第一篇：11 度量空間的定義與極限

第一章度量空間

第一章度量空間

若在實數(shù)集

R中點列xn的極限是x時，我們使用|xn?x|來表示xn和x的接近程度，事實上，|xn?x|可表示為數(shù)軸上xn和x這兩

R中點列xn收斂于x也就是指xn和x之間的距離隨著n??而趨于0，即limd(xn,x)?0． 于是人們就想，n??

點間的距離，那么實數(shù)集在一般的點集，那么在點集X中也可借這一“距離”來定義極限，而究竟什么是“距離”呢？或者說“距離”的本質是什么？ X中如果也有“距離”

遠和近你 一會看我 一會看云我覺得 你看我時很遠 你看云時很近

詩人顧城的一首詩《遠和近》對距離的感受又如何呢？

這首詩詩似乎是純理性的，十分冷靜，但細細品味，其中暗暗催動著一股熱流：呼喚一種相互理解、相互信任、和諧融洽的人際關系．現(xiàn)實距離和心理距離并不總是一致的．現(xiàn)實距離很遠，但心理距離卻可能很近，“海內存知己，天涯若比鄰”，即是此意．也可能現(xiàn)實距離很近，而心理距離卻很遠，所謂“咫尺天涯”大概就是指此而言了．那么如何給出距離這一概念？

1.1度量空間的定義與極限

1.1.1 度量空間的定義與舉例

定義 1.1.1 設（1）（2）（3）則稱d為

X為一非空集合．若存在二元映射d:X?X?R，使得?x,y,z?X，均滿足以下三個條件：

d(x,y)?0,且d(x,y)?0當且僅當x?y(非負性 Positivity)； d(x,y)?d(y,x)(對稱性 Symmetry)；

d(x,z)?d(x,y)?d(y,z)(三角不等式 Triangle inequality)，X上的一個距離函數(shù)，稱(X,d)為距離空間或度量空間(Metric Spaces)，d(x,y)稱為x和y兩點間的距離．□

X．

注1：在不產生誤解時，(X,d)可簡記為下面我們來看一些具體的例子 例 1.1.1 歐氏空間設

Rn．

Rn?{(x1,x2，xn)|xi?R,i?1,2，n}，定義

d(x,y)其中

x?(x1,x2，xn), y?(y1,y2，yn)?Rn，可以驗證(Rn,d)是一個度量空間．

在證明之前，引入兩個重要的不等式．

引理1.1.1(許瓦茲(Schwarz)不等式)任給

2n個實數(shù)a1,a2，an,b1,b2，bn，有

?ab?(?a

iii?

1i?1

nn

22i)(?b)

i?1

n

2(1.1)i

證明任取實數(shù)

?，則由

1.1度量空間的定義與極限

0??(ai??bi)??

i?1

n

?b

i?1

n

2i

?2??aibi??ai2

i?1

i?1

nn

知右端二次三項式的判別式不大于零，即

n

?n?

???2?aibi??4?bi2

i?1?i?1?

于是可得(1.1)式成立．□

進一步有H?lder不等式

1p

?a

i?1

1qq

n

2i

?0

?ab

i?1

n

ii

?(?ai)(?bi)

i?1

i?1

n

p

n

其中

p,q?1且

??1，稱這樣的兩個實數(shù)p,q為一對共軛數(shù)． pq

引理1.1.2閔可夫斯基(Minkowski)不等式的和形式 任給

2n個實數(shù)a1,a2,n,an及b1,b2,12

n,bn，有

n

???2?2?2???(ai?bi)????ai????bi??i?1??i?1??k?1?

證明由(1.1)式得

(1.2)

?(a?b)??a

i

i

i?1

i?1n

i

nn

2i

?2?aibi??bi2

i?1

i?1

n

n

nn

??

??a?2??ai2?i?1?i?1?n

?2????bi???bi2

i?1?i?1?

?n?n22??2?2??????ai????bi???i?1??i?1????

這就證明了(1.2)式．□

進一步可有Minkowski不等式的一般形式，其中k

n

?1

k1

k

n

k1k

n

k1k

(?ai?bi)?(?ai)(?bi)

i?1

i?1

i?1

例 1.1.1 歐氏空間

Rn． 設Rn?{(x1,x2，xn)|xi?R,i?1,2，n}，定義k?1

d(x,y)?

其中

(1.3)

x?(x1,x2，xn), y?(y1,y2，yn)?Rn，可以驗證(Rn,d)是一個距離函數(shù)．

證明非負性(1)和對稱性(2)顯然成立，下面僅驗證(3)也成立．對于任意的n

n

z?(z1,z2，zn)?Rn，由閔可夫斯基不等式(1.2)有

??2?2?

x?z?x?y?y?z??????iiiiii?????i?1??i?1?

?

即d(x,z)

??2?2?

x?y?y?z??????iiii?????i?1??i?1?

是一個距離函數(shù)．□

n

n

12，?d(x,y)?d(y,z)．從而得證d

n

注2：稱(R所定義的．

注3：在,d)為n維歐氏空間，d

稱為歐氏距離或標準歐氏距離．今后若不作特殊申明，凡提到度量空間

Rn，均指由(1.3)式的歐氏距離

Rn中我們還可以定義其他的距離：

d1(x,y)?max|xk?yk|；

n

第一章度量空間

d2(x,y)??|xk?yk|．

k?1

可以驗證距離

注4：在d1、d2均滿足條件(1)、(2)和(3)．R2中比較上述三種距離d、d1和d2，可看看他們各表示什么？

由此知道，在一個集合上，定義距離的方法可以不止一種．但務必注意的是，由于定義的距離不同，所以即使基本集相同，也應視他們?yōu)椴煌亩攘靠臻g．

下面的例子說明任何一個集合上均可定義距離，使其成為度量(距離)空間． 例1.1.2離散度量空間 設

X為非空集合，?x,y?X，定義距離

?0當x?y時

d0(x,y)??(1.4)

1當x?y時?

容易驗證

d0滿足距離的三個條件，并稱之為離散距離，(X,d0)為離散度量空間．

例 1.1.3 連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]

C[a,b]?{f:[a,b]?R|f連續(xù)}，?f,g?C[a,b]，定義

d(f,g)?max|f(t)?g(t)|，t?[a,b]

證明顯然d滿足非負性(1)和對稱性(2)，下面驗證(3)也成立．

?f(t),g(t),h(t)?C[a,b]及?t?[a,b]均有

|f(t)?h(t)|?|f(t)?g(t)|?|g(t)?h(t)|

?max|f(t)?g(t)|?max|g(t)?h(t）|

t?[a,b]

t?[a,b]

故d(f

?d(f,g)?d(g,h)，,h)?max|f(t)?h(t)|?d(f,g)?d(g,h)．稱(C[a,b],d)為連續(xù)函數(shù)空間，簡記為C[a,b]．□

t?[a,b]

注5：在C[a,b]中我們還可以定義如下的距離：

d1(f,g)??f(x)?g(x)dx．

a

b

可以驗證

d1均滿足條件(1)、(2)和(3)，所以(C[a,b],d1)也為一度量空間．

?

例 1.1.4 有界數(shù)列空間l

l??{x?(x1,x2，xn,)?(xi)|sup{|xi|}??}，對于x?(xi)，y?(yi)?l?

i?

1，定義

d(x,y)?sup|xi?yi|，i?1

可以驗證例1.1.5d是一個距離函數(shù)，并稱(l

?,d)為有界數(shù)列空間，簡記為l?

．

p次冪可和的數(shù)列空間lp

l?{x?(x1,x2，xn,)?(xi)| ?|xi|p??,1?p???}

p

i?1?

?x?(xi),y?(yi)?lp，定義

??

dp(x,y)???|xi?yi|p?

?i?1?

(1.5)式是有意義的，因為由閔可夫斯基不等式及l(fā)間，簡記為l例1.1.6

p

?

p

(1.5)

p

p的定義知其右端有界．可以證明dp是一個距離函數(shù)．稱(l,dp)為p次冪可和的數(shù)列空

．

p次冪可積函數(shù)空間Lp[a,b](p?1)

Lp[a,b]?{f(t)||f(t)|p在[a,b]上L可積}

1.1度量空間的定義與極限

即：

Lp[a,b]?f(t)|?

[a,b]

|f(t)|pdt???

在Lp[a,b]中，我們把幾乎處處相等的函數(shù)視為同一函數(shù)． 對于f,g?Lp[a,b]，定義距離

d(f,g)?(?

那么(L

p

[a,b]

|f(t)?g(t)|dt)

p

1p

[a,b],d)為度量空間． 并稱(Lp[a,b],d)為p次冪可積函數(shù)空間，簡記為Lp[a,b]．

Lp[a,b]具有下列重要性質：

f,g?Lp[a,b]，?

是一常數(shù)，則

分析 集合(1)對線性運算是封閉的．即若

?f?Lp[a,b],f?g?Lp[a,b]．

(2)設

Lp[a,b]?L[a,b](p?1)．

f?Lp[a,b]，令A?E(|f|?1)，B?E(|f|?1),E?[a,b]，則

b

?

p

a

|f|dm??|f|dm??|f|dm

A

B

??|f|pdm?(b?a)

Ab

故

??|f|dm?(b?a)???

a

f?L(a,b)．

引理1.1.3閔可夫斯基(Minkowski)不等式(積分形式): 設

f(x)、g(x)是可測集E上的可測函數(shù)且k?

1k

??

b

E

f(x)?g(x)dx

p

1p

????

1k

E

f(x)dx

k

????

1k

E

g(x)dx

k

?

1k

(1.6)

證明因為

??

d(f,g)???|f(t)?g(t)|dt?

?a?

p

?

??

E

f(x)dx

p

????

1p

E

g(x)dx

p

?

???，f(x),g(x),z(x)?Lp[a,b]有

所以(1.6)式有意義． 顯然非負性(1)和對稱性(2)成立，下面驗證三角不等式(3)也成立． 對于任意的??

d(f,g)???|f(t)?g(t)|dt?

?a?

b

p

p

p

?b?p???|f(t)?z(x)?z(x)?g(t)|dt??a?

p

?

??

E

f(x)?z(x)dx

p

????

1p

E

z(x)?g(x)dx

p

?

?d(f,z)?d(z,g)□

上述例子涉及到常用的六個度量空間： 次冪可和的數(shù)列空間l

p

n維歐氏空間(Rn,d)；離散度量空間(X,d0)；連續(xù)函數(shù)空間C[a,b]；有界數(shù)列空間l?；p；

p次冪可積函數(shù)空間(Lp[a,b],d)．

1.1.2 度量空間中的極限

極限理論是數(shù)學分析的基礎, 數(shù)學分析主要研究微分和積分, 而極限又是微積分學大廈的基石，在數(shù)學分析中, 利用極限的思想方法給出連續(xù)函數(shù)、導數(shù)、定積分、級數(shù)的斂散性、多元函數(shù)的偏導數(shù), 廣義積分的斂散性、重積分和曲線積分與曲面積分等概念，可見極限思想貫穿于整個數(shù)學分析課程，它也是高等數(shù)學必不可少的一種重要思想．同樣地，在度量空間中也可定義極限，而且分析中的數(shù)列極限可看成下列度量空間中點列極限的特例．

定義1.1.2 設(X,d)是度量空間，x?X,{xn}是

n??

第一章度量空間

X中點列，若limd(xn,x)?0，則稱點列{xn}收斂于x，稱x為點列{xn}的極限． 記作

d

limxn?x，或xn?x(n??)或xn?x(n??)．

n??

{xn}收斂于x用“??N”語言描述是: ???0,?N?N

其發(fā)散．□，當

n?N時，恒有d(xn,x)??成立． 若點列{xn}不收斂，則稱

例1.1.7設

X是實數(shù)集，數(shù)列xn?(n?1,2,)．若在X上定義歐氏距離

n

d(x,y)?|x?y|(x,y?X),顯然，數(shù)列{xn}在度量空間(X,d)中收斂于0．若在X上定義離散距離

?0,x?y,d0(x,y)??(x,y?X),?1,x?y

則數(shù)列{xn}在度量空間(X,d0)中是發(fā)散的．

因為對任意給定的x0?X，只要

1?1?

?x0，就有d0?,x??1，所以無論n多么大，有 n?n?

?1?

limd0?,x0??1?0, n??

?n?

可見數(shù)列{xn}不收斂于

x0．雖然(X,du)與(X,d0)有共同的基本集X，但由于定義的距離的不同，它們是兩個不同的度量空間，可見同一

點列{xn}在一個度量空間中收斂，在另一度量空間中卻發(fā)散．□

定義1.1.3設(X,d)為度量空間，若

A?X，若將距離限制在A?A上，顯然A也是一個度量空間，稱作X的子空間．

d(x,A)?inf?d(x,y)?(1.7)

y?A

x?X,A?X，則點

x到A的距離定義為：

集合A的直徑定義為：

diaA?sup?d(x,y)?(1.8)

x,y?A

若diaA有限，則稱A為有界集；若diaA???，則稱A為無界集．□

那么d(x0,A)和diaA分別是多少？顯然(1)當A是單點集時，有d(x0,A)?1x0?A，A?R，在離散度量空間(R,d0)中點及diaA

?0；(2)當A不是單點集時，有d(x0,A)?1及diaA?1．

定理1.1.1 極限的性質 設(X,d)是度量空間，（1）若點列{xn}收斂，則其極限唯一；（2）若點列

{xn}是X

中的一個點列．

xn?x0(n??)，則{xn}的任何子列xnk?x0(k??)；

（3）若收斂點列{xn}看作是證明（1）設

X的子集，則它是有界的．

xn?x(n??)且xn?y(n??)，由定義知：???0,???N，當n??時，有

d(xn,x)?,d(xn,y)?，22

故當

??

n??時，我們有

d(x,y)?d(xn,x)?d(xn,y)?

?2

?

?2

??

．

1.1度量空間的定義與極限

由

?的任意性知，d(x,y)?0，從而x?y．

（2）設

xn?x(n??)，{xnk}是{xn}的子列．,xn，{xn}： x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,{xnk}：xn1，xn2，xn3，xnk,，當,由定義，???0,???N

n??時，有d(xn,x)??，由于

k??

時，nk?k??，故

d(xnk,x)??，即

xnk?x(k??)．

（3）設

xn?x0(n??)，由定義知：對

?0?1，???N，當

n??

時，d(xn,x0)??0?1，于是

．取

M?maxd{1x(0x,)d,2x(0x,)?,d,x0?(x，,則),?1n}?N1

．即{xn}作為點集有界．□

d(xn,x0)?M

?n,m?N，d(xn,xm)?d(xn,x0)?d(xm,x0)?2M

例 1.1.8設

|f(t)?g(t)|)中的點列，那么 ?fn(x)?是連續(xù)函數(shù)空間C[a,b](d(f,g)?max

t?[a,b]

fn(x)?f(x)(函數(shù)列一致收斂)當且僅當fn(x)?f(x)(度量空間中的點列收斂)．

證明

fn(x)?f(x)(n??)等價于???0,???N，當n??時，有d(fn(x),f(x))??

f(x))??，等價于d(fn,．

其中d(fn(x),f)?max|fn(x)?f(x)|??．進一步等價于

x?[a,b]

?x?[a,b]，有|fn(x)?f(x)|??

于是

．

fn(x)?f(x)(n??)

等價于

???0,???N，當

n??

時，?x?[a,b]，有|fn(x)?f(x)?|?，即

fn(x)?f(x)．□

例1.1.9 設d(x,y)是

X上的一個距離，則d1(x,y)?

d(x,y)

也是X上的距離．

1?d(x,y)

d(x,y)是X

上的距離，所以

證明顯然非負性和對稱性成立，下面僅證三角不等式． 由于

?x,y,z?X，有

d(x,y)?d(x,z?)

d(z,．y)又知函數(shù)f(t)?

t1

(f'(t)??0)為單調遞增函數(shù)，于是

1?t(1?t)

d1(x,y)?

d(x,y)d(x,z)?d(z,y)

(f(t)單調遞增)?

1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)??

d(x,z)d(z,y)

?

1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)

因此d1(x,d(x,z)d(z,y)

?d1(x,z)?d1(z,y)?

1?d(x,z)1?d(z,y)

y)是X

上的距離． □

第二篇：極限操作定義

極限操作定義：在對手技能釋放的瞬間 用自己的技能或者道具化解對手技能。

妙E秒羊秒吹秒C的極限操作的可能性分析：以張飛為例子，若陰影地飛出來的張飛的T妙吹妙羊的可能性幾乎為零。飛飛到你面前完成T的時間只需要0.1秒鐘(鳥房張飛的飛at除外)當張飛飛到你面前，你才開始反應然后左手手按到風或者羊的技能鍵，右手操作鼠標點到張飛身上，完成整個過程需要受過反應訓練的人也至少需要0.25妙的時間。那么極限秒吹秒羊妙E是不可能的。那么游戲中經(jīng)常出現(xiàn)的這個極限操作的假象是怎么做到的呢？ 關鍵原因就是距離。張飛的飛 和各種限制技能都是有距離的限制，當CR 或者41保持與張飛 飛T的極限距離外，不停按技能又不停的S那么 這個時期張飛飛過來剛好在自己使用技能的距離內，那么妙限制飛的假象出現(xiàn)了。但是這絕不是極限操作，而是有意識的反復操作達到的效果。郭嘉的極限C張飛的情況就有兩種，一種是郭嘉釋放C技能的時候 張飛自己剛好飛到C的方向上，T還沒放出來就被C住，這種情況發(fā)生在上路郭嘉妙關的時候特別常見，這個純屬運氣，與極限操作扯不上半點關系。還有一種情況與上所訴妙E妙吹情況類似，但是這個距離就比妙E妙吹時候需要的距離精確的多，當飛在郭嘉點人C的極限距離外起飛，那么絕對被秒C，一旦張飛進入這個極限距離內那么張飛沒有飛起來之前被C或者張飛飛起來躲掉了郭嘉C.第二種情況極其少見，因為成功率取決于飛的位置和郭嘉的想法，大多數(shù)郭嘉不會為了妙C張飛而去冒險釋放這個團戰(zhàn)終極技能，張飛飛到郭嘉面前再C這個是極限操作但是需要的時間如果地板C需要0.15妙 點人C也需要0.25妙，理論上也是不可以的。

那么哪些操作的的確確是極限操作了？玄武躲技能，飛躲飛T，妙T這絕對是極限操作，玄武躲技能這個操作一般選手都有這個意識而且成功率不說百分百，也有百分之八十。因為這些個躲限制技能的技能是沒有距離限制(飛躲飛T除外)，只能在對方釋放技能前使用自身技能或者道具才能出現(xiàn)極限“妙X”的畫面。這些操作可行性分析：玄武躲技能，左手放在技能鍵上，當出現(xiàn)非瞬發(fā)限制技能(極需要釋放時間的技能點飛T41 E 郭嘉C)這些技能的釋放時間大于或者等于0.1妙，而一般人開啟玄武的反應時間小于0.1S，所以我們經(jīng)常看見玄武躲技能的操作，因為常見，很多人認為玄武躲技能不算極限操作，但是卻是理論上的極限操作。但是玄武是無法躲瞬發(fā)限制技能，這個問題我在以前的問題中討論過的，瞬發(fā)限制技能 入風吹 羊變 和CR的E 只要這些技能釋放出去，對手就必須受的。而飛鞋躲飛T這個和玄武躲技能的道理一樣，但比玄武躲飛T多一些預判斷時間，所以玄武躲技能可以在沒有視野的情況完成。但是飛躲陰影飛T卻很難，因為自己起飛躲飛T的反應時間大于0.1S..妙T更難，完全是自己判斷+運氣 這個不多復述了。

總結：妙羊妙吹妙E不是極限操作 更多的是需要操作者的意識，玄武躲技能，飛鞋躲飛T妙T是真三玩家的操作素質和水平的體現(xiàn)。不要刻意追求極限操作，加強自己的意識，注意隊友的配合 這才是真三的王道。

第三篇：極限狀態(tài)法定義

1、極限狀態(tài)設計法

limit state design method

當以整個結構或結構的一部分超過某一特定狀態(tài)就不能滿足設計規(guī)定的某一功能要求，則此特定狀態(tài)稱為該功能的極限狀態(tài)，按此狀態(tài)進行設計的方法稱極限狀態(tài)設計法。它是針對破壞強度設計法的缺點而改進的工程結構設計法。分為半概率極限狀態(tài)設計法和概率極限狀態(tài)設計法。

半概率極限狀態(tài)設計法 將工程結構的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)、變形極限狀態(tài)和裂縫極限狀態(tài)三類（也可將后兩者歸并為一類），并以荷載系數(shù)、材料強度系數(shù)和工作條件系數(shù)代替單一的安全系數(shù)。對荷載或荷載效應和材料強度的標準值分別以數(shù)理統(tǒng)計方法取值，但不考慮荷載效應和材料抗力的聯(lián)合概率分布和結構的失效概率。

概率極限狀態(tài)設計法 將工程結構的極限狀態(tài)分為承載能力極限狀態(tài)和正常使用極限狀態(tài)兩大類。按照各種結構的特點和使用要求，給出極限狀態(tài)方程和具體的限值，作為結構設計的依據(jù)。用結構的失效概率或可靠指標度量結構可靠度，在結構極限狀態(tài)方程和結構可靠度之間以概率理論建立關系。這種設計方法即為基于概率的極限狀態(tài)設計法，簡稱為概率極限狀態(tài)設計法。其設計式是用荷載或荷載效應、材料性能和幾何參數(shù)的標準值附以各種分項系數(shù)，再加上結構重要性系數(shù)來表達。對承載能力極限狀態(tài)采用荷載效應的基本組合和偶然組合進行設計，對正常使用極限狀態(tài)按荷載的短期效應組合和長期效應組合進行設計。

2、許應力設計法

allowable stress design method

以結構構件的計算應力σ不大于有關規(guī)范所給定的材料容許應力[σ]的原則來進行設計的方法。一般的設計表達式為

σ≤[σ]

結構構件的計算應力σ按荷載標準值以線性彈性理論計算；容許應力[σ]由規(guī)定的材料彈性極限（或極限強度、流限）除以大于1的單一安全系數(shù)而得。

容許應力設計法以線性彈性理論為基礎，以構件危險截面的某一點或某一局部的計算應力小于或等于材料的容許應力為準則。在應力分布不均勻的情況下，如受彎構件、受扭構件或靜不定結構，用這種設計方法比較保守。

容許應力設計應用簡便，是工程結構中的一種傳統(tǒng)設計方法，目前在公路、鐵路工程設計中仍在應用。它的主要缺點是由于單一安全系數(shù)是一個籠統(tǒng)的經(jīng)驗系數(shù)，因之給定的容許應力不能保證各種結構具有比較一致的安全水平，也未考慮荷載增大的不同比率或具有異號荷載效應情況對結構安全的影響。

我國公路使用極限狀態(tài)設計法，鐵路仍使用容許應力設計法，但公路中使用的分項系數(shù)并不是完全利用概率理論計算可靠度得來的，而是在容許應力基礎上，通過經(jīng)驗得來的，所以有披著極限外衣的容許應力之嫌。

第四篇：極限定義的總結

極限定義的總結

極限主要包括兩個方面，即自變量的變化趨勢和函數(shù)的變化趨勢。我們就這兩個變化趨勢來總結極限的定義：

自變量變化趨勢limf(x)?函數(shù)的變化趨勢

自變量的變化趨勢主要有六種：

??x??,x???,x???,x?x0,x?x0,x?x0

函數(shù)的變化趨勢主要有四種：

f(x)?A,f(x)??,f(x)???,f(x)??? 自變量的描述格式如下：

?X?0,當|x|?X時；（x??）

?X?0,當x?X時；（x???）

?X?0,當x?-X時；（x???）

???0,當0?|x-x0|??時；（x?x0）

???0,???0, 當0?x-x0??時；（x?x0?）當0?|x-x0|??時；（x?x0?）

函數(shù)的描述格式如下：

???0, ?,?

???0, ?,?

???0, ?,? 恒時：|f(x)?A|??（f(x)?A）恒時：|f(x)|?M（f(x)??）恒時：f(x)?M（f(x)???）

恒時：f(x)??M（f(x)???）???0, ?,?

那么函數(shù)極限的定義可以是這C61?C41?24種中的任意一種。當然還有一種最特殊的函數(shù)極限，即數(shù)列的極限。它是一種自

變量的變化不連續(xù)的特殊情形。

第五篇：數(shù)列極限的定義

第十六教時

教材：數(shù)列極限的定義

目的：要求學生首先從實例（感性）去認識數(shù)列極限的含義，體驗什么叫無限地“趨

近”，然后初步學會用??N語言來說明數(shù)列的極限，從而使學生在學習數(shù)學中的“有限”到“無限”來一個飛躍。過程：

一、實例：1?當n無限增大時，圓的內接正n邊形周長無限趨近于圓周長

2?在雙曲線xy?1中，當x???時曲線與x軸的距離無限趨近于0

二、提出課題：數(shù)列的極限考察下面的極限

1? 數(shù)列1：

110,111

102,103,?,10

n,?①“項”隨n的增大而減少②但都大于0

③當n無限增大時，相應的項1

n可以“無限趨近于”常數(shù)0

2? 數(shù)列2：123n

2,3,4,?,n?1,?

①“項”隨n的增大而增大②但都小于1

③當n無限增大時，相應的項n

n?1可以“無限趨近于”常數(shù)1

3? 數(shù)列3：?1,11(?1)n

2,?3,?,n,?①“項”的正負交錯地排列，并且隨n的增大其絕對值減小

②當n無限增大時，相應的項(?1)n

n

可以“無限趨近于”常數(shù)

引導觀察并小結，最后抽象出定義：

一般地，當項數(shù)n無限增大時，無窮數(shù)列?an?的項an無限地趨近于某

個數(shù)a（即an?a無限地接近于0），那么就說數(shù)列?an?以a為極限，或者說a是數(shù)列?an?的極限。（由于要“無限趨近于”，所以只有無窮數(shù)列才有極限）

數(shù)列1的極限為0，數(shù)列2的極限為1，數(shù)列3的極限為0

三、例一（課本上例一）略

注意：首先考察數(shù)列是遞增、遞減還是擺動數(shù)列；再看這個數(shù)列當n無限

增大時是否可以“無限趨近于”某一個數(shù)。

練習：（共四個小題，見課本）

四、有些數(shù)列為必存在極限，例如：an?(?1)n?

或an?n都沒有極限。例二下列數(shù)列中哪些有極限？哪些沒有？如果有，極限是幾？

1．a1?(?1)n1?(?1)n

n?22．an?2

3．an?an(a?R)

n

4．a1)n?1?3?5?

n?(?n5．an?5????? ?3??

解：1．?an?：0,1,0,1,0,1,??不存在極限

2．?a2,0,22

n?：3,0,5,0,??極限為0

3．?an?：a,a2,a3,??不存在極限

4．?a,?33

n?：32,14,??極限為0

5．?a????n

?5525n?：先考察???????，?，?? 無限趨近于0 ???3???：??

392781∴ 數(shù)列?an?的極限為5

五、關于“極限”的感性認識，只有無窮數(shù)列才有極限

六、作業(yè)：習題1

補充：寫出下列數(shù)列的極限：1? 0.9,0.99,0.999,??2? a1

n?

2n

3? ?

??

(?1)n?1?1?3456111n??4? 2,3,4,5,??5? an?1?2?4???2n