第一篇：初中一年級(jí)函數(shù)問題

初中一年級(jí)函數(shù)問題

小明準(zhǔn)備將平時(shí)的零用錢節(jié)約一些儲(chǔ)存起來，他已存有50元，從現(xiàn)在起每個(gè)月存12元。

（1）試寫出小明的存款數(shù)與從現(xiàn)在開始的月份數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式。（2）小明的同學(xué)小張以前沒有存過零用錢，聽到小明在存零用錢，表示從現(xiàn)在起每個(gè)月存18元，爭(zhēng)取超過小明。半年后小張的存款數(shù)是多少？能否超過小明？至少幾個(gè)月后小張的存款數(shù)超過小明？ 解：（1）設(shè)小明的存款數(shù)y,從現(xiàn)在開始的月份數(shù)x y=50+12x(2)半年后小張的存款數(shù)是18*6=108元,小明的存款數(shù)=50+12*6=110元

還沒有超過小明

再過一個(gè)月，即7個(gè)月后，就能超過小明

第二篇：初中函數(shù)數(shù)學(xué)教案

函數(shù)初中數(shù)學(xué)教案

教學(xué)目標(biāo)：

1：是學(xué)生分清楚變量與常量，以及會(huì)判斷哪些量是變量

2：理解函數(shù)的概念，分清自變量以及應(yīng)變量，同時(shí)會(huì)判斷一個(gè)變量是不是另一個(gè)的函數(shù)，3：能從實(shí)際題目中抽象出函數(shù)關(guān)系，并且會(huì)列出函數(shù)解析式 4：理解函數(shù)的定義域，并會(huì)求函數(shù)的定義域，以及函數(shù)值 5：理解函數(shù)的記號(hào)y?f(x)

教學(xué)重點(diǎn)：

1：函數(shù)的概念

2：由題目寫出函數(shù)解析式以及會(huì)求定義域和函數(shù)值

教學(xué)難點(diǎn)：

1：函數(shù)的概念

2：函數(shù)的本質(zhì)：一個(gè)變量取定一個(gè)值，另一個(gè)變量有且只有唯一的一個(gè)值與之對(duì)應(yīng) 3：函數(shù)的記號(hào)：y?f(x)

教學(xué)過程

1:量、數(shù)、數(shù)量

在物理中我們學(xué)過很多“量”，比如說：質(zhì)量，長(zhǎng)度，重量，面積，體積，密度，速度，路程，時(shí)間等等很多，而“量”是表示事物的某些屬性，比如：質(zhì)量

同時(shí)我們用“數(shù)”來表示“量”的大小，將“數(shù)”與“度量單位”合在一起就是“數(shù)量”，比如說：一個(gè)物體質(zhì)量為5kg，一個(gè)圓的半徑是5cm等等 2：變量與常量

請(qǐng)同學(xué)們看課本52頁的問題1 題中的r0是一個(gè)不變的值，而r和a都是可以取不同的值，正如我們以前學(xué)的用字母表示數(shù)，這個(gè)字母可以表示不同的數(shù)，它是一個(gè)變化的，不是確定的。而這樣的在我們的研究過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做“變量”，與之相對(duì)的保持?jǐn)?shù)值不變的量叫做“常量”（或常數(shù)）

a2?此題中我們可以得到：r?r0?(米)，我們可以看出r與a是有關(guān)系的，也就是說在a在變化時(shí)r也在變化，當(dāng)a確定時(shí)，r也隨之確定，即：r與a之間存在一種依賴關(guān)系。同學(xué)們?cè)倏?3頁的問題2 請(qǐng)同學(xué)回答 問題3

如圖等腰直角三角形ABC，其

中∠C=90°，AB=10cm，E為BC上一點(diǎn)，設(shè)BE等于x，求陰影部分的面積y，并求x 的取值范圍

3：函數(shù)的概念

通過三個(gè)問題我們引出函數(shù)的概念：

一般地，設(shè)在一個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x、y，如果在變量x的允許取值范圍內(nèi)，變量y隨著x的變化而變化，且對(duì)于x的每一個(gè)值，y都有唯一的值與它對(duì)應(yīng)，那么我們就說，變量y是變量x的函數(shù).X稱為自變量，y稱為應(yīng)變量（因變量），我們知道問題1,2,3中的兩個(gè)變量就是一種函數(shù)關(guān)系。

注：自變量不一定都用x表示，應(yīng)變量不一定都用y表示，x、y是常用的表示

問題1,2,3中的兩個(gè)變量之間是用數(shù)學(xué)式子表示出來的，我把這種用數(shù)學(xué)式子表示出兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的式子稱為函數(shù)解析式

提問：是不是所有的函數(shù)都可以用函數(shù)解析式表示呢？ 同學(xué)們請(qǐng)看例題1、2：請(qǐng)同學(xué)回答

CEADB例1中的變量就是t和T 注：例題1、2告訴我們不是所有的函數(shù)關(guān)系都可以用數(shù)學(xué)式子表示出來的，表示函數(shù)的表示方法有三種：圖像法（例題1），列表法（例題2），解析法（問題1,2,3）例題：課本55頁的第4題

4：函數(shù)的定義域和函數(shù)值

考慮：函數(shù)y?2x?5和y?x

對(duì)第一個(gè)函數(shù)x可以取任意實(shí)數(shù)，但是第二個(gè)函數(shù)的x不能去負(fù)數(shù)，因?yàn)樵趯?shí)數(shù)范圍內(nèi)，當(dāng)x<0時(shí)y?x沒有意義。

我們前面在敘述函數(shù)的定義的時(shí)候提到一句話：如果在變量x的允許取值范圍內(nèi) 我們把：函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做函數(shù)的定義域

每個(gè)函數(shù)都有定義域，對(duì)于用解析式表示的函數(shù)，如果不加說明，那么這個(gè)函數(shù)的定義域是能使這個(gè)函數(shù)解析式有意義的所有實(shí)數(shù)，但是在實(shí)際問題中，除了是函數(shù)解析式有意義外，還要使實(shí)際問題有意義。

例

1、求下列函數(shù)中自變量x的取值范圍．（使解析式有意義的x的取值范圍）

2（1）y?5x?

3（2）y??3x

1x?11x?x?2

2（3）y?

（4）y?

（5）y?x?

1（6）y?2x?a

（7）y?1x?2x?82 例

2、問題3中x的取值范圍就是定義域

例3、57頁的例題4，（使實(shí)際問題有意義的x的取值范圍）解：y?x?10，定義域?yàn)椋??x?10

例

4、如圖，用一個(gè)30米長(zhǎng)的籬笆圍成一個(gè)長(zhǎng)靠在20米長(zhǎng)墻的矩形羊圈，設(shè)寬為x，面積為y，寫出函數(shù)解析式，并求出定義域。解：y?x(30?2x)??2x2?30x

定義域：5

在例4這個(gè)函數(shù)中，取x=6時(shí)，y=108 取x=10時(shí)，y=100 我們可以看出：在定義域：5

如果變量y是自變量x的函數(shù)，那么對(duì)于x在定義域內(nèi)取定的一個(gè)值a，變量y的對(duì)應(yīng)值叫做當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值，同樣：一個(gè)函數(shù)所有函數(shù)值組成的范圍叫做值域 5：函數(shù)的記號(hào)y?f(x)

“y是x的函數(shù)”用記號(hào)y?f(x)來表示，其中x表示自變量，f表示表示y隨著x變化而變化的規(guī)律，即y與x之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如：例3，例4中

注：在同一問題中同時(shí)研究幾個(gè)不同的函數(shù)時(shí)，表示函數(shù)的記號(hào)中，括號(hào)外的字母課采用不同的字母，如：f、g、h以及大寫的F、G、H等 補(bǔ)充：函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系f、值域

在例4這個(gè)函數(shù)中，取x=6時(shí)，y=108，有了記號(hào)y?f(x)后，我們就可以更簡(jiǎn)單的記為 f(6)?108，即：我們用f(a)表示當(dāng)x=a時(shí)的函數(shù)值。

x例5：課本57頁中的例題5（先求出函數(shù)的定義域）

例6：課本58頁的練習(xí)2 例7：已知f(x)?2x?3x?4,g(x)?x?5,定義h(x)?f(x)?g(x)，求h(4),h(11)以及h(x)的表達(dá)式和定義域

第三篇：函數(shù)值域問題

努力今天成就明

天

知識(shí)就是財(cái)富

求分式函數(shù)值域的幾種方法

求分式函數(shù)值域的常見方法 1 用配方法求分式函數(shù)的值域

如果分式函數(shù)變形后可以轉(zhuǎn)化為y?配方，用直接法求得函數(shù)的值域.例1 求y?解：y?1的值域.22x?3x?113?1?2?x???4?8?2a?b的形式則我們可以將它的分母2a1x?b2x?c22，3?11?因?yàn)??x???≥?，4?88?所以函數(shù)的值域?yàn)椋???,?8?∪?0,???.x2?x例2 求函數(shù)y?2的值域.x?x?1解：y?2?1?1，2x?x?121?33?因?yàn)閤?x?1??x???≥，2?44?所以?3?1≤2?0，4x?x?12 ?1?故函數(shù)的值域?yàn)??,1?.?3?先配方后再用直接法求值域的時(shí)候，要注意自變量的取值范圍.取“?”的條件.利用判別式法求分式函數(shù)的值域

我們知道若ax2?bx?c?0?a?0,a,b?R?有實(shí)根，則??b2?4ac≥0常常利用這一結(jié)論來求分式函數(shù)的值域.x2?3x?4例1 求y?2的值域.x?3x?4解：將函數(shù)變形為?y?1?x2??3y?3?x??4y?4??0?①，當(dāng)y?1時(shí)①式是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程.因?yàn)閤可以是任意實(shí)數(shù)，所以?≥0，即?3y?3??4?y?1??4y?4???7y?50y?7≥0，解得，17≤y≤1或1?y≤7，又當(dāng)y?1時(shí)，x?0，?1?故函數(shù)的值域?yàn)?,7?.?7?2x2?bx?c例2 函數(shù)y?的值域?yàn)?1,3?，求b，c的值.2x?1解：化為?y?2?x?bx?y?c?0，⑴當(dāng)y?2時(shí)x?R???b?4?y?2??y?c?≥0，?4y2?4?c?2?y?8c?b2≥0，由已知4y2?4?c?2?y?8c?b2?0的兩根為1，3，由韋達(dá)定理得，c?2，b??2.⑵當(dāng)y?2時(shí)x?2?c?0有解 b綜上⑴和⑵，b??2，c?2.由這兩個(gè)例題我們知道在利用判別式法求分式函數(shù)的值域時(shí)要注意下列問題：

1、函數(shù)定義域?yàn)镽（即分母恒不為0）時(shí)用判別式求出的值域是完備的.2、當(dāng)x不能取某些實(shí)數(shù)時(shí)（分母為零），若要用判別式法求它的值域則需要對(duì)使y?a2x2?b2x?c2??a1x2?b1x?c1的判別式??0的y值進(jìn)行檢驗(yàn).3、轉(zhuǎn)換后的一元二次方程若二次項(xiàng)系數(shù)中含有字母則需要討論其是否為0只有在其不為0的情況下才可以使用判別式法.3.利用函數(shù)單調(diào)性求分式函數(shù)的值

對(duì)于求函數(shù)的值域問題，我們通常使用能夠揭示此類函數(shù)本質(zhì)特征的通性通法即利用函數(shù)的單調(diào)性來求其值域.例1求函數(shù)y?解：y?2x?1(x?R,x??1)的值域.x?12x?12(x?1)?33，?2??x?1x?1x?13是x減函數(shù)進(jìn)而y是x的增函數(shù)，于是y????,?2?； x?1當(dāng)x??1時(shí)，當(dāng)x??1時(shí)，同樣y是x的增函數(shù)，于是y??2,???； 所以y?2x?1(x??1)的值域?yàn)???,?2?∪?2,???.x?1a的單調(diào)性的結(jié)論： x在求分式函數(shù)時(shí)我們常運(yùn)用函數(shù)y?x??⑴當(dāng)a?0時(shí)在??,a和??a,??上增函數(shù)，在??a,0和0,a上是減函數(shù).??????⑵當(dāng)a?0時(shí)在???,0?和?0,???上是增函數(shù).例求函數(shù)y?x（1≤x≤3）的值域.2x?x?4解：x?0所以y?x.4x??1x4令t?x?在?1,2?上是減函數(shù)，在?2,3?是上增函數(shù)，x所以x?2時(shí)，tmin?4；

x?1時(shí)，tmax?5；

所以t??4,5?，t?1??3,t?，?11?故值域?yàn)?,?.?43?4.利用反函數(shù)法(反解)求分式函數(shù)的值域

設(shè)y?f(x)有反函數(shù)，則函數(shù)y?f(x)的定義域是它反函數(shù)的值域，函數(shù)y?f(x)的值域是其反函數(shù)的定義域.那么如果一個(gè)分式函數(shù)的反函數(shù)存在，我們就可以通過求反函數(shù)的定義域來求其值域.例1 求函數(shù)y?2x的值域.5x?12x1(x??)的映射是一一映射因此反函數(shù)存在，其反函數(shù)為5x?152??，5?解：由于函數(shù)y?y?x? 明顯知道該函數(shù)的定義域?yàn)?x|x?2?5x?2??2??故函數(shù)的值域?yàn)???,?∪?,???.5??5??說明：由于本方法中所具有的某些局限性，一般說來，用此方法求值域只用y?ax?b(c≠0)的函數(shù)，并且用此方法求函數(shù)的值域，也不是比較理想的方法.我們用這種cx?d方法目的是找關(guān)于y的不等式所以反函數(shù)求值域的實(shí)質(zhì)是反函數(shù)的思想樹立這種思想是我們的宗旨.下面這種方法就是利用了反函數(shù)的思想比較通用的方法.5.利用方程法求分式函數(shù)的值域

4x2?7x??0,1?求函數(shù)例1（2005年全國(guó)高考理科卷Ⅲ第22題）已知函數(shù)f(x)?2?xf(x)的值域

4x2?7解：f(x)?，x??0,1?，2?x所以2y?xy?4x2?7，x??0,1?，即4x2?yx?(7?2y)?0，x??0,1?.這樣函數(shù)的值域即為關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解的y的取值集.令g(x)?4x2?yx?(7?2y)，x??0,1?，則關(guān)于x的方程4x2?yx?(7?2y)?0在x??0,1?內(nèi)有解?g(0)?g(1)≤0 ?g(0)?0?g(1)?0?77?或???≤y≤?3或?4≤y≤???4≤y≤3，by22?0??2a??2?4?1???b?4ac?y?4?(?7?2y)?0即所求函數(shù)的值域?yàn)??4,?3?..利用換元法求分式函數(shù)的值域

當(dāng)題目的條件與結(jié)論看不出直接的聯(lián)系（甚至相去甚遠(yuǎn)）時(shí)，為了溝通已知與未知的聯(lián)系，我們常常引進(jìn)一個(gè)（或幾個(gè)）新的量來代替原來的量，實(shí)行這種“變量代換”往往可以暴露已知與未知之間被表面形式掩蓋著的實(shí)質(zhì)，發(fā)現(xiàn)解題方向.換元法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法，掌握它的關(guān)鍵在于通過觀察、聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)與構(gòu)造出變換式（或新元換舊式、或新式換舊元、或新式換舊式）.在中學(xué)數(shù)學(xué)問題中，常見的基本換元形式有式代換、三角代換、點(diǎn)代換、參數(shù)代換等.x2?4x?4,x?[?1,0]的值域． 例1 求函數(shù)f(x)?2x?4x?5解：令t?x?2，t2則y?2?t?111,?[,1]． 1t21?2t115因?yàn)??2?[,2]，t414所以函數(shù)f(x)的值域是[,]．

25x4例2 求函數(shù)y?的值域．

(1?x2)3解：令x?tan?，??(???,)，22tan4?tan4??則y??sin4?cos2? 233(1?tan?)sec?1?sin2?sin2?2cos2?21?sin2??sin2??2cos2??4≤?.??2?327?6

3當(dāng)且僅當(dāng)tan2??2時(shí)“?”成立.x4?4?所以函數(shù)y?的值域?yàn)?,?.?(1?x2)3?27?在這道例題中不僅用了換元法還用了均值不等式.利用三角函數(shù)來代換是我們?cè)谟脫Q元法解題最常用的在換元后根據(jù)三角函數(shù)的有界性求能求出函數(shù)的值域.在用換元法的時(shí)候重要的就是要注意換元后的自變量發(fā)生了改變，那么它的定義域也就變了.注意到這點(diǎn)才能準(zhǔn)確地求出值域.7.利用不等式法求分式函數(shù)的值域

“不等式法”就是通過利用不等式的一些性質(zhì)和均值不等式來求某些具有一定特性的分式函數(shù)的值域.若原函數(shù)通過變形后的分子分母符和下列條件①各變數(shù)為正；②各變數(shù)的和或積為常數(shù).則可以考慮用均值不等式求它的值域.要注意在得到結(jié)論之后要說明其中等號(hào)能夠取到.例1 求函數(shù)y?解：y?24(x?1)(x??1)的值域.(x?3)224(x?1)24.?24(x?1)?4(x?1)?4(x?1)??4x?14因?yàn)閤?1?0，所以x?1?≥4，x?14則x?1??4?8，x?124所以0?y≤?3（當(dāng)x?1時(shí)取等號(hào)），8故函數(shù)的值域?yàn)?0,3?.例2 設(shè)Sn?1?2?3???n，n?N求f(n)?中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）

解：f(n)?Sn(n?32)Sn?1Sn的最大值.（2000年全國(guó)高

(n?32)Sn?1n(n?1)nn2??2，?(n?1)(n?2)(n?32)(n?2)n?34n?64(n?32)?27 即化為了求分式函數(shù)最值的問題f(n)?164n?34?n.又因?yàn)閚?34?當(dāng)n?6464?34?50，≥2n?nn641即n?8時(shí)“?”成立，所以對(duì)任何n?N有f(n)≤，n501故f(n)的最大值為.50例2表面上看是數(shù)列的問題而實(shí)際是我們可以將其轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域的問題在這里我們利用均值不等式的性質(zhì)來求其值域就使得整個(gè)解題過程利用數(shù)更簡(jiǎn)單.8.斜率法求分式函數(shù)的值域

數(shù)形結(jié)合是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一種重要的數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn).華羅庚先生指出：數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.這種方法不僅僅體現(xiàn)在數(shù)學(xué)的其它領(lǐng)域中，在求函數(shù)的值域與最值時(shí)也有良好的反映.聯(lián)想到過A(x1,y1)，B(x2,y2)的直線LAB的斜率為kAB?函數(shù)化為斜率式并利用數(shù)形結(jié)合法來求函數(shù)的值域.3t22(t?)的最小值.例1 求函數(shù)f(t)?2(3t?2)3y2?y1，我們可以考慮把分式x2?x13t2?02解：函數(shù)f(t)可變形為f(t)?(t?)，6t?43設(shè)A(6t,3t2)，B(4,0)則f(t)看作是直線AB的斜率，令x?6t，y?3t2則x2?12y(x?4).在直角坐標(biāo)系中A點(diǎn)的軌跡為拋物線的一部分直線與拋物線相切是斜率最小.過點(diǎn)B(4,0)直線方程為：y?k(x?4)將它代入x2?12y，有x2?12kx?48k?0，則??0推算出k?即t?8時(shí)，f(t)min?4.34此時(shí)x?8，38 x2?x?11例2 求y?(?≤x≤1)的值域.x?12(x2?x)?1解：y?，令A(yù)(?1,1)，B(x,x2?x)，x?(?1)則y?kAB，點(diǎn)B的軌跡方程為y?x2?x(?1≤x≤1)，21151B1(?,?)，B2(1,2)，kAB1??，kAB2?，2422所以y?k?51?AB????2,2??，即函數(shù)的值域?yàn)??51???2,2??.

第四篇：怎樣教學(xué)初中階段二次函數(shù)應(yīng)用問題

怎樣教學(xué)初中階段二次函數(shù)應(yīng)用問題

二次函數(shù)問題在整個(gè)初中階段既是重點(diǎn)又是難點(diǎn)，其應(yīng)用題綜合性比較強(qiáng)，知識(shí)涉及面廣，對(duì)學(xué)生能力的要求更高，因此成為教學(xué)中的重點(diǎn)，也成為學(xué)習(xí)的一大難點(diǎn)。在升學(xué)考試中占有相當(dāng)大的分值，往往又以中檔題或高檔題的形式出現(xiàn)，成為中考的壓軸題。作為教師在組織教學(xué)的過程中，應(yīng)注意選擇合適的教學(xué)方法分散其難點(diǎn)。若采用分類教學(xué)，學(xué)生易于掌握，針對(duì)不同的題型進(jìn)行訓(xùn)練，短期內(nèi)確實(shí)有利于提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)。但從長(zhǎng)遠(yuǎn)看，這樣做容易使學(xué)生形成思維定勢(shì)，不利于思維能力和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。教師可以針對(duì)不同的學(xué)生分梯度設(shè)置不同的題型，放手讓學(xué)生自主探索，自己去感悟，疑難問題通過小組合作學(xué)習(xí)來解決，同時(shí)教師做適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)撥，這樣可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓不同的學(xué)生都得到發(fā)展。

我認(rèn)為初中階段應(yīng)從以下幾個(gè)方面來處理好二次函數(shù)的應(yīng)用問題：

一、注重與代數(shù)式知識(shí)的類比教學(xué)，觸及函數(shù)知識(shí)。

現(xiàn)在人教版教材把函數(shù)提前到初二進(jìn)行教學(xué)，我認(rèn)為這是很好的整合。初二的學(xué)生對(duì)基本概念還是比較難理解，但能夠要求學(xué)生有意識(shí)的去理解函數(shù)這一概念，逐步接觸函數(shù)的知識(shí)和建模思想，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問題來源于生活應(yīng)用于生活，建模后又高于生活。不管是列代數(shù)式還是代 1 數(shù)式的求值，只要變換一個(gè)字母或量的數(shù)值，代數(shù)式的值就隨之變化，這本身就可以培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)意識(shí)。

二、注意在方程教學(xué)中有意識(shí)滲透函數(shù)思想。

方程與函數(shù)之間具有很深的聯(lián)系。在學(xué)習(xí)方程時(shí)要有意識(shí)的打破只關(guān)注等量關(guān)系而忽略分析數(shù)量關(guān)系的弊端，這是對(duì)函數(shù)建模提供的最好的契機(jī)。教師在組織教學(xué)中，特別是應(yīng)用題教學(xué)，不能只讓學(xué)生尋找等量關(guān)系，而不注重學(xué)生分析量與量、數(shù)與數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系能力的培養(yǎng)，從而更加大了學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的難度。不管是一元方程還是二元方程應(yīng)用題教學(xué)中，應(yīng)該訓(xùn)練學(xué)生分析問題中的量與量關(guān)系的能力，讓學(xué)生樹立只要有量就應(yīng)該也可以用字母去表示它，不要怕量多字母多，量表示好了再通過數(shù)量關(guān)系逐步縮少字母即可。這樣就為后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)做好了鋪墊。

三、通過數(shù)形結(jié)合方法體驗(yàn)函數(shù)建模思想。

不管是長(zhǎng)度、角度還是面積的有關(guān)計(jì)算，都應(yīng)該通過適當(dāng)變換數(shù)據(jù)來樹立函數(shù)思想。圖形具有豐富性與直觀性，圖形變化具有條件性，因此說圖形教學(xué)相比純粹數(shù)量計(jì)算教學(xué)更能夠體現(xiàn)函數(shù)思想。

函數(shù)思想的建立，應(yīng)用題解題方式的定型絕不是一蹴而就的，它需要慢慢的滲透與慢慢體驗(yàn)的過程。從這個(gè)意義上說，二次函數(shù)應(yīng)用題的教學(xué)不需要分類。二次函數(shù)的學(xué)習(xí)是把以前學(xué)習(xí)的內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)加深或 2 以嶄新的視角重新審視，因此二次函數(shù)應(yīng)用題的解決，需要師生在教與學(xué)中有意識(shí)的樹立函數(shù)思想。正是二次函數(shù)的這種綜合性，要求教師在組織教學(xué)中把這一難點(diǎn)消化在平日教學(xué)中，而不是簡(jiǎn)單的把二次函數(shù)應(yīng)用題進(jìn)行分類來加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)。

本文作者：四川省鄰水縣九龍鎮(zhèn)石鼓中心學(xué)校教師 聯(lián)系電話：08263546001 聯(lián)系地址：四川省鄰水縣九龍鎮(zhèn)石鼓中心學(xué)校 郵編：638510 郵箱：liaobangquan@126.com

吳小梅

第五篇：初中函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

千承培訓(xùn)學(xué)校

函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(掌握函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖像)

（一）平面直角坐標(biāo)系

1、定義：平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系

2、各個(gè)象限內(nèi)點(diǎn)的特征: 第一象限：（+，+）點(diǎn)P（x,y），則x＞0,y＞0； 第二象限：（-，+）點(diǎn)P（x,y），則x＜0,y＞0； 第三象限：（-，-）點(diǎn)P（x,y），則x＜0,y＜0； 第四象限：（+，-）點(diǎn)P（x,y），則x＞0,y＜0；

3、坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

x軸上的點(diǎn)，縱坐標(biāo)為零；y軸上的點(diǎn)，橫坐標(biāo)為零；原點(diǎn)的坐標(biāo)為（0 , 0）。兩坐標(biāo)軸的點(diǎn)不屬于任何象限。

4、點(diǎn)的對(duì)稱特征：已知點(diǎn)P(m,n), 關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(m,-n), 橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)反號(hào) 關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,n)縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)反號(hào) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是(-m,-n)橫，縱坐標(biāo)都反號(hào)

5、平行于坐標(biāo)軸的直線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：平行于x軸的直線上的任意兩點(diǎn)：縱坐標(biāo)相等；平行于y軸的直線上的任意兩點(diǎn)：橫坐標(biāo)相等。

6、各象限角平分線上的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：

第一、三象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)相等。

第二、四象限角平分線上的點(diǎn)橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)。

7、點(diǎn)P（x,y）的幾何意義： 點(diǎn)P（x,y）到x軸的距離為 |y|，點(diǎn)P（x,y）到y(tǒng)軸的距離為 |x|。點(diǎn)P（x,y）到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

8、兩點(diǎn)之間的距離：

X軸上兩點(diǎn)為A(x1,0)、B(x2,0)|AB|?|x2?x1|

x2?y2 Y軸上兩點(diǎn)為C(0,y1)、D(0,y2)|CD|已知A(x1,y1)、B(x2,y2)AB|=

?|y2?y1|

(x2?x1)2?(y2?y1)

29、中點(diǎn)坐標(biāo)公式：已知A(x1,y1)、B(x2,y2)M為AB的中點(diǎn)

則：M=(x2?x1y?y1 , 2)2210、點(diǎn)的平移特征： 在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（x,y）向右平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x-a，y）； 將點(diǎn)（x,y）向左平移a個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x+a，y）； 將點(diǎn)（x,y）向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y＋b）； 將點(diǎn)（x,y）向下平移b個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)（x，y－b）。

注意：對(duì)一個(gè)圖形進(jìn)行平移，這個(gè)圖形上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都要發(fā)生相應(yīng)的變化；反過來，從圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)的加減變化，我們也可以看出對(duì)這個(gè)圖形進(jìn)行了怎樣的平移。

（二）函數(shù)的基本知識(shí)： 基本概念

1、變量：在一個(gè)變化過程中可以取不同數(shù)值的量。

常量：在一個(gè)變化過程中只能取同一數(shù)值的量。

2、函數(shù)：一般的，在一個(gè)變化過程中，如果有兩個(gè)變量x和y，并且對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù)。*判斷A是否為B的函數(shù)，只要看B取值確定的時(shí)候，A是否有唯一確定的值與之對(duì)應(yīng)

3、定義域：一般的，一個(gè)函數(shù)的自變量允許取值的范圍，叫做這個(gè)函數(shù)的定義域。

4、確定函數(shù)定義域的方法：

（1）關(guān)系式為整式時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)；

（2）關(guān)系式含有分式時(shí)，分式的分母不等于零；

（3）關(guān)系式含有二次根式時(shí)，被開放方數(shù)大于等于零；

（4）關(guān)系式中含有指數(shù)為零的式子時(shí)，底數(shù)不等于零；

（5）實(shí)際問題中，函數(shù)定義域還要和實(shí)際情況相符合，使之有意義。

5、函數(shù)的圖像 一般來說，對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果把自變量與函數(shù)的每對(duì)對(duì)應(yīng)值分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，那么坐標(biāo)平面內(nèi)由這些點(diǎn)組成的圖形，就是這個(gè)函數(shù)的圖象．

6、函數(shù)解析式：用含有表示自變量的字母的代數(shù)式表示因變量的式子叫做解析式。

7、描點(diǎn)法畫函數(shù)圖形的一般步驟

第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值）；

第二步：描點(diǎn)（在直角坐標(biāo)系中，以自變量的值為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo)，描出表格中數(shù)值對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)）；

第三步：連線（按照橫坐標(biāo)由小到大的順序把所描出的各點(diǎn)用平滑曲線連接起來）。

8、函數(shù)的表示方法

列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對(duì)應(yīng)值是有限的，不易看出自變量與函數(shù)之間的對(duì)應(yīng)規(guī)律。

解析式法：簡(jiǎn)單明了，能夠準(zhǔn)確地反映整個(gè)變化過程中自變量與函數(shù)之間的相依關(guān)系，但有些實(shí)際問題中的函數(shù)關(guān)系，不能用解析式表示。

圖象法：形象直觀，但只能近似地表達(dá)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系。

（三）正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx(k是常數(shù)，k≠0)的函數(shù)叫做正比例函數(shù)，其中k叫做比例系數(shù).注：正比例函數(shù)一般形式 y=kx(k不為零)① k不為零 ② x指數(shù)為1 ③ b取零 當(dāng)k>0時(shí)，直線y=kx經(jīng)過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；當(dāng)k<0時(shí)，?直線y=kx經(jīng)過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．(1)解析式：y=kx（k是常數(shù)，k≠0）(2)必過點(diǎn)：（0，0）、（1，k）

(3)走向：k>0時(shí)，圖像經(jīng)過一、三象限；k<0時(shí)，?圖像經(jīng)過二、四象限(4)增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小(5)傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸

2、一次函數(shù)及性質(zhì)

一般地，形如y=kx＋b(k,b是常數(shù)，k≠0)，那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)b=0時(shí)，y=kx＋b即y=kx，所以說正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).注：一次函數(shù)一般形式 y=kx+b(k不為零)① k不為零 ②x指數(shù)為1 ③ b取任意實(shí)數(shù)

一次函數(shù)y=kx+b的圖象是經(jīng)過（0，b）和（-

b，0）兩點(diǎn)的一條直線，我們稱它為直k線y=kx+b,它可以看作由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到.（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）

（1）解析式：y=kx+b(k、b是常數(shù)，k?0)（2）必過點(diǎn)：（0，b）和（-

b，0）k（3）走向： k>0，圖象經(jīng)過第一、三象限；k<0，圖象經(jīng)過第二、四象限 b>0，圖象經(jīng)過第一、二象限；b<0，圖象經(jīng)過第三、四象限

?k?0?k?0直線經(jīng)過第一、二、三象限 ??直線經(jīng)過第一、三、四象限 ???b?0?b?0?k?0?k?0?直線經(jīng)過第一、二、四象限 ??直線經(jīng)過第二、三、四象限 ?b?0b?0??注：y＝kx+b中的k，b的作用：

1、k決定著直線的變化趨勢(shì)

① k>0 直線從左向右是向上的 ② k<0 直線從左向右是向下的

2、b決定著直線與y軸的交點(diǎn)位置

① b>0 直線與y軸的正半軸相交 ② b<0 直線與y軸的負(fù)半軸相交

（4）增減性： k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小.（5）傾斜度：|k|越大，圖象越接近于y軸；|k|越小，圖象越接近于x軸.（6）圖像的平移： 當(dāng)b>0時(shí)，將直線y=kx的圖象向上平移b個(gè)單位；

當(dāng)b<0時(shí)，將直線y=kx的圖象向下平移b個(gè)單位.3、一次函數(shù)y=kx＋b的圖象的畫法.根據(jù)幾何知識(shí)：經(jīng)過兩點(diǎn)能畫出一條直線，并且只能畫出一條直線，即兩點(diǎn)確定一條直線，所以畫一次函數(shù)的圖象時(shí)，只要先描出兩點(diǎn)，再連成直線即可.一般情況下：是先選取它與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：（0，b），.即橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)為0的點(diǎn).注：對(duì)于y＝kx+b 而言，圖象共有以下四種情況：

1、k>0，b>0

2、k>0，b<0

3、k<0，b<0

4、k<0，b>0

4、直線y=kx＋b(k≠0)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)．

(1)直線y=kx與x軸、y軸的交點(diǎn)都是(0，0)；

(2)直線y=kx＋b與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為

5、用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的一般步驟：

與 y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，b)．

（1）根據(jù)已知條件寫出含有待定系數(shù)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）將x、y的幾對(duì)值或圖象上的幾個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入上述函數(shù)關(guān)系式中得到以待定系數(shù)為未知數(shù)的方程；

（3）解方程得出未知系數(shù)的值；

（4）將求出的待定系數(shù)代回所求的函數(shù)關(guān)系式中得出所求函數(shù)的解析式.6、兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法：

方法：聯(lián)立方程組求x、y 例題：已知兩直線y＝x+6 與y＝2x-4交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的坐標(biāo)？

7、直線y=k1x+b1與y=k2x+b2的位置關(guān)系（1）兩條直線平行：k1=k2且b1?b2（2）兩直線相交：k1?k2（3）兩直線重合：k1=k2且b1=b2平行于軸（或重合）的直線記作

.特別地，軸記作直線

8、正比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系

一次函數(shù)y=kx＋b的圖象是一條直線，它可以看作是由直線y=kx平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度而得到（當(dāng)b>0時(shí)，向上平移；當(dāng)b<0時(shí)，向下平移）.9、一元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系

任何一元一次方程到可以轉(zhuǎn)化為ax+b=0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以轉(zhuǎn)化為：當(dāng)某個(gè)一次函數(shù)的值為0時(shí)，求相應(yīng)的自變量的值.從圖象上看，相當(dāng)于已知直線y=ax+b確定它與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的值.10、一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系

任何一個(gè)一元一次不等式都可以轉(zhuǎn)化為ax+b>0或ax+b<0（a，b為常數(shù)，a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：當(dāng)一次函數(shù)值大（?。┯?時(shí)，求自變量的取值范圍.11、一次函數(shù)與二元一次方程組

（1）以二元一次方程ax+by=c的解為坐標(biāo)的點(diǎn)組成的圖象與一次函數(shù)y=?acx?的bb圖象相同.（2）二元一次方程組??a1x?b1y?c1ac的解可以看作是兩個(gè)一次函數(shù)y=?1x?1和

b1b1?a2x?b2y?c2y=?a2cx?2的圖象交點(diǎn).b2b212、函數(shù)應(yīng)用問題（理論應(yīng)用 實(shí)際應(yīng)用）

（1）利用圖象解題 通過函數(shù)圖象獲取信息，并利用所獲取的信息解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題.（2）經(jīng)營(yíng)決策問題 函數(shù)建模的關(guān)鍵是將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，從而解決最佳方案，最佳策略等問題.建立一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，就是要從實(shí)際問題中抽象出兩個(gè)變量，再尋求出兩個(gè)變量之間的關(guān)系，構(gòu)建函數(shù)模型，從而利用數(shù)學(xué)知題.(四)反比例函數(shù)

一般地，如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y＝k／x(k為常數(shù)，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數(shù)。

取值范圍： ① k ≠ 0;②在一般的情況下 , 自變量 x 的取值范圍可以是 不等于0的任意實(shí)數(shù);③函數(shù) y 的取值范圍也是任意非零實(shí)數(shù)。反比例函數(shù)的圖像屬于以原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱的雙曲線

反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會(huì)無限接近X軸Y軸但不會(huì)與坐標(biāo)軸相交（K≠0）。

反比例函數(shù)的性質(zhì)：

1.當(dāng)k>0時(shí)，圖象分別位于第一、三象限，同一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，圖象分別位于二、四象限，同一個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而增大。

2.k>0時(shí)，函數(shù)在x<0和 x>0上同為減函數(shù)；k<0時(shí)，函數(shù)在x<0和x>0上同為增函數(shù)。

定義域?yàn)閤≠0；值域?yàn)閥≠0。

3.因?yàn)樵趛=k/x(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數(shù)的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交。

4.在一個(gè)反比例函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)P，Q，過點(diǎn)P，Q分別作x軸，y軸的平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為S1，S2，則S1＝S2=|K| 5.反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸

y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對(duì)稱中心是坐標(biāo)原點(diǎn)。

6.若設(shè)正比例函數(shù)y=mx與反比例函數(shù)y=n/x交于A、B兩點(diǎn)（m、n同號(hào)），那么A B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

7.設(shè)在平面內(nèi)有反比例函數(shù)y=k/x和一次函數(shù)y=mx+n，要使它們有公共交點(diǎn)，則n2 +4k·m≥（不小于）0。（k/x=mx+n，即mx^2+nx-k=0）

8.反比例函數(shù)y=k/x的漸近線：x軸與y軸。

9.反比例函數(shù)關(guān)于正比例函數(shù)y=x,y=-x軸對(duì)稱,并且關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱.(第5點(diǎn)的同義不同表述)

10.反比例上一點(diǎn)m向x、y軸分別做垂線，交于q、w，則矩形mwqo（o為原點(diǎn)）的面積為|k|

11.k值相等的反比例函數(shù)重合，k值不相等的反比例函數(shù)永不相交。

12.|k|越大，反比例函數(shù)的圖象離坐標(biāo)軸的距離越遠(yuǎn)。

（五）二次函數(shù)

二次函數(shù)是指未知數(shù)的最高次數(shù)為二次的多項(xiàng)式函數(shù)。二次函數(shù)可以表示為f(x)=ax^2+bx+c(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

一般式(已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式.)

y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-b/2a，(4ac-b^2/4a)；

頂點(diǎn)式(已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.)

y=a(x+m)^2+k(a≠0,a、m、k為常數(shù))或y=a(x-h)^2+k(a≠0,a、h、k為常數(shù))，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-m，k）或（h,k）對(duì)稱軸為x=-m或x=h，有時(shí)題目會(huì)指出讓你用配方法把一般式化成頂點(diǎn)式；

交點(diǎn)式(已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式)

y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點(diǎn)A（x1，0）和 B（x2，0）的拋物線] ；

拋物線的三要素：開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn) 頂點(diǎn)

拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(-b/2a，4ac-b^2/4a)，當(dāng)-b/2a=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí)，P在x軸上。開口

二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。決定對(duì)稱軸位置的因素

一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱軸在y軸右。（左同右異）

c的大小決定拋物線當(dāng)①時(shí)，∴拋物線,與與

軸交點(diǎn)的位置.與

軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）： ,與

軸交于負(fù)半軸.，拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②軸交于正半軸；③直線與拋物線的交點(diǎn)（1）（2）與(,軸與拋物線軸平行的直線).得交點(diǎn)為(0,).與拋物線

有且只有一個(gè)交點(diǎn)（3）拋物線與軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)程根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)

拋物線與軸相交；

拋物線與軸相切； 的圖像與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)、，是對(duì)應(yīng)一元二次方的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的 ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在軸上）③沒有交點(diǎn)

拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點(diǎn)同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是個(gè)實(shí)數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交的兩點(diǎn)，由方程組

①方程組有兩組不同的解時(shí)一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無解時(shí)的解的數(shù)目來確定： 與與

有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)沒有交點(diǎn).與

只有（6）拋物線與軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線，由于、是方程

與軸兩交點(diǎn)為的兩個(gè)根，故

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