第一篇：圓的知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

圓的知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

1.圓是由一條曲線圍成的平面圖形。

（以前所學(xué)的圖形如長方形、梯形等都是由幾條線段圍成的平面圖形）2.畫圓時(shí)，針尖固定的一點(diǎn)是圓心，通常用字母O表示； 連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段是半徑，通常用字母r表示；

通過圓心并且兩端都在圓上的線段是直徑，通常用字母d表示。

3.圓有無數(shù)條直徑，無數(shù)條半徑；同（或等）圓內(nèi)的直徑都相等，半徑都相等。4.圓心確定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。

5.圓是軸對(duì)稱圖形，直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸，圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。6.在同一圓內(nèi)，直徑的長度是半徑的2倍，可以表示為d=2r或r=d÷2。7.圓的周長是指圍成圓的曲線的長。

8.圓周率：圓的周長除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母∏表示，計(jì)算時(shí)通常取3.14.9.圓的周長的計(jì)算公式：如果用C表示圓的周長，那么C=∏d或C=2∏r。10.圓的周長計(jì)算公式的應(yīng)用：

已知圓的半徑，求圓的周長：C=2∏r。

已知圓的直徑，求圓的周長：C=∏d。

已知圓的周長，求圓的半徑：r=C ÷2∏。已知圓的周長，求圓的直徑：d=C÷ ∏。

11.圓形物體所占平面的大小或圓形物體表面的大小就是圓的面積。

12.如果用S表示圓的面積，r表示圓的半徑，那么圓的面積計(jì)算公式是：S= ∏r2。13.圓的面積計(jì)算公式的應(yīng)用：

已知圓的半徑，求圓的面積：S= ∏r2。

已知圓的直徑，求圓的面積：r= d÷2，S= ∏r2。已知圓的周長，求圓的面積：r=C ÷2∏，S= ∏r2。14.正方形里最大的圓。兩者聯(lián)系：邊長＝直徑； 長方形里最大的圓。兩者聯(lián)系：寬＝直徑。15.同一個(gè)圓內(nèi)的所有線段中，圓的直徑是最長的。16.車輪滾動(dòng)一周前進(jìn)的路程就是車輪的周長。

每分前進(jìn)米數(shù)（速度）＝車輪的周長×轉(zhuǎn)數(shù)。17.半圓的周長等于圓周長的一半加一條直徑。

C半圓= πr＋2r=5.14r

C半圓= πd÷2＋d=2.57d 半圓的面積是圓面積的一半。S半圓= S= ∏r2÷2.18.兩個(gè)同心圓形成一個(gè)圓環(huán)。

設(shè)小圓和大圓（或內(nèi)圓和外圓）的半徑和直徑分別為r和R。（R﹥r(jià)）

S圓環(huán)=∏R2-∏r2=∏(R2-r2).19.一個(gè)圓的半徑擴(kuò)大若干倍，則它的直徑也擴(kuò)大相同的倍數(shù)，周長也擴(kuò)大相同的倍數(shù)，而面積擴(kuò)大倍數(shù)的平方倍。

20.在周長相等的長方形，正方形和圓中，（圓）的面積大一些。

21.常用的3.14的倍數(shù)：

3.14×12＝37.68 3.14×14＝43.96 3.14×16＝50.24

3.14×18＝56.52

3.14×24＝75.36

3.14×25＝78.5 3.14×36＝113.04 3.14×49＝153.86

3.14×64＝200.96 3.14×81=254.34

第二篇：初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初中圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形。

2、圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)組成的圖形。

3、圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)組成的圖形。

4、同圓或等圓的半徑相等。

5、到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)組成的圖形，是以定點(diǎn)為圓心，定長為半徑的圓。

6、定理：不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

7、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

8、推論1：

①平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。

9、推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等

10、圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形.圓是以直徑所在直線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形。

11、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的圓周角相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

12、推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、圓周角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等。

13、定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

14、推論：

1、同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

15、推論：

2、半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

16、推論：

3、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形（注：這是用來證明三角形是直角三角形的一種方法）

17、定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角（這個(gè)定理現(xiàn)在的書上沒有）。

21、直線和圓的位置關(guān)系：

①直線L和⊙O相交d﹤r

②直線L和⊙O相切d=r

③直線L和⊙O相離d﹥r(jià)

（其中：d表示直線到圓心的距離，r表示圓的半徑）

18、切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端（或者直徑的一端）并且垂直于這條半徑（或這條直徑）的直線是圓的切線。

19、切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑（或直徑）。

20、推論1 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)

21、推論2 經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

注：小結(jié)為過圓心、過切點(diǎn)，垂直于切線，22、切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等圓

心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。（這個(gè)定理書上沒有）

23、定理：圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等。（這個(gè)定理書上沒有）

24、弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角。（這個(gè)定理書上沒有）

25、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（這個(gè)定理書上沒有）

26、如果兩個(gè)圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上（其中：d表示圓心距，R表示大圓的半徑，r表示小圓的半徑）

27、①兩圓外離d﹥R+r

②兩圓外切d=R+r

③兩圓相交R-r﹤d﹤R+r(R﹥r(jià))

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R﹥r(jià))

⑤兩圓內(nèi)含d﹤R-r(R﹥r(jià))

28、定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦

29、扇形弧長計(jì)算公式：L=n兀R／180（其中：L表示弧長，n表示圓心角的度數(shù)，R表示扇形的半徑）

30、扇形面積公式：S扇形=n兀R^2／360=LR／2（其中：L表示弧長，n表示圓心角的度數(shù)，R表示扇形的半徑）

31、圓錐的側(cè)面積公式：S側(cè)=S扇形 =（1/2）×扇形半徑 × 扇形弧長=π rL（其中：r表示底面圓的半徑，L表示扇形的半徑：即圓錐的母線長）

32、圓錐的全面積：S全= S側(cè)+ S底面圓=π rL+π r2

注：（圓的知識(shí)中的幾條經(jīng)常作的重要的輔助線：①連接圓心和圓上的點(diǎn)（構(gòu)成半徑），②過圓心作弦的弦心距，(以便利用垂徑定理)，③作直徑所對(duì)的圓周角，（以便得到直徑所對(duì)的圓周角是直角）④連接圓心和切點(diǎn)(以便利用切線的性質(zhì)定理)⑤兩圓相切時(shí)作兩圓的連心線和公切線，（以便利用相切兩圓的性質(zhì)），⑥兩圓相交時(shí)作兩圓的連心線和公共弦。（以便利用相交兩圓的性質(zhì)）。

第三篇：初三數(shù)學(xué)圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

初三數(shù)學(xué) 圓知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、本章知識(shí)框架

二、本章重點(diǎn)

1．圓的定義：

(1)線段OA繞著它的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓．

(2)圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合． 2．判定一個(gè)點(diǎn)P是否在⊙O上． 設(shè)⊙O的半徑為R，OP＝d，則有 d>r點(diǎn)P在⊙O 外； d＝r點(diǎn)P在⊙O 上； d

(1)圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角．

圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)．

(2)圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．

圓周角的性質(zhì)：

①圓周角等于它所對(duì)的弧所對(duì)的圓心角的一半． ②同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等． ③90°的圓周角所對(duì)的弦為直徑；半圓或直徑所對(duì)的圓周角為直角．

④如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形． ⑤圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對(duì)角．

(3)弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切角． 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對(duì)的圓周角．

弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半．

4．圓的性質(zhì)：

(1)旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心．

在同圓或等圓中，兩個(gè)圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的任意一組相等，那么它所對(duì)應(yīng)的其他各組分別相等．

(2)軸對(duì)稱：圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對(duì)稱軸．

垂徑定理及推論：

(1)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

(2)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?3)弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對(duì)的兩條?。?/p>

(4)平分一條弦所對(duì)的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夾的弧相等．

5．三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心

(1)三角形的內(nèi)心：是三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心，在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示．

(2)三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，通常用O表示．

(3)三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是到對(duì)邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示．

(4)垂心：是三角形三邊高線的交點(diǎn)．

6．切線的判定、性質(zhì)：(1)切線的判定：

①經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線． ②到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線．

(2)切線的性質(zhì)：

①圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．

②經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn)． ③經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心．

(3)切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線長．

(4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

7．圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形

(1)四個(gè)點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對(duì)角．

(2)各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切四邊形，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等．

8．直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)⊙O 半徑為R，點(diǎn)O到直線l的距離為d．

(1)直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離d>R．

(2)直線和⊙O有唯一公共點(diǎn)直線l和⊙O相切d＝R．(3)直線l和⊙O 有兩個(gè)公共點(diǎn)直線l和⊙O 相交d

9．圓和圓的位置關(guān)系：（不考了）設(shè)(1)外離(2)含(3)外切(4)dr)，圓心距

．

沒有公共點(diǎn)，且每一個(gè)圓上的所有點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部d>R＋r． 沒有公共點(diǎn)，且的每一個(gè)點(diǎn)都在外部

內(nèi)有唯一公共點(diǎn)，除這個(gè)點(diǎn)外，內(nèi)切d＝R－r．

相交(5)有兩個(gè)公共點(diǎn)R－r

10．兩圓的性質(zhì)：

(1)兩個(gè)圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸是兩圓連心線．

(2)相交兩圓的連心線垂直平分公共弦，相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)．

11．圓中有關(guān)計(jì)算： 圓的面積公式：，周長C＝2πR．

圓心角為n°、半徑為R的弧長．

圓心角為n°，半徑為R，弧長為l的扇形的面積弓形的面積要轉(zhuǎn)化為扇形和三角形的面積和、差來計(jì)算．

．

圓柱的側(cè)面圖是一個(gè)矩形，底面半徑為R，母線長為l的圓柱的體積為面積為2πRl，全面積為

．，側(cè)（補(bǔ)考圓錐面積了）圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，底面半徑為R，母線長為l，高為h的圓錐的側(cè)面積為πRl，全面積為半徑之間有

【經(jīng)典例題精講】

例1 如圖23-2，已知AB為⊙O直徑，C為上一點(diǎn)，CD⊥AB于D，∠OCD的平分線CP交⊙O于P，試判斷P點(diǎn)位置是否隨C點(diǎn)位置改變而改變？

分析：要確定P點(diǎn)位置，我們可采用嘗試的辦法，在上再取幾個(gè)符合條件的點(diǎn)試一試，觀察P點(diǎn)位置的變化，然后從中觀察規(guī)律． 解：

連結(jié)OP，．，母線長、圓錐高、底面圓的

P點(diǎn)為中點(diǎn)．

小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷． 例2 下列命題正確的是()A．相等的圓周角對(duì)的弧相等 B．等弧所對(duì)的弦相等 C．三點(diǎn)確定一個(gè)圓

D．平分弦的直徑垂直于弦． 解：

A．在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的劣弧相等，所以A不正確．

B．等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此B正確． C．三個(gè)點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個(gè)圓． D．平分弦(不是直徑)的直徑垂直于此弦． 故選B．

例3 四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D． 分析：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角之和相等，圓外切四邊形對(duì)邊之和相等． 解：

設(shè)∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，則∠D＝∠A＋∠C－∠B＝2x． x＋2x＋3x＋2x＝360°，x＝45°． ∴∠D＝90°．

小結(jié)：此題可變形為：四邊形ABCD外切于⊙O，周長為20，且AB︰BC︰CD＝1︰2︰3，求AD的長．

例4 為了測量一個(gè)圓柱形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以求得鐵環(huán)半徑．若測得PA＝5cm，則鐵環(huán)的半徑是__________cm． 分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識(shí)進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP⊥PA，再用三角板畫一個(gè)頂點(diǎn)為A、一邊為AP、大小為60°的角，這個(gè)角的另一邊與OP的交點(diǎn)即為圓心O，再用三角函數(shù)知識(shí)求解． 解：

．

小結(jié)：應(yīng)用圓的知識(shí)解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型．

例5 已知

相交于A、B兩點(diǎn)，的半徑是10，的半徑是17，公共弦AB＝16，求兩圓的圓心距． 解：分兩種情況討論：(1)若位于AB的兩側(cè)(如圖23-8)，設(shè)

與AB交于C，連結(jié)又∵AB＝16 ∴AC＝8．，則垂直平分AB，∴

． 在在故(2)若中，中，．

位于AB的同側(cè)(如圖23-9)，設(shè)

．

∵垂直平分AB，的延長線與

． ．

AB交于C，連結(jié)∴．

又∵AB＝16，∴AC＝8． 在在故中，中，．

． ．

注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個(gè)點(diǎn)到圓上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時(shí)，要注意雙解或多解問題．

1.相交弦定理

圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）

說明：幾何語言：

若弦AB、CD交于點(diǎn)P，則PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

例1． 已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，P任作一弦AB，設(shè)為

。解：由相交弦定理得，⊙O半徑為，過，則關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，即，其中

2.切割線定理

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

說明：幾何語言：若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P，則PC^2=PA·PB

例2． 已知PT切⊙O于T，PBA為割線，交OC于D，CT為直徑，若OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB長。

解：設(shè)TD=，BP=，由相交弦定理得：即由切割線定理，理，∴ ∴，（舍）

由勾股定

∴

四、輔助線總結(jié)（重要）1.圓中常見的輔助線

1）．作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等．

2）．作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計(jì)算，或利用“圓心、弧、弦、弦心距”間的關(guān)系進(jìn)行證明．

3）．作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行計(jì)算．

4）．作弦構(gòu)造同弧或等弧所對(duì)的圓周角．

5)．作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角——直角． 6)．遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角． 7)．遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角．

8)．欲證直線為圓的切線時(shí)，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直；(2)不知道直線和圓有公共點(diǎn)時(shí)，常過圓心向直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑．

9)．遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn)．

10)．遇到三角形的內(nèi)心，常作：(1)內(nèi)心到三邊的垂線；(2)連結(jié)內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)．

11)．遇相交兩圓，常作：(1)公共弦；(2)連心線． 12)．遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線．

13)．求公切線時(shí)常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形的一條直角邊．

2、圓中較特殊的輔助線

1)．過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線． 2)．將割線、相交弦補(bǔ)充完整． 3)．作輔助圓．

例1如圖23-10，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的長為()

A．2 B．3 C．4 D．5

分析：連結(jié)OC，由AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB知CD＝DE．設(shè)AE＝x，則在Rt△CEO中，即，則，(舍去)．

答案：A．

例2如圖23-11，CA為⊙O的切線，切點(diǎn)為A，點(diǎn)B在⊙O上，如果∠CAB＝55°，那么∠AOB等于()

A．35° B．90° C．110° D．120°

分析：由弦切角與所夾弧所對(duì)的圓心角的關(guān)系可以知道∠AOB＝2∠BAC＝2×55°＝110°．答案：C．

例3 如果圓柱的底面半徑為4cm，母線長為5cm，那么側(cè)面積等于()A． B．

C．

D．

分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個(gè)矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以圓柱的高，即

．答案：B．

例4 如圖23-12，在半徑為4的⊙O中，AB、CD是兩條直徑，M為OB的中點(diǎn)，延長CM交⊙O于E，且EM>MC，連結(jié)OE、DE，．

求：EM的長．

簡析：(1)由DC是⊙O的直徑，知DE⊥EC，于是．設(shè)EM＝x，則AM·MB＝x(7－x)，即．所以

．而EM>MC，即EM＝4．

例5如圖23-13，AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰好是關(guān)于x的方程

(其中m為實(shí)數(shù))的兩根．

(1)求證：BE＝BD；(2)若，求∠A的度數(shù)．

簡析：(1)由BE、BD是關(guān)于x的方程的兩根，得，則m＝－2．所以，原方程為

．得

．故BE＝BD．

(2)由相交弦定理，得，即

．而PB切⊙O于點(diǎn)B，AB為⊙O的直徑，得∠ABP＝∠ACB＝90°．又易證∠BPD＝∠APE，所以△PBD∽△PAE，△PDC∽△PEB，則，所以，所以

．在Rt△ACB中，故∠A＝60°．

第四篇：圓的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

圓的認(rèn)識(shí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

? 圓的定義：

圓是一種幾何圖形。當(dāng)一條線段繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，它的另一個(gè)端點(diǎn)的軌跡叫做圓。在一個(gè)個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

相關(guān)定義: 在同一平面內(nèi)，到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓。這個(gè)定點(diǎn)叫做圓的圓心。圖形一周的長度，就是圓的周長。連接圓心和圓上的任意一點(diǎn)的線段叫做半徑，字母表示為r。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑，字母表示為d。直徑所在的直線是圓的對(duì)稱軸。4 連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。最長的弦是直徑,直徑是過圓心的弦。圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，優(yōu)弧是用三個(gè)字母表示。小于半圓的弧稱為劣弧，劣弧用兩個(gè)字母表示。半圓既不是優(yōu)弧，也不是劣弧。優(yōu)弧是大于180度的弧，劣弧是小于180度的弧。由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。7 由弦和它所對(duì)的一段弧圍成的圖形叫做弓形。8 頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。圓周長度與圓的直徑長度的比值叫做圓周率。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，通常用π表示，π=3.14159265……在實(shí)際應(yīng)用中，一般取π≈3.14。11圓周角等于相同弧所對(duì)的圓心角的一半。圓是一個(gè)正n邊形（n為無限大的正整數(shù)），邊長無限接近0但不等于0。

圓的集合定義：

圓是平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合，其中定點(diǎn)是圓心，定長是半徑。

? 圓的字母表示：

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作O”。圓—⊙ ；

半徑—r或R（在環(huán)形圓中外環(huán)半徑表示的字母）； 弧—⌒ ； 直徑—d ；

扇形弧長—L ； 周長—C ； 面積—S。

圓的性質(zhì):（1）圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的2條弧。（2）有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理

① 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

②在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半（圓周角與圓心角在弦的同側(cè)）。直徑所對(duì)的圓周角是直角。90度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。圓心角計(jì)算公式： θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)；圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)的弧的度數(shù)的一半。③ 如果一條弧的長是另一條弧的2倍，那么其所對(duì)的圓周角和圓心角是另一條弧的2倍。（3）有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理

①一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等；

②內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。③R=2S△÷L（R：內(nèi)切圓半徑，S：三角形面積，L：三角形周長）。④兩相切圓的連心線過切點(diǎn)。（連心線：兩個(gè)圓心相連的直線）

⑤圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，過點(diǎn)M任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。

（4）如果兩圓相交，那么連接兩圓圓心的線段（直線也可）垂直平分公共弦。（5）弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。（6）圓內(nèi)角的度數(shù)等于這個(gè)角所對(duì)的弧的度數(shù)之和的一半。（7）圓外角的度數(shù)等于這個(gè)角所截兩段弧的度數(shù)之差的一半。（8）周長相等，圓面積比長方形、正方形、三角形的面積大。

? 點(diǎn)、線、圓與圓的位置關(guān)系：

點(diǎn)和圓位置關(guān)系

①P在圓O外，則 PO>r。②P在圓O上，則 PO=r。③P在圓O內(nèi)，則 0≤PO

直線和圓位置關(guān)系

①直線和圓無公共點(diǎn)，稱相離。AB與圓O相離，d>r。

②直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，稱相交，這條直線叫做圓的割線。AB與⊙O相交，d

③直線和圓有且只有一公共點(diǎn)，稱相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。AB與⊙O相切，d=r。（d為圓心到直線的距離）

圓和圓位置關(guān)系

①無公共點(diǎn)，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含。②有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切。③有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，且R〉r，圓心距為P，則結(jié)論：外離P>R+r；外切P=R+r；內(nèi)含P? 圓的計(jì)算公式: 1.圓的周長C=2πr=或C=πd 2.圓的面積S=πr2 3.扇形弧長L=圓心角（弧度制）× r = n°πr/180°（n為圓心角）4.扇形面積S=nπ r2/360=Lr/2（L為扇形的弧長）5.圓的直徑 d=2r 6.圓錐側(cè)面積 S=πrl（l為母線長）

7.圓錐底面半徑 r=n°/360°L（L為母線長）（r為底面半徑）

圓的方程:

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（x-a）2+（y-b)2=r2。

特別地，以原點(diǎn)為圓心，半徑為r（r>0）的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+y2=r2。

2、圓的一般方程：方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可變形為（x+D/2）2+（y+E/2）2=（D2+E2-4F）/4.故有： ①當(dāng)D2+E2-4F>0時(shí)，方程表示以(-D/2,-E/2)為圓心，以（√D2+E2-4F）/2為半徑的圓； ②當(dāng)D2+E2-4F=0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)（-D/2，-E/2）； ③當(dāng)D2+E2-4F<0時(shí)，方程不表示任何圖形。

3、圓的參數(shù)方程：以點(diǎn)O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ,（其中θ為參數(shù)）

圓的端點(diǎn)式：若已知兩點(diǎn)A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0 圓的離心率e=0，在圓上任意一點(diǎn)的曲率半徑都是r。

經(jīng)過圓x2+y2=r2上一點(diǎn)M（a0，b0）的切線方程為 a0·x+b0·y=r2

在圓（x2+y2=r2）外一點(diǎn)M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點(diǎn)為A,B，則A,B兩點(diǎn)所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r2。

? 圓的歷史: 圓形，是一個(gè)看來簡單，實(shí)際上是十分奇妙的形狀。古代人最早是從太陽、陰歷十五的月亮得到圓的概念的。在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石和石珠上鉆孔，那些孔有的就很圓。到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成的。當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘或陶紡錘。古代人還發(fā)現(xiàn)搬運(yùn)圓的木頭時(shí)滾著走比較省勁。后來他們?cè)诎徇\(yùn)重物的時(shí)候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得多。

約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子——圓型的木盤。大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子。

會(huì)作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì)。古代埃及人就認(rèn)為：圓，是神賜給人的神圣圖形。一直到兩千多年前我國的墨子（約公元前468-前376年）才給圓下了一個(gè)定義：圓，一中同長也。意思是說：圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330-前275年）給圓下定義要早100年。

任意一個(gè)圓的周長與它直徑的比值是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母π表示。它是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，π=3.1415926535……但在實(shí)際運(yùn)用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.如果用C表示圓的周長：C=πd或C=2πr.《周髀算經(jīng)》上說“周三徑一”，把圓周率看成3，但是這只是一個(gè)近似值。美索不達(dá)來亞人在作第一個(gè)輪子的時(shí)候，也只知道圓周率是3。魏晉時(shí)期的劉徽于公元263年給《九章算術(shù)》作注時(shí)，發(fā)現(xiàn)“周三徑一”只是圓內(nèi)接正六邊形周長和直徑的比值。他創(chuàng)立了割圓術(shù)，認(rèn)為圓內(nèi)接正多連形邊數(shù)無限增加時(shí)，周長就越逼近圓周長。他算到圓內(nèi)接正3072邊形的圓周率，π= 3927/1250。劉徽把極限的概念運(yùn)用于解決實(shí)際的數(shù)學(xué)問題之中，這在世界數(shù)學(xué)史上也是一項(xiàng)重大的成就。祖沖之（公元429-500年）在前人的計(jì)算基礎(chǔ)上繼續(xù)推算，求出圓周率在3.1415926與3.1415927之間，是世界上最早的七位小數(shù)精確值，他還用兩個(gè)分?jǐn)?shù)值來表示圓周率：22/7稱為約率，355/113稱為密率。在歐洲，直到1000年后的十六世紀(jì)，德國人鄂圖（公元1573年）和安托尼茲才得到這個(gè)數(shù)值?，F(xiàn)在有了電子計(jì)算機(jī)，圓周率已經(jīng)算到了小數(shù)點(diǎn)后六十萬億位小數(shù)了。

第五篇：初中圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

中考數(shù)學(xué)關(guān)于圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

考點(diǎn)

一、圓的相關(guān)概念

1、圓的定義

在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、圓的幾何表示

以點(diǎn)O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”考點(diǎn)

二、弦、弧等與圓有關(guān)的定義

（1）弦

連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑

經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓

圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧

圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡稱弧?；∮梅?hào)“⌒”表示，以A，B為端點(diǎn)的弧記作“

”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€(gè)字母表示）；小于半圓的弧叫做劣?。ǘ嘤脙蓚€(gè)字母表示）

考點(diǎn)

三、垂徑定理及其推論(重要)垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧。*推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等?？键c(diǎn)

四、圓的對(duì)稱性

1、圓的軸對(duì)稱性

圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對(duì)稱軸。

2、圓的中心對(duì)稱性

圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形?？键c(diǎn)

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

1、圓心角

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關(guān)系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦想等，所對(duì)的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等?？键c(diǎn)

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理（重要）

一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。推論2(△)：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑?？键c(diǎn)

七、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系

設(shè)⊙O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心O的距離為d 則有：d

d=r?點(diǎn)P在⊙O上； d>r?點(diǎn)P在⊙O外?？键c(diǎn)

八、直線與圓的位置關(guān)系

直線和圓有三種位置關(guān)系，具體如下：

（1）相交：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交，這時(shí)直線叫做圓的割線，公共點(diǎn)叫做交點(diǎn)；

（2）相切：直線和圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切，這時(shí)直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交?dr； 考點(diǎn)

九、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（重要），外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即：在⊙O中，∵四邊ABCD是內(nèi)接四邊形

∴?C??BAD?180??B??D?180? ?DAE??C

考點(diǎn)

十、切線的性質(zhì)與判定定理

1、切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；

兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵M(jìn)N?OA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

2、性質(zhì)定理：切線垂直于過切點(diǎn)的半徑（如上圖）（記住理解即可，不會(huì)考證明題）考點(diǎn)

十一、切線長定理

切線長定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長 相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

即：∵PA、PB是的兩條切線∴PA?PB；PO平分?BPA（用三角形全等證明）考點(diǎn)

十二、弧長和扇形面積

1、弧長公式

半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長l的計(jì)算公式：

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側(cè)面積

其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑?？键c(diǎn)

十三、圓冪定理（一般不會(huì)考）

1、相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。

即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P，∴PA?PB?PC?PD

2、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。

即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線 ∴ PA2?PC?PB

3、割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PC?PB?PD?PE