第一篇：中考數(shù)學(xué)2013年24題證明題及輔助線作法

2013年中考數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對(duì)象。現(xiàn)就常見的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。

一、補(bǔ)成三角形

1.補(bǔ)成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

2.補(bǔ)成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

3.補(bǔ)成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F(xiàn)、G分別是AD、BC的中點(diǎn)，若BC＝18，AD＝8，求FG的長(zhǎng)。

4.補(bǔ)成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，使AE＝BD，連

結(jié)CE、ED。證明：EC=ED

二、補(bǔ)成特殊的四邊形

1.補(bǔ)成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

圖

32.補(bǔ)成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長(zhǎng)。

3.補(bǔ)成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝DE＝4，求其面積

4.補(bǔ)成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

5.補(bǔ)成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

圖6

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB1＋CC1)。

圖9

第二篇：輔助線幾何證明題

輔助線的幾何證明題

三角形輔助線做法

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長(zhǎng)中線等中線。

常見的輔助線做法

1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”。

2、遇到三角形的中線，倍長(zhǎng)中線，使延長(zhǎng)線段與原中線長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。

3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。

4、過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。

5、截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長(zhǎng)，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。

6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答。

一、倍長(zhǎng)中線（線段）造全等

（一）例題講解

例

1、（“希望杯”試題）已知，如圖?ABC中，AB?5，AC?3，求中線AD的取值范圍。分析：本題的關(guān)鍵是如何把AB，AC，AD三條線段轉(zhuǎn)化到同一個(gè)三角形當(dāng)中。解:延長(zhǎng)AD到E，使DE?DA，連接BE

又∵BD?CD，?BDE??CDA

∴?BDE??CDA?SAS?，BE?AC?3

∵AB?BE?AE?AB?BE(三角形三邊關(guān)系定理)

即2?2AD?8

∴1?AD?4

經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：見中線，延長(zhǎng)加倍。

E B D C A

第三篇：中考 數(shù)學(xué)證明題輔助線經(jīng)典做法訓(xùn)練

新智慧輔導(dǎo)中心吳老師：***

初中數(shù)學(xué)培優(yōu)訓(xùn)練題

補(bǔ)形法的應(yīng)用

班級(jí)________姓名__________分?jǐn)?shù)_______

一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時(shí)顯得十分繁難，若通過(guò)適當(dāng)?shù)摹把a(bǔ)形”來(lái)進(jìn)行，即添置適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形填補(bǔ)成一個(gè)完整的、特殊的、簡(jiǎn)單的新圖形，則能使原問(wèn)題的本質(zhì)得到充分的顯示，通過(guò)對(duì)新圖形的分析，使原問(wèn)題順利獲解。這種方法，我們稱之為補(bǔ)形法，它能培養(yǎng)思維能力和解題技巧。我們學(xué)過(guò)的三角形、特殊四邊形、圓等都可以作為“補(bǔ)形”的對(duì)象?，F(xiàn)就常見的添補(bǔ)的圖形舉例如下，以供參考。

一、補(bǔ)成三角形

1.補(bǔ)成三角形

例1.如圖1，已知E為梯形ABCD的腰CD的中點(diǎn)；

證明：△ABE的面積等于梯形ABCD面積的一半。

分析：過(guò)一頂點(diǎn)和一腰中點(diǎn)作直線，交底的延長(zhǎng)線于一點(diǎn)，構(gòu)造等面積的三角形。這也是梯形中常用的輔助線添法之一。

略證：

2.補(bǔ)成等腰三角形

例2 如圖2.已知∠A＝90°，AB＝AC，∠1＝∠2，CE⊥BD，求證：BD＝2CE

分析：因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是對(duì)稱軸，故根據(jù)對(duì)稱性作出輔助

線，不難發(fā)現(xiàn)CF＝2CE，再證BD＝CF即可。

略證：

3.補(bǔ)成直角三角形

例3.如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＋∠C＝90°，F(xiàn)、G分別

是AD、BC的中點(diǎn)，若BC＝18，AD＝8，求FG的長(zhǎng)。

分析：從∠B、∠C互余，考慮將它們變?yōu)橹苯侨切蔚慕?，故延長(zhǎng)BA、CD，要求FG，需求PF、PG。

略解：

圖

34.補(bǔ)成等邊三角形

例4.圖4，△ABC是等邊三角形，延長(zhǎng)BC至D，延長(zhǎng)BA至E，使AE＝BD，連結(jié)CE、ED。證明：EC＝ED

分析：要證明EC＝ED，通常要證∠ECD＝∠EDC，但難以實(shí)現(xiàn)。這樣可采

用補(bǔ)形法即延長(zhǎng)BD到F，使BF＝BE，連結(jié)EF。

略證：

二、補(bǔ)成特殊的四邊形

1.補(bǔ)成平行四邊形

例5.如圖5，四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、CD、AC、BD的中點(diǎn)，并且E、F、G、H不在同一條直線上，求證：EF和GH互相平分。

分析：因?yàn)槠叫兴倪呅蔚膶?duì)角線互相平分，故要證結(jié)論，需考慮四邊

形GEHF是平行四邊形。

略證：

2.補(bǔ)成矩形

例6.如圖6，四邊形ABCD中，∠A＝60°，∠B＝∠D＝90°，AB＝200m，CD＝100m，求AD、BC的長(zhǎng)。

分析：矩形具有許多特殊的性質(zhì)，巧妙地構(gòu)造矩形，可使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角

形，于是一些四邊形中較難的計(jì)算題不難獲解。

略解：

圖6

3.補(bǔ)成菱形

例7.如圖7，凸五邊形ABCDE中，∠A=∠B＝120°，EA＝AB＝BC＝2，CD＝

DE＝4，求其面積

分析：延長(zhǎng)EA、CB交于P，根據(jù)題意易證四邊形PCDE為菱形。

略解：

4.補(bǔ)成正方形

例8.如圖8，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠BAC＝45°，BD＝3，DC＝2。

求△ABC的面積。

分析：本題要想從已知條件直接求出此三角形的面積確實(shí)有些困難，如果

從題設(shè)∠BAC＝45°，AD⊥BC出發(fā)，可以捕捉到利用軸對(duì)稱性質(zhì)構(gòu)造一個(gè)正方

形的信息，那么問(wèn)題立即可以獲解。

略解：

5.補(bǔ)成梯形

例9．如圖9，已知： G是△ABC中BC邊上的中線的中點(diǎn)，L是△ABC外的一條直線，自A、B、圖8

圖7

C、G向L作垂線，垂足分別為A1、B1、C1、G1。求證：GG1＝4(2AA1＋BB

1＋CC1)。

分析：本題從已知條件可知，中點(diǎn)多、垂線多特點(diǎn)，聯(lián)想到構(gòu)造直角梯形

來(lái)加以解決比較恰當(dāng)，故過(guò)D作DD1⊥L于D1，則DD1既是梯形BB1C1C的中

位線，又是梯形DD1A1A的一條底邊，因而，可想到運(yùn)用梯形中位線定理突破，使要證的結(jié)論明顯地顯示出來(lái)，從而使問(wèn)題快速獲證。

略證：

圖9

第四篇：初中幾何常見輔助線作法口訣

初中幾何常見輔助線作法口訣

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來(lái)添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，中線加倍全等現(xiàn)。四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對(duì)稱中心等分點(diǎn)。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動(dòng)對(duì)角線，補(bǔ)成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。

直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

常見基本圖形：8字形，平行8字形，平行等8字形，領(lǐng)子，射影，類射影 1．平行、平分、等腰，知二推一。2． 中線加倍 3． 補(bǔ)形

4． 旋轉(zhuǎn)、平移、軸對(duì)稱

5． 遇角分線截長(zhǎng)補(bǔ)短或作雙垂直，構(gòu)成一對(duì)全等三角形。

6． 遇兩個(gè)等邊三角形有公共頂點(diǎn)，用一長(zhǎng)一短和長(zhǎng)短間的夾角證全等 7． 遇2倍角常變作等腰三角形頂角的外角

8． 證線段的1/2時(shí)，常變作中位線，直角三角形斜邊中線或30°Rt△ 9． 等邊三角形面積：

10．30°底角等腰三角形，腰是a，底是a，面積是

11．圖中見120°角，想60°角；見15°角，想30°角；

12．梯形常用輔助線：延兩腰，作雙高，平行于一腰，平行于對(duì)角線。遇一腰中點(diǎn)，作平行等8字13．見直徑，有直角

14．證切線，兩方法：（1）連半徑，證垂直；（2）作垂直，證半徑 15．正多邊形內(nèi)切圓與外接圓對(duì)應(yīng)線段比：面積比：

假如圖形較分散，對(duì)稱旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。圓

半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦?；∮兄悬c(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。

第五篇：上海中考數(shù)學(xué)題

上海中考數(shù)學(xué)題“奧數(shù)”難度？ 考生考完“淚汪汪”

2012-06-19 07:28

“語(yǔ)文考完美滋滋，理化考完苦哈哈，英語(yǔ)考完樂(lè)呵呵，數(shù)學(xué)考完淚汪汪。”——這是今年上海中考結(jié)束后網(wǎng)上的一句“流行”語(yǔ)。中考結(jié)束后，不少考生、初三數(shù)學(xué)老師紛紛表示數(shù)學(xué)卷子偏難，部分高中數(shù)學(xué)老師接受記者采訪時(shí)表示，考卷難可能便于高中選拔，而一些初中生和家長(zhǎng)期望學(xué)奧數(shù)來(lái)提高應(yīng)考能力，其實(shí)這種訓(xùn)練方法對(duì)中考的幫助并不大。昨天上午,一名送考的初三數(shù)學(xué)老師在網(wǎng)上發(fā)帖講述了自己對(duì)中考數(shù)學(xué)的看法。他說(shuō)，“伴著旁潑大雨，孩子們考完了最后一門數(shù)學(xué)。走出考場(chǎng)的學(xué)生大部分面色僵直，好的同學(xué)也沒(méi)有很大把握。甚至有幾題都沒(méi)有做出來(lái)?！?/p>

這名教師表示自己晚上第一時(shí)間把中考卷完整做了一遍，“個(gè)人感覺(jué)比前兩年的都難，題型有一點(diǎn)突破。對(duì)能力有較高要求，填空選擇也考了些比較冷門、學(xué)生容易忽視的知識(shí)點(diǎn)。幾何證明依然是有關(guān)于四邊形，但是這次的方法是學(xué)生最薄弱的或者說(shuō)學(xué)生不善于運(yùn)用的：比例線段推出平行線。對(duì)于那些基礎(chǔ)較差的同學(xué)可能一點(diǎn)思路也沒(méi)有?！?/p>

對(duì)于學(xué)生普遍反映的最后兩題，這名教師認(rèn)為，“如果能想出合理的方法，解答非常簡(jiǎn)便，但是前提是學(xué)生對(duì)基本圖形掌握非常牢固，能夠用多角度去尋找方法。方法還是老的，但是需要學(xué)生有極強(qiáng)的應(yīng)變能力。對(duì)普通的公辦學(xué)校的學(xué)生來(lái)說(shuō)，確實(shí)難度不小。”但比起初中數(shù)學(xué)老師，高中的數(shù)學(xué)教師則表示考題難度可以接受。在上海一所公辦中學(xué)任教的張老師告訴東方網(wǎng)記者，他看過(guò)了今年中考題目，感覺(jué)題目并沒(méi)有想象中和“傳聞”中的那么難。張老師說(shuō)，“學(xué)生對(duì)于考題難不難的判斷標(biāo)準(zhǔn)就是自己能否做出來(lái)，但教師看題目難不難，主要還是看題目考察了學(xué)生哪些方面的能力。”

張老師表示，很多考生覺(jué)得數(shù)學(xué)難，但他認(rèn)為主要原因還是由于現(xiàn)在很多學(xué)生不喜歡數(shù)學(xué)，覺(jué)得學(xué)數(shù)學(xué)沒(méi)用，甚至有學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭惡的情緒，這樣的狀態(tài)下，更加學(xué)不好數(shù)學(xué)。

提到中考數(shù)學(xué)考題的難易程度，上海吳淞中學(xué)數(shù)學(xué)老師劉剛銘認(rèn)為，其實(shí)考生不必糾結(jié)，“如果真的很難，那么可能大家都答不上來(lái)?！眲傘懻f(shuō)，有些初中學(xué)生去學(xué)奧數(shù)，期望以此增加自己的“實(shí)力”，但在他看來(lái)幫助并不大。“學(xué)生的接受能力、思維能力不是讀了奧數(shù)就一定會(huì)變強(qiáng)的，關(guān)鍵還是要通過(guò)自己的努力。”

也有數(shù)學(xué)教師指出，從目前的情況來(lái)看，選拔也是中考的一個(gè)功能，難度越大的考卷，越容易拉開不同程度的學(xué)生，便于選拔。當(dāng)然，考分并不能決定一個(gè)考生能力，一個(gè)思維能力、接受能力強(qiáng)的考生，即使初中階段成績(jī)一般，通過(guò)努力，在高中階段也能成為“尖子生”。