第一篇：一道幾何證明題的探究

一道幾何證明題的探究

在很多人眼里，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)首先是識(shí)記一些知識(shí)點(diǎn)，其次更重要的是要做大量的題，見很多不同的題，這樣才能真正把數(shù)學(xué)學(xué)好。但是在茫茫題海中很多學(xué)生卻找不到了方向，這又是為什么呢？其實(shí)上面這種題海的學(xué)習(xí)方法并不完全正確，做題固然重要，但是知識(shí)點(diǎn)也同等重要，做題只是一個(gè)手段，是為了更好的掌握所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，更重要的是通過一道題你真正從當(dāng)中學(xué)會(huì)什么知識(shí)，學(xué)會(huì)什么解題方法等等，換句話說題不一定要做多，關(guān)鍵是要做得“精”，每做一道題就要從當(dāng)中去“挖”你所需要的東西，之后再和你所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行聯(lián)系對(duì)比學(xué)習(xí)，這樣兩者結(jié)合才是學(xué)好數(shù)學(xué)的最佳辦法，比如我們從下面一道題來講解。

例.如圖：在?ABC中，?B?2?C.A

求證：AC?2AB

分析：這道題的已知條件是給出一個(gè)三角

形和一個(gè)等式，要證明的卻是一個(gè)不等

C式，從所學(xué)過的三角形知識(shí)入手，聯(lián)系已B

知條件和結(jié)果的重要定理為：三角形兩邊

之和大于第三邊，故應(yīng)該把AC（或者是和AC相等的線段）和AB（或者是和AB相等的線段）放在同一個(gè)三角形里邊，這道題的關(guān)鍵就是如何構(gòu)造含AC和AB的三角形。

證法一：（割補(bǔ)法中“補(bǔ)邊”的思想）

延長(zhǎng)線段CB到點(diǎn)D，使得BD?AB

?BD?BA

A??D??BAD

又??ABC??D??BAD

??ABC?2?D

又??ABC?2?C

DB??C??D

?AC?AD

在?ABD中，AD?AB?DB?2AB

?AC?2AB

這種證法是把AB和與AC相等的線段AD放在同一個(gè)三角形里，欲證明結(jié)論只需要證明BD?BA，通過唯一的一個(gè)條件?B?2?C可以證明到?ABD為等腰三角形，再利用三角形的不等式性質(zhì)可以輕松進(jìn)行證明。

證法二：（割補(bǔ)法中“割邊”的思想）A

作AD交BC于點(diǎn)D，使AB?AD

??B??ADB

??ADB??C??DAC,??B??C??DAC

B又 ??B?2?C DCC

??C??DAC?AD?DC又?AB?AD

?AB?AD?DC在?ADC中，AC?AD?DC

?AC?2AB

這種證明方法是通過把AC?2AB中的2AB化為AD?DC，與證法一類似還是通過構(gòu)造等腰三角形和三角形的兩邊之和大于第三邊來證明結(jié)論。

證法三：（割補(bǔ)法中“補(bǔ)角”的思想）

以C為頂點(diǎn)作?BCD??ACB其中CD與AB的延長(zhǎng)線角于點(diǎn)D??ABC?2?ACB,?ACB??BCD??BCD為等腰三角形；故BD?BC,2BC?CD??A??A;?ABC??ACD??ABC∽?ACD?

AB

ACCD2

?AC?2AB

?BC

?1

B

C

A

D

這種證法與證法一相對(duì)應(yīng)，證法一是通過補(bǔ)邊得到等腰三角形，這里是 通過補(bǔ)角構(gòu)造等腰三角形來進(jìn)行證明。證法四：（割補(bǔ)法中“割角”的思想）

A作?ABC的角平分線BD交AC于點(diǎn)D

易證：?ABD∽?ACB?

ABAC

?BDCB

?AB?

AC?BDBC

C

又??ABC?2?C

B

??BCD為等腰三角形?BD?DC

又?BC?2BD(三角形兩邊之和大于第三邊）?AB?

AC?BDBC

?

AC?BD2BD

?AC2

?AC?2AB

這種證明方法與證法二相對(duì)應(yīng)，證法二是通過割邊，這里是通過割角來構(gòu)造等腰三角形，利用三角形相似來得到AC和2AB的大小關(guān)系。

證法五：作?ABC的外接圓⊙o

作AC的中垂線OD交⊙o于點(diǎn)D則AD=DC

又 ??B?2?C??

ADC=2AB

B

?AB?AD?DC

在?ADC中，AD?DC?AC?AC?2AB

這種證明方法是通過三角形外接圓的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形來進(jìn)行證明。

證法六：由正弦定理得：則

ABsinC

?

ACsin2C

?

AC2sinCcosC

A

AB

AC2cosC

又 ?0?cosC?1

?

?

ABAC

?

12cosC

?

B

C

即AC?2AB

（附：正弦定理：

ABsinC

?ACsinB

?BCsinA

?2R，R為?ABC外接圓半徑）

很多人一看這道題還以為只是在講一題多解的問題，其實(shí)并不是這樣，因?yàn)楫?dāng)中蘊(yùn)含著很多的東西。通過這道題我們可以想到一些問題：（1）一道幾何題，甚至可以說是一道數(shù)學(xué)題，往往都可以一題多解。（2）通過一題多解可以培養(yǎng)學(xué)生不斷思考的能力，有利于學(xué)生思維的培養(yǎng)。（3）正是由于一題多解就導(dǎo)致其中會(huì)涉及到很多內(nèi)容，很多知識(shí)點(diǎn)，很多學(xué)生在做了題過后根本就不知道做題是為了什么？他有沒有學(xué)到東西？其實(shí)做題只是一個(gè)手段，是為了通過題來更好地掌握知識(shí)，把所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，方法學(xué)會(huì)。這道題看似很簡(jiǎn)單，其實(shí)把每種解法看了過后，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)里面幾乎涉及了所有初中幾何方面的知識(shí)，比如：輔助線的作法，角平分線定理，正弦定理，圓的知識(shí)等等。也就是說每做一道題我們都應(yīng)該教學(xué)生如何去思考，往深處想，往廣處想，看似越簡(jiǎn)單的題里面蘊(yùn)含的知識(shí)，方法就越多，不要做完題就“走人”，這樣是達(dá)不到學(xué)習(xí)效果的，如果長(zhǎng)期以這種態(tài)度做題，即使你做再多的題也是沒有效果的。

第二篇：從一道幾何證明題談面積法

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從一道幾何證明題談面積法

作者：李小龍

來源：《理科考試研究·初中》2014年第01期

如圖，已知在△ABC中，AB=AC，P是BC上任一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F求證：CF=PD+PE

對(duì)于該題，一般同學(xué)會(huì)想到截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法

如圖2，過點(diǎn)P作P⊥CF于，則四邊形PFD是矩形，則PD=F易證△PC≌△CPE，則C=PE于是CF=F+C=PD+PE這種方法叫做截長(zhǎng)法

如圖3，過點(diǎn)C作CN⊥DP交DP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則四邊形NCFD是矩形，則CF=DN易證△CPN≌△CPE，則PN=PE于是CF=DN=PD+PN=PD+PE這種方法叫做補(bǔ)短法

無論是截長(zhǎng)法還是補(bǔ)短法，都需要證明三角形全等，比較麻煩如果能夠注意到已知條件中的垂直條件，聯(lián)想到三角形的面積公式，于是便有如下簡(jiǎn)捷證法：

如圖4，連結(jié)AP，則S△ABC=S△ABP+S△ACP

由PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，得

這樣我們僅根據(jù)圖形面積間的關(guān)系，利用三角形的面積公式便輕而易舉地完成證明這種證明幾何命題的方法叫做“面積法”巧用“面積法”證明幾何命題，往往能收到出奇制勝、簡(jiǎn)捷明快之效

說明平行線具有“傳遞面積”的功能也就是說，如果兩條直線互相平行，那么在其中一條直線上取兩定點(diǎn)，以這兩個(gè)定點(diǎn)和另一條直線上的任意一點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積都相等

第三篇：幾何證明題

幾何證明題集（七年級(jí)下冊(cè)）

姓名：_________班級(jí)：_______

一、互補(bǔ)”。

E

D

二、證明下列各題：

1、如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠D，求證：DB//EC.E D

3ACB2、如圖，已知AD//BC，∠1=∠B，求證：AB//DE.AD BCE3、如圖，已知∠1+∠2=1800，求證：∠3=∠4.EC

A1 O

4B

D F4、如圖，已知DF//AC，∠C=∠D,求證：∠AMB=∠ENF.E DF

N

M

AC B5、如圖，在三角形ABC中，D、E、F分別為AB、AC、BC上的點(diǎn)且DE//BC、EF//AB，求證：∠ADE=∠EFC.C

EF

AB D6、如圖，已知EC、FD與直A線AB交于C、D兩點(diǎn)且∠1=∠2，1求證：CE//DF.CE

FD

2B7、如圖，已知∠ABC=∠ADC，BF和DE分別是∠ABC和∠ADC的平分線，AB//CD，求證：DE//BF.FDC

A E8、如圖，已知AC//DE，DC//EF，CD平分∠BCA，求證：EF平分∠BED.B

F

ED

AC9、如圖,AB⊥BF,CD⊥BF, ∠A=∠C,求證: ∠AEB=∠F.CFBDE10、如圖，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2，求證：DG//AB.A

EGBCDF11、在三角形ABC中，AD⊥BC于D，G是AC上任一點(diǎn)，GE⊥BC于E，GE的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于F，∠BAD=∠CAD，求證：∠AGF=∠F.F

A

G

BCDE12、如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B=∠5，求證：CE//DF.F

E 4G1AD 5 2B13、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B+∠D.A

CBED14、如上圖，已知∠BCD=∠B+∠D，求證：AB//CD.15、如圖，AB//CD，求證：∠BCD=∠B-∠D.BA

ED

C16、如上圖，已知∠BCD=∠B-∠D，求證：AB//CD.17、如圖，AB//CD，求證：∠B+∠D+∠BED=3600.BA

E

DC18、如上圖，已知∠B+∠D+∠BED=3600，求證：AB//CD.

第四篇：一道初中幾何證明題的三種解法

證明題：

證明：AB+AC>BD+DE+EC

解法1：

解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC先證2.AB+AC>GB+GC再證3.GB+GC>BD+DE+EC由2.和3.證得1.證明：

延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)F，延長(zhǎng)CE交DF于點(diǎn)G?！逜B+AF>BF,FC+FG>GC;……….兩邊之和大于第三邊

C

C

∴AB+AF+FC+FG>BF+GC;……..不等式性質(zhì)（如果A>B,C>D，那么A+C>B+D）∵AF+FC=AC;

∴AB+AC+FG>BF+GC;∵BF=BG+FG;

∴AB+AC+FG> BG+FG+GC;

∴AB+AC> BG+ GC;………不等式性質(zhì):如果a>b,那么a+c>b+c(不等式的可加性).此處為同加-FG。

∵GD+GE>DE

∴GD +GE+DB +EC> DE+DB+ EC……不等式的可加性?！逩D+DB=GB,GE+EC=GC;∴GB+GC>DE+DB+EC;

∴AB+AC>DE+DB+EC……..不等式的傳遞性（AB+AC> BG+ GC>DE+DB+EC）

解法2.解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC先證2.AB+AC>BF+FC再證3.BF+FC>BD+DE+EC

由2.和3.證得1.證明：延長(zhǎng)BD、CE,交于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作直線交AB于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)H.∵AG+AH>GH,GH=GF+FH;∴AG+AH>GF+FH;

∴AG+AH+GB+HC>GF+FH+GB+HC;∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;∴AB+AC> GF+FH+GB+HC;∵GF+GB>FB,FH+HC>FC;∴GF+FH+GB+HC>FB+FC;∴AB+AC> FB+FC;

∵FD+FE>DE;

C

∴FD+FE+DB+EC>DE+BD+EC;

∵FD+DB=FB,FE+EC=FC;

∴FB+FC>DE+BD+EC;

∴AB+AC>BD+DE+EC.解法3.解題思路：要證1.AB+AC>BD+DE+EC

先證2.AB+AC>BG+GD+DE+EH+HC再證3.BG+GH+HC>BD+DE+EC由2.和3.證得1.證明：延長(zhǎng)DE交AC于點(diǎn)H,延長(zhǎng)ED交AB于點(diǎn)G.∵AG+AH>GH,GH=GD+DE+EH;

∴AG+AH> GD+DE+EH;

∴AG+AH+BG+HC> GD+DE+EH+BG+HC;

∵AG+GB=AB,AH+HC=AC;

∴AB+AC>GD+DE+EH+BG+HC;

∵BG+GD>BD,EH+HC>EC;

∴GD+DE+EH+BG+HC>BD+DE+EC;

∴AB+AC>BD+DE+EC.C

第五篇：幾何證明題(難)

附加題：

1、已知：如圖，△ABC中,AG⊥BC于點(diǎn)G,以A為直角頂點(diǎn),分別以AB、AC為直角邊,向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF,過點(diǎn)E、F作射線GA的垂線,垂足分別為P、Q．求證：EP=FQ

2、已知：如圖，在△ABC中，已知AB=AC，且△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE、始終經(jīng)過點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)。求證：△ABE∽△ECM；

3、已知：如圖，四邊形ABCD，M為BC邊的中點(diǎn)．∠B=∠AMD=∠C 求證：AM=DM

DA

BCM

4、如圖，P為線段AB上一點(diǎn)，AD與BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于F，AD交PC于G，找出圖中的三對(duì)相似三角形，并給予證明。

D

C

E

FG

A BP

5、已知：如圖，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF=45°，求證：EF2=BE2+FC2．

證明：把△ACF繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使AC和AB重合;設(shè)F旋轉(zhuǎn)之后的點(diǎn)是G

6、已知：如圖,AB∥GH∥CD,求證：

111+= ABCDGH7、已知：點(diǎn)F是等邊三角形ABC的邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，（1）、如圖，過點(diǎn)F的直線DE交線段AB于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且CE=AD，求證：FD=FE A

DG F

CBE

（2）、如圖，過點(diǎn)F的直線DE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E，且CE=AD，求證：FD=FE