第一篇：“橢圓世界”教案

第二章第二節(jié)“橢圓世界”教案

講課人：楊 薇 授課班級(jí)：三年級(jí) 上課時(shí)間：2007.11.30 課 型：新授課 運(yùn)用教具：計(jì)算機(jī)

計(jì)劃課時(shí)：１課時(shí) 教學(xué)方法：講解法、演示法、練習(xí)法、任務(wù)驅(qū)動(dòng)法

教學(xué)目的：１.通過學(xué)習(xí)學(xué)生可以熟練掌握橢圓工具的使用方法；

２.初步了解多邊形工具的使用方法； ３.能夠與其他工具配合進(jìn)行創(chuàng)作；

教學(xué)重點(diǎn)：畫圖軟件部分工具的應(yīng)用和操作。如：涂色工具、刷子、直線工具。教學(xué)難點(diǎn)：多邊形工具的具體操作。教學(xué)過程：

一、回顧舊知(5分鐘)1.正常開關(guān)機(jī)的順序（先開顯示器，再開主機(jī)）

學(xué)生共分為四組，每?jī)山M之間相互觀察開機(jī)的順序是否有錯(cuò)，錯(cuò)的及時(shí)糾正。2.在開機(jī)的過程中提問：誰(shuí)記得如何打開畫圖？

生思考，并舉手回答，老師作出評(píng)價(jià)。（開始——程序——附件——畫圖）3.觀察到大多數(shù)的計(jì)算機(jī)已經(jīng)打開，要求學(xué)生演示打開畫圖的過程，加深影象。4.復(fù)習(xí)上一節(jié)課的內(nèi)容，引入本節(jié)主題。

二、導(dǎo)入（2分鐘）

展示“圖1”，要求學(xué)生觀察，并回答問題： 1.圖上畫的是什么？（生回答：小雞）

2.大家仔細(xì)看看這只小雞是由那些圖形組成的呢？（生回答：圓形，三角形，直線）

3.那其中最多的圖形是什么？（生回答：圓形）

4.在我們的日常生活中還有什么是圓形的？（生回答：碗、盤子、水杯、太陽(yáng)、車輪、餅干??）

大家說的都很好，那么你們想學(xué)用計(jì)算機(jī)畫小雞嗎？（生：想）

三、新授（15分鐘）

好，現(xiàn)在我們就一起來學(xué)習(xí)利用橢圓工具畫出小雞。

1.老師語(yǔ)言描述，學(xué)生跟隨動(dòng)手，老師從旁指導(dǎo)個(gè)別基礎(chǔ)較差的學(xué)生（1）打開畫圖程序，看誰(shuí)作的又快又好；（2）在工具欄中選取“橢圓工具”選項(xiàng)；（3）按住鼠標(biāo)左鍵，畫一個(gè)圓。

好了，我看到大家都已經(jīng)畫出一個(gè)很好的圓了，下面就請(qǐng)大家自己先動(dòng)手畫一 畫小雞。

（4）時(shí)間到了，大家的小雞畫的怎么樣??？（生：不好）我看到有些同學(xué)已經(jīng)畫出來了，但是有些同學(xué)還沒有，別急，現(xiàn)在仔細(xì)聽老師教你們，到時(shí)候你們也一定會(huì)畫的很好的。2.實(shí)例講解，邊講解邊畫范圖

（1）畫雞身和雞頭（橢圓的畫法）

講解演示：?jiǎn)螕魴E圓工具，移動(dòng)十字光標(biāo)到繪圖區(qū)，按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)，圖形就會(huì)朝鼠標(biāo)器移動(dòng)方向延伸，放開鼠標(biāo)左鍵則完成雞身的繪畫。按此方法，可再畫出小雞頭。

（2）畫雞腳和雞嘴（直線的畫法）

講解演示：?jiǎn)螕糁本€工具，移動(dòng)十字形光標(biāo)到小雞身子的下面，按住鼠標(biāo)左鍵拖動(dòng)，直線就會(huì)朝鼠標(biāo)的移動(dòng)方向改變長(zhǎng)度和位置，放開鼠標(biāo)左鍵則完成直線繪制。按此方法，可畫出小雞的腳和嘴。（3）畫雞翅（曲線的畫法）

講解演示：?jiǎn)螕羟€工具，移動(dòng)十字形光標(biāo)到小雞身子的里面，先大概確定一下要畫的曲線的位置，在曲線的一個(gè)端點(diǎn)單擊一下左鍵，然后繼續(xù)按住鼠標(biāo)左鍵移動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn)，放開鼠標(biāo)左鍵，則在兩個(gè)端點(diǎn)之間出現(xiàn)一直線。再移動(dòng)光標(biāo)到所繪線條的中間位置，按下鼠標(biāo)左鍵慢慢向下拖動(dòng)，這時(shí)曲線弧度就會(huì)隨鼠標(biāo)的移動(dòng)方向而改變，滿意時(shí)放開鼠標(biāo)左鍵，并再次單擊鼠標(biāo)左鍵，完成曲線繪制。

（4）畫雞點(diǎn)“睛”（刷子的用法）

講解演示：?jiǎn)螕羲⒆庸ぞ撸苿?dòng)十字形光標(biāo)到雞頭的里面，選擇適當(dāng)位置單擊一個(gè)鼠標(biāo)左鍵即可。按此方法，可畫出小雞的眼睛。（5）給雞嘴上色（著色滾筒的用法）

講解演示：著色滾筒主要是在一個(gè)封閉的區(qū)域內(nèi)著色。單擊色滾筒工具，移動(dòng)光標(biāo)到雞嘴的位置，單擊鼠標(biāo)左鍵既可。3.現(xiàn)在大家應(yīng)該都可以畫出來了吧？那么接下來大家就繼續(xù)動(dòng)手畫吧，已經(jīng)畫好的同學(xué)可以參照老師的這副畫畫出一副完整的圖畫來（展示“圖2”）。4.觀察和指導(dǎo)學(xué)生練習(xí)。（10分鐘）5.解決學(xué)生在練習(xí)中反饋的問題（3分鐘）（1）畫圖窗口的最大化（點(diǎn)擊最大化按鈕）；（2）顏色的填充（沒有形成一個(gè)封閉的圖形）。6.與學(xué)生一起鑒賞好的作品。（10）

四、版書設(shè)計(jì)

第二章第二節(jié)畫小雞的操作步驟： A、畫雞身和雞頭（橢圓）B、畫雞腳和雞嘴（直線）C、畫雞翅（曲線）D、畫雞點(diǎn)“睛”（刷子）E、給雞嘴著色（著色滾筒）

橢圓世界

第二篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教案.doc

學(xué)習(xí)資 料

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式及其推導(dǎo)過程；

2．能根據(jù)條件確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3．通過對(duì)橢圓概念的引入教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和探索能力；

4．通過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，使學(xué)生進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數(shù)形結(jié)合和等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力；

5．通過讓學(xué)生大膽探索橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識(shí)．

教學(xué)建議 教材分析 1． 知識(shí)結(jié)構(gòu)

2．重點(diǎn)難點(diǎn)分析

重點(diǎn)是橢圓的定義及橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式．難點(diǎn)是橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)．關(guān)鍵是掌握建立坐標(biāo)系與根式化簡(jiǎn)的方法．

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)教材整體來看是兩大塊內(nèi)容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對(duì)橢圓的研究放在了重點(diǎn)，在雙曲線和拋物線的教學(xué)中鞏固和應(yīng)用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學(xué)好橢圓對(duì)于學(xué)生學(xué)好圓錐曲線是非常重要的．

（1）對(duì)于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點(diǎn)所要滿足的條件，即橢圓上點(diǎn)的幾何性質(zhì)，可以對(duì)比圓的定義來理解．

另外要注意到定義中對(duì)“常數(shù)”的限定即常數(shù)要大于 現(xiàn)兩種特殊情況，即：“當(dāng)常數(shù)等于

．這樣規(guī)定是為了避免出

時(shí)無(wú)軌

時(shí)軌跡是一條線段；當(dāng)常數(shù)小于

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跡”．這樣有利于集中精力進(jìn)一步研究橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)．但講解橢圓的定義時(shí)注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對(duì)橢圓定義的準(zhǔn)確性．

（2）根據(jù)橢圓的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)注意下面幾點(diǎn)：

①曲線的方程依賴于坐標(biāo)系，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，是求曲線方程首先應(yīng)該注意的地方．應(yīng)讓學(xué)生觀察橢圓的圖形或根據(jù)橢圓的定義進(jìn)行推理，發(fā)現(xiàn)橢圓有兩條互相垂直的對(duì)稱軸，以這兩條對(duì)稱軸作為坐標(biāo)系的兩軸，不但可以使方程的推導(dǎo)過程變得簡(jiǎn)單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡(jiǎn)潔．

②設(shè)橢圓的焦距為，橢圓上任一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離為，令，這些措施，都是為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過程和最后得到的方程形式整齊、簡(jiǎn)潔，要讓學(xué)生認(rèn)真領(lǐng)會(huì)．

③在方程的推導(dǎo)過程中遇到了無(wú)理方程的化簡(jiǎn)，這既是我們今后在求軌跡方程時(shí)經(jīng)常遇到的問題，又是學(xué)生的難點(diǎn)．要注意說明這類方程的化簡(jiǎn)方法：①方程中只有一個(gè)根式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一側(cè)，把其他項(xiàng)移至另一側(cè)；②方程中有兩個(gè)根式時(shí)，需將它們分別放在方程的兩側(cè)，并使其中一側(cè)只有一項(xiàng)．

④教科書上對(duì)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，實(shí)際上只給出了“橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)都適合方程

“而沒有證明，”方程 的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在橢圓上”．這實(shí)際上是方程的同解變形問題，難度較大，對(duì)同學(xué)們不作要求．

（3）兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓異同點(diǎn)

中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)分別在 軸上，軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：，．它們的相同點(diǎn)是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點(diǎn)是：兩種橢圓相對(duì)于坐標(biāo)系的位置不同，它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不同．

橢圓的焦點(diǎn)在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項(xiàng)的分母較大；

橢圓的焦點(diǎn)在 軸上 標(biāo)準(zhǔn)方程中 項(xiàng)的分母較大．

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學(xué)習(xí)資 料

另外，形如 中，只要，同號(hào)，就是橢圓方程，它可以化為

．

（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個(gè)作用：第一是教給學(xué)生利用中間變量求點(diǎn)的軌跡的方法；第二是向?qū)W生說明，如果求得的點(diǎn)的軌跡的方程形式與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相同，那么這個(gè)軌跡是橢圓；第三是使學(xué)生知道，一個(gè)圓按某一個(gè)方向作伸縮變換可以得到橢圓． 教法建議

（1）使學(xué)生了解圓錐曲線在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣．

為激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)圓錐曲線的興趣，體會(huì)圓錐曲線知識(shí)在實(shí)際生活中的作用，可由實(shí)際問題引入，從中提出圓錐曲線要研究的問題，使學(xué)生對(duì)所要研究的內(nèi)容心中有數(shù)，如書中所給的例子，還可以啟發(fā)學(xué)生尋找身邊與圓錐曲線有關(guān)的例子。

例如，我們生活的地球每時(shí)每刻都在環(huán)繞太陽(yáng)的軌道——橢圓上運(yùn)行，太陽(yáng)系的其他行星也如此，太陽(yáng)則位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上．如果這些行星運(yùn)動(dòng)的速度增大到某種程度，它們就會(huì)沿拋物線或雙曲線運(yùn)行．人類發(fā)射人造地球衛(wèi)星或人造行星就要遵循這個(gè)原理．相對(duì)于一個(gè)物體，按萬(wàn)有引力定律受它吸引的另一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，不可能有任何其他的軌道．因而，圓錐曲線在這種意義上講，它構(gòu)成了我們宇宙的基本形式，另外，工廠通氣塔的外形線、探照燈反光鏡的軸截面曲線，都和圓錐曲線有關(guān)，圓錐曲線在實(shí)際生活中的價(jià)值是很高的．

（2）安排學(xué)生課下切割圓錐形的事物，使學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷

為了讓學(xué)生了解圓錐曲線名稱的來歷，但為了節(jié)約課堂時(shí)間，教學(xué)時(shí)應(yīng)安排讓學(xué)生課后親自動(dòng)手切割圓錐形的蘿卜、膠泥等，以加深對(duì)圓錐曲線的認(rèn)識(shí)．

（3）對(duì)橢圓的定義的引入，要注意借助于直觀、形象的模型或教具，讓學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)入手，逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，形成正確的概念。

教師可從太陽(yáng)、地球、人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道，談到圓蘿卜的切片、陽(yáng)光下圓盤在地面上的影子等等，讓學(xué)生先對(duì)橢圓有一個(gè)直觀的了解。

教師可事先準(zhǔn)備好一根細(xì)線及兩根釘子，在給出橢圓在數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格定義之前，教師先在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)（兩定點(diǎn)之間的距離小于細(xì)線的長(zhǎng)度），再讓兩名學(xué)生按教師的要求在以上資料均從網(wǎng)絡(luò)收集而來

學(xué)習(xí)資 料

黑板上畫一個(gè)橢圓。畫好后，教師再在黑板上取兩個(gè)定點(diǎn)（兩定點(diǎn)之間的距離大于細(xì)線的長(zhǎng)度），然后再請(qǐng)剛才兩名學(xué)生按同樣的要求作圖。學(xué)生通過觀察兩次作圖的過程，總結(jié)出經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，教師因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生自己得出橢圓的嚴(yán)格的定義。這樣，學(xué)生對(duì)這一定義就會(huì)有深刻的了解。

（4）將提出的問題分解為若干個(gè)子問題，借助多媒體課件來體現(xiàn)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)

在教學(xué)時(shí)，可以設(shè)置幾個(gè)問題，讓學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦，獨(dú)立思考，自主探索，使學(xué)生根據(jù)提出的問題，利用多媒體，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、分析去尋找解決問題的途徑。在橢圓的定義的教學(xué)過程中，可以提出“到兩定點(diǎn)的距離的和為定值的點(diǎn)的軌跡一定是橢圓嗎”，讓學(xué)生通過課件演示“改變焦距或定值”，觀察軌跡的形狀，從而挖掘出定義的內(nèi)涵，這樣就使得學(xué)生對(duì)橢圓的定義留下了深刻的印象。

（5）注意橢圓的定義與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系

在講解橢圓的定義時(shí)，就要啟發(fā)學(xué)生注意橢圓的圖形特征，一般學(xué)生比較容易發(fā)現(xiàn)橢圓的對(duì)稱性，這樣在建立坐標(biāo)系時(shí)，學(xué)生就比較容易選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系了，即使焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，對(duì)稱中心是原點(diǎn)（此時(shí)不要過多的研究幾何性質(zhì)）．雖然這時(shí)學(xué)生并不一定能說明白為什么這樣選擇坐標(biāo)系，但在有了一定感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上再講解選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的一般原則，學(xué)生就較為容易接受，也向?qū)W生逐步滲透了坐標(biāo)法．

（6）推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)教師要注意化解難點(diǎn)，適時(shí)地補(bǔ)充根式化簡(jiǎn)的方法．

推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由于列出的方程為兩個(gè)跟式的和等于一個(gè)非零常數(shù)，化簡(jiǎn)時(shí)要進(jìn)行兩次平方，方程中字母超過三個(gè)，且次數(shù)高、項(xiàng)數(shù)多，教學(xué)時(shí)要注意化解難點(diǎn)，盡量不要把跟式化簡(jiǎn)的困難影響學(xué)生對(duì)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程的整體認(rèn)識(shí)．通過具體的例子使學(xué)生循序漸進(jìn)的解決帶跟式的方程的化簡(jiǎn)，即：（1）方程中只有一個(gè)跟式時(shí)，需將它單獨(dú)留在方程的一邊，把其他各項(xiàng)移至另一邊；（2）方程中有兩個(gè)跟式時(shí)，需將它們放在方程的兩邊，并使其中一邊只有一項(xiàng)．（為了避免二次平方運(yùn)算）

（7）講解了焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，教師要啟發(fā)學(xué)生自己研究焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后鼓勵(lì)學(xué)生探索橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的異同點(diǎn)，加深對(duì)橢圓的認(rèn)識(shí)．

（8）在學(xué)習(xí)新知識(shí)的基礎(chǔ)上要鞏固舊知識(shí)

橢圓也是一種曲線，所以第七章所講的曲線和方程的知識(shí)仍然使用，在推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中要注意進(jìn)一步鞏固曲線和方程的概念．對(duì)于教材上在推出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后，并沒有證明所求得的方程確是橢圓的方程，要注意向?qū)W生說明并不與前面所講的曲線和方程的概念矛盾，而是由于橢圓方程的化簡(jiǎn)過程是等價(jià)變形，而證明過程較繁，所以教材沒有要求也沒

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學(xué)習(xí)資 料

有給出證明過程，但學(xué)生要注意并不是以后都不需要證明，注意只有方程的化簡(jiǎn)是等價(jià)變形的才可以不用證明，而實(shí)際上學(xué)生在遇到一些具體的題目時(shí)，還需要具體問題具體分析．

（9）要突出教師的主導(dǎo)作用，又要強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，課上盡量讓全體學(xué)生參與討論，由基礎(chǔ)較差的學(xué)生提出猜想，由基礎(chǔ)較好的學(xué)生幫助證明，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)結(jié)協(xié)作的團(tuán)隊(duì)精神。

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第三篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

教學(xué)目標(biāo):

(一)知識(shí)目標(biāo)：掌握橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，能正確推導(dǎo)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)由標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的交點(diǎn)和焦距；

(二)能力目標(biāo)：通過對(duì)橢圓概念的引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析、探索的能力，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用代數(shù)法解決幾何問題的能力；

(三)情感目標(biāo)：激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、提高學(xué)生的審美情趣、培養(yǎng)學(xué)生勇于探索,敢于創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn):橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。教學(xué)難點(diǎn):橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

教學(xué)方法:探究式教學(xué)法（教師通過問題誘導(dǎo)→啟發(fā)討論→探索結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生直觀觀察→歸納抽象→總結(jié)規(guī)律，使學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí),能夠掌握方法、提升能力。）

教具準(zhǔn)備:自制教具(圓柱體、細(xì)繩)。

教學(xué)過程:(一)啟發(fā)誘導(dǎo)，推陳出新

1、復(fù)習(xí)舊知識(shí)：拉直一根細(xì)線，一端固定，作一個(gè)圓，由此回憶圓的定義（到一點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡），圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、提出新問題：到兩點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)是什么軌跡呢？ 嘗試作圖；

3、創(chuàng)設(shè)情境，引出課題：“橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程”。(二)小組合作，形成概念

下面請(qǐng)同學(xué)們思考下面的問題：

1、在作圖時(shí),視筆尖為動(dòng)點(diǎn)，線的兩個(gè)固定的端點(diǎn)為定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和符合什么條件？其軌跡如何？

2、改變兩端點(diǎn)之間的距離,使其與繩長(zhǎng)相等,畫出的圖形還是橢圓嗎？

3、當(dāng)繩長(zhǎng)小于兩圖釘之間的距離時(shí),還能畫出圖形嗎？

學(xué)生經(jīng)過動(dòng)手操作→獨(dú)立思考→小組討論→共同交流的探究過程，得出這樣三個(gè)結(jié)論：橢圓、線段、不存在。

歸納出橢圓的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于定長(zhǎng)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距。

(三)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1、建立適當(dāng)坐標(biāo)系（讓學(xué)生根據(jù)自己的經(jīng)驗(yàn)來確定）

原則：盡可能使方程的形式簡(jiǎn)單、運(yùn)算簡(jiǎn)單；主要應(yīng)使曲線對(duì)于坐標(biāo)軸具有較多的對(duì)稱性。

2、標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程如下：

①建立直角坐標(biāo)系：以直線F1F2為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建

立如圖所示的坐標(biāo)系；

②確定點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)F1F2?2c，則F1??c，0?，F(xiàn)2?c，0?，設(shè)P?x，y?是橢圓上的任意一點(diǎn)；

③設(shè)定長(zhǎng)為2a，由條件PF1?PF2?2a得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a；

x2y2④化簡(jiǎn)：得到橢圓方程為2?2?1。

ab（通過學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)方程是學(xué)生構(gòu)建知識(shí)的一個(gè)過程。）

3、歸納方程特點(diǎn)，鞏固上述知識(shí)。

4、延伸：①焦點(diǎn)在y軸上：F1?0，?c?，F(xiàn)2?0，c?

y2x2②方程：2?2?1

ab③a，b，c的關(guān)系：b2?a2?c2，a?b?0，a?c?0

(四)例題講解

例1：平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩個(gè)定點(diǎn)距離的和是10的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程。

解：這個(gè)軌跡是橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示。

取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸。?2a?10，2c?8

?a?5，c?4，b2?a2?c2?52?42?9，即b?3

x2y2x2y2?這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是2?2?1，即??1

25953（例1是鞏固橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程）

x2y2x2y2??1與橢圓c2:??1的焦點(diǎn)。

例2：分別求橢圓c1:433解：?4?3

?橢圓c1的焦點(diǎn)在x軸上，橢圓c2的焦點(diǎn)在y 軸上

a2?4，b2?3，c?a2?b2?1

??1，?橢圓c1的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是0?和?1，0? ?0，是?1?和?0，1?。

橢圓c2的兩個(gè)焦點(diǎn)分別（例2會(huì)由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)和焦距）

(五)課堂練習(xí)

課本P61 A 1(2)(3)2(3)(4)(五)課堂小結(jié)

1、橢圓定義

2、焦點(diǎn)分別在x軸和y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（結(jié)合圖形，表述焦點(diǎn)坐標(biāo)，焦距，系數(shù)的關(guān)系等）

3、考慮一下將橢圓平移到坐標(biāo)軸任意位置時(shí)的坐標(biāo)，留給同學(xué)們課后思考

4、布置作業(yè)：課本P61 A 1(1)(4)2(1)(2)

第四篇：橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

湖北鄖陽(yáng)中學(xué)

梁學(xué)文

教學(xué)目標(biāo):

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程

培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用坐標(biāo)解決集合問題的能力

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律、尋求規(guī)律、認(rèn)識(shí)規(guī)律和用規(guī)律解決問題的能力 教學(xué)重點(diǎn)：

橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 教學(xué)難點(diǎn)：

橢圓定義的理解 教學(xué)方法;探索法 教具準(zhǔn)備：

細(xì)繩一根 教學(xué)過程：

課前引入部分：

一、明確教學(xué)目標(biāo)：告訴大家開始新的章節(jié)：圓錐曲線，思考：為什么這三類曲線叫做圓錐曲線？

二、教具演示：在黑板用細(xì)繩演示到定點(diǎn)距離和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，請(qǐng)同學(xué)幫忙。分三類：繩長(zhǎng)小于兩點(diǎn)距；等于；大于。

三、探索總結(jié)：師生共同歸納得到：繩長(zhǎng)等于點(diǎn)距，得到線段；繩長(zhǎng)大于點(diǎn)距，得到橢圓；繩長(zhǎng)小于點(diǎn)距，不能得到圖形。

定義及方程推導(dǎo)：

一、定義引導(dǎo)：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距．

學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在演示中要從兩個(gè)方面加以強(qiáng)調(diào)：

(1)將穿有粉筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到需加限制條件：“在平面內(nèi)”．

(2)這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|，則是線段F1F2；若常數(shù)＜|F1F2|，則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”．即兩定點(diǎn)的距離。

二、方程推導(dǎo) 1．標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對(duì)橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無(wú)所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程．

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：(1)建系設(shè)點(diǎn)；(2)點(diǎn)的集合；(3)代數(shù)方程；(4)化簡(jiǎn)方程等步驟．

(1)建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡(jiǎn)單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量(距離、直線斜率等)的表達(dá)式簡(jiǎn)單化，注意充分利用圖形的對(duì)稱性，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到下列選取方法是恰當(dāng)?shù)模?/p>

以兩定點(diǎn)F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖2-14)．設(shè)|F1F2|=2c(c＞0)，M(x，y)為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1(-1，0)，F(xiàn)2(c，0)．

(2)點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為： P={M||MF1|+|MF2|=2a｝．(3)代數(shù)方程

(4)化簡(jiǎn)方程 化簡(jiǎn)方程可請(qǐng)一個(gè)反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡(jiǎn)相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明．整理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)②為使方程對(duì)稱和諧而引入b，同時(shí)b還有幾何意義，下節(jié)課還要

(a＞b＞0)．

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對(duì)此要求不高，可從略．

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是F1(-c，0)、F2(c，0)．這里c2=a2-b2． 2．兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

0)、F2(c，0)，這里c2=a2-b2；

-c)、F2(0，c)，這里c2=a2+b2，只須將(1)方程的x、y互換即可得到． 教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，∵a2＞b2，∴可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在哪一個(gè)坐標(biāo)軸上．

(三)例題與練習(xí)

例題

平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8，寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的軌跡的方程．

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程． 解：這個(gè)軌跡是一個(gè)橢圓，兩個(gè)定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用F1、F2表示．取過點(diǎn)F1和F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．

∵2a=10，2c=8．

∴a=5，c=4，b2=a2-c2=52-45=9．∴b=3 因此，這個(gè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請(qǐng)大家再想一想，焦點(diǎn)F1、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

練習(xí)1 寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

練習(xí)2 下列各組兩個(gè)橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[

]

由學(xué)生口答，答案為D．(四)小結(jié) 1．定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡．

3．圖形如圖2-

15、2-16．

4．焦點(diǎn)：F1(-c，0)，F(xiàn)2(c，0)．F1(0，-c)，F(xiàn)2(0，c)．

五、布置作業(yè)

課后習(xí)題

第五篇：高二數(shù)學(xué)橢圓教案

1，教學(xué)目標(biāo)

學(xué)習(xí)橢圓的典型例題

2，例題

例1 已知橢圓mx2?3y2?6m?0的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求m的值．

0?，a?3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P?3，例3 ?ABC的底邊BC?16，AC和AB兩邊上中線長(zhǎng)之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用橢圓定義求解．

（2）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程．

例4 已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為

45和325，過P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．

3x2y2例5 已知橢圓方程2?2?1?a?b?0?，長(zhǎng)軸端點(diǎn)為A1，A2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，Pab是橢圓上一點(diǎn)，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面積（用a、b、?表示）．

0?，且在定圓B：例6 已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A??3，?x?3??y2?64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，2x2?11??y2?1，（1）求過點(diǎn)P?，?且被P平分的弦所在直線的方例7 已知橢圓2?22?程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過A?2，（4）橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)，且有直線OP、OQ斜率滿足kOP?kOQ??求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

1，2

例8 已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為

210，求直線的方程． 5x2y2??1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線l：x?y?9?0上一點(diǎn)M作橢圓，要例9 以橢圓123使所作橢圓的長(zhǎng)軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．

x2y2???1表示橢圓，求k的取值范圍． 例10 已知方程k?53?k解：

3，作業(yè)

例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求?的取值范圍．

例12 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3,?2)和B(?23,1)兩點(diǎn)的橢圓方程．

例1

3知圓x2?y2?1，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M的軌跡．

例14 已知長(zhǎng)軸為12，短軸長(zhǎng)為6，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對(duì)的左焦點(diǎn)F1作傾斜解為

?的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)． 3

x2y2??1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N為MF1的中點(diǎn)，則ON例15 橢圓259（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A．B．2 C．8 D．2x2y2?1，試確定m的取值范圍，使得對(duì)于直線l：y?4x?m，例16 已知橢圓C：?43橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱．

例17 在面積為1的?PMN中，tanM?以M、N為焦點(diǎn)且過P點(diǎn)的橢圓方程．

1，tanN??2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出2x2y2??1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程． 例18 已知P(4,2)是直線l被橢圓

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