第一篇：極限在高等數(shù)學中的地位

極限在高等數(shù)學中的地位

摘要：1821年柯西(1789―1857）在《分析教程》中，對極限概念的基本有了明確的敘述，并以極限概念為基礎，對“無窮小量”、級無窮數(shù)的“和”等概念給出了比較明確的定義。后經(jīng)過波爾察諾、魏爾斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又進一步把極限論建立在嚴格的實數(shù)理論基礎上，并且形成了描述極限過程的ε-δ語言。微積分理論基礎的嚴密化，使微積分躍進和擴展為現(xiàn)代數(shù)學的重要領域。本文將著重討極限思想在高等數(shù)學中的廣泛應用，從而體現(xiàn)極限在高等數(shù)學中的地位。

關鍵詞：極限的定義，極限在高等數(shù)學中的應用，極限思想對數(shù)學發(fā)展的影響。

Position limit in Higher Mathematics

Abstract: in 1821, Cauchy(1789-1857)in the “analysis” of the concept of limit, the basic with a clear narrative, and taking the limit concept as the foundation, to “infinitesimal”, infinite number of concepts such as “and” gives a clear definition.After the excellent work, Weierstrass, Dai Dejin Cantor Bolzano, et al., and further the limit theory establishment in the real theory on the basis of strict, and the formation of the description of limit process epsilon Delta language.Rigorous calculus theory, the calculus Yuejin and extended important field of modern mathematics.Widely used in this paper will focus on pleasing limit thought in higher mathematics, which reflects the position limit in higher mathematics.Keywords: definition of limit, limit in higher mathematics, limit effects of ideas on the development of mathematics.1 極限的定義

意即

使

不等式|Xn-a|<ε刻劃了Xn與a的無限接近程度，ε愈小，表示接近得愈好；而正數(shù)ε可以任意地小，說明Xn與a可以接近到任何程度。然而，盡管ε有其任意性，但一經(jīng)給出正整數(shù)N，ε就暫時地被確定下來，以便依靠它來求出ε，又ε既是任意小的正數(shù)，那么ε/2,ε的平方等等同樣也是任意該定義常稱為數(shù)列極限的 ε—N定義。

函數(shù)極限：分為x→∞,x→+∞,x→-∞,x→Xo,，運用ε-δ定義，以x→Xo，f(x)在點Xo 以A為極限的定義是： 對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么?。?，總存在正數(shù)δ，使得當x滿足不等式0<|x-x。|<δ 時，對

得

小的正數(shù)，因此定義中不等式|Xn-a|<ε中的 ε可用ε/2,ε的平方等來代替。同時，正由于ε是任意小正數(shù)，我們可限定ε小于一個確定的正數(shù)．另外，定義1中的Xn-a|<ε也可改寫成Xn-a|≦ε。數(shù)列極限與函數(shù)極限的定義

數(shù)列極限：設 {Xn} 為實數(shù)列，L 為定數(shù)．若對任給的正數(shù) ε，總存在正整數(shù)N，使得當 n>N 時有∣Xn-a∣<ε 則稱數(shù)列{Xn} 收斂于L，定數(shù) L稱為數(shù)列 {Xn} 的極限，并記作，或Xn→L（n→∞）讀作“當

n 趨于無窮大時，{Xn} 的極限等于 或 趨于 L”。若數(shù)列 {Xn} 沒有極限，則稱 {Xn} 不收斂，或稱 {Xn} 為發(fā)散數(shù)列。應的函數(shù)值f(x)都滿足不等式： |f(x)-A|<ε，那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當 x→x。時的極限。極限在高等數(shù)學中的應用

3.1極限在微分，積分中的體現(xiàn)： 積分定義：設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，將區(qū)間[a,b]分成n個子區(qū)間[a,x0],(x0,x1],(x1,x2],?,(xi,b]，可知各區(qū)間的長度依次是：△x1=X0-a，△x2=X1-x0,?，△xi=b-xi.在每個子區(qū)間（xi-1,xi）任取一點ξi(i=1,2,?,n），作和式（見右下圖），設λ=max{△x1，△x2,?，△xi}(即λ屬于最大的區(qū)間長度），則當λ→0時，該和式無限接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]的定積分，其中：a叫做積分下限，b叫做積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x 叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積表達式，∫ 叫做積分號。

微分定義： 設函數(shù)y = f(x)在x.的鄰域內(nèi)有定義，x0及x0 + Δx在此區(qū)間內(nèi)。如果函數(shù)的增量Δy = f(x0 + Δx)? f(x0)可表示為 Δy = AΔx0 + o(Δx0)（其中A是不依賴于Δx的常數(shù)），而o(Δx0)是比Δx高階的無窮小，那么稱函數(shù)f(x)在點x0是可微的，且AΔx稱作函數(shù)在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即dy = AΔx。

通常把自變量x的增量 Δx稱為自變量的微分，記作dx，即dx = Δx。于是函數(shù)y = f(x)的微分又可記作dy = f'(x)dx。函數(shù)的微分與自變量的微分之商等于該函數(shù)的導數(shù)。因此，導數(shù)也叫做微商。應用實例：已知方法，就其微分解

：，應用極限極限思想

在剛才的討論中我們看到，無論是微分還是積分的定義，都用到了極限的思想，即當函數(shù)定義域內(nèi)的某一變量，以一個非常非常小的值變化時，討論函數(shù)的各種變化。應用極限思想，形成了高等數(shù)學當中的微商、積分等互逆性計算。歸納導數(shù)、積分在極限思想的運用當中有以下共同特性：分割、近似及取極限。以上共同過程均是在分割并且細小化之后，應用中等數(shù)學之中的常量關系來處理高等數(shù)學微積分當中的變量關系問題，并通過極限思想以降低誤差，讓無法解決的無規(guī)律變化問題能夠聯(lián)系到極限思想，從而讓所計算出來的結果更加精確，這也就為解決問題提出了一種新思維，即應用運動與變化之方式來處理問題，從而展示出極限思想深刻的辯證性。總結

極限思想在很久的古代既已經(jīng)產(chǎn)生，并在近代的微分和積分的定義,應用中得到了廣泛地展現(xiàn)。

(1)極限的精確定義對微積分的定義有重大意義。

(2)極限思想是微積分的基本思想。

(3)極限是高等數(shù)學研究基本問題的基

礎工具。

(4)極限的分析方法具有極大的實用性，是架立在抽象與實體，巨大與極小之間的一 座重要橋梁。6 [參考文獻] [1]施紅英.對微積分“極限”思想方法教學的思考[J].甘肅廣播電視大學學報，2005（9)..[1] Shi Hongying.Thinking on the teaching of calculus “l(fā)imit” thinking method [J].Journal of Gansu Radio and Television University, 2005(9)[2]葉 林.極限思想的發(fā)展與微積分的建立[J].內(nèi)蒙古民族大學學報(自然科學版)，2008.[2] leaf forest.Develop and calculus limit theory [J].Journal of Inner Mongolia University for the Nationalities(NATURAL SCIENCE EDITION), 2008 [3]翁祖蔭;;關于黎曼—斯蒂吉司積分的乘積型求積公式[J];浙江大學學報(工學版);1980年03期.[3] Weng heritage;Riemann Stieltjes integrals;a product type quadrature formula [J];Journal of Zhejiang University(Engineering and Technology Edition);1980 03 period [4]張開菊;;關于極限若干計算方法的研究[J];新課程(教研);2011年08期.[4] Zhang Kaiju;[J];Study on several methods for computing the limit;the new curriculum(Research);2011 08 period [5]丁進忠;;微元問題的處理方法[J];物理通報;2011年09期.[5] Ding Jinzhong;processing method;micro problem [J];physics Bulletin;2011 09 period

第二篇：高等數(shù)學-極限

《高等數(shù)學》極限運算技巧

(2009-06-02 22:29:52)轉(zhuǎn)載▼ 標簽： 分類： 數(shù)學問題解答

雜談 知識/探索

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助?！娟P鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個海口，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？冢瑪?shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如： 這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“

”，然后選用公式，再湊出公式的形

”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

（本文著作權歸個人所有，如需轉(zhuǎn)載請聯(lián)系本人。）

第三篇：高等數(shù)學極限復習題

高等數(shù)學復習資料二

川汽院專升本極限復習題

一 極限計算

二 兩個重要極限

三 用無窮小量和等價

第四篇：高等數(shù)學極限總結

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

【摘要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個?？冢艺f，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么海口，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。（3）“ ”形式

我的高等數(shù)學 學我所學，想我所想

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式，最后直接套用公式。

這

”，然后選用公式，再湊出公式的形第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。

第五篇：高等數(shù)學極限總結

【摘 要】《高等數(shù)學》教學中對于極限部分的要求很高，這主要是因為其特殊的地位決定的。然而極限部分絕大部分的運算令很多從中學進入高校的學生感到困窘。本文立足教材的基本概念闡述，著重介紹極限運算過程中極具技巧的解決思路。希望以此文能對學習者有所幫助。

【關鍵詞】高等數(shù)學 極限 技巧

《高等數(shù)學》極限運算技巧

《高等數(shù)學》的極限與連續(xù)是前幾章的內(nèi)容，對于剛入高校的學生而言是入門部分的重要環(huán)節(jié)。是“初等數(shù)學”向“高等數(shù)學”的起步階段。

一，極限的概念

從概念上來講的話，我們首先要掌握逼近的思想，所謂極限就是當函數(shù)的變量具有某種變化趨勢（這種變化趨勢是具有唯一性），那么函數(shù)的應變量同時具有一種趨勢，而且這種趨勢是與自變量的變化具有對應性。通俗的來講，函數(shù)值因為函數(shù)變量的變化而無限逼近某一定值，我們就將這一定值稱為該函數(shù)在變量產(chǎn)生這種變化時的極限！

從數(shù)學式子上來講，逼近是指函數(shù)的變化，表示為。這個問題不再贅述，大家可以參考教科書上的介紹。

二，極限的運算技巧

我在上課時，為了讓學生好好參照我的結論，我夸過這樣一個?？?，我說，只要你認真的記住這些內(nèi)容，高數(shù)部分所要求的極限內(nèi)容基本可以全部解決?，F(xiàn)在想來這不是什么?？?，數(shù)學再難也是基本的內(nèi)容，基本的方法，關鍵是技巧性。我記得blog中我做過一道極限題，當時有網(wǎng)友驚呼說太討巧了！其實不是討巧，是有規(guī)律可循的！今天我寫的內(nèi)容希望可以對大家的學習有幫助!

我們看到一道數(shù)學題的時候，首先是審題，做極限題，首先是看它的基本形式，是屬于什么形式采用什么方法。這基本上時可以直接套用的。

1，連續(xù)函數(shù)的極限

這個我不細說，兩句話，首先看是不是連續(xù)函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)的直接帶入自變量。

2，不定型

我相信所有學習者都很清楚不定型的重要性，確實。那么下面詳細說明一些注意點以及技巧。

第一，所有的含有無窮小的，首先要想到等價無窮小代換，因為這是最能簡化運算的。等價代換的公式主要有六個：

需要注意的是等價物窮小代換是有適用條件的，即：在含有加減運算的式子中不能直接代換，在部分式子的乘除因子也不能直接代換，那么如果一般方法解決不了問題的話，必須要等價代換的時候，必須拆項運算，不過，需要說明，拆項的時候要小心，必須要保證拆開的每一項極限都存在。

此外等價無窮小代換的使用，可以變通一些其他形式，比如：

等等。特別強調(diào)在運算的之前，檢驗形式，是無窮小的形式才能等價代換。

當然在一些無窮大的式子中也可以去轉(zhuǎn)化代換，即無窮大的倒數(shù)是無窮小。這需要變通的看問題。

在無窮小的運算中，洛必答法則也是一種很重要的方法，但是洛必答法則適用條件比較單一，就是無窮小比無窮小。比較常見的采用洛必答法則的是無窮小乘無窮大的情況。(特

別說明無窮小乘無窮大可以改寫為無窮小比無窮小或者無窮大比無窮大的形式，這根據(jù)做題的需要來進行）。

第二，在含有∞的極限式中，一般可分為下面幾種情況：

（1），“∞/∞ ”形式

如果是冪函數(shù)形式的（包含冪函數(shù)四則運算形式），可以找高次項，提出高次項，這樣其他一切項就都是無窮小了，只有高次項是常數(shù)。比如：

，這道題中，可以看到提出最高次x（注意不是）其他項都是“0”，原來的x都是常數(shù)1了。當然如果分式形式中，只有分子中含有高次項，那么該極限式極限不存在（是無窮大），如果只有分母中含有高次項，那么該極限式極限為0，如果分子分母都含有高次項，我們可以直接去看高次項的系數(shù)，基本原理其實就是上面所說的提高次項。比如上面的例子，可以直接寫1/2。

如果不是純冪函數(shù)形式，無法用提高次項的方法（提高次項是優(yōu)先使用的方法），使用洛必達也是一種很好的方法。需要強調(diào)的是洛必達是一種解決“∞/∞ ”或“0/0 ”的基本方法，它的嚴格限制形式只有這兩種，所以比較好觀察。但是多數(shù)時候我們優(yōu)先采用其他的方法來解決，這主要是考慮運算量的問題。

（2），“∞-∞ ”形式

“ ∞-∞”形式不能直接運算，需要轉(zhuǎn)換形式，即轉(zhuǎn)換成“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式，基本解法同上。比如：

這道題是轉(zhuǎn)換形式之后是“∞/∞ ”的形式，提高次項解。

（3）“ ”形式

這也是需要轉(zhuǎn)換的一種基本形式。因為無窮大與無窮小之間的倒數(shù)關系，所以這種轉(zhuǎn)換時比較簡單也是比較容易解決的。轉(zhuǎn)換之后的形式也是“∞/∞ ”或“0/0 ”的形式。

第三，“ ”

這種形式的解決思路主要有兩種。

第一種是極限公式，這種形式也是比較直觀的。比如：

這道題的基本接替思路是，檢驗形式是“式。

”，然后選用公式，再湊出公式的形式，最后直接套用公第二種是取對數(shù)消指數(shù)。簡單來說，“ ”形式指數(shù)的存在是我們解題的主要困難。那么我們直接消掉指數(shù)就可以采用其他方法來解決了。比如上面那道題用取對數(shù)消指數(shù)的方法來解，是這樣的：

可以看出盡管思路切入點不一樣，但是這兩種方法有異曲同工之妙。

三，極限運算思維的培養(yǎng)

極限運算考察的是一種基本能力，所以在做題或者看書的時候依賴的是基本概念和基本方法。掌握一定的技巧可以使學習事半功倍。而極限思維的培養(yǎng)則是對做題起到指導性的意義。如何培養(yǎng)，一方面要立足概念，另一方面則需要在具體的運算中體會，多做題多總結。