第一篇：高等數(shù)學(xué)與生活

高等數(shù)學(xué)與生活

摘要：

生活與數(shù)學(xué)截然是一對包容與包庇的一對詞語，生活處處離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)存在于生活的每一處。運動與數(shù)學(xué)，思考與數(shù)學(xué)，行為與數(shù)學(xué)等等。

關(guān)鍵詞：運動思考行為

內(nèi)容：物質(zhì)運動是一個物質(zhì)信息傳遞的過程，在傳遞過程中形成人類未知的圖案或其它跡象，我以為是正常的。物質(zhì)運動其實也是個空間運動的問題，只是空間太大時人類無法了解，太小時人類也無法了解而已。

所以，空間哲學(xué)是通向未知空間的唯一途徑。

空間哲學(xué)如果想得太過遙遠，人類會視其為瘋子，而成為歷史的、比較遙遠的空間哲學(xué)則被視為封建迷信。兩者都是人類弱智的表現(xiàn)。比如說算卦，人們更多的把此說成是迷信，但其實，算卦是空間偶合的編序史。具體的說，算卦就是一個模擬空間運動圖像排序的方法?？臻g運動的偶合點，是通過時間呈現(xiàn)出來的，沒有時間，空間偶合現(xiàn)象就無法呈現(xiàn)。但是，沒有空間運動就沒有時間，所以，我一直認為時間因空間運動而存在。換言之，時間是空間運動時空間差的尺度。沒有時間，空間差也就消失了。

當物質(zhì)的空間速度超過物質(zhì)質(zhì)量數(shù)倍時，物質(zhì)質(zhì)量消失，當物質(zhì)形成超大群體，而物質(zhì)質(zhì)量又完全消失時，就形成了宇宙旋窩。這個旋窩，我猜想就是科學(xué)家所說的黑洞。

另一種物質(zhì)運動，可能更精微，也更不被世人接受，這就是人類的思維。

一般認為，水、陽光、糧食和性，是人類生存的必備條件，其實，除此之外還有一個十分關(guān)鍵的條件，即，人類良知。世界各國人民尊崇毛澤東的根本原因，在于毛澤東的所思所想其立足點都是捍衛(wèi)人類良知。所以，反毛者必是反人類良知者，而反人類良知，是高智慧人群中跌入魔界，也即喪失大智慧，陷入欲望為唯一需求的少數(shù)人。人類思維的物質(zhì)運動，同樣會參與到宇宙間的物質(zhì)運動中去，并通過各種不同的自然現(xiàn)象體現(xiàn)出來。這也是被今人視為封建迷信的“天有祥瑞，帝必效之；天有災(zāi)異，帝宜撫民”的原因。人類思維的物質(zhì)運動，也是一個積累過程。所以，治國的根本在于如何調(diào)整人心這個巨大的物質(zhì)場，而不是助推人心物質(zhì)場的巨變。

另外，我以為，光線的彎曲與變形，是空間物質(zhì)運動過程中的必然現(xiàn)象。

宇宙空間的發(fā)散式非規(guī)則對稱運動，如果將來有一天有天才的數(shù)學(xué)家出現(xiàn)，把空間哲學(xué)變成數(shù)學(xué)模型，其功至偉，趕得上十個愛因斯坦。因為，人類只有把空間哲學(xué)變成數(shù)學(xué)模型，才具有實驗的可能性。所以，我們認為，空間哲學(xué)是人類智慧的擴展，數(shù)學(xué)模型是新智慧變成現(xiàn)實的途徑。

我們同時認為，中國一旦有對歷史文化，特別是中國前三十年歷史和十年文革，重新認識的自覺，而不是淺薄到只會簡單否定或者肯定，中國文化與科學(xué)的發(fā)展，必將迎來革命性發(fā)展的潮流，引領(lǐng)世界科學(xué)技術(shù)的進步。

但是，人類歷史證明，精英往往是弱智的代名詞，因為，精英的無恥與卑鄙使精英成為強者，精英的自私使精英變得弱智。所以，中國只有出現(xiàn)無私的精英集團，才可能步入科學(xué)發(fā)展的快車道。但是，無私的精英集團人民大眾管出來的，并非是天生的。沒有人民大眾的管束，無私的精英也可能墮入自私的泥淖，這就是文革，也就是大眾民主的要義所在。

精英逐利，必然禍國殃民，民不當家，精英定然逐利。

第二篇：高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)

高等代數(shù)與高等數(shù)學(xué)的區(qū)別

高等代數(shù)、數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)中更細的數(shù)學(xué)研究的分類。高等代數(shù)是代數(shù)方向的究，而數(shù)學(xué)分析使用極限方法研究函數(shù)特性的數(shù)學(xué)。而高等數(shù)學(xué)是對非數(shù)學(xué)專業(yè)的人學(xué)習(xí)的區(qū)別于初等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)，應(yīng)當包括高等代數(shù)和數(shù)學(xué)分析部分。

高等代數(shù)是代數(shù)學(xué)發(fā)展到高級階段的總稱，它包括許多分支?，F(xiàn)在大學(xué)里開設(shè)的高等代數(shù)，一般包括兩部分：線性代數(shù)初步、多項式代數(shù)。高等代數(shù)在初等代數(shù)的基礎(chǔ)上研究對象進一步的擴充，引進了許多新的概念以及與通常很不相同的量，例如最基本的有集合、向量和向量空間等。這些量具有和數(shù)相類似的運算的特點，不過研究的方法和運算的方法都更加繁復(fù)。

集合是具有某種屬性的事物的全體；向量是除了具有數(shù)值還同時具有方向的量；向量空間也叫線性空間，是由許多向量組成的并且符合某些特定運算的規(guī)則的集合。向量空間中的運算對象已經(jīng)不只是數(shù)，而是向量了，其運算性質(zhì)也有很大的不同了。

其研究對象不僅是數(shù)，也可能是矩陣、向量、向量空間的變換等，對于這些對象，都可以進行運算，雖然也叫做加法或乘法，但是關(guān)于數(shù)的基本運算定律，有時不再保持有效。因此代數(shù)學(xué)的內(nèi)容可以概括稱為帶有運算的一些集合，在數(shù)學(xué)中把這樣的一些集合，叫做代數(shù)系統(tǒng)。比較重要的代數(shù)系統(tǒng)有群論、環(huán)論、域論。群論是研究數(shù)學(xué)和物理現(xiàn)象的對稱性規(guī)律的有力工具?，F(xiàn)在群的概念已成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的，具有概括性的一個數(shù)學(xué)的概念，廣泛應(yīng)用于其他部門。高等數(shù)學(xué)比初等數(shù)學(xué)“高等”的數(shù)學(xué)。廣義地說，初等數(shù)學(xué)之外的數(shù)學(xué)都是高等數(shù)學(xué)，也有將中學(xué)較深入的代數(shù)、幾何以及簡單的集合論邏輯稱為中等數(shù)學(xué)，作為小學(xué)初中的初等數(shù)學(xué)與本科階段的高等數(shù)學(xué)的過渡。通常認為，高等數(shù)學(xué)是將簡單的微積分學(xué)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計，以及深入的代數(shù)學(xué)，幾何學(xué)，以及他們之間交叉所形成的一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要包括微積分學(xué)，其他方面各類課本略有差異。

第三篇：高等數(shù)學(xué)

§13.2 多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一 多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實際問題中，許多量的變化，不只由一個因素決定，而是由多個因素決定。例如平行四邊行的面積A由它的相鄰兩邊的長x和寬y以及夾角?所確定,即A?xysin?;圓柱體體積V由底半徑r和高h所決定,即V??r2h。這些都是多元函數(shù)的例子。

一般地，有下面定義：

定義1: 設(shè)E是R2的一個子集，R是實數(shù)集，f是一個規(guī)律，如果對E中的每一點(x,y)，通過規(guī)律f，在R中有唯一的一個u與此對應(yīng)，則稱f是定義在E上的一個二元函數(shù)，它在點(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)，即u?f(x,y)。

有時，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)x?R?x?y222就是一個上半球面，球心在原點，半徑為R，此函數(shù)定義域為滿足關(guān)系式x2?y2?R2的x，y全體，即D?{(x,y)|x2?y2?R2}。又如，Z?xy是馬鞍面。

二 多元函數(shù)的極限

定義2

設(shè)E是R2的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M??f(x,y)在點M0?x0,y0??E附近有定義．如果???0，???0，當0?r?M,M0???時，有f(M)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價敘述1 ：設(shè)E是R2的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點0???f(x,y)M0?2x,0y0??2E近有定義．如果???0附，???0，當?x?x0???y?y0???時，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極

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限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

定義的等價敘述2： 設(shè)E是R2的一個開集，A是一個常數(shù)，二元函數(shù)f?M在點M0?x,0y0????f(x,y)附E近有定義．如果???0，???0，當0?x?x0??,0?y?y0??且?x,y???x0,y0?時，有f(x,y)?A??，就稱A是二元函數(shù)在M0點的極限。記為limf?MM?M0??A或f?M??A?M?M0?。

注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果limf(M)?A，則當M以任何點列及任何方式趨

M?M0于M0時，f(M)的極限是A；反之，M以任何方式及任何點列趨于M0時，f(M)的極限是A。但若M在某一點列或沿某一曲線?M0時，f(M)的極限為A，還不能肯定f(M)在M0的極限是A。所以說，這里的“”或“”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。

例1：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?xyx?yxyx?y22222，討論在點(0,0)的的二重極限。

例2：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?2，討論在點(0,0)的二重極限是否存在。

??0,例3：f(x,y)????1,x?y其它或y?0，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較之一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。

例4：limx?yx?xy?ysinxyx22。

x??y??例5：① limx?0y?0

② lim(x?y)ln(x?y)③ lim(x?y)ex?0y?0x??y??2222222?(x?y)

例6：求f(x,y)?xy3223x?y在（０，０）點的極限，若用極坐標替換則為limrr?0cos?sin?cos??sin?3322?0?

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（注意：cos3??sin3?在??7?4時為０，此時無界）。

xyx?y222例7：（極坐標法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)f(x,y)?證明二元極限不存在的方法．，討論在點(0,0)的二重極限．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個特殊路徑的極限不存在；或２）某兩個特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標法，說明極限與輻角有關(guān)．

例8：f(x,y)?xyx?y22在(0,0)的二重極限不存在．

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)f?M?在M0點有定義，如果limf(M)?f(M0)，則稱f?MM?M0?在M0點連續(xù)．

???0,???0,當0

如果f在開集E內(nèi)每一點連續(xù)，則稱f在E內(nèi)連續(xù)，或稱f是E內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

例9：求函數(shù)u?tan?x2?y2?的不連續(xù)點。

四 有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理：

若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界。一致連續(xù)性定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)。最大值最小值定理: 若f?x,y?再有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

零點存在定理:

設(shè)D是Rn中的一個區(qū)域，P0和P1是D內(nèi)任意兩點，f是D內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果f(P0)?0，f(P1)?0，則在D內(nèi)任何一條連結(jié)P0,P1的折線上，至少存在一點Ps，使f(Ps)?0。

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????????????

五

二重極限和二次極限

在極限limf(x,y)中，兩個自變量同時以任何方式趨于x0,y0，這種極限也叫做重x?x0y?y0極限（二重極限）．此外，我們還要討論當x,y先后相繼地趨于x0與y0時f(x,y)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對任一固定的y，當x?x0時，f(x,y)的極限存在：limf(x,y)??(y),而?(y)x?x0在y?y0時的極限也存在并等于A，亦即lim?(y)?A，那么稱A為f(x,y)先對x，再

y?y0對y的二次極限，記為limlimf(x,y)?A．

y?y0x?x0同樣可定義先y后x的二次極限：limlimf(x,y)．

x?x0y?y0上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。例10：（二重極限存在，但兩個二次極限不存在）．設(shè)

11?xsin?ysin?yxf(x,y)??

?0?x?0,y?0x?0ory?0

由f(x,y)?x?y 得limf(x,y)?0（兩邊夾）;由limsinx?0y?01y不存在知f(x,y)的累次

y?0極限不存在。

例11：（兩個二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)

f(x,y)?xyx?y22，(x,y)?(0,0)

由limlimf(x,y)?limlimf(x,y)?0知兩個二次極限存在且相等。但由前面知x?0y?0y?0x?0limf(x,y)不存在。

x?0y?0例12：（兩個二次極限存在，但不相等）。設(shè)

f(x,y)?x?yx?y2222，(x,y)?(0,0)

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則 limlimf(x,y)?1，limlimf(x,y)??1;limlimf(x,y)?limlimf(x,y)（不x?0y?0y?0x?0x?0y?0y?0x?0可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會有一些聯(lián)系。

定理1:設(shè)（1）二重極限limf(x,y)?A；（2）?y,y?y0，limf(x,y)??(y).則

x?x0y?y0x?x0y?y0lim?(y)?limlimf(x,y)?A。

y?y0x?x0（定理1說明：在重極限與一個累次極限都存在時，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1:

設(shè)（1）limf(x,y)?A；（2）（3）?y,y?y0，limf(x,y)存在；?x,x?x0，x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)存在；則limlimf(x,y)，limlimf(x,y)都存在，并且等于二重極限y?y0x?x0x?x0y?y0x?x0y?y0limf(x,y)。

推論2: 若累次極限limlimf(x,y)與limlimf(x,y)存在但不相等，則重極限

x?x0y?y0y?y0x?x0x?x0y?y0limf(x,y)必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

222例13：求函數(shù)f?x,y??xy22xy??x?y?在?0,0?的二次極限和二重極限。

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第四篇：高等數(shù)學(xué)

《高等數(shù)學(xué)》是我校高職專業(yè)重要的基礎(chǔ)課。經(jīng)過我們高等數(shù)學(xué)教師的努力，該課程在課程建設(shè)方面已走向成熟，教學(xué)質(zhì)量逐步提高,在教學(xué)研究、教學(xué)管 理、教學(xué)改革方面，我們做了很多工作，也取得了可喜的成果。

《高等數(shù)學(xué)》是學(xué)習(xí)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)必不可少的基礎(chǔ)知識。一方面它是學(xué)生后 繼課程學(xué)習(xí)的鋪墊，另一方面它對學(xué)生科學(xué)思維的培養(yǎng)和形成具有重要意義。因此，它既是一門重要的公共必修課，又是一門重要的工具課。緊扣高職高 專的培養(yǎng)目標，我們的《高等數(shù)學(xué)》課的定位原則是“結(jié)合專業(yè)，應(yīng)用為主，夠用為度，學(xué)有所用，用有所學(xué)”，宗旨是“拓寬基礎(chǔ)、培養(yǎng)能力、重在應(yīng)用”

根據(jù)高職高專的培養(yǎng)目標，高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)任務(wù)是使學(xué)生在高中數(shù)學(xué) 的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)和掌握本課程的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能，逐步 培養(yǎng)學(xué)生抽象概括問題的能力，一定的邏輯推理能力，空間想象能力，比 較熟練的運算能力和自學(xué)能力，提高學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)和修養(yǎng)，培養(yǎng) 學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。

高等數(shù)學(xué)這門課的教學(xué)設(shè)計思想是：根據(jù)專業(yè)設(shè)置相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。我們將 《高等數(shù)學(xué)》分成四大類：輕化工程、電子、計算機和財經(jīng)。四大類的公共教 學(xué)內(nèi)容為：一元函數(shù)微積分,微分方程。三類工科數(shù)學(xué)增加：空間解析幾何、多 元微積分學(xué)。計算機和電子再增加級數(shù)。電子類專業(yè)還專門開設(shè)拉普拉氏變換。財經(jīng)專業(yè)另開設(shè)線性代數(shù)初步。達到了專業(yè)課對基礎(chǔ)課的要求。

同時，在教學(xué)內(nèi)容的安排上，還注意了以下幾點：

1、數(shù)學(xué)知識的覆蓋面不宜太寬，應(yīng)突出重點，不過分追求數(shù)學(xué)自身的系統(tǒng) 性，嚴密性和邏輯性。淡化數(shù)學(xué)證明和數(shù)學(xué)推導(dǎo)。

2、重視知識產(chǎn)生的歷史背景知識介紹，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念 的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。

3、重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整 合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分

4、強調(diào)重要數(shù)學(xué)思想方法的突出作用。強化與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知 識和基本方法。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要 應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo) 數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在 微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。

5、注重培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的意識與能力。

6、根據(jù)學(xué)生實際水平，有針對性地選擇適當（特別是在例題、習(xí)題、應(yīng)用 案例及實驗題目等方面）的教學(xué)內(nèi)容，應(yīng)盡量淡化計算技巧（如求導(dǎo)和求積分 技巧等）。

知識模塊順序及對應(yīng)的學(xué)時《高等數(shù)學(xué)》工科課程主要分為七部分的知識模 塊，共需要用168個學(xué)時.1、一元函數(shù)微分學(xué)部分(極限、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用60個學(xué)時；

2、一元函數(shù)積分學(xué)部分(不定積分、定積分及其應(yīng)用)，需用30個學(xué)時；

3、微分方程部分，需用12個學(xué)時。

4、向量代數(shù)與空間解析幾何部分，需用24個學(xué)時；

5、多元函數(shù)微分學(xué)部分(偏導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用)，需用22個學(xué)時；

6、多元函數(shù)積分學(xué)部分(二重積分及其應(yīng)用)，需用8個學(xué)時；

7、無窮級數(shù)部分，需用30個學(xué)時； 課程的重點、難點及解決辦法 1、課程的重點

本課程的研究對象是函數(shù)，而研究問題的根本方法是極限方法，極限方法貫 穿于整個課程。本課程的重點是教會學(xué)生在掌握必要的數(shù)學(xué)知識（如導(dǎo)數(shù)與 微分、定積分與重積分及級數(shù)理論等）的同時，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方 法解決實際問題的意識、興趣和創(chuàng)新能力。

2、課程的難點

本課程的教學(xué)難點在于由實際問題抽象出有關(guān)概念和其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法解決實際問題的意識、興趣和能力；一元函數(shù) 的極限定義并用定義證明極限、定積分的應(yīng)用、多元復(fù)合抽象函數(shù)的求偏導(dǎo)，根據(jù)實際問題建立微分方程等內(nèi)容是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中的難點。

3、解決辦法

對于工科類高等數(shù)學(xué)，講授時一般以物理、力學(xué)和工程中的數(shù)學(xué)模型為背景 引出問題，采取啟發(fā)式教學(xué)以及現(xiàn)代化教學(xué)手段，講清思想，加強基礎(chǔ)；注 意連續(xù)和離散的關(guān)系，加強函數(shù)的離散化處理，注意培養(yǎng)學(xué)生研究問題和解 決實際問題的能力；注意教學(xué)內(nèi)容與建立數(shù)學(xué)模型之間的聯(lián)系。在微積分學(xué) 的應(yīng)用中，更是關(guān)注物理模型的建立和研究思想。另外，重點、難點內(nèi)容多 配備題目，課堂講解通過典型例題的分析過程和解決過程掌握重點、突破難 點；課外還布置一定量的練習(xí)題；最近幾年以來，基礎(chǔ)部學(xué)科建設(shè)發(fā)展迅速，研究成果和學(xué)術(shù)論文突飛猛進，學(xué)術(shù)環(huán)境和氛圍極大改善?；A(chǔ)部科研和教 學(xué)活動的新的水平層次，為《高等數(shù)學(xué)》精品課程的建設(shè)和發(fā)展，提供了優(yōu) 秀的學(xué)術(shù)環(huán)境和平臺。

教 學(xué) 大 綱

一、內(nèi)容簡介

本課程的內(nèi)容包括函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用，常微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗等。其中函數(shù)的極限與連續(xù)，微分及其應(yīng)用，積分及其應(yīng)用為各專業(yè)的基礎(chǔ)部分?？臻g解析幾何與向量代數(shù)、多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用，無窮級數(shù)，線性代數(shù)初步，數(shù)學(xué)實驗為選學(xué)模塊，各專業(yè)可根據(jù)專業(yè)培養(yǎng)目標的要求，選學(xué)相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容。

二、課程的目的和任務(wù)

為培養(yǎng)能適應(yīng)二十一世紀產(chǎn)業(yè)技術(shù)不斷提升和社會經(jīng)濟迅速發(fā)展的高等技術(shù)應(yīng)用型人才，教學(xué)中本著重能力、重應(yīng)用、求創(chuàng)新的思路，切實貫徹“以應(yīng)用為目的、理論知識以必需、夠用為度”的原則，落實高職高專教育“基礎(chǔ)知識適度，技術(shù)應(yīng)用能力強，知識面較寬，素質(zhì)高”的培養(yǎng)目標，從根本上反映出高職高專數(shù)學(xué)教學(xué)的基本特征，反映出目前國內(nèi)外知識更新和科技發(fā)展的最近動態(tài)，將工程技術(shù)領(lǐng)域的新知識、新技術(shù)、新內(nèi)容、新工藝、新案例及時反映到教學(xué)中來，充分體現(xiàn)高職教育專業(yè)設(shè)置緊密聯(lián)系生產(chǎn)、建設(shè)、服務(wù)、管理一線的實際要求。在教學(xué)內(nèi)容的組織上，注意以下幾點：

1．注意數(shù)學(xué)知識的深、廣度。基礎(chǔ)知識和基本理論以“必需、夠用”為度.把重點放在概念、方法和結(jié)論的實際應(yīng)用上。多用圖形、圖表表達信息，多用有實際應(yīng)用價值的案例、示例促進對概念、方法的理解。對基礎(chǔ)理論不做論證，必要時只作簡單的幾何解釋。

2．必須貫徹“理解概念、強化應(yīng)用”的教學(xué)原則。理解概念要落實到用數(shù)學(xué)思想及數(shù)學(xué)概念消化、吸納工程技術(shù)原理上；強化應(yīng)用要落實到使學(xué)生能方便地用所學(xué)數(shù)學(xué)方法求解數(shù)學(xué)模型上。

3．采用“案例驅(qū)動”的教學(xué)模式。由實際問題引出數(shù)學(xué)知識，再將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于處理各種生活和工程實際問題。重視數(shù)學(xué)知識的引入，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。每一個概念的引入應(yīng)遵循實例—抽象—概念的形成過程。

4．重視相關(guān)知識的整合。如在一元微積分部分，可將不定積分與定積分整合，先從應(yīng)用實例引入定積分的概念，再根據(jù)定積分計算的需要引入不定積分。

5．要特別注意與實際應(yīng)用聯(lián)系較多的基礎(chǔ)知識、基本方法和基本技能的訓(xùn)練，但不追求過分復(fù)雜的計算和變換?？赏ㄟ^數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，提升學(xué)生對的數(shù)學(xué)問題的求解能力。加強基礎(chǔ)知識的案例教學(xué)，力求突出在解決實際問題中有重要應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想和方法的作用，揭示重要的數(shù)學(xué)概念和方法的本質(zhì)。例如，在導(dǎo)數(shù)中強調(diào)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)——變化率；在積分中強調(diào)定積分的實質(zhì)—無限累加；在微分中強調(diào)局部線性化思想；在極值問題中強調(diào)最優(yōu)化思想；在級數(shù)中強調(diào)近似計算思想。

6．在內(nèi)容處理上要兼顧對學(xué)生抽象概括能力、自學(xué)能力、以及較熟練的綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力以及創(chuàng)新能力的培養(yǎng).真正體現(xiàn)以學(xué)生為主體，以教師為主導(dǎo)的辨證統(tǒng)一。

三、課程內(nèi)容

第一章 函數(shù)的極限與連續(xù)

理解一元函數(shù)的概念及其表示；了解分段函數(shù)；了解復(fù)合函數(shù)的概念，會分析復(fù)合函數(shù)的復(fù)合過程。熟悉基本初等函數(shù)及其圖形；能熟練列出簡單問題中的函數(shù)關(guān)系；理解數(shù)列極限與函數(shù)極限的概念；會用極限思想方法分析簡單問題；了解函數(shù)左、右極限的概念，以及函數(shù)左、右極限與函數(shù)極限的關(guān)系；掌握極限四則運算法則；理解函數(shù)連續(xù)、間斷的概念；知道初等函數(shù)的連續(xù)性；會討論分段函數(shù)的連續(xù)性。第二章 一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用

理解導(dǎo)數(shù)和微分的概念；能用導(dǎo)數(shù)描述一些經(jīng)濟、工程或物理量；熟悉導(dǎo)數(shù)和微分的運算法則和導(dǎo)數(shù)的基本公式；了解高階導(dǎo)數(shù)的概念；能熟練地求初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，會求一些簡單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，會用微分做近似計算；會建立簡單的微分模型。第三章

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

會用羅必達解決未定型極限；理解函數(shù)的極值概念；會求函數(shù)的極值，會判斷函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖形的凹、凸性等；熟練掌握最大、最小值的應(yīng)用題的求解方法。第四章

一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用

理解不定積分和定積分的概念；了解不定積分和定積分的性質(zhì)；理解定積分的幾何意義；熟悉不定積分的基本公式；掌握不定積分的直接積分法、第一類換元法和常見類型的分部積分法；熟練掌握牛（Newton）-萊布尼茲(Leibniz)公式；熟練掌握定積分的微元法，能建立一些實際問題的積分模型；會用微元分析法建立簡單的積分模型；了解廣義積分的概念.了解微分方程的階、解、通解、初始條件、特解等概念；掌握可分離變量微分方程及一階線性微分方程的解法；掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法；會建立簡單的微分方程模型。第五章

空間解析幾何與向量代數(shù)

理解向量的概念，掌握向量的線性運算、點乘、叉乘，兩個向量垂直、平行的條件；熟悉單位向量、方向余弦及向量的坐標表達式；掌握用坐標表達式進行向量運算；理解曲面方程的概念，熟悉平面方程和直線方程及其求法；了解常用的二次曲面的方程，了解以坐標軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程；了解曲線在坐標平面上的投影。第六章

多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 理解多元函數(shù)的概念；了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性概念及有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)；了解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件；掌握復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)的求法，會求復(fù)合函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)；會求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)；理解多元函數(shù)極值和條件極值的概念，會求一些極值。第七章

二重積分

理解二重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)和幾何意義；掌握二重積分的計算方法。第八章

無窮級數(shù)

了解無窮級數(shù)收斂、發(fā)散及和的概念，基本性質(zhì)及收斂的必要條件；掌握幾何級數(shù)和P-級數(shù)的收斂性；掌握正項級數(shù)的比較審斂法，比值審斂法；了解交錯級數(shù)的萊布尼茲定理；了解無窮級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念以及絕對收斂與收斂的關(guān)系；了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握比較簡單的冪級數(shù)收斂區(qū)間的求法；了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)；了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充要條件；會將一些簡單的函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。了解函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷條件，會將定義在（-π,π）上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，并會將在（0，π）上的函數(shù)展開為正弦或余弦級數(shù)。知道傅里葉級數(shù)在工程技術(shù)中的應(yīng)用。了解拉普拉斯變換和逆變換的概念，會求解簡單信號函數(shù)的拉普拉斯變換和逆變換。第九章 線性代數(shù)初步

理解矩陣的概念；掌握用矩陣表示實際量的方法；熟練掌握矩陣的線性運算、乘法運算、轉(zhuǎn)置及其運算規(guī)律；熟練掌握矩陣的初等變換；理解逆矩陣的概念，會用矩陣的初等變換求方陣的逆矩陣。會建立簡單的線性模型；熟練掌握用行初等變換求線性方程組通解的方法。第十章 數(shù)學(xué)實驗

數(shù)學(xué)實驗是以實際問題為實驗對象的操作實驗，其教學(xué)不僅讓學(xué)生了解和掌握一種數(shù)學(xué)實驗軟件，而更重要的是培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識分析和解決問題的能力。

四、課程的教學(xué)方式

本課程的特點是思想性強，與相關(guān)基礎(chǔ)課及專業(yè)課聯(lián)系較多，教學(xué)中應(yīng)注重由案例啟發(fā)進入相關(guān)知識，并突出幫助學(xué)生理解重要概念的思想本質(zhì)，避免學(xué)生死記硬背。要善于將有關(guān)學(xué)科或生活中常遇到的名詞概念與微積分學(xué)的概念結(jié)合起來，使學(xué)生體會到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的必要性。同時，注重各教學(xué)環(huán)節(jié)（理論教學(xué)、習(xí)題課、作業(yè)、輔導(dǎo)參考）的有機聯(lián)系, 特別是強化作業(yè)與輔導(dǎo)環(huán)節(jié)，使學(xué)生加深對課堂教學(xué)內(nèi)容的理解，提高分析解決問題的能力和運算能力。教學(xué)中有計劃有目的地向?qū)W生介紹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與學(xué)習(xí)專業(yè)課之間的關(guān)系，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是獲取進一步學(xué)習(xí)機會的關(guān)鍵學(xué)科。

五、各教學(xué)環(huán)節(jié)學(xué)時分配

序號教學(xué)模塊理論課時習(xí)題課時實 驗共計備注

1函數(shù)的極限與連續(xù)166 22各專業(yè)的公共基礎(chǔ) 2 導(dǎo)數(shù)與微分204 24 3導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用104 14 4一元函數(shù)積分及其應(yīng)用228 30

常微分方程102 12輕化、電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選

5空間解析幾何與向量代數(shù)186 24輕化、電子、計算機類學(xué)生選 6多元函數(shù)微積分及其應(yīng)用166 22輕化、電子、計算機類學(xué)生選

7二重積分62 8 8無窮級數(shù)246 30電子、計算機類學(xué)生選

9線性代數(shù)初步144 18電子、計算機、經(jīng)濟類學(xué)生選 10 實驗

六、執(zhí)行大綱時應(yīng)注意的問題

1.大綱以高職高專各專業(yè)為實施對象。

2.模具和高分子專業(yè)增加極坐標和曲率；電子專業(yè)增加拉普拉斯變換。3.數(shù)學(xué)實驗課程視情況開設(shè)。

教學(xué)效果

高等數(shù)學(xué)課程是一門十分繁重的教學(xué)任務(wù)，不僅學(xué)時多、面對學(xué)生人數(shù)多，而且責任大。學(xué)校、系、學(xué)生都十分關(guān)注這門課程的教學(xué)質(zhì)量，它涉及到后續(xù)課程的教學(xué)，特別是它影響培養(yǎng)人才的質(zhì)量和水平?；A(chǔ)部歷來非常重視高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，積極組織教師開展教學(xué)研究，要求任課教師認真負責地對待教學(xué)工作，備好、講好每一節(jié)課。多年來高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量和教學(xué)水平一直受到學(xué)校和學(xué)生的好評。

從課堂表現(xiàn)可以看出教師備課是充分的。講授熟練，概念清楚，重點突出。特別是貫徹啟發(fā)式教學(xué)，教與學(xué)互動，課堂提問討論，學(xué)生課堂解題等，師生配合較好，課堂氣氛活躍，調(diào)動了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。教師們經(jīng)常討論各章節(jié)的重點難點應(yīng)如何處理，如何分析引出概念，如何貫徹啟發(fā)式教學(xué)，哪些問題要留給學(xué)生自己解決。這種教學(xué)研討一學(xué)期要有十多次，有時幾乎每周都有安排。嚴謹治學(xué)、嚴格要求、教書育人、為人師表是基礎(chǔ)部的優(yōu)良傳統(tǒng)，可以說高等數(shù)學(xué)教研室在師資隊伍建設(shè)上成績是突出的。高等數(shù)學(xué)在教學(xué)改革上，準備將數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)實驗引入高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，從而來提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，嘗到數(shù)學(xué)應(yīng)用的益處，提高學(xué)數(shù)學(xué)的積極性

課程的方法和手段

本課程運用現(xiàn)代教育技術(shù)、采用多種教學(xué)手段相結(jié)合的方式。大多數(shù)教師在教學(xué)中使用powerpoint課件、電子教案、模型教具等輔助手段，使教學(xué)內(nèi)容的表達更生動、直觀，有效提高了教學(xué)效果。采用多媒體輔助教學(xué)的教師比例達到100%。具體情況如下：

1．堅持“少講、留疑、迫思、細答、深析”的教學(xué)原則，試點“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法。

高等數(shù)學(xué)是學(xué)生進入大學(xué)后首先學(xué)習(xí)的課程之一，內(nèi)容難以理解，課堂教學(xué)容量大。如何培養(yǎng)學(xué)生獨立學(xué)習(xí)的能力，也是教師義不容辭的責任。為轉(zhuǎn)變學(xué)生中學(xué)養(yǎng)成的依賴教師的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快適應(yīng)大學(xué)學(xué)習(xí)生活，我們在教學(xué)中提出“少講、留疑、迫思、細答，深析”的教學(xué) 原則，開展了“討論式”、“聯(lián)想式”、“逆反式”等教學(xué)方法，收到了較好的效果。

2．提倡研究式學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生初步進行科學(xué)研究的能力和創(chuàng)新精神

工科學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的，是能將所學(xué)數(shù)學(xué)知識用于專業(yè)研究中。為激發(fā)學(xué)生的求知欲、鍛煉學(xué)生的初步研究能力、培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)與創(chuàng)新精神，我們嘗試在部分班級開展研究式的學(xué)習(xí)方法。具體方法是：將部分教學(xué)內(nèi)容改造成研究問題，讓學(xué)生通過課程學(xué)習(xí)、查閱資料、相互討論等形式思考研究問題。例如針對微分方程的應(yīng)用、各種定積分的比較研究等問題開展這項活動，學(xué)生反映很好。

3．傳統(tǒng)教學(xué)手段與現(xiàn)代教學(xué)手段結(jié)合，提高教學(xué)效果

在部分內(nèi)容保留傳統(tǒng)教學(xué)方式的基礎(chǔ)上，積極運用現(xiàn)代教育技術(shù)，探索計算機輔助教學(xué)的模式，研制電子教案，并在部分班級進行試點。例如：我們利用電子教案講授空間解析幾何、重積分等內(nèi)容，使一些空間圖形的演示更直觀、更清楚，便于學(xué)生理解和掌握。

4．加強課下輔導(dǎo)，及時為學(xué)生排疑解難

課下的輔導(dǎo)答疑是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要環(huán)節(jié)，為加強這個環(huán)節(jié)，我們安排了正常的輔導(dǎo)答疑。

5．積極開展課外科技活動

為配合高等數(shù)學(xué)的教學(xué)工作，我們準備開設(shè)《Mathematica》和《數(shù)學(xué)建模》兩門院級選修課，為基礎(chǔ)較好的學(xué)生提供進一步提高的機會。同時，積極組織學(xué)生參加數(shù)學(xué)建模競賽。

第五篇：高等數(shù)學(xué)

考研數(shù)學(xué)：在基礎(chǔ)上提高。

注重基礎(chǔ)，是成功的必要條件。注重基礎(chǔ)的考察是國家大型數(shù)學(xué)考試的特點，因此，在前期復(fù)習(xí)中，基礎(chǔ)就成了第一要務(wù)。在這個復(fù)習(xí)基礎(chǔ)的這個階段中，考生可以對照教材把知識點系統(tǒng)梳理，逐字逐句、逐章逐節(jié)對概念、原理、方法全面深入復(fù)習(xí)，同時，還應(yīng)注意基礎(chǔ)概念的背景和各個知識點的相互關(guān)系，一定要先把所有的公式，定理，定義記牢，然后再做一些基礎(chǔ)題進行鞏固。

無論是高數(shù)、線代還是概率，都要在此階段進行全面整理基本概念、定理、公式，初步總結(jié)復(fù)習(xí)重點，把握命題基本題型，為強化階段的復(fù)習(xí)打下堅實基礎(chǔ)結(jié)合常規(guī)教材和前幾年的大綱，深刻理解吃透基本概念、基本方法和基本定理?？佳袛?shù)學(xué)是一門邏輯性極強的演繹科學(xué)，在對基本概念深入理解，對基本定理和公式牢牢記住后，才能找到解題的突破口和切入點。對近幾年數(shù)學(xué)的分析表明，考生失分的一個重要原因就是對基本概念、定理記不全、記不牢，理解不準確，基本解題方法掌握不好。所以說，我們切不可在基礎(chǔ)上掉以輕心。

在掌握了相關(guān)概念和理論之后，首先應(yīng)該自己試著去解題，即使做不出來，對基本概念和理論的理解也會深入一步。因為數(shù)學(xué)畢竟是個理解加運用的科目，不練習(xí)就永遠無法熟練掌握。解不出來，再看書上的解題思路和指導(dǎo)，再思考，如果還是想不出來，最后再看書上的詳細解答?？匆坏李}怎么做出來不是最重要的東西，重要的是通過自己的理解，能夠在做題的過程中用到它。因此，在看完這本書上的那些精彩的例題之后，關(guān)鍵要注意在隨后的習(xí)題中選典型的來繼續(xù)鞏固。不過，要注意的是，基礎(chǔ)對第一輪復(fù)習(xí)的考生顯然是基礎(chǔ)要求。不要因急于做難題不會而貶低自己的自信心，堅信等若干月復(fù)習(xí)之后回頭看這些題就是小菜一碟。

數(shù)學(xué)成績是長期積累的結(jié)果，準備時間一定要充分。要對各個知識點做深入細致的分析，注意抓考點和重點題型，在一些大的得分點上可以適當?shù)夭扇☆}海戰(zhàn)術(shù)。數(shù)學(xué)考試會出現(xiàn)一些應(yīng)用到多個知識點的綜合性試題和應(yīng)用型試題。這類試題一般比較靈活，難度也要大一些。在數(shù)學(xué)首輪復(fù)習(xí)期間，可以不將它們作為強化重點，但也應(yīng)逐步進行一些訓(xùn)練，積累解題思路，同時這也有利于對所學(xué)知識的消化吸收，徹底弄清楚有關(guān)知識的縱向與橫向聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為自己真正掌握的東西。

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)就要關(guān)注：教材、做題、獨立思考。這些都是缺一不可的。教材是獲得基本知識的必要前提，是基礎(chǔ)，懂了教材才有可能做對題目。做題是關(guān)鍵，是目的。只有會做題，做對題目，快速做題才能應(yīng)付考試，達到目的。思考是為了更有效的理解教材和做對題目。所以我們要向提高自己的做題能力，就千萬不能在基礎(chǔ)階段大意而導(dǎo)致之后進去的路上失去先機，這樣就會在后期多走彎路，切記!考研數(shù)學(xué)：進入備考狀態(tài)，培養(yǎng)綜合能力

要進行全面完整的復(fù)習(xí)，大多數(shù)考生現(xiàn)在已經(jīng)開始了考研的相關(guān)準備并進入了考研狀態(tài)?，F(xiàn)在可以看做是考研的第一個階段：基礎(chǔ)階段。在這個階段，我們必須明確自己的目標，并對自己的實力有個初步的判斷。在此基礎(chǔ)上，開展我們的初步復(fù)習(xí)。因為對自己的了解，才能作為我們復(fù)習(xí)時的參考，讓我們知道從哪些方面開始，哪些知識點要多下些功夫，而有些自己掌握較好的部分則可以少用點時間，從而對時間進行最有效率的分配，獲得最佳效果。現(xiàn)在的階段是奠定良好基礎(chǔ)的關(guān)鍵部分。在這個階段，主要是讓自己慢慢融入考研這個大事中，培養(yǎng)自己的考研心態(tài)和狀態(tài)。

考生都很關(guān)心具體該如何開始復(fù)習(xí)，進行初級基礎(chǔ)階段的復(fù)習(xí)。對考研最終的勝利至關(guān)重要。特別是公共課數(shù)學(xué)，相信考生也已經(jīng)意識到了這門學(xué)科的重要性和復(fù)習(xí)的難度。下面，跨考教育數(shù)學(xué)教研室牛秀艷老師就此為考生做一些復(fù)習(xí)指導(dǎo)建議。

首先，合理安排時間?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)，因為要進行整體全面的學(xué)習(xí)，所有時間是較長的，考生要有一個詳細的安排和計劃?？忌鷳?yīng)盡量保證在暑假前完成這一階段的復(fù)習(xí)?；A(chǔ)階段的復(fù)習(xí)主要依據(jù)考試大綱(現(xiàn)階段年新大綱發(fā)布前可先依據(jù)上一年考研數(shù)學(xué)大綱)，清楚哪些是重要的考點，哪些是不考的內(nèi)容，熟練掌握基本概念、定理、公式及常用結(jié)論等內(nèi)容，為后期的學(xué)習(xí)(強化和沖刺階段)打下牢固的基礎(chǔ)。

對于教材，也要給予足夠的重視。教材的作用，考生一定不能忽視。很多定理公理，都可以在書中多次翻看，達到真正理解的程度。一般來說，推薦同濟五版的高數(shù)、清華二版的線代、浙大三版的概率。這些都是非常好的“陪讀”教材，在考研復(fù)習(xí)中不可或缺。那么在理解了基礎(chǔ)理論的時候，我們做題就會更加得心應(yīng)手。這個階段，雖然做題不是重點，但要以做適當數(shù)量的題目來輔助我們理解那些基礎(chǔ)知識點?！叭f丈高樓平地起”，沒有好的地基就蓋不出高大壯觀的建筑。我們考研就是建設(shè)的過程，所以要從底層做起。不能忽視底層的建構(gòu)，而且基礎(chǔ)建設(shè)耗費時間雖長，但更能說明這個階段的重要性。有個這個階段良好的基礎(chǔ)，在一層一層蓋樓的過程中，才能真正感受到“磨刀不誤砍柴工”的作用。在后續(xù)各個階段的復(fù)習(xí)中，將會獲得更充足的動力。

做題時，如果遇到有些對概念、定理模糊不確定的時候，可以去看教材，用教材題目相結(jié)合的方法。光看教材也許容易看了后邊的忘了前邊所學(xué)的內(nèi)容，所以在做題中、在復(fù)習(xí)的時候要不斷的鞏固，加強對基礎(chǔ)知識點的理解。要做自己所選教材后邊的一些配套的基礎(chǔ)性的練習(xí)題，勤動手，同時對于一些自己不會做得題目，多思考，多問自己幾個為什么。有些具有一定難度的題目，可能需要參考標準答案，此時一定要認真把思路做個復(fù)習(xí)概括。多總結(jié)，總結(jié)是任何時候都不過時的。多想想以后遇到類似的題目，自己應(yīng)該從哪些方面去思考，這樣慢慢積累，就會成為自己的知識，被自己所用。

對于知識點的復(fù)習(xí)，考生可以有重點的復(fù)習(xí)。為了更能把時間用在刀刃上，建議考生結(jié)合前幾年的大綱，找準考點。從歷年的考研試卷分析，凡是大綱中提及的內(nèi)容，都是可能的考點，甚至自己認為是一些不太重要的內(nèi)容，也完全有可能在考研試題中出現(xiàn)。所以，對于大綱中提到的考點，要做到重點、全面、有針對性的復(fù)習(xí)。不僅要在主要的內(nèi)容和方法上下功夫，更要注重尋找各個知識點之間的聯(lián)系。近年來，考研數(shù)學(xué)越來越注重綜合能力的考查，這也是以后命題的一個趨勢。而綜合能力的培養(yǎng)以及提高，源于自己平時的積累與練習(xí)。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(一)

相信大家已經(jīng)把高數(shù)的復(fù)習(xí)已經(jīng)結(jié)束，開啟概率和線代的復(fù)習(xí)，不知道對自己高數(shù)的復(fù)習(xí)是否滿意，是否達到了我們的“三基本”呢?接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟慶英就和大家梳理一下我們做過的極限。

說到極限應(yīng)該是我們?nèi)笥嬎阒械牡谝淮笥嬎?，每年考研真題必出，無論是數(shù)一數(shù)二數(shù)三還是經(jīng)濟類數(shù)學(xué)，可以出選擇題也可以出填空題，更可以出解答題，題目類型不同，分值也不同，4分或者10分，極限的思想也就更是重要之重了，原因就是后來所有的概念都是以極限的形式給出的。下面，我們就看看極限在基礎(chǔ)階段到底應(yīng)該掌握到什么程度。

第一，極限的定義。理解數(shù)列極限和函數(shù)極限的定義，最好記住其定義。

第二，極限的性質(zhì)。唯一性，有界性，保號性和保不等式性要理解，重點理解保號性和保不等式性，在考研真題里面經(jīng)常考查，而性質(zhì)的本身并不難理解，關(guān)鍵是在做題目的時候怎么能想到，所以同學(xué)們在做題目的時候可以看看什么情況下利用了極限的保號性，例如：題目中有一點的導(dǎo)數(shù)大于零或者小于零，或者給定義數(shù)值，可以根據(jù)這個數(shù)值大于零或小于零，像這樣的情況，就可以寫出這一點的導(dǎo)數(shù)定義，利用極限的保號性，得出相應(yīng)的結(jié)論，切記要根據(jù)題目要求來判斷是否需要，但首先要有這樣的思路，希望同學(xué)們在做題時多去總結(jié)。

第三，極限的計算。這一部分是重中之重，這也是三大計算中的第一大計算，每年必考的題目，所以需要同學(xué)們能夠熟練地掌握并會計算不同類型的極限計算。首先要知道基本的極限的計算方法，比如：四則運算、等價無窮小替換、洛必達法則、重要極限、單側(cè)極限、夾逼定理、單調(diào)有界收斂定理，除此之外還要泰勒展開，利用定積分定義求極限。其次還要掌握每一種極限計算的注意事項及拓展，比如：四則運算中掌握“抓大頭”思想(兩個多項式商的極限，是無窮比無窮形式的，分別抓分子和分母的最高次計算結(jié)果即可)，等價無窮小替換中要掌握等價無窮小替換只能在乘除法中直接應(yīng)用，加減法中不能直接應(yīng)用，如需應(yīng)用必須加附加條件，計算中要掌握基本的等價無窮小替換公式和其推廣及湊形式，進一步說就是第一要熟練掌握基本公式，第二要知道怎么推廣，也就是將等價無窮小替換公式中的x用f(x)來替換，并且要驗證在x趨于某一變化過程中f(x)會否趨近于零，滿足則可以利用推廣后的等價無窮替換公式，否則不能。

下面給出推廣后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。

第三要能將變形的無窮小替換公式轉(zhuǎn)化為標準形式，比如：公式中固定出現(xiàn)的“1”和f(x)為無窮小量。希望同學(xué)們在做題目的時候多加注意，熟能生巧。

考研高數(shù)：極限中的“極限”(二)

前面我們已經(jīng)介紹了等價無窮小替換公式的應(yīng)用及注意事項，接下來，跨考教育數(shù)學(xué)教研室佟老師為大家繼續(xù)說說極限的計算方法。

極限的第三種方法就是洛必達法則。首先，要想在極限中使用洛必達法則就必須要滿足洛必達法則，說到這里有很多同學(xué)會打個問號，什么法則，不就是上下同時求導(dǎo)?其實不盡然。

洛必達有兩種，無窮比無窮，零比零，分趨近一點和趨近于無窮兩種情況，以趨近于一點來說明法則條件，條件一：零比零或者無窮比無窮(0/0，∞/∞);條件二：趨近于這一點的去心領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)，且分母導(dǎo)數(shù)不為零;條件三：分子導(dǎo)數(shù)比分母導(dǎo)數(shù)的極限存在或者為無窮，則原極限等于導(dǎo)數(shù)比的極限。

在這里要注意極限計算中使用洛必達法則必須同時滿足這三個條件，缺一不可，特別要注意條件三，導(dǎo)數(shù)比的極限一定是存在或者為無窮，不能把無窮認為是極限不存在，因為極限不存在還包括極限不存在也不為無窮這種情況，比如：x趨近于零，sin(1/x)的極限不存在也不為無窮。每次使用都必須驗證三條件是否同時滿足。

再來看看重要極限，重要極限有兩個，一個是x趨近于零時，sinx/x趨近于零，另一個是x趨近于零時，(1+x)1/x趨近于e，或者寫成x趨近于無窮，(1+1/x)x趨近于e(1∞形式)，總結(jié)起來就是(1+無窮小量)無窮小量的倒數(shù)，所以要記住重要極限的特點，并可以將其推廣，即把x換成f(x)，在f(x)趨近零，sinf(x)/f(x)趨近于零，(1+f(x))1/f(x)趨近于e，或f(x)趨近無窮，(1+1/f(x))f(x)趨近于e，還要注意當給你冪指函數(shù)的極限計算，先要判斷他是不是1∞形式，如果是，就可以考慮利用重要極限解決，湊出相應(yīng)的形式就可以得出結(jié)論。

這里還要特別的提一下幾個未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，∞∞)，這五個未定式需要轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞,其中∞-∞可以通過通分、提取或者代換將其轉(zhuǎn)化，0·∞可以將0或者∞放在分母上，以實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，1∞，00，∞∞利用對數(shù)恒等變化來實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，其中1∞還可以利用重要極限計算。

綜上所述，等價無窮小替換和重要極限要掌握基本公式和推廣，可以將任意變形公式轉(zhuǎn)化為標準形式，并且給定一個極限首要任務(wù)就是利用等價無窮替換公式化簡。洛必達法則處理七種未定式，靈活地將不同形式的極限轉(zhuǎn)化為0/0或∞/∞，計算時注意滿足洛必達法則的三個條件，希望同學(xué)們可以掌握基礎(chǔ)，靈活地解決不同類型的極限。