大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練一(極限)
一、計(jì)算
解:因?yàn)?/p>
原式
又因?yàn)?/p>
所以。
二、計(jì)算
解:因?yàn)?/p>
所以。
三、計(jì)算
解:設(shè),則
因?yàn)?,所以?/p>
四、計(jì)算
解:因?yàn)?,所?/p>
五、設(shè)數(shù)列定義如下
證明:極限。
證明:方法一、考慮函數(shù),因?yàn)?,?dāng)時(shí)。
由此可得時(shí),在上的最大值為,且在是遞增的。所以
……
……
……
……
由于,所以數(shù)列是單調(diào)有界的,由單調(diào)有界準(zhǔn)則可得存在。顯然。
現(xiàn)證明,用反證法證明,設(shè),且,取,因?yàn)?,所以存在整?shù),當(dāng)時(shí)有
由此可得正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂;
另一方面,由,級(jí)數(shù)發(fā)散,由比較判別法,正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散,這是一個(gè)矛盾,所以。
方法二、考慮函數(shù),因?yàn)?,?dāng)時(shí)。
由此可得時(shí),在上的最大值為,且在是遞增的。所以
……
……
……
……
由夾逼準(zhǔn)則可得,又因?yàn)?/p>
所以數(shù)列是單調(diào)遞增的,利用斯托爾茨定理。
六、設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義,且在每一個(gè)有限區(qū)間上是有界的,如果,證明:
證明:對(duì)于任取的,因?yàn)椋源嬖诋?dāng)時(shí),有
取,令,則有
因?yàn)?/p>
……
……
所以
由于在每一個(gè)有限區(qū)間上是有界的,所以存在,當(dāng)時(shí)有
取,當(dāng)時(shí)有
由此可得。
七、