第一篇：2013年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座八：歸納猜想型問題(二)

2013年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座八：歸納猜想型問題

（二）一、中考專題詮釋

歸納猜想型問題在中考中越來越被命題者所注重。這類題要求根據(jù)題目中的圖形或者數(shù)字，分析歸納，直觀地發(fā)現(xiàn)共同特征，或者發(fā)展變化的趨勢，據(jù)此去預(yù)測估計它的規(guī)律或者其他相關(guān)結(jié)論，使帶有猜想性質(zhì)的推斷盡可能與現(xiàn)實情況相吻合，必要時可以進(jìn)行驗證或者證明，依此體現(xiàn)出猜想的實際意義。

二、解題策略和解法精講

歸納猜想型問題對考生的觀察分析能力要求較高，經(jīng)常以填空等形式出現(xiàn)，解題時要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同之處，這個存在于個例中的共性，就是規(guī)律。其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的常用模式，體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想，這也正是人類認(rèn)識新生事物的一般過程。相對而言，猜想結(jié)論型問題的難度較大些，具體題目往往是直觀猜想與科學(xué)論證、具體應(yīng)用的結(jié)合，解題的方法也更為靈活多樣：計算、驗證、類比、比較、測量、繪圖、移動等等，都能用到。

由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)新知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點。

三、中考考點精講 考點四：猜想數(shù)量關(guān)系

數(shù)量關(guān)系的表現(xiàn)形式多種多樣，這些關(guān)系不一定就是我們目前所學(xué)習(xí)的函數(shù)關(guān)系式。在猜想這種問題時，通常也是根據(jù)題目給出的關(guān)系式進(jìn)行類比，仿照猜想數(shù)式規(guī)律的方法解答。例8（2012?蘇州）已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個如圖所示的正方形（用陰影表示），點B1在y軸上，點C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3在x軸上．若正方形A1B1C1D1的邊長為1，∠B1C1O=60°，B1C1∥B2C2∥B3C3，則點A3到x軸的距離是（）

A．

點評： 此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識，根據(jù)已知得出B3C3的長是解題關(guān)鍵．

例9（2012?紹興）如圖，直角三角形紙片ABC中，AB=3，AC=4，D為斜邊BC中點，第1次將紙片折疊，使點A與點D重合，折痕與AD交與點P1；設(shè)P1D的中點為D1，第2次將紙片折疊，使點A與點D1重合，折痕與AD交于點P2；設(shè)P2D1的中點為D2，第3次將紙片折疊，使點A與點D2重合，折痕與AD交于點P3；?；設(shè)Pn﹣1Dn﹣2的中點為Dn﹣1，第n次將紙片折疊，使點A與點Dn﹣1重合，折痕與AD交于點Pn（n＞2），則AP6的長為（）

A．

考點： 翻折變換（折疊問題）。專題： 規(guī)律型。

分析： 先寫出AD、AD1、AD2、AD3的長度，然后可發(fā)現(xiàn)規(guī)律推出ADn的表達(dá)式，繼而根據(jù)APn=ADn即可得出APn的表達(dá)式，也可得出AP6的長． B．

C．

D．

以BC=2為直徑畫半圓，記為第2個半圓； 以CD=4為直徑畫半圓，記為第3個半圓； 以DE=8為直徑畫半圓，記為第4個半圓，∴第4個半圓的面積為：第3個半圓面積為：

=8π，=2π，=4倍；，∴第4個半圓的面積是第3個半圓面積的根據(jù)已知可得出第n個半圓的直徑為：2則第n個半圓的半徑為：

=

2n﹣2

n﹣

1，第n個半圓的面積為：故答案為：4，22n﹣

5=2

2n﹣5

π．

π．

點評： 此題主要考查了數(shù)字變化規(guī)律，注意數(shù)字之間變化規(guī)律，根據(jù)已知得出第n個半圓的直徑為：2

考點五：猜想變化情況

隨著數(shù)字或圖形的變化，它原先的一些性質(zhì)有的不會改變，有的則發(fā)生了變化，而且這種變化是有一定規(guī)律的。比如，在幾何圖形按特定要求變化后，只要本質(zhì)不變，通常的規(guī)律是“位置關(guān)系不改變，乘除乘方不改變，減變加法加變減，正號負(fù)號要互換”。這種規(guī)律可以作為猜想的一個參考依據(jù)。

例11（2012?常德）若圖1中的線段長為1，將此線段三等分，并以中間的一段為邊作等邊三角形，然后去掉這一段，得到圖2，再將圖2中的每一段作類似變形，得到圖3，按上述方法繼續(xù)下去得到圖4，則圖4中的折線的總長度為（）n﹣1是解題關(guān)鍵．

故如果要密鋪，則需要一個內(nèi)角為120°的正多邊形，而正六邊形的內(nèi)角為120°，故答案為：6．

點評： 此題考查了平面密鋪的知識，解答本題關(guān)鍵是求出在密鋪條件下需要的正多邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)，有一定難度．

例13（2012?無錫）如圖的平面直角坐標(biāo)系中有一個正六邊形ABCDEF，其中C、D的坐標(biāo)分別為（1，0）和（2，0）．若在無滑動的情況下，將這個六邊形沿著x軸向右滾動，則在滾動過程中，這個六邊形的頂點A、B、C、D、E、F中，會過點（45，2）的是點 ．

考點： 正多邊形和圓；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 先連接A′D，過點F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，由正六邊形的性質(zhì)得出A′的坐標(biāo)，再根據(jù)每6個單位長度正好等于正六邊形滾動一周即可得出結(jié)論． 解答： 解：如圖所示：

當(dāng)滾動一個單位長度時E、F、A的對應(yīng)點分別是E′、F′、A′，連接A′D，點F′，E′作F′G⊥A′D，E′H⊥A′D，∵六邊形ABCD是正六邊形，∴∠A′F′G=30°，∴A′G=A′F′=，同理可得HD=，∴A′D=2，∵D（2，0）

∴A′（2，2），OD=2，∵正六邊形滾動6個單位長度時正好滾動一周，∴從點（2，2）開始到點（45，2）正好滾動43個單位長度，此時，分兩種情況：

①如果20﹣a＞2a﹣20，即a＜40，那么第三次操作時正方形的邊長為2a﹣20． 則2a﹣20=（20﹣a）﹣（2a﹣20），解得a=12； ②如果20﹣a＜2a﹣20，即a＞，那么第三次操作時正方形的邊長為20﹣a．

則20﹣a=（2a﹣20）﹣（20﹣a），解得a=15． ∴當(dāng)n=3時，a的值為12或15． 故答案為：12或15．

點評： 此題考查了折疊的性質(zhì)與矩形的性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用，注意折疊中的對應(yīng)關(guān)系． 考點六：猜想數(shù)字求和

例16（2012?黃石）“數(shù)學(xué)王子”高斯從小就善于觀察和思考．在他讀小學(xué)時就能在課堂上快速地計算出1+2+3+?+98+99+100=5050，今天我們可以將高斯的做法歸納如下： 令 S=1+2+3+?+98+99+100 ① S=100+99+98+?+3+2+1 ② ①+②：有2S=（1+100）×100 解得：S=5050 請類比以上做法，回答下列問題：

若n為正整數(shù)，3+5+7+?+（2n+1）=168，則n= ．

考點： 有理數(shù)的混合運(yùn)算。專題： 規(guī)律型。

分析： 根據(jù)題目提供的信息，列出方程，然后求解即可． 解答： 解：設(shè)S=3+5+7+?+（2n+1）=168①，則S=（2n+1）+?+7+5+3=168②，①+②得，2S=n（2n+1+3）=2×168，整理得，n+2n﹣168=0，解得n1=12，n2=﹣14（舍去）． 故答案為：12．

2-9 點評： 本題主要考查點的坐標(biāo)，這是一道找規(guī)律的題目，這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn)．解答本題的關(guān)鍵是找出各個點跳動的規(guī)律，此題比較簡單．

2．（2012?鄂州）在平面坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，?按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2012個正方形的面積為（）

A． C．

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；正方形的性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 首先設(shè)正方形的面積分別為S1，S2?S2012，由題意可求得S1的值，易證得△BAA1∽△B1A1A2，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例與三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得S2的值，繼而求得S3的值，繼而可得規(guī)律：Sn=5×（）

2n﹣2 B．

D．，則可求得答案．

解答： 解：∵點A的坐標(biāo)為（1，0），點D的坐標(biāo)為（0，2），∴OA=1，OD=2，設(shè)正方形的面積分別為S1，S2?S2012，根據(jù)題意，得：AD∥BC∥C1A2∥C2B2，∴∠BAA1=∠B1A1A2=∠B2A2x，∵∠ABA1=∠A1B1A2=90°，∴△BAA1∽△B1A1A2，在直角△ADO中，根據(jù)勾股定理，得：AD=∴AB=AD=BC=，1

A． C．

B． D．

考點： 等邊三角形的判定與性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 連接AD、DB、DF，求出∠AFD=∠ABD=90°，根據(jù)HL證兩三角形全等得出∠FAD=60°，求出AD∥EF∥GI，過F作FZ⊥GI，過E作EN⊥GI于N，得出平行四邊形FZNE得出EF=ZN=a，求出GI的長，求出第一個正六邊形的邊長是a，是等邊三角形QKM的邊長的；同理第二個正六邊形的邊長是等邊三角形GHI的邊長的；求出第五個等邊三角形的邊長，乘以即可得出第六個正六邊形的邊長． 解答： 解：連接AD、DF、DB，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠ABC=∠BAF=∠∠AFE，AB=AF，∠E=∠C=120°，EF=DE=BC=CD，∴∠EFD=∠EDF=∠CBD=∠BDC=30°，∵∠AFE=∠ABC=120°，∴∠AFD=∠ABD=90°，在Rt△ABD和RtAFD中

∴Rt△△ABD≌Rt△AFD，∴∠BAD=∠FAD=×120°=60°，∴∠FAD+∠AFE=60°+120°=180°，∴AD∥EF，∵G、I分別為AF、DE中點，∴GI∥EF∥AD，∴∠FGI=∠FAD=60°，3 第四個等邊三角形的邊長是×××a，第五個正六邊形的邊長是××××a； 第五個等邊三角形的邊長是××××a，第六個正六邊形的邊長是×××××a，即第六個正六邊形的邊長是×故選A．

a，點評： 本題考查了正六邊形、等邊三角形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定、全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能總結(jié)出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵，題目具有一定的規(guī)律性，是一道有一定難度的題目． 二．填空題

4．（2012?天門）如圖，線段AC=n+1（其中n為正整數(shù)），點B在線段AC上，在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME．當(dāng)AB=1時，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時，△AME的面積記為S3；?；當(dāng)AB=n時，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時，Sn﹣Sn﹣1= ．

考點： 整式的混合運(yùn)算。專題： 規(guī)律型。

分析： 方法一：根據(jù)連接BE，則BE∥AM，利用△AME的面積=△AMB的面積即可得出Sn=n，Sn﹣1=（n﹣1）=n﹣n+，即可得出答案． 2

22-15

點評： 此題主要考查了三角形面積求法以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出正確圖形，得出S與n的關(guān)系是解題關(guān)鍵．

6．（2012?威海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，線段OA1=1，OA1與x軸的夾角為30°，線段A1A2=1，A2A1⊥OA1，垂足為A1；線段A2A3=1，A3A2⊥A1A2，垂足為A2；線段A3A4=1，A4A3⊥A2A3，垂足為A3；?按此規(guī)律，點A2012的坐標(biāo)為 ．

考點： 規(guī)律型：點的坐標(biāo)。專題： 規(guī)律型。

點評： 本題考查了點的坐標(biāo)的規(guī)律變化問題，作出輔助線，求出各點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的規(guī)律變化的數(shù)值，然后依次寫出前幾個點的坐標(biāo)，根據(jù)坐標(biāo)與點的序號的特點找出點的坐標(biāo)的通式是解題的關(guān)鍵．

7．（2012?湖州）如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形，若=，則△ABC的邊長是 ．

考點： 菱形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 設(shè)正△ABC的邊長為x，根據(jù)等邊三角形的高為邊長的倍，求出正△ABC的面積，再根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合圖形表示出菱形的兩對角線，然后根據(jù)菱形的面積等于兩對角線乘積的一半表示出菱形的面積，然后根據(jù)所分成的小正三角形的個數(shù)的比等于面積的比列式計算即可得解．

解答： 解：設(shè)正△ABC的邊長為x，則高為S△ABC=x?x=x，2x，∵所分成的都是正三角形，9 結(jié)束，當(dāng)右下角的點橫坐標(biāo)是偶數(shù)時，以橫坐標(biāo)為1，縱坐標(biāo)為右下角橫坐標(biāo)的偶數(shù)減1的點結(jié)束，根據(jù)此規(guī)律解答即可．

解答： 解：根據(jù)圖形，以最外邊的正方形邊長上的點為準(zhǔn)，點的總個數(shù)等于x軸上右下角的點的橫坐標(biāo)的平方，例如：右下角的點的橫坐標(biāo)為1，共有1個，1=1，右下角的點的橫坐標(biāo)為2時，共有4個，4=2，右下角的點的橫坐標(biāo)為3時，共有9個，9=3，右下角的點的橫坐標(biāo)為4時，共有16個，16=4，?

右下角的點的橫坐標(biāo)為n時，共有n個，∵45=2025，45是奇數(shù)，∴第2025個點是（45，0），第2012個點是（45，13），所以，第2012個點的橫坐標(biāo)為45． 故答案為：45．

點評： 本題考查了點的坐標(biāo)，觀察出點個數(shù)與橫坐標(biāo)的存在的平方關(guān)系是解題的關(guān)鍵．

9．（2012?北京）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，我們把橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點叫做整點．已知點A（0，4），點B是x軸正半軸上的整點，記△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點個數(shù)為m．當(dāng)m=3時，點B的橫坐標(biāo)的所有可能值是 ；當(dāng)點B的橫坐標(biāo)為4n（n為正整數(shù)）時，m=（用含n的代數(shù)式表示）．

22222

考點： 點的坐標(biāo)。專題： 規(guī)律型。

分析： 根據(jù)題意畫出圖形，再找出點B的橫坐標(biāo)與△AOB內(nèi)部（不包括邊界）的整點m之間的關(guān)系即可求出答案．

由此可得A（2，0），則B2（，），由勾股定理得OB2=2，則A（0），則B3（2，2），?，32，由此得出一般結(jié)論．

解答： 解：∵B1，B2，B3，?，Bn都在直線y=x上，∴B1，B2，B3，?，Bn各點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，由A1（1，0），得B1（1，1），此時OB1=可知，A2（，0），則B2（，），同理可得B3（2，2），?，則Bn（故答案為：（，）．）．

點評： 本題考查了一次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是明確直線y=x上點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等特點，由易到難，由特殊到一般，得出規(guī)律．

11．（2012?鄂州）已知，如圖，△OBC中是直角三角形，OB與x軸正半軸重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=，將△OBC繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使OB1=OC，得到△OB1C1，將△OB1C1繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°再將其各邊擴(kuò)大為原來的m倍，使OB2=OC1，得到△OB2C2，?，如此繼續(xù)下去，得到△OB2012C2012，則m= ．點C2012的坐標(biāo)是 ．

考點： 坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；解直角三角形。專題： 規(guī)律型。

分析： 先解直角三角形求出∠BOC=60°，再根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半即可求出m的值，然后求出OC1、OC2、OC3、?、OCn的長度，再根據(jù)周角等于360°，每6個為一個循環(huán)組，求出點C2012是第幾個循環(huán)組的第幾個點，再根據(jù)變化規(guī)律寫出點的坐標(biāo)即可． 解答： 解：∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，3

考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 由n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，?Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，?，BnBn+1的中點，即可求得△B1C1Mn的面積，又由BnCn∥B1C1，即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，求得答案． 解答： 解：∵n個邊長為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點M1，M2，M3，?Mn分別為邊B1B2，B2B3，B3B4，?，BnBn+1的中點，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×∵BnCn∥B1C1，∴△BnCnMn∽△B1C1Mn，=，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）=（2），2即Sn：=，∴Sn=故答案為：．

．

考點： 一次函數(shù)綜合題。專題： 代數(shù)幾何綜合題；規(guī)律型。

分析： 利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線的解析式，再求出直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)，求出直線與x軸的夾角的正切值，分別過等腰直角三角形的直角頂點向x軸作垂線，然后根據(jù)等腰直角三角形斜邊上的高線與中線重合并且等于斜邊的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜邊上的高線，即可得到各點的縱坐標(biāo)的規(guī)律． 解答： 解：∵A1（1，1），A2（，）在直線y=kx+b上，∴，解得，∴直線解析式為y=x+，如圖，設(shè)直線與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別為N、M，當(dāng)x=0時，y=，當(dāng)y=0時，x+=0，解得x=﹣4，∴點M、N的坐標(biāo)分別為M（0，），N（﹣4，0），∴tan∠MNO===，作A1C1⊥x軸與點C1，A2C2⊥x軸與點C2，A3C3⊥x軸與點C3，∵A1（1，1），A2（，），∴OB2=OB1+B1B2=2×1+2×=2+3=5，7

n次（n＞1）平移的橫坐標(biāo)得到矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值．

解答： 解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，則 ①與BC，AB平移后的對應(yīng)邊相交；

與AB平移后的對應(yīng)邊相交的交點的坐標(biāo)為（2，1.4），則1.4=，解得k=2.8=，． 故反比例函數(shù)解析式為y=則第n次（n＞1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為：﹣=

；

②與OC，AB平移后的對應(yīng)邊相交； k﹣=0.6，解得k=．

故反比例函數(shù)解析式為y=

．

則第n次（n＞1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為：﹣=

．

故第n次（n＞1）平移得到的矩形的邊與該反比例函數(shù)圖象的兩個交點的縱坐標(biāo)之差的絕對值為故答案為：或或

．

．

點評： 考查了反比例函數(shù)綜合題，本題的關(guān)鍵是根據(jù)第1次平移得到的矩形的邊與反比例函數(shù)圖象有兩個交點，它們的縱坐標(biāo)之差的絕對值為0.6，分①與BC，AB平移后的對應(yīng)邊相交；②與OC，AB平移后的對應(yīng)邊相交；兩種情況討論求解．

17．（2012?鐵嶺）如圖，點E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，連接A1F、B1G、C1H、D1E得四邊形A2B2C2D2，以此類推得四邊形A3B3C3D3?，若菱形A1B1C1D1的面積為S，則四邊形AnBnCnDn的面積為 ．

考點： 三角形中位線定理；菱形的性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 由E、F、G、H分別為菱形A1B1C1D1各邊的中點，得到A1H=C1F，又A1H∥C1F，利用一組邊長平行且相等的四邊形為平行四邊形得到四邊形A1HC1F為平行四邊形，根據(jù)平行線間的距離相等及平行四邊形與三角形的面積公式，可得出四邊形A1HC1F的面積等于△HB1C1面積的2倍，等于△A1D1F面積的2倍，而這三個的面積之和為菱形的面積S，可得出四邊形A1HC1F面積為菱形面積S的一半，再由平行線等分線段定理得到A2為A1D2的中點，C2為C1B2的中點，B2為B1A2的中點，D2為D1C2的中點，利用三角形的中位線定理得到HB2=A1A2，D2F=C1C2，可得出A1A2B2H和C1C2D2F都為梯形，且高與平行四邊形A2B2C2D2的高h(yuǎn)相等（設(shè)高為h），下底與平行四邊形A2B2C2D2的邊A2D2與x相等（設(shè)A2D2=x），分別利用梯形的面積公式及平行四邊形的面積公式表示出各自的面積，得出三個面積之比，可得出平行四邊形A2B2C2D2的面積占三個圖形面積的，即為四邊形A1HC1F面積的，為菱形面積的，同理得到四邊形A3B3C3D3的面積為菱形面積的（），以此類推，表示出四邊形AnBnCnDn的面積即可． 解答： 解：∵H為A1B1的中點，F(xiàn)為C1D1的中點，∴A1H=B1H，C1F=D1F，又A1B1C1D1為菱形，∴A1B1=C1D1，∴A1H=C1F，又A1H∥C1F，∴四邊形A1HC1F為平行四邊形，∴S四邊形A1HC1F=2S△HB1C1=2S△A1D1F，又S四邊形A1HC1F+S△HB1C1+S△A1D1F=S菱形A1B1C1D1=S，1

考點： 等腰三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠BA1A的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出∠An的度數(shù)． 解答： 解：∵在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，∴∠BA1A==

=80°，∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，∴∠CA2A1=同理可得，∠DA3A2=20°，∠EA4A3=10°，∴∠An=故答案為：．

． =

=40°；

點評： 本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵．

19．（2012?鞍山）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=a，作斜邊AB邊中線CD，得到第一個三角形ACD；DE⊥BC于點E，作Rt△BDE斜邊DB上中線EF，得到第二個三角形DEF；依此作下去?則第n個三角形的面積等于 ．

考點： 正方形的性質(zhì)。專題： 規(guī)律型。

分析： 求a2的長即AC的長，根據(jù)直角△ABC中AB+BC=AC可以計算，同理計算a3、a4．由求出的a2=a1，a3=a2?，an=

an﹣1=（）

n﹣1

2，可以找出規(guī)律，得到第n個正方形邊長的表達(dá)式．

解答： 解：∵a2=AC，且在直角△ABC中，AB+BC=AC，∴a2=同理a3=a4=?

由此可知：an=（故答案為：（））n﹣1n﹣1

2a1=，a2=2，a3=2

a1=（）

n﹣1，點評： 本題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了學(xué)生找規(guī)律的能力，本題中找到an的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．

三．解答題（共13小題）

21．（2012?廣東）觀察下列等式： 第1個等式：a1==×（1﹣）；

第二篇：2014年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型：猜想型問題

2014年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型：猜想型問題進(jìn)入中考二輪復(fù)習(xí)階段，考生們應(yīng)該進(jìn)行專項的有針對性的復(fù)習(xí)，哪里薄弱攻哪里？中考數(shù)學(xué)題型中有這么一類——歸納猜想型問題的中考題，高分網(wǎng)小編和考生分享下這類題型的特點及知識點分類，希望對大家有所幫助！

【猜想型問題的特點】

猜想是對研究的對象或問題，進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的觀察，通過實驗、分析、比較、聯(lián)想、類比、歸納等，依據(jù)已有的材料知識，自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)結(jié)論，作出符合一定的經(jīng)驗與事實的推測性想象的思維方法。現(xiàn)代認(rèn)知理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是主體主動的意義建構(gòu)活動，是主體頭腦里建立和發(fā)展數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程，是數(shù)學(xué)活動及其經(jīng)驗內(nèi)化的過程，而猜想是對抽象化的、形式化的數(shù)學(xué)進(jìn)行思辨過程。

【猜想型問題的解決方法】

通過動手實踐、自主探索，動腦獨立思考，經(jīng)過實驗、操作、觀察、類比、歸納、猜想等活動，自己“發(fā)現(xiàn)”數(shù)學(xué)結(jié)論。同時，需要將猜想與動手操作有機(jī)的結(jié)合起來，并對此探索出來的結(jié)論進(jìn)行證明。依據(jù)“操作-猜想”與體驗教學(xué)的相通性，根據(jù)自己的觀察實驗，在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上提出合理的猜想，在“手腦并用”中體會“觀察--聯(lián)想--類比--猜想”的思想方法，猜想也不是直觀而蒼白無力的主觀判斷，而是經(jīng)過了觀察、動手操作、測量，運(yùn)用了測量歸納、類比驗證等數(shù)學(xué)思想方法，得出來的符合一定的經(jīng)驗與事實的數(shù)學(xué)結(jié)論。

【猜想型問題的分類】

這一類題目，主要集中在數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)型規(guī)律、圖形中的規(guī)律探索這幾個方面，因而，根據(jù)其特點，我們將其分為：數(shù)式規(guī)律、圖形規(guī)律、數(shù)型規(guī)律、探究圖形中的規(guī)律這幾類。

第三篇：中考數(shù)學(xué)猜想證明題

2012年的8個解答題的類型

一實數(shù)的計算、整式的化簡求值、分式的化簡求值、解分式方程、解二元一次方程組、解不等式組并在數(shù)軸上表示解集

二畫圖與計算、圓的證明與計算、三角函數(shù)應(yīng)用題

三統(tǒng)計應(yīng)用題、用列表法或樹形圖求某以事件的概率、統(tǒng)計與概率的綜合應(yīng)用題

四一次與反比例函數(shù)的數(shù)形結(jié)合、二次函數(shù)的數(shù)形結(jié)合、列方程或方程組解應(yīng)用題

五、猜想與證明題

六、綜合應(yīng)用題

七、探索發(fā)現(xiàn)應(yīng)用題

八、動點應(yīng)用題

現(xiàn)在舉出典例來領(lǐng)悟猜想與證明題的解題思路：

第四篇：中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)必知的復(fù)習(xí)技巧有哪些

新初三學(xué)生已經(jīng)開學(xué)一個月的時間了，學(xué)生開始面臨中考的壓力，在所有學(xué)科中，很多學(xué)生最擔(dān)心的就是數(shù)學(xué)成績的提高，不少學(xué)生早早的開始了中考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)。但如何讓中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)能夠有效果呢？復(fù)習(xí)可以通過掌握以下幾個關(guān)鍵，來提升自己的成績。

一、模擬訓(xùn)練關(guān)鍵是選好模擬試題，要按照初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試說明要求，結(jié)合中考數(shù)學(xué)試卷的結(jié)構(gòu)特點和命題趨勢，選擇真正具有模擬性的模擬試題。時間的安排，題量的多少，低、中、高檔題的比例，總體難度的控制等都要符合中考要求。

二、模擬測試后，要及時對答案，趁熱打鐵，有利于及時查漏補(bǔ)缺，復(fù)習(xí)效果明顯提高。同事要對自己做的卷子評分，嚴(yán)格按照中考評分要求，以便掌握自身的復(fù)習(xí)水平。

三、留給自己一定的糾錯和消化時間。教師講過的內(nèi)容，要整理下來；教師沒講的自己解錯的題要糾錯；與之相關(guān)的基礎(chǔ)知識要再記憶再鞏固。

四、適當(dāng)?shù)摹敖夥拧?，特別是在時間安排上。經(jīng)過一段時間的考、考、考，幾乎所有的學(xué)生心身都會感到疲勞，如果把這種疲勞的狀態(tài)帶進(jìn)中考考場，那肯定是個較差的結(jié)果。但要注意，解放不是放松，必須保證有個適度緊張的精神狀態(tài)。實踐證明，適度緊張是正?；蛘叱０l(fā)揮的最佳狀態(tài)。調(diào)節(jié)的生物鐘，盡量把學(xué)習(xí)、思考的時間調(diào)整得與中考答卷時間相吻合，關(guān)注的心態(tài)和信心調(diào)整，此時此刻學(xué)生的信心的作用變?yōu)榱俗畲蟆?/p>

第五篇：2012年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座二：幾何綜合題問題

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2012年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題精選講座二

幾何綜合題

(浙江省象山天天培訓(xùn)學(xué)校方德懿)

【知識縱橫】

幾何綜合題是中考試卷中常見的題型，大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題，它主 要考查學(xué)生綜合運(yùn)用幾何知識的能力，這類題往往圖形較復(fù)雜，涉及的知識點較多，題設(shè)和結(jié)論之間的關(guān)系較隱蔽，常常需要添加輔助線來解答。解幾何綜合題，一要注意圖形的直觀提示；二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件，為解題創(chuàng)造條件打好基礎(chǔ)；同時，也要由未知想需要，選擇已知條件，轉(zhuǎn)化結(jié)論來探求思路，找到解決問題的關(guān)鍵。

解幾何綜合題，還應(yīng)注意以下幾點：

⑴ 注意觀察、分析圖形，把復(fù)雜的圖形分解成幾個基本圖形，通過添加輔助線補(bǔ)全或構(gòu)造基本圖形。

⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路。

⑶ 運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想解決幾何證明問題，運(yùn)用方程的思想解決幾何計算問題．還要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)形結(jié)合、分類討論等。

【選擇填空】

1．（浙江寧波）勾股定理是幾何中的一個重要定理．在我國古算書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，點D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為【】

A．90B．100C．110D．1

212.（浙江湖州）如圖，將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色

菱形，這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形，若的邊長是

m47?，則△ABCn2

53.（浙江寧波）如圖，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB，D是線段BC

上的一個動點，以AD為直徑畫⊙O分別交AB，AC于E，F(xiàn)，連接EF，則線段EF長

度的最小值為．

【典型試題】

1、.（福建廈門）已知ABCD，對角線AC與BD相交于點O，點P在邊AD上，過點P分 別作PE⊥AC、PF⊥BD，垂足分別為E、F，PE＝PF．

（1）如圖，若PE3，EO＝1，求∠EPF的度數(shù)；

（2）若點P是AD的中點，點F是DO的中點，BF ＝BC＋

32－4，求BC的長．

【考點】平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義。

【分析】（1）連接PO，利用解直角三角形求出∠EPO=30°，再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠FPO=∠EPO，從而得解。

（2）根據(jù)條件證出 ABCD是正方形。根據(jù)正方形的對角線與邊長的關(guān)系列式計算即可得解。

2.（浙江義烏）在銳角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1．

（1）如圖1，當(dāng)點C1在線段CA的延長線上時，求∠CC1A1的度數(shù)；

（2）如圖2，連接AA1，CC1．若△ABA1的面積為4，求△CBC1的面積；

（3）如圖3，點E為線段AB中點，點P是線段AC上的動點，在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)過程中，點P的對應(yīng)點是點P1，求線段EP1長度的最大值與最小值．

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=45°，BC=BC1，又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)。

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：△ABC≌△A1BC1，易證得△ABA1∽△CBC1，利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△CBC1的面積。

（3）由①當(dāng)P在AC上運(yùn)動至垂足點D，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB上時，EP1最?。虎诋?dāng)P在AC上運(yùn)動至點C，△ABC繞點B旋轉(zhuǎn)，使點P的對應(yīng)點P1在線段AB的延長線上時，EP1最大，即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。

3.（浙江杭州）如圖，AE切⊙O于點E，AT交⊙O于點M，N，線段OE交AT于點C，OB⊥AT于點B，已知∠EAT=30°，AE，MN

（1）求∠COB的度數(shù)；

（2）求⊙O的半徑R；

?（3）點F在⊙O上（FME是劣?。褽F=5，把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似

變換后，使它的兩個頂點分別與點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形

共有多少個？你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎？請在圖中畫出

這個三角形，并求出這個三角形與△OBC的周長之比．

【考點】切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，勾股定理，垂徑定理，平移、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)。

【分析】（1）利用兩對對應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)角相等可得出所求的角與∠A相等，由∠A的度數(shù)即可求出所求角的度數(shù)。

（2）利用銳角三角函數(shù)定義求出CE的長，再由OB⊥MN，根據(jù)垂徑定

理、勾股定理列出關(guān)于R的方程。

（3）把△OBC經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)和相似變換后，使它的兩個頂點分別與

點E，F(xiàn)重合．在EF的同一側(cè)，這樣的三角形共有6個。

頂點在圓上的三角形，延長EO與圓交于點D，連接DF，△FDE即為所

求。

利用銳角三角函數(shù)定義求出DF的長，表示出△EFD的周長，再由（2）求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長，即可求出兩三角形的周長之比。

4.（廣東佛山）（1）按語句作圖并回答：作線段AC（AC=4），以A為圓心a為半徑作圓，再以C為圓心b為半徑作圓（a＜4，b＜4，圓A與圓C交于B、D兩點），連接AB、BC、CD、DA．

若能作出滿足要求的四邊形ABCD，則a、b應(yīng)滿足什么條件？

（2）若a=2，b=3，求四邊形ABCD的面積．

【考點】作圖（復(fù)雜作圖），相交兩圓的性質(zhì)，勾股定理。

【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，只有兩圓相交，才能得出四

邊形，即可得出答案；

（2）連接BD，根據(jù)相交兩圓的性質(zhì)得出DB⊥AC，BE=DE，設(shè)CE= x，則AE=4－x，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于x的方程，求出

x，根據(jù)三角形的面積公式求出即可。

5.（浙江嘉興）將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ度，并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍，得△AB′C′，即如圖①，我們將這種變換記為[θ，n]．

（1）如圖①，對△ABC作變換[60°

得△AB′C′，則S△AB′C′：S△ABC=BC與直線B′C′所夾的銳角為度；

（2）如圖②，△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，對△ABC 作變換[θ，n]得△AB'C'，使點B、C、C′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為矩形，求θ和n的值；

（4）如圖③，△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，對△ABC作變換[θ，n]得△AB′C′，使點B、C、B′在同一直線上，且四邊形ABB'C'為平行四邊形，求θ和n的值．

【考點】新定義，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30角直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，公式法解一元二次方。

【分析】（1）根據(jù)題意得：△ABC∽△AB′C′，0

?AB??∴S△AB′C′：S△ABC

=??=?AB?22?3，∠B=∠B′。

∵∠ANB=∠B′NM，∴∠BMB′=∠BAB′=60°。

（2）由四邊形 ABB′C′是矩形，可得∠BAC′=90°，然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC，即可求得θ的度數(shù)，又由含30°角的直角三角形的性質(zhì)，即可求得n的值。

（3）由四邊形ABB′C′是平行四邊形，易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°，又由△ABC∽△B′BA，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，易得AB=CB?BB′=CB（BC+CB′），繼而求得答案。

【自主訓(xùn)練】

1.（廣東汕頭）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8．把△BCD沿對角線BD折疊，使點C落在C′處，BC′交AD于點G；E、F分別是C′D和BD上的點，線段EF交AD于點H，把△FDE沿EF折疊，使點D落在D′處，點D′恰好與點A重合．

（1）求證：△ABG≌△C′DG；

（2）求tan∠ABG的值；

（3）求EF的長．

2.（湖北宜昌）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．點E

為底AD上一點，將△ABE沿直線BE折疊，點A落在梯形對角線BD上的G處，EG的延長線交直線BC于點F．

（1）點E可以是AD的中點嗎？為什么？

（2）求證：△ABG∽△BFE；

（3）設(shè)AD=a，AB=b，BC=c

①當(dāng)四邊形EFCD為平行四邊形時，求a，b，c應(yīng)滿足的關(guān)系；

②在①的條件下，當(dāng)b=2時，a的值是唯一的，求∠C的度數(shù)．

3.（廣東珠海）已知，AB是⊙O的直徑，點P在弧AB上（不含點A、B），把△AOP沿OP對折，點A的對應(yīng)點C恰好落在⊙O上．

（1）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖1），判斷PO與BC的位置關(guān)系（只回答結(jié)果）；

（2）當(dāng)P在AB上方而C在AB下方時（如圖2），（1）中結(jié)論還成立嗎？證明你的結(jié)論；

（3）當(dāng)P、C都在AB上方時（如圖3），過C點作CD⊥直線AP于D，且CD是⊙O的切線，證明：AB=4PD．

4.（湖北天門）△ABC中，AB=AC，D為BC的中點，以D為頂點作∠MDN=∠B．

（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點A時，DM交AC邊于點E，不添加輔助線，寫出圖中所有與△ADE相似的三角形．

（2）如圖（2），將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點（點E與點A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論．

（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=12，當(dāng)△DEF的面積等于△ABC的面積的5.（四川樂山）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，四邊形ADEF是正方形，D、F分別在AB、AC邊上，此時BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)θ（0°＜θ＜90°）時，如圖2，BD=CF成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

（2）當(dāng)正方形ADEF繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，如圖3，延長BD交CF于點G．

①求證：BD⊥CF；

②當(dāng)AB=4，AD

時，求線段BG的長．

1時，求線段EF的長． 4