第一篇：數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)——《動(dòng)點(diǎn)問題》教案

中考專題復(fù)習(xí)——?jiǎng)狱c(diǎn)問題

【學(xué)情分析】

動(dòng)點(diǎn)一般在中考都是壓軸題，步驟不重要，重要的是思路。動(dòng)點(diǎn)類題目一般都有好幾問，前一問大都是后一問的提示，就像幾何探究類題一樣，如果后面的題難了，可以反過去看看前面問題的結(jié)論 【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：

1、利用特殊三角形的性質(zhì)和定理解決動(dòng)點(diǎn)問題；

2、分析題目，了解有幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的路程，速度（動(dòng)點(diǎn)怎么動(dòng)）；

3、結(jié)合圖形和題目，得出已知或能間接求出的數(shù)據(jù)。

過程與方法：

1、利用分類討論的方法分析并解決問題；

2、數(shù)形結(jié)合、方程思想的運(yùn)用。

情感態(tài)度價(jià)值觀：通過動(dòng)手操作、合作交流，探索證明等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)中的移動(dòng)距離，找出等量列方程。【教學(xué)難點(diǎn)】

1、兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)的距離變化；

2、運(yùn)動(dòng)題型中的分類討論 【教學(xué)方法】教師引導(dǎo)、自主思考 【教學(xué)過程】

一、動(dòng)點(diǎn)問題的近況：

1、動(dòng)態(tài)幾何

圖形中的點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)－－－－問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）它通常分為三種類型：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題。在解這類問題時(shí)，要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑。本節(jié)課重點(diǎn)來探究動(dòng)態(tài)幾何中的第一種類型----動(dòng)點(diǎn)問題。所謂動(dòng)點(diǎn)問題：是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放新題目。

2、三年中考概況；

近年來運(yùn)動(dòng)問題是以三角形或四邊形為背景，用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來探究幾何圖形變化規(guī)律的問題．這類題的特點(diǎn)是：圖形中的某些元素(如點(diǎn)、線段、角等)或整個(gè)圖形按某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)，圖形的各個(gè)元素在運(yùn)動(dòng)變化過程中相互依存，相互制約．

3、解題策略和方法：

“動(dòng)點(diǎn)型問題” 題型繁多、題意創(chuàng)新，考察學(xué)生的分析問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等，是近幾年中考題的熱點(diǎn)和難點(diǎn)。解決動(dòng)點(diǎn)問題的關(guān)鍵是“動(dòng)中求靜”.動(dòng)點(diǎn)問題一直是中考熱點(diǎn)，近幾年考查探究運(yùn)動(dòng)中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四邊形、梯形、特殊角或其三角函數(shù)、線段或面積的最值。

從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過程中滲透空間觀念和合情推理。在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

4、動(dòng)點(diǎn)問題所用的數(shù)學(xué)思想：

解決運(yùn)動(dòng)型問題常用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：分類討論法，數(shù)形結(jié)合法等。

二、探究新知

1、一個(gè)動(dòng)點(diǎn)：圖形中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)所形成的等腰三角形 【自主探究】

例

1、如圖：已知平行四邊形ABCD中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s。

若設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，連接PC,當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC為等腰三角形？

分析：若三角形PBC為等腰三角形

則PB=BC

7-t=4

t=3

ADCB溫馨提示：等腰三角形的性質(zhì)：腰相等、底角相等、三線合一

教師活動(dòng)：利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，在某一時(shí)刻靜止，讓學(xué)生觀察圖形的特點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)解決問題。

學(xué)生活動(dòng)：仔細(xì)觀察幾何畫板中圖形的運(yùn)動(dòng)過程，在靜止時(shí)刻時(shí)，圖形的特點(diǎn)，將相關(guān)線段用含有t的式子表示出來，從而列出方程。歸納方法：

1、定圖形；

2、t已知；

3、列方程。

【合作探究】

變式：若點(diǎn)P從點(diǎn)A沿射線AB邊向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s。當(dāng)t為何

DC值時(shí)，△PBC為等腰三角形？

AB學(xué)生活動(dòng)：小組合作探究點(diǎn)P在射線上運(yùn)動(dòng)所形成幾種情況，在利用（1）中得到方法。盡可能的將畫出靜止時(shí)的圖形，從而解決問題。教師活動(dòng)：利用幾何畫板展示幾種情況。

2、兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)：圖形中有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的情況?！咀灾魈骄俊?/p>

例2：:如圖．△ABC中AB=6cm，BC=4cm，∠B=60°，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)；它們的速度分別為2cm/s和1cm/s．當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)．P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．當(dāng)t為 ______時(shí)，△PBQ為直角三角形．

P8師：

1、根據(jù)剛才的方法，請(qǐng)同學(xué)們?cè)囍嫵鲮o態(tài)圖形，注意兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)的速度問題。（兩名學(xué)生在黑板上板演）

2、用代數(shù)式表示圖中有用的線段：AP=2t,BQ=t,所以：BP=6-2t。（學(xué)生講解）

3、找出等量關(guān)系（三角函數(shù)關(guān)系），構(gòu)建方程模型。

溫馨提示：含有30度的直角三角形的性質(zhì)；

教師活動(dòng)：利用幾何畫板演示動(dòng)態(tài)圖形，讓學(xué)生能感知靜態(tài)時(shí)的圖形。學(xué)生活動(dòng)：畫出靜態(tài)時(shí)的圖形，并試著列出方程。

【變換拓展】

4（2014?新疆）如圖，直線?x?8與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，動(dòng)

3點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿AO方向向點(diǎn)O勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t≤3）．

（1）寫出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）設(shè)△AQP的面積為S，試求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)t為何值時(shí)，△AQP的面積最大？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，并直接寫出此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題 專題：壓軸題 分析：（1）分別令y=0，x=0求解即可得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）利用勾股定理列式求出AB，然后表示出AP、AQ，再利用∠OAB的正弦求出點(diǎn)Q到AP的距離，然后利用三角形的面積列式整理即可得解；（3）根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，分∠APQ=90°和∠AQP=90°兩種情況，利用∠OAB的余弦列式計(jì)算即可得解．

師：對(duì)于第一道題快速解決即可。

解：（1）令y=0，則﹣x+8=0，解得x=6，x=0時(shí)，y=y=8，∴OA=6，OB=8，∴點(diǎn)A（6，0），B（0，8）；

師：對(duì)于第二道題只需求解出三角形APQ的高，做出圖形的高，發(fā)現(xiàn)三角形APQ 與三角形AOB是相似三角形，利用相似比解決問題，得出高后，利用三角形面積公式表示出S與t的關(guān)系式，發(fā)現(xiàn)是一個(gè)開口向下的拋物線，頂點(diǎn)是（5,20），注意自變量t的取值范圍，再求解最大面積。此題對(duì)學(xué)生進(jìn)行一定的引導(dǎo)。

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理得，AB=

=

=10，記點(diǎn)Q到AP的距離為h ∵點(diǎn)P的速度是每秒2個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度是每秒1個(gè)單位，∴AP=2t，AQ=AB﹣BQ=10﹣t，而三角形APQ與三角形AOB相似，∴hAQh10?t? ∴? ∴h=（10﹣t）OBAB810

22∴△AQP的面積S=×2t×（10﹣t）=﹣（t﹣10t）=﹣（t﹣5）+20，∵﹣＜0，頂點(diǎn)為（5,20）而0＜t≤3，∴當(dāng)t=3時(shí)，△AQP的面積最大，S最大=﹣（3﹣5）+20=

2；

師：對(duì)于第三題：讓學(xué)生講解畫圖——引導(dǎo)其講解等量關(guān)系是：三角形相似比——列出方程。

（3）若∠APQ=90°，則cos∠OAB=∴解得t==，，若∠AQP=90°，則cos∠OAB=∴解得t==，∵0＜t≤3，∴t的值為，=，）×=），），此時(shí)，OP=6﹣2×PQ=AP?tan∠OAB=（2×∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（綜上所述，t=，秒時(shí)，以點(diǎn)A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法，三角形的面積，二次函數(shù)的最值問題，相似三角形對(duì)應(yīng)角相等的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，（2）要注意根據(jù)t的取值范圍求三角形的面積的最大值，（3）難點(diǎn)在于要分情況討論

三、課堂小結(jié)

本節(jié)課主要探究了動(dòng)態(tài)幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，其實(shí)是在動(dòng)中求靜，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑，總結(jié)：定圖形、t已知、列方程。

解決運(yùn)動(dòng)型問題常用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：分類討論法，數(shù)形結(jié)合法等.。

第二篇：數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)——《動(dòng)點(diǎn)問題》教案

中考專題復(fù)習(xí)——?jiǎng)狱c(diǎn)問題

【學(xué)情分析】

動(dòng)點(diǎn)一般在中考都是壓軸題，步驟不重要，重要的是思路。動(dòng)點(diǎn)類題目一般都有好幾問，前一問大都是后一問的提示，就像幾何探究類題一樣，如果后面的題難了，可以反過去看看前面問題的結(jié)論 【教學(xué)目標(biāo)】

知識(shí)與技能：

1、利用特殊三角形的性質(zhì)和定理解決動(dòng)點(diǎn)問題；

2、分析題目，了解有幾個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)的路程，速度（動(dòng)點(diǎn)怎么動(dòng)）；

3、結(jié)合圖形和題目，得出已知或能間接求出的數(shù)據(jù)。

過程與方法：

1、利用分類討論的方法分析并解決問題；

2、數(shù)形結(jié)合、方程思想的運(yùn)用。

情感態(tài)度價(jià)值觀：通過動(dòng)手操作、合作交流，探索證明等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作精神，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】

根據(jù)動(dòng)點(diǎn)中的移動(dòng)距離，找出等量列方程?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】

1、兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí)的距離變化；

2、運(yùn)動(dòng)題型中的分類討論 【教學(xué)方法】教師引導(dǎo)、自主思考 【教學(xué)過程】

一、動(dòng)點(diǎn)問題的近況：

1、動(dòng)態(tài)幾何

圖形中的點(diǎn)動(dòng)、線動(dòng)、形動(dòng)構(gòu)成的問題稱之為動(dòng)態(tài)幾何問題.它主要以幾何圖形為載體，運(yùn)動(dòng)變化為主線，集多個(gè)知識(shí)點(diǎn)為一體，集多種解題思想于一題.這類題綜合性強(qiáng)，能力要求高，它能全面的考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力.動(dòng)態(tài)幾何特點(diǎn)－－－－問題背景是特殊圖形，考查問題也是特殊圖形，所以要把握好一般與特殊的關(guān)系；分析過程中，特別要關(guān)注圖形的特性（特殊角、特殊圖形的性質(zhì)、圖形的特殊位置。）它通常分為三種類型：動(dòng)點(diǎn)問題、動(dòng)線問題、動(dòng)形問題。在解這類問題時(shí)，要充分發(fā)揮空間想象的能力，不要被“動(dòng)”所迷惑，而是要在“動(dòng)”中求“靜”，化“動(dòng)”為“靜”，抓住它運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，尋找確定的關(guān)系式，就能找到解決問題的途徑。本節(jié)課重點(diǎn)來探究動(dòng)態(tài)幾何中的第一種類型----動(dòng)點(diǎn)問題。所謂動(dòng)點(diǎn)問題：是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們?cè)诰€段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放新題目。

2、動(dòng)點(diǎn)問題所用的數(shù)學(xué)思想：

解決運(yùn)動(dòng)型問題常用的數(shù)學(xué)思想是方程思想，數(shù)學(xué)建模思想，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有：分類討論法，數(shù)形結(jié)合法等。

一典例分析

已知：如圖①，在Rt△ACB中，?C?90，AC?4cm，BC?3cm，點(diǎn)P由B出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q由A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；連接PQ．若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)（0?t?2），解答下列問題：（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？

（2）：當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形？

B

P

AC Q

變式2：把△APQ沿AQ翻折，得到四邊形PQP'A，那么是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形PQP'A為菱形？

（3）設(shè)△AQP的面積為y（cm2），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（4）是否存在某一時(shí)刻t，使S△APQ:S△ABC=2:5若存在，求出t的值，若不存在，說明理由； 變式：是否存在某一時(shí)刻t，使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長(zhǎng)和面積同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；

二、直擊中考，實(shí)戰(zhàn)演練

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，將∠ABC對(duì)折，使點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)H恰好落在直線AB上，折痕交AC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（1）求過A、B、O三點(diǎn)的拋物線解析式；

（2）若在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于M，設(shè)PM的長(zhǎng)度等于d，試探究d有無最大值，如果有，請(qǐng)求出最大值，如果沒有，請(qǐng)說明理由．

（3）若在拋物線上有一點(diǎn)E，在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)F，且以O(shè)、A、E、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

第三篇：初中數(shù)學(xué) 幾何動(dòng)點(diǎn)問題

初中數(shù)學(xué) 幾何動(dòng)點(diǎn)問題

動(dòng)點(diǎn)型問題是最近幾年中考的一個(gè)熱點(diǎn)題型，從你初二的動(dòng)點(diǎn)問題就不是很好這

點(diǎn)來看，我認(rèn)為你對(duì)動(dòng)點(diǎn)問題缺乏技巧。

所謂“動(dòng)點(diǎn)型問題”是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn),它們?cè)诰€段、射線或弧線

上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜,靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知

識(shí)解決問題.關(guān)鍵:動(dòng)中求靜.數(shù)學(xué)思想：分類思想 函數(shù)思想方程思想數(shù)形結(jié)合思想 轉(zhuǎn)化思想

注重對(duì)幾何圖形運(yùn)動(dòng)變化能力的考查

從變換的角度和運(yùn)動(dòng)變化來研究三角形、四邊形、函數(shù)圖像等圖形，通過“對(duì)稱、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”等研究手段和方法，來探索與發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)及圖形變化，在解題過

程中滲透空間觀念和合情推理。選擇基本的幾何圖形，讓學(xué)生經(jīng)歷探索的過程，以能力立意，考查學(xué)生的自主探究能力，促進(jìn)培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力．圖形在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，需要理解圖形在不同位置的情況，才能

做好計(jì)算推理的過程。在變化中找到不變的性質(zhì)是解決數(shù)學(xué)“動(dòng)點(diǎn)”探究題的基本

思路,這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

二期課改后數(shù)學(xué)卷中的數(shù)學(xué)壓軸性題正逐步轉(zhuǎn)向數(shù)形結(jié)合、動(dòng)態(tài)幾何、動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)探究等方向發(fā)展．這些壓軸題題型繁多、題意創(chuàng)新，目的是考察學(xué)生的分析

問題、解決問題的能力，內(nèi)容包括空間觀念、應(yīng)用意識(shí)、推理能力等．從數(shù)學(xué)思

想的層面上講：（1）運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)；（2）方程思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想；（4）

分類思想；（5）轉(zhuǎn)化思想等．研究歷年來各區(qū)的壓軸性試題，就能找到今年中

考數(shù)學(xué)試題的熱點(diǎn)的形成和命題的動(dòng)向

另外再向你推薦一道2010年山東省青島市的中考數(shù)學(xué)最后一題

限于百度的公式無法打出，你可以自己去瀏覽一下。

這題的動(dòng)點(diǎn)非常典型，而且不是非常難，應(yīng)該很適合你

第四篇：初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題總結(jié)

初二動(dòng)點(diǎn)問題

1.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，動(dòng)點(diǎn)P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CB邊向B以3cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．P、Q分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另外一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形？（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形？

分析：

（1）四邊形PQCD為平行四邊形時(shí)PD=CQ．（2）四邊形PQCD為等腰梯形時(shí)QC-PD=2CE．（3）四邊形PQCD為直角梯形時(shí)QC-PD=EC．

所有的關(guān)系式都可用含有t的方程來表示，即此題只要解三個(gè)方程即可．

解答：

解：（1）∵四邊形PQCD平行為四邊形 ∴PD=CQ ∴24-t=3t 解得：t=6 即當(dāng)t=6時(shí)，四邊形PQCD平行為四邊形．

（2）過D作DE⊥BC于E 則四邊形ABED為矩形 ∴BE=AD=24cm ∴EC=BC-BE=2cm ∵四邊形PQCD為等腰梯形 ∴QC-PD=2CE 即3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）

即當(dāng)t=7（s）時(shí)，四邊形PQCD為等腰梯形．

（3）由題意知：QC-PD=EC時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形即3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）

即當(dāng)t=6.5（s）時(shí)，四邊形PQCD為直角梯形．

點(diǎn)評(píng)：

此題主要考查了平行四邊形、等腰梯形，直角梯形的判定，難易程度適中．

2.如圖，△ABC中，點(diǎn)O為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，設(shè)MN交∠BCA的外角平分線CF于點(diǎn)F，交∠ACB內(nèi)角平分線CE于E．（1）試說明EO=FO；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形并證明你的結(jié)論；

（3）若AC邊上存在點(diǎn)O，使四邊形AECF是正方形，猜想△ABC的形狀并證明你的結(jié)論．

分析：

（1）根據(jù)CE平分∠ACB，MN∥BC，找到相等的角，即∠OEC=∠ECB，再根據(jù)等邊對(duì)等角得OE=OC，同理OC=OF，可得EO=FO．

（2）利用矩形的判定解答，即有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．（3）利用已知條件及正方形的性質(zhì)解答．

解答：

解：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE，∵M(jìn)N∥BC，∴∠OEC=∠ECB，∴∠OEC=∠OCE，∴OE=OC，同理，OC=OF，∴OE=OF．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC中點(diǎn)處時(shí)，四邊形AECF是矩形． 如圖AO=CO，EO=FO，∴四邊形AECF為平行四邊形，∵CE平分∠ACB，∴∠ACE= ∠ACB，同理，∠ACF= ∠ACG，∴∠ECF=∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACG）= ×180°=90°，∴四邊形AECF是矩形．

（3）△ABC是直角三角形 ∵四邊形AECF是正方形，∴AC⊥EN，故∠AOM=90°，∵M(jìn)N∥BC，∴∠BCA=∠AOM，∴∠BCA=90°，∴△ABC是直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查利用平行線的性質(zhì)“等角對(duì)等邊”證明出結(jié)論（1），再利用結(jié)論（1）和矩形的判定證明結(jié)論（2），再對(duì)（3）進(jìn)行判斷．解答時(shí)不僅要注意用到前一問題的結(jié)論，更要注意前一問題為下一問題提供思路，有相似的思考方法．是矩形的判定和正方形的性質(zhì)等的綜合運(yùn)用．

3.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，已知AD=AB=3，BC=4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，沿線段BC向點(diǎn)C作勻速運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動(dòng)．過Q點(diǎn)垂直于AD的射線交AC于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．（1）求NC，MC的長(zhǎng)（用t的代數(shù)式表示）；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形；（3）是否存在某一時(shí)刻，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分？若存在，求出此時(shí)t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；（4）探究：t為何值時(shí)，△PMC為等腰三角形．

分析：

（1）依據(jù)題意易知四邊形ABNQ是矩形∴NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD已知，DQ就是t，即解；∵AB∥QN，∴△CMN∽△CAB，∴CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN已知，根據(jù)勾股定理可求CA=5，即可表示CM； 四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形就是PC=DQ，列方程4-t=t即解；

（3）可先根據(jù)QN平分△ABC的周長(zhǎng)，得出MN+NC=AM+BN+AB，據(jù)此來求出t的值．然后根據(jù)得出的t的值，求出△MNC的面積，即可判斷出△MNC的面積是否為△ABC面積的一半，由此可得出是否存在符合條件的t值．（4）由于等腰三角形的兩腰不確定，因此分三種情況進(jìn)行討論： ①當(dāng)MP=MC時(shí)，那么PC=2NC，據(jù)此可求出t的值． ②當(dāng)CM=CP時(shí)，可根據(jù)CM和CP的表達(dá)式以及題設(shè)的等量關(guān)系來求出t的值． ③當(dāng)MP=PC時(shí)，在直角三角形MNP中，先用t表示出三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理即可得出t的值．

綜上所述可得出符合條件的t的值．

解答: 解：（1）∵AQ=3-t ∴CN=4-（3-t）=1+t 在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=32+42 ∴AC=5 在Rt△MNC中，cos∠NCM= =，CM=（2）由于四邊形PCDQ構(gòu)成平行四邊形 ∴PC=QD，即4-t=t 解得t=2．

（3）如果射線QN將△ABC的周長(zhǎng)平分，則有： MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5分）而MN= NC=（1+t）

． ∴S△MNC=（1+t）2=（1+t）2

×4×3 當(dāng)t= 時(shí)，S△MNC=（1+t）2= ≠ ∴不存在某一時(shí)刻t，使射線QN恰好將△ABC的面積和周長(zhǎng)同時(shí)平分．

（4）①當(dāng)MP=MC時(shí)（如圖1）則有：NP=NC 即PC=2NC∴4-t=2（1+t）解得：t=

②當(dāng)CM=CP時(shí)（如圖2）則有：（1+t）=4-t 解得：t=

③當(dāng)PM=PC時(shí)（如圖3）則有：

在Rt△MNP中，PM2=MN2+PN2 而MN= NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 ∴[（1+t）]2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1= ∴當(dāng)t=，t=，t2=-1（舍去），t=

時(shí)，△PMC為等腰三角形

點(diǎn)評(píng)：

此題繁雜，難度中等，考查平行四邊形性質(zhì)及等腰三角形性質(zhì)．考查學(xué)生分類 討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．

4.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時(shí)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動(dòng)邊的另一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)即停止．已知在相同時(shí)間內(nèi)，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）當(dāng)x為何值時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形；

（2）當(dāng)x為何值時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

（3）以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，請(qǐng)說明理由．

分析：

以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊構(gòu)成一個(gè)三角形的必須條件是點(diǎn)P、N重合且點(diǎn)Q、M不重合，此時(shí)AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm；或者點(diǎn)Q、M重合且點(diǎn)P、N不重合，此時(shí)AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC=BC即x+3x=20cm．所以可以根據(jù)這兩種情況來求解x的值．

以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形的話，因?yàn)橛傻谝粏柨芍c(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，AP=MC，BQ=ND；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，AN=MC，BQ=PD．所以可以根據(jù)這些條件列出方程關(guān)系式．

如果以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形為等腰梯形，則必須使得AP+ND≠AD即2x+x2≠20cm，BQ+MC≠BC即x+3x≠20cm，AP=ND即2x=x2，BQ=MC即x=3x，x≠0．這些條件不能同時(shí)滿足，所以不能成為等腰梯形．

解答：

解：（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合或點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，以PQ，MN為兩邊，以矩形的邊（AD或BC）的一部分為第三邊可能構(gòu)成一個(gè)三角形． ①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N重合時(shí)，由x2+2x=20，得x1=-1，x2=--1（舍去）． 因?yàn)锽Q+CM=x+3x=4（-1）＜20，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)M不重合． 所以x=-1符合題意．

②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)M重合時(shí)，由x+3x=20，得x=5． 此時(shí)DN=x2=25＞20，不符合題意． 故點(diǎn)Q與點(diǎn)M不能重合． 所以所求x的值為-1．

（2）由（1）知，點(diǎn)Q只能在點(diǎn)M的左側(cè)，①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的左側(cè)時(shí)，由20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得x1=0（舍去），x2=2．

當(dāng)x=2時(shí)四邊形PQMN是平行四邊形． ②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)N的右側(cè)時(shí)，由20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得x1=-10（舍去），x2=4．

當(dāng)x=4時(shí)四邊形NQMP是平行四邊形．

所以當(dāng)x=2或x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．（3）過點(diǎn)Q，M分別作AD的垂線，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)． 由于2x＞x，所以點(diǎn)E一定在點(diǎn)P的左側(cè)．

若以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是等腰梯形，則點(diǎn)F一定在點(diǎn)N的右側(cè)，且PE=NF，即2x-x=x2-3x． 解得x1=0（舍去），x2=4．

由于當(dāng)x=4時(shí)，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，所以以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形不能為等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：

本題考查到三角形、平行四邊形、等腰梯形等圖形的邊的特點(diǎn)．

5.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，點(diǎn)M從點(diǎn)A開始，沿邊AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)N從點(diǎn)C開始，沿邊CB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s、點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、C出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形？

分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，對(duì)邊相等，求得t值；

（2）根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，下底減去上底等于12，求解即可．

解答：

解：（1）∵M(jìn)D∥NC，當(dāng)MD=NC，即15-t=2t，t=5時(shí)，四邊形MNCD是平行四邊形；（2）作DE⊥BC，垂足為E，則CE=21-15=6，當(dāng)CN-MD=12時(shí)，即2t-（15-t）=12，t=9時(shí)，四邊形MNCD是等腰梯形

點(diǎn)評(píng)：

考查了等腰梯形和平行四邊形的性質(zhì)，動(dòng)點(diǎn)問題是中考的重點(diǎn)內(nèi)容．

6.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，BC=16，DC=12，AD=21，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，P、Q分別從點(diǎn)D、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

（1）設(shè)△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？

分析：

（1）若過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形，得出PM=DC=12，由QB=16-t，可知：s= PM×QB=96-6t；

（2）本題應(yīng)分三種情況進(jìn)行討論，①若PQ=BQ，在Rt△PQM中，由 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，將各數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出；

③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，將數(shù)據(jù)代入，可將時(shí)間t求出．

解答：

解：（1）過點(diǎn)P作PM⊥BC于M，則四邊形PDCM為矩形． ∴PM=DC=12，∵QB=16-t，∴s= ?QB?PM=（16-t）×12=96-6t（0≤t≤

（2）由圖可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況）．

：

①若PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ2=t2+122，由PQ2=BQ2得t2+122=（16-t）2，解得 ；

②若BP=BQ，在Rt△PMB中，PB2=（16-2t）2+122，由PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程無解，∴BP≠PQ．

③若PB=PQ，由PB2=PQ2得t2+122=（16-2t）2+122得 合題意，舍去）． 綜上所述，當(dāng) 形．

或

時(shí)，以B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角，t2=16（不點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理．在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．

7.直線y=-34x+6與坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從O點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)A點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)停止．點(diǎn)Q沿線段OA運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)P沿路線O?B?A運(yùn)動(dòng)．

（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），△OPQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)S= 485時(shí)，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)O、P、Q為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

分析：

（1）分別令y=0，x=0，即可求出A、B的坐標(biāo)；（2））因?yàn)镺A=8，OB=6，利用勾股定理可得AB=10，進(jìn)而可求出點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是8秒，點(diǎn)P的速度是2，從而可求出，當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或0≤t≤3）時(shí)，OQ=t，OP=2t，S=t2，當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3＜t≤8）時(shí)，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作PD⊥OA于點(diǎn)D，由相似三角形的性質(zhì)，得 PD=48-6t5，利用S= 12OQ×PD，即可求出答案；（3）令S= 485，求出t的值，進(jìn)而求出OD、PD，即可求出P的坐標(biāo)，利用平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，結(jié)合簡(jiǎn)單的計(jì)算即可寫出M的坐標(biāo)．

解答：

解：（1）y=0，x=0，求得A（8，0）B（0，6），（2）∵OA=8，OB=6，∴AB=10． ∵點(diǎn)Q由O到A的時(shí)間是 81=8（秒），∴點(diǎn)P的速度是 6+108=2（單位長(zhǎng)度/秒）． 當(dāng)P在線段OB上運(yùn)動(dòng)（或O≤t≤3）時(shí)，OQ=t，OP=2t，S=t2．

當(dāng)P在線段BA上運(yùn)動(dòng)（或3＜t≤8）時(shí)，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如圖，做PD⊥OA于點(diǎn)D，由 PDBO=APAB，得PD= 48-6t5． ∴S= 12OQ?PD=-35t2+245t．

（3）當(dāng)S= 485時(shí)，∵ 485＞12×3×6∴點(diǎn)P在AB上 當(dāng)S= 485時(shí)，-35t2+245t= 485 ∴t=4 ∴PD= 48-6×45= 245，AD=16-2×4=8 AD= 82-(245)2= 325 ∴OD=8-325= 85 ∴P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）

點(diǎn)評(píng)：

本題主要考查梯形的性質(zhì)及勾股定理．在解題（2）時(shí)，應(yīng)注意分情況進(jìn)行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．

第五篇：中考數(shù)學(xué)壓軸題專題-動(dòng)點(diǎn)綜合問題（解析版）

決勝2021中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘精品

專題15

動(dòng)點(diǎn)綜合問題

【考點(diǎn)1】動(dòng)點(diǎn)之全等三角形問題

【例1】1．如圖,CA⊥BC,垂足為C,AC=2Cm,BC=6cm,射線BM⊥BQ,垂足為B,動(dòng)點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動(dòng),點(diǎn)N為射線BM上一動(dòng)點(diǎn),滿足PN=AB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)_______秒時(shí)，△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.(2個(gè)全等三角形不重合)

【答案】0；4；8；12

【分析】

此題要分兩種情況：①當(dāng)P在線段BC上時(shí)，②當(dāng)P在BQ上，再分別分兩種情況AC＝BP或AC＝BN進(jìn)行計(jì)算即可．

【詳解】

解：①當(dāng)P在線段BC上，AC＝BP時(shí)，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝6?2＝4，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4÷1＝4（秒）；

②當(dāng)P在線段BC上，AC＝BN時(shí)，△ACB≌△NBP，這時(shí)BC＝PN＝6，CP＝0，因此時(shí)間為0秒；

③當(dāng)P在BQ上，AC＝BP時(shí)，△ACB≌△PBN，∵AC＝2，∴BP＝2，∴CP＝2＋6＝8，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為8÷1＝8（秒）；

④當(dāng)P在BQ上，AC＝NB時(shí)，△ACB≌△NBP，∵BC＝6，∴BP＝6，∴CP＝6＋6＝12，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為12÷1＝12（秒），故答案為0或4或8或12．

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等時(shí)必須有邊的參與，若有兩邊一角對(duì)應(yīng)相等時(shí)，角必須是兩邊的夾角．

【變式1-1】已知正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線段OB、OC上的動(dòng)點(diǎn)

（1）如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE＝OF（如圖），且AE⊥BF時(shí)，問點(diǎn)E在什么位置？并證明你的結(jié)論；

（2）如果動(dòng)點(diǎn)E、F滿足BE＝CF（如圖），寫出所有以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形（不得添加輔助線）．

【答案】（1）當(dāng)AE⊥BF時(shí)，點(diǎn)E在BO中點(diǎn)，見解析；（2）以點(diǎn)E或F為頂點(diǎn)的全等三角形有△ABE≌△BCF，△AOE≌△BOF，△ADE≌△BAF.【分析】

（1）根據(jù)正方形性質(zhì)及已知條件得出△BEM∽△AEO，△BEM∽△BOF，再根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可得出答案；

（2）根據(jù)正方形性質(zhì)及BE＝CF即可得出全等的三角形．

【詳解】

解：（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在中點(diǎn)．證明如下：

延長(zhǎng)交于點(diǎn)，如圖所示：，，，，，，故當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在中點(diǎn)；

（2）四邊形是正方形，，，，，，在△ABE和△BCF中，同理可得，；

以點(diǎn)或?yàn)轫旤c(diǎn)的全等三角形有，；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比較綜合，難度較大，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式1-2】如圖①，將長(zhǎng)方形紙片沿對(duì)角線剪成兩個(gè)全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．現(xiàn)將△ABC和△EDF按如圖②的方式擺放（點(diǎn)A與點(diǎn)D、點(diǎn)B與點(diǎn)E分別重合）．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC以2cm/s的速度向點(diǎn)C勻速移動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)E出發(fā)，沿射線ED以acm/s

（0＜a＜3）的速度勻速移動(dòng)，連接PQ、CQ、FQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為ts

（0≤t≤5）．

（1）當(dāng)t＝2時(shí)，S△AQF＝3S△BQC，則a＝；

（2）當(dāng)以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等時(shí)，求a的值；

（3）如圖③，在動(dòng)點(diǎn)P、Q出發(fā)的同時(shí)，△ABC也以3cm/s的速度沿射線ED勻速移動(dòng)，當(dāng)以A、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△EFQ全等時(shí)，求a與t的值．

【答案】（1）1；（2）；（3）a＝2時(shí)，t＝2；或a＝2.3時(shí)，t＝5．

【分析】

（1）由題意得∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，由三角形面積得AQ＝3BQ，則AB＝4BQ＝8，得BQ＝2＝2a，則a＝1；

（2）由題意得點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，則AP＝AC﹣PC＝4，PQ⊥AC，得t＝2，則PQ＝BQ＝2a，再由三角形面積關(guān)系即可得出答案；

（3）分兩種情況：①AP與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EF為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EQ，AQ＝EF＝10，求出a＝2，BQ＝BE﹣EQ＝t，則AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得t＝2；

②AP與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EF＝10，AQ＝EQ，求出t＝5，則AQ＝EQ＝5a，得BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，再分別求出a的值即可．

【詳解】

解：（1）由題意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝AF×AQ，S△BQC＝BC×BQ，∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；

故答案為：1；

（2）∵以P、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BQC全等，CQ是公共邊，∴點(diǎn)P與B為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∵△ABC的面積＝△ACQ的面積+△BCQ的面積，∴×8×6＝×10×2a+×2a×6，解得：a＝；

（3）由題意得：∠A＝∠E，∴∠A與∠E為對(duì)應(yīng)角，分兩種情況：

①AP與EQ為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EF為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；

②AP與EF為對(duì)應(yīng)邊，AQ與EQ為對(duì)應(yīng)邊，則AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，當(dāng)BQ＝15﹣5a時(shí)，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（無意義），解得：a＝2.3；

當(dāng)BQ＝5a﹣15時(shí)，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（無意義），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，不合題意，舍去；

綜上所述，a＝2時(shí)，t＝2；或a＝2.3時(shí)，t＝5．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查全等三角形的綜合問題及動(dòng)點(diǎn)問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意找到動(dòng)點(diǎn)之間的聯(lián)系，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解問題即可，注意分類討論思想的運(yùn)用．

【考點(diǎn)2】動(dòng)點(diǎn)之直角三角形問題

【例2】如圖，在四邊形紙片中，，，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是折線上的動(dòng)點(diǎn)，將紙片沿直線折疊，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在邊上，連接，若是直角三角形，則的長(zhǎng)為________．

【答案】1或

【分析】

如圖（見解析），先利用解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)，再分和兩種情況，分別求出的長(zhǎng)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)、線段的和差即可得．

【詳解】

如圖，過點(diǎn)C作于點(diǎn)M，過點(diǎn)D作于點(diǎn)N，，四邊形CDNM是矩形，在中，，在中，，由折疊的性質(zhì)得：，點(diǎn)在邊上，即，由題意，分以下兩種情況：

（1）當(dāng)時(shí)，是直角三角形，在中，，；

（2）當(dāng)時(shí)，是直角三角形，在中，，；

綜上，AE的長(zhǎng)為1或，故答案為：1或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形、勾股定理、矩形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．

【變式2-1】（2019·遼寧中考模擬）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4，0)和點(diǎn)D(﹣1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B，連接AC

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停動(dòng)，過點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ.①求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝時(shí)，S最大值＝；②存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)．

【解析】

【分析】

(1)由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解．

(2)①分別用t表示出AM、PQ，由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值可得答案；

②分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)．

【詳解】

(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4，0)和點(diǎn)D(﹣1，0)，∴，解得，所以，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4．

(2)①延長(zhǎng)NQ交x軸于點(diǎn)P，∵BC平行于x軸，C(0，4)

∴B(3，4)，NP⊥OA．

根據(jù)題意，經(jīng)過t秒時(shí)，NB＝t，OM＝2t，則CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．

∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，∴QN＝CN＝3﹣t，∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，∴S△AMQ=AM×PQ=(4-2t)(1+t)

＝﹣t2+t+2．

∴S=-t2+t+2=-(t-)2+．

∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．

當(dāng)t＝時(shí)，S最大值＝．

②存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形．

設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，NB＝t，OM＝2t，則CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．

Ⅰ．若∠AQM＝90°，則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高．

∴PQ是底邊MA的中線，∴PQ＝AP＝MA，∴1+t＝(4﹣2t)，解得，t＝，∴M的坐標(biāo)為(1，0)．

Ⅱ．若∠QMA＝90°，此時(shí)QM與QP重合．

∴QM＝QP＝MA，∴1+t＝4﹣2t，∴t＝1，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)．

所以，使得△AQM為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)．

【點(diǎn)睛】

此題考查了待定系數(shù)法求解析式，還考查了三角形的面積，要注意利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)度，從而求出線段之間的關(guān)系還要注意求最大值可以借助于二次函數(shù)．

【變式2-2】如圖，在矩形中，為中點(diǎn)，連接.動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿邊向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都是每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，連接，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（秒）.則_____時(shí)，為直角三角形

【答案】或

【分析】

△CMN是直角三角形時(shí)，有三種情況，一是∠CMN=90°，二是∠MNC=90°，三是∠MCN=90°，然后進(jìn)行分類討論求出t的值．

【詳解】

解：

過點(diǎn)N作OA的垂線，交OA于點(diǎn)F，交CH于點(diǎn)E，如圖1，∵B點(diǎn)是CH的中點(diǎn)，∴BH=CH=OA=6，∵AH=OC=8，∴由勾股定理可求：AB=10，∵AN=t，∴BN=10-t，∵NE∥AH，∴△BEN∽△BHA，∴，∴，∴EN=

∴FN=8-EN=，當(dāng)∠CMN=90°，由勾股定理可求：AF=，∵OM=t，∴AM=12-t，∴MF=AM-AF=12-t-

=12-，∵∠OCM+∠CMO=90°，∠CMO+∠FMN=90°，∴∠OCM=∠FMN，∵∠O=∠NFM=90°，∴△COM∽△MFN，∴，∴，∴t=，當(dāng)∠MNC=90°，F(xiàn)N=

∴EN=

∵M(jìn)F=12-

∴CE=OF=OM+MF=12-

∵∠MNF+∠CNE=90°，∠ECN+∠CNE=90°，∴∠MNF=∠ECN，∵∠CEN=∠NFM=90°，∴△CEN∽△NFM，∴，∴，∴，∵0＜t＜5，∴；

當(dāng)∠NCM=90°，由題意知：此情況不存在，綜上所述，△CMN為直角三角形時(shí)，t=或.【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，有一定的綜合性．

【考點(diǎn)3】動(dòng)點(diǎn)之等腰三角形問題

【例3】如圖，是⊙的直徑，是弦，．若點(diǎn)是直徑上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)

是等腰三角形時(shí)，__________．

【答案】、或

【解析】

解：①為頂點(diǎn)即時(shí)，，．

②為頂點(diǎn)即時(shí)，中：，，∴．

③為頂點(diǎn)即時(shí)，與重合，∴．

綜上為，或．

故答案為：，或．

點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵分三種情況討論：①BC=BP；②CP=CB，③CP=BP．

【變式3-1】如圖①，已知正方形邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)，連結(jié)、、、.設(shè)AP=x.（1）當(dāng)時(shí)，求長(zhǎng)；

（2）如圖②，若的延長(zhǎng)線交邊于，并且，求證：為等腰三角形；

（3）若點(diǎn)是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值.【答案】（1）BP=；（2）證明見解析；（3）△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為4-2、、2+4.【解析】

【分析】

（1）利用勾股定理求出BP的長(zhǎng)即可；（2）根據(jù)對(duì)稱性質(zhì)及正方形的性質(zhì)可得AB=BQ=BC，∠A=∠BQP=∠BCE=90°，可得∠BQE=90°，由第一視角相等性質(zhì)可得∠BCQ=∠BQC，根據(jù)同角或等角的余角相等的性質(zhì)可得∠EQC=∠ECQ，可得EC=EQ，可得結(jié)論；（3）若△CDQ為等腰三角形，則邊CD邊為該等腰三角形的一腰或者底邊．又Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于PB的對(duì)稱點(diǎn)，則AB=QB，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，則Q點(diǎn)只能在弧AB上．若CD為腰，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為腰）的Q點(diǎn)．若CD為底邊，則作CD的垂直平分線，其與弧AC的交點(diǎn)即為使得△CDQ為等腰三角形（CD為底）的Q點(diǎn)．則如圖所示共有三個(gè)Q點(diǎn)，那么也共有3個(gè)P點(diǎn)．作輔助線，利用直角三角形性質(zhì)求之即可．

【詳解】

（1）∵AP=x=1，AB=2，∴BP==，（2）∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠A=∠BCD=90°．

∵Q點(diǎn)為A點(diǎn)關(guān)于BP的對(duì)稱點(diǎn)，∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，∴QB=BC，∠BQE=∠BCE=90°，∴∠BQC=∠BCQ，∴∠EQC+∠BQC=∠ECQ+∠BCQ=90°，∴∠EQC

=∠ECQ，∴EQ=EC，即△CEQ為等腰三角形.（3）如圖，以點(diǎn)B為圓心，以AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，以點(diǎn)C為圓心，以CD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于Q1，Q3．此時(shí)△CDQ1，△CDQ3都為以CD為腰的等腰三角形．

作CD的垂直平分線交弧AC于點(diǎn)Q2，此時(shí)△CDQ2以CD為底的等腰三角形．

①討論Q1，如圖，連接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，過點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F，∵△BCQ1為等邊三角形，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴FC=1，Q1F==，Q1E=2-，在四邊形ABPQ1中，∵∠ABQ1=30°，∴∠APQ1=150°，∴∠EPQ1=30°，△PEQ1為含30°的直角三角形，∴PE=EQ1=2-3，∵EF是BC的垂直平分線，∴AE=AD=1，∴x=AP=AE-PE=1-(2-3)=4-2.②討論Q2，如圖，連接BQ2，AQ2，過點(diǎn)Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，交CD于G，連接BP，過點(diǎn)Q2作EF⊥CD于E，交AB于F，∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2=BQ2．

∵AB=BQ2，∴△ABQ2為等邊三角形．

∴AF=AE=1，F(xiàn)Q2==，在四邊形ABQ2P中，∵∠BAD=∠BQ2P=90°，∠ABQ2=60°，∴∠APQ2=120°，∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，∴EQ2=EF-FQ2=2-，EG=EQ2=2-3，∴DG=DE+GE=1+2-3=2-2，∴DG=PD，即PD=2-，∴x=AP=2-PD=.③對(duì)Q3，如圖作輔助線，連接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，過點(diǎn)Q3作PQ3⊥BQ3，交AD的延長(zhǎng)線于P，連接BP，過點(diǎn)Q1，作EF⊥AD于E，此時(shí)Q3在EF上，記Q3與F重合．

∵△BCQ1為等邊三角形，△BCQ3為等邊三角形，BC=2，∴Q1Q2=2，Q1E=2-，∴EF=2+，在四邊形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，∴∠EPF=30°，∴EP=EF=2+3，∵AE=1，∴x=AP=AE+PE=1+2+3=2+4.綜上所述：△CDQ為等腰三角形時(shí)x的值為4-2、、2+4.【點(diǎn)睛】

本題考查四邊形的綜合、正方形的性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)，第三問是一個(gè)難度非常高的題目，可以利用尺規(guī)作圖的思想將滿足要求的點(diǎn)Q找全．另外求解各個(gè)P點(diǎn)也是勾股定理的綜合應(yīng)用熟練掌握并靈活運(yùn)所學(xué)知識(shí)是解題關(guān)鍵．

【變式3-2】（2019·河南中考模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+3交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B（-3，0）和點(diǎn)C（1，0），頂點(diǎn)為點(diǎn)M．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，點(diǎn)E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，若△AME的周長(zhǎng)最小，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）點(diǎn)F為直線AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若△BFP為等腰直角三角形，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1）

；（2）E（-，0）；（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）或（1，0）．

【解析】

【分析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），然后將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求得此拋物線的解析式；

（2）作A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（0，-3），連接MA′交x軸于E，此時(shí)△AME的周長(zhǎng)最小，求出直線MA＇解析式即可求得E的坐標(biāo)；

（3）如圖2，先求直線AB的解析式為：y=x+3，根據(jù)解析式表示點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），分三種情況進(jìn)行討論：

①當(dāng)∠PBF=90°時(shí)，由F1P⊥x軸，得P（m，-m-3），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式可得結(jié)論；

②當(dāng)∠BF3P=90°時(shí)，如圖3，點(diǎn)P與C重合，③當(dāng)∠BPF4=90°時(shí)，如圖3，點(diǎn)P與C重合，從而得結(jié)論．

【詳解】

（1）當(dāng)x=0時(shí)，y=3，即A（0，3），設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x+3）（x-1），把A（0，3）代入得：3=-3a，a=-1，∴y=-（x+3）（x-1）=-x2-2x+3，即拋物線的解析式為：y=-x2-2x+3；

（2）y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4，∴M（-1，4），如圖1，作點(diǎn)A（0，3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A＇（0，-3），連接A＇M交x軸于點(diǎn)E，則點(diǎn)E就是使得△AME的周長(zhǎng)最小的點(diǎn)，設(shè)直線A′M的解析式為：y=kx+b，把A＇（0，-3）和M（-1，4）代入得：，解得：

∴直線A＇M的解析式為：y=-7x-3，當(dāng)y=0時(shí)，-7x-3=0，x=-，∴點(diǎn)E（-，0），（3）如圖2，易得直線AB的解析式為：y=x+3，設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為（m，m+3），①當(dāng)∠PBF=90°時(shí)，過點(diǎn)B作BP⊥AB，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)以BP為直角邊的等腰直角三角形有兩個(gè)，即△BPF1和△BPF2，∵OA=OB=3，∴△AOB和△A＇OB是等腰直角三角形，∴∠F1BC=∠BF1P=45°，∴F1P⊥x軸，∴P（m，-m-3），把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入拋物線的解析式y(tǒng)=-x2-2x+3中得：

-m-3=-m2-2m+3，解得：m1=2，m2=-3（舍），∴P（2，-5）；

②當(dāng)∠BF3P=90°時(shí)，如圖3，∵∠F3BP=45°，且∠F3BO=45°，∴點(diǎn)P與C重合，故P（1，0），③當(dāng)∠BPF4=90°時(shí)，如圖3，∵∠F4BP=45°，且∠F4BO=45°，∴點(diǎn)P與C重合，故P（1，0），綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，-5）或（1，0）．

【點(diǎn)睛】

此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，周長(zhǎng)最短問題，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合和分類討論思想的應(yīng)用．

【變式3-3】（2019·廣西中考真題）已知拋物線和直線都經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，直線與軸、軸分別交于兩點(diǎn)．

（1）求的值；

（2）當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）滿足（2）的條件時(shí)，求的值．

【答案】（1）；；（2）點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（3）的值為或．

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出的值；

(2)由(1)可得出拋物線及直線的解析式，繼而可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出關(guān)于的方程，解之即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)可得出的長(zhǎng)，再利用正弦的定義即可求出的值．

【詳解】

(1)將代入，得：，∴；

將代入，得：，∴；

(2)由(1)得：拋物線的解析式為，直線的解析式為，當(dāng)時(shí)，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，∵是以為底邊的等腰三角形，∴，即，整理，得：，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；

(3)過點(diǎn)作軸，垂足為點(diǎn)，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，∴；

當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，，∴，∴滿足(2)的條件時(shí)，的值的值為或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于的方程；(3)通過解直角三角形，求出的值．

【考點(diǎn)4】動(dòng)點(diǎn)之相似三角形問題

【例4】如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，點(diǎn)P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，若△PAD與△PBC是相似三角形，求AP的長(zhǎng)．

【答案】AP=或AP=2或AP=6

【分析】

由AD//BC,∠B=90°,可證∠PAD=∠PBC=90°,　又由AB=8,AD=3,BC=4,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,則BP長(zhǎng)為8-x,然后分別從APD∽△BPC與△APD∽△BCP去分析,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求解即可求得答案．

【詳解】

解：∵

AB⊥BC,∴

∠B=90°,∵

AD∥BC,∴

∠A=180°﹣∠B=90°,∴

∠PAD=∠PBC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,則BP長(zhǎng)為8﹣x,若AB邊上存在P點(diǎn),使△PAD與△PBC相似,那么分兩種情況:

若△APD∽△BPC,則AP:BP=AD:BC,即x:（8﹣x）=3:4,解得x=,若△APD∽△BCP,則AP:BC=AD:BP，即x:4=3:（8﹣x）,解得x=2或x=6,所以AP=或AP=2或AP=6．

【變式4-1】已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（﹣3，0），C（1，0），BC＝AC

（1）求過點(diǎn)A，B的直線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在x軸上找一點(diǎn)D，連接DB，使得△ADB與△ABC相似（不包括全等），并求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，如P，Q分別是AB和AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接PQ，設(shè)AP＝DQ＝m，問是否存在這樣的m，使得△APQ與△ADB相似？如存在，請(qǐng)求出m的值；如不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）y＝x+；（2）D點(diǎn)位置見解析，D（，0）；（3）符合要求的m的值為或．

【解析】

【分析】

（1）先根據(jù)A（?3，1），C（1，0），求出AC進(jìn)而得出BC＝3求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可；

（2）運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)就可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）由于△APQ與△ADB已有一組公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB兩種情況討論，然后運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)建立關(guān)于m的方程，就可解決問題．

【詳解】

解：（1）∵A（﹣3，0），C（1，0），∴AC＝4，∵BC＝AC，∴BC＝×4＝3，∴B（1，3），設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，∴，∴，∴直線AB的解析式為y＝x+；

（2）若△ADB與△ABC相似，過點(diǎn)B作BD⊥AB交x軸于D，∴∠ABD＝∠ACB＝90°，如圖1，此時(shí)＝，即AB2＝AC?AD．

∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴25＝4AD，∴AD＝，∴OD＝AD﹣AO＝﹣3＝，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，0）；

（3）∵AP＝DQ＝m，∴AQ＝AD﹣QD＝﹣m．

Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如圖2，則有＝，∴AP?AD＝AB?AQ，∴m＝5（﹣m），解得m＝；

Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如圖3，則有＝，∴AP?AB＝AD?AQ，∴5m＝（﹣m），解得：m＝，綜上所述：符合要求的m的值為或．

【點(diǎn)睛】

此題是相似形綜合題，主要考查了是待定系數(shù)法，相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，也考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)相似建立方程求解．

【變式4-2】如圖，正方形ABCD，點(diǎn)P為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，連接PQ，DQ，過點(diǎn)P作PE⊥DQ于點(diǎn)E．

（1）請(qǐng)找出圖中一對(duì)相似三角形，并證明；

（2）若AB＝4，以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，試求出DP的長(zhǎng)．

【答案】（1）△DPE∽△QDA，證明見解析；（2）DP=2或5

【分析】

（1）由∠ADC＝∠DEP＝∠A＝90可證明△ADQ∽△EPD；

（2）若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2?x，由△ADQ∽△EPD可得，可求出x的值，則DP可求出；同理當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，可得，可求出a的值，則DP可求．

【詳解】

（1）△ADQ∽△EPD，證明如下：

∵PE⊥DQ，∴∠DEP＝∠A＝90，∵∠ADC＝90，∴∠ADQ＋∠EDP＝90，∠EDP＋∠DPE＝90，∴∠ADQ＝∠DPE，∴△ADQ∽△EPD；

（2）∵AB＝4，點(diǎn)Q為AB的中點(diǎn)，∴AQ＝BQ＝2，∴DQ＝，∵∠PEQ＝∠A＝90，∴若以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似，有兩種情況，①當(dāng)△ADQ∽△EPQ時(shí)，設(shè)EQ＝x，則EP＝2x，則DE＝2?x，由（1）知△ADQ∽△EPD，∴，∴，∴x＝

∴DP＝＝5；

②當(dāng)△ADQ∽△EQP時(shí)，設(shè)EQ＝2a，則EP＝a，同理可得，∴a＝，DP＝．

綜合以上可得DP長(zhǎng)為2或5，使得以點(diǎn)P，E，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ADQ相似．

【點(diǎn)睛】

本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)5】動(dòng)點(diǎn)之平行四邊形問題（含特殊四邊形）

【例5】如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）連接，點(diǎn)是軸一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．

備用圖

【答案】（1）;（2），，；（3），【分析】

（1）由待定系數(shù)法求出解析式即可；

（2）先求出點(diǎn)C坐標(biāo)，可得OA=OC=3，由面積關(guān)系列出方程即可求解；

（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質(zhì)可求解；

【詳解】

解：

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-3，0），點(diǎn)B（1，0），∴，解得：，∴拋物線的解析式為：，∵拋物線的解析式為：，與y軸交于點(diǎn)C，∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，3），即OA=OC=3；

（2）過點(diǎn)P作PM⊥AO于點(diǎn)M，PN⊥CO于點(diǎn)N，設(shè)P(，)，∵，∴，∵AO=3，CO=3，∴PM=2PN，即，當(dāng)點(diǎn)P在第一、三象限時(shí)，解得，；

∴，當(dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí)，解得，；

∴，；

（3）若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，∴CF∥BE，∴點(diǎn)C與點(diǎn)F縱坐標(biāo)相等，∴，解得，（舍去），∴點(diǎn)F（-2，3），若BC為邊，且四邊形BCFE是平行四邊形，∴BE與CF互相平分，∵BE中點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，且點(diǎn)C縱坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-3，∴，解得，∴，∴或，若BC為對(duì)角線,則四邊形BECF是平行四邊形，∴BC與EF互相平分，∴BC中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，且點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，∴點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為3，∴點(diǎn)F（-2，3），綜上所述，點(diǎn)F坐標(biāo)為：，；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式5-1】（2019·江西中考真題）在圖1，2，3中，已知，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊向上作菱形，且．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，________°；

（2）如圖2，連接．

①填空：_________（填“>”，“<”，“=”）；

②求證：點(diǎn)在的平分線上；

（3）如圖3，連接，并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，當(dāng)四邊形是平行四邊形時(shí)，求的值．

【答案】（1）60°；（2）①

=，②見解析；（3）4

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算；

（2）①證明，根據(jù)角的運(yùn)算解答；

②作于，交的延長(zhǎng)線于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論；

（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，證明四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算，得到答案．

【詳解】

解：（1）四邊形是菱形，，故答案為：；

（2）①四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，，故答案為：；

②作于，交的延長(zhǎng)線于，則，又，，為等邊三角形，在和中，，又，點(diǎn)在的平分線上；

（3）四邊形是菱形，，四邊形為平行四邊形，，，又，，，四邊形為平行四邊形，，四邊形為平行四邊形，平行四邊形為菱形，，．

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理、菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

【變式5-2】（2019·湖南中考真題）如圖，二次函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為

（1）求該二次函數(shù)的解析式；

（2）在x軸上方作x軸的平行線，交二次函數(shù)圖象于A、B兩點(diǎn)，過A、B兩點(diǎn)分別作x軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)D、點(diǎn)C．當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，求m的值；

（3）在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)沿線段AD勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)立即原速返回，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)Q返回到點(diǎn)A時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（）．過點(diǎn)P向x軸作垂線，交拋物線于點(diǎn)E，交直線AC于點(diǎn)F，問：以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能否是平行四邊形．若能，請(qǐng)求出t的值；若不能，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4；（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形，t的值為4或6.【解析】

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；

（2）利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而可得出點(diǎn)C，D的坐標(biāo)，再利用正方形的性質(zhì)可得出關(guān)于m的方程，解之即可得出結(jié)論；

（3）由（2）可得出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式，利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)，由且以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形可得出，分，三種情況找出AQ，EF的長(zhǎng)，由可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其合適的值即可得出結(jié)論．

【詳解】

（1）將，代入，得：，解得，∴該二次函數(shù)的解析式為．

（2）當(dāng)

時(shí)，解得：，∴點(diǎn)a的坐標(biāo)為（，m），點(diǎn)b的坐標(biāo)為（，m），∴點(diǎn)d的坐標(biāo)為（，0），點(diǎn)c的坐標(biāo)為（，0）．

∵矩形abcd為正方形，∴，解得：，（舍去），．

∴當(dāng)矩形ABCD為正方形時(shí)，m的值為4．

（3）以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形能為平行四邊形．

由（2）可知：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，點(diǎn)D的坐標(biāo)為．

設(shè)直線AC的解析式為，將，代入，得，解得，∴直線ac的解析式為．

當(dāng)時(shí)，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（，-t+4）．

∵以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形，且，∴，分三種情況考慮：

①當(dāng)時(shí)，如圖1所示，EF=，∴，解得：（舍去），；

②當(dāng)時(shí)，如圖2所示，EF=，∴，解得：（舍去），；，EF=，解得（舍去），（舍去）

綜上所述，當(dāng)以A、E、F、Q四點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形時(shí)，t的值為4或6

【點(diǎn)睛】

本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、正方形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式；（2）利用正方形的性質(zhì)，找出關(guān)于m的方程；（3）分，三種情況，利用平行四邊形的性質(zhì)找出關(guān)于t的一元二次方程．

【變式5-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，、兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn).（1）點(diǎn)的坐標(biāo)為______；

（2）若點(diǎn)是反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)，使得以、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不與、重合），當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，過點(diǎn)分別作直線和直線的垂線，垂足分別為、，當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，求出點(diǎn)坐標(biāo).【答案】（1）（3，1）；（2），；（3）（2，2）.【解析】

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)（a，b）關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（b，a）直接寫出答案即可；

（2）首先求得反比例函數(shù)的解析式，然后設(shè)P（m，m），分若PC為平行四邊形的邊和若PC為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，利用四邊形AOBP是菱形，得到S△AOP=S△AOQ+S△APQ，從而得到PO?AD=AO?QE+AP?QF，確定QE+QF=為定值，從而求解．

【詳解】

解：（1）B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，1）；

（2）∵反比例函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，3），∴k=1×3=3，∴反比例函數(shù)的解析式為，點(diǎn)P在直線y=x上，∴設(shè)P（m，m）

①PC為平行四邊形的邊，∵點(diǎn)A的橫坐標(biāo)比點(diǎn)B的橫坐標(biāo)小2，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)比點(diǎn)B的縱坐標(biāo)大2，∴點(diǎn)C在點(diǎn)P的下方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m+2，m-2）如圖1，若點(diǎn)C在點(diǎn)P的上方，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m-2，m+2）如圖2，把C（m+2，m-2）代入反比例函數(shù)的解析式得：，∵m＞0，∴，∴

同理可得另一點(diǎn)，②若PC為平行四邊形的對(duì)角線，如圖3，∵A、B關(guān)于y=x對(duì)稱，∴OP⊥AB

此時(shí)點(diǎn)C在直線y=x上，且為直線y=x與雙曲線的交點(diǎn)，由解得：，（舍去），∴，綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C有三個(gè)，坐標(biāo)分別為：，；

（3）連接AQ，設(shè)AB與PO的交點(diǎn)為D，如圖4，∵四邊形AOBP是菱形，∴AO=AP

∵S△AOP=S△AOQ+S△APQ，∴PO?AD=AO?QE+AP?QF

∴QE+QF=為定值，∴要使QE+QF+QB的值最小，只需QB的值最小，當(dāng)QB⊥PO時(shí)，QB最小，所以D點(diǎn)即為所求的點(diǎn)，∵A（1，3），B（3，1）

∴D（2，2），∴當(dāng)QE+QF+QB的值最小時(shí)，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）．

【點(diǎn)睛】

本題是對(duì)反比例函數(shù)的綜合知識(shí)的考查，熟練掌握反比例，四邊形知識(shí)及分類討論的數(shù)學(xué)思想是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．

【考點(diǎn)6】動(dòng)點(diǎn)之線段面積問題

【例6】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形如圖放置，將此平行四邊形繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到平行四邊形．拋物線經(jīng)過點(diǎn)A、C、A′三點(diǎn)．

（1）求A、A′、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求平行四邊形和平行四邊形重疊部分的面積；

（3）點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)M在何處時(shí)，的面積最大？最大面積是多少？并寫出此時(shí)M的坐標(biāo)．

【答案】（1）A（0,3）A′（3,0）C（－1,0）；（2）；（3）當(dāng)時(shí),取到最大值為；M（）

【解析】

試題分析：（1）當(dāng)y=0時(shí)，求出x的值，得到點(diǎn)A′和點(diǎn)C的坐標(biāo)，當(dāng)x=0，求出y的值，得到點(diǎn)A的坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得出點(diǎn)B的坐標(biāo)，從而求出OB的長(zhǎng)度和△AOB的面積，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到∠ACO=∠OC′D，根據(jù)∠ACO=∠ABO得到∠ABO=∠OC′D，從而說明△

C′OD

∽△BOA，根據(jù)相似三角形得出△C′OD的面積；設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（），連接OM，得到△AMA′的面積與m的函關(guān)系式，從而得出最大值和點(diǎn)M的坐標(biāo)．

試題解析：（1）解：（1）當(dāng)時(shí)，解得

∴C（-1，0），A′（3，0）．當(dāng)x=0時(shí)，y=3．∴A（0，3）

（2）∵C（-1，0），A（0，3），∴B（1,3）

∴

∴△AOB的面積為

又∵平行四邊形ABOC旋轉(zhuǎn)得平行四邊形A′B′OC′，∴∠ACO=∠OC′D

又∵∠ACO=∠ABO，∴∠ABO=∠OC′D．

又∵∠C′OD=∠AOB，∴△

C′OD

∽△BOA

∴∴

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（），連接OM

=

當(dāng)時(shí),取到最大值為∴M（）

考點(diǎn)：二次函數(shù)的應(yīng)用、三角形相似、旋轉(zhuǎn)圖形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)．

【變式6-1】（1）發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)位于

時(shí)，線段的長(zhǎng)取得最大值，最大值為

（用含的式子表示）；

（2）應(yīng)用：如圖2，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，，以為邊作等邊，連接，求線段的最大值；

（3）拓展：如圖3，線段，點(diǎn)為線段外一動(dòng)點(diǎn)，且，，求線段長(zhǎng)的最大值及此時(shí)的面積．

【答案】（1）CB的延長(zhǎng)線上，a+b；（2）6；（3）最大值為3+，△PBM的面積為

【分析】

（1）根據(jù)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=BE，利用（1）中的結(jié)論即可得到結(jié)果；

（3）將△APM繞著點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP＇N，連接BN，得到△APP＇是等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到P＇A=PA=2，AN=AM，根據(jù)當(dāng)N在線段BA的延長(zhǎng)線時(shí)，線段BN取得最大值，即可得到最大值為+3，過點(diǎn)P作PQ⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，利用勾股定理求出PB的長(zhǎng)，根據(jù)△PBM為等腰直角三角形，可求出面積.【詳解】

解：（1）∵點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn)，且BC=a，AB=b，∴當(dāng)點(diǎn)A位于CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，線段AC的長(zhǎng)取得最大值，且最大值為BC+AB=a+b，故答案為：CB的延長(zhǎng)線上，a+b；

（2）如圖2中，以AC為邊向上作等邊△ACE，連接BE．

∵△ABD與△ACE是等邊三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，在△CAD與△EAB中，∴△CAD≌△EAB（SAS），∴CD=BE；

∴線段BE長(zhǎng)的最大值=線段CD的最大值，∴由（1）知，當(dāng)線段BE的長(zhǎng)取得最大值時(shí)，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，∴最大值為=4+2=6．

∴線段CD的最大值為6；

（3）解：如圖3中，將△APM繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△AP＇N，連接BN，PP′．

∴△APM≌△AP＇N，∴AN=AM，AP=AP＇=2，∴線段AM長(zhǎng)的最大值=線段AN長(zhǎng)的最大值，∴當(dāng)N在線段AB的延長(zhǎng)線時(shí)，線段AN取得最大值，最大值=AB+BN，∴∠PAP＇=90°，∴△APP＇是等腰三角形，∴PP＇=，∵△BPM是等腰直角三角形，∴∠BPM=∠MAN=90°，PM=PB=P＇N，∴∠AMP=∠ABP=∠N，∴PB∥P＇N，∴四邊形PBNP＇是平行四邊形，∴BN=PP＇，∴AN的最大值為：AB+BN=AB+PP＇=3+，∴AM的最大值為3+，過點(diǎn)P作PQ⊥AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，∵∠PAP′=90°，∠P′AB=∠PP′A=45°，∴∠PAQ=45°，∴△PAQ為等腰直角三角形，∵AP=2，由勾股定理可得：

∴AQ=PQ=，在△PBQ中，PQ2+BQ2=PB2，即，∴PB2=，∵△PBM為等腰直角三角形，此時(shí)△PBM的面積=×=.【點(diǎn)睛】

本題屬于三角形綜合題，考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，正確的作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，掌握旋轉(zhuǎn)法添加輔助線．

【變式6-2】如圖，矩形中，點(diǎn)是對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn)（不與重合），連接，過點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，以線段為鄰邊作矩形，過點(diǎn)作。分別交于點(diǎn)。

（1）求證：的值；

（2）求的值；

（3）求矩形的面積的最小值。

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.【解析】

【分析】

(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明，從而求證三角形相似；（2）設(shè)，由相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列出比例式，從而求解；（3）當(dāng)時(shí)，矩形面積最小，從而求解.【詳解】

（1）

∵過點(diǎn)作且矩形中，AB∥DC

又∵過點(diǎn)作

∴

∴，∴；

（2）設(shè)，則，∵矩形中，AB∥DC

∴△APG∽△CPH

即∴，即

∴

∵

∴；

（3）如圖∵，∴當(dāng)時(shí)，矩形面積最小，此時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，所以最小面積為

【點(diǎn)睛】

本題考查相似三角形綜合題、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用相似三角形的判定和性質(zhì)列出相應(yīng)的比例式從而解決問題．

【變式6-2】已知：在四邊形中，，．

（）求四邊形的面積．

（）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，求周長(zhǎng)的最小值及此時(shí)的長(zhǎng)．

（）點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，、為邊上的點(diǎn)，連接、，分別交、于點(diǎn)、，記和重疊部分的面積為，求的最值．

【答案】（）．（）．3．（）．

【解析】

試題分析：（1）如圖1，過A作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，得到四邊形AEFD是矩形，由矩形的想知道的EF=AD=6，BE=CF=3，根據(jù)勾股定理得到，于是得到結(jié)論；

（2）如圖2，作點(diǎn)B關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)G，連接CG交AD于P，則BC+PB+PC=BC+PG+PC即為△BCP周長(zhǎng)的最小值，根據(jù)勾股定理得到，于是得到△BCP周長(zhǎng)的最小值為：4+12；根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到PH=BC=6，由勾股定理得到，于是得到結(jié)論．

（3）過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則．因?yàn)?，所以∽，得；同理可得∽，∽，得：，所以，進(jìn)而求得答案.試題解析：（）如圖1，過作于，于．

則四邊形是矩形．

∴，．

∴．

∴．

（）如圖2，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接交于，則．

即為的最小周長(zhǎng)．

由（）知．

在中，．

∴的．

∵，∴．

∵，∴．

（）過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線分別交、于、點(diǎn)，如圖3所示，設(shè)，則．

因?yàn)?，所以∽，所以，又，所以?/p>

同理可得∽，∽，所以，求得：，其中，所以，即

．

因此當(dāng)時(shí)，有最大值；當(dāng)或時(shí)，有最小值了．

一、單選題

1．如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，若是以為底的等腰三角形，則的值為（）

A．或

B．或

C．或

D．或

【答案】B

【分析】

當(dāng)△PCD是以CD為底的等腰三角形時(shí),則P點(diǎn)在線段CD的垂直平分線上,由C、D坐標(biāo)可求得線段CD中點(diǎn)的坐標(biāo),從而可以知道P點(diǎn)的縱坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得P點(diǎn)坐標(biāo)．

【詳解】

解：作中垂線交拋物線于，（在左側(cè)），交軸于點(diǎn);連接P1D,P2D．

易得

．

∴，．

將代入中得，．

∴，．

∴，．

故選B．

2．如圖，在菱形中，是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的度數(shù)是（）

A．

B．

C．或

D．或

【答案】C

【分析】

在菱形ABCD中，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到

∠ABD=∠ABC=40°，再分三種情況討論，當(dāng)AE=BE時(shí)，當(dāng)AB=BE時(shí)，當(dāng)時(shí)，從而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

【詳解】

解：∵在菱形ABCD中，，，∵△ABE是等腰三角形，∴AE=BE，或AB=BE，或，當(dāng)AE=BE時(shí)，∴∠ABE=∠BAE=40°，∴；

當(dāng)AB=BE時(shí)，∴∠BAE=∠AEB=，∴∠DAE=，當(dāng)時(shí)，與重合，不合題意舍去，綜上所述，當(dāng)△ABE是等腰三角形時(shí)，∠DAE=30°或60°，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握分類討論是解題的關(guān)鍵．

3．已知等腰中，，底角為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)是直角三角形是長(zhǎng)為（）

A．4

B．2或3

C．3或4

D．3

【答案】C

【分析】

先畫出符合的兩種情況，圖1中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BP即可；圖2中先求出BP＝2PA，再根據(jù)勾股定理求出即可．

【詳解】

當(dāng)∠APB＝90時(shí)，如圖1，∵AB＝AC，BC＝6，∴BP＝CP＝BC＝3；

∵∠B＝30，∴AB＝2AP，由勾股定理得：（2AP）2＝AP2＋32，解得：AP＝，AB＝2AP＝2，當(dāng)∠BAP＝90，如圖2，∵∠B＝30，∴BP＝2AP，在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2＋AP2＝BP2，（2）2＋AP2＝（2AP）2，解得：AP＝2，BP＝2AP＝4；

所以BP＝3或4，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題考查了含30角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能熟練地運(yùn)用含30角的直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．

4．如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)(不與，重合)，過點(diǎn)分別作軸和軸的垂線，交反比例函數(shù)圖象于，則四邊形面積PMON最大值是（）

A．12.5

B．12.25

C．14

D．12

【答案】A

【解析】

【分析】

設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，一次函數(shù)解析式為y=ax+b，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出反比例與一次函數(shù)的解析式，再利用分割圖形求面積法找出S四邊形PMON關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，利用配方法解決最值問題．

【詳解】

解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y=，一次函數(shù)解析式為y=ax+b，將點(diǎn)A（1，12）代入y=中，得k=12，∴反比例函數(shù)解析式為y=，將點(diǎn)A（1，12）、B（6，2）代入y=ax+b中，得，解得

∴一次函數(shù)解析式為y=-2x+14．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，14-2m），則S四邊形PMON=S矩形OCPD-S△OCM-S△ODN=S矩形OCPD-|k|=m（14-2m）-12=-2m2+14m-12=-2(m-)2+12.5.∴四邊形PMON面積的最大值是12.5．

故選A．

【點(diǎn)睛】

本題考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)的問題，解題的關(guān)鍵是找出S四邊形PMON關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．本題難度不大，利用分割圖形求面積法是解題關(guān)鍵．

5．如圖，在Rt△中，90°，，為邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以，為邊構(gòu)造平行四邊形，則對(duì)角線的最小值為（）

A．4

B．6

C．8

D．10

【答案】B

【分析】

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，對(duì)角線的值最小，且的最小值為BC的長(zhǎng)度，問題得解．

【詳解】

解：如圖所示，作平行四邊形，則QB∥AC，∴當(dāng)PQ⊥AC時(shí)，對(duì)角線的值最小，∵BC⊥AC，∴的最小值為6，故選：B．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，準(zhǔn)確作出圖形是解題的關(guān)鍵．

6．如圖，中，，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿射線以2的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，的值為（）

A．或

B．或12或4

C．或或12

D．或12或4

【答案】C

【分析】

根據(jù)勾股定理求出BC,當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),分三種情況:①當(dāng)AB=BP時(shí);②當(dāng)AB=AP時(shí);③當(dāng)BP=AP時(shí),分別求出BP的長(zhǎng)度,繼而可求得t值.【詳解】

因?yàn)橹?，，所?cm)

①當(dāng)AB=BP時(shí),t=（s）;

②當(dāng)AB=AP時(shí),因?yàn)锳C⊥BC,所以BP=2BC=24cm,所以t=(s);

③當(dāng)BP=AP時(shí),AP=BP=2tcm,CP=(12-2t)cm,AC=5cm,在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2,所以(2t)2=52+(12-2t)2,解得:t=

綜_上所述:當(dāng)△ABP為等腰三角形時(shí),或或12

故選:C

【點(diǎn)睛】

考核知識(shí)點(diǎn):等腰三角形,勾股定理.根據(jù)題畫出圖形,再利用勾股定理解決問題是關(guān)鍵.7．如圖，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)為軸的負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以，為直角邊在第三、第四象限作等腰直角三角形、等腰直角三角形，連接交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，則的長(zhǎng)度為（）

A．2

B．4

C．6

D．8

【答案】B

【分析】

作EN⊥y軸于N，求出∠NBE=∠BAO，證△ABO≌△BEN，求出∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，證△BFP≌△NEP，推出BP=NP，即可得出答案．

【詳解】

解：如圖，作EN⊥y軸于N，∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90°，∴∠OBA+∠NBE=90°，∠OBA+∠OAB=90°，∴∠NBE=∠BAO，在△ABO和△BEN中，∴△ABO≌△BEN（AAS），∴OB=NE=BF，∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90°，在△BFP和△NEP中，∴△BFP≌△NEP（AAS），∴BP=NP，又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），∴OA=BN=8，∴BP=NP=4．

故選B．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，有一定的難度，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．

8．如圖，已知

兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，點(diǎn)分別是直線和x軸上的動(dòng)點(diǎn)，,點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)；當(dāng)⊿面積取得最小值時(shí)，的值是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】

【分析】

如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5，推出點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，推出當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解決問題．

【詳解】

如圖，設(shè)直線x=-5交x軸于K．由題意KD=CF=5，∴點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)軌跡是以K為圓心，5為半徑的圓，∴當(dāng)直線AD與⊙K相切時(shí)，△ABE的面積最小，∵AD是切線，點(diǎn)D是切點(diǎn)，∴AD⊥KD，∵AK=13，DK=5，∴AD=12，∵tan∠EAO=，∴，∴OE=，∴AE=，作EH⊥AB于H．

∵S△ABE=?AB?EH=S△AOB-S△AOE，∴EH=，∴，∴，故選B.【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.9．已知：如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=4，AD=6．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=2，連接DE，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿BC-CD-DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，當(dāng)?shù)闹禐開____秒時(shí)，△ABP和△DCE全等．

A．1

B．1或3

C．1或7

D．3或7

【答案】C

【分析】

分兩種情況進(jìn)行討論，根據(jù)題意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．

【詳解】

解：因?yàn)锳B=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根據(jù)SAS證得△ABP≌△DCE，由題意得：BP=2t=2，所以t=1，因?yàn)锳B=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根據(jù)SAS證得△BAP≌△DCE，由題意得：AP=16-2t=2，解得t=7．

所以，當(dāng)t的值為1或7秒時(shí)．△ABP和△DCE全等．

故選C．

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．

10．如圖，在直角梯形中，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，若與是相似三角形，則滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

【答案】C

【分析】

由于，故要使與相似，分兩種情況討論：①，②，這兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等求出的長(zhǎng)，即可得到點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

【詳解】

解：如圖示：，．，．

設(shè)的長(zhǎng)為，則長(zhǎng)為．

若邊上存在點(diǎn)，使與相似，那么分兩種情況：

①若，則，即，解得：

②若，則，即，解得：或6．

滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是3個(gè)，故選：C．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（2，0），點(diǎn)C在第一象限，若以A、B、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOB相似（不包括全等），則點(diǎn)C的個(gè)數(shù)是（）

A．1

B．2

C．3

D．4

【答案】D

【解析】

試題解析：如圖①，∠OAB=∠，∠AOB=∠時(shí)，△AOB∽△．

如圖②，AO∥BC，BA⊥，則∠=∠OAB，故△AOB∽△；

如圖③，∥OB，∠ABC3=，則∠ABO=∠CAB，故△AOB∽△；

如圖④，∠AOB=∠=，∠ABO=∠，則△AOB∽△．

故選D．

12．如圖，坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)A(2，－1)，O為原點(diǎn)，P是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，如果以點(diǎn)P、O、A為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，那么符合條件的動(dòng)點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為（）

A．2

B．3

C．4

D．5

【答案】C

【解析】

以O(shè)點(diǎn)為圓心，OA為半徑作圓與x軸有兩交點(diǎn)，這兩點(diǎn)顯然符合題意．以A點(diǎn)為圓心，OA為半徑作圓與x軸交與兩點(diǎn)（O點(diǎn)除外）．以O(shè)A中點(diǎn)為圓心OA長(zhǎng)一半為半徑作圓與x軸有一交點(diǎn)．共4個(gè)點(diǎn)符合，二、填空題

13．如圖，已知以點(diǎn)A(0，1)、C(1，0)為頂點(diǎn)的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐標(biāo)系內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P（不與A重合），以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形和△ABC全等，則P點(diǎn)坐標(biāo)為____________.【答案】（2，-1）、、【詳解】

解：由勾股定理得：AC=，∵∠BAC=60°，∠ACB=90°，∴AB=，BC=，分為三種情況：

①如圖1，延長(zhǎng)AC到P，使AC=CP，連接BP，過P作PM⊥x軸于M，此時(shí)PM=OA=1，CM=OC=1，OM=1+1=2，即P的坐標(biāo)是（2，﹣1）；

②如圖2，過B作BP⊥BC，且BP=AC=，此時(shí)PC=AB=．過P作PM⊥x軸于M，此時(shí)∠PCM=15°，在x軸上取一點(diǎn)N，使∠PNM=30°，即CN=PN，設(shè)PM=x，則CN=PN=2x，MN=x，在Rt△CPM中，由勾股定理得：（）2=（2x+x）2+x2，x=，即PM=，MC=2x+x=，OM=1+=，即P的坐標(biāo)是（，）；

③如圖3，過B作BP⊥BC，且BP=AC=，過P作PM⊥x軸于M，此時(shí)∠PCM=30°+45°=75°，∠CPM=15°，和③解法類似求出CM=，PM=2x+x=，OM=1+=，即P的坐標(biāo)是（，）．

故答案為（2，﹣1）或（，）或（，）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，含30度角的直角三角形等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，注意要進(jìn)行分類討論，題目比較好，但是有一定的難度．

14．如圖，在中，，動(dòng)點(diǎn)以的速度，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)同時(shí)以的速度，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，當(dāng)為直角三角形時(shí)，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為__________.【答案】或2

【分析】

根據(jù)勾股定理求出AB，分∠AMN＝90°、∠ANM＝90°兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可．

【詳解】

解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則AB＝＝＝5cm，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，由題意得，CM＝t，AN＝，則AM＝4?t，當(dāng)∠AMN＝90°時(shí)，∠AMN＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△AMN∽△ACB，∴，即，解得：t＝2，當(dāng)∠ANM＝90°時(shí)，∠ANM＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ANM∽△ACB，∴，即，解得：t＝，綜上所述：當(dāng)△AMN為直角三角形時(shí)，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)秒數(shù)為2或，故答案為：或2.【點(diǎn)睛】

本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．

15．如圖，點(diǎn)C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，于D點(diǎn)，于E點(diǎn)，，當(dāng)長(zhǎng)為________________為直角三角形．

【答案】3或2或．

【分析】

作BF⊥AD于F，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到BF=DE=4，DF=BE=1，根據(jù)勾股定理用CD表示出AC、BC，根據(jù)勾股定理的逆定理列式計(jì)算，得到答案．

【詳解】

解：作BF⊥AD于F，則四邊形DEBF為矩形，∴BF=DE=4，DF=BE=1，∴AF=AD-DF=3，由勾股定理得，當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，即

解得，CD=3，如圖2，作BH⊥AD于H，仿照上述作法，當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，由勾股定理得，由得：

解得：

同理可得：當(dāng)∠ABC=90°時(shí)，綜上：的長(zhǎng)為：3或2或．

故答案為：3或2或．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么

16．如圖，正方形的面積為16，為的中點(diǎn)，為對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，則線段的最小值是______．

【答案】

【分析】

連接CF，當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)，C在同一直線上時(shí)，AF+FE的最小值為CE長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

【詳解】

解：∵四邊形ABCD為正方形，∴A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)為C，則AF=CF，∴線段的最小值為線段的最小值，∴當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)，C在同一直線上時(shí)，AF+FE的最小值為CE長(zhǎng)，∵正方形ABCD的面積為16，∴AD=CD=4，∵E為AD中點(diǎn)，∴DE=2，∴在Rt△CED中，則線段的最小值是，故答案為：.【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱，最短路線問題，根據(jù)正方形的性質(zhì)作得出A關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)C是解答此題的關(guān)鍵．

17．如圖，中，，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，當(dāng)是_________度時(shí)，是等腰三角形．

【答案】50或65

【分析】

根據(jù)等腰三角形的特點(diǎn)分類討論即可求解．

【詳解】

∵是等腰三角形，①是底角時(shí)，則=；

②是頂角時(shí)，則=；

故答案為：50或65．

【點(diǎn)睛】

此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意分情況討論．

18．如圖，，垂足分別為，，點(diǎn)為邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)_______時(shí)，形成的與全等．

【答案】2

【分析】

當(dāng)BP=2時(shí)，Rt△ABP≌Rt△PCD，由BC=6可得CP=4，進(jìn)而可得AB=CP，BP=CD，再結(jié)合AB⊥BC、DC⊥BC可得∠B=∠C=90°，可利用SAS判定△ABP≌△PCD．

【詳解】

解：當(dāng)BP=2時(shí)，Rt△ABP≌Rt△PCD，∵BC=6，BP=2，∴PC=4，∴AB=CP，∵AB⊥BC、DC⊥BC，∴∠B=∠C=90°，在△ABP和△PCD中，∴△ABP≌△PCD（SAS），故答案為：2．

【點(diǎn)睛】

本題考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解題的關(guān)鍵．

19．如圖，在中，，面積為10，的垂直平分線分別交，于點(diǎn)。若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為______。

【答案】7

【分析】

連接AD，由于△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，故AD⊥BC，再根據(jù)三角形的面積公式求出AD的長(zhǎng)，再再根據(jù)EF是線段AC的垂直平分線可知，點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，故AD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，由此即可得出結(jié)論．

【詳解】

連接AD，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC=BC?AD=×4×AD=10，解得AD=5，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴點(diǎn)C關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)A，∴AD的長(zhǎng)為CP+PD的最小值，∴△CDP的周長(zhǎng)最短=（CP+PD）+CD=AD+BC=6+×4=5+2=7．

故答案為：7

【點(diǎn)睛】

本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題，熟知等腰三角形三線合一的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．

20．如圖，在中，，點(diǎn)為內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)．若為等腰三角形，且，則的長(zhǎng)為__________．

【答案】1或

【分析】

分以下三種情況：①若BP=CP，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，有DP=CF=BC；②若BP=BC，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，則在Rt△BPF中先求出BF的長(zhǎng)，從而根據(jù)DP=CF可得出DP的長(zhǎng)；③若BC=CP，由勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)分別求出DP，DE的長(zhǎng)，此時(shí)DP＞DE，此種情況不存在．綜上可得出結(jié)果．

【詳解】

解：∵∠ACB=90°，PD⊥AC，∴DE∥BC．

∴，又BC=5，∴CD=3．

分以下三種情況：

①若BP=CP，如圖1，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，則四邊形CDPF為矩形，∴DP=CF，又CP=BP，PF⊥BC，∴CF=BF=BC=，∴DP=CF=；

②若BP=BC=5，如圖2，過點(diǎn)P作PF⊥BC于F，則四邊形CDPF為矩形，∴PF=CD=3，在Rt△BPF中，由勾股定理可得BF=4，∴CF=BC-BF=1，∴DP=1；

③若BC=CP=5，如圖3，則在Rt△CDP中，根據(jù)勾股定理得，DP=4，又DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，∴DE=，此時(shí)DP＞DE，不符合題意．

綜上所述，PD的長(zhǎng)為1或．

故答案為：1或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)以及平行線的判定等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行推理并運(yùn)用分類討論思想．

21．如圖，矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣C﹣B﹣A﹣D方向以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)，按折線D﹣A﹣B﹣C﹣D方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)．若動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)E在線段BC上，且BE=3cm，經(jīng)過_____秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形．

【答案】

【解析】

【分析】

根據(jù)t的值討論M、N的位置，根據(jù)平行四邊形的判定定理即可求解．

【詳解】

如圖，在直角△ABE中，AE==5cm．

設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒．

當(dāng)0＜t＜2時(shí)，M在CD上，N在DA上，若平行四邊形是AEMN，則AE∥MN且AE=MN，而AE=MN不可能成立；

當(dāng)t=2時(shí)，M在C點(diǎn)，DN=4cm，此時(shí)，AN≠EC，則不能構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)2＜t＜4.5時(shí)，M在BC上，則EM=BC+CD-BE-2t=9-2t，AN=8-t，當(dāng)9-2t=8-t時(shí)，解得：t=1（舍去），當(dāng)4.5＜t＜6時(shí)，M在BC上，則EM=2t-（BC+CD-BE）=2t-9，AN=8-t，當(dāng)2t-9=8-t時(shí)，解得：t=，此時(shí)四邊形AMEN是平行四邊形；

當(dāng)6＜t＜8時(shí)，M在AB上，N在AD上，不能構(gòu)成平行四邊形；

當(dāng)t=8時(shí)，Q與A重合，不能構(gòu)成平行四邊形形．

綜上所述：經(jīng)過秒鐘，點(diǎn)A、E、M、N組成平行四邊形．

故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的判定定理；熟練掌握平行四邊形的判定方法，正確對(duì)t的范圍進(jìn)行討論是解決問題的關(guān)鍵．

22．如圖，點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，若點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段與軸交于點(diǎn)，則面積的最小值為________．

【答案】

【分析】

連接，由與相切時(shí)，最短，可得的面積最小，由切線的性質(zhì)可得，利用勾股定理可的長(zhǎng)，由，可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出的長(zhǎng)，即可得的長(zhǎng)，利用三角形面積公式求出的面積即可.【詳解】

連接，∵當(dāng)與相切時(shí)，最短，∴的面積最小，∴，∵、、，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∴的面積為：.故答案為

【點(diǎn)睛】

本題考查切線性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及三角形面積求法，能夠正確判斷出面積最小時(shí)與的位置關(guān)系是解題關(guān)鍵.三、解答題

23．如圖，直線與軸和軸分別交于兩點(diǎn)，另一條直線過點(diǎn)和點(diǎn).(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)求證:

;

(3)若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且以為頂點(diǎn)的三角形與全等，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】(1)

;(2)

;

(3)

點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或

【解析】

【分析】

（1）在y=-x+4中，令y=0，則0=-x+4，求得A（3，0），設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，解方程組即可得到結(jié)論；

（2）在直線ABy=-x+4中，得到k1=-，在直線ACy＝x?中，得到k2=，由于k1?k2=-1，即可得到結(jié)論；

（3）根據(jù)勾股定理得到AB=5，①當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，如圖1，由全等三角形的性質(zhì)得到AQ=OB=4，于是得到Q1（7，0），Q2（-1，0），②當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖2，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AQ=AB=5，于是得到Q3（8，0），Q4（-2，0），③當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，這種情況不存在．

【詳解】

（1）在y=-x+4中，令y=0，則0=-x+4，∴x=3，∴A（3，0），設(shè)直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，則：，解得：，∴直線AC對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝x-.(2)

在直線ABy=-x+4中，∵k1=-，在直線ACy＝x?中，k2=，∴k1?k2=-1，∴AB⊥AC；

（3）在y=-x+4中，令x=0，則y=4，∴OA=3，OB=4，由勾股定理得AB=5，①當(dāng)∠AQP=90°時(shí)，如圖1，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=OB=4，∴Q1（7，0），Q2（-1，0），②當(dāng)∠APQ=90°時(shí)，如圖2，∵△AOB≌△AQP，∴AQ=AB=5，∴Q3（8，0），Q4（-2，0）．

③當(dāng)∠PAQ=90°時(shí)，這種情況不存在，綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（7，0）（8，0）（-1，0）（-2，0）．

【點(diǎn)睛】

考查了一次函數(shù)綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，勾股定理的應(yīng)用和全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，分類討論是解題關(guān)鍵，以防遺漏．

24．已知，是邊長(zhǎng)的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)以的速度從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．請(qǐng)分別解決下面四種情況：

（）如圖，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么__________時(shí)，是直角三角形；

（）如圖，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如果動(dòng)點(diǎn)、都以的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么為何值時(shí)，是直角三角形？

（）如圖，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)．連接交于．如果動(dòng)點(diǎn)、都以的速度同時(shí)出發(fā)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，那么為何值時(shí)，是等腰三角形？

（）如圖，若另一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向運(yùn)動(dòng)，連接交于，連接．如果動(dòng)點(diǎn)、都以的速度同時(shí)出發(fā)．請(qǐng)你猜想：在點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)過程中，和的面積有什么關(guān)系？并說明理由．

【答案】(1)1.5；（2）當(dāng)為或時(shí)，為直角三角形；（3）當(dāng)為時(shí)，為等腰三角形；（4），理由詳見解析.【解析】

試題分析：

（1）由△ABC是等邊三角形可知，當(dāng)△PBC為直角三角形時(shí)，CP⊥AB，則P為AB的中點(diǎn)，從而可得AP的長(zhǎng)，就可求出t的值了；

（2）當(dāng)△PBQ為直角三角形時(shí)，可能存在PQ⊥BC和PQ⊥AB這兩種情形，故要分這兩種情況討論；在兩個(gè)圖形中，分別用含“t”的式子表達(dá)出PB、BQ的長(zhǎng)，再由“在直角三角形中，30°的銳角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半”，列出關(guān)于“t”的方程就可求得t的值了；

（3）當(dāng)∠CDQ=∠CQD，即當(dāng)CD=CQ時(shí)，△DCQ是等腰三角形，由∠CDQ+∠CQD=∠ACB=60°可得：∠CQD=30°，再由∠B=60°可得∠QPB=90°，從而可得：BP=BQ，用含“t”的式子表達(dá)出BP和BQ，列出含“t”的方程就可求出t的值了；

（4）作PF∥CQ，CE⊥PQ，由已知條件易得：△APF是等邊三角形，AP=CQ，從而得到：PF=CQ，再由PF∥CQ可得角相等，從而證得△PFD≌△QCD，得到PD=QD，再由“等底等高的三角形面積相等”就可得.試題解析：

（）如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，CP⊥AB，此時(shí)△PBC是直角三角形，且AP=AB=1.5，∴；

（）①如圖，當(dāng)PQ⊥BC時(shí)，由已知可得：，．

∴

．

此時(shí)，，∴．

∴，即，∴．

②如圖，當(dāng)PQ⊥AB時(shí)，由已知可得：，．

此時(shí)，．

∴．

∴，即，∴．

綜上，當(dāng)為或時(shí)，為直角三角形．

（）

∵為等邊三角形，∴，∴．

∵為等腰三角形，只能使．

∴

．

∴，∴，∴即，∴．

∴當(dāng)為時(shí)，為等腰三角形．

（）．

證明：如圖，過作，過作．

∵為等邊三角形，∴，∴為等邊三角形，∴．

∵，∴，∴在和中，∴≌，∴．

∵和的高均為，∴，∴．

25．如圖，已知直線c和直線b相較于點(diǎn)，直線c過點(diǎn)平行于y軸的動(dòng)直線a的解析式為，且動(dòng)直線a分別交直線b、c于點(diǎn)D、在D的上方．

求直線b和直線c的解析式；

若P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足是等腰直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【答案】（1），（2）當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

【分析】

設(shè)直線b的解析式為，設(shè)直線c的解析式為：，把點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到結(jié)論；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，得到E點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為分三種情況：若，時(shí)，若，時(shí)，即DE為斜邊，若，時(shí)，即DE為斜邊，由已知得，列方程即可得到結(jié)論．

【詳解】

設(shè)直線b的解析式為：，把代入得，直線b的解析式為：；

設(shè)直線c的解析式為：，把點(diǎn)，點(diǎn)代入得，，直線c的解析式為：；

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為，D點(diǎn)坐標(biāo)為．

在D的上方，且，為等腰直角三角形，或或．

時(shí)，時(shí)，，點(diǎn)坐標(biāo)為，若，時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為；

若，時(shí)，即DE為斜邊，，DE的中點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為

若，和時(shí)，由已知得，不符合題意，舍去，此時(shí)直線不存在．

若，時(shí)，即DE為斜邊，由已知得，，點(diǎn)坐標(biāo)為

綜上所述：當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為或；

當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；

當(dāng)時(shí)，為等腰直角三角形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為．

【點(diǎn)睛】

考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．

26．如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交軸于點(diǎn)，連接．

（1）求經(jīng)過三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）點(diǎn)在該拋物線的對(duì)稱軸上，若是以為直角邊的直角三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，為軸上一動(dòng)點(diǎn)，為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

【答案】（1）；（2）或；（3），，【分析】

（1）利用待定系數(shù)法求出過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）設(shè)，分當(dāng)BC和Q1C作直角邊時(shí)和當(dāng)BC和Q2B作直角邊時(shí)，兩種情況討論；

（3）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，0），表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程，解方程即可．

【詳解】

解：（1）∵拋物線y=-x2+bx+c經(jīng)過A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，∴

解得，∴經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+2x+3；

（2）如圖，根據(jù)題意，設(shè)

∴

當(dāng)BC和Q1C作直角邊時(shí)：

解得：y=4

∴

當(dāng)BC和Q2B作直角邊時(shí)：

解得：y=-2

∴

綜上所述：點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或；

（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，∵以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴，即，當(dāng)時(shí)，整理得，解得；

當(dāng)時(shí)，整理得，解得；

∴當(dāng)以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，．

【點(diǎn)睛】

本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．

27．如圖，在矩形中，動(dòng)點(diǎn)分別同時(shí)從兩點(diǎn)出發(fā)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)作勻速往返運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)以的速度沿向終點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是．

（1）試用含有的代數(shù)式表示．

（2）當(dāng)自返回(包括端點(diǎn)）的過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，求的值．

（3）連接，設(shè)交于，當(dāng)時(shí)，求的值．

【答案】（1）

；（2）t的值為或；（3）t的值為或

【分析】

（1）分當(dāng)P在和兩種情況討論；

（2）分當(dāng)P與C點(diǎn)重合和P在返回的過程中兩種情況討論，運(yùn)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)求解即可；

（2）分當(dāng)P在和兩種情況討論，運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)求解即可．

【詳解】

（1）∵，∴當(dāng)P在時(shí)，即，則，當(dāng)P在時(shí)，即，則；

綜上，；

（2）當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)為中點(diǎn)，∵AQ=DQ==4.5=DC，∴為等腰三角形，∴；

在P在返回的過程中()，∵DQ=4.5=DC，∴不存在PD=DQ、PQ=DQ的情況，當(dāng)PD=PQ時(shí)，如圖：作PH⊥AD于H，∴四邊形CDHP為矩形，∴QH=DH=PC，∵PC=，DQ=，∴，解得：；

綜上，當(dāng)P自C返回B(包括端點(diǎn)BC）的過程中，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，t的值為或；

（3）當(dāng)P在時(shí)，即，如圖①，此時(shí)PC，AQ，∵，∴AQPC，即，解得：；

當(dāng)P在時(shí)，即，如圖②，此時(shí)CP，AQ，∴AQPC，即，解得：；

綜上，t的值為或；

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出符合題意的圖形并分類討論是解題的關(guān)鍵．

28．如圖，直線與軸相交于點(diǎn)A，與軸相交于點(diǎn)B．

(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求△AOB的面積；

(3)若點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且△PAB是等腰三角形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為___________.【答案】（1）A（2,0），B（4,0）；（2）面積為4；（3）（，0），（，0），（-2,0），（-4,0）

【解析】

【分析】

（1）把x=0，y=0分別代入函數(shù)解析式，即可求得相應(yīng)的y、x的值，則易得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解即可；

（3）根據(jù)等腰三角形的判定，分兩種情況討論即可求得．

【詳解】

（1）∵當(dāng)y=0時(shí)，x=2；當(dāng)x=0時(shí)，y=4，∴A（2，0），B（0，4）；

（2）S△AOB=×2×4=4；

（3）∵A（2，0），B（0，4）．

∴AB=，當(dāng)AB為腰長(zhǎng)時(shí)，P的坐標(biāo)為（，0），（，0）或（-2，0），當(dāng)AB為底時(shí)，則AP=BP，設(shè)P（x，0）

則AP=2-x，故在Rt△BOP中，BO

2+OP2=BP

2，即42+x2=（2-x）2，解得：x=-3，故P點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0）．

故P的坐標(biāo)為：（-3，0）或（-2，0）或（，0）或（，0）；

【點(diǎn)睛】

本題考查一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的判定，兩邊相等的三角形是等腰三角形，以及坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，分類討論思想的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．

29．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象經(jīng)過三點(diǎn)．已知點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，且點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合），以為頂點(diǎn)作射線交線段于點(diǎn)．

（1）則拋物線的解析式為_

_；

（2）若為等腰三角形．

①求此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；

②若點(diǎn)為第二象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到某個(gè)位置時(shí)的面積最大，求其最大值．

【答案】（1）；（2）①點(diǎn)E坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為

【分析】

（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)和代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）①分三種情況討論：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)解答即可；

②連接，過作軸交直線于，過作軸于點(diǎn)，先求出AD的解析式，再設(shè)出P的坐標(biāo)，用含t的式子表示出PQ,再表示出的面積，求解即可．

【詳解】

解：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式的，解得

所以拋物線的解析式為

（2），當(dāng)為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論

當(dāng)時(shí)，在中，．

又

則此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合題意，此種情況不成立．

如圖1，當(dāng)時(shí)，．

在中，又，．

．

如圖2，當(dāng)時(shí)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

在和中，在中，．

當(dāng)為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)坐標(biāo)為或

如圖3，連接，過作軸交直線于，過作軸于點(diǎn)，由

直線的解析式為

設(shè)（其中），則，為第二象限拋物線上的點(diǎn)，由知點(diǎn)坐標(biāo)為或

當(dāng)為時(shí)，；

當(dāng)為時(shí)，此時(shí)的面積最大，當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為．

【點(diǎn)睛】

本題綜合考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、等腰三角形、全等三角形判定與性質(zhì)等重要的知識(shí)點(diǎn)，難度較大，注意分類討論思想的應(yīng)用，注意不要漏解；．

30．已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，雙曲線經(jīng)過、兩點(diǎn)．

（1）求、、的值；

（2）如圖1，點(diǎn)在軸上，若四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，動(dòng)點(diǎn)在雙曲線上，點(diǎn)在軸上，若以、、、為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，試求滿足要求的所有點(diǎn)、的坐標(biāo)．

【答案】（1），；（2）；（3）、坐標(biāo)分別為、；、或、、【分析】

(1)

過點(diǎn)作軸于，再證，即可求出、、的值；

(2)

設(shè)得到，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；

(3)由反比例函數(shù)的解析式為，再由點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，設(shè)Q(0,y)，P(x,)，再分以AB為邊和以AB為對(duì)角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）過點(diǎn)作軸于

∵為的中點(diǎn)，∴DE=AE,又∵∠PED=∠OEA,∠DPE=∠AOE,∴

∴

∴

∴即

∴

（2）∵四邊形是平行四邊形.∴

∵

在軸上

∴設(shè)

則

∴

（3）∵反比例函數(shù)的表達(dá)式為，∵點(diǎn)P在雙曲線上，點(diǎn)Q在y軸上，∴設(shè)Q(0,y)，P(x,);

①AB為邊時(shí)，如圖①所示．若四邊形ABPQ平行四邊形，則=0，解得x=1，此時(shí)P1(1,4)，Q1(0,6)；

如圖②所示．

若四邊形ABQP是平行四邊形，則x=?1.此時(shí)P2(?1,?4)，Q2(0,?6);

②當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，如圖③所示，AP=BQ，且AP//BQ，所以x=?1，所以P3(?1,?4)，Q3(0,2)，故滿足要求的點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別是、；、或、、．

【點(diǎn)睛】

此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，難度較大．

31．如圖（1），為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，四邊形是平行四邊形，，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，與交于點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)和反比例函數(shù)解析式；

（2）若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在（2）中的條件下，如圖（2），點(diǎn)為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為雙曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否在這樣的點(diǎn)、點(diǎn)，使以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1），；（2）點(diǎn)；（3）存在，點(diǎn)，或，或，．

【分析】

（1）根據(jù)，可知點(diǎn)的坐標(biāo)，代入解析式求解；

（2）過點(diǎn)作于，設(shè)，由平行四邊形的性質(zhì)可得，，由銳角三角函數(shù)可求用表示的點(diǎn)坐標(biāo)，代入解析式可求的值，即可求點(diǎn)坐標(biāo)；

（3）分兩種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．

【詳解】

（1）如圖1，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，根據(jù)題意得：，可得，反比例函數(shù)的解析式為，（2）如圖2，過點(diǎn)作于，設(shè)，四邊形是平行四邊形，，，，，點(diǎn)

反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，（不合題意舍去），點(diǎn)，點(diǎn)，（3）點(diǎn)，點(diǎn)

直線解析式為：

若以為邊，則，設(shè)解析式為：，直線解析式為：，解得：，設(shè)點(diǎn)，，或

點(diǎn)，或，若以為對(duì)角線，以、、、為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，互相平分

設(shè)點(diǎn)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，【點(diǎn)睛】

本題是反比例函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行四邊形的性質(zhì)，銳角函數(shù)的應(yīng)用，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．

32．如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)A（-3，0）和點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C（0，3）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)Q是線段AC上的一動(dòng)點(diǎn)，作DQ⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)D，求線段DQ長(zhǎng)度的最大值．

（3）點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F在x軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以A，C，F(xiàn)，G四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求出所有滿足條件的點(diǎn)F坐標(biāo)（直接寫出結(jié)果）．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）QD最大值為；（3）（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．

【分析】

（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式，利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答；

（2）利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式求出直線AC的解析式，然后表示出DQ，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）設(shè)點(diǎn)，再分情況根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出所有滿足條件的點(diǎn)F坐標(biāo)即可．

【詳解】

將點(diǎn)，點(diǎn)代入得

解得

∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

（2）設(shè)直線AC的解析式為

則

解得

∴直線AC的解析式為，∴當(dāng)時(shí)，線段DQ長(zhǎng)度的最大值為

（3）設(shè)點(diǎn)，①如圖，∵，點(diǎn)，點(diǎn)

∴

解得

∴

∴

∴

②如圖，∵，點(diǎn)，點(diǎn)

∴

解得

∴

∴

∴

③如圖，∵平行四邊形對(duì)角線互相平分

∴點(diǎn)C和點(diǎn)G的縱坐標(biāo)之和為0

∵點(diǎn)

∴

解得

當(dāng)時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為

∴

④如圖，根據(jù)③可得

當(dāng)時(shí)，對(duì)角線交點(diǎn)坐標(biāo)為

∴

故所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，0），（-5，0），（，0），（，0）．

【點(diǎn)睛】

本題考查了拋物線的綜合問題，掌握拋物線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

33．如圖，對(duì)稱軸為直線的拋物線與軸交于、，與軸交于點(diǎn)，拋物線頂點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn)．

（1）求拋物線函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)是位于直線下方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，以、為相鄰的兩邊作平行四邊形，當(dāng)平行四邊形的面積最大時(shí)，求此時(shí)平行四邊形的面積及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

【答案】（1）；（2）平行四邊形PBFD的面積S為2，P（2，-3）；（3）存在．點(diǎn)G的坐標(biāo)為．

【分析】

（1）先設(shè)拋物線的頂點(diǎn)式，然后利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）根據(jù)題意，先求出BD的解析式，當(dāng)PF的值最大時(shí)，面積取到最大值，即可得到答案；

（3）先證明，設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，利用三角函數(shù)值，求出t的值，即可得到點(diǎn)G的坐標(biāo)．

【詳解】

解：（1）設(shè)拋物線為

把A（1，0），C（0，3）代入得

得：，即；

（2）設(shè)直線BD為y＝kx+b，如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸交直線BD于F，將點(diǎn)（1，4）、（3，0）代入y＝kx+b中，解得，k＝2，b＝6，∴BD解析式為y＝2x-6，設(shè)點(diǎn)P（a，a2-2a-3），則F（a，2a-6），則PF＝2a-6-（a2-2a-3）

＝-a2+4a-3

當(dāng)a＝2時(shí)，PF有最大長(zhǎng)度1，∴S△PBD最大＝S△PBF+S△PDF

＝PF?2=1

∴以PB、PD為相鄰的兩邊作平行四邊形PBFD，當(dāng)平行四邊形MANB的面積最大時(shí)，S最大＝2S△PBD最大＝2×1＝2，∴P（2，-3）；

（3）存在．如圖2，由B（3，0），C（0，-3），D（1，-4）可知，BC=，CD=，BD=，∵，即，∴，∴，∵點(diǎn)G在線段BD上，所以設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，過點(diǎn)G作GH⊥y軸于點(diǎn)H，當(dāng)tan∠GCH=3時(shí)，∠BDC=∠GCE，解得：

∴，∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為：．

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，也考查了三角函數(shù)，勾股定理的逆定理，求二次函數(shù)的解析式，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的性質(zhì)進(jìn)行解題．

34．已知拋物線=（≠0）與軸交于A?B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),其對(duì)稱軸為=1,且A（-1,0）?C（0,2）.（1）直接寫出該拋物線的解析式;

（2）P是對(duì)稱軸上一點(diǎn),△PAC的周長(zhǎng)存在最大值還是最小值?請(qǐng)求出取得最值（最大值或最小值）時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);

（3）設(shè)對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)H,點(diǎn)D為線段CH上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C?H重合）.點(diǎn)P是（2）中所求的點(diǎn).過點(diǎn)D作DE∥PC交軸于點(diǎn)E.連接PD?PE.若CD的長(zhǎng)為,△PDE的面積為S,求S與之間的函數(shù)關(guān)系式,試說明S是否存在最值,若存在,請(qǐng)求出最值,并寫出S取得的最值及此時(shí)的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.【答案】(1)

=-++2;(2)

P（1,）;(3)見解析.【分析】

（1）由已知條件易得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），這樣結(jié)合點(diǎn)A、C的坐標(biāo)即可求得拋物線的解析式；

（2）由題意可知，AC長(zhǎng)度是固定值，點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于直線x=1對(duì)稱，由此可得連接BC交直線x=1于點(diǎn)P，此時(shí)△PAC的周長(zhǎng)最小，求得直線BC的解析式，即可求得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2，畫出符合題意的圖形，過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F，交對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)N，在Rt△OCH中易得CH=，由Rt△CDF∽R(shí)t△CHO，可將CF、OF和FD用含m的代數(shù)式表達(dá)出來，從而可表達(dá)出點(diǎn)D和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求得用含m的代數(shù)式表達(dá)的DE的解析式，即可表達(dá)出點(diǎn)E的坐標(biāo)和點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后由S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=即可得到S與m間的函數(shù)關(guān)系式，將所得解析式化簡(jiǎn)、配方即可得到所求答案.【詳解】

解：（1）∵拋物線=（≠0）與軸交于A?B兩點(diǎn),其對(duì)稱軸為=1,且A（-1,0），∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），∴可設(shè)拋物線解析式為：，∵拋物線和y軸交于點(diǎn)C（0，2），∴，解得：，∴，即；

（2）△PAC的周長(zhǎng)有最小值，連結(jié)AC?BC，∵AC的長(zhǎng)度一定,∴要使△PAC的周長(zhǎng)最小,就是使PA+PC最小.∵點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸=1的對(duì)稱點(diǎn)是B點(diǎn),∴BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P（如圖2）,設(shè)直線BC的表達(dá)為:=,則有,解得,∴:=-+2,把=1代入,得=,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1,）,∴△PAC的周長(zhǎng)取得最小值,取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（1,）；

（3）如圖2，設(shè)DE對(duì)稱軸x=1于點(diǎn)Q,在Rt△COH中，由勾股定理得CH===.過點(diǎn)D作DF⊥軸于點(diǎn)F，交對(duì)稱軸=1于點(diǎn)N，∵Rt△CDF∽R(shí)t△CHO，∴，∴CF===，OF=CO-CF=2-；

同樣：，F(xiàn)D===，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D（,2-），∴N（1，2-）.∵DE∥BC，∴可設(shè)（過點(diǎn)D?E的直線）:=-+，把D點(diǎn)坐標(biāo)代入其中，得-

+=2-，解得=2-，∴：=-+2-，點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為0，代入其中，解得=3-，∴E（3-，0）.∵點(diǎn)Q在對(duì)稱軸=1上，把=1代入中，解得=-，∴Q（1,-）.PQ=-（-）=,DN=1-，EH=3--1=2-.S=S△PDE=S△PDQ+S△PEQ=PQ·DN+PQ·EH

=PQ（DN+EH）=·（1-+2-）,化簡(jiǎn)得S=-+,可知S是關(guān)于的二次函數(shù).S存在最大值.配方可得:S=-+,由此可得,S取得最大值為,取得最大值時(shí)的值為:=.點(diǎn)睛：本題是一道二次函數(shù)與幾何圖形的綜合題，第1和第2小題比較簡(jiǎn)單；第3小題難點(diǎn)較大，畫出符合題意的圖形，作出如圖所示的輔助線，借助于△CDF∽△CHO，利用相似三角形的性結(jié)合題中的已知條件，把點(diǎn)D、E、Q的坐標(biāo)用含m的代數(shù)式表達(dá)出來是解決第3小題的關(guān)鍵.35．如圖，拋物線與直線交于、兩點(diǎn)，過作軸交拋物線于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)．

求、、三點(diǎn)的坐標(biāo)；

若點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過作軸交拋物線于點(diǎn)，連接、，當(dāng)時(shí)，求的值；

如圖，連接，及，設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上任意一點(diǎn)，將沿邊翻折得到，求當(dāng)為何值時(shí)，與重疊部分的面積是面積的．

【答案】（1）點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)；（2）；（3）當(dāng)或?時(shí)，與重疊部分的面積是面積的?．

【解析】

【分析】

（1）列方程組可知A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)與點(diǎn)A的縱坐標(biāo)相同，列方程可求得點(diǎn)C坐標(biāo)．

（2）如圖1中，設(shè)，則，根據(jù)

列出方程求出點(diǎn)H的橫坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可解決問題．

（3）分兩種情形①若翻折后，點(diǎn)G在直線OC下方時(shí)，連接CG．如圖2，可證四邊形PFCG是平行四邊形，得，在Rt△PBO中，根據(jù)，即可解決問題．②若翻折后，點(diǎn)G在直線OC上方時(shí)，連接CG．如圖3，可證四邊形PFGC是平行四邊形，得即可解決問題．

【詳解】

解：由解得或，∴點(diǎn)坐標(biāo)，點(diǎn)坐標(biāo)，∵軸，∴點(diǎn)縱坐標(biāo)為，由，解得或，∴點(diǎn)坐標(biāo)．

如圖中，設(shè)，則，由題意，解得或（舍棄），∴．

∵，∴，，∵，∴．

①若翻折后，點(diǎn)在直線下方時(shí)，連接．如圖，∵，∴，∴．，∴四邊形是平行四邊形，∴，在中，∴．

②若翻折后，點(diǎn)在直線上方時(shí)，連接．如圖，∵，∴，∴．，∴四邊形是平行四邊形，∴，綜上所述:當(dāng)或時(shí)，與重疊部分的面積是面積的?．

【點(diǎn)睛】

屬于二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性比較強(qiáng)，難度較大.36．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在線段上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，過點(diǎn)作軸的垂線，交直線于點(diǎn),交拋物線于點(diǎn)．連接，是線段的中點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段．

（1）求拋物線的解析式；

（2）連接，當(dāng)為何值時(shí)，面積有最大值，最大值是多少？

（3）當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)落在拋物線上．

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，面積的最大值為16；（3）

【分析】

（1）用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；

（2）先用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出Q,D的坐標(biāo)，進(jìn)一步表示出QD的長(zhǎng)度，從而利用面積公式表示出的面積，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可；

（3）分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，首先證明≌，得到，然后得到點(diǎn)N的坐標(biāo)，將點(diǎn)N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出t的值，注意t的取值范圍．

【詳解】

（1）∵拋物線過點(diǎn)，∴解得

所以拋物線的解析式為：；

（2）設(shè)直線AB的解析式為，將代入解析式中得,解得

∴直線AB解析式為

．

∵，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，面積的最大值為16；

（3）分別過點(diǎn)作軸的垂線，垂足分別為，．

在和中，∴≌，∴．

∵，．

當(dāng)點(diǎn)落在拋物線上時(shí)，.∴,，∴

．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查二次函數(shù)與幾何綜合，掌握待定系數(shù)法，全等三角形的判定及性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．