第一篇：證明線段相等的方法
證明線段相等的方法
三角形中：
①同一三角形中，等角對(duì)等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。
③④有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。
過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊。
（三）四邊形中：
①平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角線相互平分。
②矩形對(duì)角線相等，且其的交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等。
③等腰梯形兩腰相等、兩對(duì)角線相等。
證明角相等的方法
（一）相交直線及平行線：
①二直線 相交，對(duì)頂角相等。
②二平行線被第三直線所截時(shí)，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，外錯(cuò)角相等。
③同角或等角的余角相等，同角或等角的補(bǔ)角相等，凡直角
都相等。
④角的平分線分得的兩個(gè)角相等。
⑤自兩個(gè)角的頂點(diǎn)向角內(nèi)看角的兩邊，若有一角的左邊平行
（或垂直）于另一角左邊，一角的右邊平行（或垂直）于另
一角的右邊，則此二角相等
（二）三角形中：
①同一三角形中，等邊對(duì)等角。（等腰三角形兩底角相等、等邊三角形三內(nèi)角相等）
②等腰三角形中底邊上的高或中線平分頂角。
③有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形（三
內(nèi)角都相等）
④直角三角形中，斜邊的中線分直角三角形為兩個(gè)等腰三角
形
證明直線垂直的方法
（一）相交線與平行線：
①兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角，則這兩條直線互相垂直。②兩平行線中有一條垂直第三直線，則另一條也垂直第三直線。
（二）三角形：
①直角三角形的兩直角邊互相垂直。
②三角形的兩內(nèi)角互余，則第三個(gè)內(nèi)角為直角。
證明直線平行的方法
（一）平行線與相交線：
①在同一平面內(nèi)兩條不相交的直線平行。
②同平行、或同垂直于第三直線 的兩條直線平行。
③同位角相等、或內(nèi)錯(cuò)角相等、或外錯(cuò)角相等、或同旁內(nèi)角互補(bǔ)、或同旁外角互補(bǔ)的兩條直線平行。
證明直角三角形的方法
①有一個(gè)角為90°，則這個(gè)三角形為直角三角形
②∠A:∠B:∠C=1:1:2，則這個(gè)三角形為直角三角形
③有兩個(gè)角的和為90°，則這個(gè)三角形為直角三角形
第二篇：證明線段相等的技巧
證明線段相等的技巧
要證明兩條線段相等，一般的思路是從結(jié)論入手，結(jié)合已知分析，主要看要證明的兩條線段分布的位置怎樣，無(wú)外乎有三種情況：
（1）要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中；（2）要證明的兩條線段在同一個(gè)三角形中；（3）要證明的兩條線段在同一條直線上或其它情況。
一、如果要證明的兩條線段分別在兩個(gè)三角形中
一般的思路是利用兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等。
例1 已知：如圖1，B、C、E三點(diǎn)在一條直線上，△ABC和△DCE均為等邊三角形，連結(jié)AE、DB，求證：AE=DB。
二、如果要證明的兩條線段在同一三角形中
一般的思路是利用等角對(duì)等邊。
例2 已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AE=AF。
三、如果要證明的線段在同一直線上或其它情況
一般的思路是作輔助線構(gòu)成全等三角形或利用面積法來(lái)證明。
例3 已知：如圖3，△ABC中AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，E是AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BD=EC，連結(jié)DE交BC于F，求證：DF=EF。
例4 已知：如圖5，在平行四邊形ABCD中，E、F分別為邊AD、CD上一點(diǎn)，且BE=BF，AG⊥BF于F，CH⊥BE于H，求證：AG=CH。
分析：從結(jié)論入手，要證線段AG=CH就看線段AG、CH是否在同一三角形中的兩條邊或兩個(gè)三角形中的兩條邊，這里的AG、CH雖然在兩個(gè)三角形中，但顯然不全等，作輔助線構(gòu)成全等三角形也無(wú)法作，由于BE=BF要證明的線段AG、CH恰是這兩邊上的高，這時(shí)就應(yīng)該想到面積法，作輔助線構(gòu)成兩個(gè)等底等高的三角形或平行四邊形，很顯然結(jié)合已知條件可知構(gòu)成平行四邊形，延長(zhǎng)AD到S使DS=AE，連結(jié)CS。延長(zhǎng)ACD到R使DR=CF，連結(jié)AR證明略。
證明線段和角相等的技巧
⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有：
⑴ 三角形
①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對(duì)等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；
⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等； ⑥過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形
①平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分；
②矩形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊都相等；
③等腰梯形兩腰相等，兩條對(duì)角線相等；
⑶ 圓
①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對(duì)稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量
都相等；
④從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等；
⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若a
c?b
c，則a=b.此外，也有通過(guò)計(jì)算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有：
⑴ 同角（或等角）的余角、補(bǔ)角相等；
⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上；
⑷ 全等三角形、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一；
⑹平行四邊形的對(duì)角相等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角、圓心角相等；
第三篇：初中幾何證明線段和角相等的方法
初中幾何證明線段和角相等的方法大全
一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。
2.同一三角形中等角對(duì)等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。
10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。
12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。
13.等于同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩角相等
1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
2.同一三角形中等邊對(duì)等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎?duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。
7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10.等于同一角的兩個(gè)角相等
下面有好幾種可以證明線段相等的方法，你自己選吧。
（一）常用軌跡中：
①兩平行線間的距離處處相等。
②線段中垂線上任一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等。
③角平分線上任一點(diǎn)到角兩邊的距離相等。
④若一組平行線在一條直線上截得的線段相等，則在其它直線上截得的線段也相等(圖1）。
（二）三角形中：
①同一三角形中，等角對(duì)等邊。（等腰三角形兩腰相等、等邊三角形三邊相等）②任意三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等。
③任意三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。
④等腰三角形頂角的平分線（或底邊上的高、中線）平分底邊。
⑤直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊一半。
⑥有一角為60°的等腰三角形是等腰三角形是等邊三角形。
⑦過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線，必平分第三邊(圖2）。
⑧同底或等底的三角形，若面積相等，則高也相等。同高或等高的三角形，若面積相等，則底也相等(圖3）。
（三）四邊形中：
①平行四邊形對(duì)邊相等，對(duì)角線相互平分。
②矩形對(duì)角線相等，且其的交點(diǎn)到四頂點(diǎn)的距離相等。
③菱形中四邊相等。
④等腰梯形兩腰相等、兩對(duì)角線相等。
⑤過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底平行的直線，必平分另一腰(圖4）。
（四）正多邊形中：
①正多邊形的各邊相等。且邊長(zhǎng)an = 2Rsin(180°/ n)
②正多邊形的中心到各頂點(diǎn)的距離(外接圓半徑R)相等、各邊的距離(邊心距rn)相等。
且rn = Rcos(180°/ n)
（五）圓中：
①同圓或等圓的半徑相等、直徑相等；等弧或等圓心角、等圓周角所對(duì)的弦、弦心距相等。
②同圓或等圓中，等弦所對(duì)的弦心距相等，等弦心距所對(duì)的弦相等。
③任意圓中，任一弦總被與它垂直的半徑或直徑平分。
④自圓外一點(diǎn)所作圓的兩切線長(zhǎng)相等。
⑤兩相交或外切或外離圓的二公切線的長(zhǎng)相等；兩外離圓的二內(nèi)公切線的長(zhǎng)也相等。
⑥兩相交圓的公共弦總被連心線垂直平分（圖5）。
⑦兩外切圓的一條外公切線與內(nèi)公切線的交點(diǎn)到三切點(diǎn)的距離相等（圖6）。⑧兩同心圓中，內(nèi)圓的任一切線夾在外圓內(nèi)的弦總相等且都被切點(diǎn)平分（圖7）。
（六）全等形中：
①全等形中，一切對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)的邊、高、中線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑……）都相等。
（七）線段運(yùn)算：
①對(duì)應(yīng)相等線段的和相等；對(duì)應(yīng)相等線段的差相等。
②對(duì)應(yīng)相等線段乘以的相等倍數(shù)所得的積相等；對(duì)應(yīng)相等線段除以的相等倍數(shù)所得的商相等。
③兩線段的長(zhǎng)具有相同的數(shù)學(xué)解析式，或二解析式相減為零，或相除為1，則此二線段相等。
第四篇：初中幾何證明線段和角相等的方法
初中幾何證明線段和角相等的方法大全
一、證明兩線段相等
1.兩全等三角形中對(duì)應(yīng)邊相等。
2.同一三角形中等角對(duì)等邊。
3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。
4.平行四邊形的對(duì)邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。
5.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。
6.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。
7.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。
8.過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。
9.同圓（或等圓）中等弧所對(duì)的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對(duì)的弦相等。
10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長(zhǎng)相等或圓內(nèi)垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。
11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長(zhǎng)相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。
二、證明兩角相等
1.兩全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
2.同一三角形中等邊對(duì)等角。
3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。
4.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對(duì)角相等。
5.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。
6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對(duì)的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。
7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。
8.相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。
9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角。10.等于同一角的兩個(gè)角相等
第五篇：怎樣證明兩線段相等與兩角相等
怎樣證明兩線段相等與兩角相等
【重點(diǎn)解讀】
證明兩線段相等或兩角相等是中考命題中常見(jiàn)的一種題型，主要考查學(xué)生的分析問(wèn)題能力、邏輯思維能力與推理能力，其綜合證明難度有所降低，但增加了探索的思維過(guò)程.解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是：正確運(yùn)用所學(xué)幾何概念、公理、定理、性質(zhì)、判定，正確添加輔助線，進(jìn)行幾何證明的敘述.⒈ 怎樣證明兩線段相等
證明兩線段相等的常用方法和涉及的定理、性質(zhì)有： ⑴ 三角形①兩線段在同一三角形中，通常證明等角對(duì)等邊；
②證明三角形全等：全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等形包括平移型、旋轉(zhuǎn)型、翻折型；
③等腰三角形頂角的平分線或底邊上的高平分底邊；
④線段中垂線性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； ⑤角平分線性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等； ⑥過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)平行于另一邊的直線必平分第三邊；
⑵ 證特殊四邊形①平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角線互相平分；
②矩形的對(duì)角線相等，菱形的四條邊都相等； ③等腰梯形兩腰相等，兩條對(duì)角線相等；
⑶ 圓①同圓或等圓的半徑相等；
②圓的軸對(duì)稱性（垂徑定理及其推論）：垂直于弦的直徑平分這條弦；
平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分這條弦；
③圓的旋轉(zhuǎn)不變性：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等；
④從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等； ⑷ 等量代換：若a=b，b=c，則a=c；
等式性質(zhì)：若a=b，則a－c=b－c；若，則a=b.此外，也有通過(guò)計(jì)算證明兩線段相等，有些條件下可以利用面積法、相似線段成比 例的性質(zhì)等證明線段相等.⒉ 怎樣證明兩角相等
證明兩角相等的方法和涉及的定理、性質(zhì)有： ⑴ 同角（或等角）的余角、補(bǔ)角相等； ⑵ 證明兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等；
⑶ 到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上； ⑷ 全等三角形、相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等；
⑸ 同一三角形中，等邊對(duì)等角，等腰三角形三線合一；
⑹平行四邊形的對(duì)角相等；等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等； ⑺ 同圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角、圓心角相等； ⑻ 弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角；
⑼ 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分這兩條切線的夾角； ⑽ 圓的內(nèi)接四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角； ⑾ 通過(guò)計(jì)算證明兩角相等； ⑿ 等量代換，等式性質(zhì).【典題精析】
例1已知：如圖，分別延長(zhǎng)菱形ABCD的邊AB、AD到點(diǎn)E、F，使得BE＝DF，連結(jié)EC、FC．求證：EC＝FC．
總結(jié)：通過(guò)證三角形全等來(lái)證明兩線段（或兩角）相等是常用的方法，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件及圖形找到對(duì)應(yīng)的三角形和滿足全等的條件，圖形有的翻折全等，有的旋轉(zhuǎn)全等，有的平移全等，有的是三者的綜合形式，該問(wèn)題是翻折型全等.例2已知：AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，連接AC，過(guò)點(diǎn)C作直線CD⊥AB于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，直線CE與⊙O交于點(diǎn)F，連結(jié)AF，與直線CD交于點(diǎn)G.2求證：⑴∠ACD=∠F；⑵AC=AG·AF.總結(jié)：證明線段相等或角相等時(shí)，如果沒(méi)有三角形全等，我們常找與它們都相關(guān)或都有聯(lián) 系的線段或角作為橋梁，實(shí)現(xiàn)線段之間的轉(zhuǎn)化或角之間的轉(zhuǎn)化，從而證明它們的等量關(guān)系.直角三角形的母子三角形中相等的角、成比例的線段要熟悉.例3已知：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A的切線與CD的延長(zhǎng)線交于E，且∠ADE=∠BDC.⑴求證：△ABC為等腰三角形；⑵若AE=6，BC=12，CD=5，求AD的長(zhǎng).例4已知：如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為a, D為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)AB至E使BE=CD，連結(jié)DE，交BC于點(diǎn)P.⑴ 求證：DP=PE；⑵ 若D為AC的中點(diǎn)，求BP的長(zhǎng).總結(jié)：添加輔助線是幾何證明和計(jì)算中常用的方法，通常有作平行線、作垂線、連結(jié)兩點(diǎn)、延長(zhǎng)線段相交等，正確添加輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.思考：若將條件正△ABC改為等腰△ABC，AB=AC，結(jié)論DP=PE是否仍成立？
若將條件正△ABC改為等腰△ABC，CA=CB，結(jié)論DP=PE是否仍成立？ 例5已知：△ABC中，AD是高，CE是中線，DC=BE，DG⊥CE，G是垂足，求證：⑴G是CE的中點(diǎn)；⑵∠B=2∠BCE.總結(jié)：直角三角形、等腰三角形等特殊三角形，其特殊性質(zhì)有：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；等腰三角形三線合一的性質(zhì)通常有以下變形形式：已知等腰和高、已知頂角平分線和高、已知等腰和底邊中線.特殊三角形與線段和角的相等、線段和角的倍半關(guān)系有著密切關(guān)系.例6如圖，⊙O的內(nèi)接△ABC的外角∠ACE的平分線交⊙O于點(diǎn)D，DF⊥AC，垂足為F，DE⊥BC，垂足為E，給出下列4個(gè)結(jié)論：①CE=CF；②∠ACB=∠EDF；③DE是⊙O的切線； ④=；其中一定成立的是（）
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
總結(jié)；一般的，證明線段相等或角相等，可根據(jù)條件尋找三角形，證三角形全等；無(wú)三角形全等時(shí)，可找與之相關(guān)連的線段或角，探索等量關(guān)系；證明弧相等，可以轉(zhuǎn)化為證明弧所對(duì)的圓周角或圓心角相等，即轉(zhuǎn)化為證明角相等的問(wèn)題.鞏固練習(xí)：
⒈ ⑴如圖，△ABC中，∠B的平分線與∠ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，則∠D與∠A的比是________ ⑵如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP＇重合.如果AP=3，那么PP＇的長(zhǎng)為_(kāi)______.⒉ ⑴如圖，∠B、∠C的平分線交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作EF∥BC，交AB于E，交AC于F，則()A.EF=EB+FC B.EF>EB+FC C.EF ⑵在Rt△ABC中，AF是斜邊BC上的高線，且BD=DC=FC=1，則AC的長(zhǎng)為（） A.B.C.D.⑶在△ABC中，∠B=2∠C，則（） A.2AB=AC B.2AB>AC C.2AB ⒋ 如圖，△ABC中，高BD、CE交于點(diǎn)F，且CG=AB，BF=AC，連接AF，求證：AG⊥AF ⒌ Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC上任意一點(diǎn)，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分別為F、E，M為BC中點(diǎn)，試判斷△MEF是什么形狀的三角形，并說(shuō)明之.⒍ 如圖，AB是⊙O的直徑，DC切⊙O于C，AD⊥DC，垂足為D，CE⊥AB，垂足E 求證：CD=CE.⒎ 已知：如圖，AD是△ABC外角∠EAC的平分線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.延長(zhǎng)DA交△ABC的外接圓于點(diǎn)F.⑴求證：FB=FC； ⑵若，求FB的長(zhǎng).⒏ 梯形ABCD中AB//CD，對(duì)角線AC、BD垂直相交于H，M是AD上的點(diǎn)，MH所 在直線交BC于N.在以上前提下，試將下列設(shè)定中的兩個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論 組成一個(gè)正確的命題，并證明這個(gè)命題.①AD=BC ②MN⊥BC ③AM=DM 怎樣證明關(guān)于線段的幾何等式 【重點(diǎn)解讀】 線段的幾何等式，主要涉及線段的倍分關(guān)系式、和差關(guān)系式、比例式、等積式等.證明線段倍分關(guān)系的定理和方法有：三角形和梯形的中位線定理、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、特殊四邊形的性質(zhì)等；探索、證明線段的倍分關(guān)系式，一般轉(zhuǎn)化為證明線段的相等關(guān)系，采用的方法通常有折半法、加倍法、比例法.證明線段的和差關(guān)系式，一般思路將線段加長(zhǎng)或截短，轉(zhuǎn)化為證明線段相等，利用等量代換或等式性質(zhì).證明線段比例式的一般思路是：把比例式中涉及的四條線段放入兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似，且所給線段是對(duì)應(yīng)線段，則問(wèn)題得證；如果找不到兩個(gè)三角形，或者找到的三角形不相似，可考慮將四條線段中的某些線段進(jìn)行等量代換，再按上述方法探求證明；如果明顯沒(méi)有等量線段可替換，可找中間比.證明線段等積式的一般思路：先看等積式是否滿足有關(guān)定理（射影定理、圓冪定理），如果滿足，則結(jié)論成立；如果不滿足，可把等積式化成比例式、或替換部分后化成比例式，再按比例式的證明方法證明.證明過(guò)程中常用的定理和性質(zhì)有：比例性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、射影定理、圓冪定理、平行線分線段成比例定理.例1已知：E為平行四邊形ABCD中DC邊的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=DC，連結(jié)AE，分別交BC、BD于點(diǎn)F、G，連接AC交BD于O，連結(jié)OF，求證：AB=2OF.總結(jié)：線段之間的倍分關(guān)系式，常聯(lián)想用中位線定理.例2已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：⑴若B、C兩點(diǎn)分別在AE的異側(cè)，BD=DE+CE； ⑵若B、C兩點(diǎn)分別在AE的同側(cè)，其余條件不變，則BD與DE、CE的關(guān)系如何，證明你的猜想.例3如圖，△ABC內(nèi)接于圓，D是弧BC的中點(diǎn)，AD交BC于E，求證： 例4已知：如圖，等腰△ABC的頂角為銳角，以腰AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，DF⊥AC，垂足為F 求證： 總結(jié)；解題時(shí)，要充分利用已知條件，已知條件中的特殊條件更要發(fā)掘其內(nèi)涵，注意條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的運(yùn)用.例5已知：BC為圓O的直徑，AD⊥BC垂足為D，過(guò)點(diǎn)B作弦BF交AD于點(diǎn)E交半圓O于點(diǎn)F，弦AC與BF交于點(diǎn)H，且A為弧BF的中點(diǎn).求證：⑴AE=BE。⑵AH·BC=2AB·BE.例6如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦CD，垂足為H，點(diǎn)P是 上一點(diǎn)（點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合），連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F，下列四個(gè)結(jié)論： ⑴ ⑵∠EPC=∠APD ⑶ ⑷ 正確的有_____.鞏固練習(xí)； ⒈ ⑴在邊長(zhǎng)為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC上的一動(dòng)點(diǎn)，則EF+BF的最小值為_(kāi)________.⑵已知：O為△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作EF、GH、QP分別平行于BC、AB、CA，交AB、BC、CA于點(diǎn)P、E、H、Q、F、G，則 _______.⒉ 選擇： ⑴如圖，將△ADE繞正方形ABCD的頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△ABF，連接EF交AB于H，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A.AE⊥AF B.EF∶AF= ∶1 C.D.FB∶FC=HB∶EC 第⑴題 第⑵題 第⑶題 ⑵如圖，正△ABC內(nèi)接于⊙O，P是劣弧BC上任意一點(diǎn)，PA與BC交于E，有如下結(jié)論: ①PA=PB+PC ②PA·PE=PB·PC ③ 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有()A.3個(gè) B.2個(gè) C.1個(gè) D.0個(gè) ⑶如圖，已知⊙BC交⊙與⊙ 外切于點(diǎn)C，AB是兩圓的外公切線，切點(diǎn)為A、B，分別延長(zhǎng)AC、于點(diǎn)D，下列結(jié)論，正確的有（）個(gè) 于點(diǎn)E，交⊙①AD為⊙的直徑 ②AD∥BE ③AC·BC=DC·CE ④AC·AE=BC·BD A.1 B.2 C.3 D.4 ⒊ 已知：如圖，設(shè)D、E分別是△ABC外接圓的弧AB、AC的中點(diǎn)，弦DE交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)G, 求證：AF·AG=DF·EG..第3題 第4題 ⒋ ⊙O的兩條割線AB、AC分別交⊙O于D、B、E、C，弦DF∥AC交BC圓于G.求證：⑴AC·FG=BC·CG;⑵若CF=AE，求證：△ABC是等腰三角形.⒌ ⑴如圖，已知直線AB過(guò)圓心O，交⊙O于A、B，直線AF交⊙O于F（不與B重 合），直線l交⊙O于C、D，交AB于E，且與AF垂直，垂足為G，連結(jié)AC、AD． 求證：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF． ⑵在問(wèn)題⑴中，直線l向下平行移動(dòng)，與⊙O相切，其他條件不變． ①請(qǐng)你畫(huà)出變化后的圖形，并對(duì)照?qǐng)D，標(biāo)記字母； ②問(wèn)題⑴中的兩個(gè)結(jié)論是否仍成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由． 6．已知：AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于M，點(diǎn)E是 上一動(dòng)點(diǎn).⑴ 如圖1，若DE交AB于N，交AC于F，且DE=AC，連結(jié)AD、CE，求證：①∠CED=∠ADE ② =NF·NE =NF·NE的結(jié)論是否成立？若成⑵ 如圖2，若DE與AC的延長(zhǎng)線交于F，且DE=AC，那么立請(qǐng)證明，若不成立請(qǐng)說(shuō)明理由.圖1 圖2 .7．如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE和正△ACD，DE與AB交于F，求證：EF=FD。 8．如圖，以△ABC的邊AB、AC為斜邊向外作直角三角形ABD和ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中點(diǎn)。證明：DM=EM。 9。如圖，△ABC中，∠C為直角，∠A=30°，分別以AB、AC為邊在△ABC的外側(cè)作正△ABE與正△ACD，DE與AB交于F。求證：EF=FD。 10．如圖，正方形ABCD中，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，EC和DF相交于G，連接AG，求證：AG=AD。 11．已知：如圖2，△ABC中AB=AC，D為BC上一點(diǎn)，過(guò)D作DF⊥BC交AC于E，交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AE=AF。 具體應(yīng)用方法分類 一、利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等證明 例 1、如圖1，已知C在BD上，△ABC與△CDE都是等邊三角形，BE、AD分別與AC、CE交于P、Q。求證：CP=CQ。 二、利用等腰三角形定理及逆定理證明 例 2、如圖2，已知：在△ABC中，AB=AC，在AB、AC上的線段AD=AE。求證：FB=FC，F(xiàn)E=FD。 三、利用等腰三角形“三線合一”定理證明 例 3、如圖3，已知△ABC為Rt△，D為斜邊AB的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F。 求證：AE=CE，BF=CF。 四、利用角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊等距離證明 例 4、如圖4，已知：△ABC中，AB=AC，AD是底邊BC上的中線，∠B、∠C的平分線交于I，求證：I到AB、BC、CA的距離相等。 五、利用垂直平分線上的點(diǎn)到該線段兩端等距離證明 例 5、如圖5，已知：△ABC中，∠A=90°，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且AB=AC=BD，∠ABD=30° 求證：AD=DC 六、利用兩三角形面積相等，等底必等高，等高必等底證明 例 6、求證：等腰三角形兩腰上的高相等。 七、利用等量公理：證明它們等于同一線段或分別等于兩條相等線段 例 7、如圖7，銳角△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，延長(zhǎng)AB到E，BE=BD，連結(jié)ED并延長(zhǎng)交AC于F。求證：AF=FC。 八、利用中心對(duì)稱證明 例 8、如圖8，已知AT為△ABC的內(nèi)角平分線，M為BC中點(diǎn)，ME∥AT，交AB、AC或其延長(zhǎng)線于D、E，求證：BD=CE。 九、利用勾股定理證明 例 9、如圖9，已知：M為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，MD、ME、MF分別和BC、CA、AB垂直，BF=BD，CD=CE。求證：AE=AF。 十、利用比例證明 例 10、如圖10，已知△ABC中，中線BE與角平分線AD交于點(diǎn)K，BL∥KC，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)L，求證：LC=AB。 十一、利用圓冪定理證明 例 11、如圖11，已知：PA是圓O的切線，A為切點(diǎn)，PBD是圓O的割線，弦DE∥AP，PE的延長(zhǎng)線交圓O于C，CB的延長(zhǎng)線交PA于F。求證：PF=FA。 十二、利用平行四邊形性質(zhì)證明 例 12、如圖12，已知Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交高線AD于O，過(guò)O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF。 十三、利用三角知識(shí)證明 例 13、如圖13，已知四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，且AC、BD垂直相交于G，又E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)。求證：OF=GE。
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