第一篇：數(shù)學(xué)中考證明28條

1． 同角（或等角）的余角相等。同角（或等角）的補(bǔ)角相等。對(duì)頂角相等。

2．平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短。

3． 線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等；到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上；三角形三邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的外心。

4． 角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上；三

角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心。

5． 兩直線平行，同位角相等。同位角相等，兩直線平行。

6． 兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等（同旁內(nèi)角互補(bǔ)）；內(nèi)錯(cuò)角相等（同旁內(nèi)角互補(bǔ)），兩直線

平行。

7． 經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行

8． 三角形的任意兩邊之和大于第三邊。三角形的任意兩邊之差小于第三邊。

9． 三角形的內(nèi)角之和等于180°。三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。三角形的外

角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

10．三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半

11．全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等。

12．兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；三邊對(duì)

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；有兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； 如果兩個(gè)直角三角形的斜邊及一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形全等。

13． 等腰三角形的兩底角相等（等邊對(duì)等角）。底邊上的高、中線及頂角平分線三線合一。

14． 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）；等邊三角形的每個(gè)角都等于

60°。三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

15． 有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形；

如果三角形的一邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形。

16． 直角三角形的兩銳角互余；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；

直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

17． n邊形的內(nèi)角和等于（n－2）×180°；任意多邊形的外角和等于360°。

18．平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、兩條對(duì)角線互相平分。

19． 一組對(duì)邊平行且相等，或兩條對(duì)角線互相平分，或兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行

四邊形。

20． 矩形的四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等。

21． 三個(gè)角是直角的四邊形，或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形。

22． 菱形的四邊相等，對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

23． 四邊相等的四邊形，或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形。

24． 正方形具有菱形和矩形的性質(zhì)。

25． 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形；有一組鄰邊相等的矩形是正方形。

26． 等腰梯形同一底上的兩底角相等，兩條對(duì)角線相等。

27． 兩腰相等的梯形是等腰梯形；在同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形。

28．梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。

第二篇：中考數(shù)學(xué)證明問題

中考數(shù)學(xué)專題1 線段角的計(jì)算證明問題

第一部分 真題精講，AD?3，BC?8．求1．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BD?CD，?BDC?90°

AB的長．

2.已知：如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?DCB?90?，AC?BD于點(diǎn)O，DC?2,BC?4，求AD的長.A

D

BC

AD∥BC，?B?90?，AD=2，BC?5，3.如圖，在梯形ABCD中，tanC?E為DC中點(diǎn)，4．求

3AE的長度 AD

E

BC

．

【總結(jié)】 以上三道真題,都是在梯形中求線段長度的問題.這些問題一般都是要靠做出精妙的輔助線來解決.輔助線的總體思路就是將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合,從而達(dá)到利用已知求未知的目的.一般來說,梯形的輔助線主要有以下5類

:

1、過一底的兩端做另一底的垂線，拆梯形為兩直角三角形+

一矩形

2、平移一腰，分梯形為平行四邊形+ 三角形

3、延長梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形

4、平移對(duì)角線，轉(zhuǎn)化為平行四邊形+三角形

5、連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長線交于另一底延長線構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過中點(diǎn)做底邊垂線

構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三角形

以上五種方法就是梯形內(nèi)線段問題的一般輔助線做法。對(duì)于角度問題，其實(shí)思路也是一樣的。通過做輔助線使得已知角度通過平行，全等方式轉(zhuǎn)移到未知量附近。之前三道例題主要是和線段有關(guān)的計(jì)算。我們接下來看看和角度有關(guān)的計(jì)算與證明問題。

3.如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分?ADC，過點(diǎn)A作AE∥BD，交CD的延長線于點(diǎn)E，且?C?2?E，?BDC?30?，AD?3，求CD的長．

AB

ED

5.已知：PAPB?4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè).如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長；

第二部分 發(fā)散思考

通過以上的一模真題，我們對(duì)線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些認(rèn)識(shí)。接下來我們自己動(dòng)手做一些題目。希望考生先做題，沒有思路了看分析，再?zèng)]思路了再看答案。

【思考1】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB?CD．若AC⊥BD，AD+BC=10，且?ABC?60?，求CD的長．

【思考2】如圖，梯形ABCD中，AD//BC，∠B=30°，∠C=60°，E，M，F(xiàn)，N分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，已知BC=7，MN=3，求EF

【思考3】已知?ABC，延長BC到D，使CD?BC．取AB的中點(diǎn)F，連結(jié)FD交AC于點(diǎn)E．

AE⑴ 求的值； AC

⑵ 若AB?a，F(xiàn)B?EC，求AC的長．

B

【思考4】如圖3，△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，AC上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=3，CF=4，試求EF的長．

D

【思考5】 如圖，在四邊形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，?ADE和?BCE都是等邊三角形，AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)分別為P、Q、M、N，試判斷四邊形PQMN為怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論．

第三篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明復(fù)習(xí)題

幾何證明練習(xí)

1.如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長線相交于點(diǎn)M，線

段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若

不成立，請(qǐng)說明理由．

A(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

32.將兩塊全等的含30°角的三角尺如圖(1)擺放在一起，它們的較短直角邊長為3．(1)將△ECD沿直線l向左平移到圖(2)的位置，使E點(diǎn)落在AB上，則CC′=______；

(2)將△ECD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖(3)的位置，使點(diǎn)E落在AB上，則△ECD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)的度數(shù)=______；

(3)將△ECD沿直線AC翻折到圖(4)的位置，ED′與AB相交于點(diǎn)F，求證AF=FD′

A A A A

E E’ E’D’ F’

l B(2)

(3)D’(4)

3.填空或解答：點(diǎn)B、C、E在同一直線上，點(diǎn)A、D在直線CE的同側(cè)，AB＝AC，EC＝ED，∠BAC＝∠CED，直線AE、BD交于點(diǎn)F。

(1)如圖①，若∠BAC＝60°，則∠AFB＝_________；如圖②，若∠BAC＝90°，則∠AFB＝_________；(2)如圖③，若∠BAC＝α，則∠AFB＝_________(用含α的式子表示)；

(3)將圖③中的△ABC繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)(點(diǎn)F不與點(diǎn)A、B重合)，得圖④或圖⑤。在圖④中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________；在圖⑤中，∠AFB與∠α的數(shù)量關(guān)系是________________。請(qǐng)你任選其中一個(gè)結(jié)論證明。

D

4.用兩個(gè)全等的正方形ABCD和CDFE拼成一個(gè)矩形ABEF，把一個(gè)足夠大的直角三角尺的直角頂點(diǎn)與這個(gè)矩形的邊AF的中點(diǎn)D重合，且將直角三角尺繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與矩形ABEF的兩邊BE，EF相交于點(diǎn)G，H時(shí)，如圖甲，通過觀察或測(cè)量BG與EH的長度，你能得到什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論．

（2）當(dāng)直角三角尺的兩直角邊分別與BE的延長線，EF的延長線相交于點(diǎn)G，H時(shí)（如圖乙），你在圖甲中得到的結(jié)論還成立嗎？簡要說明理由．

圖②(第5題圖)

圖①

A圖③

B圖④

(第5題圖)

圖⑤

H

A B

F A B

F E

G

C 圖甲

C 圖乙

5.已知∠AOB=90，在∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA、OB(或它們的反向延長線)相交于點(diǎn)D、E．

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖1)，易證：2OC．

當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，在圖

2、圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否還成立?若成立，請(qǐng)

給予證明；若不成立，線段OD、OE、OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明。

6.把一副三角板如圖甲放置，其中∠ACB?∠DEC?90，∠A?45，∠D?30，斜邊AB?6cm，DC?7cm．把三角板DCE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△D1CE1（如圖乙）．這時(shí)AB與CD1相交于點(diǎn)O，與

D1E1相交于點(diǎn)F．

（1）求∠OFE1的度數(shù)；（2）求線段AD1的長；

（3）若把三角形D1CE1繞著點(diǎn)C順時(shí)針再旋轉(zhuǎn)30°得△D2CE2，這時(shí)點(diǎn)B在△D2CE2的內(nèi)部、外部、還是邊上？說明理由．

A

C

（甲）

E（乙）

1B

D

A

D

17.如圖，在△ABC 中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的角平分線于點(diǎn)E，交∠BCA的外角平分線于點(diǎn)F．（1）求證：EO=FO；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論．

MB

E

OC

FN

(第19題圖）

8.如圖甲，在△ABC中，∠ACB為銳角．點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF． 解答下列問題：

（1）如果AB=AC，∠BAC=90o．

①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)（與點(diǎn)B不重合），如圖乙，線段CF、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為．

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，如圖丙，①中的結(jié)論是否仍然成立，為什么？

（2）如果AB≠AC，∠BAC≠90o，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)．

試探究：當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CF⊥BC（點(diǎn)C、F重合除外）？畫出相應(yīng)圖形，并說明理由．（畫圖不寫作法）

（3）若AC

＝BC=3，在（2）的條件下，設(shè)正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點(diǎn)P，求線段CP

F

長的最大值．

E

A F

CBBECE

圖甲 圖乙 圖丙

第8題圖

9.如圖，矩形紙片ABCD中，AB?8，將紙片折疊，使頂點(diǎn)B落在邊AD的E點(diǎn)上，折痕的一端G點(diǎn)在邊

BC上，BG?10．

（1）當(dāng)折痕的另一端F在AB邊上時(shí)，如圖（1），求△EFG的面積；（2）當(dāng)折痕的另一端F在AD邊上時(shí)，如圖（2），證明四邊形BGEF為菱形，并求出折痕GF的長．

H(A)

E(B)E(B)D

A D

C B C

G

圖（1）圖（2）

10.如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)P在AB上從A向B運(yùn)動(dòng)，連接DP交AC于點(diǎn)Q．（1）試證明：無論點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AB上何處時(shí)，都有△ADQ≌△ABQ；（2）當(dāng)點(diǎn)P在AB上運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△ADQ的面積是正方形ABCD面積的1； 6

（3）若點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，再繼續(xù)在BC上運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)P 運(yùn)動(dòng)到什么

位置時(shí)，△ADQ恰為等腰三角形．

11.如圖15，平行四邊形ABCD中，AB?AC，AB?

1，BC?．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，分別交BC，AD于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）證明：當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為90時(shí)，四邊形ABEF是平行四邊形；

（2）試說明在旋轉(zhuǎn)過程中，線段AF與EC總保持相等；

（3）在旋轉(zhuǎn)過程中，四邊形BEDF可能是菱形嗎？如果不能，請(qǐng)說明理由；如果能，說明理由并求出此時(shí)AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)．

FD

B C圖15

12.已知∠MAN，AC平分∠MAN。

⑴在圖1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求證：AB＋AD＝AC;

⑵在圖2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則⑴中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明;若不成立，請(qǐng)說明理由;⑶在圖3中：

①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC;②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，則AB＋AD＝____AC（用含α的三角函數(shù)表示），并給出證明。

M

MM

CCC

DDD

ABNABABN N

13.已知，將兩塊等腰直角三角板ABC和ADE如圖放置，再以CE,CB為邊作平行四邊形CEHB，連DC，CH。a)如圖1，連接DH，請(qǐng)你判斷△DHC的形狀，猜想CH與CD之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由。b)將圖1中的△ADE繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，請(qǐng)你猜想CH與CD之間的數(shù)量關(guān)

系。

c)將圖1中的△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°＜a＜45°)得圖3，（2）中的猜想是否還成立，若

成立，請(qǐng)給出證明；不成立，說明理由。

14.如圖13—1，以△ABC的邊AB，AC為直角邊作等腰△ABE和△ACD，M是BC的中點(diǎn)．（1）若∠BAC=90°，如圖13—1．請(qǐng)你猜想線段DE，AM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若∠BAC≠

90°．

①如圖13—2．請(qǐng)你猜想線段DE，AM的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ②如圖13—3．請(qǐng)你判斷線段DE，AM的數(shù)量關(guān)系．A D

B

D

E圖13—3圖13—1 圖13—2

第四篇：中考數(shù)學(xué)證明 Microsoft Word 文檔

關(guān)于證明部分學(xué)習(xí)過程的順序（從公理到定理再到推論）公理有：

（A）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．

（B）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．（C）兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（D）兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（E）三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

（F）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等．

此六條公理前面已詳細(xì)探索過，不必驗(yàn)證它們的正確性，可各以直接用來證實(shí)其它命題的正確性，此外等式和不等式的有關(guān)性質(zhì)也可看作公理．比如：如果a=b，b=c，那么a=c．

整體證明的先后順序：平行線------內(nèi)角和-------三角形（等腰—等邊—直角）------中垂線------角平分線-------三線合一------四邊形

定理或推論證明的順序：（注：證明過的定理都可作為下一個(gè)新定理證明的依據(jù)）

1、同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；

2、內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行。

3、對(duì)頂角相等。

4、兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。

5、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

6、兩條直線都和第三條直線平行，這兩條直線平行。

7、三角形內(nèi)角和等于180度。

8、四邊形內(nèi)角和等于360度。

9、三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和。

10、三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。------

11、（AAS）

12、等腰三角形兩底角相等。

13、等腰三角形頂角的平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。

14、等邊三角形三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都是60度。

15、有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）。

16、有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形。

17、在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半。

18、三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

19、直角三角形兩條直角邊的平方等于斜邊的平方。

20、如果三角形兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么，這個(gè)三角形是直角三角形。

21、（HL）

22、線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

23、到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

24、三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

25、角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等。

26、在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

27、三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。-----

28、平行四邊形的對(duì)邊相等。

29、平行四邊形的對(duì)角相等。

30、等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等。

31、同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形。

32、等腰梯形的兩條對(duì)角線相等。

33、兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形。

34、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。

35、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

36、兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形。

37、三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。

38、矩形的四個(gè)角都是直角。

39、矩形的對(duì)角線相等。

40、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

41、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形。

42、對(duì)角線相等的四邊形是矩形。

43、如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么，這個(gè)三角形是直角三角形。

44、菱形的四條邊都相等。

45、菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。

46、對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形。

47、四條邊相等的四邊形是菱形。

48、正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等。

49、正方形的對(duì)角線都相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。50、有一個(gè)角是直角的菱形是正方形。

51、對(duì)角線相等的菱形是正方形。

52、對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。

第五篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明壓軸題

AB1、如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2.(1)求證：DC=BC;

(2)E是梯形內(nèi)一點(diǎn)，F(xiàn)是梯形外一點(diǎn)，且∠EDC=

∠FBC，DE=BF，試判斷△ECF的形狀，并證

明你的結(jié)論；

(3)在（2）的條件下，當(dāng)BE：CE=1：2，∠DCBEC=135°時(shí)，求sin∠BFE的值.2、已知：如圖，在□ABCD 中，E、F分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，BD是對(duì)角線，AG∥DB交CB的延長線于G．

（1）求證：△ADE≌△CBF；

（2）若四邊形 BEDF是菱形，則四邊形AGBD

是什么特殊四邊形？并證明你的結(jié)論．

F3、如圖13－1，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起．現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．

（1）如圖13－2，當(dāng)EF與AB相交于點(diǎn)M，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)

量BM，F(xiàn)N的長度，猜想BM，F(xiàn)N滿足的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；

（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖13－3所示的位置時(shí)，線段FE的延長線與AB的延長

線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長線與GF的延長線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜

想還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由．

A(B(E)圖13－1 圖13－

2圖13－

31.[解析]（1）過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?

(2)等腰三角形.證明：因?yàn)镈E?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以，△DEC≌△BFC 2?1.即DC=BC.2

所以，CE?CF,?ECD??BCF.所以，?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.（3）設(shè)BE?k,則CE?CF?

2k，所以EF?.因?yàn)?BEC?135?，又?CEF?45?，所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k3

2.[解析]（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠1＝∠C，AD＝CB，AB＝CD ．

∵點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，∴AE＝11AB，CF＝CD ． 22

∴AE＝CF

∴△ADE≌△CBF ．

（2）當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí)，四邊形 AGBD是矩形．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC ．

∵AG∥BD，∴四邊形 AGBD 是平行四邊形．

∵四邊形 BEDF 是菱形，∴DE＝BE ．

∵AE＝BE，∴AE＝BE＝DE ．

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．

∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．

∴∠2＋∠3＝90°．

即∠ADB＝90°．

∴四邊形AGBD是矩形 3[解析]（1）BM=FN．

證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF．

又∵∠BOM=∠FON，∴ △OBM≌△OFN ． ∴ BM=FN．

（2）BM=FN仍然成立．

（3）證明：∵△GEF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，∴∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF．

∴∠MBO=∠NFO=135°．

又∵∠MOB=∠NOF，∴ △OBM≌△OFN ．∴ BM=FN．