大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練一（極限）

一、計(jì)算

解：因?yàn)?/p>

原式

又因?yàn)?/p>

所以。

二、計(jì)算

解：因?yàn)?/p>

所以。

三、計(jì)算

解：設(shè)，則

因?yàn)?，所以?/p>

四、計(jì)算

解：因?yàn)?，所?/p>

五、設(shè)數(shù)列定義如下

證明：極限。

證明：方法一、考慮函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)。

由此可得時(shí)，在上的最大值為，且在是遞增的。所以

……

……

……

……

由于，所以數(shù)列是單調(diào)有界的，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得存在。顯然。

現(xiàn)證明，用反證法證明，設(shè)，且，取，因?yàn)?，所以存在整?shù)，當(dāng)時(shí)有

由此可得正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂；

另一方面，由，級(jí)數(shù)發(fā)散，由比較判別法，正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，這是一個(gè)矛盾，所以。

方法二、考慮函數(shù)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)。

由此可得時(shí)，在上的最大值為，且在是遞增的。所以

……

……

……

……

由夾逼準(zhǔn)則可得，又因?yàn)?/p>

所以數(shù)列是單調(diào)遞增的，利用斯托爾茨定理。

六、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，且在每一個(gè)有限區(qū)間上是有界的，如果，證明：

證明：對(duì)于任取的，因?yàn)椋源嬖诋?dāng)時(shí)，有

取，令，則有

因?yàn)?/p>

……

……

所以

由于在每一個(gè)有限區(qū)間上是有界的，所以存在，當(dāng)時(shí)有

取，當(dāng)時(shí)有

由此可得。

七、