第一篇：第二講 極限的定義與基本性質(zhì)

第二講 極限的定義與基本性質(zhì)

一、數(shù)列極限及其性質(zhì)

1．?dāng)?shù)列極限的定義：

?xn?收斂于a????0，?N?N，s.t.xn?a??,?n?N。

值得注意的是：1）N依賴于?，但不唯一，而?事先給定；

2）不等式xn?a??中的?可以用K?來代替，其中K?0不依賴于N,?；

3）N可以通過xn?a??得到，需要解不等式或作適當(dāng)?shù)姆糯蟆?/p>

例1 證明：?a?0，an

n!

n?0。

分析：直接求解不等式

時(shí) an!用放大法。記m?[a]，則當(dāng)n?m?0??是不現(xiàn)實(shí)的。

n!?1?2???m(?

從而 1?)n?m(??1n)?m?(n?m，1)

?a?m????(m?1)，n!?m?1?

注意到a?[a]?1?m?1，因此0?

即可。

證明：???0，不妨設(shè)??1。記m?[a]，取N??ann??m?(m?1)??從而只要解??1，?m?1?m?1?aan?mln(m?1)?ln???，則當(dāng)

?ln(m?1)?lna?

n?N時(shí)有

?a?m?0???(m?1)??，?n!?m?1?

因此由極限定義得annan

n!?0。

□

2．用定義證明極限存在的方法

1）放大法：如前。

2）分步法與擬合法

例2 設(shè)xn?a，證明x1???xn

n?a。

分析：若把?xn?中每項(xiàng)看成a，則

x1???xn

n的值恰為a，因此

n

x1???xn

n

?a?

1n

n

?(x

i?

1i

?a)?

?n

i?1

xi?a。

其余要借助假設(shè)xn?a來證明。給定??0，?N，當(dāng)n?N時(shí)xn?a??，因此不能控制的項(xiàng)為x1?a,x2?a,?,xN?a。但好在這種項(xiàng)只有N項(xiàng)，從而可以調(diào)整n來控制它們。

證明：???0，由xn?a，?N1，當(dāng)n?N1時(shí)xn?a??/2，從而

x1???xn

nn?N1

n

?a?1

N1

1n

n

?(x

i?1

i

?a)?

n

?n

i?1N1i?1

xi?a

??/2?

?n

i?1

xi?a??/2?

?n

xi?a。

又收斂數(shù)列有界，不妨設(shè)xn?M,?n，則

N1

?n

i?1

xi?a?

N1n

?M?a?。

N1

1?2N1?

(M?|a|)，則當(dāng)n?N2時(shí)令N2????n??

?

i?1

xi?a?

?。

最后，令N?max{N1,N2}，則當(dāng)n?N時(shí)有

x1???xn

n

?a??。因此由極

限定義知

x1???xn

n

?a。

□ 我們看到，這里我們先利用了極限的定義，然后再利用極限的性質(zhì)（有界性）來完成證

明。

例3 證明：若pk?0(k?1,2,?)且lim

pn

p1?p2???pn

n??

?0，limxn?a。

n??

證明lim

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

n??

?a。

分析：把?xn?中每項(xiàng)看成a，則極限號后面的式子的值恰為a，因此

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pn

pk

?a?

p1xn?a?p2xn?1?a???pnx1?a

p1?p2???pn。

然后我們在試圖用分步的方法來估計(jì)。記qk注意到qk

(k)

(n)

?

p1?p2???pn，k?1,2,?,n，?0，因此若n?k，則當(dāng)k??時(shí)n??，從而

(n)k

0?q因而qk再由qk

(n)

?

pk

p1?p2???pn

n??

?qk

(k)

?0，?0，k??。???0，由limxn?a，?N1，當(dāng)n?N1時(shí)xn?a??。

(n)

?0，k??，?N2，當(dāng)n?k?N2時(shí)0?qk

p1xn?p2xn?1???pnx1

p1?p2???pnq

(n)

k

N

2(n)

??。于是

n

?a?

?q

k?1

(n)k

xn?k?1?a

n

n?N1

?

?

k?1

xn?k?1?a?

?

k?n?N1?1

q

(n)k

xn?k?1?a?

?

k?N2?1

qk

(n)

xn?k?1?a

我們看到，只有中間的項(xiàng)得不到控制。為此我們設(shè)法使得中間項(xiàng)不存在，即要求

N2?n?N1?1。為此，只需要n?N1?N2?1即可。因此我們?nèi)?N1?N2?1。

Ex1: 請完成上面的證明。

注意在上面的例題中，我們都利用?xn?的極限來擬合數(shù)列的項(xiàng)從而簡化問題。這種方法稱為“擬合法”，它經(jīng)常與分步法同時(shí)應(yīng)用。這個(gè)方法在很多類型的題目中都會用到，今后在出現(xiàn)相關(guān)例子時(shí)我們再作說明。

我們看到，如果在例3中取pk?1，則得到例2。一個(gè)更一般的題目如下： 例4 設(shè)xn?a,yn?b(n??)，則lim

n

k

n??

x?n

k?1

yn?k?1?ab?lim

n

k

n??

x?n

k?1

yk。

Ex2：證明例4。

n

例5 設(shè)x?0時(shí)f(x)?x。xn?

n

?

i?1

?2i?1?f?a?，a?0，證明xn?a。2?n?a?a。于是

證明：用x擬合f(x)，則xn?

n

?

i?1

2i?1n

xn?a?

?

i?1n

??2i?1?2i?1?a??a? 22?f?

n???n??2i?1?2i?1

f?a??a。22

n?n?

?

?

i?1

由假設(shè)，???0，???0，當(dāng)0?x??時(shí)有f(x)?x??x。取N??則當(dāng)n?N時(shí)，對1?i?n有0?從而

n

?2a?

?，???

2i?1n

a?

2n

a??，xn?a?

?

i?1

?2i?1?2i?1f?a??a 22

n?n?

n

??

?

i?1

(2i?1)an

?a??。

因此由極限的定義有xn?a。

□

例6 設(shè)an?a，證明lim

?a?aC?aC???an??a。1n2nn?0?2

n??

提示：利用1?

n

n

?C

k?0

k

n

以及l(fā)im

n??

Cn2

n

k

?0(k?1,2,?,n)。

二、極限的基本性質(zhì)與應(yīng)用

1．極限的性質(zhì)

1）收斂數(shù)列（函數(shù)）的（局部）有界性

2）保號、保序性

2．極限的四則運(yùn)算：條件—在極限存在且四則運(yùn)算有意義。

例7若xn?a?0，證明存在自然數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)證明：取??

a2

a2

?xn?

a。

?0，由xn?a，存在自然數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)有

a2?

a2?xn?

32a。

xn?a???

□

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時(shí)間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當(dāng)張飛飛到你面前，你才開始反應(yīng)然后左手手按到風(fēng)或者羊的技能鍵，右手操作鼠標(biāo)點(diǎn)到張飛身上，完成整個(gè)過程需要受過反應(yīng)訓(xùn)練的人也至少需要0.25妙的時(shí)間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經(jīng)常出現(xiàn)的這個(gè)極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關(guān)鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當(dāng)CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個(gè)時(shí)期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內(nèi)，那么妙限制飛的假象出現(xiàn)了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復(fù)操作達(dá)到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時(shí)候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發(fā)生在上路郭嘉妙關(guān)的時(shí)候特別常見，這個(gè)純屬運(yùn)氣，與極限操作扯不上半點(diǎn)關(guān)系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個(gè)距離就比妙E妙吹時(shí)候需要的距離精確的多，當(dāng)飛在郭嘉點(diǎn)人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進(jìn)入這個(gè)極限距離內(nèi)那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因?yàn)槌晒β嗜Q于飛的位置和郭嘉的想法，大多數(shù)郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險(xiǎn)釋放這個(gè)團(tuán)戰(zhàn)終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個(gè)是極限操作但是需要的時(shí)間如果地板C需要0.15妙 點(diǎn)人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個(gè)操作一般選手都有這個(gè)意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因?yàn)檫@些個(gè)躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現(xiàn)極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當(dāng)出現(xiàn)非瞬發(fā)限制技能(極需要釋放時(shí)間的技能點(diǎn)飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時(shí)間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應(yīng)時(shí)間小于0.1S，所以我們經(jīng)常看見玄武躲技能的操作，因?yàn)槌Ｒ?，很多人認(rèn)為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發(fā)限制技能，這個(gè)問題我在以前的問題中討論過的，瞬發(fā)限制技能 入風(fēng)吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個(gè)和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預(yù)判斷時(shí)間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因?yàn)樽约浩痫w躲飛T的反應(yīng)時(shí)間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運(yùn)氣 這個(gè)不多復(fù)述了。

總結(jié)：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質(zhì)和水平的體現(xiàn)。不要刻意追求極限操作，加強(qiáng)自己的意識，注意隊(duì)友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：第4講函數(shù)極限及性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第4講教案

第4講函數(shù)極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、x趨于?時(shí)函數(shù)的極限

例如，對于函數(shù)f(x)?

1x，當(dāng)x無限增大時(shí)，函數(shù)值無限地接近于0；而對于函數(shù)g(x)=arctanx，則

?

2當(dāng)x趨于+?時(shí)函數(shù)值無限地接近于．

定義1設(shè)f為定義在[a,??)上的函數(shù)，A為定數(shù)．若對任給的?>0，存在正數(shù)M(?a)，使得當(dāng)x>M時(shí)有 |f(x)?A|

則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+?時(shí)以A為極限，記作limf(x)?A.x??

定義1的幾何意義如圖3—1所示，對任給的?>0，在坐標(biāo)平面上平行

于x軸的兩條直線)y?A??與y?A??，圍成以直線y?A為中心線、寬為2?的帶形區(qū)域；定義中的“當(dāng)x>M時(shí)有|f(x)?A|??”表示：在直線x?M的右方，曲線y=f(x)全部落在這個(gè)帶形區(qū)域之內(nèi)．如果正

數(shù)?給得小一點(diǎn)，即當(dāng)帶形區(qū)域更窄一點(diǎn)，那么直線x?M一般要往右平移；但無論帶形區(qū)域如何窄，總存在這樣的正數(shù)M，使得曲線y?f(x)在直線x?M的右邊部分全部落在這更窄的帶形區(qū)域內(nèi).limf(x)?A或 f(x)?A(x???)；

x???

limf(x)?A或f(x)?A(x??).x??

這兩種函數(shù)極限的精確定義與定義1相仿，只須把定義1中的“x?M”分別改為“x??M或”x?M"．不難證明：若f為定義在U(?)上的函數(shù)，則limf(x)?A?limf(x)?limf(x)?A

x??

x???

x???

例1 證明lim

1x

x??

?0

證：任給??0，取??

?，則當(dāng)：x??時(shí)有

?

1x

?0?

1x

?

1?

??，所以lim

1x

x??

?0。

例2證明：（1）limarctanx??

x???,(2)limarctanx?

x???

?

.注：當(dāng)x??時(shí)arctanx不存在極限．

二、x趨于x0時(shí)函數(shù)的極限

定義2(函數(shù)極限的???定義)設(shè)函數(shù)f在點(diǎn)x0的某個(gè)空心鄰域U(x0;?)內(nèi)有定義，?為定數(shù)．若

'

對任給的??0存在正數(shù)?(??)，使得當(dāng)0?x?x0??時(shí)有 f(x)????，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于x0。

'

時(shí)以?為極限，記作limf(x)??或f(x)??(x?x0)

x?x0

舉例說明如何應(yīng)用???定義來驗(yàn)證這種類型的函數(shù)極限．特別講清以下各例中?的值是怎樣確定的．

例3設(shè)f(x)?

x?4x?

2，證明limf(x)?4.x?2

證：由于當(dāng)x?2時(shí)，f(x)?4?

x?4x?2

?4?x?2?4?x?2，故對給定的??0，只要取???，則當(dāng)0?x?2??時(shí)有f(x)?4??，這就證明了limf(x)?

4x?2

例4證明：limsinx?sinx0;limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

證：先建立一個(gè)不等式：當(dāng)0?x?

?

時(shí)有sinx?x?tanx(1)?

事實(shí)上，在如圖3?2的單位圓內(nèi)，當(dāng)0?x?

時(shí)，顯然有

S?OCD?S扇形OAD?S?OAB即又當(dāng)x?

?

sinx?

x?

tanx，由此立得(1)式．

時(shí)有sinx?1?x，故對一切x?0都有sinx?x，當(dāng)x?0時(shí)，由sin(?x)??x得?sinx??x綜上，我們得到不等式sinx?x,x?R，其中等號僅當(dāng)x?0時(shí)

x?x0

x?x0

成立．而sinx?sinx0?2cos

sin

?x?x0．

對任給的??0,只要取???，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，就有sinx?sinx0??．

所以limsinx?sinx0.可用類似方法證明limcosx?cosx0

x?x0

x?x0

例證明lim

x?12x?x?

1x?1

?

3．x?132x?1

證：當(dāng)x?1時(shí)有

x?12x?x?1

?

?

x?12x?1

?

?

若限制x于0?x?1?1（此時(shí)x?0）則2x?1?1，于是，對任給的??0只要取??min{3?,1}，則當(dāng)

x?12x?x?1

0?x?1??時(shí)，便有?

?

x?13

??．

例6證明

x?x0

lim?x

?

?x0(x0?1)

證：由于x?1,x0?1 因此?x??x

?

x0?x1?x

??x

?

x?x0x?x0

?x

?

2x?x0?x

于是，對任給的??0（不妨設(shè)0???1）取 ??

?x02

?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，就有1?x??x0??．

關(guān)于函數(shù)極限的???定義的幾點(diǎn)說明：

（1）定義2中的正數(shù)?，相當(dāng)于數(shù)列極限???定義中的?，它依賴于?，但也不是由?所惟一確定．一

??

般來說，?愈小，?也相應(yīng)地要小一些，而且把?取得更小些也無妨．如在例3中可取??或??等等．

（2）定義中只要求函數(shù)f在x0的某一空心鄰域內(nèi)有定義，而一般不考慮f在點(diǎn)x0處的函數(shù)值是否有定義，或者取什么值．這是因?yàn)?，對于函?shù)極限我們所研究的是當(dāng)x趨于x0過程中函數(shù)值的變化趨勢．如在例3中，函數(shù)f在點(diǎn)x?2是沒有定義的，但當(dāng)x?2時(shí)f的函數(shù)值趨于一個(gè)定數(shù)．

（3）定義2中的不等式0?x?x0??等價(jià)于x?U

?x0;??,，而不等式

f?x?????等價(jià)于

f?x??U??;??．

下面我們討論單側(cè)極限．

?x2,x?0

例如，函數(shù) f?x???(I)

?x,x?0

當(dāng)x?0而趨于0時(shí)，應(yīng)按f?x??x2來考察函數(shù)值的變化趨勢；當(dāng)x?0而趨于0時(shí)，則應(yīng)按f?x??x.定義3設(shè)函數(shù)f在U??x0;?

'

??或U?x

0?

;?

'

??內(nèi)有定義，?為定數(shù)．若對任給的?

?0，存在正數(shù)

????

'

?，使得當(dāng)x

?x?x0??,?

?

x0???x?x0?時(shí)有f?x?????

則稱數(shù)?為函數(shù)f當(dāng)x趨于x0(或x0)時(shí)的右(左)極限，記作

?

limf?x????limf?x????或f?x????x?x0?f?x???x?x0

x?x0

?

???

?x?x0

?

??

?

??

右極限與左極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限．f在點(diǎn)x0的右極限與左極限又分別記為f?x0?0??limf?x?與f?x0?0??limf?x?

x?x0

?

?

x?x0

按定義3容易驗(yàn)證函數(shù)(I)在x?0處的左、右極限分別為f?0?0??limf?x??limx?0，f?0?0??lim

x?0

?

x?0

?

f?x??lim?x

?

?0

x?0

x?0

同樣還可驗(yàn)證符號函數(shù)sgnx在x?0處的左、右極限分別為limsgnx?lim??1???1,limsgnx?lim1?

1x?0

?

x?0

?

x?0

?

x?0

?

定理3.1limf?x????limf?x??limf?x???

x?x0

x?x0

?

x?x0

?

三、函數(shù)極限的性質(zhì)

定理3.2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的．

x?x0

證：設(shè)?,?都是f當(dāng)x?x0時(shí)的極限，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2，使得： 當(dāng)0?x?x0??1時(shí)有f?x?????，(1)當(dāng)0?x?x0??2時(shí)有f?x?????，(2)取??min??1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，(1)式與(2)式同時(shí)成立，故有????(f?x???)??f?x?????f?x????f?x????2?由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.定理3.3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域U

x?x0

?x0?內(nèi)有界．

證：設(shè)limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?U

x?x0

?x0;??有

?x0;??內(nèi)有界．

f?x????1?f?x????1，這就證明了f在U

定理3.4(局部保號性)若limf?x????0(或?0)，則對任何正數(shù)r??（或r???)，存在x?x0

U

?x0?，使得對一切x?U0?x0?有 f?x??

r?0（或f?x???r?0）

證：設(shè)??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切x?Uf?x??????r，這就證得結(jié)論．對于??0的情形可類似地證明．

?x0;??

注：在以后應(yīng)用局部保號性時(shí)，常取r?

A2

．

定理3.5(保不等式性)設(shè)limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域U

x?x0

x?x0

?x

;?

'

?內(nèi)有f?x??g?x?則

x?x0

limf?x??limg?x?

x?x0

證：設(shè)limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數(shù)?1與?2使得當(dāng)0?x?x0??1

x?x0

x?x0

時(shí)有????f?x?，當(dāng)0?x?x0??2 時(shí)有g(shù)?x?????，令??min??,?1,?2?，則當(dāng)0?x?x0??時(shí)，有????f?x??g?x?????，'

從而????2?．由?的任意性推出???，即limf?x??limg?x?成立．

x?x0

x?x0

第四篇：第2講數(shù)列極限及其性質(zhì)2009

《數(shù)學(xué)分析I》第2講教案

第2講數(shù)列極限概念及其性質(zhì)

講授內(nèi)容

一、數(shù)列極限概念

數(shù)列 a1,a2,?,an,?,或簡單地記為{an}，其中an，稱為該數(shù)列的通項(xiàng)．

關(guān)于數(shù)列極限，先舉二個(gè)我國古代有關(guān)數(shù)列的例子．（1）割圓術(shù)：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——?jiǎng)⒒?n

22園內(nèi)接正n邊形的面積An?

Rsin

2?n

sin

(n?3,4,?），當(dāng)n??時(shí)，An??R

2?nn

??R

2?

（2）古代哲學(xué)家莊周所著的《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，其含義是：一根長為一尺的木棒，每天截下一半，這樣的過程可以無限制地進(jìn)行下去．第一天截下

12，第二天截下

n

2，??，第n天截下

n，??這樣就得到一個(gè)數(shù)列

22,2,?,?1?,?．或?n?.n2?2?

不難看出，數(shù)列{}的通項(xiàng)

n

隨著n的無限增大而無限地接近于0．一般地說，對于數(shù)列{an}，若當(dāng)n無

限增大時(shí)an能無限地接近某一個(gè)常數(shù)a，則稱此數(shù)列為收斂數(shù)列，常數(shù)a稱為它的極限．不具有這種特性的數(shù)列就不是收斂數(shù)列．下面我們給出收斂數(shù)列及其極限的精確定義．

定義1設(shè){an}為數(shù)列，a為定數(shù)．若對任給的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)，n>N時(shí)有|an?a|??則稱數(shù)列{an收斂于a，定數(shù)a稱為數(shù)列{an}的極限，并記作liman?a，或an?a(n??).讀作“當(dāng)n

n??

趨于無窮大時(shí)，an的極限等于a或an趨于a”．

若數(shù)列{an}沒有極限，則稱{an}為發(fā)散數(shù)列．下面舉例說明如何根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限．

二、根據(jù)??N定義來驗(yàn)證數(shù)列極限

例2證明lim

1n

?

n??

?0，這里?為正數(shù)

?,故對任給的?>0，只要取N=?

1????

?

??1，則當(dāng)n?N時(shí)，便有 ??

證：由于 |

1n

?

?0|?

1n

?

1n

?

?

1N

?

??即|

1n

?

?0|??.這就證明了lim

1n

?

n??

?0.例3證明lim

3n

n??

n?33n

?3.分析由于|

n?

3?3|?

9n?3

?

9n

(n?3).因此，對任給的?>o，只要

9n

??，便有

|

3n

n?3

?3|??,即當(dāng)n?

時(shí)，(2)式成立．故應(yīng)取N?max{3, ??

999

證任給??0,取N?max{3,據(jù)分析，當(dāng)n?N時(shí)有|2?3|??,式成立.于是本題得證.?n?3

n

例4證明limq=0，這里|q|<1．

n??

3n

證若q=0，則結(jié)果是顯然的．現(xiàn)設(shè)0<|q|<1．記h?

1|q|

?1，則h>0．我們有

|q?0|?|q|?

11?nh

nn

1(1?h)

n,并由(1?h)?1+nh得到|q|?

|q?0|??，這就證明了limq

n??

n

nn

?

1nh

.對任給的??0,只要取N?

?h,則當(dāng)n?N時(shí)，得

n

?0.注：本例還可利用對數(shù)函數(shù)y?lgx的嚴(yán)格增性來證明，簡述如下：對任給的?>0(不妨設(shè)?<1)，為使

n

n

只要nlg|q|?lg?即n?|q?0|?|q|??，lg?lg|q|

（這里0?|q|?1).于是，只要取N?

lg?lg|q|

即可。

例5證明lim

n

n??

a?1，其中a>0．

證：(ⅰ)當(dāng)a?1時(shí)，結(jié)論顯然成立.(ⅱ)當(dāng)a?1時(shí)，記??an?1，則??0.由 a?(1??)n?1?n??1?n(an?1)得

an?1?

a?1n.（1）

任給??0，由(1)式可見，當(dāng)n?

a?1

?

?N時(shí)，就有an?1??，即|an?1|??.所以lim

n??

a?1.(ⅲ)當(dāng)0?a?1時(shí)，,１

n

－１??，則??0.由

a

?1

?1?n

?(1??)?1?n??1?n??1???得 a?a?1

1?a

n

?

a

?1n.a?

a

?1

?1

n.?1

（2）

任給??0，由（2式可見，當(dāng)n?１?

a?1

?

?N時(shí)，就有1?an??，即|an?1|??.所以lim

n

n??

a?1.關(guān)于數(shù)列極限的?—N定義，應(yīng)著重注意下面幾點(diǎn)：

1．?的任意性：盡管?有其任意性，但一經(jīng)給出，就暫時(shí)地被確定下來，以便依靠它來求出N，又?既

?

2時(shí)任意小的正數(shù)，那么,3?或?等等同樣也是任意小的正數(shù)，因此定義1中不等式|an?a|??中的?可用

?,3?或?等來代替．

2．N的相應(yīng)性：一般說，N隨?的變小而變大，由此常把N寫作N(?)，來強(qiáng)調(diào)N是依賴于?的；但這并不意味著N是由?所唯一確定的.3．從幾何意義上看，“當(dāng)n>N時(shí)有|a?a|??”意味著：所有下標(biāo)大于N的項(xiàng)aｎ都落在鄰域U(a;?)內(nèi)；而在U(a;?)之外，數(shù)列{an}中的項(xiàng)至多只有N個(gè)(有限個(gè))．

定義2若liman?0，則稱{an}為無窮小數(shù)列．由無窮小數(shù)列的定義，不難證明如下命題：

n??

n

定理2.1數(shù)列{an}收斂于a的充要條件是：{an?a}為無窮小數(shù)列．

三、收斂數(shù)列的性質(zhì)

定理2.2(唯一性)若數(shù)列{an}收斂，則它只有一個(gè)極限．

定理2.3(有界性)若數(shù)列{an}收斂，則{an}為有界數(shù)列，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)有|an|?M.證：設(shè)liman?a取??1，存在正數(shù)N，對一切n>N有

n??

|an?a|?1即a?1?an?a?1.記M?max{|a1|,|a2|,?|aN|,|a?1|,|a?1|},則對一切正整數(shù)n都有an?M．注：有界性只是數(shù)列收斂的必要條件，而非充分條件．例如數(shù)列??1?定理2.4(保號性)若liman?a?0

n??

?

n

?有界，但它并不收斂．

?(a,0

(或<0)，則對任何a??(0,a)(或a?，存在正數(shù)N，使

得當(dāng)n?N時(shí)有an?a?(或an?a?)．

證：設(shè)a?0．取??a?a?(>0)，則存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有a???an?a??，即

an?a???a?，這就證得結(jié)果．對于a?0的情形，也可類似地證明．

注：在應(yīng)用保號性時(shí)，經(jīng)常取a??

a2

.即有an?

a2，或an?

a2

定理2.5(保不等式性)設(shè)?an?與?bn?均為收斂數(shù)列．若存在正數(shù)N0，使得當(dāng)n?N0時(shí)，有an?bn，則liman?limbn.n??

n??

請學(xué)生思考：如果把定理2.5中的條件an?bn換成嚴(yán)格不等式an?bn，那么能否把結(jié)論換成liman?limbn?，并給出理由.n??

n??

例1設(shè)an?0?n?1,2,??．證明：若liman?a,則lim

n??

n??

an?

a.證：由定理2.5可得a?0.若a?0，則由liman?0，任給??0，存在正數(shù)N，使得當(dāng)n?N時(shí)有an??，從而an??即

n??

an?0??,故有l(wèi)im

n??

an?0.an?aan?

a

an?a

a

若a?0，則有

an?

a??

.任給??0，由liman?a，存在正數(shù)N，使得當(dāng)

n??

n?N時(shí)有an?a?

a?,從而

an?

a??．故得證．

第五篇：數(shù)列極限的定義

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

教材：數(shù)列極限的定義（??N）

目的：要求學(xué)生掌握數(shù)列極限的??N定義，并能用它來說明（證明）數(shù)列的極限。過程：

一、復(fù)習(xí)：數(shù)列極限的感性概念

二、數(shù)列極限的??N定義

?

1n

3．小結(jié)：對于預(yù)先給定的任意小正數(shù)?，都存在一個(gè)正整數(shù)N，使得只要n?N 就

有an?0

4．抽象出定義：設(shè)?an?是一個(gè)無窮數(shù)列，a是一個(gè)常數(shù)，如果對于預(yù)先給定的任

意小的正數(shù)?，總存在正整數(shù)N，使得只要正整數(shù)n?N，就有an?a

Xupeisen110高中數(shù)學(xué)

記為：liman?a 讀法：“?”趨向于“n??” n無限增大時(shí)

n??

注意：①關(guān)于?：?不是常量，是任意給定的小正數(shù)

②由于?的任意性，才體現(xiàn)了極限的本質(zhì)

③關(guān)于N：N是相對的，是相對于?確定的，我們只要證明其存在④an?a：形象地說是“距離”，an可以比a大趨近于a，也可以比a小趨近于

例四1．lim

n??

證明

證明2：設(shè)?是任意給定的小正數(shù)

要使3n?1?3?? 只要

2n?1

12n?1

?

?

n?

54?

?

取N??5?1?當(dāng)n?N時(shí)，3n?1?3??恒成立

?4?2?2n?12??