g(x)??． x?x0 設(shè)??lnx?1x，??arcctgx，則當(dāng)x???時(shí)(A)?~?(B)?與?是同階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小(C)?是比?高階的無(wú)窮小(D)?與?不全是無(wú)窮小 答：（）f(x)?1x?sin1x(0?x???)(A)當(dāng)x???時(shí)為無(wú)窮小(B)當(dāng)x??0時(shí)為無(wú)窮大(C)當(dāng)x?(0，??)時(shí)f(x)有界(D)當(dāng)x??0時(shí)f(x)不是無(wú)窮大，但無(wú)界．　　　　　　　　　　　　　　　答（）若f(x)?x2x?1?ax?b，當(dāng)x??時(shí)為無(wú)窮小，則(A)a?1，b??1(B)a?1，b?1(C)a??1，b??1(D)a??1，b?1　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?112n3?x?2???2)求lim()2 求lim(2n??nx??6?x?n?1n?n?2n?n?nn?2nlim()?____ n??n?1 1n??2n?1nlimen?en?e?e?2(A)1(B)e(C)e(D)e 　　　　　　　　　　答（）lim(1?2???n?n?? 1?2???(n?1))?____． x??0limxcos2x2(A)等于0;(B)等于2;.(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大 答（）設(shè)f(x)?1?sin，試判斷：xx;.(1)f(x)在(0，1)，內(nèi)是否有界(2)當(dāng)x??0時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大 設(shè)f(x)?xcosx，試判斷：(1)f(x)在0，???上是否有界(2)當(dāng)x???時(shí)，f(x)是否成為無(wú)窮大? 試證明limcosx?01x不存在。f(x)??(x)，且lim?(x)?0，試證明limf(x)?0 x?x0x?x0若在x0的某去心鄰域內(nèi)若在x0的某去心鄰域內(nèi) f(x)?g(x)，且limf(x)?A，limg(x)?B;試證明A?B． x?x0x?x0sinlimx?01x1x之值(A)等于1;(B)等于0;(C)為無(wú)窮大;(D)不存在，但不是無(wú)窮大.答（）設(shè)?(x)?1?x，?(x)?3?33x，則當(dāng)x?1時(shí)（）1?x等價(jià)無(wú)窮小;(A)?(x)與?(x)是同階無(wú)窮小，但不是(B)?(x)與?(x)是等價(jià)無(wú)窮小;;.(C)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小(D)?(x)是比?(x)高階的無(wú)窮小 32 答（）設(shè)limx?1x?ax?x?4?A，則必有x?1(A)a?2，A?5;(B)a?4，A??10;(C)a?4，A??6;(D)a??4，A?10.2 答（）1x?1x?1當(dāng)x?1時(shí)，f(x)?ex?1(A)等于2;(B)等于0;的極限(C)為?;(D)不存在但不是無(wú)窮大 設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?(1?ax)23.）答（2?1和?(x)?1?cosx滿足?(x)~?(x)．試確定a的值。求a，b使lim(x??23x?2x?12?ax?b)?1 設(shè)lim(3x?4x?7?ax?b)?0 , 試確定a，b之值。x???設(shè)x1?1，xn?1?設(shè)x1?4，xn?1?2xn?3(n?1，2，?)，求limxn n??2xn?3(n?1，2，??)，求limxn． n????1??計(jì)算數(shù)列極限lim?tan(?)? 計(jì)算極限limn(arctann??4n?n???設(shè)當(dāng)x?0，?(x)?設(shè)?(x)?x?2?x)a3nn?1?arctannn)n?11?x3?1?x33~Ax，試確定A及k． kx?2x?1，求A與K使limbx?(x)xkx????A(A?0)極限lim(1?x?0(a?0，b?0)的值為 bbbe(A)1．(B)ln(C)ea．(D)aa 答（）設(shè)limx?0xa222?212(a?0)，試確定a，b之值。?x(b?cosx)設(shè)lim(3x?x???ax?bx?1)?2，試確定a，b之值。2設(shè)limx?1x?ax?x?bx?1x???23?3，試確定a，b之值。計(jì)算極限lim(x?x?x?x)計(jì)算極限lim 研究極限limx?01?xsinx?cos2x xtanx2?2cosaxx(a?0)的存在性。limxn．n??計(jì)算極限limx?04?tanx?etanx4?sinxsinx?ex?0設(shè)x1?(0，2)，xn?1?2xn?xn．(n?1，2，??)，試證數(shù)列22?xn?收斂，并求極限n??設(shè)x1?0，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限limxn． 設(shè)x1?2，xn?1?2xn?xn(n?1，2，??)，試研究極限 2 limxn．n??設(shè)a1，b1是兩個(gè)函數(shù)，令n??n?ban?1?n??anbn，bn?1?n??an?bn2，(n?1，2，?)試證明： liman存在，limbn存在，且liman?limbn計(jì)算極限limecosx?e2x?0x 計(jì)算極限 lim?x?????x?x?x?x?x??x ?計(jì)算極限lim(1?x??若limxnynn??21x?2)xx?0，且xn?0，yn?0，則能否得出＂limxn?0及l(fā)imyn?0至少有一n??n??式成立＂的結(jié)論。設(shè)數(shù)列?xn?，?yn?都是無(wú)界數(shù)列，zn試判定：?zn?是否也必是無(wú)界數(shù)列。?xnyn，如肯定結(jié)論請(qǐng)給出證明，如否定結(jié)論則需舉出反例。31??計(jì)算極限limx?sinln(1?)?sinln(1?)? x??xx?? 1極限lim(cosx)x?x?02A．0；　B．　　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　答（）極限lime?ex?x2x?0x(1?x)的值為（）A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）極限limx?01?cos3x的值為（）xsin3x 123A．0；　B．；　C．；　D．．632 答（）下列極限中不正確的是tan3xsin2x2A．limC．limx?0?32cos；　B．limx??1?2x?1xx???2； x?1sin(x?1)x?1?2；D．limarctanxx???0．　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limln(1?x?x)?ln(1?x?x)x222x?0? A．0；　B．1；　C．2；　D．3．　　　　　　　　　　　　　答（）1極限lim(cosx)x?x?01A．0；　B．e2；　C．1；　D．e?12． 　　　　　　　　　　　　　　答（）當(dāng)x?0時(shí)，與x為等價(jià)無(wú)窮小量的是A．sin2x；　 B．ln(1?x)；C．1?x?1?x； D．x(x?sinx)． 答（）當(dāng)x?1時(shí)，無(wú)窮小量A．等價(jià)無(wú)窮小量；C．高階無(wú)窮小量； 當(dāng)x?0時(shí)，無(wú)窮小量1－x是無(wú)窮小量1?2xB．同階但非等價(jià)無(wú)窮小D．低階無(wú)窮小量．x?1的量； 答（n）m，n為常數(shù)，則數(shù)組2sinx?sin2x與mx等價(jià)，其中m，n）中m，n的值為 A．(2，3)；　B．(3，2)；　C．(1，3)；　D．(3，1)． 　答（）已知lim(1?kx1x?x?0)e，則k的值為A．1；　B．?1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）x極限lim(1?12x??2x)的值為A．e；　B．e?1；　C．e4；　D．e?14 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列等式成立的是A．lim(1?2x??x)2x?e2；　B．lim1xx??(1?x)2?e2；1 C．lim(1?x?221x?1x??x)?e；D．limx??(1?x)?e2．　　　　　　　　　　　　　　　　答（）1極限limx?0(1?2x)x?A．e；　B．1e；　C．e?2；　D．e2． 答（）極限lim(x?1?4值為（）x??x?1)x的A．e?2；　B．e2；　C．e?4；　D．e4． 　　　　　　　　　　　　　　答（）（?2x?1?極限lim??x???2x?1?2x?1的值是?12?2A．1；　B．e；　C．e ；　D．e． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限中存在的是A．limx?1x2x??；　B．lim11?e1xx?0；C．limxsinx??1x；　D．lim12?1xx?0 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）極限limtanx?sinxx1b3的值為12　D．?． x?0A．0；B．　C．　　　　　　　　　　　答（）極限limx??sinxx??? A．1；　B．0；　C．?1；　D．?．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知lima?cosxxsinxx?0?12，則a的值為 A．0；　B．1；　C．2；　D．?1．　　　　　　　　　　　　　　答（）已知limsinkxx(x?2)x?0??3，則k的值為32；　C．6；　D．?6． A．?3；　B．?　　　　　　　　　　　　　　　答（）x?1設(shè)lim(?ax?b)?0，則常數(shù)a，b的值所組成的數(shù)組x??x?1A．(1，0)；　B．(0，1)；　C．(1，1)；　D．(1，?1)． 答（）2(a，b)為 4x?3設(shè)f(x)??ax?b，若limf(x)?0，則x??x?1a，b的值，用數(shù)組（a，b）可表示為 2A．(4，?4)；　B．(?4，4)；　C．(4，4)；　D．(?4，?4)答（）2極限limx?6x?8x2?8x?12的值為x?2A．0；　B．1；　C．12；　D．2． 　　　　　　　　　　　　　　答（）下列極限計(jì)算正確的是A．limx2n；　n??1?x2n?1B．xlimx?sinx???x?sinx?1；C．limx?sinx　12x32n)n．x?0?0；D．limn??(1??e　　　　　　　　　　　　　　　　　答（3極限lim(xx2x??x2?1?x?1)的值為A．0；　B．1；　C．?1；　D．?． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）數(shù)列極限lim?(n2?n?n)的值為n?A．0；　B．12；　C．1；　D．不存在． 　　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?3x?cx???1，則C的值為x?11A．?1；　B．1；　C．2；　D．3． 　　　　　　　　　　　　　　答（）2已知limx?ax?61?x?的值為x?15，則aA．7；　B．?7　C．2；　D．?2． 答（））?ex?2，x?0設(shè)函數(shù)f(x)???1，x?0，則lim?x?0f(x)??x?cosx，x?0A．?1；　B．1；　C．0；　D．不存在． 答（）?1?cosx?，設(shè)f(x)??xx?0??x?1，則，?x?0?1?e1xA．lim?0f(x)?0；xB．lim?f(x)?lim?f(x)；x?0x?0C．lim?f(x)存在，lim?f(x)不存在； x?0x?0D．lim?f(x)不存在，limx?0x?0?f(x)存在． 答（）?tankx設(shè)f(x)???x，x?0，且limf(x)存在，則k的值為 ?x?x?3，x?0?0A．1；　B．2；　C．3；　D．4． 答（）下列極限中，不正確的是 1A．lim1)?4；B．limx?(x??0；x?3x?0?e1C．lim(1)x?0；D．limsin(x?1)?0．x?02x?1x 答（）若limf(x)?0，limg(x)?c?0(k?0)．x?0xkx?0xk?1 則當(dāng)x?0，無(wú)窮小f(x)與g(x)的關(guān)系是A．f(x)為g(x)的高階無(wú)窮小；B．g(x)為f(x)的高階無(wú)窮小； C．f(x)為g(x)的同階無(wú)窮??；D．f(x)與g(x)比較無(wú)肯定結(jié)論． 答（）當(dāng)x?0時(shí)，2sinx(1?cosx)與x2比較是（）A．岡階但不等價(jià)無(wú)窮?。? B．等價(jià)無(wú)窮?。籆．高階無(wú)窮?。? D．低階無(wú)窮?。? 答（）當(dāng)x?0時(shí)，sinx(1?cosx)是x的 A．岡階無(wú)窮小，但不是等價(jià)無(wú)窮小； B．等價(jià)無(wú)窮??； 3C．高階無(wú)窮小； D．低階無(wú)窮?。? 答（）設(shè)有兩命題： ?xn?單調(diào)且有下界，則?xn?必收斂；?yn?、?zn?滿足條件：yn?xn?zn，且?yn?，?zn?都有收斂，則命題“b”，若數(shù)列?xn?、數(shù)列?xn?必收斂命題“a”，若數(shù)列則A．“a”、“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確． 答（）設(shè)有兩命題： 命題甲：若命題乙：若則A．甲、乙都不成立； B．甲成立，乙不成立；C．甲不成立，乙成立； D．甲、乙都成立。答（）f(x)g(x)x?x0limf(x)、limg(x)都不存在，則x?x0x?x0lim?f(x)?x?x0g(x)?必不存在；x?x0limf(x)存在，而x?x0limg(x)不存在，則limf(x)?g(x)必不存在。設(shè)有兩命題： 命題“a”：若limf(x)?0，limg(x)存在，且g(x0)?0，則limx?x0x?x0x?x0?0；命題“b”：若limf(x)存在，limg(x)不存在。則x?x0x?x0x?x0lim(f(x)?g(x))必不存在。則A．“a”，“b”都正確； B．“a”正確，“b”不正確；C．“a”不正確，“b”正確； D．“a”，“b”都不正確。x?x9x?x0 答（）x?x0若lim,f(x)??，limg(x)?0，則limf(x)?g(x)A．必為無(wú)窮大量C．必為非零常數(shù);B．必為無(wú)窮小量;D．極限值不能確定 答（n??;．）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列?an?，?bn?，且lim(bn?an)?0，則;相等;?an?，?bn?必都收斂，且極限相等A．?an?，?bn?必都收斂，但極限未必B．?an?收斂，而C．?bn?發(fā)散;?an?和?bn?可能都發(fā)散，也可能都D． 收斂．）答（下列敘述不正確的是A．無(wú)窮小量與無(wú)窮大量B．無(wú)窮小量與有界量的C．無(wú)窮大量與有界量的D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量 的商為無(wú)窮小量；積是無(wú)窮小量；積是無(wú)窮大量；的積是無(wú)窮大量。答（）下列敘述不正確的是A．無(wú)窮大量的倒數(shù)是無(wú)B．無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)C．無(wú)窮小量與有界量的D．無(wú)窮大量與無(wú)窮大量 x?x0x?x0窮小量；窮大量；乘積是無(wú)窮小量；的乘積是無(wú)窮大量。答（）是 若limf(x)??，limg(x)??，則下式中必定成立的A．limC．limx?x0?f(x)?f(x)g(x)g(x)???;B．limx?x0?f(x)?g(x)??0;x?x0?c?0;D．limkf(x)??，(k?0)．x?x0 答（）1設(shè)函數(shù)f(x)?xcos，則當(dāng)x??時(shí)，f(x)是 xA．有界變量； C．無(wú)窮小量； x?x0B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量D．無(wú)窮大量． 答（；）若limf(x)?A(A為常數(shù)），則當(dāng)x?x0時(shí)，函數(shù)f(x)?A是 A．無(wú)窮大量;B．無(wú)界，但非無(wú)窮大量C．無(wú)窮小量;D．有界，而未必為無(wú)窮 設(shè)函數(shù)f(x)?xsin1，則當(dāng)x?0時(shí)，f(x)為 xA．無(wú)界變量;B．無(wú)窮大量;C．有界，但非無(wú)窮小量 f(x)在點(diǎn)x0處有定義是極限;小量 ． 答（）;D．無(wú)窮小量． 答（x?x0）limf(x)存在的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非必要又非充分條 答（件．）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿足liman?1ann???0，則 A．liman?0;B．liman?C?0;n??n???an?的收放性不能確定．C．liman不存在;D．n?? 答（）若liman?A(A?0)，則當(dāng)n充分大時(shí)，必有n??A．a(chǎn)n?A； B．a(chǎn)n?A；C．a(chǎn)An?2； D．a(chǎn)An?2． 答（）數(shù)列?an?無(wú)界是數(shù)列發(fā)散的 A．必要條件;B．充分條件;C．充分必要條件;D．既非充分又非必要條 答（下列敘述正確的是 A．有界數(shù)列一定有極限；B．無(wú)界數(shù)列一定是無(wú)窮大量；C．無(wú)窮大數(shù)列必為無(wú)界數(shù)列； D．無(wú)界數(shù)列未必發(fā)散 　答（）件．）

第三篇：高等數(shù)學(xué)-極限

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標(biāo)簽： 分類： 數(shù)學(xué)問(wèn)題解答

雜談 知識(shí)/探索

【摘 要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)?？冢艺f(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？冢瑪?shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。

（本文著作權(quán)歸個(gè)人所有，如需轉(zhuǎn)載請(qǐng)聯(lián)系本人。）

第四篇：高等數(shù)學(xué)極限復(fù)習(xí)題

高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料二

川汽院專升本極限復(fù)習(xí)題

一 極限計(jì)算

二 兩個(gè)重要極限

三 用無(wú)窮小量和等價(jià)

第五篇：高等數(shù)學(xué)極限總結(jié)

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學(xué)》教學(xué)中對(duì)于極限部分的要求很高，這主要是因?yàn)槠涮厥獾牡匚粵Q定的。然而極限部分絕大部分的運(yùn)算令很多從中學(xué)進(jìn)入高校的學(xué)生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運(yùn)算過(guò)程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對(duì)學(xué)習(xí)者有所幫助?！娟P(guān)鍵詞】高等數(shù)學(xué) 極限 技巧

《高等數(shù)學(xué)》極限運(yùn)算技巧

《高等數(shù)學(xué)》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對(duì)于剛?cè)敫咝５膶W(xué)生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學(xué)”向“高等數(shù)學(xué)”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來(lái)講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當(dāng)函數(shù)的變量具有某種變化趨勢(shì)（這種變化趨勢(shì)是具有唯一性），那么函數(shù)的應(yīng)變量同時(shí)具有一種趨勢(shì)，而且這種趨勢(shì)是與自變量的變化具有對(duì)應(yīng)性。通俗的來(lái)講，函數(shù)值因?yàn)楹瘮?shù)變量的變化而無(wú)限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時(shí)的極限！

從數(shù)學(xué)式子上來(lái)講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個(gè)問(wèn)題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運(yùn)算技巧

我在上課時(shí)，為了讓學(xué)生好好參照我的結(jié)論，我夸過(guò)這樣一個(gè)?？冢艺f(shuō)，只要你認(rèn)真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決。現(xiàn)在想來(lái)這不是什么?？?，數(shù)學(xué)再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關(guān)鍵是技巧性。我記得blog中我做過(guò)一道極限題，當(dāng)時(shí)有網(wǎng)友驚呼說(shuō)太討巧了！其實(shí)不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!

我們看到一道數(shù)學(xué)題的時(shí)候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時(shí)可以直接套用的。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個(gè)我不細(xì)說(shuō)，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學(xué)習(xí)者都很清楚不定型的重要性，確實(shí)。那么下面詳細(xì)說(shuō)明一些注意點(diǎn)以及技巧。

第一，所有的含有無(wú)窮小的，首先要想到等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檫@是最能簡(jiǎn)化運(yùn)算的。等價(jià)代換的公式主要有六個(gè)：

需要注意的是等價(jià)物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運(yùn)算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問(wèn)題的話，必須要等價(jià)代換的時(shí)候，必須拆項(xiàng)運(yùn)算，不過(guò)，需要說(shuō)明，拆項(xiàng)的時(shí)候要小心，必須要保證拆開(kāi)的每一項(xiàng)極限都存在。此外等價(jià)無(wú)窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強(qiáng)調(diào)在運(yùn)算的之前，檢驗(yàn)形式，是無(wú)窮小的形式才能等價(jià)代換。

當(dāng)然在一些無(wú)窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無(wú)窮大的倒數(shù)是無(wú)窮小。這需要變通的看問(wèn)題。

在無(wú)窮小的運(yùn)算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無(wú)窮小比無(wú)窮小。比較常見(jiàn)的采用洛必答法則的是無(wú)窮小乘無(wú)窮大的情況。(特別說(shuō)明無(wú)窮小乘無(wú)窮大可以改寫為無(wú)窮小比無(wú)窮小或者無(wú)窮大比無(wú)窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來(lái)進(jìn)行）。

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運(yùn)算形式），可以找高次項(xiàng)，提出高次項(xiàng)，這樣其他一切項(xiàng)就都是無(wú)窮小了，只有高次項(xiàng)是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項(xiàng)都是“0”，原來(lái)的x都是常數(shù)1了。當(dāng)然如果分式形式中，只有分子中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限不存在（是無(wú)窮大），如果只有分母中含有高次項(xiàng)，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項(xiàng)，我們可以直接去看高次項(xiàng)的系數(shù)，基本原理其實(shí)就是上面所說(shuō)的提高次項(xiàng)。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無(wú)法用提高次項(xiàng)的方法（提高次項(xiàng)是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達(dá)也是一種很好的方法。需要強(qiáng)調(diào)的是洛必達(dá)是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴(yán)格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時(shí)候我們優(yōu)先采用其他的方法來(lái)解決，這主要是考慮運(yùn)算量的問(wèn)題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運(yùn)算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項(xiàng)解。（3）“ ”形式

我的高等數(shù)學(xué) 學(xué)我所學(xué)，想我所想

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因?yàn)闊o(wú)窮大與無(wú)窮小之間的倒數(shù)關(guān)系，所以這種轉(zhuǎn)換時(shí)比較簡(jiǎn)單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗(yàn)形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對(duì)數(shù)消指數(shù)。簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來(lái)解決了。比如上面那道題用取對(duì)數(shù)消指數(shù)的方法來(lái)解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點(diǎn)不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運(yùn)算思維的培養(yǎng)

極限運(yùn)算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時(shí)候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學(xué)習(xí)事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對(duì)做題起到指導(dǎo)性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運(yùn)算中體會(huì)，多做題多總結(jié)。