第一篇：高二數(shù)學(xué)橢圓人教版教學(xué)教案

高二數(shù)學(xué)橢圓

【同步教育信息】

一.本周教學(xué)內(nèi)容：

橢圓

教學(xué)目標(biāo)：

1.掌握橢圓的定義。（第一定義和第二定義）。2.能根據(jù)條件熟練求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

3.掌握橢圓的幾何性質(zhì)及標(biāo)準(zhǔn)方程中的a、b、c、e的幾何意義，及a、b、c、e間的相互關(guān)系；

4.能綜合應(yīng)用橢圓的有關(guān)知識解決最值問題及參數(shù)的取值范圍；

5.理解直線與橢圓的位置關(guān)系，會(huì)求橢圓截直線所得的弦長，會(huì)應(yīng)用弦中點(diǎn)的性質(zhì)求解問題。

能力訓(xùn)練：進(jìn)一步鞏固求曲線方程的方法，提高運(yùn)用坐標(biāo)法的自覺性及解決幾何問題的能力；進(jìn)一步培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的能力；同時(shí)提高代數(shù)運(yùn)算能力、綜合分析問題解決問題的能力。

二.重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)的應(yīng)用。

難點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)在解題過程中的靈活運(yùn)用。

【典型例題】

一.知識提要：

1.橢圓的第一定義：平面內(nèi)，與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫橢圓的焦距。2.橢圓的第二定義：

a2的距離的平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M與定點(diǎn)F（c，0）的距離和它到定直線l：x?cc比是常數(shù)(a?c?0)的點(diǎn)M的軌跡是橢圓。定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫做橢

ac圓的準(zhǔn)線，常數(shù)叫橢圓的離心率。

a 3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)： 標(biāo)準(zhǔn)方程 x2y2?2?1(a?b?0)2aby2x2?2?1(a?b?0)2ab圖形 范圍 對稱性 頂點(diǎn) ?a?x?a，?b?y?b ?b?x?b，?a?y?a 關(guān)于x軸、y軸、坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱 A1（－a，0），A2（a，0）B1（0，－b），B2（0，b）A1（0，－a），A2（0，a）B1（－b，0），B2（b，0）離心率 ce?，(0?e?1)ae? c，(0?e?1)a

例1.求焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過A(3，?2)和B(?23，1)兩點(diǎn)的橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程。

分析：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，就是求中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓方程。但焦點(diǎn)

22在坐標(biāo)軸上的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種情形，為了計(jì)算簡便，可設(shè)方程為mx+ny=1(m>0，n>0)不必考慮焦點(diǎn)位置，求出方程即知。解：設(shè)所求橢圓的方程為mx+ny=1，（m>0，n>0）

∵點(diǎn)A(3，?2)和點(diǎn)B(?23，1)在橢圓上，22??3m?4n?1?m(3)?n(?2)?1即? ∴?

22??12m?n?1?m(?23)?n21?11?m???15 ∴?

?n?1?5?x2y2??1。

故所求橢圓的方程為155 例2.x2y2已知橢圓2?2?1(a?b?0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是它的焦點(diǎn)。AB是過F1的直線

ab與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，求△ABF2的周長。

解析：數(shù)形結(jié)合，由橢圓定義即可求得答案。

解：∵|AF1|?|AF2|?2a

|BF1|?|BF2|?2a

又∵△ABF2的周長=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a ∴△ABF2的周長為4a。

x2y2??1上一點(diǎn)，P到左準(zhǔn)線的距離為10，則P到右準(zhǔn)

例3.設(shè)P為橢圓10036線的距離為（）A.6

B.8

C.10

D.15 解析：法一：應(yīng)用橢圓的第二定義即可求出結(jié)果為15。

2a2，又知P到

法二：應(yīng)用橢圓的幾何意義，點(diǎn)P到兩準(zhǔn)線的距離之和為c左準(zhǔn)線距離，作差即可求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線距離。

例4.點(diǎn)P與定點(diǎn)F（2，0）的距離和它到定直線x=8的距離的比是1∶2，求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形。

分析：根據(jù)橢圓的第二定義可知，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，且知焦點(diǎn)為F1（－2，0）、F2（2，0），準(zhǔn)線方程x=±8，離心率e?1。2a2?8，∴a2?16，解：依橢圓第二定義知：c?2，c ∴b2?a2?c2?16?4?12。

x2y2??1?！嗨髾E圓的方程為1612x2y2??1，軌跡為橢圓。

即點(diǎn)P的軌跡方程為：1612 例

5.22x2已知點(diǎn)P在圓C：x?(y?4)?1上移動(dòng)，點(diǎn)Q在橢圓?y2?1上移動(dòng)，4求|PQ|的最大值。

分析：做此題要數(shù)形結(jié)合，從圖中可見，要求|PQ|的最大值，只要考慮圓心到橢圓上的點(diǎn)的距離即可，而橢圓上的點(diǎn)是有范圍的，于是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題。

設(shè)：橢圓上的一點(diǎn)Q（x，y），又C（0，4）。

222 則|QC|=x+(y－4)

?4(1?y2)?(y?4)

2??3y2?8y?20

4276)? 33 又∵?1?y?1∴當(dāng)y??1時(shí)，|QC|大?5 ??3(y? ∴|PQ|的最大值為5+1=6。

x2y2??1內(nèi)有一點(diǎn)P(1，?1)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，在橢圓

例6.已知橢圓43上求一點(diǎn)M，使|MP|+2|MF|的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。

分析：|MF|是橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，根據(jù)橢圓的第二定義，有

|MF|1?∴|MM?|?2|MF|

|MM?|2 ∴|MP|?2|MF|?|MP|?|MM?|

顯然，P、M、M'三點(diǎn)共線時(shí)，|PM|+|MM'|有最小值。

解：過P作PM'⊥l交橢圓于M，由橢圓方程知 a?2，b?3，c?1，e??y??1 ?223x?4y?12? ∴所求M點(diǎn)坐標(biāo)為M(例7.2?26?x?解得?3

?y??1?26，?1)。3x2y2過橢圓??1內(nèi)一點(diǎn)M(2，1)引一條弦，使弦被M點(diǎn)平分，求這條弦所

164在的直線方程。

分析：所求直線過定點(diǎn)M（2，1），因此，設(shè)為y－1=k(x－2)，再利用弦中點(diǎn)條件求出直線的斜率k。

解法一：設(shè)所求直線方程為y－1=k(x－2)，設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)??y?kx?1?2k22①?x?4y?16?0②(4k2?1)x2?8(2k2?k)x?4(2k?1)2?16?0

消去y

8(2k2?k)，又∵M(jìn)為弦AB的中點(diǎn)，x1?x2?24k?1x1?x24(2k2?k)1??2∴k?? ∴ 2224k?1 ∴所求直線方程為：x?2y?4?0。

解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A（x1，y1），B（x2，y2）

∵M(jìn)（2，1）為AB的中點(diǎn)，∴x1+x2=4，y1+y2=2。

又∵A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則x1?4y1?16①，x2?4y2?16②

①?②x1?x2?4(y1?y2)?0

(x1?x2)(x1?x2)?4(y1?y2)(y1?y2)?0 2?222222y1?y2x?x241??1????

x1?x24(y1?y2)43221 即kAB??。故所求直線的方程為：x?2y?4?0 ∴ 解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A（x，y），由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)B（4－x，2－y）。

∵點(diǎn)A、B都在橢圓上。

22??x?4y?16 ∴?22??(4?x)?4(2?y)?16 ①?②得x?2y?4?0。

①②

由于過A、B的直線只有一條，∴所求直線的方程為x?2y?4?0。

【模擬試題】

x2y2??1上一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是焦點(diǎn)，∠F1PF2=30°，求△F1PF2的面積。1.已知P是橢圓 2516

2.已知橢圓的焦點(diǎn)F1（0，－1），F(xiàn)2（0，1），直線y=4是它的一條準(zhǔn)線，P是橢圓上一點(diǎn)，且|PF2|－|PF1|=1，求△F1PF2的面積。

3.橢圓xy??1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為其上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)∠F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P橫9422坐標(biāo)的取值范圍。

4.求與橢圓xy??1相交于A、B兩點(diǎn)，并且線段AB的中點(diǎn)M（1，1）的直線方程。94 22試題答案

1.解：設(shè)|PF1|?m，|PF2|?n

11mnsin30°?mn。24 在△F1PF2中，62?m2?n2?2mncos30° ∴S△F1PF2? 36?(m?n)2?2mn?3mn(2?3)mn?64

64。

2?3164?16(2?3)

∴S△F1PF2?242?3 mn? 即△F1PF2的面積為16(2?3)。

2.分析：可以由橢圓定義及已知條件求出|PF1|和|PF2|的長，再計(jì)算面積。

a2?4∴a?2 解：∵c?1c3?|PF|???|PF1|?|PF2|?4?12?? ?

|PF|?|PF|?151?2?|PF2|??2?259??43444 又∵|F1F2|?2，∴cosP??，∴sinP?

53552222213513543 ∴S△F1PF2?222sinP?222?

22222252 3.分析：先求出使∠F1PF2=90°的點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)觀察出P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍。

∵a?3，b?2，∴c?5 ∴S△F1PF2? S△F1PF2?1|F1F2|2|yP|2設(shè)|PF1|?m|PF2|?n

11|F1F2|2|y|?5|y|S△F1PF2?mn 22222 又∵m?n?20，(m?n)?2mn?20∴mn?8

4x2y2 ∴5y?4y?，代入??1

94533即當(dāng)x?±時(shí)，∠F1PF2?90° 得x?±5533?x?時(shí)，∠F1PF2為鈍角。

∴當(dāng)?55 5.解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）

∵A、B都在橢圓上，?x12y12??1①??94 ∴? 22?x2?y2?1②?4?9(x?x2)(y?y2)(x1?x2)?1(y1?y2)?0

①－② 194 ∵AB的中點(diǎn)M（1，1），∴x1?x2?2，y1?y2?2

y1?y244?，即為直線AB的斜率為?。

9x1?x294 ∴y?1??(x?1)，即4x?9y?13?0 ∴所求直線方程為：4x?9y?13?0?！?/p>

第二篇：高二數(shù)學(xué)橢圓教案

1，教學(xué)目標(biāo)

學(xué)習(xí)橢圓的典型例題

2，例題

例1 已知橢圓mx2?3y2?6m?0的一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2）求m的值．

0?，a?3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 例2 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P?3，例3 ?ABC的底邊BC?16，AC和AB兩邊上中線長之和為30，求此三角形重心G的軌跡和頂點(diǎn)A的軌跡．

分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用橢圓定義求解．

（2）由G的軌跡方程G、A坐標(biāo)的關(guān)系，利用代入法求A的軌跡方程．

例4 已知P點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓上，點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離分別為

45和325，過P點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線，它恰好過橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓方程．

3x2y2例5 已知橢圓方程2?2?1?a?b?0?，長軸端點(diǎn)為A1，A2，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，Pab是橢圓上一點(diǎn)，?A1PA2??，?F1PF2??．求：?F1PF2的面積（用a、b、?表示）．

0?，且在定圓B：例6 已知?jiǎng)訄AP過定點(diǎn)A??3，?x?3??y2?64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，2x2?11??y2?1，（1）求過點(diǎn)P?，?且被P平分的弦所在直線的方例7 已知橢圓2?22?程；

（2）求斜率為2的平行弦的中點(diǎn)軌跡方程；

1?引橢圓的割線，求截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程；（3）過A?2，（4）橢圓上有兩點(diǎn)P、Q，O為原點(diǎn)，且有直線OP、OQ斜率滿足kOP?kOQ??求線段PQ中點(diǎn)M的軌跡方程．

1，2

例8 已知橢圓4x2?y2?1及直線y?x?m．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn)？（2）若直線被橢圓截得的弦長為

210，求直線的方程． 5x2y2??1的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)，過直線l：x?y?9?0上一點(diǎn)M作橢圓，要例9 以橢圓123使所作橢圓的長軸最短，點(diǎn)M應(yīng)在何處？并求出此時(shí)的橢圓方程．

x2y2???1表示橢圓，求k的取值范圍． 例10 已知方程k?53?k解：

3，作業(yè)

例11 已知x2sin??y2cos??1(0????)表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，求?的取值范圍．

例12 求中心在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A(3,?2)和B(?23,1)兩點(diǎn)的橢圓方程．

例1

3知圓x2?y2?1，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段，求線段中點(diǎn)M的軌跡．

例14 已知長軸為12，短軸長為6，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，過它對的左焦點(diǎn)F1作傾斜解為

?的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長． 3

x2y2??1上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)F1的距離為2，N為MF1的中點(diǎn)，則ON例15 橢圓259（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為A．B．2 C．8 D．2x2y2?1，試確定m的取值范圍，使得對于直線l：y?4x?m，例16 已知橢圓C：?43橢圓C上有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱．

例17 在面積為1的?PMN中，tanM?以M、N為焦點(diǎn)且過P點(diǎn)的橢圓方程．

1，tanN??2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出2x2y2??1所截得的線段的中點(diǎn)，求直線l的方程． 例18 已知P(4,2)是直線l被橢圓

369

第三篇：高二數(shù)學(xué)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教案

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橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（—）

教學(xué)目標(biāo)：

1、通過本節(jié)課課前及課堂上的探索研究過程，使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

2、復(fù)習(xí)和鞏固求軌跡方程的基本方法.3、能夠理解橢圓軌跡和方程之間的關(guān)系，進(jìn)一步提高學(xué)生解析能力；

教學(xué)重點(diǎn)：

1、橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法，2、橢圓曲線和方程之間的相互關(guān)系．

教學(xué)難點(diǎn)：

1、建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程．

2、利用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程研究曲線．

教學(xué)方式：體驗(yàn)式 教學(xué)手段：多媒體演示．

學(xué)生特點(diǎn)：本節(jié)課的教學(xué)對象為高中實(shí)驗(yàn)班學(xué)生，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好．

教學(xué)過程：

1、給出橢圓定義

由學(xué)生根據(jù)課前的預(yù)習(xí)敘述橢圓的定義：

1）橢圓的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于（或集合）叫做橢圓．F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)；）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓的焦距．

2）展示學(xué)生通過預(yù)習(xí)橢圓知識，結(jié)合橢圓的知識所作的“圖形”，并介紹橢圓的做法，幫助同學(xué)了解橢圓的定義，同時(shí)引出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

2、推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

推導(dǎo)方程：（以下方程推導(dǎo)過程由學(xué)生完成）

①建系：以

和

所在直線為軸，線段

坐標(biāo)系； 的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn ②設(shè)點(diǎn)：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，設(shè)

；，則，③列式：由得

④化簡：移項(xiàng)平方后得，；

整理得，兩邊平方后整理得，由橢圓的定義知，即，∴，令，其中，代入上式，得，兩邊除以，得：（））

3．進(jìn)一步認(rèn)識橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程

（掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的區(qū)分）

（1）方程

（上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為）叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示焦點(diǎn)在軸，其中

．

（2）方程方程（）也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．它表示焦點(diǎn)，其中

． 在軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為

4．通過例題鞏固橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.例1 求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－3，0)，(3，0)，橢圓上任意一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)的距離的和等于8；(2)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0,－4)，(0，4)，并且橢圓經(jīng)過點(diǎn)

.5．再次展示學(xué)生所作橢圓，讓學(xué)生利用橢圓方程和橢圓定義來判斷所作的“橢圓”，并說明判斷的依據(jù)，進(jìn)一步橢圓定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.6．小結(jié)：

這節(jié)課我們圍繞橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程研究了橢圓這幾個(gè)方面的問題：

（1）橢圓的定義；

（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)；

（3）利用橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程研究曲線；

7．作業(yè)：

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高中數(shù)學(xué)輔導(dǎo)網(wǎng) http://004km.cn（1）P42，練習(xí)A第1，2，3，4題；

（2）求演示圖形5中橢圓的方

程.京翰教育1對1家教 http://004km.cn/

第四篇：人教A版數(shù)學(xué)選修2-1《2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案

2.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

◆ 知識與技能目標(biāo)

理解橢圓的概念，掌握橢圓的定義、會(huì)用橢圓的定義解決實(shí)際問題；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用的方法；了解求橢圓的動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡方程的一般方法．

◆ 過程與方法目標(biāo)（1）預(yù)習(xí)與引入過程

當(dāng)變化的平面與圓錐軸所成的角在變化時(shí)，觀察平面截圓錐的截口曲線（截面與圓錐側(cè)面的交線）是什么圖形？又是怎么樣變化的？特別是當(dāng)截面不與圓錐的軸線或圓錐的母線平行時(shí)，截口曲線是橢圓，再觀察或操作了課件后，提出兩個(gè)問題：第一、你能理解為什么把圓、橢圓、雙曲線和拋物線叫做圓錐曲線；第二、你能舉出現(xiàn)實(shí)生活中圓錐曲線的例子．當(dāng)學(xué)生把上述兩個(gè)問題回答清楚后，要引導(dǎo)學(xué)生一起探究P41頁上的問題（同桌的兩位同學(xué)準(zhǔn)備無彈性的細(xì)繩子一條（約10cm長，兩端各結(jié)一個(gè)套），教師準(zhǔn)備無彈性細(xì)繩子一條（約60cm，一端結(jié)個(gè)套，另一端是活動(dòng)的），圖釘兩個(gè)）．當(dāng)套上鉛筆，拉緊繩子，移動(dòng)筆尖，畫出的圖形是橢圓．啟發(fā)性提問：在這一過程中，你能說出移動(dòng)的筆?。▌?dòng)點(diǎn)）滿足的幾何條件是什么？〖板書〗2．1．1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．

（2）新課講授過程

（i）由上述探究過程容易得到橢圓的定義．

〖板書〗把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為M時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集P?M|MF1?MF2?2a．

（ii）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程 提問：已知圖形，建立直角坐標(biāo)系的一般性要求是什么？第一、充分利用圖形的對稱性；第二、注意圖形的特殊性和一般性關(guān)系．

無理方程的化簡過程是教學(xué)的難點(diǎn)，注意無理方程的兩次移項(xiàng)、平方整理．

設(shè)參量b的意義：第一、便于寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；第二、a,b,c的關(guān)系有明顯的幾何意義．

??y2x2 類比：寫出焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程2?2?1?a?b?0?．

ab（iii）例題講解與引申

例1 已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是??2,0?，?2,0?，并且經(jīng)過點(diǎn)?標(biāo)準(zhǔn)方程．

分析：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的定義及給出的條件，容易求出a,b,c．引導(dǎo)學(xué)生用其他方法來解．

?53?,??，求它的?22?x2y2?53?另解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2?2?1?a?b?0?，因點(diǎn)?,??在橢圓上，ab?22?9?25??1??2?a?102則?4a． ??4b??a2?b2?4?b?6?例2 如圖，在圓x2?y2?4上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD，D為垂足．當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段PD的中點(diǎn)M的軌跡是什么？

分析：點(diǎn)P在圓x2?y2?4上運(yùn)動(dòng)，由點(diǎn)P移動(dòng)引起點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，則稱點(diǎn)M是點(diǎn)P的伴隨點(diǎn)，因點(diǎn)M為線段PD的中點(diǎn)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)可由點(diǎn)P來表示，從而能求點(diǎn)M的軌跡方程．

x2y2??1上動(dòng)點(diǎn)，求線段AP中點(diǎn)M的軌跡方引申：設(shè)定點(diǎn)A?6,2?，P是橢圓

259程．

解法剖析：①（代入法求伴隨軌跡）設(shè)M?x,y?，P?x1,y1?；②（點(diǎn)與伴隨點(diǎn)的關(guān)

?x1?2x?6系）∵M(jìn)為線段AP的中點(diǎn)，∴?；③（代入已知軌跡求出伴隨軌跡），∵

y?2y?2?1x?3?y?1?x12y12??1M??1，∴點(diǎn)的軌跡方程為??；④伴隨軌跡表示的范圍．

2592594例3如圖，設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為??5,0?，?5,0?．直線AM，BM相交于點(diǎn)M，且它們的斜率之積為?224，求點(diǎn)M的軌跡方程． 9分析：若設(shè)點(diǎn)M?x,y?，則直線AM，BM的斜率就可以用含x,y的式子表示，由于直線AM，BM的斜率之積是?的關(guān)系式，即得到點(diǎn)M的軌跡方程．

解法剖析：設(shè)點(diǎn)M?x,y?，則kAM?4，因此，可以求出x,y之間9y?x??5?，x?5y?x?5?； x?5yy4???，化簡即可得點(diǎn)M的軌跡方程． 代入點(diǎn)M的集合有x?5x?59kBM?

引申：如圖，設(shè)△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A??a,0?，B?a,0?，頂點(diǎn)C在移動(dòng)，且kAC?kBC?k，且k?0，試求動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程． 引申目的有兩點(diǎn)：①讓學(xué)生明白題目涉及問題的一般情形；②當(dāng)k值在變化時(shí)，線段AB的角色也是從橢圓的長軸→圓的直徑→橢圓的短軸．

◆ 情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)

通過作圖展示與操作，必須讓學(xué)生認(rèn)同：圓、橢圓、雙曲線和拋物線都是圓錐曲線，是因它們都是平面與圓錐曲面相截而得其名；必須讓學(xué)生認(rèn)同與體會(huì)：橢圓的定義及特殊情形當(dāng)常數(shù)等于兩定點(diǎn)間距離時(shí)，軌跡是線段；必須讓學(xué)生認(rèn)同與理解：已知幾何圖形建立直角坐標(biāo)系的兩個(gè)原則，及引入?yún)⒘縝?a2?c2的意義，培養(yǎng)學(xué)生用對稱的美學(xué)思維來體現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧美；讓學(xué)生認(rèn)同與領(lǐng)悟：例1使用定義解題是首選的，但也可以用其他方法來解，培養(yǎng)學(xué)生從定義的角度思考問題的好習(xí)慣；例2是典型的用代入法求動(dòng)點(diǎn)的伴隨點(diǎn)的軌跡，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維方法，會(huì)用分析、聯(lián)系的觀點(diǎn)解決問題；通過例3培養(yǎng)學(xué)生的對問題引申、分段討論的思維品質(zhì)．

◆能力目標(biāo)

（1）想象與歸納能力：能根據(jù)課程的內(nèi)容能想象日常生活中哪些是橢圓、雙曲線和拋物線的實(shí)際例子，能用數(shù)學(xué)符號或自然語言的描述橢圓的定義，能正確且直觀地繪作圖形，反過來根據(jù)圖形能用數(shù)學(xué)術(shù)語和數(shù)學(xué)符號表示．

（2）思維能力：會(huì)把幾何問題化歸成代數(shù)問題來分析，反過來會(huì)把代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來思考，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的思想方法；培養(yǎng)學(xué)生的會(huì)從特殊性問題引申到一般性來研究，培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維能力．

（3）實(shí)踐能力：培養(yǎng)學(xué)生實(shí)際動(dòng)手能力，綜合利用已有的知識能力．

（4）數(shù)學(xué)活動(dòng)能力：培養(yǎng)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究、驗(yàn)證與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)能力．（5）創(chuàng)新意識能力：培養(yǎng)學(xué)生思考問題、并能探究發(fā)現(xiàn)一些問題的能力，探究解決問題的一般的思想、方法和途徑．

練習(xí)：第45頁1、2、3、4、作業(yè)：第53頁2、3、

第五篇：人教版數(shù)學(xué)高二年級《橢圓第二定義的教學(xué)》教學(xué)設(shè)計(jì)

橢圓第二定義的教學(xué)

江蘇省如皋中學(xué)

郝 茹

郝勁赴

現(xiàn)行高中《平面解析幾何》課本對橢圓第二定義采用了從具體事例入手，引出一個(gè)新概念的定義的方法，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的從具體到抽象、從特殊到一般地講授新概念的方法，符合人們從感性到理性的認(rèn)識事物的規(guī)律．但是，在這里我們要注意，從認(rèn)識事物的原型到認(rèn)識事物的本質(zhì)，這是對事物認(rèn)識的質(zhì)的飛躍，妥善處理好這個(gè)過程，是教學(xué)成功的關(guān)鍵．為此，我們在教學(xué)橢圓第二定義時(shí)，作了如下安排：

１．自讀推敲，引導(dǎo)剖析 首先讓學(xué)生自讀課本Ｐ．７６例３及由此引出的橢圓第二定義，自己推敲這一定義的內(nèi)涵及外延，并提出以下問題供學(xué)生思考：

（１）定義中有哪些已知條件？

（２）定點(diǎn)、定直線、定比在橢圓定義中的名稱各是什么？

（３）定比是哪兩個(gè)量的比？這兩個(gè)量本身是變量還是常量？定比是什么范圍的值？（４）定點(diǎn)、定直線、定比一定是例３給出的數(shù)量關(guān)系（Ｆ（c,0),x?定直線方程是否可為其他的形式？

對第（１）、（２）、（３）三個(gè)問題學(xué)生容易從課本中找出答案，但第（４）個(gè)問題則一石激起千層浪，學(xué)生們議論紛紛．這時(shí)，教師啟而不答．

２．通過變式，提示內(nèi)涵 讓學(xué)生研究課本Ｐ．７９第１０題“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是１：２，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”

學(xué)生很快根據(jù)例３求出c＝２，又由e?ca?12a2c,e?ca?1)嗎？定點(diǎn)坐標(biāo)、，得a＝４，而由x?a2c?422可知滿足題意．從?8，而得點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為x216?y212?1，所以點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

接著，我將上題稍加改動(dòng)，讓學(xué)生研究：“點(diǎn)Ｐ與一定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離和它到一定直線x＝８的距離的比是13，求點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形．”學(xué)生沿用上題的解法，得c?2，由

x2ca?13，得a?6,b?6?2?32，得軌跡方程為22236?y232?1，有的學(xué)生由

a2c?362?18?8而提出該題題設(shè)

?c?2?c?2,11??e??，而認(rèn)為此題無解． 矛盾，所以無解，也有的學(xué)生列出方程組?a2，解得?23?8?a?4,??c這時(shí)，教師不評價(jià)學(xué)生的解法，而是提示他們比較該題題意與課本給出的橢圓第二定義是否一致，由他們自己發(fā)現(xiàn)滿足題意的動(dòng)點(diǎn)軌跡是橢圓，進(jìn)而重新尋求解題的途徑．不少學(xué)生建立方程(x?2)?yx?822?13(x?5，化簡得

481)2?y292?1，由此可見，這是中心在點(diǎn)（54,0)，對稱軸為直線x?5416及y?0的橢圓．

—1— 從該例讓學(xué)生看到橢圓第二定義中的定點(diǎn)、定直線、定比的數(shù)量關(guān)系不一定是課本Ｐ．７６例３給出的定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線x?a2c、定比e?ca，當(dāng)不滿足這個(gè)數(shù)量關(guān)系時(shí)，建立橢圓方程不能套用例３的結(jié)果去解．當(dāng)給出定點(diǎn)Ｆ（n，０）、定直線x＝m（m≠n）、定比為e（０＜e＜１)時(shí)，可建立方程

me2(x?n)?yx?m22(x??e，解得

?n21?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?1．

顯然，只要m≠n，即點(diǎn)Ｆ（n，０）不在直線x＝m上時(shí)，都是橢圓方程．

這樣，就讓學(xué)生自己在解決問題的過程中，求得思考題（４）的第一個(gè)問題的答案．進(jìn)而指導(dǎo)學(xué)生深入推敲橢圓第二定義，讓他們深切地理解定義中的定點(diǎn)一般為(x0,y0)，定直線一般為ax+by+c＝０，并告訴學(xué)生在學(xué)過坐標(biāo)變換之后，可通過坐標(biāo)變換，將所求的軌跡方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

通過以上研究，讓學(xué)生明確：課本Ｐ．７６例３題設(shè)中給出的數(shù)量關(guān)系是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的條件，而不是所有橢圓方程所要求的條件，即不是橢圓方程的本質(zhì)特征，這樣，學(xué)生對橢圓第二定義的內(nèi)涵和外延的理解就深刻多了．

３．列舉反例，防患未然 要使學(xué)生深刻理解新概念，除了要正面剖析概念，運(yùn)用變式比較，揭示概念本質(zhì)以外，我們還經(jīng)常列舉一些反例讓學(xué)生判別，防止常見錯(cuò)誤的發(fā)生．為此，給出以下兩例，讓學(xué)生判別命題是否正確．

例１ 點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離比它到定直線x=7的距離?。保c(diǎn)Ｐ的軌跡是什么圖形？ 給出如下解法讓學(xué)生判別：

解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則(x?2)?y22?1?x?7?(x?2)?yx?722?1?1.而(x?2)?yx?722?(x?2)?yx?722?1＝１，所以點(diǎn)Ｐ到定點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離與它到定直線x=7的距離的比小于１，故點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢 圓．

例２ 點(diǎn)Ｐ到定直線x=8的距離與它到點(diǎn)Ｆ（２，０）的距離的比為

12，則點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．

22對上述兩個(gè)問題，引導(dǎo)學(xué)生逐一分析，讓學(xué)生明確：例１中，比值

(x?2)?yx?7?1，但不是一個(gè)常數(shù)，故不可斷定點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．例２中要注意橢圓第二定義中的定比是動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)直線的距離，其比的前后項(xiàng)順序不可倒置，故不可斷定此題中的點(diǎn)Ｐ的軌跡是橢圓．經(jīng)過對上述兩例中典型錯(cuò)誤的剖析，學(xué)生對橢圓第二定義的本質(zhì)屬性有了更深刻的認(rèn)識．

４．設(shè)置新題，檢測運(yùn)用

經(jīng)過前面的教學(xué)過程，應(yīng)該說基礎(chǔ)知識已經(jīng)講清了．但是，要讓學(xué)生深刻理解教學(xué)的內(nèi)容，并且能夠正確運(yùn)用，這需要讓學(xué)生有一個(gè)獨(dú)立運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的過程．于是，我們讓學(xué)生獨(dú)立解以下題目：一動(dòng)點(diǎn)Ｐ到直線2x+y－８=0的距離與它到點(diǎn)（１，２）的距離的比值為5，求動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程，并判 —2— 斷點(diǎn)Ｐ的軌跡是何種曲線．

2x?y?8解：設(shè)Ｐ點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y），則

25(x?1)?(y?2)2?5

?5(x?1)?(y?2)2222?2x?y?8

22?25(x?2x?1?y?4y?4)?4x?y?64?4xy?32x?16y ?21x?4xy?24y?18x?84y?61?0． 22從方程看，現(xiàn)在我們還不能判定此方程的曲線是何種曲線，但仔細(xì)分析題意，可將已知條件改述為動(dòng)點(diǎn)Ｐ到點(diǎn)（１，２）的距離與它到直線２x＋y－８＝０的距離之比為１：5，這顯然符合橢圓第二定義，可知Ｐ點(diǎn)的軌跡為橢圓．

通過這一例的教學(xué)讓學(xué)生更深切地理解了橢圓的第二定義，也讓學(xué)生看到橢圓的非標(biāo)準(zhǔn)方程所具有的形式．

５．拓展課本，活化知識

xa22課本對于橢圓的準(zhǔn)線方程作了如下敘述：“對于橢圓?yb22?1，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ（c，０）的準(zhǔn)線方程為x?a2c，根據(jù)橢圓的對稱性，相應(yīng)于焦點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的準(zhǔn)線方程為x??a2c；所以，橢圓有兩條準(zhǔn)線．”由此啟發(fā)學(xué)生看到命題（稱做Ａ）：點(diǎn)Ｍ（x,y）與定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）的距離與它到直線l′：x??a2c的距離之比是常數(shù)ca（a＞c＞０），則點(diǎn)Ｍ（x，y）的軌跡方程也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．于是我們引導(dǎo)學(xué)生明確結(jié)論：課本Ｐ．７６例３給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ（c，０）、定直線l：x?a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０），以及命題Ａ給出的數(shù)量關(guān)系：定點(diǎn)Ｆ′（－c，０）、定直線l′：x??a2c、常數(shù)

ca（a＞c＞０）均分別是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件，并且，二者是等價(jià)的．接著，我們又引導(dǎo)學(xué)生再次分析本文第２部分所講到的命題（稱為Ｂ）：定點(diǎn)為Ｆ（n，０），定直線為x＝m（m≠n），定比為e

(x?me2?n2（０＜e＜１)，得出的橢圓方程

1?e22e(m?n)(1?e)22)2?y222e(m?n)1?e2?me2?n?0,?讓他們看到當(dāng)且僅當(dāng)?1?e2?1．

?1?e2?0?2即e?2nm?1時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．即條件“e?nm?1”是動(dòng)點(diǎn)Ｍ的軌跡方程為橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的充要條件．

—3— 在此基礎(chǔ)上，要求學(xué)生自行命題，設(shè)計(jì)出動(dòng)點(diǎn)的條件，使其軌跡方程分別符合下列要求： ①軌跡方程為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

②軌跡方程為中心在x軸上且短軸平行于y軸的橢圓方程．

從而，讓學(xué)生不但能正確地解命題Ｂ型的問題，而且能自行設(shè)計(jì)命題Ｂ型的問題，使學(xué)生對橢圓第二定義的理解、掌握和運(yùn)用達(dá)到新的境界．

—4—