第一篇：蘇教版必修5 11.1.2正弦定理 教案

.11．1正弦定理（2）

一、課題：正弦定理（2）

二、教學(xué)目標(biāo)：1．掌握正弦定理和三角形面積公式，并能運(yùn)用這兩組公式求解斜三角形，解決實(shí)際問(wèn)題；

2．熟記正弦定理abc???2R（R為?ABC的外接圓的半 sinAsinBsinC

徑）及其變形形式。

三、教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理和三角形面積公式及其應(yīng)用。

四、教學(xué)難點(diǎn)：應(yīng)用正弦定理和三角形面積公式解題。

五、教學(xué)過(guò)程：

（一）復(fù)習(xí)：

1．正弦定理：在一個(gè)三角形中各邊和它所對(duì)角的正弦比相等，abc???2R（R為?ABC的外接圓的半徑）； sinAsinBsinC

1112．三角形面積公式：S?ABC?bcsinA?acsinB?absinC． 222 即：

（二）新課講解：

1．正弦定理的變形形式：

①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問(wèn)題：

（1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

（2）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。

一般地，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解斜三角形，有兩解或一解（見(jiàn)圖示）。C aaB1 B 2abc,sinB?,sinC?； 2R2R2R③sinA:sinB:sinC?a:b:c． ②sinA?Ba?bsinAbsinA?a?ba?ba?b一解兩解一解一解

3．正弦定理，可以用來(lái)判斷三角形的形狀，其主要功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 例如，判定三角形的形狀時(shí)，經(jīng)常把a(bǔ),b,c分別用2RsinA,2RsinB,2RsinC來(lái)替代。

4．例題分析：

例1在?ABC中，1 A?B2 sinA?sinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在?ABC中，A?B?a?b?2RsinA?2RsinB?sinA?sinB，因此，選C．

說(shuō)明：正弦定理可以用于解決?ABC中，角與邊的相互轉(zhuǎn)化問(wèn)題。

例2在?ABC中，若lga?lgc?lgsinB??，且B為銳角，試判斷此三角形的形狀。解

：由lga?lgc?lgsinB??，得：sinB?

?B?45???0??B?90??，2asinA① ???

c2sinC2

將A?135?CC?2sin(135??C)。

?

∴sinC?sinC?cosC，∴cosC?0，故C?90，?

?A?45?，∴?ABC是等腰直角三角形。

說(shuō)明：（1）判斷三角形的形狀特征，必須深入研究邊與邊的大小關(guān)系：是否兩邊相等？是否三邊相等？還要研究角與角的大小關(guān)系：是否兩角相等？是否三角相等？有無(wú)直角？有無(wú)鈍角？

（2）此類問(wèn)題常用正弦定理（或?qū)W(xué)習(xí)的余弦定理）進(jìn)行代換、轉(zhuǎn)化、化簡(jiǎn)、運(yùn)算，揭示出邊與邊，或角與角的關(guān)系，或求出角的大小，從而作出正確的判斷。

?

例3某人在塔的正東方沿南60西的道路前進(jìn)40米后，望見(jiàn)塔在東北方向上，若沿途測(cè)得

?

塔的最大仰角為30，求塔高。

???D解：如圖，由題設(shè)條件知：?CAB??1?90?60?30，?ABC?45??1?45?30?15，?

?

?

?

?

?

?

?

?

北 C

∴?ACB?180??BAC??ABC?180?30?15?135，又∵AB?40米，在?ABC中，B

?

AC40

?，sin15?sin135?

40sin15?

???30?)?1)，∴AC??

sin13

5在圖中，過(guò)C作AB的垂線，設(shè)垂足E，則沿AB測(cè)得塔的最大仰角是?CED，∴?CED?30，在Rt?ABC中，EC?AC?sinBAC?AC?sin30??1)，?

在Rt?DCE中，塔高CD?CE?tan?CED?1)?tan30?

?

10(3（米）．

3例4如圖所示，在等邊三角形中，AB?a,O為中心，過(guò)O的直線交AB于M，交AC

于N，求

1?的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O為正三角形ABC的中心，∴AO?

設(shè)?MOA??，則

?，?MAO??NAO?，6A

?

???

2?，在?AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM?，?

sin?MAOsin[??(??)]sin(??)

M?

N

B

在?

AOM中，由正弦定理得：ON?

sin(??)

6，1112??121222

??[sin(??)?sin(??)]?(?sin?)，2222

OMONa66a2?2?3∵???，∴?sin??1，33

4?1118

?故當(dāng)??時(shí)取得最大值，2OM2ON2a2

?2?311152

?所以，當(dāng)??,or時(shí)sin??，此時(shí)取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、課練：《

七、課堂小結(jié)：1．正弦定理能解給出什么條件的三角形問(wèn)題？

2．由于有三角形面積公式，故解題時(shí)要注意與三角形面積公式及三角形外

接圓直徑聯(lián)系在一起。

八、作業(yè)：

1．在?ABC中，已知atanB?btanA，試判斷這個(gè)三角形的形狀；

222

2．在?ABC中，若sinA?2sinB?cosC，sinA?sinB?sinC，試判斷?ABC的形狀。

第二篇：必修⑤《1.1.1正弦定理》教案

必修⑤《1.1.1 正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

龍游縣橫山中學(xué) 黃建金

? 教材分析

正弦定理是必修⑤第一章開(kāi)篇內(nèi)容,在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)三角形邊角關(guān)系的研究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中更準(zhǔn)確的邊角關(guān)系。通過(guò)給出的實(shí)際問(wèn)題，并指出解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于研究三角形中的邊、角關(guān)系，從而引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探索愿望，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。在教學(xué)過(guò)程中，要引導(dǎo)學(xué)生自主探究三角形的邊角關(guān)系，先由特殊情況發(fā)現(xiàn)結(jié)論，再對(duì)一般三角形進(jìn)行推導(dǎo)證明,并引導(dǎo)學(xué)生分析正弦定理可以解決兩類關(guān)于解三角形的問(wèn)題：

（1）知兩角一邊，解三角形；

（2）知兩邊和一邊對(duì)角，解三角形。

? 學(xué)情分析

學(xué)生在學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)和三角恒等變換的基礎(chǔ)上，探究三角形邊角的量化關(guān)系，得出正弦定理。學(xué)生對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題比較感興趣，用現(xiàn)實(shí)問(wèn)題出發(fā)激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，驅(qū)使學(xué)生探索研究新知識(shí)的欲望。

? 教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能：

(1)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理的內(nèi)容，探索證明正弦定理的方法；

(2)簡(jiǎn)單運(yùn)用正弦定理解三角形、初步解決某些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題

2.過(guò)程與方法：

（1）通過(guò)對(duì)定理的探究，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的思維方法與能力；

（2）通過(guò)對(duì)定理的證明和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題的能力和體會(huì)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法.3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

(1)通過(guò)對(duì)三角形邊角關(guān)系的探究學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的過(guò)程，體會(huì)由特殊到一般再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物規(guī)律，培養(yǎng)探索精神和創(chuàng)新意識(shí)；

(2)通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)和運(yùn)用實(shí)踐，體會(huì)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值、應(yīng)用價(jià)值，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)的思維方式解決問(wèn)題、認(rèn)識(shí)世界,進(jìn)而領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)的人文價(jià)值、美學(xué)價(jià)值，不斷提高自身的文化修養(yǎng).? 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

? 教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的推證與運(yùn)用。

? 教學(xué)難點(diǎn)：正弦定理的推證；解決問(wèn)題時(shí)可能有兩解的情形。

教學(xué)過(guò)程

一、結(jié)合實(shí)例，導(dǎo)入新課

出示靈山江的圖片。

問(wèn)：如何能夠?qū)崿F(xiàn)不上塔頂而知塔高，不過(guò)河而知河寬？

二、觀察特例，提出猜想[討論]

（1）認(rèn)識(shí)三角形中的6個(gè)元素，并復(fù)習(xí)“大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊”知識(shí)。

問(wèn)1 ：構(gòu)成一個(gè)三角形最基本的要素有哪些？（同時(shí)在黑板上畫(huà)出三個(gè)不同類型的三角形）問(wèn)2：在三角形中，角與對(duì)邊之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角）

（2）觀察直角三角形，提出猜想

問(wèn)：能否用一個(gè)等式把這種關(guān)系精確地表示出來(lái)？

在初中，我們已學(xué)過(guò)如何解直角三角形，下面就首先來(lái)探討直角三角形中的角與邊的等式關(guān)系。如圖，在Rt?ABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有a

?sinA，b?sinB，又sinC?1?c,則ac

sinA?b

sinB?sinC?c

從而在直角三角形ABC中，a

sinA?b

sinB?c

sinC問(wèn)：這種關(guān)系在銳角三角形中能否成立？

三、證明猜想，得出定理[探究] C（１）化歸思想，把銳角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形證明。

首先，證明當(dāng)?ABC是銳角三角形時(shí)的情況。證法如下：

設(shè)邊AB上的高是CD（目的是把斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形），根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=asinB?bsinA,則a

sinA?b

sinB，同理可得cbsinC?sinB，從而abc?sinAsinB?sinC

其次，提問(wèn)當(dāng)?ABC是鈍角三角形時(shí)，以上關(guān)系式仍然成立？（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）最后提問(wèn)：還有其它證明方法嗎？（向量方法）

（２）向量思想，把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題證明。

由于涉及邊長(zhǎng)問(wèn)題，從而可以考慮用向量來(lái)研究這問(wèn)題。

證明：過(guò)點(diǎn)A作單位向量j?????AC?????????CB???，由向量的加法可得 AB?AC?

j??????AB?j???(??AC???CB???·

則)

j??????AB??j????AC????j??CB???

∴?j???AB?

cos?900?A??0??j???CB?cos?

900?C?

a∴csinA?asinC，即?c A?????bc同理，過(guò)點(diǎn)C作j?BC，可得?

ab

從而sinA?sinB?c

sinC

（3）得出定理，細(xì)說(shuō)定理

從上面的研探過(guò)程，和證明可得以下定理：

正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即ab

sinA?sinB?c

sinC

四、定理運(yùn)用，解決實(shí)例

例1．在 △ABC 中,已知 A?30?,B?45?，a?2 cm，求C、b及c

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C?1800?(A?B)?180??(30??45?)?105?

a2?sinB?sin45?22（cm）； ?sinAsin30

a2?sinC?sin105?6?2（cm）c??sinAsin30根據(jù)正弦定理，b?

說(shuō)明：

1、學(xué)生講出解題思路，老師板書(shū)以示解題規(guī)范。

2、已知三角形的幾個(gè)元素，求其他元素的過(guò)程叫作解三角形。

3、解題時(shí)利用定理的變形a?ksinA，b?ksinB，c?ksinC更易解決問(wèn)題。

例2．在 △ABC中，已知 a?6cm，b?6cm，A?30?，解三角形。

解：根據(jù)正弦定理，sinAsin30?3sinB?（？Ｂ角一定是銳角嗎？還有可能是什么角？如何判定？）b?63?a6

2因?yàn)?0＜B＜1800，所以，B=60或120 oo

⑴ 當(dāng)B=60時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??60?)?90?，o

c?a6sinC?sin90??12(cm)?sinAsin30

⑵ 當(dāng)B=120時(shí)，C?180??(A?B)?180??(30??120?)?30?，o

c?a6?sinC?sin30?6(cm)?sinAsin30

說(shuō)明：

1.讓學(xué)生講解題思路，其他同學(xué)補(bǔ)充說(shuō)明，目的是要求學(xué)生注意分類討論思想（可能有兩解）。

2.求角時(shí)，為了使用方便正弦定理還可以寫(xiě)成sinAsinBsinC??abc

3.用正弦定理的解題使用的題型：邊角成對(duì)已知（1第一類：已知任意兩角及其一邊；

第二類：已知任意兩邊與其中一邊的對(duì)角。對(duì)+1個(gè)），五、活學(xué)活用，當(dāng)堂訓(xùn)練

練習(xí)1在?ABC中，已知下列條件，解三角形。

（說(shuō)明：可以讓學(xué)生上黑板扮演或通過(guò)實(shí)物投影解題的規(guī)范和對(duì)錯(cuò)。）

（1）A?45，C?30，c?10cm，（2）a?20，b?11，B?30

練習(xí)2：[合作與探究]：某人站在靈山江岸邊樟樹(shù)B處，發(fā)現(xiàn)對(duì)岸發(fā)電廠A處有一棵大樹(shù)，如何求出A、B兩點(diǎn)間的距離？（如圖）???

六、回顧課堂，嘗試小結(jié)

①本節(jié)課學(xué)習(xí)了一個(gè)什么定理？

②該定理使用時(shí)至少需要幾個(gè)條件？

七、學(xué)有所成，課外續(xù)學(xué)

１、課本第10頁(yè)習(xí)題1.1A組1、2題

２.思考題：在?ABC中，a

sinA

?bsinB?csinC?k(k>o)，這個(gè)k與?ABC的外接圓半徑R有什么關(guān)系？

3八、板書(shū)設(shè)計(jì)

第三篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)目標(biāo)分析

1、知識(shí)與技能：通過(guò)對(duì)銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

2、過(guò)程與方法：讓學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合以前學(xué)習(xí)過(guò)的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學(xué)生體會(huì)完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學(xué)生在應(yīng)用定理解決問(wèn)題的過(guò)程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：面向全體學(xué)生，創(chuàng)造平等的教學(xué)氛圍，通過(guò)學(xué)生之間、師生之間的交流、合作和評(píng)價(jià)，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的探索性與創(chuàng)造性，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力和探索數(shù)學(xué)規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)忍不拔的意志、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和樂(lè)于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：通過(guò)對(duì)銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運(yùn)用正弦定理解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

難點(diǎn)：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過(guò)程；②已知兩邊以及其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)解的個(gè)數(shù)的判斷。

三、教法與學(xué)法分析

本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識(shí)有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識(shí)。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點(diǎn)，為更有效的突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，教學(xué)中采用探究式課堂教學(xué)模式，首先從學(xué)生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計(jì)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境，將新知識(shí)與學(xué)生已有的知識(shí)建立起密切的聯(lián)系，通過(guò)學(xué)生自己的親身體驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，激發(fā)學(xué)生的求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主動(dòng)參與的積極性，引導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用新知識(shí)解決新問(wèn)題，即在教學(xué)過(guò)程中，讓學(xué)生的思維由問(wèn)題開(kāi)始，通過(guò)猜想的得出、猜想的探究、定理的推導(dǎo)等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學(xué)過(guò)程中鼓勵(lì)學(xué)生合作交流、動(dòng)手實(shí)踐，通過(guò)對(duì)定理的推導(dǎo)、解讀、應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、總結(jié)、歸納解答過(guò)程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學(xué)法上，采用個(gè)人探究、教師講解，學(xué)生討論相結(jié)合的方法，讓學(xué)生在問(wèn)題情境中學(xué)習(xí)，自覺(jué)運(yùn)用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，重視學(xué)生自主探究，增強(qiáng)學(xué)生由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維能力，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和嚴(yán)謹(jǐn)求真的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

四、學(xué)情分析

對(duì)于高一的學(xué)生來(lái)說(shuō)，已學(xué)的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識(shí)，有一定觀察分析、解決問(wèn)題的能力，但對(duì)前后知識(shí)間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時(shí)，由于學(xué)生目前還沒(méi)有學(xué)習(xí)習(xí)近平面向量，因此，對(duì)于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒(méi)有涉及到。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師恰當(dāng)引導(dǎo)，提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析問(wèn)題、解決問(wèn)題并品嘗勞動(dòng)成果的喜悅。

五、教學(xué)工具

多媒體課件

六、教學(xué)過(guò)程 創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個(gè)好的開(kāi)頭，那就意味著成功了一半。上課一開(kāi)始，我先提出問(wèn)題：

工人師傅的一個(gè)三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長(zhǎng)為1m，但他不知道AC和BC的長(zhǎng)

是多少而無(wú)法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長(zhǎng)度嗎？ 教師：請(qǐng)大家思考，看看能否用過(guò)去所學(xué)過(guò)的知識(shí)解決

這個(gè)問(wèn)題？（約2分鐘思考后學(xué)生代表發(fā)言）學(xué)生活動(dòng)一:

（教師提示）把這個(gè)實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長(zhǎng)”，本題是通過(guò)三角形中已知的邊和角來(lái)求未知的邊和角的這個(gè)過(guò)程，我們把它習(xí)慣上叫解三角形，要求邊的長(zhǎng)度，過(guò)去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進(jìn)行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學(xué)生：如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識(shí)可分別求出CD和BD的長(zhǎng)度，把所求出的CD和BD的長(zhǎng)度相加即可求出BC的長(zhǎng)度。教師：這位同學(xué)的想法和思路非常好，簡(jiǎn)直是一位天才

（同時(shí)再一次回顧該同學(xué)具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對(duì)BC進(jìn)行求解呢？ 學(xué)生：可以

教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？

學(xué)生：過(guò)點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來(lái)，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長(zhǎng)度 教師：總結(jié)學(xué)生的做法

通過(guò)作兩條高線后，即可把AC、BC的長(zhǎng)度用已知的邊和角表示出來(lái)

接下來(lái)，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)：

oo教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學(xué)生1：同樣的做法（仍得作高）

學(xué)生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長(zhǎng)度 教師：還需要再次作高嗎？ 學(xué)生：不用

教師：對(duì)于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長(zhǎng)”的問(wèn)

題是否都可以用上述兩個(gè)等式進(jìn)行解決呢？ 學(xué)生：可以

教師：既然這兩個(gè)等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個(gè)

等式，以后若是再遇見(jiàn)銳角三角形中的這種問(wèn)題，直接應(yīng)用這兩個(gè)等式 并進(jìn)行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個(gè)等式的形式是否容易記憶呢？ 學(xué)生：不容易

教師：能否美化這個(gè)形式呢？

學(xué)生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個(gè)結(jié)論，到底表達(dá)的是什么意思呢？ 學(xué)生：在銳角三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個(gè)等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來(lái)就

讓我們分別來(lái)驗(yàn)證一下，看看這個(gè)等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個(gè)等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗(yàn)證呢？請(qǐng)大家思考。

學(xué)生活動(dòng)二：驗(yàn)證

教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導(dǎo)公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉(zhuǎn)化為）

學(xué)生：學(xué)生可分小組進(jìn)行完成，最終可由各小組組長(zhǎng)

匯報(bào)本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）

教師：我們?cè)阡J角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個(gè)等式成立，接下來(lái)，用類比的方法對(duì)

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進(jìn)行驗(yàn)證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個(gè)等式對(duì)于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時(shí)能否說(shuō)：“這

個(gè)等式對(duì)于任意的三角形都成立”呢？ 學(xué)生：可以

教師：這就是我們這節(jié)課要學(xué)習(xí)的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過(guò)程

證明：（1）當(dāng)三角形是銳角三角形時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過(guò)點(diǎn)B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當(dāng)三角形是直角三角形時(shí)；

在直角三角形ABC中：若 因?yàn)椋?/p>

所以：

故：

即：

（3）當(dāng)三角形是鈍角三角形時(shí)（角C為鈍角）

過(guò)點(diǎn)A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對(duì)于任意的三角形都有

教師：這就是本節(jié)課我們學(xué)習(xí)的正弦定理（給出定理的內(nèi)容）

（解釋定理的結(jié)構(gòu)特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問(wèn)題呢？ 學(xué)生：在一個(gè)等式中可以做到“知三求一” 定理的應(yīng)用

教師：接下來(lái)，讓我們來(lái)看看定理的應(yīng)用（回到剛開(kāi)始的那個(gè)實(shí)際問(wèn)題，用正弦

定理解決）（板書(shū)步驟）

成立。

隨堂訓(xùn)練

學(xué)生：獨(dú)立完成后匯報(bào)結(jié)果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實(shí)正弦定理的應(yīng)用相

當(dāng)廣泛，那么它到底可以解決什么問(wèn)題呢，這里我送大家四句話：“近測(cè)

高塔遠(yuǎn)看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮）

課堂小結(jié)：

1、知識(shí)方面：正弦定理：

2、其他方面：

過(guò)程與方法：發(fā)現(xiàn)

推廣

猜想

驗(yàn)證

證明

（這是一種常用的科學(xué)研究問(wèn)題的思路與方法，希望同學(xué)們?cè)诮?/p>

后的學(xué)習(xí)中一定要注意這樣的一個(gè)過(guò)程）

數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業(yè)布置： ①書(shū)面作業(yè)：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓(xùn)練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？

板書(shū)設(shè)計(jì)：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應(yīng)用：

檢測(cè)評(píng)估：

第四篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識(shí)目標(biāo):通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會(huì)運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問(wèn)題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識(shí)出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對(duì)角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問(wèn)題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過(guò)三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識(shí)間的聯(lián)系來(lái)體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)判斷解的個(gè)數(shù)。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測(cè)角儀和皮尺，你能測(cè)出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測(cè)出觀看鐵塔的仰角，再測(cè)出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測(cè)出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問(wèn)題的過(guò)程中我們將距離的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。這個(gè)實(shí)際問(wèn)題說(shuō)明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個(gè)側(cè)面來(lái)研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個(gè)角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說(shuō)在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒(méi)有一個(gè)量可以把三個(gè)式子聯(lián)系起來(lái)？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來(lái)，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對(duì)，很美、很對(duì)稱的一個(gè)式子，用文字來(lái)描述就是：“在一個(gè)直角三角形中，各邊與

它所對(duì)角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們?cè)趲缀萎?huà)板中驗(yàn)證一下，對(duì)任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對(duì)角的正弦比相等”成立？

【師】：通過(guò)驗(yàn)證我們得到，在任意的三角形中都有各個(gè)邊和他所對(duì)的角的正弦值相等。

在上面這個(gè)對(duì)稱的式子中涉及到了三角形三個(gè)角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗(yàn)證是不夠的，那能不

能對(duì)這個(gè)定理給出一個(gè)證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對(duì)正弦定理進(jìn)行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個(gè)式子同時(shí)處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過(guò)的向量來(lái)證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來(lái)證明正弦定理呢？大家觀察，這個(gè)式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運(yùn)算同時(shí)涉及到向量的夾角和模呢？

（板書(shū)：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個(gè)邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個(gè)向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個(gè)又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過(guò)做點(diǎn)A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來(lái)得到）

【生】：做A點(diǎn)的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式子的兩邊同時(shí)做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡(jiǎn)000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個(gè)單位向量j，把向量j和上面那個(gè)式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時(shí)做數(shù)量積運(yùn)算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡(jiǎn)即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等這個(gè)結(jié)論。

【師】：經(jīng)過(guò)上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對(duì)

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個(gè)式子，它是一個(gè)比例式。對(duì)于一個(gè)比例式來(lái)說(shuō)，如果

我們知道其中的三項(xiàng)，那么就可以根據(jù)比例的運(yùn)算性質(zhì)得到第四項(xiàng)。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對(duì)角求另外一邊的對(duì)角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實(shí)大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實(shí)只要有上面的任意一個(gè)條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來(lái)看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】?jī)?yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運(yùn)算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問(wèn)題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因?yàn)閮蓚€(gè)角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺(tái)板演）

【隨堂檢測(cè)】見(jiàn)幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對(duì)的角的正弦值相等。寫(xiě)成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問(wèn)題。對(duì)于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實(shí)對(duì)于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測(cè)自評(píng)、例

1、例

2板書(shū)設(shè)計(jì)：

六、教學(xué)反思

第五篇：必修5 正弦定理1

必修51.1.1正弦定理（學(xué)案）

【學(xué)習(xí)要求】

1．發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及證明方法。

2．會(huì)初步應(yīng)用正弦定理解斜三角形．

3．三角形的面積公式

【學(xué)習(xí)過(guò)程】

1.正弦定理證明方法：（1）定義法（2）向量法（3法四：法一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中，S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA.兩邊同除以abc即得：

法三：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ,∴CD?2R?.同理2R =＝.可將正弦定理推廣為：abc== =2R（R為△ABC外接圓半sinAsinBsinC12121212abc==.sinAsinBsinC徑）.2.正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比相等，都

等于這個(gè)三角形的外接圓的直徑，即

注意：正弦定理本質(zhì)是三個(gè)恒等式：

三角形的元素：a,b,c,??,??,?C

已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫解三角形。

3.定理及其變形 ：（1）sinA:sinB:sinC=a:b:c；

a?b?cabc(2)====2R； sinAsinBsinCsinA?sinB?sinC

（3）a=2RsinA,；b=_2RsinB ；c=2RsinC；

abc（4）sinA=；sinB=；sinC=.2R2R2R

4.正弦定理可以解決的問(wèn)題：

（1）_已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和一角；（唯一解）abc=== 2RsinAsinBsinCabcbac??，, =.sinAsinCsinCsinBsinCsinB

（2）已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求其他的邊和兩角．（常見(jiàn)：大一小二）

5.常用面積公式：

對(duì)于任意?ABC，若a，b，c為三角形的三邊，且A,B,C為三邊的對(duì)角，則三角形的面積為：

111①S?ABC?_____ha(ha表示a邊上的高）.②S?ABC?absinC?acsinB?____________ 22

2例1：在?ABC中，已知A?45?,B?30?,c?10,求b.例2：在?ABC中，已知A?45?,a?2,b?2,求B

例3：在?ABC中，已知B?45?,a?,b?2,求A,C和c

總結(jié)：（1）已知兩角和任意一邊，求解三角形時(shí)，注意結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理求出已知邊的對(duì)角；應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性

（2）應(yīng)用正弦定理時(shí)注意邊與角的對(duì)應(yīng)性;注意由sinC求角C時(shí)，討論角C為銳角或鈍角的情況.例4不解三角形，判斷下列三角形解的個(gè)數(shù)．

(l)a=5,b=4，A=120?（2）a =7,b=l4,A= 150?(3)a =9,b=l0,A= 60?（4）c=50,b=72,C=135?練習(xí)：

1、在△ABC中，一定成立的是

A、acosA?bcosBB、asinA?bsinBC、asinB?bsinAD、acosB?bcosA

2．在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c?3．已知在△ABC中，a=10，∠A=60°，b=10，則cosB=___________.4．在△ABC中，已知a?2,b?2,A?30?，解三角形。

5.（1）在?ABC中，已知b?,B?600,c?1,求a和A,C

（2）?ABC中，c?,A?450,a?2,求b和B,C

6.在△ABC中，若∠A=60，∠B=45，a?求△ABC的面積。00