第一篇：數(shù)學(xué)學(xué)科德育教案之橢圓的定義

數(shù)學(xué)學(xué)科德育教案

之橢圓的定義

知識與技能：理解橢圓的定義；理解橢圓的焦點、焦距的意義；

過程與方法：通過完成游戲“巧手折橢圓”，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維和實踐能力； 情感態(tài)度與價值觀：通過觀看FLASH《“神舟”五號太空之行》，培養(yǎng)學(xué)生強烈的愛國義精神和民族自豪感；通過完成游戲“百發(fā)百中”，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心與自覺性；通過完成游戲“巧手折橢圓”，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神與競爭意識；通過對橢圓定義的研究，進行辯證唯物主義教育；

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景，培養(yǎng)學(xué)生的團結(jié)協(xié)作精神及實踐能力

上課一開始，我為了調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們學(xué)習(xí)的熱情，將全班分成若干個小組，每組4人，要求每個小組在事先準(zhǔn)備好的圓上畫上圓心,然后在圓內(nèi)任取一點F(不能取O),用筆在F的位置做上記號。把圓紙片翻起一角，使圓周正好通過F，再抹平紙片，得到一條折痕L（為了看得清楚，也不妨用筆把直線L描出來）。這樣繼續(xù)折下去，就得到折痕?？凑l折得最快，而且得到的圖案最漂亮。

一聲令下后，每個小組的成員都忙碌起來了，有的組先圍在一起商量再動手畫，而有的組則是先嘗試再總結(jié)。在游戲中，他們都非常地投入，非常地團結(jié)，以最快的速度、最好的質(zhì)量完成了作品。當(dāng)我宣布比賽結(jié)果時，獲獎的小組同學(xué)異常高興，用擊掌來表示勝利。

目的：通過這個游戲，充分體現(xiàn)了學(xué)生合作交流、實踐體驗的學(xué)習(xí)方式，培養(yǎng)了學(xué)生間的協(xié)作精神與競爭意識。

二、觀看動畫，激發(fā)學(xué)生民族自豪感

在得到橢圓這個圖像后，為了他們能更好地了解橢圓的形成過程及在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。我自己利用FLASH設(shè)計制作了關(guān)于“神舟”五號從發(fā)射到升空，然后繞地飛行的動畫片，并配上了相關(guān)的解說詞。隨著飛船的升空，同學(xué)們的心情也隨之激動起來了。這是我國第一艘載人飛船。它的發(fā)射成功標(biāo)志著我國成為繼美國、俄羅斯之后的第三個有能力宇宙飛船的國家。這一刻，任何的言語都是多余的了。在場的每個人都在為自己是一個中國人而感到自豪，為我們國家的日益強大而感到驕傲。

目的：結(jié)合我國在科技、經(jīng)濟等各方面的最新動態(tài)，讓學(xué)生增強民族自豪感，自尊心和自信心，從而轉(zhuǎn)化為為祖國建設(shè)刻苦學(xué)習(xí)的責(zé)任感和自覺性，同時，也培養(yǎng)學(xué)生不畏艱難，艱苦奮斗，刻苦鉆研的精神。

三、引出概念，利用類比進行辯證唯物主義教育

由于飛船運行的軌跡很明顯就是橢圓，所以，當(dāng)同學(xué)們看到FLASH動畫演示時，他們感嘆到：那是一個多么美麗的橢圓?。∧敲催@個軌跡是如何形成的呢？橢圓又是怎樣定義的呢？我拿出事先準(zhǔn)備的教具，選一個學(xué)生，讓他將一段長為2a的繩子，把它的兩端都固定在圖板上的一點O，將筆套在繩子里拉緊繩子，使筆尖P移動一周。結(jié)果得到的軌跡就是從O為圓心，以A為半徑的一個圓。這是我們已經(jīng)學(xué)過的軌跡問題。我再讓他將這段這段繩子的兩個端點分別固定在圖板上的不同兩點F1，F(xiàn)2（<2a），將筆套在繩子里拉緊繩子，使筆尖P移動一周。這時筆尖P畫出來的圖形就是一個橢圓了。到此，橢圓的定義通過游戲，動畫演示，教具演示等活動就形象、自然地演示出來了。它就是平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞ |F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距（一般用2c表示）。目的：通過動手操作，利用與圓作類比，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識間的緊密聯(lián)系與相互作用，構(gòu)成了物質(zhì)的運動、變化與發(fā)展，能有效地進行辯證唯物主義教育。

四、利用游戲提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

為了增加趣味性，激發(fā)大家對橢圓的探索，我讓他們每組選出一個代表上來完成一個叫做“百發(fā)百中”的小游戲，它要求用硬紙做一個橢圓形的盒子，并且在橢圓形盒底的一個焦點上放一粒紐扣，作為子彈，在另一個焦點出豎立一個鋼筆套，作為靶子。你需要瞄準(zhǔn)，把紐扣子彈沿著盒底面內(nèi)的任何方向彈射出去，經(jīng)過盒壁反射后，都一定命中靶子。

結(jié)果，大家的熱情一浪高過一浪，許多人進行了嘗試。這時，我就提出最后一個問題：把紐扣子彈沿著盒底面內(nèi)的任何方向彈射出去，經(jīng)過盒壁反射后，為什么都一定命中靶子呢？課后思考。這時，正好一節(jié)課結(jié)束，學(xué)生帶著這個問題，帶著思考，帶著探究的熱忱下課了。他們在課后為解決這個問題而進行了激烈的討論，也為后面的內(nèi)容做了很好的準(zhǔn)備。

目的：通過這個小游戲，不但大大提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心與自覺性，而且又為下一節(jié)課作好了鋪墊，使學(xué)生對下一節(jié)課充滿了無限的期望。

第二篇：高二數(shù)學(xué)橢圓教案

1，教學(xué)目標(biāo)

學(xué)習(xí)橢圓的典型例題

2，例題

例1 已知橢圓mx2?3y2?6m?0的一個焦點為（0，2）求m的值．

0?，a?3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例2 已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P?3，例3 ?ABC的底邊BC?16，AC和AB兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點A的軌跡．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用橢圓定義求解．

（2）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程．

例4 已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為

45和325，過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．

3x2y2例5 已知橢圓方程2?2?1?a?b?0?，長軸端點為A1，A2，焦點為F1，F(xiàn)2，Pab是橢圓上一點，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面積（用a、b、?表示）．

0?，且在定圓B：例6 已知動圓P過定點A??3，?x?3??y2?64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，2x2?11??y2?1，（1）求過點P?，?且被P平分的弦所在直線的方例7 已知橢圓2?22?程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；（3）過A?2，（4）橢圓上有兩點P、Q，O為原點，且有直線OP、OQ斜率滿足kOP?kOQ??求線段PQ中點M的軌跡方程．

1，2

例8 已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．（1）當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點？（2）若直線被橢圓截得的弦長為

210，求直線的方程． 5x2y2??1的焦點為焦點，過直線l：x?y?9?0上一點M作橢圓，要例9 以橢圓123使所作橢圓的長軸最短，點M應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．

x2y2???1表示橢圓，求k的取值范圍． 例10 已知方程k?53?k解：

3，作業(yè)

例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦點在y軸上的橢圓，求?的取值范圍．

例12 求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3,?2)和B(?23,1)兩點的橢圓方程．

例1

3知圓x2?y2?1，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段，求線段中點M的軌跡．

例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點F1作傾斜解為

?的直線交橢圓于A，B兩點，求弦AB的長． 3

x2y2??1上的點M到焦點F1的距離為2，N為MF1的中點，則ON例15 橢圓259（O為坐標(biāo)原點）的值為A．B．2 C．8 D．2x2y2?1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y?4x?m，例16 已知橢圓C：?43橢圓C上有不同的兩點關(guān)于該直線對稱．

例17 在面積為1的?PMN中，tanM?以M、N為焦點且過P點的橢圓方程．

1，tanN??2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出2x2y2??1所截得的線段的中點，求直線l的方程． 例18 已知P(4,2)是直線l被橢圓

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第三篇：數(shù)學(xué)學(xué)科滲透德育教案

數(shù)學(xué)學(xué)科滲透德育教案

教學(xué)內(nèi)容：認(rèn)識前后

石壩小學(xué)：鄧賢容

教學(xué)目標(biāo)

1．通過情境體驗與參與，使學(xué)生感知前后的位置關(guān)系

2．通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生遵守公共秩序，文明守紀(jì)的良好品德。3．讓學(xué)生感受到生活中處處有數(shù)學(xué)，增強學(xué)習(xí)的樂趣和自信心。教學(xué)內(nèi)容

認(rèn)識 “前后” 教具學(xué)具準(zhǔn)備

主題課件，學(xué)具卡片。教學(xué)過程

1．創(chuàng)設(shè)動畫情境，引導(dǎo)學(xué)生觀察。

教師：暑假快要結(jié)束了，一個人在鄉(xiāng)下姥姥家玩的聰聰就要讀一年級了，為了不耽誤爸爸、媽媽的工作，聰聰決定一個人從鄉(xiāng)下乘車回家，不讓大人接送，于是他一個人來到車站買票上車??

[將數(shù)學(xué)與生活情境緊密聯(lián)系，讓初入學(xué)的小學(xué)生真切感受到數(shù)學(xué)就在身邊，對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生親切感。] a.教師演示“買票”課件。

b.學(xué)生觀察畫面，然后以小組為單位，每個人都說一說畫面上有哪些人？，小聰聰后面的解放軍叔叔排第幾

學(xué)生說的時候教師到處各組巡視、傾聽，并加以指導(dǎo)。c.各小組抽代表匯報交流。

d.師：看到聰聰一個人排隊買票的情境，同學(xué)們除了知道一共有5個人在排隊買票，以及每個人所處的位置外，你還看到了什么，想到了什么？

引導(dǎo)學(xué)生明白：

自己已經(jīng)是小學(xué)生了，自己能做的事要自己去做，在外出的時候，要養(yǎng)成遵守公共秩序、文明守紀(jì)的良好品德。

[充分利用教材的可教育資源，適時對學(xué)生進行遵守社會公共秩序、文明守紀(jì)的教育，使思想品德教育做到“隨風(fēng)潛入夜，潤物細(xì)無聲”，學(xué)生易于接受。] 2．動畫展示：穿紅衣服的阿姨買好票走了，后面的人依次上前。a.教師提問：“這時有幾個有在買票？小聰聰排第幾？聰聰后面有幾個人？”同樣先在小組內(nèi)交流，再全班交流。

b.教師操作課件，出示正確答案，強調(diào)觀察的順序和方向。鞏固練習(xí)，強化對自然序數(shù)的理解

1．多媒體演示：全家福照片，學(xué)生根據(jù)要求，自己思考，然后匯報結(jié)果。2．出示書上的作業(yè)，學(xué)生以小組的形式討論，共尋規(guī)律，完成填空。[適時安排兩道基礎(chǔ)性的練習(xí)，強化和鞏固了學(xué)生對“前后”的感知和認(rèn)識，同時感受家庭的溫暖] 動手操作，深化感知

1．學(xué)生拿出4個正方形學(xué)具片和1個圓片，先獨立擺一擺，把擺的結(jié)果在小組內(nèi)與同學(xué)說一說，看看圓片可以放在哪些位置上？

2．教師說要求，學(xué)生擺學(xué)具。

a.讓學(xué)生試試把圓片放在第2的位置上，可以怎樣放？ b.學(xué)生擺，教師觀察、巡視。

c.對學(xué)生的以下兩種擺法，提出討論：為什么把○放在第2位會產(chǎn)生兩種不同擺法？

□○□□□

□□□○□ 引導(dǎo)學(xué)生體會“前后”的相對性。

[“前后”是相對的。通過學(xué)生動手操作，讓其在具體的操作中感知和體驗“前后”的相對性，使知識得以向縱深發(fā)展，同時鼓勵并肯定學(xué)生豐富多樣的拼擺，活躍了學(xué)生的思維，激發(fā)了學(xué)生的創(chuàng)造力。] 寓教于樂，拓展應(yīng)用知識

師：剛才同學(xué)們學(xué)習(xí)很認(rèn)真，下面我們一起來做一個游戲──開火車。選出幾名學(xué)生跟在教師身后，組成一列“火車”，圍繞教室內(nèi)的過道緩慢“行駛”。

1．其余學(xué)生觀察組成“火車”的人數(shù)以及教師和每位同學(xué)在隊列中的位置，并與同桌交流。

2．“火車”改變前進的方向，“火車頭”變?yōu)椤盎疖囄病保^察并說出這時老師和每個同學(xué)在隊列中的位置。

3．引導(dǎo)學(xué)生明白：方向不同，其結(jié)果也就不同。

[以游戲為載體進行教育，能化抽象為具體，化枯燥為愉悅，從而實現(xiàn)學(xué)生在輕松快樂的氛圍中深化感知。] 全課小結(jié)（略）

第四篇：橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

§14.2橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教材分析

本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，對曲線和方程的概念有了一些了解，對用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步認(rèn)識的基礎(chǔ)上，進一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo)法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容之一。

二、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識目標(biāo)

1、理解并掌握橢圓的定義，明確焦點、焦距的概念；

2、掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（二）能力目標(biāo)

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認(rèn)識規(guī)律并利用規(guī)律解決實際問題的能力。

（三）德育目標(biāo)

1、使學(xué)生認(rèn)識并理解世間一切事物的運動都是有規(guī)律的；

2、使學(xué)生通過運動規(guī)律，認(rèn)清事物運動的本質(zhì)。

三、教學(xué)重、難點及關(guān)鍵

1、重點：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、難點：橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

3、關(guān)鍵：突破難點要抓住“建立坐標(biāo)系”和“化簡方程”兩個環(huán)節(jié)。

四、教學(xué)方法

主要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合

五、教具

主要采用多媒體課件

六、教學(xué)過程

1、創(chuàng)設(shè)情景、引入概念

（多媒體演示）展示相應(yīng)的圖片，讓學(xué)生在感受美的同時也了解到本節(jié)課所要研究的圖形——橢圓。

提問：這些圖片中的實物的形狀是什么的圖形？ 學(xué)生回答：橢圓

請同學(xué)再列舉一些橢圓形的例子，教師指出橢圓在生活中很常見，今天我們就一起學(xué)習(xí)----橢圓（給出課題）。

教師指出：通過前面的學(xué)習(xí)知道，圓是平面內(nèi)與定點的距離等于定長的點的軌跡，那么橢圓又是滿足什么條件的點的軌跡呢？我們一起來探究。

2、新知探究、形成概念

利用多媒體演示橢圓的畫法。

依據(jù)多媒體演示的畫法，請學(xué)生思考：圖中哪些量是不變的，哪些量是可變化的，試著用自己的語言說一說怎樣形成橢圓？

讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備的紙板、細(xì)繩、圖釘，根據(jù)自己得出的橢圓畫法，試著用手中的工具畫出橢圓。讓學(xué)生動手，使其嘗試到成功的喜悅，同時提醒學(xué)生注意繩長要大于兩圖釘之間的距離。

教師啟發(fā)、提問，并由學(xué)生歸納出橢圓的定義。定義：平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)2a（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。其中兩個定點叫做焦點，兩焦點的距離叫做焦距，記為2c。

提問：若令M為橢圓上任意一點，可否把定義用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫出？

學(xué)生思考回答：|MF1|+|MF2|=2a 教師指出：此式稱為定義式，其應(yīng)用非常廣泛。

3、標(biāo)準(zhǔn)方程的猜測與推導(dǎo)

依據(jù)多媒體的動態(tài)數(shù)據(jù)來猜測橢圓的方程

問：請你猜測一下橢圓的方程？

x2y2學(xué)生:（2?2?1，a>b>0）

ab

根據(jù)一般的求軌跡方程步驟推導(dǎo)橢圓的方程。

(1)建系：以F1、F2所在直線為x軸，線段F1F2的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系。

(2)設(shè)點: 設(shè)M（x，y）是橢圓上任意一點，因|F1F2|=2c，則F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)（學(xué)生回答）

(3)列式: 讓學(xué)生自己列出：|MF1|+|MF2|=2a，并將其坐標(biāo)化后得：?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a

(4)化簡：(過程可以簡略，不作要求)

x2y2教師指出：方程2?2?1?a?b?0?叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，其焦點

ab在x軸上，焦點坐標(biāo)為F1(-c,0)，F(xiàn)2(c,0)且a2?b2?c2 啟發(fā)：若把坐標(biāo)系中的x軸、y軸的位置互換，橢圓的焦點位置如何？方程形式又如何？

y2x2讓學(xué)生合理猜想，得出：2?2?1

ab教師指出此方程同樣可用上述方法進行推導(dǎo)。思考：如何依據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程判斷焦點的位置？

學(xué)生觀察后可得出：含x2，y2的分式的分母誰大，焦點就在那個軸上。

五秒快速練習(xí)：判斷下列橢圓的焦點位置？

x2y2y2x21、??

12、??1

152053y2x2x2y23、??

14、??1

111825244、知識應(yīng)用

例1:已知橢圓的焦點在x軸上,焦距為8,橢圓上的點到兩個焦點的距離之和為10,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.先給學(xué)生提示，再讓學(xué)生自己動手做，并抽取兩位同學(xué)所做的進行講評,最后課件給出標(biāo)準(zhǔn)答案。例2:求下列橢圓的焦點和焦距

x2y2(1)??1；

（2）2x2?y2?16

54分析：解題關(guān)鍵是判斷橢圓的焦點在哪條坐標(biāo)軸上，方法是觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中含x項與含y項的分母，哪項的分母大，焦點就在哪條坐標(biāo)軸上。學(xué)生先做，然后課件給出正解。

分組練習(xí)：求橢圓的焦距與焦點坐標(biāo)？

x2y2①??1 156x2y2?1 ②?25169??3,0?，焦距2c?6焦點坐標(biāo)為?0,?12?，焦距2c?24焦點坐標(biāo)為請學(xué)生給出結(jié)果，體會成功的喜悅。同時給出練習(xí)③9x2?25y2?225讓學(xué)生獨立完成，并對學(xué)生所做的進行講評。

5、歸納小結(jié)

（1）知識小結(jié)：引導(dǎo)學(xué)生歸納，最后教師給出知識結(jié)構(gòu)圖。（2）方法小結(jié)：（教師小結(jié)）

①用坐標(biāo)法研究曲線；

②用運動、變化的觀點分析問題；

6、作業(yè)：練習(xí)冊相應(yīng)的練習(xí)。

第五篇：第一輪復(fù)習(xí)教案之---橢圓

圓錐曲線與方程橢圓

1．橢圓定義：一個動點P，平面內(nèi)與兩定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)

（PF1?PF2=2a（a為常數(shù)）2a＞F1F2）的點的軌跡叫做橢圓．

?若2a＞F1F2，則動點P的軌跡是橢圓

?若2a=F1F2，則動點P的軌跡是線段F1F2

?若2a＜F1F2，則動點P無軌跡 其中：兩個定點叫做橢圓的焦點，焦點間的距離叫做焦距；定直線叫做準(zhǔn)線。

常數(shù)叫做離心率。

第二定義：平面內(nèi)與一個定點的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)e(0?e?1)的點的軌跡。2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點在x軸上時，方程為x2y2a2?b2?1(a?b?0)焦點F1(?c,0)F2(c,0)

y2焦點在y軸上時，方程為a2?x2b2?1(a?b?0)焦點F注:c2?a2?b21(0,?c)F2(0,c)

橢圓的一般方程：mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n)

參數(shù)方程 ?x?acos??(?為參數(shù))?y?bsin?

3．橢圓x2y2a2?b2?1(a?b?0)的性質(zhì)：

(1)范圍：?a?x?a，?b?y?b(2)對稱性：關(guān)于x軸、y軸、原點對稱(3)頂點坐標(biāo)、焦點坐標(biāo)是(?c，0)

(4)長軸長2a、短軸長2b、焦距2c、長半軸a、短半軸b、半焦距c 2(5)橢圓x2y2a2?b2?1(a?b?0)的，準(zhǔn)線方程是x??ac，準(zhǔn)線到中心的距離為

a2c.2b22通徑的長是b2a，通徑的一半(半通徑)：

ba，焦準(zhǔn)距（焦點到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離）

c． 2(6)離心率e?ca?c2a2?1?ba2?cos?B2F2O，離心率越大，橢圓越扁

22(7)焦半徑：若點P(x0,y0)是橢圓

xa2?yb2?1(a?b?0)上一點，F(xiàn)1、F2是其左、右焦點，a2PFa2焦半徑的長：PF1?e(x0?c)?a?ex0和2?e(x0?c)?a?ex0．

4．橢圓的的內(nèi)外部：

（1）點P(xx22220,y0)在橢圓a2?yb2?1(a?b?0)的內(nèi)部?x0y0a2?b2?1（2）點P(xx2220,y0)在橢圓a2?yb2?1(a?b?0)的外部?x0y20a2?b2?1

5．橢圓系方程：

2222與橢圓xa2?yb2?1(a?b?0)共焦點的橢圓系方程可設(shè)為：是

xa2???yb2???1（b2???0）．22與橢圓xyx22y22a2?b2?1(a?b?0)有相同離心率的橢圓系方程可設(shè)為：a2?yb2??或a2?xb2??.補充性質(zhì)：

1.若Px2y2x0xy0y0(x0,y0)在橢圓a2?b2?1上，則過P0的橢圓的切線方程是

a2?b2?1.222.若P0(x0,y0)在橢圓xa2?yPb2?1外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、2，則切點弦Px1P2的直線方程是0xa2?y0yb2?1.3.以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準(zhǔn)線相離.4.以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.225.橢圓xa2?yb2?1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn) 2，點P為橢圓上任意一點?F1PF2??，則橢圓的焦點角形的面積為S2??F1PF2?btan2.26.AB是橢圓xy2a2?b2?1的不平行于對稱軸的弦，M(x0,y0)為AB的中點，22則kOM?kb0AB??a2，即KAB??bxa2y。

0

7.若P0(x0,y0)在橢圓

8.若P0(x0,y0)在橢圓xa22xa22?yb22?1內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是

x0xa2?y0yb2?x0a22?y0b22.?yb22?1內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是

xa22?yb22?x0xa2?y0yb2.9.點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角.10.PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點.11.設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交 P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點，則MF⊥NF.12.過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.13.已知橢圓（1）1|OP|2xa22?yb122?1（a＞b＞0），O為坐標(biāo)原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP?OQ.?1a2?xa22|OQ|?yb222?1b2;（2）|OP|+|OQ|的最大值為

24ab2222a?b;（3）S?OPQ的最小值是

ab2222a?b.14.P為橢圓?1（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點共線時，等號成立.例 題 分 析

例1 已知橢圓mx2?3y2?6m?0的一個焦點為（0，2）求m的值．（故m?5．）

例 2（1）已知方程x2k?5?y23?k??1表示橢圓，求k的取值范圍．

（2）已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦點在y軸上的橢圓，求?的取值范圍．

??(?2,34解：（1）滿足條件的k的取值范圍是3?k?5，且k?4．（2）

1?)．

說明：(1)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程知sin?2?0?1cos?b2?0，1，這是容易忽視的地方．

1cos?，sin?．(2)由焦點在y軸上，知

(3)求?的取值范圍時，應(yīng)注意題目中的條件0????

a???

例3（1）已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P?3，0?，a?3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

453253（2）已知P點在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點P到兩焦點的距離分別為和，過P點作焦點所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個焦點，求橢圓方程．

（3）已知動圓P過定點A??3，?x?3??y2?64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，0?，且在定圓B：2求動圓圓心P的軌跡方程．

（4）求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3,?2)和B(?23,1)兩點的橢圓方程．

x215?y25?1

（5）知圓x2?y2?1，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段，求線段中點M的軌跡．4x2?y2?1．

x2解：（1）故橢圓的方程為9?y?12y2 或 81?x29?1x2（2）所求橢圓方程為5?3y102?13x或102?y25?1

（3）分析：關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出點P滿足的關(guān)系式．

解：如圖所示，設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M．動點P到兩定點，即定點即A??3，0?和定圓圓心B?3，0?距離之和恰好等于定圓半徑，．∴點P的軌跡是以A，B為兩焦點，PA?PB?PM?PB?BM?8x半長軸為4，半短軸長為b?2．

說明：本題是先根據(jù)橢圓的定義，判定軌跡是橢圓，然后根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求軌跡的方程． 這是求軌跡方程的一種重要思想方法．

4?3?227的橢圓的方程：16?y27?1

例4 ?ABC的底邊BC?16，AC和AB兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點A的軌跡．

x分析：（1）由已知可得

2GC?GB?20，再利用橢圓定義求解．故其方程為100?y236?1?y?0?

x2（2）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程．A的軌跡方程為900?y2324?1?y?0?，其軌跡是橢圓（除去x軸上兩點）．

2例5 已知橢圓x?y2?1，（1）求過點P??1，1??且被2P平分的弦所在直線的方程； ?22?（2）求斜率為2的平行弦的中點軌跡方程；

（3）過A?2，1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點的軌跡方程；

（4）橢圓上有兩點P、Q，O為原點，且有直線OP、OQ斜率滿足k1OP?kOQ??2，求線段PQ中點M的軌跡方程．

分析：此題中四問都跟弦中點有關(guān)，因此可考慮設(shè)弦端坐標(biāo)的方法． 解：設(shè)弦兩端點分別為M?x1，y1?，N?x2，y2?，線段MN的中點R?x，y?，則

?x21?2y21?2，①?①－②得

?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．

?x22y22?2?2，②x2?由題意知

x1?x2，則上式兩端同除以

x1?，有?x1?x2?2x，③??x1?x2?2?y1?y2?y1?y2?y1?y2?2y，④x?01?x2，x?2yy1?y2將③④代入得

xx?01?2．⑤

x?1?1y1?y2??1（1）將2y，2代入⑤，得x1?x22，故所求直線方程為：

2x?4y?3?0． ⑥

2y?122?0??36?4?6?1將⑥代入橢圓方程x?2y?26y?6得

4，4?0符合題意，2x?4y?3?0為所求．

y1?y2?2（2）將x1?x2代入⑤得所求軌跡方程為：

x?4y?0．（橢圓內(nèi)部分）

y1?y2x?y?122（3）將1?x2x?2代入⑤得所求軌跡方程為：

x?2y?2x?2y?0．（橢圓內(nèi)部分）

x1?x2（4）由①＋②得

：

21222222?y1?y2?2?22?，⑦，將③④平方并整理得

222x?x?4x?2x1x2，⑧，y1?y2?4y?2y1y2，⑨

4x?2x1x2將⑧⑨代入⑦得：

24?4y?2y1y2?2?2?，⑩

?1?2x?x1x2?4y?2??x1x2??2y1y2??x1x2?2?2再將代入⑩式得：

，即

122x?2y212?1．

此即為所求軌跡方程．當(dāng)然，此題除了設(shè)弦端坐標(biāo)的方法，還可用其它方法解決．

xy例6已知橢圓C：??1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y?4x?m，橢圓C上有不同的兩點4322關(guān)于該直線對稱．

分析：若設(shè)橢圓上A，B兩點關(guān)于直線l對稱，則已知條件等價于：(1)直線AB?l；(2)弦AB的中點M在l上．利用上述條件建立m的不等式即可求得m的取值范圍．

解：(法1)設(shè)橢圓上A(x1,y1)，B(x2,y2)兩點關(guān)于直線l對稱，直線AB與l交于M(x0,y0)點．

1?y??x?n,??4?221?x?y?1,y??x?nk?4?y43∵l的斜率l，∴設(shè)直線AB的方程為．由方程組?4消去得

13．于是213，413，13x?8nx?16n?48?0

①?！?n12n4n13(,)n?4??mn??my?4x?m1313134MM即點的坐標(biāo)為．∵點在直線上，∴．解得． ②

將式②代入式①得13x?26mx?169m?48?0

③ 2222x1?x2?8nx0?x1?x2?4ny0??1x0?n?12n??(26m)?4?13(169m?48)?0∵A，B是橢圓上的兩點，∴．解得n??(法2)同解法1得出

22?21313?m?21313．

13414m，∴

x0?134413(?134m)??m，即M點坐標(biāo)為y0??14x0?134m???(?m)?m??3m(?m,?3m)．

2(?m)∵A，B為橢圓上的兩點，∴M點在橢圓的內(nèi)部，∴(法3)設(shè)

24?(?3m)3?1．解得

?21313?m?21313．

A(x1,y1)，B(x2,y2)x12(x,y0)是橢圓上關(guān)于l對稱的兩點，直線AB與l的交點M的坐標(biāo)為0．

x2，42∵A，B在橢圓上，∴4?y132?1?y232?1．兩式相減得

3(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0，y1?y2即3?2x0(x1?x2)?4?2y0(y1?y2)?0kAB?kl??1．∴

x1?x2?4??1??3x04y0(x1?x2)．

?，∴

3x04y0又∵直線AB?l，∴，即

y0?3x0 ①。又M點在直線l上，∴y0?4x0?m

②。由①，②得M點的坐標(biāo)為(?m,?3m)．以下同解法2.說明：涉及橢圓上兩點A，B關(guān)于直線l恒對稱，求有關(guān)參數(shù)的取值范圍問題，可以采用列參數(shù)滿足的不等式：(1)利用直線AB與橢圓恒有兩個交點，通過直線方程與橢圓方程組成的方程組，消元后得到的一元二次方程的判別式??0，建立參數(shù)方程．

x0(2)利用弦AB的中點

2M(x0,y0)在橢圓內(nèi)部，滿足a?y0b2?1，將

x0，y0利用參數(shù)表示，建立參數(shù)不等式．

補充練習(xí)

1.求適合條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（1）長軸長是短軸長的2倍，且過點?2，?6?；

x2222148?y37?1或

y52?x13x?1．

2（2）在x軸上的一個焦點與短軸兩端點的聯(lián)機互相垂直，且焦距為6．

18?y29?1

（3）橢圓的一個頂點為A?2，0?，其長軸長是短軸長的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

x2分析：題目沒有指出焦點的位置，要考慮兩種位置．4?y216?1x2或4?y21?1

（4）

已知中心在原點，焦點在x軸上的橢圓與直線x?y?1?0交于A、B兩點，M為AB中點，OM 的斜率為0.25，橢圓的短軸長為2，求橢圓的方程．

說明：（1）此題求橢圓方程采用的是待定系數(shù)法；（2）直線與曲線的綜合問題，經(jīng)常要借用根與系數(shù)的關(guān)系，來解決弦長、弦中點、弦斜率問題．

x24?y?1

2（5）求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3,?2)和B(?23,1)兩點的橢圓方程．??1

155

x2y22.一個橢圓的焦點將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率．e?1354?33

3.已知橢圓x2k?8x22?y29yb22?1的離心率e?12，求k的值．k?4或k??．

4.已知橢圓4b??1上一點P到右焦點F2的距離為b(b?1)，求P到左準(zhǔn)線的距離．23b．

分析：利用橢圓的兩個定義，或利用第二定義和橢圓兩準(zhǔn)線的距離求解．

5.已知橢圓 x29?y25?1內(nèi)有一點A(1,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上一點．(1)求PA?PF1的最大值、最小值及對應(yīng)的點P坐標(biāo) ；

6?(2)求PA?22．6?2

32PF2的最小值及對應(yīng)的點P的坐標(biāo)．

P坐標(biāo)(655,1)

6.(1)寫出橢圓x9?y24?1的參數(shù)方程；

?2(2)求橢圓內(nèi)接矩形的最大面積．S?4?3cos??2sin??12sin2??12(0???x2)

7.求橢圓3?y?1上的點到直線x?y?6?0的距離的最小值． 2分析：先寫出橢圓的參數(shù)方程，由點到直線的距離建立三角函數(shù)關(guān)系式，求出距離的最小值．d最小值?22

8.已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．

5252（1）當(dāng)m為何值時，直線與橢圓有公共點？??m?

（2）若直線被橢圓截得的弦長為

2105，求直線的方程．方程為y?x

9.以橢圓x212?y23?1的焦點為焦點，過直線l：x?y?9?0上一點M作橢圓，要

使所作橢圓的長軸最短，點M應(yīng)在何處？并求出此時的橢圓方程．

x245?y236?1

分析：橢圓的焦點容易求出，按照橢圓的定義，本題實際上就是要在已知直線上找一點，使該點到直線同側(cè)的兩已知點（即兩焦點）的距離之和最小，只須利用對稱就可解決．

10.橢圓x225?y92?9??1上不同三點A?x1，y1?，B?4，?，C?x2，y2?與焦點F?4，0?的距離成等差數(shù)列．

?5?（1）求證x1?x2?8；（2）若線段AC的垂直平分線與x軸的交點為T，求直線BT的斜率k． 證明：（1）由橢圓方程知a?5，b?3，c?4． 由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知：

AFa2?ca，∴

AF?a?ex1?5?45x1．同理

CF?5?45x2．

c?x195∵

AF?CF?2BF，且BF?，∴

?5???4???18，即

x1?x2?8． x1???5?x2??5??55?4 8（2）因為線段AC的中點為?4，1??y?y2??，所以它的垂直平分線方程為 2?

y?y1?y22?x1?x2y1?y2?x?4?．

y1?y222又∵點T在x軸上，設(shè)其坐標(biāo)為?x0，0?，代入上式，得 x0?4?又∵點A?x1，y1?，B?x2，y2?都在橢圓上，∴ y12?9252?x1?x2?

?25?x?

21y2?2925?25?x?∴

22y1?y2??22925?x1?x2??x1?x2?．

將此式代入①，并利用x1?x2?8的結(jié)論得

x0?4??362∴ kBT?055??．

4?x04911.橢圓xa22?yb22?1(a?b?0)與x軸正向交于點A，若這個橢圓上總存在點P，使OP?AP

(O為坐標(biāo)原點)，求其離心率e的取值范圍．

分析：∵O、A為定點，P為動點，可以P點坐標(biāo)作為參數(shù)，把OP?AP，轉(zhuǎn)化為P點坐標(biāo)的一個等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于a、b、c的一個不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運用橢圓參數(shù)方程．

解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是??x?acos??y?bsin?(a?b?0)，則橢圓上的點P(acos?,bsin?)，A(a,0)，bsin?acos?bsin?acos??a∵OP?AP，∴???1，即(a?b)cos??acos??b?0，解得cos??1或cos??22222b222a?b，∵?1?cos??1 ∴cos??1（舍去），?1?b222a?b22?1，又b?a?c

222∴0?ac22?2，∴e?22，又0?e?1，∴?e?1．

說明：若已知橢圓離心率范圍（22,1)，求證在橢圓上總存在點P使OP?AP．如何證明？ 12.已知橢圓x24?y32?1，F(xiàn)1、F2為兩焦點，問能否在橢圓上找一點M，使M到左準(zhǔn)線l的距離MN

是MF1與MF2的等比中項？若存在，則求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 解：假設(shè)M存在，設(shè)M?x1，y1?，由已知條件得

a?2，b?3，∴c?1，e?12．

∵左準(zhǔn)線l的方程是x??4，∴MN?4?x1． 又由焦半徑公式知：MF1?a?ex1?2?∵MN212x1，MF2?a?ex1?2?12x1．

1??1??22?MF1?MF2，∴?x1?4???2?x1??2?x1?．整理得5x1?32x1?48?0．

2??2??125解之得x1??4或x1??．

①

另一方面?2?x1?2．

② 則①與②矛盾，所以滿足條件的點M不存在．

說明：（1）利用焦半徑公式解?？珊喕忸}過程．

（2）本例是存在性問題，解決存在性問題，一般用分析法，即假設(shè)存在，根據(jù)已知條件進行推理和運算．進而根據(jù)推理得到的結(jié)果，再作判斷．

（3）本例也可設(shè)M2cos?，3sin?存在，推出矛盾結(jié)論（讀者自己完成）． 13.已知長軸為12，短軸長為6，焦點在x軸上的橢圓，過它對的左焦點F1作傾斜解為B兩點，求弦AB的長． ???3的直線交橢圓于A，分析：可以利用弦長公式AB?1?k2x1?x2?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]求得，22也可以利用橢圓定義及余弦定理，還可以利用焦點半徑來求． 解：(法1)利用直線與橢圓相交的弦長公式求解． AB?1?k2x1?x2?22(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]．因為a?6，b?3，所以c?33．因為焦點在x軸上，所以橢圓方程為x236?y29?1，左焦點F(?33,0)，從而直線方程為y?3x?9．

由直線方程與橢圓方程聯(lián)立得：13x?723x?36?8?0．設(shè)x1，x2為方程兩根，所以x1?x2??x1x2?36?813272313，k?3，從而AB?1?k2x1?x2?(1?k)[(x1?x2)?4x1x2]?224813．

(法2)利用橢圓的定義及余弦定理求解． 由題意可知橢圓方程為2x236?y292?1，設(shè)AF1?m，BF1?n，則AF2?12?m，BF2?12?n．

?F1F22在?AF1F2中，AF2所以m?64?3?AF1?2AF1F1F2cos?3，即(12?m)2?m2?36?3?2?m?63?6481312；

．同理在?BF1F2中，用余弦定理得n?4?3，所以AB?m?n?．

(法3)利用焦半徑求解．

先根據(jù)直線與橢圓聯(lián)立的方程13x?723x?36?8?0求出方程的兩根x1，x2，它們分別是A，B的橫坐標(biāo)．再根據(jù)焦半徑AF1?a?ex1，BF1?a?ex2，從而求出AB?AF1?BF1．

14.已知P(4,2)是直線l被橢圓

x2236?y29?1所截得的線段的中點，求直線l的方程．

分析：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系問題．通常將直線方程與橢圓方程聯(lián)立消去y(或x)，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，再由根與系數(shù)的關(guān)系，直接求出x1?x2，x1x2(或y1?y2，y1y2)的值代入計算即得． 并不需要求出直線與橢圓的交點坐標(biāo)，這種“設(shè)而不求”的方法，在解析幾何中是經(jīng)常采用的．

解：方法一：設(shè)所求直線方程為y?2?k(x?4)．代入橢圓方程，整理得

(4k?1)x?8k(4k?2)x?4(4k?2)?36?0 ①

222 設(shè)直線與橢圓的交點為A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1、x2是①的兩根，∴x1?x2?∵P(4,2)為AB中點，∴4?x1?x22?4k(4k?2)4k?128k(4k?2)4k?12，k??12．∴所求直線方程為x?2y?8?0．

方法二：設(shè)直線與橢圓交點A(x1,y1)，B(x2,y2)．∵P(4,2)為AB中點，∴x1?x2?8，y1?y2?4． 又∵A，B在橢圓上，∴x1?4y1?36，x2?4y2?36兩式相減得(x1?x2)?4(y1?y2)?0，即(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0．∴

y1?y2x1?x2??(x1?x2)4(y1?y2)??1222222222．∴直線方程為x?2y?8?0．

方法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個交點為A(x,y)，另一個交點B(8?x,4?y)．

∵A、B在橢圓上，∴x?4y?36

①。

(8?x)?4(4?y)?36

②

B的直線只有一條，從而A，B在方程①－②的圖形x?2y?8?0上，而過A、∴直線方程為x?2y?8?0． 2222說明：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是重點考查的解析幾何問題，“設(shè)而不求”的方法是處理此類問題的有效方法．若已知焦點是(33,0)、(?33,0)的橢圓截直線x?2y?8?0所得弦中點的橫坐標(biāo)是4，則 如何求橢圓方程？

xy15.已知橢圓C：2?2?1?a?b?0?，A、B是其長軸的兩個端點．

ab22（1）過一個焦點F作垂直于長軸的弦PP?，求證：不論a、b如何變化，?APB?120?．（2）如果橢圓上存在一個點Q，使?AQB?120?，求C的離心率e的取值范圍．

分析：本題從已知條件出發(fā)，兩問都應(yīng)從?APB和?AQB的正切值出發(fā)做出估計，因此要從點的坐標(biāo)、斜率入手．本題的第（2）問中，其關(guān)鍵是根據(jù)什么去列出離心率e滿足的不等式，只能是橢圓的固有性質(zhì)：x?a，y?b，根據(jù)?AQB?120得到

?2ayx?y?a222??3，將x?a?22ab22y代入，消去x，2用a、b、c表示y，以便利用y?b列出不等式．這里要求思路清楚，計算準(zhǔn)確，一氣呵成． ?x?c?b2?P?解：（1）設(shè)F?c，0?，A??a，0?，B?a，0?．

?222222?c，a??bx?ay?ab?? ??于是kAP?b2a?c?a?，kBP?b2a?c?a?．

22b∵?APB是AP到BP的角．∴tan?APB?a?c?a?1?2?b4a?c?a?22b??2ac22

ac?a??∵a2?c2∴tan?APB??2

?故tan?APB??3

∴?APB?120．

（2）設(shè)Q?x，y?，則kQA?yx?a，kQB?yx?a．

由于對稱性，不妨設(shè)y?0，于是?AQB是QA到QB的角．

y?y2ayx?a? 2222yx?y?a2∴tan?AQB?x?a1?x?a2∵?AQB?120，∴?2ayx?y?a222??3

整理得3?x?y?a222??2ay?0∵x?a?22ab22y 12 ∴3??a2??1?b2?2?y?2ay?0

??2∵y?0，∴y?2ab2

3c2∵y?b，∴2ab3c2?b

2ab?3c2，4a2?a2?c2??3c2

∴4c4?4a2c2?4a4?0，3e4?4e2?4?0∴e2?32或e2??2（舍），∴

63?e?1．