第一篇：高等概率論證明的十八個小技巧

高等概率論證明的十八個小技巧

1．Good sets principle（好集原理）

例如為證明某一個sigma代數(shù)F具有某種性質(zhì)，可首先設(shè)具有該性質(zhì)的屬于F的集合組成的族為G，然后證明G為一個sigma代數(shù)，從而F＝G。

2．sigma可加性

要證明某一個集函數(shù)可列可加，先證明其為有限可加，然后證明其滿足上連續(xù)或下連續(xù)，則可列可加成立。

同樣的道理，證明F為sigma代數(shù)，只需要證明F為代數(shù)且對上升序列極限封閉即可。

3．證明兩個sigma代數(shù)相等，總體思想通常是雙包含，加以其他的技巧。

4．由代數(shù)G生成sigma代數(shù)F，則F中任一集合均可以由G中的集合列任意逼近，這在證明一些性質(zhì)由G擴張到F上時仍成立時會用到。

5．證明不等號成立，若直接證不容易時，可嘗試在較大的一側(cè)添加一個可以任意小的epsilon>0，得到一個不等式，完成證明后使epsilon趨于0得原不等式。

類似的思想，也可以在較小的一側(cè)乘以系數(shù)b，b在0、1之間，得到不等式，然后令b趨于1，這個過程中應(yīng)注意保證不等式與b的選取無關(guān)。

6．Monotone class theorem（單調(diào)類定理）

設(shè)F為域（也即代數(shù)），C為單調(diào)族，若C包含F(xiàn)，則C包含F(xiàn)生成的sigma代數(shù)。

利用此思想，證明問題時先構(gòu)造一個符合要求的單調(diào)族（因單調(diào)極限封閉相對容易滿足），然后去證明F包含在這個單調(diào)族內(nèi)。

單調(diào)族定理證明中的方法也值得學(xué)習(xí)，另單調(diào)族定理實質(zhì)是說明由域生成的最小單調(diào)族與最小sigma代數(shù)相同。

7．證明一個問題對sigma有限測度成立，可證明該問題對有限測度成立，因?qū)igma有限測度u，可拆成有限u(n)加和。

8．對可列可加的情形，通常先證明有限的情形，再討論無窮的情形，或者看作有限的逼近。

9．證明對Borel可測函數(shù)成立，可在有意義的前提下證明對非負Borel可測函數(shù)成立，更進一步只需要證對非負簡單函數(shù)成立即可。

這個方法的另一套思路是：設(shè)H為滿足所要證明問題性質(zhì)的非負Borel可測函數(shù)組成的族，證明H是一個單調(diào)系（monotone system），再證明H包含了所有的示性函數(shù)即可。這里的Borel可推廣到一般的可測含義。

10．單調(diào)收斂定理

單調(diào)上升的非負Borel可測函數(shù)序列hn（x）收斂到h（x），則其序列積分收斂到極限的積分。

11．劃分積分區(qū)間為可列小塊，分別考慮。

12．Fatou引理

引理內(nèi)容不再敘述，很常用的引理。

13．控制收斂定理

同樣是Very Important

14．要證明某個性質(zhì)幾乎總成立，可轉(zhuǎn)化證明其對立面幾乎總不成立，也即證明不具有此性質(zhì)的集合測度為零。若不具有此性質(zhì)的集合比較復(fù)雜，可看是否能利用1/n或者有理數(shù)將其拆成可列個集合之并，然后證明每個集合的測度為零，由可列可加性保證原比較復(fù)雜的集合測度為零。

15．證明性質(zhì)對可測函數(shù)成立的經(jīng)典步驟

證明對示性函數(shù)成立》》》》對非負簡單函數(shù)成立》》》》對非負Borel可測函數(shù)成立》》》對一般可測函數(shù)成立

若與積分有關(guān)，則有非負情形推廣到任意情形時，需要先說明積分存在，也即說明正部、負部積分不同時為無窮。

16．對測度而言

按照 有限測度》》》sigma有限測度》》》任意測度》》》符號測度 的順序進行

17．構(gòu)造符合性質(zhì)的集合A

選取一列單調(diào)上升的集合序列An，An無窮趨向于A，則A為所有An之并。

反向可取單調(diào)下降到A的集合序列，則A為所有集合之交。

18．證明E|X|---->0

去證明EX+---->0，EX----->0。注意三者中知道兩者，可推出第三者，這個輪換的思想常用。

第二篇：高等數(shù)學(xué)公式總結(jié)、概率論、線性代數(shù)考點總結(jié)

決定考研了，暑假開始復(fù)習(xí)，沒有報任何輔導(dǎo)班，先從數(shù)學(xué)開始（PS：我是理工科，數(shù)學(xué)

一）。

7月中旬開始胡亂看書，高數(shù)、線代、概論每天輪著看，看了兩個多星期，一頭霧水！每天悶在家里扛不住了！

和一個學(xué)姐聊天，她告訴我，復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的時候不能一起復(fù)習(xí)，應(yīng)該分開看：高數(shù)---線性代數(shù)---概率論！我嘗試了一下，還真有用！自己把書上的知識點總結(jié)了一下，現(xiàn)在復(fù)習(xí)效果很好！

搜集1000份資料，報再多的輔導(dǎo)班都不如自己總結(jié)！跟大家分享一下我整理的數(shù)學(xué)資料，2011的研友們，堅持就是勝利！

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高等數(shù)學(xué)：

考研數(shù)學(xué)重點及難點歸納輔導(dǎo)筆記（主要知識點的概括包括經(jīng)典例題）

考研高等數(shù)學(xué)公式(數(shù)3專用）（這個對我們數(shù)一來說就太Easy了）

高等數(shù)學(xué)考研公式（非常經(jīng)典、很全面）

2011考研數(shù)學(xué)大綱（不知道2011是否出大綱了，不過還是很有幫助）

考研高等數(shù)學(xué)易混淆概念（從極限開始，例題+概念，很有幫助）

新東方2010考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班講義：高數(shù)、概論、線代（可以看看，參考）

考研數(shù)學(xué)真題近十年考題路線分析(高數(shù)部分)（這個比較狠！）

2011考研數(shù)學(xué)全程五輪四階復(fù)習(xí)規(guī)劃（看來我復(fù)習(xí)晚了）

考研數(shù)學(xué)公式最新總結(jié)大全高等數(shù)學(xué)，線性代數(shù)，概率統(tǒng)計(比較綜合)

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線性代數(shù)：

線性代數(shù)復(fù)習(xí)資料（基本知識點總結(jié)）

2011年新東方考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班線性代數(shù)講義（確實不錯）

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概率論：

概率論易錯知識點總結(jié)（經(jīng)?？纯矗?/p>

考研概率論必備兇器經(jīng)典歸納（的確兇悍！總結(jié)徹底！）

【2011考研精華資料】概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式（打印出來方便記憶）

新東方考研概率論講義（可以參考，看書是關(guān)鍵）

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近5年真題（2005-2010）：

2010年數(shù)學(xué)真題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二試題

2010年全國碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)三試題

2009年數(shù)學(xué)真題

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2008年數(shù)學(xué)真題

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2007年數(shù)學(xué)真題

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2006年數(shù)學(xué)真題

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題及答案

2005年數(shù)學(xué)真題

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題及答案

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及答案

2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)三試題及答案

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考研經(jīng)驗（?？纯矗o自己鼓勵?。?/p>

怎樣合理規(guī)劃考研復(fù)習(xí)（好的方法，事半功倍）

學(xué)習(xí)計劃的制定：考研復(fù)習(xí)階段分析（計劃+執(zhí)行+堅持=考研成功）

跨?？佳凶⒁馐马棧缧５耐瑢W(xué)一定看看）

考研第一考上清華研究生的經(jīng)歷（堅持就是勝利）

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導(dǎo)師信息庫：

211高校研究生導(dǎo)師信息庫（了解自己未來的導(dǎo)師的研究方向?。?/p>

全國各高校研招辦聯(lián)系方式匯總（可以打電話到學(xué)校研招辦咨詢）

還有很多，聽學(xué)姐說10月之前都是混戰(zhàn)，大家都在搜集資料，包括政治、數(shù)學(xué)、英語、專業(yè)課的資料，還有自己想報考的學(xué)校的資料等等。

報考本校的話還算容易，報考外校的話比較困難，自己如果信息閉塞的話會吃虧！所以大家晚上上完自習(xí)回來有時間的話還是要經(jīng)常上網(wǎng)看看，及時了解各方面的信息，千萬不要悶著頭復(fù)習(xí)！

第三篇：高等概率論的一些學(xué)習(xí)心得兼推薦一些相關(guān)書籍

高等概率論的一些學(xué)習(xí)心得兼推薦一些相關(guān)書籍 zz

2010-10-09 15:58 星期六

學(xué)習(xí)概率已經(jīng)有快2年了，幾乎查閱了所有跟概率相關(guān)的書籍，到目前為止沒有找到我認為特別好的。有人認為Feller的概率論及其應(yīng)用是經(jīng)典，我買了兩本中譯本，對我來說幫助不大?？戳顺淌亢甑臏y度論與概率論基礎(chǔ)，反而有所收獲。下面是我轉(zhuǎn)載的一片網(wǎng)文，里面認為的現(xiàn)代型是我追求的目標，也就是說希望從測度論和實分析的角度去理解概率這門學(xué)科。

高等概率論的一些學(xué)習(xí)心得兼推薦一些相關(guān)書籍

一般人們對概率論這門學(xué)科的理解可以劃分為三個層次：1，古典型--未受過任何相關(guān)訓(xùn)練的人都屬于此類，他們只能夠理解一些離散的（古典的）概率模型；2--近代型，通常指學(xué)過概率論基礎(chǔ)的非數(shù)學(xué)專業(yè)理科生，他們從微積分的角度理解各種連續(xù)分布，概率模型的數(shù)字特征；3--現(xiàn)代型，這類人能夠抽象地從測度論和實分析高度理解這門學(xué)科，任何數(shù)學(xué)專業(yè)的本科畢業(yè)生達不到這個層次都是可恥的。建立在測度基礎(chǔ)上的概率論通常所謂的高等概率論。而我的主要目的就是為希望學(xué)習(xí)高等概率的學(xué)生--選擇適合自己的書籍--提供些許幫助。

選一本適合自己的好的教材對自己以后的學(xué)習(xí)是決定性的重要--這是學(xué)數(shù)學(xué)的人首先必須明白的--不僅是對概率方向，對數(shù)學(xué)的各個分支都是如此。大一的時候齊名友老師跟我特別提到過這一點，可惜我當(dāng)時不以為然，結(jié)果走了很多彎路，到研究生以后才慢慢明白這個道理。一本山寨小學(xué)校的老師七拼八湊編寫的爛書，常常對學(xué)習(xí)（特別是自學(xué)）不僅無益反而有害，因為你往往浪費了時間卻只能得到這個一些支離破碎的印象，這樣你會遺忘得很快，很可能到頭來你還得重新學(xué)一遍；另一些時候，你選擇了眾人推薦的名著，但你如果當(dāng)前的水平達不到一定的層次，它往往會打擊你的信心讓你灰心喪氣，甚至?xí)屇悴辉儆袑W(xué)下去的欲望。這兩種情形顯然都是人們應(yīng)該盡量避免的。

需要指出的是，有的書適合作教材，有的書卻只適合作參考書；就算都是教材，它定位的讀者群體也可能不一樣。每個人都應(yīng)該根據(jù)自己的實際情況做出選擇。一般好書大多都是國外的，所以如果有可能最好去看國外的原版書，就算沒有這個能力也應(yīng)該去鍛煉這個能力。讀原版書其實沒看起來的那么難，你不需要懂得任何高深的語法，記熟100個單詞/詞組就能輕易上手，記熟300個你就能在大多數(shù)情況下不需要字典了。我記得我法語學(xué)了不到一年就來到法國讀書，老師上課基本聽不懂，只能自己找書看，而圖書館里絕大多數(shù)參考書都是法語的（當(dāng)時不知道在網(wǎng)上找書）。按說我當(dāng)時法語應(yīng)該比大多數(shù)中國大學(xué)生英語要遠差，但我抱著一本法語的拓撲書回家一邊查字典一邊看，兩三天就完全適應(yīng)了。真正看外文原版書，要克服的首要困難永遠都是數(shù)學(xué)本身，而不是生詞或者語法。

我推薦的學(xué)習(xí)方法是這樣的：讀一本簡單而直觀的入門書，這樣能比較容易地把握一個領(lǐng)域的主干，明白它要達到哪些目的，通過什么樣的方法，關(guān)鍵性的定理有哪些；等掌握大體框架之后再找一本詳盡而嚴密的教材慢慢推敲其細節(jié)。中文的書我沒什么好推薦的--在國內(nèi)的時候看的書質(zhì)量都不高（當(dāng)時抱著一本書就看，對好書和爛書也沒有概念）而出國之后就沒再看過中文書了。我依稀記得汪嘉岡的《現(xiàn)代概率基礎(chǔ)》還不錯，其它的我就不知道

了。對于外文書，我倒是有很多可以推薦。這樣我首先要推薦的是David Williams寫的Probability with martingales。書寫得很薄，嚴格意義上說它不是一本教材，但完全可以把它當(dāng)做現(xiàn)代概率論和鞅理論的入門書來看。我覺得很少有書能夠?qū)懙孟笏菢影褔烂苄?，直觀性以及趣味性完美的融合到一起，并且自成體系(即所謂self-contained，就是說你不需要一邊看這本書一邊在別的書里尋找相關(guān)定理，定義或者其它背景知識)。它只引入對主題有幫助的概念，因此這樣讀者就可以不必顧及細枝末節(jié)從而能夠快速領(lǐng)悟其精髓。等你入門之后，可以看的進階級書就很多了，比如Chung Kai Lai的A course in probability theory。

測度論的基礎(chǔ)對于高等概率以及隨機過程的學(xué)習(xí)無疑是很重要的，盡管剛開始的時候你完全可以跳過許多內(nèi)容（單調(diào)類定理，測度的擴張定理，radon-nikodym定理等），但真正想把這個方向?qū)W好的人最后一定還是得回頭啃這些相對枯燥的基礎(chǔ)知識。我看過嚴加安的《測度論講義》和halmos的測度論，個人感覺后者更友善些，并且更適合自學(xué)。嚴的書里，開篇就羅列一大串定義：什么是pi類，半環(huán)，半代數(shù)，sigma代數(shù)，單調(diào)類，lamda類，再羅列它們的一些性質(zhì)，諸如a推b，b推c，c推d，d推a之類，我以為這樣不容易讓人抓住重點。測度論理真正重要的集類首先是sigma代數(shù)和pi類，然后是單調(diào)類和代數(shù)，其它的集類不知道也罷。

看書除了看教材，當(dāng)然還得找?guī)妆緟⒖紩詡洳粫r之需。劍橋出的Grimmett和Stirzaker合著的probability and random process，其特點是例子和習(xí)題詳盡而豐富，從經(jīng)典的概率論逐步過度到現(xiàn)代的測度空間。它雖然名為本科生教材，但我覺得其內(nèi)容之豐富使其作為階段性的參考資料已經(jīng)綽綽有余了。然后是大名鼎鼎的Feller的兩本An introduction to probability theory，公認的經(jīng)典。其特點是通過大量的實例講敘了許多概率論和隨機過程在現(xiàn)實中的應(yīng)用，以及各種概率模型的由來及其推導(dǎo)，據(jù)說適合從本科生到博士生的一切人群。但feller的書寫成已經(jīng)有半個世紀之久，因此一些內(nèi)容還是顯得太陳舊了。想看更現(xiàn)代一點的參考書的話，我推薦Kallenberg的Foundations of modern probability。這是一本很新的書，也是一本名副其實的參考書--因為它只能作參考書--僅600頁竟然就講完了概率論各個大大小小分支的主要內(nèi)容，書里你可以找到幾乎所有的重要定理，命題，及其證明。

如果你能把書基本看懂，那你已經(jīng)可以算差不多入門了；如果你能閉著眼睛說出任何一個定理的證明思路，那么恭喜你，你已經(jīng)學(xué)有小成。但是僅僅看書顯然是不夠的，想要學(xué)得好，學(xué)得牢，無論如何你還得做一定量的相應(yīng)的習(xí)題--計算題為輔，證明題為主，并且要勤于思考養(yǎng)成習(xí)慣。為了一道題如果你的思考時間還不到一個甚至半個就放棄而去翻答案，那么根本就不算你曾為這個問題花費過努力--事實上如果你不認真思考，那么你會覺得所有的答案，所有的證明都只不過是理所當(dāng)然的，trivial的，從而你也不會領(lǐng)悟到真諦。

其它沒啥了。哪天有心情再說說隨機分析吧。

第四篇：概率論復(fù)習(xí)重點

概率論復(fù)習(xí)重點（老師所劃重點，僅供參考）

1.一、二大題為選擇、填空題，所占全卷24%【各章都有，主要靠基本概念知識】

2.第一章：2個大題占全卷15%

⑴概率的計算【概率的性質(zhì)、古典概型】

⑵全概率公式、逆概公式（貝葉斯公式）

3.第二章：2個大題占全卷15%

⑴隨機變量的概率分布【離散4種、連續(xù)3 ⑵函數(shù)的分布【主要為連續(xù)型】F(y)=P（Y≤y）=P（（fx）≤y）=P（x∈Dy）=

第五篇：淺談專升本高等數(shù)學(xué)中的概率論復(fù)習(xí)技巧

淺談專升本高等數(shù)學(xué)中的概率論復(fù)習(xí)技巧

以下為我的觀點，做題目一定要思考，要舉一反三。不能關(guān)看書本上硬硬的條子，也不能鉆牛角尖。具體內(nèi)容自己回去慢慢整理，本人也是10年專升本的，在校參加過競賽獲獎，對數(shù)學(xué)頗有靈感，高升基礎(chǔ)班沒上過，沖刺班上了，覺的徐老師教的怪有意思的，跳躍性思維和解題技巧靈活，共同討論

概率論的理解與掌握要從三個方面來看

第一，基本的古典概率事件要掌握，最好是背了

1.基本的組合與排列事件，就是組合與排列的定義以及計算公式

2.硬幣，撒子問題，基本的簡單的離散型概率分布

3.排隊與抽簽的整體與局部問題，把某些人看為整體綁定再與其他種類排列

4.分類，分組，分堆三者的區(qū)別

5.映射問題是常考的，比如說往四個杯子里裝五個球，不限制每個杯子中的球的個數(shù)，問排列方式

6.重復(fù)與不重復(fù)，放回與不放回事件的概率是不同的第二，離散型與連續(xù)性概率的一維的概率分布，數(shù)學(xué)期望，方差，密度的求解與記憶離散型的一定要掌握，數(shù)學(xué)期望和方差都是高中學(xué)過的，密度就是一個數(shù)值嘛，分布函數(shù)就按基本公式想象，一定要畫圖想象，數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)里最好的方法

連續(xù)性的要參照離散型的去看，要和它比較，你硬硬的死看，當(dāng)然看不出道了。連續(xù)性中的密度函數(shù)就是離散型中的某點概率;連續(xù)性中的積分符號你深入研究過理解過它嘛，那個符號如果對應(yīng)成圖像就是面積，是某段區(qū)間的面積，相當(dāng)于把這些區(qū)間無限的切割成小方塊的面積(微積分的書中求某個函數(shù)與坐標軸圍成的面積那張以及體積那些一定要好好看，要看精明了)，求這些小方塊的面積之和，小方塊的面積不就是每點所對應(yīng)概率相加嘛，換成離散型來想就是。

連續(xù)性的積分符號就是離散型的連加，連續(xù)性的X就是離散型所對應(yīng)的各點

其他的數(shù)學(xué)期望，方差不就和離散型不就是一樣的嘛，就那么簡單的東西，要想方設(shè)法的記住，會記住會運用的方法就是好方法

再看連續(xù)型的分布函數(shù)，也就是從基本公式來

我總結(jié)的方法是：

看見定積分，廣義積分就去想面積，面積怎么求積分就怎么求

看見連續(xù)型就去想離散型，離散型怎么求，連續(xù)型就是怎么求的第三，要記住一維的連續(xù)性概率基本類型的方差以及數(shù)學(xué)期望的公式，以及數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系公式