第一篇：高中物理論文《溫度計(jì)、熔化和凝固易錯(cuò)題解析》

溫度計(jì)、熔化和凝固易錯(cuò)題解析

1、考慮問(wèn)題不周全而出錯(cuò)

例1 體溫計(jì)是一種常用的醫(yī)療器械，給體溫計(jì)消毒時(shí)，可以（）。

A.用醫(yī)用酒精棉球擦拭；B.在沸水中煮20min左右；C.在酒精燈火焰上燒一下；D.上述做法都可以。

錯(cuò)解：D 解析：若是一把金屬手術(shù)器械，用A、B、C三種不同的方法都能達(dá)到殺菌、消毒的效果，但體溫計(jì)有它的特殊性，它是一種測(cè)人體溫度的器械，量程為35℃～42℃，這說(shuō)明它所處的環(huán)境溫度不能超過(guò)42℃，由于沸水的溫度一般可達(dá)到100℃，酒精燈火焰的溫度可達(dá)600℃，在這樣高的溫度下，水銀受熱膨脹足可以將玻璃泡脹破，故給體溫計(jì)消毒只能用酒精棉球擦拭。

正解：A 點(diǎn)撥：同學(xué)們學(xué)習(xí)的所有知識(shí)，最終還是要跟生產(chǎn)、生活和科技緊密相聯(lián)的，“應(yīng)用”也是所有知識(shí)的最終歸宿，而不是簡(jiǎn)單的記住某些內(nèi)容就好了的。所以，增加社會(huì)實(shí)踐以及全面、綜合地考慮問(wèn)題，就是重中之重了。

2、本質(zhì)認(rèn)識(shí)模糊而出錯(cuò)

例2 如圖1所示，是小紅利用小玻璃瓶、橡皮塞和玻璃管自制的液體溫度計(jì)。該溫度計(jì)是根據(jù)液體的 規(guī)律來(lái)工作的。實(shí)際使用中發(fā)現(xiàn)該溫度計(jì)玻璃管中的液柱變化不明顯（密封良好）。對(duì)此，請(qǐng)你提出一條改進(jìn)建議：。

圖1 錯(cuò)解：熱脹冷縮

將玻璃瓶換成同樣大小的塑料瓶

解析：發(fā)生錯(cuò)解的同學(xué)，只知道常用溫度計(jì)是根據(jù)液體熱脹冷縮的規(guī)律制成的，但對(duì)其構(gòu)造、工作過(guò)程認(rèn)識(shí)模糊，改進(jìn)建議自然就答不對(duì)了。

在同樣條件下由于液體熱脹冷縮的程度比固體（玻璃）大得多，故當(dāng)周圍溫度變化時(shí)，溫度計(jì)中的液柱會(huì)發(fā)生升降，溫度計(jì)就是通過(guò)其液柱的升降來(lái)顯示溫度高低的。當(dāng)玻璃泡的容積增大，內(nèi)盛液體增多，或玻璃泡的內(nèi)徑變小、液柱變細(xì)時(shí)，液柱升降的幅度就會(huì)增大。故要使液柱變化明顯，方法之一是換一根細(xì)玻璃管；方法之二是換一個(gè)大玻璃瓶（塑料有較大的彈性，故不能用塑料瓶）；方法之三是采用受熱易膨脹、遇冷易收縮的液體。

正解：熱脹冷縮

換一根細(xì)玻璃管

點(diǎn)撥：觀察事物、思考問(wèn)題都是需要細(xì)致、縝密的，這就要求同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)，對(duì)一些現(xiàn)象及規(guī)律進(jìn)行細(xì)化，然后進(jìn)行有效地吸收，讓知識(shí)在大腦中更加清晰透明，從而使我們?cè)诮鉀Q實(shí)際問(wèn)題時(shí)能夠抓住關(guān)鍵，有的放矢。

3、對(duì)熔化和凝固的條件及特點(diǎn)理解不清而出錯(cuò)

例3 如圖2所示，在一個(gè)燒杯中放入一定量的冰塊，把盛有碎冰塊的一個(gè)大試管插入燒杯里的冰塊中，用酒精燈隔著石棉網(wǎng)給燒杯底部緩慢加熱，當(dāng)燒杯中的冰塊有大半熔化時(shí)，不考慮從空氣中吸熱，則試管中的冰塊（）

A.熔化一部分；B.一點(diǎn)也不熔化；C.全部熔化；D.無(wú)法判斷。錯(cuò)解：A 解析：晶體的熔化必須具備兩個(gè)條件：達(dá)到熔點(diǎn)，繼續(xù)吸熱。由于酒精

圖2 燈給燒杯加熱，所以燒杯內(nèi)的冰吸熱冰熔化。題目說(shuō)燒杯中的冰有大半熔化，即燒杯內(nèi)是冰、水共存的狀態(tài)，可知其溫度為熔點(diǎn)0℃，試管插在燒杯內(nèi)的冰塊中，若試管

內(nèi)冰的初溫低于0℃，它可以從燒杯內(nèi)的冰、水混合物中吸熱，使自己的溫度上升，當(dāng)其溫度升高到0℃時(shí)，試管內(nèi)外溫度一樣，都是0℃，試管內(nèi)的冰再也不能從燒杯內(nèi)的冰、水混合物中吸熱了。盡管試管內(nèi)的冰的溫度達(dá)到了熔點(diǎn)，但無(wú)法繼續(xù)吸熱，當(dāng)然就是一點(diǎn)也不熔化了。

正解：B 點(diǎn)撥：晶體的熔化可以看作是一場(chǎng)接力賽，這場(chǎng)接力的“交接點(diǎn)”就是晶體的“熔點(diǎn)”。應(yīng)該注意的是，僅僅是“靠上去”還是不夠的，“繼續(xù)吸熱”是實(shí)現(xiàn)突破而使晶體開(kāi)始熔化的關(guān)鍵，也是必要條件。

練習(xí)：

1、嚴(yán)冬，湖面上結(jié)了厚厚的冰，但冰下面魚(yú)兒仍在游動(dòng)。為了測(cè)出冰下水的溫度，李強(qiáng)同學(xué)在冰上打了一個(gè)洞，拿來(lái)一只實(shí)驗(yàn)用的溫度計(jì)，用下列四種方法測(cè)水溫，其中正確的是（）

A.用線將溫度計(jì)拴牢從洞口放入水里，待較長(zhǎng)時(shí)間后從水中取出并立即讀數(shù)； B.取一塑料飲水瓶，將瓶拴住從洞口放入水里，水灌滿瓶后取出，再用溫度計(jì)測(cè)瓶中水的溫度；

C.取一塑料飲水瓶，將溫度計(jì)懸吊在瓶中，再將瓶拴住從洞口放入水里，水灌滿瓶后待較長(zhǎng)時(shí)間，然后將瓶提出，立即從瓶外觀察溫度計(jì)的示數(shù)；

D.手拿溫度計(jì)，從洞中將溫度計(jì)插入水中，待較長(zhǎng)時(shí)間后取出并立即讀數(shù)。

2、海波的熔點(diǎn)是48℃，那么溫度等于48℃的海波其狀態(tài)是（）A.固態(tài)；B.液態(tài)；C.固液共存態(tài)；D.以上三種皆有可能。

參考答案：

1、C

2、D

第二篇：高中物理各章易錯(cuò)題歸納

第十三章 光學(xué)

一、主要內(nèi)容

本章內(nèi)容包括光的直線傳播、棱鏡、光的色散、光的反射、光的折射、法線、折射率、全反射、臨界角、透鏡（凸、凹）的焦點(diǎn)及焦距、光的干涉、光的衍射、光譜、紅外線、紫外線、X射線、y射線、電磁波譜、光電子、光子、光電效應(yīng)、等基本概念，以及反射定律、折射定律、透鏡成像公式、放大率計(jì)算式，光的波粒二象性等基本規(guī)律，還有光本性學(xué)說(shuō)的發(fā)展簡(jiǎn)史。

二、基本方法

本章涉及到的方法有：運(yùn)用光路作圖法理解平面鏡、凸透鏡、凹透鏡等的成像原理，并能運(yùn)用作圖法解題；根據(jù)透鏡成像規(guī)律，運(yùn)用邏輯推理的方法判斷物象變化情況。

三、錯(cuò)解分析

在本章知識(shí)應(yīng)用的過(guò)程中，初學(xué)者常犯的錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在：解題操作過(guò)程不規(guī)范導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤；將幾何光學(xué)與物理光學(xué)綜合時(shí)概念不準(zhǔn)確；不善于用光路圖對(duì)動(dòng)態(tài)過(guò)程作分析。

例1 波長(zhǎng)為0.65μm的紅光，從空氣射入水中，水相對(duì)空氣的折射率為1.33。求該光在水中的波長(zhǎng)，并判斷在水中該光的顏色。

【錯(cuò)解】

得波長(zhǎng)0.49μm的光是藍(lán)色?！惧e(cuò)解原因】

上述求得光在水中的波長(zhǎng)為0.49μm是正確的，但用光譜表查得光的顏色卻錯(cuò)了。人眼對(duì)光的色覺(jué)決定于光的頻率而不是波長(zhǎng)。

【分析解答】

當(dāng)光從一種媒質(zhì)進(jìn)入另一種媒質(zhì)時(shí)，波長(zhǎng)變化了，波速也相應(yīng)變化了，但它的頻率卻不變。所以在水中該光仍是紅色。

【評(píng)析】 物理規(guī)律的因果關(guān)系是有條件的，記憶規(guī)律時(shí)應(yīng)該首先弄清規(guī)律成立的條件。凡是波，無(wú)論是機(jī)械波還是電磁波，只要振源的頻率不變，波的頻率就不變。例2 一束白光從玻璃里射入稀薄空氣中，已知玻璃的折射率為1.53，求入射角為下列兩種情況時(shí)，光線的折射角各為多少？

（1）入射角為50”（2）入射角為30° 【錯(cuò)解】

r=30°3′

r=19°4′ 【錯(cuò)解原因】

此解法中沒(méi)有先分析判斷光線是從光疏媒質(zhì)進(jìn)入光密媒質(zhì)，還是從光密媒質(zhì)進(jìn)入光疏媒質(zhì)，會(huì)不會(huì)發(fā)生全反射。而是死套公式，引起錯(cuò)誤。

【分析解答】

光線由玻璃里射入空氣中，是由光密媒質(zhì)射入光疏媒質(zhì)，其臨界角為

由已知條件知，當(dāng)i=50°時(shí)，i＞A，所以光線將發(fā)生全反射，不能進(jìn)入空氣中。當(dāng)i=30°時(shí)，i＜A，光進(jìn)入空氣中發(fā)生折射現(xiàn)象。

sinr=n·sini=1.53×sin30°=0.765 r= 49°54′ 【評(píng)析】

解光的折射現(xiàn)象的題目時(shí)，首先應(yīng)做出判斷：光線是從光疏媒質(zhì)進(jìn)入光密媒質(zhì)，還是光線是從光密媒質(zhì)進(jìn)入光疏媒質(zhì)。如是前者則i＞r，如是后者則i＜r。其次，如果是從光密媒質(zhì)進(jìn)入光疏媒質(zhì)中，還有可能發(fā)生全反射現(xiàn)象，應(yīng)再判斷入射角是否大于臨界角，明確有無(wú)折射現(xiàn)象。

例3 光從玻璃射入空氣里時(shí)傳播方向如圖13－l所示，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出入射角和折射角。

【錯(cuò)解】

如圖 13－2所示，α為入射角，β為折射角?！惧e(cuò)解原因】

錯(cuò)解原因一是受思維定勢(shì)的影響，不加分析地認(rèn)定玻璃與空氣總是上下接觸的；二是對(duì)光的折射及其規(guī)律未吃透，將題設(shè)文字條件與圖形條件結(jié)合起來(lái)的分析能力差。根據(jù)光的折射規(guī)律，光從水或玻璃等透明物質(zhì)射入空氣里時(shí)，折射角大于入射角，題設(shè)文字條件是“從玻璃射入空氣”，因此折射角大于入射角，再結(jié)合題設(shè)所給圖形，可知CD為界面，AB為法線。

【分析解答】

如圖 13－3所示，α′為入射角，β′折射角（CD左面為玻璃，右面為空氣）。

【評(píng)析】

解光的折射現(xiàn)象的題目，首先應(yīng)對(duì)光線是從光疏媒質(zhì)進(jìn)入光密媒質(zhì)呢？還是光線是從光密媒質(zhì)進(jìn)入光疏媒質(zhì)作出判斷。為了保證你每次做題時(shí)，能夠不忘判斷，建議同學(xué)們做光的折射題時(shí)，先畫(huà)出光路圖，標(biāo)出入射光線和出射光線的方向，在界面處標(biāo)出哪一個(gè)是光密媒質(zhì)，哪一個(gè)是光疏媒質(zhì)。然后再解題。例4 如圖13－4所示，放在空氣中折射率為n的平行玻璃磚，表面M和N平行，P，Q兩個(gè)面相互平行且與M，N垂直。一束光射到表面M上（光束不與M平行），則：

A．如果入射角大于臨界角，光在表面M發(fā)生全反射。B．無(wú)論入射角多大，光在表面M都不會(huì)發(fā)生全反射。C．光可能在表面N發(fā)生全反射。

D．由于M與N平行，光只要通過(guò)M就不可能在表面N發(fā)生全反射?！惧e(cuò)解】

光束從空氣中射到玻璃磚表面M上，是由光疏媒質(zhì)到光密媒質(zhì)，不可能發(fā)生全反射，而從表面N射出空氣，是由光密媒質(zhì)到光疏媒質(zhì)，光可能發(fā)生全反射，故選B，C。

【錯(cuò)解原因】 機(jī)械地記住光從光密媒質(zhì)到光疏媒質(zhì)，可能發(fā)生全反射，而不具體分析光通過(guò)表面M后射到N表面光線的入射角的大小是否大于臨界角，而錯(cuò)選C。

【分析解答】

如圖13-5所示，光射到表面M的入射角為i(i≠90°)折射角為r，面N，因M∥N，故其入射角i′=r＜C。即光只要通過(guò)M即不可能在表面N發(fā)生折射。

若光通過(guò)M先射到MN面再射到P面（如圖13－6），同樣可以證明經(jīng)P面發(fā)生反射，反射光線射至N面時(shí)，由幾何關(guān)系可以證明入射角i′=r，根據(jù)折射定律折射角r′=i，同樣不可能發(fā)生全反射。故應(yīng)選B，D。

【評(píng)析】

同一個(gè)初始條件可能有若干個(gè)不同結(jié)果。這是對(duì)考生思維能力的考查。本題中，當(dāng)光線射到M上，發(fā)生折射。以A為分界點(diǎn)，入射點(diǎn)在AC之間，光線先要到達(dá)P界面，所以一定先要討論光線在P界面上的行為。光線在P界面一定會(huì)發(fā)生反射現(xiàn)象，是否發(fā)生折射要看入射角是否大于臨界角。由于此問(wèn)題與本題無(wú)關(guān)所以可以不討論它。如果試題提出光線在P界面的行為時(shí)，就要認(rèn)真討論。結(jié)論是：入射到M面光線的入

例5：如圖13－7所示，有一長(zhǎng)方形的玻璃磚，內(nèi)有一個(gè)凸型空氣泡，某學(xué)生用這個(gè)玻璃磚來(lái)做光學(xué)實(shí)驗(yàn)。當(dāng)一平行光束通過(guò)玻璃磚時(shí)，光在空氣泡中發(fā)生的現(xiàn)象是：

A．這一平行光束在空氣泡中將不改變?cè)瓉?lái)的方向。B．這一平行光束在空氣泡中將發(fā)生會(huì)聚。C．這一平行光束在空氣泡中將發(fā)生發(fā)散。D．無(wú)法確定。

【錯(cuò)解】

不少學(xué)生看里面是一個(gè)凸型氣泡，認(rèn)為光線經(jīng)過(guò)的是凸透鏡，故最終成為一束會(huì)聚光線，應(yīng)選B。

【錯(cuò)解原因】

對(duì)透鏡的作用不清楚，而是簡(jiǎn)單地由鏡子的形狀來(lái)判斷它對(duì)光線的作用種類，認(rèn)為凸型空氣泡與平時(shí)用的玻璃凸透鏡形狀一樣．便認(rèn)為空氣泡透鏡對(duì)光線的作用與玻璃透鏡的作用效果相同。

【分析解答】

設(shè)想在圖13－7中，沿AB方向把玻璃磚等分為二，即成為圖13－8中情形，顯然該束光經(jīng)過(guò)的是一凹透鏡。由光學(xué)知識(shí)可知，凹透鏡對(duì)光線有發(fā)散作用，則平行光束在空氣泡中將發(fā)生發(fā)散，故應(yīng)選C。

【評(píng)析】

更基本的方法是畫(huà)一條入射光線到空氣透鏡的前表面，用作圖法來(lái)判斷光線經(jīng)過(guò)透鏡之后的行為。光線從玻璃進(jìn)入空氣，由光密媒質(zhì)進(jìn)入光疏媒質(zhì)，折射角大于入射角，折射光線遠(yuǎn)離法線，出射光線是發(fā)散的?？梢?jiàn)“凸透鏡對(duì)光線的作用是會(huì)聚的”這個(gè)結(jié)論是有條件的。條件是透鏡材料的折射率大于周圍環(huán)境的折射率。

例6：如圖13-9，P為發(fā)光點(diǎn)，MN為平面鏡，那么在MN與P之間放上不透明擋板Q后，像的亮度變化情況是__________(填“變亮”或“變暗”或“不變”)。【錯(cuò)解】

在MN與P之間放上不透明擋板Q后，必然會(huì)使從P點(diǎn)發(fā)出的光被擋板擋住部分，所以像的亮度會(huì)變暗。

【錯(cuò)解原因】

選錯(cuò)的同學(xué)是將此類問(wèn)題與在發(fā)光點(diǎn)S與透鏡之間放一擋板的情況混為一談了。若是凸透鏡，如圖13－10，發(fā)光點(diǎn)S發(fā)出并且到達(dá)凸透鏡上的那部分光線，經(jīng)折射后必然全部相交于實(shí)像點(diǎn)S1，而當(dāng)如圖13-11所示的凸透鏡下半部分(或其上任何一部分)放上擋板B后，S發(fā)出并且到達(dá)擋板B的光線就會(huì)被反射和吸收不能透過(guò)凸透鏡經(jīng)折射到達(dá)實(shí)像點(diǎn)S2，使得相交于S2像點(diǎn)的光線大大減少了，顯然由于放上了B，S2點(diǎn)變暗了，而平面鏡則不同了。

【分析解答】

所不同的是，圖13-12中發(fā)光點(diǎn)P在平面鏡中所成的是虛像點(diǎn)P＇。眼睛之所以能看到P＇，是因?yàn)镻發(fā)出的光線，在平面鏡MN上發(fā)生反射并且進(jìn)入人眼睛。人按照平時(shí)形成的觀察習(xí)慣，逆著進(jìn)入眼睛的這些反射光線看到鏡后的虛像點(diǎn)P＇，P＇就是進(jìn)入人眼睛的光線反向延長(zhǎng)線的相交點(diǎn)，顯然P＇像點(diǎn)的亮度取決于眼睛的某一位置觀察時(shí)進(jìn)入其中的光線多少與強(qiáng)弱。

如圖(13-12)所示，無(wú)放擋板時(shí)，眼睛在M1N1與M1＇N1′所包圍的空間區(qū)域內(nèi)均可看到P′點(diǎn)。放上擋板后，在圖中的陰影部分A或B區(qū)域內(nèi)(即在M1Nl和M2N2與M1′N1′和M2′N2′所包圍的區(qū)域)，進(jìn)入眼睛的光線多少?gòu)?qiáng)弱與未放入擋板時(shí)相比保持不變。因?yàn)樵跊](méi)有放上擋板時(shí)，通過(guò)擋板所在位置的那部分光線經(jīng)平面鏡后，同樣不能進(jìn)入處于A，B區(qū)域內(nèi)的眼睛，這樣對(duì)進(jìn)入A，B區(qū)域內(nèi)的光線多少與強(qiáng)弱并不能做出貢獻(xiàn)。也就是說(shuō)，擋板放上后，對(duì)在A，B區(qū)域內(nèi)眼睛，能否看到像及看像的亮度都不會(huì)產(chǎn)生任何影響。當(dāng)然此時(shí)A，B區(qū)域外再也看不到P的像點(diǎn)P′了。因此，在發(fā)光點(diǎn)與平面鏡之間放上不透明擋板后，觀察到的像的亮度是不變的，變化的是像的觀察范圍，而且是明顯變小了。

【評(píng)析】

幾何光學(xué)把光理想化為光線，用幾何的方法研究光在介質(zhì)中的行為?？偨Y(jié)出光的直進(jìn)、反射和折射三大規(guī)律。所以用幾何光學(xué)規(guī)律解決實(shí)際問(wèn)題，應(yīng)先畫(huà)光路圖再做具體分析。這不僅是按照規(guī)律辦事的的起碼要求，也是保證做題正確的手段。

例7 用一個(gè)放大鏡觀察細(xì)小的物體，若物體距鏡2cm遠(yuǎn)時(shí)，將看到一個(gè)放大3倍的像，求此放大鏡的焦距是多少？

【錯(cuò)解】

v= mu=3×2＝6(cm)

【錯(cuò)解原因】

對(duì)題目中給的條件分析不夠，題目中“通過(guò)放大鏡看到一個(gè)像”這句話屬于隱蔽的已知條件，暗示了像和物在同側(cè)．說(shuō)明成虛像即像距為負(fù)值。而此解法恰好沒(méi)有注意到這一點(diǎn)，而是不加分析地當(dāng)作實(shí)像處理，簡(jiǎn)單代入公式求解，出現(xiàn)了問(wèn)題。

【分析解答】

由于像與物在放大鏡的同一側(cè)。因此，是一個(gè)虛像，v為負(fù)值。

【評(píng)析】

胸有成竹說(shuō)的是沒(méi)畫(huà)之前，畫(huà)家的頭腦里就有了一幅活生生的情境。理解題意也和畫(huà)畫(huà)的道理相同，看到一個(gè)物理問(wèn)題，先要將文字?jǐn)⑹龅奈锢砬榫诚胂蟪鰜?lái)，然后再進(jìn)一步解題。本題如果先依據(jù)題意畫(huà)一幅光路圖就對(duì)像距的虛實(shí)一目了然。

例8 高9cm的物體在凸透鏡前某一位置時(shí)，在屏上得到高3cm的像。將此物向透鏡移近50cm時(shí)，則得放大率是3的正像。求此凸透鏡的焦距？

【錯(cuò)解】

設(shè)此凸透鏡焦距為f，第一次成像物距為u1，像距為vl。兩次成像的放大率各為K1和K2。由成像公式

【錯(cuò)解原因】

上述解法不加分析地把兩次成像都當(dāng)作實(shí)像處理，得出了錯(cuò)誤的結(jié)果?！痉治鼋獯稹?由透鏡成像公式

第一次成像為實(shí)像

第二次成像為虛像

【評(píng)析】

應(yīng)用透鏡成像公式時(shí)，一定要注意判斷像的性質(zhì)，若像距v＞0，為實(shí)像；若像距v＜0，為虛像。要想避免出現(xiàn)本題類似的錯(cuò)誤。得在審題上狠下功夫。得在理解詞語(yǔ)的物理意義上動(dòng)腦筋。本題文中說(shuō)：“在屏上得到高3cm的像”則這個(gè)像一定是實(shí)像。題文中又說(shuō)：“將此物向透鏡移近50cm時(shí)，則得放大率是3的正像”這段話中，像的前面有定語(yǔ)“正”字，其物理意義是“成虛像”，像距應(yīng)取負(fù)值。

一般常見(jiàn)的描述像的性質(zhì)的定語(yǔ)、狀語(yǔ)有：

像的定語(yǔ)：實(shí)像、虛像、正像、倒像、放大的像、縮小的像、放大的倒立的像、放大的正立的像、縮小的正立像、縮小的倒立像等。

像的狀語(yǔ)：像與物同側(cè)、像與物異側(cè)，成像在焦點(diǎn)以外、成像在焦點(diǎn)以內(nèi)等。把這些修飾詞的物理含義準(zhǔn)確地再現(xiàn)出來(lái)可以正確地理解題意，避免犯一些“沒(méi)看清楚題意”之類的低級(jí)錯(cuò)誤。例9 用凸透鏡成像時(shí)，當(dāng)物體從極遠(yuǎn)處沿著主軸移向透鏡時(shí)，像朝什么方向移動(dòng)？像移動(dòng)的速度比物體移動(dòng)的速度怎樣？

【錯(cuò)解】

由凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)知道，物體從極遠(yuǎn)處沿著鏡軸移向透鏡時(shí)，像從透鏡向遠(yuǎn)離透鏡方向移動(dòng)，移動(dòng)速度與物體速度相同。

【錯(cuò)解原因】

上述解法錯(cuò)在對(duì)成像過(guò)程只有表面局部認(rèn)識(shí)，想當(dāng)然地得出了結(jié)論?！痉治鼋獯稹?/p>

凸透鏡成像的討論中，透鏡焦點(diǎn)和二倍焦距處是轉(zhuǎn)折點(diǎn)，應(yīng)仔細(xì)觀察實(shí)驗(yàn)結(jié)果，認(rèn)真進(jìn)行分析，切忌片面。像移動(dòng)速度與物體移動(dòng)速度的比較，決定于像移動(dòng)距離和物體應(yīng)移動(dòng)的距離之比。

由實(shí)驗(yàn)知道，物體由極遠(yuǎn)處沿著鏡軸移向透鏡時(shí)，應(yīng)分三個(gè)階段討論：(1)物體從極遠(yuǎn)移向凸透鏡二倍焦距地方，像從透鏡另一側(cè)焦點(diǎn)處移向二倍焦距地方，在此區(qū)間像移動(dòng)速度小于物體移動(dòng)速度。

(2)物體從凸透鏡二倍焦距處移動(dòng)向焦點(diǎn)時(shí)，像從透鏡另一側(cè)二倍焦距處移向極遠(yuǎn)，在此區(qū)間像移動(dòng)速度大于物體移動(dòng)速度。(3)物體從凸透鏡焦點(diǎn)處移向透鏡光心時(shí)，像和物同側(cè)，是放大虛像，像移動(dòng)的速度大于物體移動(dòng)速度。

例10 一焦距為f的凸透鏡，主軸和水平的X軸重合，X軸上有一光點(diǎn)位于透鏡的左側(cè)，光點(diǎn)到透鏡的距離大于f而小于2f，若將此透鏡沿X軸向右平移2f的距離，則在此過(guò)程中，光點(diǎn)經(jīng)透鏡所成的像點(diǎn)將

A．一直向右運(yùn)動(dòng)。B．一直向左運(yùn)動(dòng)。

C．先向左運(yùn)動(dòng)，接著向右運(yùn)動(dòng)。D．先向右運(yùn)動(dòng)，接著向左運(yùn)動(dòng)?！惧e(cuò)解】

由于透鏡沿X軸向右平移，使物距增大，由于凸透鏡是確定的，故焦距一定，而物距增大，像距必然減小，透鏡向右移，可等效為鏡不動(dòng)而物向左移，物像應(yīng)同方向移動(dòng)，所以像也應(yīng)向左移，所以選B。

【錯(cuò)解原因】

物像同方向移動(dòng)的規(guī)律僅適用于鏡不動(dòng)而物移動(dòng)或像移動(dòng)的問(wèn)題。此題是物不動(dòng)而鏡移動(dòng)。再用常規(guī)解題就會(huì)出現(xiàn)問(wèn)題。

【分析解答］

用物體間距變化的規(guī)律去分析，該題馬上由難轉(zhuǎn)易，根據(jù)題設(shè)條件，在透鏡向右移動(dòng)2f距離的過(guò)程中，物點(diǎn)到透鏡的距離由大于f而小于2f增大到 2f，再增大到大于2f，則物像間距應(yīng)先減小后增大，由于物點(diǎn)靜止不動(dòng)，像點(diǎn)應(yīng)先向左移動(dòng)，接著向右移動(dòng)，得正確答案C。

【評(píng)析】

此題告訴我們，不管適用條件照搬以前做過(guò)的題的解法，“以不變應(yīng)萬(wàn)變”是要誤事的。要全面分析問(wèn)題，應(yīng)用物像間的變化規(guī)律去分析在透鏡成實(shí)像的情況下，當(dāng)物距u由∞→2f的過(guò)程中，由于m＜1，像的速度小于物體移動(dòng)的速度，物像間距變小；當(dāng)物距u由2f→f過(guò)程中，由于m＞1，像的速度大于物體的速度，物像間距變大；在u=2f時(shí)，v=2f，物像間距具有最小值4f。掌握上述規(guī)律不但進(jìn)一步加深了對(duì)透鏡成像規(guī)律的理解，而且還可以更方便地求解一些光學(xué)問(wèn)題。

例11 如圖13－13所示，一線狀發(fā)光物體AB，其A端恰在焦距為f的薄凸透鏡前主光軸上2倍焦距處，AB與主光軸成α角，AB經(jīng)透鏡成像，A′B′與主光軸成β角，則β，α的大小關(guān)系： A． β＞α B． β＜α C． P＝α D．無(wú)法確定。【錯(cuò)解】

根據(jù)凸透鏡成像規(guī)律，當(dāng)物距u=2f時(shí)，則像距v=2f。若物距u＞2f，則像距為f＜v＜2f，并成縮小的像，所以A發(fā)光點(diǎn)在2f上，則通過(guò)透鏡后必過(guò)主光軸上距透鏡2f的A′點(diǎn)，發(fā)光體的B點(diǎn)在2f之外，則經(jīng)過(guò)透鏡后，像點(diǎn)B′應(yīng)變得離主光軸近了，并且離鏡2f－f之間。像A′B′與主光軸所成的夾角β與AB與主光軸所成的夾角α由于幾何關(guān)系不清，無(wú)法判斷。故選D。

【錯(cuò)解原因】

只是將凸透鏡成像的規(guī)律記住了，機(jī)械性使用。而對(duì)凸透鏡成像原理不清楚所造成的，不能靈活地去分析和正確地畫(huà)出成像圖，這是造成錯(cuò)解的原因。

【分析解答】

我們利用一條特殊光線來(lái)進(jìn)行巧解。眾所周知，凸透鏡成像，當(dāng)物距u=2f時(shí)，對(duì)應(yīng)的像距v=2f，因此，從凸透鏡主光軸上的發(fā)光點(diǎn) A(A距透鏡2f)發(fā)出的一條光線AC(AC與BA在同一條直線上)，經(jīng)過(guò)透鏡后的光線 CC′必過(guò)主光軸上距透鏡2f的A′點(diǎn)。顯然，從發(fā)光點(diǎn)B發(fā)出的光線BC經(jīng)透鏡后的光線必為CC′，且B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的像點(diǎn)B’點(diǎn)在CC′上，因?yàn)镃C′既過(guò)A′點(diǎn)，又過(guò)B′點(diǎn)，所以CC′與B′A′必在同一條直線上，如圖13－14所示。在直角三角形COA′與直角三角形COA中，CO為公共邊，OA′=OA。因此，這兩個(gè)直角三角形全等。設(shè)∠OAC=θ ∴β=θ＝α。

順便指出，本題中B，O，B′必在同一條直線上。

例12(1989年高考題)把一個(gè)點(diǎn)光源放在焦距為f的凸透鏡的焦點(diǎn)上，在透鏡的另一側(cè)2倍焦距處放一個(gè)垂直于主軸的光屏，在光屏上看到一個(gè)半徑為R的光亮的圓?，F(xiàn)保持透鏡和光屏不動(dòng)，而在主軸上移

位置上？

【錯(cuò)解】

【錯(cuò)解原因】

亮斑，如圖13－15所示。亮斑的位置和物距不滿足透鏡成像公式。【分析解答】

因?yàn)樘幵诮裹c(diǎn)的點(diǎn)光源發(fā)出的光線，經(jīng)透鏡折射后平行于主軸。所

像前(圖13－15)，或者會(huì)聚成像后形成的(圖13-16)，所以，由圖13-15的幾何關(guān)系可知 v=4f，再由透鏡成像公式可求得：

【評(píng)析】

畫(huà)出光路圖，才能正確求解幾何光學(xué)題。

例13(1993年高考題)某人透過(guò)焦距為10cm、直徑為4.ocm的薄凸透鏡觀看方格紙，每個(gè)方格的邊長(zhǎng)均為0.30cm，它使透鏡的主軸與方格紙垂直，透鏡與紙面相距10cm，眼睛位于透鏡主軸上離透鏡5.ocm處，問(wèn)他至多能看到同一行上幾個(gè)完整的方格？

【錯(cuò)解】

不少人認(rèn)為，和主軸垂直且處在焦點(diǎn)的方格紙，經(jīng)過(guò)透鏡不能成像，或者說(shuō)像成在無(wú)窮遠(yuǎn)處，從而得出位于主軸上離透鏡5.ocm處的人眼看不到方格紙，或者此題無(wú)解的錯(cuò)誤答案。

【錯(cuò)解原因】

處在焦點(diǎn)的方格紙不能成像，或者說(shuō)成像在無(wú)窮遠(yuǎn)的結(jié)論是正確的。但由此絕不能推出人眼看不到方格紙，或者此題無(wú)解的結(jié)論。人眼也是個(gè)光學(xué)器件。平行光通過(guò)眼睛的晶狀體在視網(wǎng)膜上成像為一個(gè)點(diǎn)。比如人們戴上老花鏡(即薄凸透鏡)，完全能夠清楚地看到處在老花鏡焦點(diǎn)上的物體。

【分析解答】 把“人眼通過(guò)透鏡能看到方格紙”這句生活語(yǔ)言，轉(zhuǎn)化成物理語(yǔ)言應(yīng)為“從方格紙射出的光線，經(jīng)過(guò)透鏡折射后能進(jìn)入人眼”。根據(jù)光路可逆原理，我們?cè)侔选皬姆礁窦埳涑龅墓饩€，經(jīng)過(guò)透鏡折射后，能進(jìn)入人眼”轉(zhuǎn)化成“從人眼所在處的點(diǎn)光源發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)透鏡折射后，能在方格紙上形成亮斑”，亮斑的大小取決于透鏡的大小、像距、屏的位置，如圖13－17所示，其中像距可由透鏡成像公式求得，即：

由圖中的幾何關(guān)系可得，亮斑的直徑為：

進(jìn)而可求得亮斑的直徑上的完整方格數(shù)為：

也就是說(shuō)，人眼透過(guò)透鏡至多能看到同一行的方格數(shù)為26?！驹u(píng)析】

理解題意比解題還重要。當(dāng)年不少的考生就因?yàn)樽x不懂題而失分。讀不懂題的原因在于沒(méi)有將題目所敘述的具體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一種物理模型。

例14 如圖13-18所示，在焦距為10cm的凸透鏡的焦點(diǎn)上有點(diǎn)光源S。若使透鏡以垂直于主光軸并過(guò)光心的直線為軸轉(zhuǎn)過(guò)37°角。求此點(diǎn)光源到它的像之間的距離(sin37°=0.6，cos37°=0.8)。

【錯(cuò)解】

透鏡轉(zhuǎn)動(dòng)后，發(fā)光點(diǎn)到透鏡距離：

u=f·cosθ=8(cm)由透鏡成像公式：

得

所以像物間距離

對(duì)透鏡成像公式中的物理量，物距u、像距v、焦距f，這些概念理解不夠。u，v，f應(yīng)均是物垂直于透鏡的距離，而不是到透鏡光心的距離。

【分析解答】

在透鏡成像公式中，u，v，f均是物垂直于透鏡的距離，而不是到透鏡光心的距離。透鏡轉(zhuǎn)過(guò)后，所得的像距是相對(duì)于新的透鏡位置的垂直距離。由透鏡成像規(guī)律知該像仍在原主光軸MN上。如圖13-19所示，離光心的距離：

所以像物問(wèn)距離：

L＝v′-u=40(cm)【評(píng)析】

從本題的正誤比較中，我們發(fā)現(xiàn)基本概念必須準(zhǔn)確。我們還發(fā)現(xiàn)主軸的作用。物距、像距都可以先把物點(diǎn)、像點(diǎn)投影到主軸上，投影點(diǎn)到光心的距離就是物距、像距。如果在轉(zhuǎn)動(dòng)透鏡的同時(shí)也轉(zhuǎn)動(dòng)主軸，并將發(fā)光點(diǎn)投影到新的主軸上，如圖所示M′N′。新的物距在一倍焦距之內(nèi)，可用幾何關(guān)系求出新的物距。完成了對(duì)新的物理情境的調(diào)查研究，解決問(wèn)題的方法也就有了。

第三篇：數(shù)學(xué)易錯(cuò)題論文

中學(xué)數(shù)學(xué)易錯(cuò)題本的整理探究

一、建立數(shù)學(xué)錯(cuò)題本

錯(cuò)題本是對(duì)自身錯(cuò)誤的系統(tǒng)匯總。其實(shí)，這也是一個(gè)關(guān)于統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題，現(xiàn)實(shí)生活中統(tǒng)計(jì)的效用是相當(dāng)重要的。當(dāng)我們把錯(cuò)誤匯總在一起時(shí)，就會(huì)很容易看出其中的規(guī)律性。比如，我們將數(shù)學(xué)錯(cuò)題本上的問(wèn)題總覽一下，可能很容易發(fā)現(xiàn)，一遇到數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，自己就很容易出錯(cuò)，那么，我們對(duì)這部分的基礎(chǔ)就應(yīng)加強(qiáng)!很多學(xué)習(xí)比較浮躁的學(xué)生滿足于知道自己這道題錯(cuò)了，但是，認(rèn)識(shí)往往不是很深。有時(shí)，即使讓他重新做一遍原來(lái)的題目，可能還是拿不到滿分，其關(guān)鍵是步驟和過(guò)程。這時(shí)，建立錯(cuò)題本，將錯(cuò)題抄錄下來(lái)，并重新分步解出就顯得很有檢驗(yàn)效果了，同時(shí)具有鞏固作用。

錯(cuò)題本不是簡(jiǎn)單地將題目和答案抄錄下來(lái)，重要的是分析出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因和預(yù)防類似錯(cuò)誤出現(xiàn)的方法。這是一個(gè)自身逐漸學(xué)習(xí)和修正的過(guò)程，會(huì)讓自己對(duì)這一類錯(cuò)題的認(rèn)識(shí)逐步加深。同時(shí)，對(duì)于一些題目冗長(zhǎng)的錯(cuò)誤，大家可以采取一些簡(jiǎn)單有效的做法。比如，由父母幫助抄錄題目，但是由學(xué)生自己重新解題并總結(jié)；或?qū)⒂嘘P(guān)試卷復(fù)印，然后剪切錯(cuò)誤的題目并粘貼在錯(cuò)題本上等等。

建議大家在錯(cuò)題本上完善幾個(gè)功能，讓“錯(cuò)”變得非常清晰。比如：標(biāo)注出“概念錯(cuò)誤”“思路錯(cuò)誤”“理解錯(cuò)誤”“審題馬虎”等錯(cuò)誤原因；標(biāo)注出“錯(cuò)誤知識(shí)點(diǎn)”：方程、函數(shù)、變換等；標(biāo)注出“同類錯(cuò)誤”：第幾頁(yè)、第幾題等等。另外，針對(duì)自己常犯的錯(cuò)誤，給自己出幾道題目，考查自己對(duì)概念掌握、條件運(yùn)用和知識(shí)結(jié)合的理解程度。

二、學(xué)生易錯(cuò)題的收集的方法。

1、課堂上，老師會(huì)有意識(shí)的安排一些新課新知識(shí)點(diǎn)中的容易搞混淆的問(wèn)題，學(xué)生就要相應(yīng)有意識(shí)地跟進(jìn)這一步，應(yīng)該讓學(xué)生注意聽(tīng)課的方式方法；

2、習(xí)題中，讓學(xué)生完成作業(yè)的時(shí)候，在做習(xí)題的時(shí)候，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，在書(shū)寫方面也應(yīng)注意“寫法”指導(dǎo)，要求學(xué)生書(shū)寫格式要規(guī)范、條理要清楚．作業(yè)的書(shū)寫在一定程度反映了學(xué)生的思維水平；

3、考試后，對(duì)于一些易錯(cuò)題，要求學(xué)生備有錯(cuò)題集，寫出自己錯(cuò)誤的解題思路和正確的解題過(guò)程，兩者一起比較找出自己的錯(cuò)誤所在，以便及時(shí)更正．除此之外，還應(yīng)該讓學(xué)生總結(jié)相似類型的題目，收集典型錯(cuò)誤和不會(huì)的題目。

三、整理數(shù)學(xué)錯(cuò)題本

每次考試中，同學(xué)們都會(huì)有不少題目做錯(cuò)，在這些錯(cuò)題的背后，往往是學(xué)習(xí)時(shí)所產(chǎn)生的知識(shí)漏洞。那么，如何彌補(bǔ)這些漏洞呢?有效整理錯(cuò)題本是解決這一問(wèn)題的最佳措施。

常見(jiàn)的錯(cuò)題本有三種類型：一是訂正型，即將所有錯(cuò)題的題目都抄下來(lái)，并做出訂正；二是匯總型，將所有錯(cuò)題按課本的章節(jié)順序進(jìn)行分類整理；三是糾錯(cuò)型，即將錯(cuò)題按錯(cuò)誤的原因進(jìn)行分類整理?，F(xiàn)在介紹一種新的錯(cuò)題本——活頁(yè)型錯(cuò)題本，其整理步驟如下： 1.分類整理

將所有錯(cuò)題分類整理，分清錯(cuò)誤的原因：概念模糊類、粗心大意類、顧此失彼類、圖形類、技巧類、新概念類、數(shù)學(xué)思想類等等，并將各題注明屬于某一章某一節(jié)，這樣分類的優(yōu)點(diǎn)在于既能按錯(cuò)因查找，又能按各章節(jié)易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)查找，同時(shí)也簡(jiǎn)化了錯(cuò)題本，整理時(shí)同一類型問(wèn)題只記錄典型問(wèn)題。2.記錄方法

在試卷講評(píng)時(shí)，要注意老師對(duì)錯(cuò)題的分析講解，該題的引入語(yǔ)、解題的切人口、突破思路的方法、解題的技巧、規(guī)范步驟及小結(jié)等等。并在該錯(cuò)題的一邊注釋，寫出自己解題時(shí)的思維過(guò)程，暴露出自己思維障礙產(chǎn)生的原因。這種記錄方法開(kāi)始時(shí)，學(xué)生可能覺(jué)得較困難或?qū)懖怀?，但不必?qiáng)行要求自己，初始階段可先用自己的語(yǔ)言寫出小結(jié)即可，總結(jié)多了，自然會(huì)有心得體會(huì)，漸漸認(rèn)清思維的種種障礙。3.必要補(bǔ)充

前面的工作僅是一個(gè)開(kāi)始，最重要的工作還在后面，對(duì)錯(cuò)題不一定訂正得非常完美。對(duì)于每一個(gè)錯(cuò)題，必須要查找資料或課本，找出與之相同或相關(guān)的題型，并作出解答。如果還是不能解決，則對(duì)于這一問(wèn)題的處理再深入一些。4.錯(cuò)題改編

這一工作難度較大，解題經(jīng)驗(yàn)豐富的同學(xué)可能做起來(lái)比較順利。因?yàn)槊康涝囶}都是由老師編寫出來(lái)的，作為學(xué)生，當(dāng)然要能學(xué)會(huì)如何去改，這是彌補(bǔ)知識(shí)漏洞的最佳方法。初始階段，同學(xué)們只需對(duì)題目條件做一點(diǎn)改動(dòng)。5.活頁(yè)裝訂 將錯(cuò)題本按自己的風(fēng)格進(jìn)行編碼、裝訂，由于每頁(yè)不固定，故每次查閱時(shí)還可及時(shí)更換或補(bǔ)充。

在整理錯(cuò)題本時(shí)，一定要有恒心和毅力，不能只為完成任務(wù)，整理時(shí)不要在乎時(shí)間多少，重要的是通過(guò)整理錯(cuò)題本，你將學(xué)會(huì)如何學(xué)數(shù)學(xué)、如何研究數(shù)學(xué)，真正做到“吃一塹長(zhǎng)一智”。一本好的錯(cuò)題本就是自己知識(shí)漏洞的題典，平時(shí)要注意及時(shí)整理與總結(jié)，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)錯(cuò)題本就是你最重要的復(fù)習(xí)資料，一定要多看，隔一段時(shí)間可以加長(zhǎng)一點(diǎn)，這樣就能夠起到很好的復(fù)習(xí)效果。每位同學(xué)錯(cuò)題本不盡相同，但其他同學(xué)的錯(cuò)題本中的優(yōu)點(diǎn)也是可以借鑒的，所以同學(xué)們平時(shí)也要注意相互之間的交流。

四、使用數(shù)學(xué)錯(cuò)題本 1.指導(dǎo)方法，訓(xùn)練思維

審閱錯(cuò)題本時(shí)，我們總要細(xì)心分析每個(gè)學(xué)生的錯(cuò)題特點(diǎn)，對(duì)癥指導(dǎo)培養(yǎng)習(xí)慣。既啟發(fā)學(xué)生弄清題目的要求，又指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)分析錯(cuò)題的方法，要求學(xué)生認(rèn)真分析錯(cuò)題，訓(xùn)練了學(xué)生思維的條理性，克服了思維混亂現(xiàn)象。

2.全面掌握，有效補(bǔ)救

學(xué)生做錯(cuò)題以后，在作業(yè)上訂正，時(shí)間長(zhǎng)了就淡忘了，換了作業(yè)本，更是無(wú)從稽查，學(xué)生心中無(wú)數(shù)，老師心中也無(wú)數(shù)，后來(lái)的復(fù)習(xí)補(bǔ)救就沒(méi)有了依據(jù)。使用錯(cuò)題本以后，每個(gè)學(xué)生的錯(cuò)題都集中到一起，這就等于建立了臺(tái)賬，師生復(fù)習(xí)就有了準(zhǔn)確的依據(jù)。平時(shí)指導(dǎo)學(xué)生訂正分析時(shí)，將錯(cuò)誤類型相同的放在一起，找出共因，采取相應(yīng)的補(bǔ)救方法。單元和期中、期末復(fù)習(xí)時(shí)，指導(dǎo)學(xué)生將錯(cuò)題全面分類，這樣學(xué)生就可以更好地掌握方法，減輕負(fù)擔(dān)，提高效果，從而體會(huì)到錯(cuò)題本的優(yōu)越性。

3.了解學(xué)情，有針對(duì)性

對(duì)教師而言，使用錯(cuò)題本還可分析出不同學(xué)生和整體教學(xué)存在問(wèn)題的傾向性，便于抓住重點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，克服過(guò)去復(fù)習(xí)時(shí)盲目亂抓的現(xiàn)象，提高了復(fù)習(xí)補(bǔ)救的針對(duì)性，學(xué)生的易錯(cuò)處就是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)所在。我們要求數(shù)學(xué)組的全體教師對(duì)這些題目進(jìn)行教學(xué)反思，不僅據(jù)此設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)題，舍棄題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，還能因此使教學(xué)思路更明確，教改步伐更堅(jiān)實(shí)。學(xué)生自己也懂得了如何依據(jù)錯(cuò)題，重點(diǎn)攻關(guān)、補(bǔ)救、反思、進(jìn)取、創(chuàng)新，各方面相得益彰

第四篇：高考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)題舉例解析

高考數(shù)學(xué)高頻易錯(cuò)題舉例解析

高中數(shù)學(xué)中有許多題目，求解的思路不難，但解題時(shí)，對(duì)某些特殊情形的討論，卻很容易被忽略。也就是在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，沒(méi)有注意轉(zhuǎn)化的等價(jià)性，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。本文通過(guò)幾個(gè)例子，剖析致錯(cuò)原因，希望能對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助。加強(qiáng)思維的嚴(yán)密性訓(xùn)練。

●

忽視等價(jià)性變形，導(dǎo)致錯(cuò)誤。

?，但

與

不等價(jià)。

【例1】已知f(x)

=

ax

+，若求的范圍。

錯(cuò)誤解法

由條件得

②×2－①

①×2－②得

+得

錯(cuò)誤分析

采用這種解法，忽視了這樣一個(gè)事實(shí)：作為滿足條件的函數(shù)，其值是同時(shí)受制約的。當(dāng)取最大（?。┲禃r(shí)，不一定取最大（?。┲?，因而整個(gè)解題思路是錯(cuò)誤的。

正確解法

由題意有,解得：

把和的范圍代入得

在本題中能夠檢查出解題思路錯(cuò)誤，并給出正確解法，就體現(xiàn)了思維具有反思性。只有牢固地掌握基礎(chǔ)知識(shí)，才能反思性地看問(wèn)題。

●忽視隱含條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

【例2】

(1)

設(shè)是方程的兩個(gè)實(shí)根，則的最小值是

思路分析

本例只有一個(gè)答案正確，設(shè)了3個(gè)陷阱，很容易上當(dāng)。

利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系易得：

有的學(xué)生一看到，常受選擇答案（A）的誘惑，盲從附和。這正是思維缺乏反思性的體現(xiàn)。如果能以反思性的態(tài)度考察各個(gè)選擇答案的來(lái)源和它們之間的區(qū)別，就能從中選出正確答案。

原方程有兩個(gè)實(shí)根，∴

T

當(dāng)時(shí)，的最小值是8；

當(dāng)時(shí)，的最小值是18。

這時(shí)就可以作出正確選擇，只有（B）正確。

(2)

已知(x+2)2+

=1,求x2+y2的取值范圍。

錯(cuò)解

由已知得

y2=－4x2－16x－12，因此

x2+y2=－3x2－16x－12=－3(x+)2+，∴當(dāng)x=－時(shí)，x2+y2有最大值，即x2+y2的取值范圍是(－∞,]。

分析

沒(méi)有注意x的取值范圍要受已知條件的限制，丟掉了最小值。

事實(shí)上，由于(x+2)2+

=1

T

(x+2)2=1－

≤1

T

－3≤x≤－1，從而當(dāng)x=－1時(shí)x2+y2有最小值1?！?/p>

x2+y2的取值范圍是[1,]。

注意有界性：偶次方x2≥0，三角函數(shù)－1≤sinx≤1，指數(shù)函數(shù)ax>0，圓錐曲線有界性等。

●忽視不等式中等號(hào)成立的條件，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤。

【例3】已知：a>0,b>0,a+b=1,求(a+)2+(b+)2的最小值。

錯(cuò)解

(a+)2+(b+)2=a2+b2+++4≥2ab++4≥4+4=8,∴(a+)2+(b+)2的最小值是8.分析

上面的解答中，兩次用到了基本不等式a2+b2≥2ab，第一次等號(hào)成立的條件是a=b=,第二次等號(hào)成立的條件是ab=，顯然，這兩個(gè)條件是不能同時(shí)成立的。因此，8不是最小值。

事實(shí)上，原式=

a2+b2+++4=（a2+b2)+(+)+4=[(a+b)2－2ab]+[(+)2－]+4

=

(1－2ab)(1+)+4，由ab≤()2=

得：1－2ab≥1－=,且≥16，1+≥17，∴原式≥×17+4=

(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)，等號(hào)成立)，∴(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是。

●不進(jìn)行分類討論，導(dǎo)致錯(cuò)誤

【例4】(1)已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求

錯(cuò)誤解法

錯(cuò)誤分析

顯然，當(dāng)時(shí)。

錯(cuò)誤原因：沒(méi)有注意公式成立的條件是。

因此在運(yùn)用時(shí)，必須檢驗(yàn)時(shí)的情形。即：。

(2)實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法

將圓與拋物線

聯(lián)立，消去，得

①

因?yàn)橛袃蓚€(gè)公共點(diǎn)，所以方程①有兩個(gè)相等正根，得，解之得

錯(cuò)誤分析

（如圖2－2－1；2－2－2）顯然，當(dāng)時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

x

y

O

圖2－2－2

x

y

O

圖2－2－1

要使圓與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是方程①有一正根、一負(fù)根；或有兩個(gè)相等正根。

當(dāng)方程①有一正根、一負(fù)根時(shí)，得解之，得

因此，當(dāng)或時(shí)，圓與拋物線有兩個(gè)公共點(diǎn)。

思考題：實(shí)數(shù)為何值時(shí)，圓與拋物線，(1)

有一個(gè)公共點(diǎn)；(2)有三個(gè)公共點(diǎn)；(3)有四個(gè)公共點(diǎn)；(4)沒(méi)有公共點(diǎn)。

●以偏概全，導(dǎo)致錯(cuò)誤

以偏概全是指思考不全面，遺漏特殊情況，致使解答不完全，不能給出問(wèn)題的全部答案，從而表現(xiàn)出思維的不嚴(yán)密性。

【例5】(1)設(shè)等比數(shù)列的全項(xiàng)和為.若，求數(shù)列的公比.錯(cuò)誤解法。

錯(cuò)誤分析

在錯(cuò)解中，由，時(shí)，應(yīng)有。

在等比數(shù)列中，是顯然的，但公比q完全可能為1，因此，在解題時(shí)應(yīng)先討論公比的情況，再在的情況下，對(duì)式子進(jìn)行整理變形。

正確解法

若，則有但，即得與題設(shè)矛盾，故.又依題意

T

T,即因?yàn)?，所以所以解?/p>

說(shuō)明

此題為1996年全國(guó)高考文史類數(shù)學(xué)試題第（21）題，不少考生的解法同錯(cuò)誤解法，根據(jù)評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)而痛失2分。

(2)求過(guò)點(diǎn)的直線，使它與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)。

錯(cuò)誤解法

設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為，則它與拋物線的交點(diǎn)為，消去得整理得

直線與拋物線僅有一個(gè)交點(diǎn)，解得所求直線為

錯(cuò)誤分析

此處解法共有三處錯(cuò)誤：

第一，設(shè)所求直線為時(shí)，沒(méi)有考慮與斜率不存在的情形，實(shí)際上就是承認(rèn)了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴(yán)密的。

第二，題中要求直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒(méi)有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對(duì)于直線與拋物線“相切”和“只有一個(gè)交點(diǎn)”的關(guān)系理解不透。

第三，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立后得一個(gè)一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項(xiàng)系數(shù)不能為零，即而上述解法沒(méi)作考慮，表現(xiàn)出思維不嚴(yán)密。

正確解法

①當(dāng)所求直線斜率不存在時(shí)，即直線垂直軸，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以即軸，它正好與拋物線相切。

②當(dāng)所求直線斜率為零時(shí)，直線為y

=

1平行軸，它正好與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)。

③一般地，設(shè)所求的過(guò)點(diǎn)的直線為,則，令解得k

=,∴

所求直線為

綜上，滿足條件的直線為：

《章節(jié)易錯(cuò)訓(xùn)練題》

1、已知集合M

=

{直線}，N

=

{圓}，則M∩N中元素個(gè)數(shù)是

A(集合元素的確定性)

(A)

0

(B)

0或1

(C)

0或2

(D)

0或1或22、已知A

=，若A∩R*

=

F，則實(shí)數(shù)t集合T

=

___。(空集)

3、如果kx2+2kx－(k+2)<0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是C(等號(hào))

(A)

－1≤k≤0

(B)

－1≤k<0

(C)

－1

(D)

－1

（A）

（B）

（C）

（D）

5、若不等式x2－logax<0在(0,)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號(hào))

(A)

[,1)

(B)

(1,+

￥)

(C)

(,1)

(D)

(,1)∪(1,2)

6、若不等式(－1)na

+對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A(等號(hào))

(A)

[－2，)

(B)

(－2，)

(C)

[－3，)

(D)

(－3，)

7、已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足：；當(dāng)時(shí)，；對(duì)于任意的實(shí)數(shù)、都有。證明：為奇函數(shù)。(特殊與一般關(guān)系)

8、已知函數(shù)f(x)

=，則函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是_____。遞減區(qū)間(－￥，－1)和(－1，+￥)

（單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間）

9、函數(shù)y

=的單調(diào)遞增區(qū)間是________。[－，－1）（定義域）

10、已知函數(shù)f

(x)=，f

(x)的反函數(shù)f

－1(x)=。

（漏反函數(shù)定義域即原函數(shù)值域）

11、函數(shù)

f

(x)

=

log

(x

+

a

x

+

2)

值域?yàn)?/p>

R，則實(shí)數(shù)

a的取值范圍是D(正確使用△≥0和△<0)

(A)

(－2,2)

(B)

[－2,2]

(C)

(－￥,－2)∪(2,+￥)

(D)

(－￥,－2]∪[2,+￥)

12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2的最小值為B(隱含條件)

（A）2

（B）

（C）

（D）013、函數(shù)y=的值域是________。(－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)

（定義域）

14、函數(shù)y

=

sin

x

(1

+

tan

x

tan)的最小正周期是C

（定義域）

(A)

(B)

p

(C)

2p

(D)

315、已知

f

(x)

是周期為

2的奇函數(shù)，當(dāng)

x

?

[0,1)

時(shí)，f

(x)

=

x，則

f

(log

23)

=

D(對(duì)數(shù)運(yùn)算)

(A)

(B)

(C)

－

(D)

－

16、已知函數(shù)在處取得極值。

（1）討論和是函數(shù)的極大值還是極小值；

（2）過(guò)點(diǎn)作曲線的切線，求此切線方程。(2004天津)

（求極值或最值推理判斷不充分(建議列表)；求過(guò)點(diǎn)切線方程，不判斷點(diǎn)是否在曲線上。）

17、已知tan

(a－)=

－

則tan

a

=

；=

。、（化齊次式）

18、若

sin

2a

+

sin

2b

－2

sin

a

=

0，則cos

2a

+

cos

2b的最小值是

__

。(隱含條件)

19、已知sinq

+

cosq

=，q

?

(0，p)，則cotq

=

_______。－(隱含條件)

20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分別表示它的三條邊和三條邊所對(duì)的角，若a

=2、、，則∠B

=

B(隱含條件)

（A）

（B）

（C）

（D）

21、已知a>0,b>0,a+b=1，則(a

+)2

+

(b

+)2的最小值是_______。(三相等)

22、已知x

≠

kp

(k

?

Z)，函數(shù)y

=

sin2x

+的最小值是______。5（三相等）

23、求的最小值。

錯(cuò)解1

錯(cuò)解2

錯(cuò)誤分析

在解法1中，的充要條件是

即這是自相矛盾的。

在解法2中，的充要條件是

這是不可能的。

正確解法1

其中，當(dāng)

正

確

解

法2

取正常數(shù)，易得

其中“”取“＝”的充要條件是

因此，當(dāng)

24、已知a1

=

1，an

=

an－1

+

2n－1(n≥2)，則an

=

________。2n－1(認(rèn)清項(xiàng)數(shù))

25、已知

－9、a1、a2、－1

四個(gè)實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，－9、b1、b2、b3、－1

五個(gè)實(shí)數(shù)成等比數(shù)列，則

b2

(a2－a1)

=

A(符號(hào))

(A)

－8

(B)

(C)

－

(D)

26、已知

{an}

是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，判斷Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列嗎？

當(dāng)q

=

－1，k為偶數(shù)時(shí)，Sk

=

0，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k不成等比數(shù)列；

當(dāng)q≠－1或q

=

－1且k為奇數(shù)時(shí)，則Sk，S2k－Sk，S3k－S2k成等比數(shù)列。

（忽視公比q

=

－1）

27、已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：，f(an)－f(an－1)

=

k(an－an－1)(n

=

2,3,┄)，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù)。（1）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）當(dāng)時(shí)，求。(2004天津)

（等比數(shù)列中的0和1，正確分類討論）

28、不等式m2－(m2－3m)i<

(m2－4m

+

3)i

+

10成立的實(shí)數(shù)m的取值集合是________。{3}(隱含條件)

29、i是虛數(shù)單位，的虛部為（）C(概念不清)

(A)

－1

(B)

－i

(C)

－3

(D)

－3

i30、實(shí)數(shù)，使方程至少有一個(gè)實(shí)根。

錯(cuò)誤解法

方程至少有一個(gè)實(shí)根，T

或

錯(cuò)誤分析

實(shí)數(shù)集合是復(fù)數(shù)集合的真子集，所以在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立的公式、定理，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)不一定成立，必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格推廣后方可使用。一元二次方程根的判別式是對(duì)實(shí)系數(shù)一元二次方程而言的，而此題目盲目地把它推廣到復(fù)系數(shù)一元二次方程中，造成解法錯(cuò)誤。

正確解法

設(shè)是方程的實(shí)數(shù)根，則

由于都是實(shí)數(shù)，,解得

31、和a

=

(3,－4)平行的單位向量是_________；和a

=

(3,－4)垂直的單位向量是_________。

(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)

32、將函數(shù)y=

4x－8的圖象L按向量a平移到L/，L/的函數(shù)表達(dá)式為y=

4x，則向量a=______。

a

=

(h，4h+8)

(其中h

?

R)(漏解)

33、已知

||＝1，||＝，若//，求·。

①若，共向，則

·＝||?||＝，②若，異向，則·＝－||?||＝－。(漏解)

34、在正三棱錐A－BCD中，E、F是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，若BC

=

a，則正三棱錐A－BCD的體積為_(kāi)___________。a3

(隱含條件)

35、在直二面角

a－AB－b的棱

AB

上取一點(diǎn)

P，過(guò)

P

分別在a、b

兩個(gè)平面內(nèi)作與棱成45°的斜線

PC、PD，那么∠CPD的大小為D(漏解)

(A)

45°

(B)

60°

(C)

120°

(D)

60°

或

120°

36、如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB交PB于點(diǎn)F。

（1）證明PA//平面EDB；

（2）證明PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。(2004天津)

(條件不充分(漏PA

?

平面EDB，平面PDC，DE∩EF

=

E等)；運(yùn)算錯(cuò)誤，銳角鈍角不分。)

37、若方程

+

y

=

1表示橢圓，則m的范圍是_______。(0，1)∪(1，+

￥)(漏解)

38、已知橢圓

+

y

=

1的離心率為，則

m的值為

____

。4

或

(漏解)

39、橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，橢圓短軸的一個(gè)頂點(diǎn)

B

與兩焦點(diǎn)

F1、F2

組成的三角形的周長(zhǎng)為

+

2且∠F1BF2

=，則橢圓的方程是

。+

y

=

1或x

+

=

1(漏解)

40、橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)F（c，0）（）的準(zhǔn)線與x軸相交于點(diǎn)A，|OF|=2|FA|，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；

（3）設(shè)（），過(guò)點(diǎn)P且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明。(2004天津)

(設(shè)方程時(shí)漏條件a>，誤認(rèn)短軸是b

=

2；要分析直線PQ斜率是否存在(有時(shí)也可以設(shè)為x

=

ky

+

b)先；對(duì)一元二次方程要先看二次項(xiàng)系數(shù)為0否，再考慮△>0，后韋達(dá)定理。)

41、求與軸相切于右側(cè)，并與⊙也相切的圓的圓心的軌跡方程。

錯(cuò)誤解法

如圖3－2－1所示，已知⊙C的方程為

設(shè)點(diǎn)為所求軌跡上任意一點(diǎn)，并且⊙P與軸相切于M點(diǎn)，與⊙C相切于N點(diǎn)。根據(jù)已知條件得，即，化簡(jiǎn)得

錯(cuò)誤分析

本題只考慮了所求軌跡的純粹性（即所求的軌跡上的點(diǎn)都滿足條件），而沒(méi)有考慮所求軌跡的完備性（即滿足條件的點(diǎn)都在所求的軌跡上）。事實(shí)上，符合題目條件的點(diǎn)的坐標(biāo)并不都滿足所求的方程。從動(dòng)圓與已知圓內(nèi)切，可以發(fā)現(xiàn)以軸正半軸上任一點(diǎn)為圓心，此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為半徑（不等于3）的圓也符合條件，所以也是所求的方程。即動(dòng)圓圓心的軌跡方程是y2

=

12x(x>0)和。因此，在求軌跡時(shí)，一定要完整的、細(xì)致地、周密地分析問(wèn)題，這樣，才能保證所求軌跡的純粹性和完備性。

O

·

圖3－2－242、（如圖3－2－2），具有公共軸的兩個(gè)直角坐標(biāo)平面和所成的二面角等于.已知內(nèi)的曲線的方程是，求曲線在內(nèi)的射影的曲線方程。

錯(cuò)誤解法

依題意，可知曲線是拋物線，在內(nèi)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是

因?yàn)槎娼堑扔?，且所?/p>

設(shè)焦點(diǎn)在內(nèi)的射影是，那么，位于軸上，從而

所以所以點(diǎn)是所求射影的焦點(diǎn)。依題意，射影是一條拋物線，開(kāi)口向右，頂點(diǎn)在原點(diǎn)。所以曲線在內(nèi)的射影的曲線方程是

錯(cuò)誤分析

上述解答錯(cuò)誤的主要原因是，憑直觀誤認(rèn)為F是射影(曲線)的焦點(diǎn)，其次，沒(méi)有證明默認(rèn)C/在a

內(nèi)的射影(曲線)是一條拋物線。

O

·

圖3－2－3

M

N

H

正確解法

在內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)

（如圖3－2－3）過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作軸，垂足為連接，則軸。所以是二面角的平面角，依題意，.在又知軸（或與重合），軸（或與重合），設(shè)，則

因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以

即所求射影的方程為

數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。以已知的真實(shí)數(shù)學(xué)命題，即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過(guò)程。在推理過(guò)程中，必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等），做到思考縝密、推理嚴(yán)密。

二、選擇題：

1．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）

A

向右平移

B

向右平移

C

向左平移

D向左平移

錯(cuò)誤分析:審題不仔細(xì),把目標(biāo)函數(shù)搞錯(cuò)是此題最容易犯的錯(cuò)誤.答案:

B

2．函數(shù)的最小正周期為

（）

A

B

C

D

錯(cuò)誤分析:將函數(shù)解析式化為后得到周期,而忽視了定義域的限制,導(dǎo)致出錯(cuò).答案:

B

3．曲線y=2sin(x+cos(x-)和直線y=在y軸右側(cè)的交點(diǎn)按橫坐標(biāo)從小到大依次記為P1、P2、P3……，則|P2P4|等于

（）

A．p

B．2p

C．3p

D．4p

正確答案：A

錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)該解析式不能變形，化簡(jiǎn)為Asin(x+)的形式，從而借助函數(shù)圖象和函數(shù)的周期性求出|P2P|。

4．下列四個(gè)函數(shù)y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=cot(x+),其中以點(diǎn)(,0)為中心對(duì)稱的三角函數(shù)有（）個(gè)

A．1

B．2

C．3

D．4

正確答案：D

錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象的對(duì)稱性和平移變換未能熟練掌握。

5．函數(shù)y=Asin(wx+j)(w>0,A10)的圖象與函數(shù)y=Acos(wx+j)(w>0,A10)的圖象在區(qū)間(x0,x0+)上（）

A．至少有兩個(gè)交點(diǎn)

B．至多有兩個(gè)交點(diǎn)

C．至多有一個(gè)交點(diǎn)

D．至少有一個(gè)交點(diǎn)

正確答案：C

錯(cuò)因：學(xué)生不能采用取特殊值和數(shù)形結(jié)合的思想方法來(lái)解題。

6．在DABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=，則DC的大小應(yīng)為（）

A．

B．

C．或

D．或

正確答案：A

錯(cuò)因：學(xué)生求DC有兩解后不代入檢驗(yàn)。

7．已知tana

tanb是方程x2+3x+4=0的兩根，若a，b?(-)，則a+b=（）

A．

B．或-

C．-或

D．-

正確答案：D

錯(cuò)因：學(xué)生不能準(zhǔn)確限制角的范圍。

8．若，則對(duì)任意實(shí)數(shù)的取值為（）

A.1

B.區(qū)間（0，1）

C.D.不能確定

解一：設(shè)點(diǎn)，則此點(diǎn)滿足

解得或

即

選A

解二：用賦值法，令

同樣有

選A

說(shuō)明：此題極易認(rèn)為答案A最不可能，怎么能會(huì)與無(wú)關(guān)呢？其實(shí)這是我們忽略了一個(gè)隱含條件，導(dǎo)致了錯(cuò)選為C或D。

9．在中，則的大小為（）

A.B.C.D.解：由平方相加得

若

則

又

選A

說(shuō)明：此題極易錯(cuò)選為，條件比較隱蔽，不易發(fā)現(xiàn)。這里提示我們要注意對(duì)題目條件的挖掘。

10．中,、、C對(duì)應(yīng)邊分別為、、.若，,且此三角形有兩解,則的取值范圍為

（）

A.B.C.D.正確答案：A

錯(cuò)因：不知利用數(shù)形結(jié)合尋找突破口。

11．已知函數(shù)

y=sin(x+)與直線y＝的交點(diǎn)中距離最近的兩點(diǎn)距離為，那么此函數(shù)的周期是（）

A

B

C

D

正確答案：B

錯(cuò)因：不會(huì)利用范圍快速解題。

12．函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是…………………………

（）

A.B.C.D.正確答案：C

錯(cuò)因：不注意內(nèi)函數(shù)的單調(diào)性。

13．已知且，這下列各式中成立的是（）

A.B.C.D.正確答案(D)

錯(cuò)因:難以抓住三角函數(shù)的單調(diào)性。

14．函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是（）

正確答案A

錯(cuò)因：沒(méi)能觀察表達(dá)式的整體構(gòu)造，盲目化簡(jiǎn)導(dǎo)致表達(dá)式變繁而無(wú)法繼續(xù)化簡(jiǎn)。

15．ω是正實(shí)數(shù)，函數(shù)在上是增函數(shù)，那么（）

A．

B．

C．

D．

正確答案A

錯(cuò)因：大部分學(xué)生無(wú)法從正面解決，即使解對(duì)也是利用的特殊值法。

16．在(0，2π)內(nèi)，使cosx＞sinx＞tanx的成立的x的取值范圍是

（）

A、()

B、()

C、（）

D、()

正確答案：C

17．設(shè)，若在上關(guān)于x的方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，則為

A、或

B、C、D、不確定

正確答案：A

18．△ABC中，已知cosA=，sinB=，則cosC的值為（）

A、B、C、或

D、答案：A

點(diǎn)評(píng)：易誤選C。忽略對(duì)題中隱含條件的挖掘。

19．在△ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則∠C的大小為（）

A、B、C、或

D、或

答案：A

點(diǎn)評(píng)：易誤選C，忽略A+B的范圍。

20．設(shè)cos1000=k，則tan800是（）

A、B、C、D、答案：B

點(diǎn)評(píng)：誤選C，忽略三角函數(shù)符號(hào)的選擇。

21．已知角的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為（），則角的最小值為（）。

A、B、C、D、正解：D，而

所以，角的終邊在第四象限，所以選D，誤解：,選B

22．將函數(shù)的圖像向右移個(gè)單位后，再作關(guān)于軸的對(duì)稱變換得到的函數(shù)的圖像，則可以是（）。

A、B、C、D、正解：B,作關(guān)于x軸的對(duì)稱變換得,然后向左平移個(gè)單位得函數(shù)

可得

誤解：未想到逆推，或在某一步驟時(shí)未逆推，最終導(dǎo)致錯(cuò)解。

23．A，B，C是ABC的三個(gè)內(nèi)角，且是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則ABC是（）

A、鈍角三角形

B、銳角三角形

C、等腰三角形

D、等邊三角形

正解：A

由韋達(dá)定理得：

在中，是鈍角，是鈍角三角形。

24．曲線為參數(shù)）上的點(diǎn)到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（）。

A、B、C、1

D、正解：D。

由于所表示的曲線是圓，又由其對(duì)稱性，可考慮的情況，即

則∴

誤解：計(jì)算錯(cuò)誤所致。

25．在銳角⊿ABC中，若，則的取值范圍為（）

A、B、C、D、錯(cuò)解:

B.錯(cuò)因:只注意到而未注意也必須為正.正解:

A.26．已知，（），則

（C）

A、B、C、D、錯(cuò)解：A

錯(cuò)因：忽略，而不解出

正解：C

27．先將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象作關(guān)于y軸的對(duì)稱變換，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為

（）

A．y=sin(－2x+)

B．

y=sin(－2x－)

C．y=sin(－2x+)

D．

y=sin(－2x－)

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：將函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)，寫成了

正解：D

28．如果，那么的取值范圍是（）

A．，B．，C．，D．，錯(cuò)解:

D．

錯(cuò)因:只注意到定義域,而忽視解集中包含.正解:

B．

29．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（）

A、（）

B、C、D、答案：D

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：沒(méi)有考慮根號(hào)里的表達(dá)式非負(fù)。

30．已知的取值范圍是（）

A、B、C、D、答案：A設(shè)，可得sin2x

sin2y=2t,由。

錯(cuò)解：B、C

錯(cuò)因：將由

選B，相減時(shí)選C，沒(méi)有考慮上述兩種情況均須滿足。

31．在銳角ABC中，若C=2B，則的范圍是（）

A、（0，2）

B、C、D、答案：C

錯(cuò)解：B

錯(cuò)因：沒(méi)有精確角B的范圍

32．函數(shù)

（）

A、3

B、5

C、7

D、9

正確答案：B

錯(cuò)誤原因：在畫(huà)圖時(shí)，0＜＜時(shí)，＞意識(shí)性較差。

33．在△ABC中，則∠C的大小為

（）

A、30°

B、150°

C、30°或150°

D、60°或150°

正確答案：A

錯(cuò)誤原因：易選C，無(wú)討論意識(shí)，事實(shí)上如果C=150°則A=30°∴，∴＜＜6和題設(shè)矛盾

34．（）

A、B、C、D、正確答案：C

錯(cuò)誤原因：利用周期函數(shù)的定義求周期，這往往是容易忽視的，本題直接檢驗(yàn)得

35．（）

A、B、C、D、正確答案：B

錯(cuò)誤原因：忽視三角函數(shù)定義域?qū)χ芷诘挠绊憽?/p>

36．已知奇函數(shù)等調(diào)減函數(shù)，又α，β為銳角三角形內(nèi)角，則（）

A、f(cosα)＞

f(cosβ)

B、f(sinα)＞

f(sinβ)

C、f(sinα)＜f(cosβ)

D、f(sinα)＞

f(cosβ)

正確答案：（C）

錯(cuò)誤原因：綜合運(yùn)用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)的能力不強(qiáng)。

37．設(shè)那么ω的取值范圍為（）

A、B、C、D、正確答案：(B)

錯(cuò)誤原因：對(duì)三角函數(shù)的周期和單調(diào)性之間的關(guān)系搞不清楚。

二填空題：

1．已知方程（a為大于1的常數(shù)）的兩根為，且、，則的值是_________________.錯(cuò)誤分析：忽略了隱含限制是方程的兩個(gè)負(fù)根，從而導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法：，是方程的兩個(gè)負(fù)根

又

即

由===可得

答案:

.2．已知,則的取值范圍是_______________.錯(cuò)誤分析:由得代入中,化為關(guān)于的二次函數(shù)在上的范圍,而忽視了的隱含限制,導(dǎo)致錯(cuò)誤.答案:

.略解:

由得

將（1）代入得=.3．若,且,則_______________.錯(cuò)誤分析:直接由,及求的值代入求得兩解,忽略隱含限制出錯(cuò).答案:

.4．函數(shù)的最大值為3，最小值為2，則______，_______。

解：若

則

若

則

說(shuō)明：此題容易誤認(rèn)為，而漏掉一種情況。這里提醒我們考慮問(wèn)題要周全。

5．若Sin

cos，則α角的終邊在第_____象限。

正確答案：四

錯(cuò)誤原因：注意角的范圍，從而限制α的范圍。

6．在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為_(kāi)________.正確答案：

錯(cuò)因：看不出是兩角和的正切公式的變形。

7．函數(shù)的值域是

．

正確答案：

8．若函數(shù)的最大值是1，最小值是，則函數(shù)的最大值是　　　　　　　　?。_答案：5

9．定義運(yùn)算為:例如，,則函數(shù)f(x)=的值域?yàn)?/p>

．正確答案：

10．若，α是第二象限角，則=__________

答案：5

點(diǎn)評(píng)：易忽略的范圍，由得=5或。

11．設(shè)ω>0，函數(shù)f(x)=2sinωx在上為增函數(shù)，那么ω的取值范圍是_____

答案：0<ω≤

點(diǎn)評(píng)：

12．在△ABC中，已知a=5，b=4，cos(A－B)=，則cosC=__________

答案：

點(diǎn)評(píng)：未能有效地運(yùn)用條件構(gòu)造三角形運(yùn)用方程思想實(shí)施轉(zhuǎn)化。

13．在中，已知，b，c是角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊，則①若，則在R上是增函數(shù)；②若，則ABC是；③的最小值為；④若，則A=B；⑤若，則，其中錯(cuò)誤命題的序號(hào)是_____。

正解：錯(cuò)誤命題③⑤。

①

②。

③

顯然。

④

(舍)。

⑤

錯(cuò)誤命題是③⑤。

誤解：③④⑤中未考慮，④中未檢驗(yàn)。

14．已知，且為銳角，則的值為_(kāi)____。

正解：，令得代入已知，可得

誤解：通過(guò)計(jì)算求得計(jì)算錯(cuò)誤.15．給出四個(gè)命題：①存在實(shí)數(shù)，使；②存在實(shí)數(shù)，使；③是偶函數(shù)；④是函數(shù)的一條對(duì)稱軸方程；⑤若是第一象限角，且，則。其中所有的正確命題的序號(hào)是_____。

正解：③④

①

不成立。

②

不成立。

③

是偶函數(shù)，成立。

④

將代入得,是對(duì)稱軸，成立。

⑤

若，但，不成立。

誤解：①②沒(méi)有對(duì)題目所給形式進(jìn)行化簡(jiǎn)，直接計(jì)算，不易找出錯(cuò)誤。

⑤沒(méi)有注意到第一象限角的特點(diǎn)，可能會(huì)認(rèn)為是的角，從而根據(jù)做出了錯(cuò)誤的判斷。

16．函數(shù)的最小正周期是

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：與函數(shù)的最小正周期的混淆。

正解：

17．設(shè)=tan成立，則的取值范圍是_______________

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：由tan不考慮tan不存在的情況。

正解：

18．①函數(shù)在它的定義域內(nèi)是增函數(shù)。

②若是第一象限角，且。

③函數(shù)一定是奇函數(shù)。

④函數(shù)的最小正周期為。

上述四個(gè)命題中，正確的命題是

④

錯(cuò)解：①②

錯(cuò)因：忽視函數(shù)是一個(gè)周期函數(shù)

正解：④

19函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開(kāi)_____________。

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：令后忽視,從而

正解：

20．若2sin2α的取值范圍是

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：由其中，得錯(cuò)誤結(jié)果；由

得或結(jié)合（1）式得正確結(jié)果。

正解：[0,]

21.關(guān)于函數(shù)有下列命題，y=f(x)圖象關(guān)于直線對(duì)稱

y=f(x)的表達(dá)式可改寫為

y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

由必是的整數(shù)倍。其中正確命題的序號(hào)是。

答案：

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：忽視f(x)的周期是，相鄰兩零點(diǎn)的距離為。

22．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。

答案：

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：忽視這是一個(gè)復(fù)合函數(shù)。

23．。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：兩角和的正切公式使用比較呆板。

24．是。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：如何求三角函數(shù)的值域，方向性不明確

三、解答題：

1．已知定義在區(qū)間[-p，]

上的函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=

-對(duì)稱，當(dāng)x?[-，]時(shí)，函數(shù)f(x)=Asin(wx+j)(A>0,w>0,-

(1)求函數(shù)y=f(x)在[-p，]的表達(dá)式；

(2)求方程f(x)=的解。

解：(1)由圖象知A=1，T=4()=2p，w=

在x?[-，]時(shí)

將(，1)代入f(x)得

f()=sin(+j)=1

∵-

∴j=

∴在[-，]時(shí)

f(x)=sin(x+)

∴y=f(x)關(guān)于直線x=-對(duì)稱

∴在[-p，-]時(shí)

f(x)=-sinx

綜上f(x)=

(2)f(x)=

在區(qū)間[-，]內(nèi)

可得x1=

x2=

∵y=f(x)關(guān)于x=

對(duì)稱

∴x3=-

x4=

∴f(x)=的解為x?{-,-,-,}

2．求函數(shù)的相位和初相。

解：

原函數(shù)的相位為，初相為

說(shuō)明：部分同學(xué)可能看不懂題目的意思，不知道什么是相位，而無(wú)從下手。應(yīng)將所給函數(shù)式變形為的形式（注意必須是正弦）。

3．若，求的取值范圍。

解：令，則有

說(shuō)明：此題極易只用方程組（1）中的一個(gè)條件，從而得出或。原因是忽視了正弦函數(shù)的有界性。另外不等式組（2）的求解中，容易讓兩式相減，這樣做也是錯(cuò)誤的，因?yàn)閮墒街械牡忍?hào)成立的條件不一定相同。這兩點(diǎn)應(yīng)引起我們的重視。

4．求函數(shù)的定義域。

解：由題意有

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)的定義域是

說(shuō)明：可能會(huì)有部分同學(xué)認(rèn)為不等式組（*）兩者沒(méi)有公共部分，所以定義域?yàn)榭占?，原因是沒(méi)有正確理解弧度與實(shí)數(shù)的關(guān)系，總認(rèn)為二者格格不入，事實(shí)上弧度也是實(shí)數(shù)。

．已知，求的最小值及最大值。

解：

令

則

而對(duì)稱軸為

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，說(shuō)明：此題易認(rèn)為時(shí)，最大值不存在，這是忽略了條件不在正弦函數(shù)的值域之內(nèi)。

6．若，求函數(shù)的最大值。

解：

當(dāng)且僅當(dāng)

即時(shí)，等號(hào)成立

說(shuō)明：此題容易這樣做：，但此時(shí)等號(hào)成立的條件是，這樣的是不存在的。這是忽略了利用不等式求極值時(shí)要平均分析的原則。

7．求函數(shù)的最小正周期。

解：函數(shù)的定義域要滿足兩個(gè)條件；

要有意義且，且

當(dāng)原函數(shù)式變?yōu)闀r(shí)，此時(shí)定義域?yàn)?/p>

顯然作了這樣的變換之后，定義域擴(kuò)大了，兩式并不等價(jià)

所以周期未必相同，那么怎么求其周期呢？首先作出的圖象：

而原函數(shù)的圖象與的圖象大致相同

只是在上圖中去掉所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)

從去掉的幾個(gè)零值點(diǎn)看，原函數(shù)的周期應(yīng)為

說(shuō)明：此題極易由的周期是而得出原函數(shù)的周期也是，這是錯(cuò)誤的，原因正如上所述。那么是不是說(shuō)非等價(jià)變換周期就不同呢？也不一定，如1993年高考題：函數(shù)的最小正周期是（）。A.B.C.D.。此題就可以由的周期為而得原函數(shù)的周期也是。但這個(gè)解法并不嚴(yán)密，最好是先求定義域，再畫(huà)出圖象，通過(guò)空點(diǎn)來(lái)觀察，從而求得周期。

8．已知Sinα=

Sinβ=，且α，β為銳角，求α+β的值。

正確答案：α+β=

錯(cuò)誤原因：要挖掘特征數(shù)值來(lái)縮小角的范圍

9．求函數(shù)y=Sin(—3x)的單調(diào)增區(qū)間：

正確答案：增區(qū)間[]（）

錯(cuò)誤原因：忽視t=—3x為減函數(shù)

10．求函數(shù)y=的最小正周期

正確答案：最小正周期π

錯(cuò)誤原因：忽略對(duì)函數(shù)定義域的討論。

11．已知Sinx+Siny=，求Siny—cos2x的最大值。

正確答案：

錯(cuò)誤原因：挖掘隱含條件

12．（本小題滿分12分）

設(shè),已知時(shí)有最小值-8。

(1)、求與的值。（2）求滿足的的集合A。

錯(cuò)解：，當(dāng)時(shí)，得

錯(cuò)因：沒(méi)有注意到應(yīng)是時(shí)，取最大值。

正解：，當(dāng)時(shí)，得

13．求函數(shù)的值域

答案：原函數(shù)可化為設(shè)則則，當(dāng)

錯(cuò)解：

錯(cuò)因：不考慮換元后新元t的范圍。

14．已知函數(shù)f(x)=－sin2x+sinx+a，（1）當(dāng)f(x)=0有實(shí)數(shù)解時(shí)，求a的取值范圍；（2）若x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范圍。

解：（1）f(x)=0，即a=sin2x－sinx=(sinx－)2－

∴當(dāng)sinx=時(shí)，amin=，當(dāng)sinx=－1時(shí)，amax=2，∴a∈[，2]為所求

（2）由1≤f(x)≤得

∵

u1=sin2x－sinx++4≥4

u2=sin2x－sinx+1=≤3

∴

3≤a≤4

點(diǎn)評(píng)：本題的易錯(cuò)點(diǎn)是盲目運(yùn)用“△”判別式。

15．已知函數(shù)≤≤是R上的偶函數(shù)，其圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，且在區(qū)間[0，]上是單調(diào)函數(shù)，求和的值。

正解：由是偶函數(shù)，得

故

對(duì)任意x都成立，且

依題設(shè)0≤≤，由的圖像關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，得

取

又，得

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)。

當(dāng)≥2時(shí)，在上不是單調(diào)函數(shù)。

所以，綜合得或。

誤解：①常見(jiàn)錯(cuò)誤是未對(duì)K進(jìn)行討論，最后只得一解。

②對(duì)題目條件在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，不進(jìn)行討論，故對(duì)≥不能排除。

補(bǔ)充習(xí)題：

1．右圖是某市有關(guān)部門根據(jù)對(duì)某地干部的月

收入情況調(diào)查后畫(huà)出的樣本頻率分布直方圖，已知圖中第一組的頻數(shù)為4000.請(qǐng)根據(jù)該圖提

供的信息解答下列問(wèn)題：（圖中每組包括左端

點(diǎn)，不包括右端點(diǎn)，如第一組表示收入在）

（1）求樣本中月收入在的人數(shù)；

（2）為了分析干部的收入與年齡、職業(yè)等方面的關(guān)系，必須從樣本的各組中按月收入再用分層抽樣方法抽出人作進(jìn)一步分析，則月收入在的這段應(yīng)抽多少人？

（3）試估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù).解：（1）∵月收入在的頻率為，且有4000人

∴樣本的容量

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

月收入在的頻率為

∴月收入在的頻率為；

∴樣本中月收入在的人數(shù)為：

（2）∵月收入在的人數(shù)為：，∴再?gòu)娜擞梅謱映闃臃椒ǔ槌鋈?，則月收入在的這段應(yīng)抽取

（人）

（3）由（１）知月收入在的頻率為：

∴樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為：（元）

2．先后隨機(jī)投擲2枚正方體骰子，其中表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，表示第枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．

（1）求點(diǎn)在直線上的概率；

（2）求點(diǎn)滿足的概率．

解：（1）每顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)都有種情況，所以基本事件總數(shù)為個(gè).記“點(diǎn)在直線上”為事件，有5個(gè)基本事件：，（2）記“點(diǎn)滿足”為事件，則事件有個(gè)基本事件:

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．

3．某班50名學(xué)生在一次百米測(cè)試中，成績(jī)?nèi)拷橛?3秒與18秒之間，將測(cè)試結(jié)果按如下方式分成五組：每一組；第二組，…，第五組．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖.（1）若成績(jī)大于或等于14秒且小于16秒

認(rèn)為良好，求該班在這次百米測(cè)試中

成績(jī)良好的人數(shù)；

（2）設(shè)、表示該班某兩位同學(xué)的百米

測(cè)試成績(jī)，且已知.求事件“”的概率.解：（1）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為：（人）

所以該班成績(jī)良好的人數(shù)為27人.（2）由頻率分布直方圖知，成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、；

成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，設(shè)為、、、.若時(shí)，有3種情況；

若時(shí)，有6種情況；

若分別在和內(nèi)時(shí)，A

B

C

D

x

xA

xB

xC

xD

y

yA

yB

yC

yD

z

zA

zB

zC

zD

共有12種情況.所以基本事件總數(shù)為21種，事件“”所包含的基本事件個(gè)數(shù)有12種.∴（）.4．已知點(diǎn),.(1)

若,求的值;

(2)

若其中為坐標(biāo)原點(diǎn),求的值.解：(1)，.,.化簡(jiǎn)得.（若則,上式不成立），.(2),...5.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；

（2）用五點(diǎn)法畫(huà)出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象；

（3）若，求函數(shù)的最大值和最小值；

（4）若，求的值.解：（1）∵＝．

∴

函數(shù)的最小正周期．

（2）列表：

描點(diǎn)，連線，得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示.（3）∵，∴，∴當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有最大值2.當(dāng)或，即或時(shí)，函數(shù)有最小值1．

（4）由已知得，得.∵，∴.∴.∴.∴

.6．已知向量.（1）求.（2）若，且的值.解：（1），.（2）.由，得.由，得..7.在△ABC中，.(1)

求角C的大小;

(2)

若△ABC最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為，求△ABC最短邊的長(zhǎng).解：（1），∴．，∴．

（2）∵,∴邊最長(zhǎng)，即．

∵，∴角最小，邊為最短邊．

由

且，解得．

由正弦定理得，得．

∴最短邊的長(zhǎng)．

8．如圖（1），是等腰直角三角形，、分別為、的中點(diǎn)，將沿折起，使在平面上的射影恰為的中點(diǎn)，得到圖（2）．

（1）求證：；

（2）求三棱錐的體積．

解：（1）證法一：在中，是等腰直角的中位線，在四棱錐中，，平面，又平面,證法二：同證法一得，平面，又平面,（2）在直角梯形中，,．

垂直平分，．

∴

．

三棱錐的體積為．

9．如圖，一簡(jiǎn)單組合體的一個(gè)面ABC內(nèi)接于圓O，AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，且DC平面ABC．

（1）證明：平面ACD平面；

（2）若，，試求該簡(jiǎn)單組合體的體積V．

（１）證明：∵

DC平面ABC,平面ABC

∴．

∵AB是圓O的直徑　∴且

∴平面ADC．

∵四邊形DCBE為平行四邊形

∴DE//BC

∴平面ADC

∵平面ADE

∴平面ACD平面

（2）解法１：所求簡(jiǎn)單組合體的體積：

∵，∴,∴

∴該簡(jiǎn)單幾何體的體積

解法２：將該簡(jiǎn)單組合體還原成一側(cè)棱與底面垂直的三棱柱

如圖∵，∴,∴=

=

A

B

C

P

M

10．如圖所示幾何體中，平面PAC⊥平面，PA

=

PC,，，若該幾何體左視圖（側(cè)視圖）的面積為．

（1）求證：PA⊥BC；

（2）畫(huà)出該幾何體的主視圖并求其面積S；

（3）求出多面體的體積V．

主視方向方向

解：（1），BC=2，，∴，∵平面PAC⊥平面，平面PAC∩平面=AC,∴BC⊥平面PAC

∵PA平面PAC，∴PA⊥BC.（2）該幾何體的主視圖如下：

∵PA

=

PC，取AC的中點(diǎn)D，連接PD，則PD⊥AC，又平面PAC⊥平面，則PD⊥平面ABC，∴幾何體左視圖的面積===．

∴PD=，并易知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，∴主視圖的面積是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PD的長(zhǎng)為高的直角梯形的面積，∴S=

（3）取PC的中點(diǎn)N，連接AN，由是邊長(zhǎng)為1的正三角形，可知AN⊥PC，由（1）BC⊥平面PAC，可知AN⊥BC，∴AN⊥平面PCBM，∴AN是四棱錐A—PCBM的高且AN=，由BC⊥平面PAC，可知BC⊥PC，可知四邊形PCBM是上、下底邊長(zhǎng)分別為1和2，PC的長(zhǎng)1為高的直角梯形，其面積．

．

11．制訂投資計(jì)劃時(shí)，不僅要考慮可能獲得的盈利，而且要考慮可能出現(xiàn)的虧損.某投資人打算投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目.根據(jù)預(yù)測(cè)，甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目可能的最大盈利率分別為100%和50%，可能的最大虧損率分別為30%和10%.投資人計(jì)劃投資金額不超過(guò)10萬(wàn)元，要求確?？赡艿馁Y金虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元，問(wèn)投資人對(duì)甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目各投資多少萬(wàn)元，才能使可能的盈利最大？

解：設(shè)投資人分別用萬(wàn)元、萬(wàn)元投資甲、乙兩個(gè)項(xiàng)目，由題意知

目標(biāo)函數(shù).上述不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，陰影部分（含邊界）即可行域.作直線，并作平行于的一組直線，R，與可行域相交，其中一條直線經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)，且與直線的距離最大，這里點(diǎn)是直線和的交點(diǎn).解方程組解得

此時(shí)（萬(wàn)元），∴當(dāng)時(shí)，取得最大值.答：投資人用4萬(wàn)元投資甲項(xiàng)目，6萬(wàn)元投資乙項(xiàng)目，才能在確保虧損不超過(guò)1.8萬(wàn)元的前提下，使可能的盈利最大.12.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，在橢圓上，且

.(1)求橢圓方程；

(2)若直線過(guò)圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，求直線的方程.解:(1)，，.所以橢圓.(2)設(shè)，即

又因圓的方程為,所以

(-3,1),又因關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即為的中點(diǎn)，，.，即.13．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，對(duì)任意N，都有為常數(shù)，且.（1）求證數(shù)列為等比數(shù)列；

（2）設(shè)數(shù)列的公比，數(shù)列滿足

N，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：（1）由已知

①

得

②

②-①得，即對(duì)任意N都成立.∵為常數(shù)，且，∴，即數(shù)列為等比數(shù)列.（2）當(dāng)時(shí)，得，從而.由（1）知，∵，∴，即.∴為等差數(shù)列.∴.∴.14．已知數(shù)列是首項(xiàng)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和中，成等差數(shù)列，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，若≤對(duì)一切N恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值．

解：（1）若，則顯然，不構(gòu)成等差數(shù)列.∴，當(dāng)時(shí)，由，成等差數(shù)列得

∴，∵　　　　∴

∴

（2）∵

∴

∴＝

＝

由≤

得≤

∴≥

又≤

∴的最小值為

B組

15．設(shè)數(shù)列滿足其中為實(shí)數(shù)，且

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式

（2）設(shè)，,求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）若對(duì)任意成立，證明；

(1)

法1：，當(dāng)時(shí)，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.，即

.當(dāng)時(shí)，仍滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.法2：由題設(shè)得：當(dāng)時(shí)

.時(shí)，也滿足上式.數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.(2)

由（1）得

(3)

由（1）知

若，則

由對(duì)任意成立，知.下面證，用反證法

假設(shè)，，即

恒成立

（＊）

為常數(shù)，（＊）式對(duì)不能恒成立，導(dǎo)致矛盾，.16．已知數(shù)列中，為正實(shí)數(shù)，N.（1）若，求的取值范圍；

（2）是否存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立，若存在，求的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）∵N，∴.∴.∵，∴，解得.（2）假設(shè)存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立，則，對(duì)任意N都成立.∴，∴，∴，又

.即.故取，即，有，這與矛盾；

因此，不存在正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意N都成立.17.已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足，過(guò)作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別交橢圓于兩點(diǎn).（Ⅰ）求點(diǎn)坐標(biāo)；

（Ⅱ）求證直線的斜率為定值；

（Ⅲ）求面積的最大值.解：（1）由題可得，設(shè)

則，∴，∵點(diǎn)在曲線上，則，∴，從而，得.則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.（2）由題意知，兩直線PA、PB的斜率必存在，設(shè)PB的斜率為，則BP的直線方程為：.由得，設(shè)，則，同理可得，則，.所以：AB的斜率為定值.（3）設(shè)AB的直線方程：.由，得，由，得

P到AB的距離為，則

.當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)

∴三角形PAB面積的最大值為．

18．已知函數(shù)和．其中．

（1）若函數(shù)與的圖像的一個(gè)公共點(diǎn)恰好在軸上，求的值；

（2）若和是方程的兩根，且滿足，證明：當(dāng)時(shí)，．

解：（1）設(shè)函數(shù)圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），∵點(diǎn)（，0）也在函數(shù)的圖像上，∴．

而，∴．

（2）由題意可知．,∴,∴當(dāng)時(shí)，即．

又,∴<0,∴,綜上可知，．

19．在一個(gè)特定時(shí)段內(nèi)，以點(diǎn)E為中心的7海里以內(nèi)海域被設(shè)為警戒水域.點(diǎn)E正北55海里處有一個(gè)雷達(dá)觀測(cè)站A.某時(shí)刻測(cè)得一艘勻速直線行駛的船只位于點(diǎn)A北偏東且與點(diǎn)A相距40海里的位置B，經(jīng)過(guò)40分鐘又測(cè)得該船已行駛到點(diǎn)A北偏東+(其中sin=，)且與點(diǎn)A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時(shí)）;

（2）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛.判斷它是否會(huì)進(jìn)入警戒水域，并說(shuō)明理由.解:

（1）如圖，AB=40，AC=10，由于,所以cos=

由余弦定理得BC=

所以船的行駛速度為（海里/小時(shí)）.（2）解法1：

如圖所示，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC與x軸的交點(diǎn)為D.由題設(shè)有，x1=y1=

AB=40,x2=ACcos,y2=ACsin

所以過(guò)點(diǎn)B、C的直線l的斜率k=,直線l的方程為y=2x-40.又點(diǎn)E（0，-55）到直線l的距離d=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.解法2:

如圖所示，設(shè)直線AE與BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)Q.在△ABC中，由余弦定理得，==.從而

在中，由正弦定理得，AQ=

由于AE=55>40=AQ，所以點(diǎn)Q位于點(diǎn)A和點(diǎn)E之間，且QE=AE-AQ=15.過(guò)點(diǎn)E作EP

BC于點(diǎn)P，則EP為點(diǎn)E到直線BC的距離.在Rt中，PE=QE·sin

=

所以船會(huì)進(jìn)入警戒水域.20．某地區(qū)有荒山2200畝，從2002年開(kāi)始每年年初在荒山上植樹(shù)造林，第一年植樹(shù)100畝，以后每年比上一年多植樹(shù)50畝．

（1）若所植樹(shù)全部成活，則到哪一年可以將荒山全部綠化？

（2）右圖是某同學(xué)設(shè)計(jì)的解決問(wèn)題（１）的程序框圖，則框圖中ｐ，ｑ，ｒ處應(yīng)填上什么條件？

（3）若每畝所植樹(shù)苗木材量為2立方米，每年樹(shù)木木材量的自然增長(zhǎng)率

為20％，那么到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量是多少？

（精確到１立方米,）

解：（1）設(shè)植樹(shù)ｎ年后可將荒山全部綠化，記第ｎ年初植樹(shù)量為，依題意知數(shù)列是首項(xiàng)，公差的等差數(shù)列，則即

∵

∴

∴到2009年初植樹(shù)后可以將荒山全部綠化．

（２）ｐ處填,ｑ處填，（或ｐ處填，ｑ處填）

ｒ處填．(或)

（３）2002年初木材量為，到2009年底木材量增加為,2003年初木材量為，到2009年底木材量增加為,……

2009年初木材量為，到2009年底木材量增加為.則到2009年底木材總量

----------①

---------②

②-①得

∴ｍ2

答：到全部綠化后的那一年年底，該山木材總量為9060ｍ2

第五篇：小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題及答案解析2017

小升初數(shù)學(xué)易錯(cuò)題及答案解析2017

一、填空題

1、一種鹽水的含鹽率是20%,鹽與水的比是(1：5)。

2、生產(chǎn)同樣多的零件，小張用了4小時(shí)，小李用了6小時(shí)，小張和小李工作效率的最簡(jiǎn)比是(3：2)。

【解析：將這批零件看作單位“1”，則小張的工作效率為：1÷4=1/4 小李的工作效率為：1÷6=1/6 兩人的工作效率比為：1/4：1/6，化簡(jiǎn)后就是3：2】

3、從甲地到乙地，客車要行駛4時(shí)，貨車要行駛5時(shí)，客車的速度與貨車的速度比是(5：4)，貨車的速度比客車慢(20)%。

【解析：求速度比的方法同第2題。貨車的速度比客車慢((5-4)÷5=20%)】 4、100克糖溶在水里，制成的糖水的含糖率為12.5%,如果再加200克水，這時(shí)糖與糖水的比是(1：10)。

【解析：此題關(guān)鍵是要先算出原來(lái)的糖水是多少克：100÷12.5%=800(克)。再求加水后糖與糖水的比：100：(800+200)=100：1000=1：10】

5、若從六(1)班調(diào)全班人數(shù)的1/10到六(2)班，則兩班人數(shù)相等，原來(lái)六(1)班與六(2)班的人數(shù)比是(5：4)。

【解析：用方程來(lái)解答：設(shè)六(1)人數(shù)有a人，六(2)班人數(shù)有b人。根據(jù)題意列出方程后并求解：

通過(guò)解方程得出a與b的比為10：8，即六(1)班與六(2)班的人數(shù)為10：8，化簡(jiǎn)后為5：4。】

6、把甲隊(duì)人數(shù)的1/4調(diào)入乙隊(duì)，這時(shí)兩隊(duì)人數(shù)相等，甲隊(duì)與乙隊(duì)原人數(shù)的比為(2：1)。

【解析：方法同第5題?！?/p>

7、六(1)班今天到校40人，請(qǐng)病假的5人，該班的出勤率是(88.9%)。

【解析：用到校人數(shù)就是出勤人數(shù)。出勤人數(shù)÷全班人數(shù)×100%=出勤率。40÷(40+5)×100%≈88.9%】

8、把一個(gè)半徑是10cm的圓拼成接成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形后，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是(62.8cm)，面積是(228cm2)。

【解析：拼成的長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)就是這個(gè)半徑為10cm的圓的周長(zhǎng)：3.14×10×2=62.8cm;根據(jù)周長(zhǎng)先算出長(zhǎng)方形的一條長(zhǎng)與一條寬的和：62.8÷2=31.4cm，假設(shè)一條長(zhǎng)為20cm，則一條寬就為11.4(只要一條長(zhǎng)與一條寬加起來(lái)等于31.4即可。)，那么面積就是：20×11.4=228平方厘米?！?/p>

9、兩個(gè)數(shù)的差相當(dāng)于被減數(shù)的40%，減數(shù)與差的比是(3：2)。

【解析：方法參考第5題?！?/p>

10、(12.6)米比9米多40%【9×(1+40%)=12.6】 , 9米比(20)少55%【9÷(1-55%)=20】，200千克比160千克多(25)%【(200-160)÷160=25%】;160千克比200千克少(20)% 【(200-160)÷200=20%】;16米比(6.4)米多它的60%【16×(1-60%)=6.4 注意：“它”是指16?！?()比32少30%【32×(1-30%)=22.4】。

【解析：本題主要是考查單位“1”(總量)、對(duì)應(yīng)量、對(duì)應(yīng)分率之間的關(guān)系。單位“1”(總量)×對(duì)應(yīng)分率=對(duì)應(yīng)量】

11、鐘面上時(shí)針的長(zhǎng)1dm,一晝夜時(shí)針掃過(guò)的面積是(31.4dm2)。

【解析：時(shí)針的長(zhǎng)就是圓的半徑，“一晝夜時(shí)針掃過(guò)的面積”就是指半徑為1dm的圓的面積(“一晝夜”指24小時(shí)，時(shí)針走了24小時(shí)就是一周)?！?/p>

12、一根水管，第一次截去全長(zhǎng)的1/4,第二次截去余下的2/3，兩次共截去全長(zhǎng)的(3/4)。

【解析：1/4+(1-1/4)×2/3=3/4】

13、某種皮衣價(jià)格為1650元，打八折出售可盈利10%。那么若以1650元出售，可盈利(450)元。

【解析：本題關(guān)鍵是要先算出進(jìn)價(jià)，原題中的“10%”是針對(duì)進(jìn)價(jià)的。設(shè)皮衣的進(jìn)價(jià)為x元。(1+10%)x=1650*80% 解得：x=1200。以1650元出售，可盈利：1650-1200=450(元)】

14、正方形邊長(zhǎng)增加10%,它的面積增加(21)%。

【解析：{[1×(1+10%)]2-1}÷1=21%】

二、判斷題

1、某商品先提價(jià)5%,后又降階5%，這件商品的現(xiàn)價(jià)與原價(jià)相等。(×)

【解析：錯(cuò)。兩個(gè)5%的單位“1”不一樣。1×(1+5%)×(1-5%)=0.9975 值小于1表示現(xiàn)價(jià)比原價(jià)少，值大于1表示多?！?/p>

2、在含鹽20%的鹽水中加入同樣多的鹽和水后，鹽水的含鹽率不變。(×)

【解析：錯(cuò)。用假設(shè)法來(lái)驗(yàn)證：假設(shè)鹽是20克，水是80克，則含鹽就是20%。如果分別同時(shí)加入10克鹽和水，那么這時(shí)含鹽率就是：(20+10)÷(20+10+80+10)×100%=25%，含鹽率變大了?！?/p>

3、如果甲數(shù)比乙數(shù)多25%,那么乙數(shù)就比甲數(shù)少25%。(×)

【解析：錯(cuò)。兩個(gè)25%相對(duì)的單位1不同。應(yīng)該是：甲數(shù)比乙數(shù)多25%，乙數(shù)就比甲數(shù)少20%。25%÷(1+25%)=20%】

4、半徑是2厘米的圓，它的周長(zhǎng)和面積相等。(×)

【解析：錯(cuò)。只能說(shuō)在數(shù)值上相等，但是萬(wàn)物都有單位，周長(zhǎng)單位是1維的，面積單位是2維的，怎么可能相等呢?簡(jiǎn)單地說(shuō)，周長(zhǎng)和面積單位不一樣，也不可能互化，所以周長(zhǎng)和面積不可能相等。】

5、直徑相等的兩個(gè)圓，面積不一定相等。(×)

【解析：錯(cuò)，是一定相等。直徑相等就表示半徑也會(huì)相等，而半徑?jīng)Q定了圓的大小，只要圓的半徑相等，它們的大小就會(huì)相等，即面積也一定相等?！?/p>

6、比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都乘或除以同一個(gè)數(shù)，比值大小不變。(×)

【解析：錯(cuò)。0必須除外。0是不能作為除數(shù)的?！?/p>

三、選擇題

1、數(shù)學(xué)小組共有20名學(xué)生，則男、女人數(shù)的比不可能是(A)。

A.5︰1 B.4︰1 C.3︰1 D.1︰1

【解析：A。20的因數(shù)有:1、2、4、5、10、20,而5+1=6,6不是20的因數(shù);所以不可能是5:1?！?/p>

2、如圖，陰影部分的面積相當(dāng)于甲圓面積的1/6，相當(dāng)于乙圓面積的1/5，那么乙與甲兩個(gè)圓的面積比是(C)。

A、6︰1 B、5︰1 C、5︰6 D、6︰5

3、一杯牛奶，牛奶與水的比是1︰4，喝掉一半后，牛奶與水的比是(A)。

A、1︰4 B、1︰2 C、1︰8 D、無(wú)法確定

【解析：A。喝掉一半后,濃度不變,牛奶與水的比還是1:4。驗(yàn)證：(1-1×1/2)：(4-4×1/2)=1：4】

4、利息與本金相比(A)

A、利息大于本金 B、利息小于本金 C、利息不一定小于本金

【解析：C。利率表示利息與本金的比率;利息可能小于本金,也可能大于本金;所以利息不一定小于本金?！?/p>

四、解決問(wèn)題

1、A、B兩地相距408km，客車和貨車同時(shí)從A、B兩地相對(duì)開(kāi)出，3小時(shí)后相遇，已知客車和貨車的速度比是9:8，客車每時(shí)比貨車每時(shí)快多少千米?

解：設(shè)客車速度為9x，貨車速度為8x，根據(jù)題意列方程：

(9x+8x)×3=408

17x*3=408

x=408/51

x=8

所以客車每小時(shí)比貨車快：9x-8x=x=8(千米)

2、東崗小學(xué)組織學(xué)生收集樹(shù)種，五年級(jí)收集的樹(shù)種占總質(zhì)量的40%，六年級(jí)收集的樹(shù)種占總質(zhì)量的50%，五年級(jí)收集的樹(shù)種比六年級(jí)少20千克。五六年級(jí)一共收集樹(shù)種多少千克?

20÷(50%-40%)=200(千克)

3、一件商品按20%的利潤(rùn)定價(jià)，然后又按8折出售，結(jié)果虧了64元，這件商品的成本是多少元?

解：設(shè)這件商品的成本是 x 元

x64=1.2x × 0.8

x64表示現(xiàn)價(jià)，(1 + 20%)x表示定價(jià)，[(1 + 20%)x] ×80% 表示打8折后的售價(jià)，即現(xiàn)價(jià)?！?/p>

4、將一根384cm的鐵絲焊成一個(gè)長(zhǎng)、寬、高的比是3:2:1的長(zhǎng)方體模型。這個(gè)模型的長(zhǎng)、寬、高各是多少厘米?表面積是多少平方厘米?

先算出一條長(zhǎng)、一條寬、一條高的和：

384÷4=96cm;

再計(jì)算長(zhǎng)寬高各是多少：

長(zhǎng)：96÷(3+2+1)×3=48cm

寬：96÷(3+2+1)×2=32cm

高：96÷(3+2+1)×1=16cm;

表面積：

(48×36+48×16+36×16)×2=3072(cm2)

5、一塊長(zhǎng)方形土地，周長(zhǎng)是160m，長(zhǎng)和寬的比是5:3，這塊長(zhǎng)方形土地的面積是多少平方米?

長(zhǎng)：160÷2÷(5+3)×5=50m

寬：160÷2÷(5+3)×3=30m

面積：50×30=1500(m2)

6、李明和張華參加賽跑，李明跑到中點(diǎn)時(shí)，張華跑了全程的40%,此時(shí)兩人相距80米，你知道賽程多少米嗎?

分析：把整個(gè)賽程看作單位“1”，那么80米對(duì)應(yīng)的分率是(50%-40%)，根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義，用對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)的分率即可.解答：

80÷(50%-40%)

=80÷10%

=800(米)

答：這個(gè)賽程長(zhǎng)800米。

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是找單位“1”，然后用對(duì)應(yīng)量除以對(duì)應(yīng)的分率解決問(wèn)題。