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      大學 高等數(shù)學 競賽訓(xùn)練 極限

      2020-12-11 03:40:01下載本文作者:會員上傳
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      大學生數(shù)學競賽訓(xùn)練一(極限)

      一、計算

      解:因為

      原式

      又因為

      所以。

      二、計算

      解:因為

      所以。

      三、計算

      解:設(shè),則

      因為,所以。

      四、計算

      解:因為,所以

      五、設(shè)數(shù)列定義如下

      證明:極限。

      證明:方法一、考慮函數(shù),因為,當時。

      由此可得時,在上的最大值為,且在是遞增的。所以

      ……

      ……

      ……

      ……

      由于,所以數(shù)列是單調(diào)有界的,由單調(diào)有界準則可得存在。顯然。

      現(xiàn)證明,用反證法證明,設(shè),且,取,因為,所以存在整數(shù),當時有

      由此可得正項級數(shù)收斂;

      另一方面,由,級數(shù)發(fā)散,由比較判別法,正項級數(shù)發(fā)散,這是一個矛盾,所以。

      方法二、考慮函數(shù),因為,當時。

      由此可得時,在上的最大值為,且在是遞增的。所以

      ……

      ……

      ……

      ……

      由夾逼準則可得,又因為

      所以數(shù)列是單調(diào)遞增的,利用斯托爾茨定理。

      六、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,且在每一個有限區(qū)間上是有界的,如果,證明:

      證明:對于任取的,因為,所以存在當時,有

      取,令,則有

      因為

      ……

      ……

      所以

      由于在每一個有限區(qū)間上是有界的,所以存在,當時有

      取,當時有

      由此可得。

      七、

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