第一篇：高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)-第七章直線和圓的方程

高中數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式． 兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離． 用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題． 曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程． 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程． 考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．

（6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

§07.直線和圓的方程

知識(shí)要點(diǎn)

一、直線方程.1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是0????180?(0????).注：①當(dāng)??90?或x2?x1時(shí)，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a?0,b?0)時(shí)，直線方程是：注：若y??y??xy??1.ab22x?2是一直線的方程，則這條直線的方程是y??x?2，但若332x?2(x?0)則不是這條線.3附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程y?kx?b，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定的直線，如果k,b變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)b為定植，k變化時(shí)，它們表示過(guò)定點(diǎn)（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時(shí)，它們表示一組平行直線.3.⑴兩條直線平行：

l1∥l2?k1?k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)“前提”都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線l1,l2，它們?cè)趛軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2?k1?k2，且b1?b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2?B1A2是平行的必要不充分條件，且C1?C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為?1,?2則l1∥l2??1??2.⑵兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1?l2?k1k2??1這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1?l2?k1?0，且l2的斜率不存在或k2?0，且l1的斜率不存在.（即A1B2?A2B1?0是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

⑴直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點(diǎn)依逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角?，它的范圍是(0,?)，當(dāng)??90?時(shí)tan??k2?k1.1?k1k2⑵兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四

????個(gè)角中最小的正角?，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是??0,2?，當(dāng)??90，則有

??tan??k2?k1.1?k1k2?l1:A1x?B1y?C1?0的交點(diǎn)的直線系方程A1x?B1y?C1??(A2x?B2y?C2)?0(?l:Ax?By?C?02222?5.過(guò)兩直線?為參數(shù)，A2x?B2y?C2?0不包括在內(nèi)）

6.點(diǎn)到直線的距離：

⑴點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，直線l:Ax?By?C?0,P到l的距離為d，則有d?Ax0?By0?CA?B22.注：

1.兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|?(x2?x1)2?(y2?y1)2.特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：|OP|?x2?y2 ????????2.定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段PP,其中12所成的比為?即PP1??PP2x1??x2y??y2 ,y?11??1??特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.直線的傾斜角（0°≤?＜180°）、斜率:k?tan? P1(x1,y1),P2(x2,y2).則 x?4.過(guò)兩點(diǎn)Pk?1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：當(dāng)x1y2?y1.x2?x1(x1?x2)

?x2,y1?y2（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角?＝90?，沒(méi)有斜率 王新敞

⑵兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0(C1?C2)，它們之間的距離為d，則有d?C1?C2A?B22.注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C= 0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(m?R, C≠m).2.與直線：Ax+By+C= 0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(m?R)3.過(guò)定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是：

A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)4.過(guò)直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λ?R）注：該直線系不含l2.7.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：

⑴關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.⑵關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過(guò)兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.⑶點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程①），過(guò)兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).注：①曲線、直線關(guān)于一直線（y??x?b）對(duì)稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x ,y)=0關(guān)于直線y=x–2對(duì)稱曲線方程是f(y+2 ,x –2)=0.②曲線C: f(x ,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a ,b)的對(duì)稱曲線方程是f(a – x, 2b – y)=0.二、圓的方程.1.⑴曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的 與一個(gè)二元方程f(x,y)?0的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：

①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.⑵曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)?0的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)(x,y)是方程f(x,y)?0的解；反過(guò)來(lái)，滿足方程f(x,y)?0的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).注：如果曲線C的方程是f(x ,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0 ,y)線C上的充要條件是f(x0 ,y0)=0 2.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x?a)2?(y?b)2?r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2?y2?r2.注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?b[r?b,圓心(a,b)或(a,?b)] ②與y軸相切的圓方程(x?a)2?(y?b)2?a2

[r?a,圓心(a,b)或(?a,b)] ③與x軸y軸都相切的圓方程(x?a)2?(y?a)2?a2

[r?a,圓心(?a,?a)] 3.圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0.?DE?當(dāng)D?E?4F?0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心C??,??，半徑r?2??222D2?E2?4F.2當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)???DE?,??.2??2當(dāng)D2?E2?4F?0時(shí)，方程無(wú)圖形（稱虛圓）.?x?a?rcos?注：①圓的參數(shù)方程：?（?為參數(shù)）.y?b?rsin??②方程Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0表示圓的充要條件是：B?0且A?C?0且D2?E2?4AF?0.③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)?(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0（用向量可征）.4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(x?a)2?(y?b)2?r2.①M(fèi)在圓C內(nèi)?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 ②M在圓C上?（x0?a)2?(y0?b)2?r2 ③M在圓C外?(x0?a)2?(y0?b)2?r2 5.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(x?a)2?(y?b)2?r2(r?0)；

直線l：Ax?By?C?0(A2?B2?0)；

圓心C(a,b)到直線l的距離d?①d?r時(shí)，l與C相切；

22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若兩圓相切，則??相減為公切線方程.22??x?y?D2x?E2y?F2?0Aa?Bb?CA?B22.②d?r時(shí)，l與C相交；

C1: x2?y2?D1x?E1y?F1?0附：公共弦方程：設(shè)C2:x2?y2?D2x?E2y?F2?0

有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為(D1?D2)x?(E1?E2)y?(F1?F2)?0.③d?r時(shí)，l與C相離.22??x?y?D1x?E1y?F1?0附：若兩圓相離，則??相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.22??x?y?D2x?E2y?F2?0??(x?a)2?(y?b)2?r2 由代數(shù)特征判斷：方程組?用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方

?Ax?Bx?C?0?程，其判別式為?，則：

??0?l與C相切； ??0?l與C相交； ??0?l與C相離.注：若兩圓為同心圓則x2?y2?D1x?E1y?F1?0，x2?y2?D2x?E2y?F2?0相減，不表示直線.6.圓的切線方程：圓x2?y2?r2的斜率為k的切線方程是y?kx?1?k2r過(guò)圓x2?y2?Dx?Ey?F?0

上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：x0x?y0y?Dx?x0y?y0?E?F?0.22①一般方程若點(diǎn)(x0 ,y0)在圓上，則(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2.特別地，過(guò)圓x2?y2?r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0x?y0y?r2.?y1?y0?k(x1?x0)?b?y1?k(a?x1)，聯(lián)立求出k?切線方程.B②若點(diǎn)(x0 ,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則??R?R2?1?ACD(a,b)7.求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知?O的方程x2?y2?Dx?Ey?F?0…① 又以ABCD為圓為方程為(x?xA)(x?a)?(y?yA)(x?b)?k2…②

(xA?a)2?(yA?b)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.R?42

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系： 1）曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn);

2）參數(shù)法;

3）定義法，4）待定系數(shù)法.

第二篇：高中數(shù)學(xué) 《圓與方程》教案

圓的一般方程

一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握?qǐng)A的一般方程的特點(diǎn)；能將圓的一般方程化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程從而求出圓心的坐標(biāo)和半徑；能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

使學(xué)生掌握通過(guò)配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方法，熟練地用待定系數(shù)法由已知條件導(dǎo)出圓的方程，培養(yǎng)學(xué)生用配方法和待定系數(shù)法解決實(shí)際問(wèn)題的能力．

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過(guò)對(duì)待定系數(shù)法的學(xué)習(xí)為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和其他相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法打下牢固的基礎(chǔ)．

二、教材分析

1．重點(diǎn)：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標(biāo)和半徑；(2)能用待定系數(shù)法，由已知條件導(dǎo)出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學(xué)生不要死記配方結(jié)果，而要熟練掌握通過(guò)配方求圓心和半徑的方法；(2)加強(qiáng)這方面題型訓(xùn)練．)2．難點(diǎn)：圓的一般方程的特點(diǎn)．

(解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生分析得出圓的一般方程的特點(diǎn)，并加以記憶．)3．疑點(diǎn)：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．(解決辦法：通過(guò)對(duì)方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動(dòng)設(shè)計(jì)

講授、提問(wèn)、歸納、演板、小結(jié)、再講授、再演板．

四、教學(xué)過(guò)程(一)復(fù)習(xí)引入新課

前面，我們已討論了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現(xiàn)將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個(gè)圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請(qǐng)大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來(lái)深入研究這一方面的問(wèn)題．復(fù)習(xí)引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡 將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：

(1)(1)當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程(1)與標(biāo)準(zhǔn)方程比較，可以看出方程

半徑的圓；

(3)當(dāng)D2+E2-4F＜0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0沒(méi)有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形． 這時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生小結(jié)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的軌跡分別是圓、法．

2．圓的一般方程的定義

當(dāng)D2+E2-4F＞0時(shí)，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0稱為圓的一般方程．

同時(shí)強(qiáng)調(diào)：由圓的一般方程求圓心坐標(biāo)和半徑，一般用配方法，這要熟練掌握． 例2 求過(guò)三點(diǎn)O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)的圓的方程． 解：設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，由O、A、B在圓上，則有

解得：D=-8，E=6，F(xiàn)=0，故所求圓的方程為x2+y2-8x+6=0． 例2小結(jié)：

1．用待定系數(shù)法求圓的方程的步驟：

(1)根據(jù)題意設(shè)所求圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)式或一般式；(2)根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程；

(3)解方程組，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所設(shè)方程，就得要求的方程． 2．關(guān)于何時(shí)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，何時(shí)設(shè)圓的一般方程：一般說(shuō)來(lái)，如果由已知條件容易求圓心的坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；如果已知條件和圓心坐標(biāo)或半徑都無(wú)直接關(guān)系，往往設(shè)圓的一般方程．再看下例： 例3 求圓心在直線 l：x+y=0上，且過(guò)兩圓C1∶x2+y2-2x+10y-24=0和C2∶x2+y2+2x+2y-8=0的交點(diǎn)的圓的方程．

(0，2)．

設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，因?yàn)閮牲c(diǎn)在所求圓上，且圓心在直線l上所以得方程組為

故所求圓的方程為：(x+3)2+(y-3)2=10． 這時(shí)，教師指出：

(1)由已知條件容易求圓心坐標(biāo)、半徑或需要用圓心的坐標(biāo)、半徑列方程的問(wèn)題，往往設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

(2)此題也可以用圓系方程來(lái)解： 設(shè)所求圓的方程為：

x2+ y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1)整理并配方得：

由圓心在直線l上得λ=-2．

將λ=-2代入所假設(shè)的方程便可得所求圓的方程為x2+y2+6x-6y+8=0．此法到圓與圓的位置關(guān)系中再介紹，此處為學(xué)生留下懸念． 的軌跡，求這個(gè)曲線的方程，并畫出曲線． 此例請(qǐng)兩位學(xué)生演板，教師巡視，并提示學(xué)生：

(1)由于曲線表示的圖形未知，所以只能用軌跡法求曲線方程，設(shè)曲線上任一點(diǎn)M(x，y)，由求曲線方程的一般步驟可求得；

(2)應(yīng)將圓的一般方程配方成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而得出圓心坐標(biāo)、半徑，畫出圖形．(五)小結(jié)

1．圓的一般方程的定義及特點(diǎn)； 2．用配方法求出圓的圓心坐標(biāo)和半徑；

第三篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之這條直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解。這是這個(gè)方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個(gè)方程的直線?，F(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式等形式，對(duì)直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識(shí).現(xiàn)在，我們來(lái)回顧一下它們的基本形式.點(diǎn)斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點(diǎn)式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時(shí)要注意它們時(shí)要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們?cè)瓉?lái)在代數(shù)中學(xué)過(guò)二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來(lái)看一次這幾種學(xué)過(guò)的特殊形式，它們經(jīng)過(guò)一些變形，比如說(shuō)去分母、移項(xiàng)、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個(gè)統(tǒng)一的形式呢？比如說(shuō)y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時(shí)候，應(yīng)該說(shuō)各有其特點(diǎn)，但是也有些不足。在使用的過(guò)程中有些局限性。比如說(shuō)點(diǎn)斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點(diǎn)式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現(xiàn)在想一想有沒(méi)有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點(diǎn)，也就是這些方程最后化成一個(gè)統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問(wèn)題呢，要分兩個(gè)方面進(jìn)行討論。

1.直線和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個(gè)方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來(lái)分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式。可以轉(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時(shí)候我們一般把它設(shè)成一個(gè)簡(jiǎn)單的斜截式，斜截式經(jīng)過(guò)變形就可以化成一般的形式。而對(duì)于斜率不存在的時(shí)候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個(gè)形式。那么由此可以下這樣一個(gè)結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個(gè)角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過(guò)來(lái)看，是不是任意的一個(gè)二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因?yàn)閤，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時(shí)為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說(shuō)Ax＋By＋C＝0（A，B不同時(shí)為零）大家想想如果AB都等于零這個(gè)直線方程就沒(méi)了。現(xiàn)在我們考慮一下，這個(gè)方程能不能經(jīng)過(guò)一些適當(dāng)?shù)淖冃?，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個(gè)在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過(guò)變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個(gè)方面在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于任何一條直線，都有一個(gè)表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程。我們?cè)趯W(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點(diǎn)，比如說(shuō)點(diǎn)斜式就可以看出它的斜率還有過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，還有兩點(diǎn)式可以看出它過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)。那么我們?cè)趺赐ㄟ^(guò)直線的一般式方程觀察直線的一些特點(diǎn)呢？比如說(shuō)A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個(gè)系數(shù)要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過(guò)原點(diǎn)的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們?cè)趺纯闯鰜?lái)？這些直線的特點(diǎn)我們要能掌握住。我們對(duì)直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個(gè)互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來(lái)看一個(gè)例子，通過(guò)一些轉(zhuǎn)化來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題。

［例1］已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點(diǎn)斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點(diǎn)斜式可直接代入點(diǎn)斜式得到，主要讓學(xué)生體會(huì)由點(diǎn)斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點(diǎn).解：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點(diǎn)斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們?cè)谝院蠼忸}時(shí)，可能求直線方程的時(shí)候，求出不一定是一般式，可能是點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式等等，如題目沒(méi)有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對(duì)于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項(xiàng)，含y項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)順序排列.

第四篇：最新高中數(shù)學(xué)圓的方程（含圓系）典型題型歸納總結(jié)總復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)圓的方程典型題型歸納總結(jié)

類型一：巧用圓系求圓的過(guò)程

在解析幾何中，符合特定條件的某些圓構(gòu)成一個(gè)圓系，一個(gè)圓系所具有的共同形式的方程稱為圓系方程。常用的圓系方程有如下幾種：

⑴以為圓心的同心圓系方程

⑵過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程

⑶過(guò)兩圓和圓的交點(diǎn)的圓系方程

此圓系方程中不包含圓，直接應(yīng)用該圓系方程，必須檢驗(yàn)圓是否滿足題意，謹(jǐn)防漏解。

當(dāng)時(shí)，得到兩圓公共弦所在直線方程

例1：已知圓與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求實(shí)數(shù)的值。

分析：此題最易想到設(shè)出，由得到，利用設(shè)而不求的思想，聯(lián)立方程，由根與系數(shù)關(guān)系得出關(guān)于的方程，最后驗(yàn)證得解。倘若充分挖掘本題的幾何關(guān)系，不難得出在以為直徑的圓上。而剛好為直線與圓的交點(diǎn)，選取過(guò)直線與圓交點(diǎn)的圓系方程，可極大地簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。

解：過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為：，即

………………….①

依題意，在以為直徑的圓上，則圓心（）顯然在直線上，則，解之可得

又滿足方程①，則

故

例2：求過(guò)兩圓和的交點(diǎn)且面積最小的圓的方程。

解：圓和的公共弦方程為，即

過(guò)直線與圓的交點(diǎn)的圓系方程為，即

依題意，欲使所求圓面積最小，只需圓半徑最小，則兩圓的公共弦必為所求圓的直徑，圓心必在公共弦所在直線上。即，則代回圓系方程得所求圓方程

例3:求證：m為任意實(shí)數(shù)時(shí)，直線(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒過(guò)一定點(diǎn)P，并求P點(diǎn)坐標(biāo)。

分析：不論m為何實(shí)數(shù)時(shí)，直線恒過(guò)定點(diǎn)，因此，這個(gè)定點(diǎn)就一定是直線系中任意兩直線的交點(diǎn)。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，∴直線過(guò)定點(diǎn)P（9，－4）

注：方程①可看作經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系。

例4已知圓C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直線l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）證明：不論m取什么實(shí)數(shù)，直線l與圓恒交于兩點(diǎn)；

（2）求直線被圓C截得的弦長(zhǎng)最小時(shí)l的方程.剖析：直線過(guò)定點(diǎn)，而該定點(diǎn)在圓內(nèi)，此題便可解得.（1）證明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒過(guò)定點(diǎn)A（3，1）.∵圓心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半徑），∴點(diǎn)A在圓C內(nèi)，從而直線l恒與圓C相交于兩點(diǎn).（2）解：弦長(zhǎng)最小時(shí)，l⊥AC，由kAC＝－，∴l(xiāng)的方程為2x－y－5=0.評(píng)述：若定點(diǎn)A在圓外，要使直線與圓相交則需要什么條件呢？

思考討論

類型二：直線與圓的位置關(guān)系

例5、若直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：∵曲線表示半圓，∴利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)的取值范圍是或.變式練習(xí)：1.若直線y=x+k與曲線x=恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則k的取值范圍是___________.解析：利用數(shù)形結(jié)合.答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？

分析：借助圖形直觀求解．或先求出直線、的方程，從代數(shù)計(jì)算中尋找解答．

解法一：圓的圓心為，半徑．

設(shè)圓心到直線的距離為，則．

如圖，在圓心同側(cè)，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意．

又．

∴與直線平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意．

∴符合題意的點(diǎn)共有3個(gè)．

解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點(diǎn)．設(shè)所求直線為，則，∴，即，或，也即，或．

設(shè)圓的圓心到直線、的距離為、，則，．

∴與相切，與圓有一個(gè)公共點(diǎn)；與圓相交，與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)．即符合題意的點(diǎn)共3個(gè)．

說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留心，則易發(fā)生以下誤解：

設(shè)圓心到直線的距離為，則．

∴圓到距離為1的點(diǎn)有兩個(gè)．

顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說(shuō)明此直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1．

類型三：圓中的最值問(wèn)題

例7：圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是

解：∵圓的圓心為（2，2），半徑，∴圓心到直線的距離，∴直線與圓相離，∴圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離的差是.例8(1)已知圓，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大、最小值．

(2)已知圓，為圓上任一點(diǎn)．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)形結(jié)合解決．

解：(1)(法1)由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

可設(shè)圓的參數(shù)方程為（是參數(shù)）．

則

（其中）．

所以，．

(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值等于圓心到原點(diǎn)的距離加上半徑1，圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值等于圓心到原點(diǎn)的距離減去半徑1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圓的參數(shù)方程：是參數(shù)．

則．令，得，．

所以，．

即的最大值為，最小值為．

此時(shí)．

所以的最大值為，最小值為．

(法2)設(shè)，則．由于是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值為，最小值為．

例9、已知對(duì)于圓上任一點(diǎn)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

設(shè)圓上任一點(diǎn)

∴，∵恒成立

∴

即恒成立．

∴只須不小于的最大值．

設(shè)

∴即．

說(shuō)明：在這種解法中，運(yùn)用了圓上的點(diǎn)的參數(shù)設(shè)法．一般地，把圓上的點(diǎn)設(shè)為()．采用這種設(shè)法一方面可減少參數(shù)的個(gè)數(shù)，另一方面可以靈活地運(yùn)用三角公式．從代數(shù)觀點(diǎn)來(lái)看，這種做法的實(shí)質(zhì)就是三角代換．

第五篇：高一數(shù)學(xué)必修2直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)語(yǔ)：聰明出于勤奮，天才在于積累。我們要振作精神，下苦功學(xué)習(xí)。下面由小編為您整理出的高一數(shù)學(xué)必修2直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)的相關(guān)內(nèi)容，一起來(lái)看看吧。

（一）高一數(shù)學(xué)必修2直線與方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0180

(2)直線的斜率

①定義：傾斜角不是90的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng) 時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，;當(dāng) 時(shí)，不存在。

②過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式：

注意下面四點(diǎn)：(1)當(dāng) 時(shí)，公式右邊無(wú)意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90

(2)k與P1、P2的順序無(wú)關(guān);(3)以后求斜率可不通過(guò)傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。

(3)直線方程

①點(diǎn)斜式： 直線斜率k，且過(guò)點(diǎn)

注意：當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，k=0，直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b

③兩點(diǎn)式：()直線兩點(diǎn)，④截矩式：

其中直線 與 軸交于點(diǎn) ,與 軸交于點(diǎn) ,即 與 軸、軸的截距分別為。

⑤一般式：(A，B不全為0)

注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：

平行于x軸的直線：(b為常數(shù));平行于y軸的直線：(a為常數(shù));

(5)直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線

(一)平行直線系

平行于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系：(C為常數(shù))

(二)垂直直線系

垂直于已知直線(是不全為0的常數(shù))的直線系：(C為常數(shù))

(三)過(guò)定點(diǎn)的直線系

(ⅰ)斜率為k的直線系：，直線過(guò)定點(diǎn);

(ⅱ)過(guò)兩條直線，的交點(diǎn)的直線系方程為

(為參數(shù))，其中直線 不在直線系中。

(6)兩直線平行與垂直

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。

(7)兩條直線的交點(diǎn)

相交

交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 的一組解。

方程組無(wú)解;方程組有無(wú)數(shù)解 與 重合(8)兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) 是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則

(9)點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn) 到直線 的距離

(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

（二）高一數(shù)學(xué)必修二知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱：

定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐

幾何特征：側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái)

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)，其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。

(6)圓臺(tái)：

定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn)：①原來(lái)與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;②原來(lái)與y軸平行的線段仍然與y平行，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半。

兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

(1)兩個(gè)平面互相平行的定義：空間兩平面沒(méi)有公共點(diǎn)

(2)兩個(gè)平面的位置關(guān)系：

兩個(gè)平面平行-----沒(méi)有公共點(diǎn);兩個(gè)平面相交-----有一條公共直線。

a、平行

兩個(gè)平面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行。

兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

(1)半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個(gè)平面分成兩個(gè)部分，其中每一個(gè)部分叫做半平面。

(2)二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為[0°，180°]

(3)二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

(4)二面角的面：這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。

(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。記為⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

棱錐

棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的的性質(zhì)：

(1)側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

(2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個(gè)棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：

(1)各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

(3)多個(gè)特殊的直角三角形

esp：

a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對(duì)異面直線，若有兩對(duì)互相垂直，則可得第三對(duì)也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。