第一篇：證明線段之間關(guān)系的技巧

證明線段之間數(shù)量關(guān)系的技巧

證明兩線段相等

★1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。

★2.同一三角形中等角對(duì)等邊。

3.等腰三角形三線合一。

★4.直角三角形中斜邊上的中點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等。

6.中垂線上任意一點(diǎn)到線段兩端距離相等。

7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等?！?.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。

2.*證明線段不等

1.同一三角形中，大角對(duì)大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

5.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

證明兩條線段（直線）之間位置關(guān)系的技巧

證明兩條直線互相垂直

★1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對(duì)的角是直角。3.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。4.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

★8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對(duì)角線互相垂直。

★10.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙??！?1.利用半圓上的圓周角是直角。

證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行。3.平行四邊形的對(duì)邊平行。

★4.三角形的中位線平行于第三邊?！?.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

★7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對(duì)應(yīng)成比例，則這條直線

平行于第三邊。

例1.如圖

3垂線。求證：KH∥

例2.已知：如圖6于O。

求證：AC＝AE

DE。

求證：EC＝ED

例3.已知?ABC

例4.如圖，AB（1）求證：CF=BF（2）若AD=2，⊙O的半徑為3，求BC的長

1.已知：如圖

于E，且有

2.已知：如圖求證：BC＝

3.已知：如圖13所示，過?ABC的頂點(diǎn)A，在∠A內(nèi)任引一射線，過B、C作此射線的垂線BP和CQ。設(shè)M為BC 求證：MP＝MQ

4.(2009年濰坊)交于點(diǎn)I，延長AI交圓（1）求證：BD=DC=DI（2）若圓O的半徑為

第二篇：證明線段相等的技巧

證明線段相等的技巧

要證明兩條線段相等，一般的思路是從結(jié)論入手，結(jié)合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無外乎有三種情況：

（1）要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個(gè)三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。

一、如果要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中

一般的思路是利用兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等。

例1 已知：如圖1，B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連結(jié)AE、DB，求證：AE=DB。

二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中

一般的思路是利用等角對(duì)等邊。

例2 已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長線于F，求證：AE=AF。

三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況

一般的思路是作輔助線構(gòu)成全等三角形或利用面積法來證明。

例3 已知：如圖3，△ABC中AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長線上一點(diǎn)，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。

例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點(diǎn)，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求證：AG=CH。

分析：從結(jié)論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個(gè)三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個(gè)三角形中，但顯然不全等，作輔助線構(gòu)成全等三角形也無法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時(shí)就應(yīng)該想到面積法，作輔助線構(gòu)成兩個(gè)等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結(jié)合已知條件可知構(gòu)成平行四邊形，延長AD到S使DS=AE，連結(jié)CS。延長ACD到R使DR=CF，連結(jié)AR證明略。

證明線段和角相等的技巧

⒈ 怎樣證明兩線段相等

證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有：

⑴ 三角形

①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對(duì)等邊；

②證明三角形全等：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；

③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；

④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；

⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等； ⑥過三角形一邊的中點(diǎn)平行于另一邊的直線必平分第三邊；

⑵ 證特殊四邊形

①平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分；

②矩形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊都相等；

③等腰梯形兩腰相等，兩條對(duì)角線相等；

⑶ 圓

①同圓或等圓的半徑相等；

②圓的軸對(duì)稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦；

③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量

都相等；

④從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等；

⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；

等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若a

c?b

c，則a=b.此外，也有通過計(jì)算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等

證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有：

⑴ 同角（或等角）的余角、補(bǔ)角相等；

⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；

⑶ 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；

⑷ 全等三角形、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；

⑸ 同一三角形中，等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一；

⑹平行四邊形的對(duì)角相等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角、圓心角相等；

第三篇：021幾何中線段關(guān)系證明歸納

幾何中線段關(guān)系證明歸納

幾何證明是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容之一，而線段關(guān)系的證明又是幾何證明中的一個(gè)重點(diǎn)，本文將線段關(guān)系證明有關(guān)知識(shí)歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)參考：

一、證線段不等關(guān)系的證明：

1、利用三角形三邊關(guān)系兩邊之和大于第三邊

例

1、已知：P為?ABC內(nèi)任一點(diǎn)。求證：1?AB?BC?AC??AP?BP?CP?AB?BC?AE。

2證明：延長BP交AC于D點(diǎn)，則

在?ABD中，BP+PD

在?PCD中，CP－PD

∴BP+CP

同理，CP+AP

將以上三式相加：

2（AP+BP+CP）<2（AB+BC+AC）即AP+BP+CP

在?PAB中，AB

在?PBC中，BC

在?PAC中，AC

三式相加：AB+BC+AC<2（AP+BD+CP）

∴1?AB?BC?AC??AP?BP?CP?AB?BC?AC 2

A 例

2、如圖在?ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DM⊥DN，分別交AB、AC于

M、N，連結(jié)MN，求證：BM＋CN＞MN。

略證：連結(jié)MD并延長至點(diǎn)P，使MD＝DP，連結(jié)NP、CP

PM N C

?MND??PND?MN?PN?

?

?BDM??CDP?BM?CP??BM?CN?MN

??PNC?CP?NC?PN?

2、一個(gè)三角形中較大角所對(duì)的邊較大

二、證線段平方關(guān)系

1、利用勾股定理

例

2、在?ABC中，?A?900，點(diǎn)D和E分別在AC、AB上。

求證：BD2?DE2?BC2。

證明：∵∠A=900由勾股定理 BD2=AB2+AD2DE2=AE2+AD2 ∴BD2－DE2=AB2－AE

2又∵BC2=AB2+AC2CE2=AE2+AC2 ∴BC2－CE2=AB2－AE2BD2―DE2=BC22、利用切割線定理：

3、射影定理

4、垂徑定理

C

三、證線段相等

1、利用線段中垂線性質(zhì)定理和角平分線性質(zhì)定理

例

3、等邊三角形ABC的?B、?C平分線相交于O點(diǎn)，OB和OC的垂

直平分線與BC分別相交于E、F，交OB于G，OC于H點(diǎn)。

A求證：BE=EF=FC

證明：∵?ABC是等邊三角形 ∴∠ABC=∠

又∵BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB

∴∠OBE=∠OCF=300連接OE、OF

∵EG，F(xiàn)H分別是BO、OC垂直平分線

又∵EB=EO，F(xiàn)C=FO∴∠EOB=∠EBO=30

00

∠FCO=∠FOC=30∵∠OEF=∠OFE=60

∴?OEF是等邊三角形∵OE=OF=EF∴BE=EF=FC

C2、利用三角形全等證線段相等

例

4、已知，如圖，?ABC，?DCE都是等邊三角形，且B、C、E共線，M、N

分別為BD、AE的中點(diǎn)。

求證：CM=CN。

證明：在?ACE和?BDE中CE=CDAC=BC∠ACE=600+∠ACD∠BCD=60

+∠

ACD

∵∠ACE=∠BCD

∴?ACE≌?BDE（SAS）又∵CM是BD邊中線，CN是AE邊中線

∴CM=CN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊上中線相等）

3、用線段比例關(guān)系

例4 已知：如圖，E是菱形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，AE交BC的延長線于F，EG∥AD交DF于G點(diǎn)．

求證EG=EC．

分析： 這里雖是證兩線段相等，但以前的方法很難湊效．題設(shè)中給了許多直線平行的條件，由此可寫出很多比例式．所以應(yīng)考慮通過證明比相等來證明線段相等的方法．

說明： 應(yīng)用比例證明線段相等的方法是：

五、證明線段的倍分關(guān)系

1、截長補(bǔ)短法

例

5、如圖，AE∥BC，AD、BD分別平分∠EAB、∠CBA，EC過點(diǎn)D。求證：AB=AE+BC。

證明：在AB上截取AF=ED，連結(jié)DFAE=AF∠1=∠2AD=AD

∵?AED≌?AFD（SAS）E

∴∠E=∠AFD

又∵AE∥BC∴∠E+∠C=1800∠AFD+∠C=1800

又∵∠AFD+∠DFB=1800

∴∠C=∠DFB∠3=∠4 BD=BD

∵?DFB≌?DCB（AAS）∴BF=BC即AB=AE+BC2、加倍折半法

例

6、已知?ABC中，AB=AC，E為AB中點(diǎn)，在AB延長線上取一點(diǎn)D，使BD=BA。

求證：CD=2CE。

證明：延長CE到F，使EF=CE，連結(jié)BF∵AE=EB，∠AEC=∠BEF，CE=FE

∵?AEC≌?BEF∴∠A=∠1，AC=BF

又∵AB=AC=BD

∴BF=BD，∠CBF=∠CBA+∠1，∠CBD=∠ACB+∠∴∠CBF=∠CBD

又∵BC=BC∴?CBF≌?CBD

∵CF=CD∴CE=1

CD∴CD=2CE

C

第四篇：兩點(diǎn)之間,線段最短教學(xué)設(shè)計(jì)

教學(xué)任務(wù)分析

教

學(xué)

目

標(biāo)

知識(shí)與技能

理解兩點(diǎn)之間，線段最短的結(jié)論，并能用這一結(jié)論解釋一些簡單的問題。

數(shù)學(xué)思考

經(jīng)歷觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點(diǎn)。

解決問題

初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度提出問題、理解問題，并能應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題；學(xué)會(huì)與他人合作，并能與他人交流思維的過程和結(jié)果。

情感態(tài)度價(jià)值觀

能積極參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，對(duì)數(shù)學(xué)有好奇心與求知欲；在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，鍛煉克服困難的意志，建立自信心；初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與人類生活的密切聯(lián)系，體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索與創(chuàng)造。

重點(diǎn)

結(jié)論的應(yīng)用過程和拓展問題的探究過程

難點(diǎn)

拓展問題的探究過程

教學(xué)流程安排

活動(dòng)流程圖

活動(dòng)內(nèi)容和目的

活動(dòng)1 熱身準(zhǔn)備 我想試試 活動(dòng)2 課題引入

1、幻燈片：組圖

2、數(shù)學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)3 新課教學(xué) 解釋、應(yīng)用與交流 問題

1、怎樣走最近？ 問題

2、河道長度 問題

3、九曲橋

3、拓廣探索與交流螞蟻爬行最短問題

課前準(zhǔn)備

活動(dòng)4 回顧、思考與交流

以這首小詩，激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。

以實(shí)際問題情境引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。

在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容

引導(dǎo)探究繼續(xù)深入，引發(fā)對(duì)問題的深層思考，滲透轉(zhuǎn)化思想學(xué)習(xí)、反思，提高、升華

教具

學(xué)具

補(bǔ)充材料

課件

正方體模型

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

問題與情景

師生行為

設(shè)計(jì)意圖

比較一下誰最短？

熱身準(zhǔn)備 我想試試 羅賽蒂

那個(gè)說我想試試的小孩 他將登上山巔，那個(gè)說我不成的小孩，在山下停步不前。我想試試每天辦成很多事，我不成就真一事無成。因此你務(wù)必說我想試試，將我不成棄于埃塵。

一、課題引入

1、幻燈片：組圖

綠地里本沒有路，走的人多了 你能解釋一下原因何在？

2、數(shù)學(xué)活動(dòng)：在紙上任意點(diǎn)兩點(diǎn)，用線聯(lián)接它們，量一下它們的長短，得出結(jié)論

二、新課教學(xué)

1、出課題：兩點(diǎn)之間，線段最短

學(xué)生朗讀我想試試

教師提出問題

學(xué)生獨(dú)立思考，小組交流后回答 教師布置數(shù)學(xué)活動(dòng)

學(xué)生分組進(jìn)行活動(dòng)，給出探究結(jié)論。

教師板書課題

地的最短道路？

以這首小詩，激發(fā)學(xué)生大膽參與課堂探究的勇氣。

以實(shí)際問題情境引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引入本節(jié)課題 動(dòng)手具體做一做，在做中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)

2、解釋、應(yīng)用與交流 問題

1、怎樣走最近？

如圖1，從A地到B地有四條道路，除它們外能否再修一條從A地到B

教師提出問題

學(xué)生思考、討論，發(fā)表看法

教師注意對(duì)學(xué)生幾何語言的訓(xùn)練（強(qiáng)調(diào)連接AB）

在解釋、應(yīng)用與交流中理解數(shù)學(xué)內(nèi)容

問題

2、河道長度

如圖2，把原來彎曲的河道改直，A、B兩地間的河道長度有什么變化？

圖2

問題

3、九曲橋

（2）如圖3，公園里設(shè)計(jì)了曲折迂回的橋，這樣做對(duì)游人觀賞湖面風(fēng)光有什么影響？與修一座筆直的橋相比，這樣做是否增加了游人在橋上行走的路程？說出其中的道理。

圖3

你還能舉出一些類似的例子嗎？

小貓看見魚，小狗看見骨頭后會(huì)怎樣運(yùn)動(dòng)？

有人過馬路到對(duì)面的商店去，但沒有走人行道，為什么呢？

其他

學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論、組間交流，發(fā)表看法，相互評(píng)價(jià)

設(shè)置三個(gè)問題，通過解釋、應(yīng)用與交流活動(dòng)，強(qiáng)化理解所學(xué)新知。

理解的四個(gè)層次：

1、可以結(jié)合自己的體驗(yàn)或用自己的話闡述復(fù)雜概念；

2、進(jìn)行聯(lián)想、比喻及推論；

3、在新環(huán)境中能解決問題；

4、做出創(chuàng)新。

舉例也是考察學(xué)生對(duì)事物真正理解與否的方式之一。

3、拓廣探索與交流

螞蟻爬行路線最短問題

如圖4，一只螞蟻要從正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A沿表面爬行到頂點(diǎn)B，怎樣爬行路線最短？如果要爬行到頂點(diǎn)C呢？

圖4

利用手中的正方體具體實(shí)驗(yàn)一下，告訴大家你的結(jié)論。

學(xué)生獨(dú)立思考，小組實(shí)驗(yàn)、探究與交流，組間相互評(píng)價(jià)

動(dòng)手實(shí)驗(yàn)，自主探究，合作交流。

發(fā)表觀點(diǎn)，引發(fā)思考

引導(dǎo)探究繼續(xù)深入，引發(fā)對(duì)問題的深層思考，達(dá)到理解的第三層次。力爭(zhēng)達(dá)到第四層次，學(xué)生作出創(chuàng)新。

道理暫時(shí)說不出不要緊。關(guān)鍵是在活動(dòng)中獲得的副產(chǎn)品。

三、回顧、思考與交流

設(shè)想自己是一名園林設(shè)計(jì)師或者是一名管理者，在進(jìn)行公共綠地設(shè)計(jì)時(shí)對(duì)情境一的一些思考與探討能給你一些什么啟發(fā)。

四、作業(yè)

對(duì)螞蟻爬行最短問題的再思考：如果螞蟻在長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上，如果螞蟻在圓柱上，這時(shí)問題發(fā)生怎樣的變化？問題如何解？

請(qǐng)把你對(duì)此問題的研究寫成數(shù)學(xué)小作文，注意寫出自己的情感體驗(yàn)。

學(xué)習(xí)思考、組內(nèi)交流、組間交流

學(xué)習(xí)、反思，提高、升華

第五篇：財(cái)務(wù)報(bào)表之間的關(guān)系

財(cái)務(wù)報(bào)表之間的關(guān)系

企業(yè)資產(chǎn)負(fù)債表、利潤表、現(xiàn)金流量表和所有者權(quán)益變動(dòng)表都是基于相同的交易或事項(xiàng)，但是提供了不同的信息，這四張報(bào)表相互之間都是不可替代的，因?yàn)樗麄兌即砹瞬煌闹匾墓矩?cái)務(wù)信息。四張財(cái)務(wù)報(bào)表之間存在的數(shù)量關(guān)系為：企業(yè)利潤表中的凈利潤是所有者權(quán)益變動(dòng)表中本年增減變動(dòng)金額的起點(diǎn)。利潤表和所有者權(quán)益變動(dòng)表是資產(chǎn)負(fù)債表中“未分配利潤”項(xiàng)目的展開說明（凈利潤是怎么形成的，又是怎樣分配的），現(xiàn)金流量表則是對(duì)資產(chǎn)負(fù)債表中“現(xiàn)金及現(xiàn)金等價(jià)物”年內(nèi)數(shù)量變化的展開說明（現(xiàn)金流量凈額是怎么形成的）。四張報(bào)表原來是一張報(bào)表！因此，不管出現(xiàn)多少張報(bào)表，它們都是一張基本報(bào)表——資產(chǎn)負(fù)債表和說明其某些方面的其他報(bào)表的組合體。