第一篇：淺談高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的內(nèi)容與要求

淺談高中數(shù)學(xué)新課程中 “立體幾何”部分的內(nèi)容與要求

張勁松

2003年4月教育部正式頒布實(shí)施《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）。與《標(biāo)準(zhǔn)》配套的《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》于2004年秋季開始在山東、廣東、海南、寧夏進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，2005年秋季又?jǐn)U大到江蘇，到2006年秋季，福建、浙江、安徽、遼寧、天津加入，共有10?。▍^(qū)、直轄市）使用《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》。

這次高中數(shù)學(xué)課程改革比較突出的特點(diǎn)是在“構(gòu)建共同基礎(chǔ)，提供發(fā)展平臺”的前提下，“提供多樣課程，適應(yīng)個性選擇”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“注意提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力”“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識”等等。具體做法是，課程內(nèi)容分為諸多模塊和專題，突出數(shù)學(xué)教科書的“數(shù)學(xué)味”，注重從現(xiàn)實(shí)情景引入數(shù)學(xué)知識，用數(shù)學(xué)處理具體的實(shí)際問題等等。實(shí)事求是地講，《標(biāo)準(zhǔn)》設(shè)計的理念和思路都是非常好的，作為《標(biāo)準(zhǔn)》最主要的載體——教材在實(shí)驗(yàn)過程中，有很多積極的評價。但也存在不少問題，比較突出的是《標(biāo)準(zhǔn)》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫。有些內(nèi)容不明確，教還是不教，難以把握。本文結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)》和實(shí)驗(yàn)教師的反映，以“立體幾何”部分的內(nèi)容與要求為例，談一下粗淺的認(rèn)識，希望對教學(xué)有一定的幫助。

一、“立體幾何”部分到底包括哪些內(nèi)容

“立體幾何”是高中數(shù)學(xué)非常經(jīng)典的內(nèi)容，也是非常重要的內(nèi)容。回顧上個世紀(jì)90年代以后開始的近20年的高中數(shù)學(xué)課程改革，1997年前，“立體幾何”部分單獨(dú)成冊《立體幾何》，與《代數(shù)》（上冊）同時開設(shè)，在高一兩個學(xué)期完成，《立體幾何》約需57課時。1997年后，《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》把“立體幾何”

部分的內(nèi)容縮為一章“直線、平面、簡單幾何體”，再加上“研究性學(xué)習(xí)課題：多面體歐拉定理的發(fā)現(xiàn)”，共39課時。

翻看《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（高中部分）》（修訂本）和《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》，其教學(xué)內(nèi)容和具體要求（或教學(xué)目標(biāo)）都是分開表述，學(xué)什么，達(dá)到什么目標(biāo)，比較清晰。

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》中“立體幾何”部分的內(nèi)容，放在《數(shù)學(xué)2》“立體幾何初步”，選修2-1“空間向量與立體幾何”，以及系列3和系列4的部分專題中，如“選修3-3球面上的幾何”中等等，而且必修課程和選修課程分得比較開。由于選修系列1的學(xué)生只學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)2》中的“立體幾何初步”，選修系列2的學(xué)生學(xué)習(xí)“空間向量與立體幾何”，所以，我們認(rèn)為，現(xiàn)在的高中數(shù)學(xué)新課程中的“立體幾何”部分包括《數(shù)學(xué)2》中的“立體幾何初步”和選修2-1中“空間向量與立體幾何”，它們共30課時。

1、現(xiàn)在高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容是不是過去“直線、平面、簡單幾何體”內(nèi)容的真子集。實(shí)際是這種情況嗎？答案是否定的。

從《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》和《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)2》（以下簡稱《數(shù)學(xué)2》）看，新課程“立體幾何”部分新增了一些內(nèi)容：平行投影、中心投影、三視圖。這些內(nèi)容與義務(wù)教育階段“空間與圖形”中的“視圖與投影”緊密銜接，而“直線、平面、簡單幾何體”沒有這部分內(nèi)容。增加這部分內(nèi)容的主要目的是進(jìn)一步認(rèn)識空間圖形，通過三視圖以及空間幾何體與其三視圖的互相轉(zhuǎn)化，對空間圖形有比較完整的認(rèn)識，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力，更全面地把握空間幾何體。投影是視圖的基礎(chǔ)，投影分為平行投影和中心投影。立體幾何中研究的圖形都是平行投影下的圖形。中心投影在日常生活中雖然非常普遍，但不是高中“立體幾何”研究的主要內(nèi)容。有了投影，才有視圖。

除了“平行投影、中心投影、三視圖”的內(nèi)容外，其他內(nèi)容是“直線、平面、簡單幾何體”的真子集。

2、高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的教學(xué)內(nèi)容

結(jié)合《標(biāo)準(zhǔn)》的學(xué)習(xí)和教科書的編寫，概括一下，高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的數(shù)學(xué)內(nèi)容：

（1）空間幾何體

棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺、球。柱體、錐體、臺體、球體的簡單組合體。

簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，斜二側(cè)畫法，簡單空間圖形的直觀圖。

平行投影下的空間圖形，中心投影下的空間圖形。

球、棱柱、棱錐、棱臺、圓柱、圓錐、圓臺的表面積和體積。（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系平面及其基本性質(zhì)。

平行直線，對應(yīng)邊分別平行的角，異面直線所成的角。

直線和平面平行的判定與性質(zhì)，直線和平面垂直的判定與性質(zhì)，點(diǎn)到平面的距離，斜線在平面的投影,直線和平面所成的角。

平面與平面平行的判定與性質(zhì)。二面角及其平面角。兩個平面垂直的判定與性質(zhì)。（3）空間向量與立體幾何

空間向量及其加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算。空間向量基本定理，空間向量的正交分解。

空間向量的坐標(biāo)表示，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示?？臻g向量的數(shù)量積，空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。

三垂線定理及其逆定理。直線的方向向量，平面的法向量。

3、關(guān)于夾角與距離

《標(biāo)準(zhǔn)》在“空間向量與立體幾何”中明確提出：“能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。”因此，異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面所成的角等內(nèi)容在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”必須介紹，穿插在相關(guān)內(nèi)容之中，盡管在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中沒有提到。

距離是“立體幾何”中的另一種度量。點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、平行直線之間的距離、異面直線之間的距離、直線與平面之間的距離、平面與平面之間的距離的本質(zhì)是兩點(diǎn)之間的距離，而兩點(diǎn)之間的距離是以這兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量的?；蜷L度。這樣，空間中的距離問題就轉(zhuǎn)化為向量的?；蜷L度問題。

4、關(guān)于“三垂線定理及其逆定理”

很多老師都說，整個高中立體幾何就是“三垂線定理”。盡管說得過分些，但從另外一個角度說明，“三垂線定理”在整個高中“立體幾何”中的地位和作用。確實(shí)，“三垂線定理”是整個立體幾何內(nèi)容的一個典型代表，處在整個立體幾何知識的樞紐位置，綜合了很多知識內(nèi)容：直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直和平行。《標(biāo)準(zhǔn)》在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中雖然沒有明確提到“三垂線定理”，但在“空間向量與立體幾何”中提到“能用向量方法證明有關(guān)線、面位置關(guān)系的一些定理（包括三垂線定理）”。按照這種提法，教材中必須明確提出“三垂線定理”，學(xué)生應(yīng)該知道這個定理。至于放在《數(shù)學(xué)2》中，還是放在《選修2-1》中，則是另外一個問題。有了“三垂線定理”，“三垂線定理的逆定理”也就順理成章了，無非是斜線與斜線在平面內(nèi)的射影的位置互換了一下。

在教材實(shí)驗(yàn)過程中，老師非常關(guān)注“三垂線定理及其逆定理”的教學(xué)。一方面

是它在整個高中“立體幾何”中的地位和作用；另一方面，它也是高考的核心內(nèi)容，目前的高考試卷中，如果是用綜合法處理的“立體幾何”方面的大題，都是關(guān)于“三垂線定理及其逆定理”的。但是，隨著空間向量及其運(yùn)算引入“立體幾何”內(nèi)容中，用空間向量及其運(yùn)算的向量方法（或坐標(biāo)方法）處理有關(guān)垂直和平行問題成為一種普遍適用的方法，用“三垂線定理及其逆定理”的綜合方法退居其次。高中數(shù)學(xué)新課程中強(qiáng)調(diào)用空間向量及其運(yùn)算處理立體幾何中的角度、距離，淡化綜合方法處理角度問題和距離問題。

5、關(guān)于球

目前，《標(biāo)準(zhǔn)》只要求認(rèn)識球的結(jié)構(gòu)特征，了解球的表面積和體積的計算公式（不要求記憶）。由于在系列3中的“選修3-3球面上的幾何”專門講述涉及球以及球面的幾何，因此現(xiàn)在新課程中“立體幾何”部分不涉及球面上距離等內(nèi)容，對球面的表面積和體積公式也不要求推導(dǎo)，教學(xué)時一定不要增加這方面的內(nèi)容。

二、怎樣把握這部分的教學(xué)要求

由于《標(biāo)準(zhǔn)》把“內(nèi)容與要求”合在一起寫，對教學(xué)要求的把握相對來說，容易一些。但在教材編寫和教材實(shí)驗(yàn)中，也存在不少問題。

1、棱柱、棱錐、棱臺這些空間幾何體要求到什么程度

按照《標(biāo)準(zhǔn)》的要求，教材首先通過實(shí)物模型、計算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征。結(jié)構(gòu)特征是這些空間幾何體的本質(zhì)特征，我們需要抽象概括出這些空間幾何體的概念。以棱柱為例，抽象出它的本質(zhì)特征后，要不要講斜棱柱、直棱柱、正棱柱以及楞住的一些性質(zhì)？由于《標(biāo)準(zhǔn)》在“空間向量與立體幾何”的“參考案例”例1中明確提出“直三棱柱??”，所以必須講。至于放到哪部分內(nèi)容中，下面我們談到體系結(jié)構(gòu)時，會詳細(xì)闡述。棱錐也有類似的問題，正棱錐怎么講？在何處講？

2、關(guān)于三視圖與幾何直觀能力、空間想象能力

視圖和投影是《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》新增的內(nèi)容，作為與初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的銜接，“空間幾何體”包括視圖和投影的內(nèi)容。要求到什么程度？

——三視圖是不是要求到“長對正、寬平齊、高相等”？

——對于平行投影和中心投影下的視圖與直觀圖，如果只是“通過觀察用兩種方法（平行投與中心投影）畫出的視圖和直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式”，是不是要求太低了？

——如果不明確給出直棱柱、正棱柱、正棱錐等空間幾何體的概念，這些空間幾何體的三視圖是不是能講清楚？因?yàn)檫@些空間幾何體的三視圖都涉及點(diǎn)在平面的射影、空間幾何體的高等概念。

這些是老師在教學(xué)中非常關(guān)注的問題。如果上述問題作為基本的要求，《數(shù)學(xué)2》中“立體幾何初步”有限的18課時，顯得太緊張了，心有余而力不足。

增加三視圖的有關(guān)內(nèi)容，對于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力具有重要的促進(jìn)作用。過去的“立體幾何”內(nèi)容相對來說，這方面比較薄弱。三視圖的有關(guān)內(nèi)容在一定程度上改善了這種狀況。對圖形既需要直觀地感覺，也需要思辨地論證。我們要求學(xué)生能夠畫出空間幾何體的三視圖和直觀圖，能夠從空間幾何體的直觀圖畫出它的三視圖，從三視圖畫出它的直觀圖等等。使得學(xué)生能夠通過“實(shí)物模型—三視圖—直觀圖”這樣一個相互轉(zhuǎn)化的過程認(rèn)識空間幾何體。這些數(shù)學(xué)活動是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的有效途徑。只有這樣，立體幾何的教學(xué)目標(biāo)才更加全面。

3、關(guān)于推理論證的要求

從必修課程《數(shù)學(xué)2》、選修課程系列2·選修2-1的“內(nèi)容與要求”看，“立體幾何”部分推理論證的要求不高，而且有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的一些判定定理用向量方法加以證明。而經(jīng)典的“立體幾何”除了培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力外，非常強(qiáng)調(diào)推理論證能力，把推理論證能力放在最突出的位置。由于整個

義務(wù)教育階段對幾何的推理論證能力的要求有所降低，與義務(wù)教育階段相銜接的高中數(shù)學(xué)新課程這方面的教學(xué)要求自然有所降低。

是不是《標(biāo)準(zhǔn)》對幾何推理論證的要求降低了呢？對“立體幾何”部分的教學(xué)要求降低了呢？

這種看法有一定的片面性。從《標(biāo)準(zhǔn)》和整套教材看，不難發(fā)現(xiàn)，在“立體幾何”中對于推理論證的要求不是一步到位，而是分階段、分層次、多角度的：

（1）對空間幾何體的認(rèn)識，先直觀感受、操作確認(rèn)，不做任何推理論證的要求。（2）以長方體為載體（包括其他的實(shí)物模型、身邊的實(shí)際例子等）對圖形（模型）進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)和說理，引入合情推理。

（3）嚴(yán)格的推理論證，如直線、平面平行與垂直的判定定理的證明。（4）在選修課程系列2·選修2-1中的“空間向量與立體幾何”中引入空間向量處理平行、垂直、距離和夾角等問題。

幾何的現(xiàn)實(shí)性與論理性是幾何的兩個方面。歐幾里得公理體系把幾何與邏輯結(jié)合起來，幾何就與演繹推理結(jié)下了不解之緣，很久以來幾何學(xué)就成為訓(xùn)練邏輯推理的素材，用主觀的東西去理解客觀世界，把握客觀世界，以期對客觀世界有更理性的認(rèn)識。

從幾何推理的角度來看，既有合情推理，又有演繹推理，而且從數(shù)學(xué)自身發(fā)展的過程來看，即使演繹推理也并非幾何所獨(dú)有，它廣泛存在于數(shù)學(xué)的各個分支中。近幾十年的國際數(shù)學(xué)教育改革對幾何推理的要求發(fā)生了一些變化，適當(dāng)弱化演繹推理，更多地強(qiáng)調(diào)從具體情境或前提出發(fā)，進(jìn)行合情推理；從單純強(qiáng)調(diào)幾何的邏輯推理，轉(zhuǎn)向更全面地體現(xiàn)幾何的教育價值，特別是集合在發(fā)展學(xué)生空間觀念，以及觀察、操作、試驗(yàn)、探索、合情推理等“過程性”方面的教育價值。立體幾何初步特別注意使學(xué)生經(jīng)歷從特殊到一般，從具體到抽象的過程，逐步認(rèn)識直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，在推理過程中滲透公理化思想，養(yǎng)成言必有據(jù)的理性思維精

神。

4、關(guān)于集合模型的作用與價值

《標(biāo)準(zhǔn)》中多次提到“數(shù)學(xué)模型”一詞，目的是進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。數(shù)學(xué)模型是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的描述。數(shù)學(xué)模型的形式是多樣的，他們可以是幾何圖形，也可以是方程式、函數(shù)解析式等等。實(shí)際問題越復(fù)雜，相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型也越復(fù)雜。

從形狀的角度反映現(xiàn)實(shí)世界的物體時，經(jīng)過抽象得到的空間幾何體就是現(xiàn)實(shí)世界物體的幾何模型。由于立體幾何學(xué)習(xí)的知識內(nèi)容與學(xué)生的聯(lián)系非常密切，空間幾何體是很多物體的幾何模型，這些模型可以描述現(xiàn)實(shí)世界中的許多物體。它們直觀、具體，對培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力有很大的幫助?？臻g幾何體，特別是長方體，其中的棱與棱、棱與面、面與面之間的位置關(guān)系，是研究直線與直線、直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的直觀載體。學(xué)習(xí)時，一方面要引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際出發(fā)，把學(xué)習(xí)的知識與周圍的實(shí)物聯(lián)系起來，另一方面，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)的生活抽象空間圖形的過程，注重探索空間圖形的位置關(guān)系，歸納、概括它們的判定定理和性質(zhì)定理。比如，在有關(guān)直線與平面、平面與平面平行和垂直判定定理的教學(xué)中，要注重引導(dǎo)學(xué)生通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出直線與平面、平面與平面平行和垂直的判定定理；在直線與平面、平面與平面平行和垂直的性質(zhì)定理的教學(xué)中，同樣不能忽視學(xué)生從實(shí)際問題出發(fā)，進(jìn)行探究的過程。要引導(dǎo)學(xué)生借助圖形直觀，通過歸納、類比等合情推理以及演繹推理，探索直線與平面、平面與平面平行與垂直等性質(zhì)定理及其證明。在此基礎(chǔ)上，進(jìn)一步運(yùn)用已經(jīng)能夠獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題。

立體幾何在構(gòu)建直觀、形象的數(shù)學(xué)模型方面有其獨(dú)特作用。圖形的直觀，不僅為學(xué)生感受理解抽象的概念提供有力的支撐，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生合情推理和演繹

推理的能力。

三、怎樣看待幾何的研究對象和研究方法

1、幾何的研究對象

幾何學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中物體的形狀、大小與位置關(guān)系的數(shù)學(xué)學(xué)科。在“立體幾何”部分中，空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征、三視圖、直觀圖都是從形的角度研究現(xiàn)實(shí)世界中的物體。幾何體在空間都會占有空間的一部分，它的大小在一維空間中表現(xiàn)為長度，在二維空間中表現(xiàn)為面積，在三維空間中表現(xiàn)為體積。位置關(guān)系主要包括直線與直線的位置關(guān)系、直線與平面的位置關(guān)系、平面與平面的位置關(guān)系。位置關(guān)系中的平行、垂直是研究的重點(diǎn)。這是歐氏幾何研究的主要內(nèi)容。另外《標(biāo)準(zhǔn)》系列3中安排了“選修3-3球面上的幾何”，它是非歐幾何模型之一，讓學(xué)生了解除歐氏幾何模型外，還有非歐幾何模型，都是反映客觀世界“形”的分支學(xué)科；系列4中安排了“選修3-5歐拉公式與閉曲面分類”，它使用變換對幾何圖形進(jìn)行分類，揭示在不同變換下幾何圖形不變的性質(zhì)或不變量，也是幾何學(xué)的重要內(nèi)容。學(xué)習(xí)這些內(nèi)容，會對幾何學(xué)有一個相對概貌的了解，對于更好地把握幾何學(xué)的研究對象有更深入的認(rèn)識。

2、幾何的研究方法

研究對象確定后，研究方法的選擇是非常重要的。不同的研究方法體現(xiàn)了不同研究對象的特點(diǎn)，反映了不同研究對象不同的要求?！稑?biāo)準(zhǔn)》中明確提出，認(rèn)識和探索幾何圖形及其性質(zhì)的主要方法是：直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證、度量計算，這是非常經(jīng)典的概括。它把具體與抽象、直觀與論理、感性與理性、動手與動腦有機(jī)地結(jié)合在一起。實(shí)際上，這四種方式是一個有機(jī)的整體，循序漸進(jìn)，不同的知識內(nèi)容要求的方式和方法不盡相同。

立體幾何內(nèi)容中的“空間幾何體”主要是通過直觀感知、操作確認(rèn)的方式讓學(xué)生認(rèn)識人類生存的現(xiàn)實(shí)空間，通過空間圖形，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的空間想象能力。在“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”中，借助長方體模型，通過直觀感知、操作確認(rèn)先認(rèn)識它們之間的位置關(guān)系，歸納關(guān)于平面、平行的一些公理以及直線與平面平行、平面與平面平行以及直線與平面垂直、平面與平面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行思辨論證，并且運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題，培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力、運(yùn)用圖形語言進(jìn)行交流的能力以及幾何直觀能力。

我們經(jīng)常說，行萬里路，讀萬卷書。這說明認(rèn)識世界的兩種方式：感性認(rèn)識和理性認(rèn)識。具體到數(shù)學(xué)學(xué)科中，觀察和推理是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的兩種手段。由觀察（實(shí)踐）歸納出一些事實(shí)（如公理），在此基礎(chǔ)上，從這些事實(shí)出發(fā)，運(yùn)用邏輯推理的方法，推導(dǎo)、證明一些新的事實(shí)。在立體幾何初步的內(nèi)容中，我們采用了觀察和推理兩種方式。通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辯論證，認(rèn)識和把握點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。

四、如何理解高中數(shù)學(xué)新課程中“立體幾何”部分的結(jié)構(gòu)體系

與傳統(tǒng)立體幾何的體系結(jié)構(gòu)相比，新課程中的立體幾何的體系結(jié)構(gòu)有重大改革。傳統(tǒng)的立體幾何內(nèi)容，常從點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系開始，講述平面及其基本性質(zhì)，點(diǎn)、直線、平面之間位置關(guān)系和有關(guān)公理、定理，在研究由空間幾何體，包括棱柱、棱錐、圓柱、臺、球的結(jié)構(gòu)特征、體積、表面積等等，基本上按照從局部到整體的原則?，F(xiàn)在，先從對空間幾何體的整體感受入手，再研究點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系。

基于這種安排，我們認(rèn)為，在講點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的內(nèi)容中，應(yīng)穿插介紹直棱柱、正棱柱、正棱錐等內(nèi)容。直線與平面、平面與平面的平行和垂直等位置關(guān)系在這些空間幾何體中有具體的體現(xiàn)。如果放在“空間幾何體”中，這些位置關(guān)系沒有明確地界定，單純地“直觀感知、操作確認(rèn)”，思維層面不高，很難從本質(zhì)上把握這些空間幾何體的特征。所以，這部分的安排，我們認(rèn)為應(yīng)遵循“整體—局部—整體”的原則。

這種安排遵循人類認(rèn)識世界的過程，也符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。它有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，適當(dāng)減輕幾何論證的難度，降低立體幾何學(xué)習(xí)入門的門檻，提高學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何的興趣。

整體和局部是一個有機(jī)的整體。沒有對整體的把握，也無從認(rèn)識局部；同樣，如果沒有對局部更細(xì)致的認(rèn)識，我們也無法更好地把握整體。因此，在學(xué)習(xí)完“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”后，可引導(dǎo)學(xué)生從點(diǎn)、直線、平面的角度重新認(rèn)識空間幾何體，從本質(zhì)上把握空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，對空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征有更全面的認(rèn)識。

集合內(nèi)容的體系結(jié)構(gòu)、處理幾何內(nèi)容的方式方法一直是數(shù)學(xué)課改的熱點(diǎn)問題。通過適當(dāng)增加一些內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力；削減一些內(nèi)容，適當(dāng)降低推理論證能力，特別是演繹論證能力；用空間向量及其運(yùn)算這個工具，從新的視角處理立體幾何中的夾角、距離以及位置關(guān)系等都是幾何課改的具體舉措。更深層次的改革還需我們作進(jìn)一步的探討，諸如，如何從幾何變換的角度看待幾何圖形，如何介紹非歐幾何模型，如何看待幾何的現(xiàn)實(shí)性與論理性之間的關(guān)系，如何更全面地看待幾何的教育價值等等。

（作者單位：課程教材研究所）

原載《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》：高中版（西安），2006.7.

第二篇：高中數(shù)學(xué)“立體幾何”教學(xué)研究

高中數(shù)學(xué)“立體幾何”教學(xué)研究

一.“立體幾何”的知識能力結(jié)構(gòu)

高中的立體幾何是按照從局部到整體的方式呈現(xiàn)的，在必修2中，先從對空間幾何體的整體認(rèn)識入手，主通過直觀感知、操作確認(rèn)，獲得空間幾何體的性質(zhì)，此后，在空間幾何體的點(diǎn)、直線和平面的學(xué)習(xí)中，充分利用對模型的觀察，發(fā)現(xiàn)幾何體的幾何性質(zhì)并通過簡單的“推理”得到一些直線和平面平行、垂直的幾何性質(zhì)，從微觀上為進(jìn)一步深入研究空間幾何體做了必要的準(zhǔn)備.在選修2-1中，首先引入空間向量，在必修2的基礎(chǔ)上完善了幾何論證的理論基礎(chǔ)，在此基礎(chǔ)上對空間幾何體進(jìn)行了深入的研究.首先安排的是對空間幾何體的整體認(rèn)識，要求發(fā)展學(xué)生的空間想像能力，幾何直觀能力，而沒有對演繹推理做出要求.在“空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”的研究中，以長方體為模型，通過說理（歸納出判定定理，不證明）或簡單推理進(jìn)行論證（歸納并論證明性質(zhì)定理），在“空間向量與立體幾何”的學(xué)習(xí)中，又以幾何直觀、邏輯推理與向量運(yùn)算相結(jié)合，完善了空間幾何推理論證的理論基礎(chǔ)，并對空間幾何中較難的問題進(jìn)行證明.可見在立體幾何這三部分中，把空間想像能力，邏輯推理能力，適當(dāng)分開，有所側(cè)重地、分階段地進(jìn)行培養(yǎng)，這一編排有助于發(fā)展學(xué)生的空間觀念、培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、幾何直觀能力，同時降低學(xué)習(xí)立體幾何的門檻，同時體現(xiàn)了讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展的課標(biāo)理念.二.“立體幾何”教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：

空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征：柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：幾何體的三視圖和直觀圖的畫法；

空間幾何體的表面積與體積：了解柱、錐、臺、球的表面積與體積的計算公式； 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：空間直線、平面的位置關(guān)系； 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納； 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：判定定理和性質(zhì)定理的歸納.2.難點(diǎn)：

空間幾何體結(jié)構(gòu)特征的概括：柱、錐、臺球的結(jié)構(gòu)特征的概括； 空間幾何體的三視圖與直觀圖：識別三視圖所表示的幾何體； 空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系：三種語言的轉(zhuǎn)化； 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理的證明； 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)：性質(zhì)定理的證明.三．空間幾何體的教學(xué)要與空間想象能力培養(yǎng)緊密結(jié)合

空間幾何體的教學(xué)要注意加強(qiáng)幾何直觀與空間想象能力的培養(yǎng)，在立體幾何的入門階段，建立空間觀念，培養(yǎng)空間想象能力是學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，要注重培養(yǎng)空間想象能力的途徑，例如：

①注重模型的作用，讓學(xué)生動手進(jìn)行模型制作，培養(yǎng)利用模型解決問題的意識與方法.②培養(yǎng)學(xué)生的畫幾何圖形能力，畫圖不是描字模（只模仿），而是要邊畫邊思考所畫圖與實(shí)際幾何體的對應(yīng)關(guān)系.③空間想象不是簡單的觀察、空想，應(yīng)與概念思辨相結(jié)合（前面已經(jīng)談到）.④發(fā)揮三視圖與直觀圖培養(yǎng)空間想象能力的作用，利用空間幾何體的三視圖與直觀圖的轉(zhuǎn)化過程，可以使學(xué)生認(rèn)識到：空間圖形向平面圖形的轉(zhuǎn)化有利于分析和表示較為復(fù)雜的空間圖形；變換觀察視角對空間幾何體進(jìn)行觀察可以更容易理解較為復(fù)雜的空間圖形，把握空間圖形中元素之間的關(guān)系.四．加強(qiáng)對概念、定理的理解與把握的教學(xué)

①用圖形輔助理解概念、定理和性質(zhì)

例如，我們可以按照推理的類別，用圖形刻畫幾何元素的關(guān)系，可以避免死記硬背文字和符號的機(jī)械式學(xué)習(xí)，更容易理解公理、定理、性質(zhì)等的幾何本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)問題圖形中的元素關(guān)系關(guān)系.讓學(xué)生對照圖形敘述相關(guān)定理或性質(zhì)，特別要求對定理或性質(zhì)的使用條件加以說明.例如，用圖形表示平行關(guān)系

例如，用圖形表示垂直關(guān)系

②強(qiáng)化證明的言必有據(jù)

所謂“言必有據(jù)”，是指每一步推理的根據(jù)（即三段論推理的大前提）必須是課本中給出的公理、定義、定理，不可以自造理由，不可以隨意將習(xí)題的結(jié)論作為根據(jù)，不可以把平面幾何結(jié)論在立體幾何中不加證明地隨意使用.不僅在文字語言和符號語言的推理中，要言必有據(jù)，在幾何作圖中也是如此，因?yàn)閹缀巫鲌D是幾何推理的特珠形式.立體幾何作圖也必須步步有據(jù).③梳理推理依據(jù)

例如，從確定平行、垂直關(guān)系梳理推理依據(jù)（如圖），在解決問題時由圖形中尋找依據(jù).把推理依據(jù)轉(zhuǎn)化為系列圖形納入立體幾何的學(xué)習(xí)中，用圖形歸納立體幾何知識，串聯(lián)立體幾何推理的思路，形成對圖思考，以圖交流，使得邏輯推理與幾何直觀有機(jī)整合，提高了學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.五.總結(jié)《課程標(biāo)準(zhǔn)》與高考對“立體幾何初步專題”的要求 《課程標(biāo)準(zhǔn)》對“立體幾何初步專題”的要求

（1）空間幾何體

①利用實(shí)物模型、計算機(jī)軟件觀察大量空間圖形，認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會使用材料（如：紙板）制作模型，會用斜二側(cè)法畫出它們的直觀圖.③通過觀察用兩種方法（平行投影與中心投影）畫出的視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④完成實(shí)習(xí)作業(yè)，如畫出某些建筑的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

①借助長方體模型，在直觀認(rèn)識和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).◆公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線平行.◆定理：空間中如果兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.◆一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.◆一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直.◆一個平面過另一個平面的垂線，則兩個平面垂直.通過直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：

◆一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一個平面與此平面的交線與該直線平行.◆兩個平面平行，則任意一個平面與這兩個平面相交所得的交線相互平行.◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.◆兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.③能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.高考對“立體幾何初步專題”的要求（1）空間幾何體

①認(rèn)識柱、錐、臺、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).②能畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖，能識別上述的三視圖所表示的立體模型，會用斜二測法畫出它們的直觀圖.③會用平行投影與中心投影兩種方法，畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式.④會畫某些建筑物的視圖與直觀圖（在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上，尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求）.⑤了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）.（2）點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

①理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理.◆公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)在此平面內(nèi).◆公理2：過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面.◆公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.◆公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.◆定理：空間中如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ).②以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定.理解以下判定定理.◆如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直.◆如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明.◆如果一條直線與一個平面平行，經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面相交，那么這條直線就和交線平行.◆如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.◆垂直于同一個平面的兩條直線平行.◆如果兩個平面垂直，那么一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個平面垂直.③能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡單命題.

第三篇：高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)--立體幾何

【高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)】立體幾何學(xué)習(xí)的幾點(diǎn)建議.txt

一 逐漸提高邏輯論證能力

立體幾何的證明是數(shù)學(xué)學(xué)科中任一分之也替代不了的。因此，歷年高考中都有立體幾何論證的考察。論證時，首先要保持嚴(yán)密性，對任何一個定義、定理及推論的理解要做到準(zhǔn)確無誤。符號表示與定理完全一致，定理的所有條件都具備了，才能推出相關(guān)結(jié)論。切忌條件不全就下結(jié)論。其次，在論證問題時，思考應(yīng)多用分析法，即逐步地找到結(jié)論成立的充分條件，向已知靠攏，然后用綜合法(“推出法”)形式寫出。

二 立足課本，夯實(shí)基礎(chǔ)

直線和平面這些內(nèi)容，是立體幾何的基礎(chǔ)，學(xué)好這部分的一個捷徑就是認(rèn)真學(xué)習(xí)定理的證明，尤其是一些很關(guān)鍵的定理的證明。例如：三垂線定理。定理的內(nèi)容都很簡單，就是線與線，線與面，面與面之間的關(guān)系的闡述。但定理的證明在初學(xué)的時候一般都很復(fù)雜，甚至很抽象。掌握好定理有以下三點(diǎn)好處：

(1)深刻掌握定理的內(nèi)容，明確定理的作用是什么，多用在那些地方，怎么用。(2)培養(yǎng)空間想象力。

(3)得出一些解題方面的啟示。

在學(xué)習(xí)這些內(nèi)容的時候，可以用筆、直尺、書之類的東西搭出一個圖形的框架，用以幫助提高空間想象力。對后面的學(xué)習(xí)也打下了很好的基礎(chǔ)。

三 “轉(zhuǎn)化”思想的應(yīng)用

我個人覺得，解立體幾何的問題，主要是充分運(yùn)用“轉(zhuǎn)化”這種數(shù)學(xué)思想，要明確在轉(zhuǎn)化過程中什么變了，什么沒變，有什么聯(lián)系，這是非常關(guān)鍵的。例如：

1.兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線的夾角即過空間任意一點(diǎn)引兩條異面直線的平行線。斜線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為直線與直線所成的角即斜線與斜線在該平面內(nèi)的射影所成的角。

2.異面直線的距離可以轉(zhuǎn)化為直線和與它平行的平面間的距離，也可以轉(zhuǎn)化為兩平行平面的距離，即異面直線的距離與線面距離、面面距離三者可以相互轉(zhuǎn)化。而面面距離可以轉(zhuǎn)化為線面距離，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，點(diǎn)面距離又可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)線距離。

3.面和面平行可以轉(zhuǎn)化為線面平行，線面平行又可轉(zhuǎn)化為線線平行。而線線平行又可以由線面平行或面面平行得到，它們之間可以相互轉(zhuǎn)化。同樣面面垂直可以轉(zhuǎn)化為線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為線線垂直。

4.三垂線定理可以把平面內(nèi)的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為空間的兩條直線垂直，而三垂線逆定理可以把空間的兩條直線垂直轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)的兩條直線垂直。

以上這些都是數(shù)學(xué)思想中轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化可以使問題得以大大簡化。

四 培養(yǎng)空間想象力

為了培養(yǎng)空間想象力，可以在剛開始學(xué)習(xí)時，動手制作一些簡單的模型用以幫助想象。例如：正方體或長方體。在正方體中尋找線與線、線與面、面與面之間的關(guān)系。通過模型中的點(diǎn)、線、面之間的位臵關(guān)系的觀察，逐步培養(yǎng)自己對空間圖形的想象能力和識別能力。其次，要培養(yǎng)自己的畫圖能力?？梢詮暮唵蔚膱D形(如：直線和平面)、簡單的幾何體(如：正方體)開始畫起。最后要做的就是樹立起立體觀念，做到能想象出空間圖形并把它畫在一個平面(如：紙、黑板)上，還要能根據(jù)畫在平面上的“立體”圖形，想象出原來空間圖形的真實(shí)形狀?？臻g想象力并不是漫無邊際的胡思亂想，而是以提設(shè)為根據(jù)，以幾何體為依托，這樣就會給空間想象力插上翱翔的翅膀。

五 總結(jié)規(guī)律，規(guī)范訓(xùn)練

立體幾何解題過程中，常有明顯的規(guī)律性。例如：求角先定平面角、三角形去解決，正余弦定理、三角定義常用，若是余弦值為負(fù)值，異面、線面取銳角。對距離可歸納為：距離多是垂線段，放到三角形中去計算，經(jīng)常用正余弦定理、勾股定理，若是垂線難做出，用等積等高來轉(zhuǎn)換。不斷總結(jié)，才能不斷高。還要注重規(guī)范訓(xùn)練，高考中反映的這方面的問題十分嚴(yán)重，不少考生對作、證、求三個環(huán)節(jié)交待不清，表達(dá)不夠規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)，因果關(guān)系不充分，圖形中各元素關(guān)系理解錯誤，符號語言不會運(yùn)用等。這就要求我們在平時養(yǎng)成良好的答題習(xí)慣，具體來講就是按課本上例題的答題格式、步驟、推理過程等一步步把題目演算出來。答題的規(guī)范性在數(shù)學(xué)的每一部分考試中都很重要，在立體幾何中尤為重要，因?yàn)樗⒅剡壿嬐评?。對于即將參加高考的同學(xué)來說，考試的每一分都是重要的，在“按步給分”的原則下，從平時的每一道題開始培養(yǎng)這種規(guī)范性的好處是很明顯的，而且很多情況下，本來很難答出來的題，一步步寫下來，思維也逐漸打開了。六 典型結(jié)論的應(yīng)用

在平時的學(xué)習(xí)過程中，對于證明過的一些典型命題，可以把其作為結(jié)論記下來。利用這些結(jié)論可以很快地求出一些運(yùn)算起來很繁瑣的題目，尤其是在求解選擇或填空題時更為方便。對于一些解答題雖然不能直接應(yīng)用這些結(jié)論，但其也會幫助我們打開解題思路，進(jìn)而求解出答案。

第四篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

高中數(shù)學(xué)立體幾何部分定理

公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線上的所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi)。

公理2：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過這個點(diǎn)的公共直線。

公理3： 過不在同一條直線上的三個點(diǎn)，有且只有一個平面。推論1: 經(jīng)過一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個平面。推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面。

推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面。

公理4 ：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個角相等。

空間兩直線的位置關(guān)系：空間兩條直線只有三種位置關(guān)系：平行、相交、異面

1、按是否共面可分為兩類：

（1）共面：平行、相交

（2）異面：

異面直線的定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線或既不平行也不相交。異面直線判定定理：用平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，與平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線。

兩異面直線所成的角：范圍為(0°，90°)esp.空間向量法 兩異面直線間距離: 公垂線段(有且只有一條)esp.空間向量法

2、若從有無公共點(diǎn)的角度看可分為兩類：

（1）有且僅有一個公共點(diǎn)——相交直線；（2）沒有公共點(diǎn)——平行或異面

直線和平面的位置關(guān)系： 直線和平面只有三種位置關(guān)系：在平面內(nèi)、與平面相交、與平面平行

①直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個公共點(diǎn)

②直線和平面相交——有且只有一個公共點(diǎn)

直線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在這個平面內(nèi)的射影所成的銳角。esp.空間向量法(找平面的法向量)

規(guī)定：a、直線與平面垂直時，所成的角為直角，b、直線與平面平行或在平面內(nèi)，所成的角為0°角

由此得直線和平面所成角的取值范圍為 [0°，90°]

最小角定理: 斜線與平面所成的角是斜線與該平面內(nèi)任一條直線所成角中的最小角

三垂線定理及逆定理: 如果平面內(nèi)的一條直線,與這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也與這條斜線垂直

esp.直線和平面垂直

直線和平面垂直的定義：如果一條直線a和一個平面 內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a和平面 互相垂直.直線a叫做平面 的垂線，平面 叫做直線a的垂面。

直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

直線與平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

③直線和平面平行——沒有公共點(diǎn)

直線和平面平行的定義：如果一條直線和一個平面沒有公共點(diǎn)，那么我們就說這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的判定定理：如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

直線和平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

兩個平面的位置關(guān)系：

（1）兩個平面互相平行的定義：空間兩平面沒有公共點(diǎn)

（2）兩個平面的位置關(guān)系：

兩個平面平行-----沒有公共點(diǎn)； 兩個平面相交-----有一條公共直線。a、平行

兩個平面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么交線平行。

b、相交

二面角

（1）半平面：平面內(nèi)的一條直線把這個平面分成兩個部分，其中每一個部分叫做半平面。

（2）二面角：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角。二面角的取值范圍為 [0°，180°]

（3）二面角的棱：這一條直線叫做二面角的棱。

（4）二面角的面：這兩個半平面叫做二面角的面。

（5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

（6）直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。

esp.兩平面垂直

兩平面垂直的定義：兩平面相交，如果所成的角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直。記為 ⊥

兩平面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個平面。

Attention：

二面角求法：直接法（作出平面角）、三垂線定理及逆定理、面積射影定理、空間向量之法向量法（注意求出的角與所需要求的角之間的等補(bǔ)關(guān)系）

多面體

棱柱

棱柱的定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行，這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

棱柱的性質(zhì)

（1）側(cè)棱都相等，側(cè)面是平行四邊形

（2）兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

（3）過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面（對角面）是平行四邊形

棱錐

棱錐的定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，這些面圍成的幾何體叫做棱錐

棱錐的性質(zhì)：

（1）側(cè)棱交于一點(diǎn)。側(cè)面都是三角形

（2）平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠(yuǎn)棱錐高的比的平方

正棱錐

正棱錐的定義：如果一個棱錐底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫做正棱錐。

正棱錐的性質(zhì)：

（1）各側(cè)棱交于一點(diǎn)且相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等，它叫做正棱錐的斜高。

（3）多個特殊的直角三角形

esp： a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐，由三垂線定理可得頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

b、四面體中有三對異面直線，若有兩對互相垂直，則可得第三對也互相垂直。且頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的垂心。

Attention：

1、注意建立空間直角坐標(biāo)系

2、空間向量也可在無坐標(biāo)系的情況下應(yīng)用

多面體歐拉公式：V（角）+F（面）-E（棱）=

2正多面體只有五種：正四、六、八、十二、二十面體。

球

attention：

1、球與球面積的區(qū)別

2、經(jīng)度（面面角）與緯度（線面角）

3、球的表面積及體積公式

4、球內(nèi)兩平行平面間距離的多解性

cool2009-01-29 15:44

兩點(diǎn)確定一直線，兩直線確定一平面。

一條直線a與一個平面o垂直，則該直線與平面o內(nèi)任何一條直線垂直。

一條直線a與一平面o內(nèi)兩條相交直線都垂直，則該直線與該平面垂直。若直線a在平面y內(nèi)，則平面y與平面o垂直。

平面o與平面y相交，相交直線為b，若平面o內(nèi)衣直線a與直線b垂直，則平面o與平面y垂直。

一條直a與平面o內(nèi)任何一條直線平行，則直線a與平面o平行。

直線a與平面o以及平面y都垂直，則平面o與平面y平行。

第五篇：高中數(shù)學(xué)立體幾何證明公式

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理 如果平面內(nèi)的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內(nèi)的射影，則這條直線垂直于斜線。