中考數(shù)學(xué)幾何輔助線作法及?？碱}型解析

第一部分

常見(jiàn)輔助線做法

等腰三角形:

1.作底邊上的高，構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形

2.作一腰上的高；

.過(guò)底邊的一個(gè)端點(diǎn)作底邊的垂線，與另一腰的延長(zhǎng)線相交，構(gòu)成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行邊

2.垂直于下底，延長(zhǎng)上底作一腰的平行線

3.平行于兩條斜邊

4.作兩條垂直于下底的垂線

5.延長(zhǎng)兩條斜邊做成一個(gè)三角形

菱形

1.連接兩對(duì)角

2.做高

平行四邊形

1.垂直于平行邊

2.作對(duì)角線——把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)三角形

3.做高——形內(nèi)形外都要注意

矩形

1.對(duì)角線

2.作垂線

很簡(jiǎn)單。無(wú)論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD....這類的就是想辦法作出另一條AB等長(zhǎng)的線段，再證全等說(shuō)明AC+BD=另一條AB,就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A字形等。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。

也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

解幾何題時(shí)如何畫輔助線?

①見(jiàn)中點(diǎn)引中位線，見(jiàn)中線延長(zhǎng)一倍

在幾何題中，如果給出中點(diǎn)或中線，可以考慮過(guò)中點(diǎn)作中位線或把中線延長(zhǎng)一倍來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題。

②在比例線段證明中，常作平行線。

作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)比，然后通過(guò)一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè)比聯(lián)系起來(lái)。

③對(duì)于梯形問(wèn)題，常用的添加輔助線的方法有

1、過(guò)上底的兩端點(diǎn)向下底作垂線

2、過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線

3、過(guò)上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對(duì)角線的平行線

4、過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線

5、過(guò)上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線與下底的延長(zhǎng)線相交

6、作梯形的中位線

7、延長(zhǎng)兩腰使之相交

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。

梯形里面作高線，平移一腰試試看。

平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見(jiàn)。

證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線

初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談

人們從來(lái)就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問(wèn)題的，當(dāng)問(wèn)題的條件不夠時(shí)，添加輔助線構(gòu)成新圖形，形成新關(guān)系，使分散的條件集中，建立已知與未知的橋梁，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問(wèn)題，這是解決問(wèn)題常用的策略。

一．添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長(zhǎng)使它們,相交后證交角為90°；證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個(gè)幾何定理都有與它相對(duì)應(yīng)的幾何圖形，我們

把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。舉例如下：

（1）平行線是個(gè)基本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

（2）等腰三角形是個(gè)簡(jiǎn)單的基本圖形：

當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長(zhǎng)平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

（3）等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線組合時(shí)可延長(zhǎng)垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

（4）直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線基本圖形。

（5）三角形中位線基本圖形

幾何問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒(méi)有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)則可過(guò)這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過(guò)帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

（6）全等三角形：

全等三角形有軸對(duì)稱形，中心對(duì)稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對(duì)稱就可以添加軸對(duì)稱形全等三角形：或添對(duì)稱軸，或?qū)⑷切窝貙?duì)稱軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問(wèn)題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對(duì)頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對(duì)稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過(guò)二端點(diǎn)添平行線

（7）相似三角形：

相似三角形有平行線型（帶平行線的相似三角形），相交線型，旋轉(zhuǎn)型；當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時(shí)（中點(diǎn)可看成比為1）可添加平行線得平行線型相似三角形。若平行線過(guò)端點(diǎn)添則可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

（8）特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明

（9）半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角；出現(xiàn)90度的圓周角則添它所對(duì)弦---直徑；平面幾何中總共只有二十多個(gè)基本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣。

二．基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問(wèn)題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過(guò)這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問(wèn)題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對(duì)稱軸，利用角平分線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問(wèn)題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長(zhǎng)法或補(bǔ)短法，所謂截長(zhǎng)法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見(jiàn)的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：

（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：

（2）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形

（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線

（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。

（5）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過(guò)添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決。輔助線的添加成為問(wèn)題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。

（2）梯形外平移一腰

（3）梯形內(nèi)平移兩腰

（4）延長(zhǎng)兩腰

（5）過(guò)梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

（6）平移對(duì)角線

（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

（8）過(guò)一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。

（9）作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過(guò)輔助線這座橋梁，將梯形問(wèn)題化歸為平行四邊形問(wèn)題或三角形問(wèn)題來(lái)解決，這是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。

4.圓中常用輔助線的添法

在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。

（1）見(jiàn)弦作弦心距

有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。

（2）見(jiàn)直徑作圓周角

在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用“直徑所對(duì)的圓周角是直角“這一特征來(lái)證明問(wèn)題。

（3）見(jiàn)切線作半徑

命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用“切線與半徑垂直“這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

（4）兩圓相切作公切線

對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。

（5）兩圓相交作公共弦

對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。作輔助線的方法

一：中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過(guò)中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線或中位線作輔助線，使延長(zhǎng)的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過(guò)中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)用某個(gè)定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻轉(zhuǎn)全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對(duì)稱的方法，并借助其他條件，而旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱軸往往是垂線或角的平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對(duì)稱中心，因題而異，有時(shí)沒(méi)有中心。故可分“有心”和“無(wú)心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:造角、平、相似，和、差、積、商見(jiàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見(jiàn)?！?/p>

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表）

五：兩圓若相交，連心公共弦。

如果條件中出現(xiàn)兩圓相交，那么輔助線往往是連心線或公共弦。

六：兩圓相切、離，連心，公切線。

如條件中出現(xiàn)兩圓相切（外切，內(nèi)切），或相離（內(nèi)含、外離），那么，輔助線往往是連心線或內(nèi)外公切線。

七：切線連直徑，直角與半圓。

如果條件中出現(xiàn)圓的切線，那么輔助線是過(guò)切點(diǎn)的直徑或半徑使出現(xiàn)直角；相反，條件中是圓的直徑，半徑，那么輔助線是過(guò)直徑（或半徑）端點(diǎn)的切線。即切線與直徑互為輔助線。

如果條件中有直角三角形，那么作輔助線往往是斜邊為直徑作輔助圓，或半圓；相反，條件中有半圓，那么在直徑上找圓周角——直角為輔助線。即直角與半圓互為輔助線。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，則弧上的弦是輔助線；如遇弦，則弦心距為輔助線。

如遇平行線，則平行線間的距離相等，距離為輔助線；反之，亦成立。

如遇平行弦，則平行線間的距離相等，所夾的弦亦相等，距離和所夾的弦都可視為輔助線，反之，亦成立。

有時(shí)，圓周角，弦切角，圓心角，圓內(nèi)角和圓外角也存在因果關(guān)系互相聯(lián)想作輔助線。

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。

另外，我國(guó)明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)叀薄?/p>

第二部分

?？碱}型解析

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1：已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.證明：（法一）將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC

于M、N，在△AMN中，AM＋AN

＞

MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；

（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；

（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法二：）如圖1-2，延長(zhǎng)BD交

AC于F，延長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞

BD＋DG＋GF（三角形兩邊之和大于第三邊）（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上）………………………………（2）

DG＋GE＞DE（同上）……………………………………（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC＞∠BAC。

分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同一個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC＞∠DEC，同理∠DEC＞∠BAC，∴∠BDC＞∠BAC

證法二：連接AD，并延長(zhǎng)交BC于F

∵∠BDF是△ABD的外角

∴∠BDF＞∠BAD，同理，∠CDF＞∠CAD

∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD

即：∠BDC＞∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：

例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求證：BE＋CF＞EF。

分析：要證BE＋CF＞EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同一個(gè)三角形中。

證明：在DA上截取DN＝DB，連接NE，NF，則DN＝DC，在△DBE和△DNE中：

∵

∴△DBE≌△DNE

（SAS）

∴BE＝NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

同理可得：CF＝NF

在△EFN中EN＋FN＞EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE＋CF＞EF。

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)元素相等。

四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，常延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求證：BE＋CF＞EF

證明：延長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接

CM，MF。在△BDE和△CDM中，∵

∴△BDE≌△CDM

（SAS）

又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4

（已知）

∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°（平角的定義）

∴∠3＋∠2=90°，即：∠EDF＝90°

∴∠FDM＝∠EDF

＝90°

在△EDF和△MDF中

∵

∴△EDF≌△MDF

（SAS）

∴EF＝MF

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△CMF中，CF＋CM＞MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE＋CF＞EF

注：上題也可加倍FD，證法同上。

注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。

五、有三角形中線時(shí)，常延長(zhǎng)加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖5-1：AD為

△ABC的中線，求證：AB＋AC＞2AD。

分析：要證AB＋AC＞2AD，由圖想到：

AB＋BD＞AD,AC＋CD＞AD，所以有AB＋AC＋

BD＋CD＞AD＋AD＝2AD，左邊比要證結(jié)論多BD＋CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。

證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，則AE＝2AD

∵AD為△ABC的中線

（已知）

∴BD＝CD

（中線定義）

在△ACD和△EBD中

∴△ACD≌△EBD

（SAS）

∴BE＝CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△ABE中有：AB＋BE＞AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB＋AC＞2AD。

（常延長(zhǎng)中線加倍，構(gòu)造全等三角形）

練習(xí)：已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF＝2AD。

六、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB－AC＞PB－PC。

分析：要證：AB－AC＞PB－PC，想到利用三角形三邊關(guān)系定理證之，因?yàn)橛C的是線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB－AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB－AC＝BN，再連接PN，則PC＝PN，又在△PNB中，PB－PN＜BN，即：AB－AC＞PB－PC。

證明：（截長(zhǎng)法）

在AB上截取AN＝AC連接PN,在△APN和△APC中

∵

∴△APN≌△APC

（SAS）

∴PC＝PN

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△BPN中，有

PB－PN＜BN

（三角形兩邊之差小于第三邊）

∴BP－PC＜AB－AC

證明：（補(bǔ)短法）

延長(zhǎng)AC至M，使AM＝AB，連接PM，在△ABP和△AMP中

∵

∴△ABP≌△AMP

（SAS）

∴PB＝PM

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

又∵在△PCM中有：CM＞PM－PC(三角形兩邊之差小于第三邊)

∴AB－AC＞PB－PC。

七、延長(zhǎng)已知邊構(gòu)造三角形：

例如：如圖7-1：已知AC＝BD，AD⊥AC于A，BC⊥BD于B，求證：AD＝BC

分析：欲證

AD＝BC，先證分別含有AD，BC的三角形全等，有幾種方案：△ADC與△BCD，△AOD與△BOC，△ABD與△BAC，但根據(jù)現(xiàn)有條件，均無(wú)法證全等，差角的相等，因此可設(shè)法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。

證明：分別延長(zhǎng)DA，CB，它們的延長(zhǎng)交于E點(diǎn)，∵AD⊥AC

BC⊥BD

（已知）

∴∠CAE＝∠DBE

＝90°

（垂直的定義）

在△DBE與△CAE中

∵

∴△DBE≌△CAE

（AAS）

∴ED＝EC

EB＝EA

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∴ED－EA＝EC－EB

即：AD＝BC。

（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過(guò)添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）

八、連接四邊形的對(duì)角線，把四邊形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成為三角形來(lái)解決。

例如：如圖8-1：AB∥CD，AD∥BC

求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來(lái)解決。

證明：連接AC（或BD）

∵AB∥CD

AD∥BC

（已知）

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4

（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）

在△ABC與△CDA中

∵

∴△ABC≌△CDA

（ASA）

∴AB＝CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長(zhǎng)。

例如：如圖9-1：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)于E

。求證：BD＝2CE

分析：要證BD＝2CE，想到要構(gòu)造線段2CE，同時(shí)CE與∠ABC的平分線垂直，想到要將其延長(zhǎng)。

證明：分別延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F。

∵BE⊥CF

（已知）

∴∠BEF＝∠BEC＝90°

（垂直的定義）

在△BEF與△BEC中，∵

∴△BEF≌△BEC（ASA）∴CE=FE=CF

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵∠BAC=90°

BE⊥CF

（已知）

∴∠BAC＝∠CAF＝90°

∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°

∴∠BDA＝∠BFC

在△ABD與△ACF中

∴△ABD≌△ACF

（AAS）∴BD＝CF

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∴BD＝2CE

十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

例如：已知：如圖10-1；AC、BD相交于O點(diǎn)，且AB＝DC，AC＝BD，求證：∠A＝∠D。

分析：要證∠A＝∠D，可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB＝DC和對(duì)頂角兩個(gè)條件，差一個(gè)條件，難以證其全等，只有另尋其它的三角形全等，由AB＝DC，AC＝BD，若連接BC，則△ABC和△DCB全等，所以，證得∠A＝∠D。

證明：連接BC，在△ABC和△DCB中

∵

∴△ABC≌△DCB

(SSS)

∴∠A＝∠D

(全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)

十一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖11-1：AB＝DC，∠A＝∠D

求證：∠ABC＝∠DCB。

分析：由AB＝DC，∠A＝∠D，想到如取AD的中點(diǎn)N，連接NB，NC，再由SAS公理有△ABN≌△

DCN，故BN＝CN，∠ABN＝∠DCN。下面只需證∠NBC＝∠NCB，再取BC的中點(diǎn)M，連接MN，則由SSS公理有△NBM≌△NCM，所以∠NBC＝∠NCB。問(wèn)題得證。

證明：取AD，BC的中點(diǎn)N、M，連接NB，NM，NC。則AN=DN，BM=CM，在△ABN和△DCN中

∵

∴△ABN≌△DCN

（SAS）

∴∠ABN＝∠DCN

NB＝NC

（全等三角形對(duì)應(yīng)邊、角相等）

在△NBM與△NCM中

∵

∴△NMB≌△NCM，(SSS)

∴∠NBC＝∠NCB

（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）∴∠NBC＋∠ABN

＝∠NCB＋∠DCN

即∠ABC＝∠DCB。

巧求三角形中線段的比值

例1.如圖1，在△ABC中，BD：DC＝1：3，AE：ED＝2：3，求AF：FC。

解：過(guò)點(diǎn)D作DG//AC，交BF于點(diǎn)G

所以DG：FC＝BD：BC

因?yàn)锽D：DC＝1：3

所以BD：BC＝1：4

即DG：FC＝1：4，F(xiàn)C＝4DG

因?yàn)镈G：AF＝DE：AE

又因?yàn)锳E：ED＝2：3

所以DG：AF＝3：2

即

所以AF：FC＝：4DG＝1：6

例2.如圖2，BC＝CD，AF＝FC，求EF：FD

解：過(guò)點(diǎn)C作CG//DE交AB于點(diǎn)G，則有EF：GC＝AF：AC

因?yàn)锳F＝FC

所以AF：AC＝1：2

即EF：GC＝1：2，因?yàn)镃G：DE＝BC：BD

又因?yàn)锽C＝CD

所以BC：BD＝1：2

CG：DE＝1：2

即DE＝2GC

因?yàn)镕D＝ED－EF＝

所以EF：FD＝

小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)處，且所作的輔助線與結(jié)論中出現(xiàn)的線段平行。請(qǐng)?jiān)倏磧衫?，讓我們感受其中的奧妙！

例3.如圖3，BD：DC＝1：3，AE：EB＝2：3，求AF：FD。

解：過(guò)點(diǎn)B作BG//AD，交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)G。

所以DF：BG＝CD：CB

因?yàn)锽D：DC＝1：3

所以CD：CB＝3：4

即DF：BG＝3：4，因?yàn)锳F：BG＝AE：EB

又因?yàn)锳E：EB＝2：3

所以AF：BG＝2：3

即

所以AF：DF＝

例4.如圖4，BD：DC＝1：3，AF＝FD，求EF：FC。

解：過(guò)點(diǎn)D作DG//CE，交AB于點(diǎn)G

所以EF：DG＝AF：AD

因?yàn)锳F＝FD

所以AF：AD＝1：2

圖4

即EF：DG＝1：2

因?yàn)镈G：CE＝BD：BC，又因?yàn)锽D：CD＝1：3，所以BD：BC＝1：4

即DG：CE＝1：4，CE＝4DG

因?yàn)镕C＝CE－EF＝

所以EF：FC＝＝1：7

練習(xí)：

1.如圖5，BD＝DC，AE：ED＝1：5，求AF：FB。

2.如圖6，AD：DB＝1：3，AE：EC＝3：1，求BF：FC。

答案：1、1：10；

2.9：1

初中幾何輔助線

一

初中幾何常見(jiàn)輔助線口訣

人說(shuō)幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀酢?/p>

平移腰，移對(duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

圓形

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。

切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。

要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。

若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

注意點(diǎn)

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。

基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。解題還要多心眼，經(jīng)?？偨Y(jié)方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。

二

由角平分線想到的輔助線

口訣：

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①?gòu)慕瞧椒志€上一點(diǎn)向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對(duì)稱圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問(wèn)題中大膽地去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見(jiàn)的定理所涉及到的輔助線作以介紹。

如圖1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并連接DE、DF，則有△OED≌△OFD，從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

例1．

如圖1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形，即利用解平分線來(lái)構(gòu)造軸對(duì)稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段的和差倍分問(wèn)題，在證明線段的和差倍分問(wèn)題中常用到的方法是延長(zhǎng)法或截取法來(lái)證明，延長(zhǎng)短的線段或在長(zhǎng)的線段長(zhǎng)截取一部分使之等于短的線段。但無(wú)論延長(zhǎng)還是截取都要證明線段的相等，延長(zhǎng)要證明延長(zhǎng)后的線段與某條線段相等，截取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。

簡(jiǎn)證：在此題中可在長(zhǎng)線段BC上截取BF=AB，再證明CF=CD，從而達(dá)到證明的目的。這里面用到了角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自已證明。此題的證明也可以延長(zhǎng)BE與CD的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)來(lái)證明。自已試一試。

例2．

已知：如圖1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求證DC⊥AC

分析：此題還是利用角平分線來(lái)構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段相等。其它問(wèn)題自已證明。

例3．

已知：如圖1-4，在△ABC中，∠C=2∠B,AD平分∠BAC，求證：AB-AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線段上截取短的線段，來(lái)證明。試試看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？

練習(xí)

1．已知在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠C，求證：AB+BD=AC

2．已知：在△ABC中，∠CAB=2∠B，AE平分∠CAB交BC于E，AB=2AC，求證：AE=2CE

3．已知：在△ABC中，AB>AC,AD為∠BAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。求證：BM-CM>AB-AC

4．已知：D是△ABC的∠BAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、DC。求證：BD+CD>AB+AC。

（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過(guò)角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。

例1．

如圖2-1，已知AB>AD,∠BAC=∠FAC,CD=BC。

求證：∠ADC+∠B=180

分析：可由C向∠BAD的兩邊作垂線。近而證∠ADC與∠B之和為平角。

例2．

如圖2-2，在△ABC中，∠A=90，AB=AC，∠ABD=∠CBD。

求證：BC=AB+AD

分析：過(guò)D作DE⊥BC于E，則AD=DE=CE，則構(gòu)造出全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問(wèn)題，從中利用了相當(dāng)于截取的方法。

例3．

已知如圖2-3，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：∠BAC的平分線也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。

分析：連接AP，證AP平分∠BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。

練習(xí)：

1．如圖2-4∠AOP=∠BOP=15，PC//OA，PD⊥OA，如果PC=4，則PD=（）

A

B

C

D

2．已知在△ABC中，∠C=90，AD平分∠CAB，CD=1.5,DB=2.5.求AC。

3．已知：如圖2-5,∠BAC=∠CAD,AB>AD，CE⊥AB，AE=（AB+AD）.求證：∠D+∠B=180。

4.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC

上的點(diǎn)，∠FAE=∠DAE。求證：AF=AD+CF。

5．已知：如圖2-7，在Rt△ABC中，∠ACB=90?,CD⊥AB，垂足為D，AE平分∠CAB交CD于F，過(guò)F作FH//AB交BC于H。求證CF=BH。

（三）：作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長(zhǎng)該線段與角的另一邊相交）。

例1．

已知：如圖3-1，∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）

分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。

例2．

已知：如圖3-2，AB=AC，∠BAC=90，AD為∠ABC的平分線，CE⊥BE.求證：BD=2CE。

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線，可延長(zhǎng)此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。

例3．已知：如圖3-3在△ABC中，AD、AE分別∠BAC的內(nèi)、外角平分線，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。

求證：AM=ME。

分析：由AD、AE是∠BAC內(nèi)外角平分線，可得EA⊥AF，從而有BF//AE，所以想到利用比例線段證相等。

例4．

已知：如圖3-4，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD交AD延長(zhǎng)線于M。求證：AM=（AB+AC）

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱變換，作△ABD關(guān)于AD的對(duì)稱△AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作△ACM關(guān)于CM的對(duì)稱△FCM，然后只需證DF=CF即可。

練習(xí)：

1．已知：在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是∠BAC的平分線，且CE⊥AE于E，連接DE，求DE。

2．已知BE、BF分別是△ABC的∠ABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF⊥BF于F，AE⊥BE于E，連接EF分別交AB、AC于M、N，求證MN=BC

（四）、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線

有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。

A

C

D

B

例4

如圖，AB>AC,∠1=∠2，求證：AB－AC>BD－CD。

例5

如圖，BC>BA，BD平分∠ABC，且AD=CD，求證：∠A+∠C=180。

B

D

C

A

A

B

E

C

D

例6

如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。

練習(xí)：

1.已知，如圖，∠C=2∠A，AC=2BC。求證：△ABC是直角三角形。

C

A

B

2．已知：如圖，AB=2AC，∠1=∠2，DA=DB，求證：DC⊥AC

A

B

D

C

3．已知CE、AD是△ABC的角平分線，∠B=60°，求證：AC=AE+CD

A

E

B

D

C

4．已知：如圖在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線，求證：BC=AB+AD

A

B

C

D

三

由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：

1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；

2、補(bǔ)短：將一條短線段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長(zhǎng)線段。

對(duì)于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1、已知如圖1-1：D、E為△ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.證明：（法一）

將DE兩邊延長(zhǎng)分別交AB、AC于M、N，在△AMN中，AM+AN>MD+DE+NE;（1）

在△BDM中，MB+MD>BD；（2）

在△CEN中，CN+NE>CE；（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

∴AB+AC>BD+DE+EC

（法二：圖1-2）

延長(zhǎng)BD交AC于F，廷長(zhǎng)CE交BF于G，在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…（1）

GF+FC>GE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

∴AB+AC>BD+DE+EC。

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1：已知D為△ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：∠BDC>∠BAC。

分析：因?yàn)椤螧DC與∠BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使∠BDC處于在外角的位置，∠BAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，這時(shí)∠BDC是△EDC的外角，∴∠BDC>∠DEC，同理∠DEC>∠BAC，∴∠BDC>∠BAC

證法二：連接AD，并廷長(zhǎng)交BC于F，這時(shí)∠BDF是△ABD的外角，∴∠BDF>∠BAD，同理，∠CDF>∠CAD，∴∠BDF+

∠CDF>∠BAD+∠CAD，即：∠BDC>∠BAC。

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，如：

例如：如圖3-1：已知AD為△ABC的中線，且∠1=∠2,∠3=∠4,求證：BE+CF>EF。

分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知∠1=∠2，∠3=∠4，可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。

證明：在DN上截取DN=DB，連接NE，NF，則DN=DC，在△DBE和△NDE中：

DN=DB（輔助線作法）

∠1=∠2（已知）

ED=ED（公共邊）

∴△DBE≌△NDE（SAS）

∴BE=NE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在△EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF。

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

四、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任一點(diǎn)

求證：AB-AC>PB-PC。

分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在△PNB中，PB-PNPB-PC。

證明：（截長(zhǎng)法）

在AB上截取AN=AC連接PN,在△APN和△APC中

AN=AC（輔助線作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共邊）

∴△APN≌△APC（SAS）,∴PC=PN（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△BPN中，有PB-PN

∴BP-PC

證明：（補(bǔ)短法）

延長(zhǎng)AC至M，使AM=AB，連接PM，在△ABP和△AMP中

AB=AM（輔助線作法）

∠1=∠2（已知）

AP=AP（公共邊）

∴△ABP≌△AMP（SAS）

∴PB=PM（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

又∵在△PCM中有：CM>PM-PC(三角形兩邊之差小于第三邊)

∴AB-AC>PB-PC。

D

A

E

C

B

例1．如圖，AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE。

例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE，求證：∠ADC+∠B=180o

例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。

D

C

B

A

求證：BC=AB+DC。

M

B

D

C

A

例4如圖，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分線，DM⊥AB于M，且AM=MB。求證：CD=DB。

1．如圖，AB∥CD，AE、DE分別平分∠BAD各∠ADE，求證：AD=AB+CD。

E

D

C

B

A

2.如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AE是過(guò)A的一條直線，且B，C在AE的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E。求證：BD=DE+CE

四

由中點(diǎn)想到的輔助線

口訣：

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線、中位線、加倍延長(zhǎng)中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形

即如圖1，AD是ΔABC的中線，則SΔABD=SΔACD=SΔABC（因?yàn)棣BD與ΔACD是等底同高的）。

例1．如圖2，ΔABC中，AD是中線，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中線。已知ΔABC的面積為2，求：ΔCDF的面積。

解：因?yàn)锳D是ΔABC的中線，所以SΔACD=SΔABC=×2=1，又因CD是ΔACE的中線，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中線，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。

∴ΔCDF的面積為。

（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線

例2．如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線分別交EF的延長(zhǎng)線G、H。求證：∠BGE=∠CHE。

證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，∵M(jìn)E是ΔBCD的中位線，∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，∵M(jìn)F是ΔABD的中位線，∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MFE，從而∠BGE=∠CHE。

（三）、由中線應(yīng)想到延長(zhǎng)中線

例3．圖4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，連BC上的中線AD=2，求BC的長(zhǎng)。

解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。

在ΔACD和ΔEBD中，∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。

在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，∴BD===，故BC=2BD=2。

例4．如圖5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分線，AD又是BC邊上的中線。求證：ΔABC是等腰三角形。

證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。

仿例3可證：

ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，∴∠1=∠E，∴AB=EB，從而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。

（四）、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)

例5．如圖6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求證：AC=BD。

證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtΔABD，RtΔABC斜邊AB上的中線，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。

∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，在ΔADE和ΔBCE中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。

（五）、角平分線且垂直一線段，應(yīng)想到等腰三角形的中線

例6．如圖7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。

證明：延長(zhǎng)BA，CE交于點(diǎn)F，在ΔBEF和ΔBEC中，∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，從而CF=2CE。

又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。

在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。

注：此例中BE是等腰ΔBCF的底邊CF的中線。

（六）中線延長(zhǎng)

口訣：三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常延長(zhǎng)加倍此線段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。

例一：如圖4-1：AD為△ABC的中線，且∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BE+CF>EF。

證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，MF。在△BDE和△CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）

∠1=∠5（對(duì)頂角相等）

ED=MD（輔助線作法）

∴△BDE≌△CDM（SAS）

又∵∠1=∠2，∠3=∠4（已知）

∠1+∠2+∠3+∠4=180°（平角的定義）

∴∠3+∠2=90°

即：∠EDF=90°

∴∠FDM=∠EDF=90°

在△EDF和△MDF中

ED=MD（輔助線作法）

∠EDF=∠FDM（已證）

DF=DF（公共邊）

∴△EDF≌△MDF（SAS）

∴EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴BE+CF>EF

上題也可加倍FD，證法同上。

注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，使題中分散的條件集中。

例二：如圖5-1：AD為△ABC的中線，求證：AB+AC>2AD。

分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線，把所要證的線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去

證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CE

∵AD為△ABC的中線（已知）

∴BD=CD（中線定義）

在△ACD和△EBD中

BD=CD（已證）

∠1=∠2（對(duì)頂角相等）

AD=ED（輔助線作法）

∴△ACD≌△EBD（SAS）

∴BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）

∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）

∴AB+AC>2AD。

練習(xí)：

如圖，AB=6，AC=8，D為BC的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。

B

A

D

C

如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，∠BAC=∠BCA，求證：AD=2AE。

B

E

C

D

A

如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，∠BAC=∠DAE=90°。求證：AM⊥DC。

D

M

CD

ED

AD

BD

4，已知△ABC，AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。

A

B

D

C

E

F

5．已知：如圖AD為△ABC的中線，AE=EF，求證：BF=AC

五

全等三角形輔助線

找全等三角形的方法：

（1）可以從結(jié)論出發(fā)，看要證明相等的兩條線段（或角）分別在哪兩個(gè)可能全等的三角形中；

（2）可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個(gè)三角形相等；

（3）從條件和結(jié)論綜合考慮，看它們能一同確定哪兩個(gè)三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考慮添加輔助線，構(gòu)造全等三角形。

三角形中常見(jiàn)輔助線的作法：

①延長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形；

②利用翻折，構(gòu)造全等三角形；

③引平行線構(gòu)造全等三角形；

④作連線構(gòu)造等腰三角形。

常見(jiàn)輔助線的作法有以下幾種：

1)

遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”．

2)

遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．

3)

遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．

4)

過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”

5)

截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．

特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答．

（一）、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

1：（“希望杯”試題）已知，如圖△ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_________.2：如圖，△ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE⊥DF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分∠BAE.中考應(yīng)用

（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)．探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖①

當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是，線段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是；

（2）將圖①中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖②所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由．

（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短

1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CD⊥AC

2：如圖，AC∥BD，EA,EB分別平分∠CAB,∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;AB＝AC+BD

3：如圖，已知在內(nèi)，，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線。求證：BQ+AQ=AB+BP

4：如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求證：

5:如圖在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-AC＞PB-PC

中考應(yīng)用

（08海淀一模）

（三）、平移變換

1.AD為△ABC的角平分線，直線MN⊥AD于A.E為MN上一點(diǎn)，△ABC周長(zhǎng)記為，△EBC周長(zhǎng)記為.求證＞.2：如圖，在△ABC的邊上取兩點(diǎn)D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD+AE.（四）、借助角平分線造全等

1：如圖，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分線AD,CE相交于點(diǎn)O，求證：OE=OD

2：（06鄭州市中考題）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.（1）說(shuō)明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長(zhǎng).中考應(yīng)用

（06北京中考）如圖①，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為對(duì)稱軸的全等三角形。請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題：

（1）如圖②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F。請(qǐng)你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(第23題圖)

O

P

A

M

N

E

B

C

D

F

A

C

E

F

B

D

圖①

圖②

圖③

（2）如圖③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請(qǐng)問(wèn)，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。

（五）、旋轉(zhuǎn)

1：正方形ABCD中，E為BC上的一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上的一點(diǎn)，BE+DF=EF，求∠EAF的度數(shù).2：D為等腰斜邊AB的中點(diǎn)，DM⊥DN,DM,DN分別交BC,CA于點(diǎn)E,F。

（1）

當(dāng)繞點(diǎn)D轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求證DE=DF。

（2）

若AB=2，求四邊形DECF的面積。

3.如圖，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點(diǎn)做一個(gè)角，使其兩邊分別交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N，連接MN，則的周長(zhǎng)為；

中考應(yīng)用

（07佳木斯）已知四邊形中，，，繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交（或它們的延長(zhǎng)線）于．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖1），易證．

當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明．

（圖1）

（圖2）

（圖3）

（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).(1)如圖,當(dāng)∠APB=45°時(shí),求AB及PD的長(zhǎng);

(2)當(dāng)∠APB變化,且其它條件不變時(shí),求PD的最大值,及相應(yīng)∠APB的大小.（09崇文一模）在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點(diǎn)M、N，D為外一點(diǎn)，且，BD=DC.探究：當(dāng)M、N分別在直線AB、AC上移動(dòng)時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系及的周長(zhǎng)Q與等邊的周長(zhǎng)L的關(guān)系．

圖1

圖2

圖3

（I）如圖1，當(dāng)點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且DM=DN時(shí)，BM、NC、MN之間的數(shù)量關(guān)系是；

此時(shí)；

（II）如圖2，點(diǎn)M、N邊AB、AC上，且當(dāng)DMDN時(shí)，猜想（I）問(wèn)的兩個(gè)結(jié)論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明；

（III）

如圖3，當(dāng)M、N分別在邊AB、CA的延長(zhǎng)線上時(shí)，若AN=，則Q=

（用、L表示）．

六

梯形的輔助線

口訣：

梯形問(wèn)題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱汀?。平移腰，移?duì)角，兩腰延長(zhǎng)作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過(guò)腰中點(diǎn)全等造。

通常情況下，通過(guò)做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形問(wèn)題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。常見(jiàn)的幾種輔助線的作法如下：

作法

圖形

平移腰，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。

平移對(duì)角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形。

延長(zhǎng)兩腰，轉(zhuǎn)化為三角形。

作高，轉(zhuǎn)化為直角三角形和矩形。

中位線與腰中點(diǎn)連線。

（一）、平移

1、平移一腰：

例1.如圖所示，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，AB∥DC，AD＝15，AB＝16，BC＝17.求CD的長(zhǎng).解：過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E.又AB∥CD，所以四邊形BCDE是平行四邊形.所以DE＝BC＝17，CD＝BE.在Rt△DAE中，由勾股定理，得

AE2＝DE2－AD2，即AE2＝172－152＝64.所以AE＝8.所以BE＝AB－AE＝16－8＝8.即CD＝8.例2如圖，梯形ABCD的上底AB=3，下底CD=8，腰AD=4，求另一腰BC的取值范圍。

解：過(guò)點(diǎn)B作BM//AD交CD于點(diǎn)M，在△BCM中，BM=AD=4，CM=CD－DM=CD－AB=8－3=5，所以BC的取值范圍是：

5－4

2、平移兩腰：

例3如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B＋∠C=90°，AD=1，BC=3，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，連接EF，求EF的長(zhǎng)。

解：過(guò)點(diǎn)E分別作AB、CD的平行線，交BC于點(diǎn)G、H，可得

∠EGH＋∠EHG=∠B＋∠C=90°

則△EGH是直角三角形

因?yàn)镋、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn)

所以

3、平移對(duì)角線：

例4、已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=1，BC=4，BD=3，AC=4，求梯形ABCD的面積．

解：如圖，作DE∥AC，交BC的延長(zhǎng)線于E點(diǎn)．

A

B

D

C

E

H

∵AD∥BC

∴四邊形ACED是平行四邊形

∴BE=BC+CE=BC+AD=4+1=5，DE=AC=4

∵在△DBE中，BD=3，DE=4，BE=5

∴∠BDE=90°．

作DH⊥BC于H，則

．

例5如圖，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=3，BC=7，BD=，求證：AC⊥BD。

解：過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形BCED是平行四邊形，則DE=BC，CE=BD=，所以AE=AD＋DE=AD＋BC=3＋7=10。

在等腰梯形ABCD中，AC=BD=，所以在△ACE中，從而AC⊥CE，于是AC⊥BD。

例6如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AC=15cm，BD=20cm，高DH=12cm，求梯形ABCD的面積。

解：過(guò)點(diǎn)D作DE//AC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則四邊形ACED是平行四邊形，即。

所以

由勾股定理得

（cm）

（cm）

所以，即梯形ABCD的面積是150cm2。

（二）、延長(zhǎng)

即延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例7如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=50°，∠C=80°，AD=2，BC=5，求CD的長(zhǎng)。

解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)E。

在△BCE中，∠B=50°，∠C=80°。

所以∠E=50°，從而B(niǎo)C=EC=5

同理可得AD=ED=2

所以CD=EC－ED=5－2=3

例8.如圖所示，四邊形ABCD中，AD不平行于BC，AC＝BD，AD＝BC.判斷四邊形ABCD的形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD是等腰梯形.證明：延長(zhǎng)AD、BC相交于點(diǎn)E，如圖所示.∵AC＝BD，AD＝BC，AB＝BA，∴△DAB≌△CBA.∴∠DAB＝∠CBA.∴EA＝EB.又AD＝BC，∴DE＝CE，∠EDC＝∠ECD.而∠E＋∠EAB＋∠EBA＝∠E＋∠EDC＋∠ECD＝180°，∴∠EDC＝∠EAB，∴DC∥AB.又AD不平行于BC，∴四邊形ABCD是等腰梯形.（三）、作對(duì)角線

即通過(guò)作對(duì)角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。

例9如圖6，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD于點(diǎn)E，求證：AD=DE。

解：連結(jié)BD，由AD//BC，得∠ADB=∠DBE；

由BC=CD，得∠DBC=∠BDC。

所以∠ADB=∠BDE。

又∠BAD=∠DEB=90°，BD=BD，所以Rt△BAD≌Rt△BED，得AD=DE。

（四）、作梯形的高

1、作一條高

例10如圖，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=2DC，對(duì)角線AC⊥BD，垂足為F，過(guò)點(diǎn)F作EF//AB，交AD于點(diǎn)E，求證：四邊形ABFE是等腰梯形。

證：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于點(diǎn)G，則易知四邊形DGBC是矩形，所以DC=BG。

因?yàn)锳B=2DC，所以AG=GB。

從而DA=DB，于是∠DAB=∠DBA。

又EF//AB，所以四邊形ABFE是等腰梯形。

2、作兩條高

例11、在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD，∠ABC=60°，AD=3cm，BC=5cm，求：(1)腰AB的長(zhǎng)；(2)梯形ABCD的面積．

A

B

C

DD

ED

FD

解：作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，又∵AD∥BC，∴四邊形AEFD是矩形，EF=AD=3cm

∵AB=DC

∵在Rt△ABE中，∠B=60°，BE=1cm

∴AB=2BE=2cm，∴

例12如圖，在梯形ABCD中，AD為上底，AB>CD，求證：BD>AC。

證：作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F，則易知AE=DF。

在Rt△ABE和Rt△DCF中，因?yàn)锳B>CD，AE=DF。

所以由勾股定理得BE>CF。即BF>CE。

在Rt△BDF和Rt△CAE中

由勾股定理得BD>AC

（五）、作中位線

1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線。

例13如圖，在梯形ABCD中，AB//DC，O是BC的中點(diǎn)，∠AOD=90°，求證：AB＋CD=AD。

證：取AD的中點(diǎn)E，連接OE，則易知OE是梯形ABCD的中位線，從而OE=（AB＋CD）①

在△AOD中，∠AOD=90°，AE=DE

所以

②

由①、②得AB＋CD=AD。

2、已知梯形兩條對(duì)角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對(duì)角線中點(diǎn)，并延長(zhǎng)與底邊相交，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。

例14如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F分別是BD、AC的中點(diǎn)，求證：（1）EF//AD；（2）。

證：連接DF，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，易證△AFD≌△CFG

則AD=CG，DF=GF

由于DE=BE，所以EF是△BDG的中位線

從而EF//BG，且

因?yàn)锳D//BG，所以EF//AD，EF3、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解題的目的。

例15、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=900，E是DC上的中點(diǎn)，連接AE和BE，求∠AEB=2∠CBE。

解：分別延長(zhǎng)AE與BC，并交于F點(diǎn)

∵∠BAD=900且AD∥BC

∴∠FBA=1800－∠BAD=900

又∵AD∥BC

∴∠DAE=∠F(兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等)

∠AED=∠FEC

（對(duì)頂角相等）

DE=EC

（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）

∴△ADE≌△FCE

（AAS）

∴

AE=FE

在△ABF中∠FBA=900

且AE=FE

∴

BE=FE（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）

∴

在△FEB中

∠EBF=∠FEB

∠AEB=∠EBF+

∠FEB=2∠CBE

A

B

D

C

E

F

例16、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，E是CD中點(diǎn)，試問(wèn)：線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？

解：AE=BE，理由如下：

延長(zhǎng)AE，與BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．

∵DE=CE，∠AED=∠CEF，∠DAE=∠F

∴△ADE≌△FCE

∴AE=EF

∵AB⊥BC，∴BE=AE．

例17、已知：梯形ABCD中，AD//BC，E為DC中點(diǎn)，EF⊥AB于F點(diǎn)，AB=3cm，EF=5cm，求梯形ABCD的面積．

解：如圖，過(guò)E點(diǎn)作MN∥AB，分別交AD的延長(zhǎng)線于M點(diǎn)，交BC于N點(diǎn)．

A

B

C

D

E

F

M

N

∵DE=EC，AD∥BC

∴△DEM≌△CNE

四邊形ABNM是平行四邊形

∵EF⊥AB，∴S梯形ABCD=S□ABNM=AB×EF=15cm2．

【模擬試題】（答題時(shí)間：40分鐘）

1.若等腰梯形的銳角是60°，它的兩底分別為11cm，35cm，則它的腰長(zhǎng)為_(kāi)_________cm.2.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝60°，AD＝2，BC＝8，則此等腰梯形的周長(zhǎng)為（）

A.19

B.20

C.21

D.22

3.如圖所示，AB∥CD，AE⊥DC，AE＝12，BD＝20，AC＝15，則梯形ABCD的面積為（）

A.130

B.140

C.150

D.160

*4.如圖所示，在等腰梯形ABCD中，已知AD∥BC，對(duì)角線AC與BD互相垂直，且AD＝30，BC＝70，求BD的長(zhǎng).5.如圖所示，已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長(zhǎng).6.如圖所示，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，AD＋BC＝10，DE⊥BC于E，求DE的長(zhǎng).7.如圖所示，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D＝2∠B，AD＋DC＝8，求AB的長(zhǎng).**8.如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，（1）若E是AB的中點(diǎn)，且AD＋BC＝CD，則DE與CE有何位置關(guān)系？（2）E是∠ADC與∠BCD的角平分線的交點(diǎn)，則DE與CE有何位置關(guān)系？

1．圓中作輔助線的常用方法：

（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關(guān)系與垂徑定理。

（2）若題目中有“弦的中點(diǎn)”和“弧的中點(diǎn)”條件時(shí)，一般連接中點(diǎn)和圓心，利用垂徑定理的推論得出結(jié)果。

（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當(dāng)選取圓周上的點(diǎn)，連結(jié)此點(diǎn)與直徑端點(diǎn)得到90度的角或直角三角形。

（4）連結(jié)同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。

（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BD⊥OA于D，經(jīng)常是：①如圖1（上）延長(zhǎng)BD交圓于C，利用垂徑定理。

②如圖1（下）延長(zhǎng)AO交圓于E，連結(jié)BE，BA，得Rt△ABE。

圖1（上）

圖1（下）

（6）若題目中有“切線”條件時(shí)，一般是：對(duì)切線引過(guò)切點(diǎn)的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內(nèi)切或外切），往往過(guò)切點(diǎn)作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過(guò)切點(diǎn)）以溝通兩圓中有關(guān)的角的相等關(guān)系。

（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經(jīng)常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構(gòu)成圓內(nèi)接四邊形解決，有時(shí)還引兩連心線以得到結(jié)果。

（9）有些問(wèn)題可以先證明四點(diǎn)共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關(guān)系去證明。

（10）對(duì)于圓的內(nèi)接正多邊形的問(wèn)題，往往添作邊心距，抓住一個(gè)直角三角形去解決。

例題1：如圖2，在圓O中，B為的中點(diǎn)，BD為AB的延長(zhǎng)線，∠OAB=500，求∠CBD的度數(shù)。

解：如圖，連結(jié)OB、OC的圓O的半徑，已知∠OAB=500

∵B是弧AC的中點(diǎn)

∴弧AB=弧BC

∴AB==BC

又∵OA=OB=OC

∴△AOB≌△BOC（S.S.S）

圖2

∴∠OBC=∠ABO=500

∵∠ABO+∠OBC+∠CBD=1800

∴∠CBD=1800

500-

500

∴∠CBD=800

答:∠CBD的度數(shù)是800.例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點(diǎn)P，求證：∠APD的度數(shù)=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。

證明：連接AC，則∠DPA=∠C+∠A

∴∠C的度數(shù)=弧AD的度數(shù)

∠A的度數(shù)=弧BC的度數(shù)

∴∠APD=（弧AD+弧BC）的度數(shù)。

圖3

一、造直角三角形法

1.構(gòu)成Rt△,常連接半徑

例1.過(guò)⊙O內(nèi)一點(diǎn)M,最長(zhǎng)弦AB

=

26cm,最短弦CD

=

10cm,求AM長(zhǎng);

2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角

例2.AB是⊙O的直徑,AC切⊙O于A,CB交⊙O于D,過(guò)D作⊙O的切線,交AC于E.求證:CE

=

AE;

3.遇有切線,常作過(guò)切點(diǎn)的半徑

例3

.割線AB交⊙O于C、D,且AC=BD,AE切⊙O于E,BF切⊙O于F.求證:∠OAE

=

∠OBF;

4.遇有公切線,常構(gòu)造Rt△(斜邊長(zhǎng)為圓心距,一直角邊為兩半徑的差,另一直角邊為公切線長(zhǎng))

例4

.小

⊙O1與大⊙O2外切于點(diǎn)A,外公切線BC、DE分別和⊙O1、⊙O2切于點(diǎn)B、C和D、E，并相交于P，∠P

=

60°。

求證：⊙O1與⊙O2的半徑之比為1：3；

5．正多邊形相關(guān)計(jì)算常構(gòu)造Rt△

例5.⊙O的半徑為6,求其內(nèi)接正方形ABCD與內(nèi)接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段

例6.AB是⊙O的直徑,CD是弦,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.(1)求證:EC

=

DF;

(2)若AE

=

2,CD=BF=6,求⊙O的面積;

三、轉(zhuǎn)換割線與弦相交的角，常構(gòu)成圓的內(nèi)接四邊形

例7.AB是⊙O直徑,弦CD⊥AB,M是上一點(diǎn),AM延長(zhǎng)線交DC延長(zhǎng)線于F.求證:

∠F

=

∠ACM;

四、切線的綜合運(yùn)用

1．已知過(guò)圓上的點(diǎn)，常_________________

例8.如圖，已知：⊙O1與⊙O2外切于P，AC是過(guò)P點(diǎn)的割線交⊙O1于A，交⊙O2于C，過(guò)點(diǎn)O1的直線AB

⊥BC于B.求證：

BC與⊙O2相切.例9.如圖，AB是⊙O的直徑，AE平分∠BAF交⊙O于E，過(guò)E點(diǎn)作直線與AF垂直交AF延長(zhǎng)線于D點(diǎn)，且交AB于C點(diǎn)．

求證：CD與⊙O相切于點(diǎn)E．

2.兩個(gè)條件都沒(méi)有,常___________________

例10.如圖，AB是半圓的直徑，AM⊥MN，BN⊥MN，如果AM+BN＝AB，求證:

直線MN與半圓相切；

例11.等腰△ABC中,AB=AC,以底邊中點(diǎn)D為圓心的圓切AB邊于E點(diǎn).求證:AC與⊙D相切;

例12．菱形ABCD兩對(duì)角線交于點(diǎn)O，⊙O與AB相切。

求證：⊙O也與其他三邊都相切；

五、兩圓相關(guān)題型

1．兩圓相交作_____________________

例13.⊙O1與⊙O2相交于A、B，過(guò)A點(diǎn)作直線交⊙O1于C點(diǎn)、交⊙O2于D點(diǎn)，過(guò)B點(diǎn)作直線交⊙O1于E點(diǎn)、交⊙O2于F點(diǎn).求證:CE∥DF;

2.相切兩圓作________________________

例14.⊙O1與⊙O2外切于點(diǎn)P,過(guò)P點(diǎn)的直線分別交⊙O1與⊙O2于A、B兩點(diǎn)，AC切⊙O1于A點(diǎn)，BC交⊙O2于D點(diǎn)。

求證：∠BAC

=

∠BDP；

3．兩圓或三圓相切作_________________

例15.以AB=6為直徑作半⊙O,再分別以O(shè)A、OB為直徑在半⊙O內(nèi)作半⊙O1與半⊙O2，又⊙O3與三個(gè)半圓兩兩相切。

求⊙O3的半徑；

4．一圓過(guò)另一圓的圓心，作____________

例16.兩個(gè)等圓⊙O1與⊙O2相交于A、B

兩點(diǎn)，且⊙O1過(guò)點(diǎn)O2，過(guò)B點(diǎn)作直線交⊙O1于C點(diǎn)、交⊙O2于D點(diǎn).求證：△ACD是等邊三角形；

六、開(kāi)放性題目

例17．已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的切線平分邊．

（1）與是否相切？請(qǐng)說(shuō)明理由；

（第23題）

（2）當(dāng)滿足什么條件時(shí)，以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？并說(shuō)明理由．

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