第一篇：實際問題中的二次函數(shù)的最值問題教學案

溫馨提示：此材料是教師講課的教案，學生學習的學案，上課時的筆記，課后的復習資料，請同學們裝訂保管。發(fā)給同學們后請通過研讀課本資料，并在同學和老師幫助下完成，并達到能講的水平。

實際問題中的二次函數(shù)的最值問題教學案

一、學習目標：能根據(jù)實際問題列出函數(shù)關系式;使學生能根據(jù)問題的實際情況，確定函數(shù)自變量x的取值范圍;通過建立二次函數(shù)的數(shù)學模型解決實際問題，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力，提高學生用數(shù)學的意識。（學生課后體會）

二、重難點：會通過配方求出二次函數(shù)y?ax2?bx?c(a?0)的最大或最小值;在實際應用中體會二次函數(shù)作為一種數(shù)學模型的作用，會利用二次函數(shù)的性質求實際問題中的最大或最小值．（學生課后檢測是否到達要求）

三、課前預習：閱讀教材第17---19頁（學生自行安排時間）

四、教具準備：多媒體課件

五、學習過程：

（一）創(chuàng)設情景 導入新課

1．對于任意一個二次函數(shù) y?ax2?bx?c，如何確定它的開口方向、對稱軸和頂點坐標？

2．當a＞0時，拋物線有最___點，函數(shù)有最__值是_____；當a＜0時，拋物線有最___點，函數(shù)有最_____值是_____.3.求下列函數(shù)的最大值或最小值

（1）y=-1/2x2-x+3(2)y=3(x+1)(x-2)

(二）討論問題

問題1：要用總長為20m的鐵欄桿，一面靠墻，圍成一個矩形的花圃，怎樣圍法才能使圍成的花圃的面積最大?

問題2：某商店將每件進價8元的某種商品按每件10元出售，一天可銷出約100件，該店想通過降低售價,增加銷售量的辦法來提高利潤，經過市場調查，發(fā)現(xiàn)這種商品單價每降低0.1元，其銷售量可增加約10件。將這種商品的售價降低多少時，能使銷售利潤最大?

（三）例題講解

例、用6m長的鋁合金型材做一個形狀如圖所示的矩形窗框。應做成長、寬各為多少時，才能使做成的窗框的透光面積最大?最大透光面積是多少? 先思考解決以下問題：

(1)若設做成的窗框的寬為xm，則長為多少m?(2)根據(jù)實際情況，x有沒有限制?若有限制，請指出它的取值范圍，并說明理由。(3)請你寫出后面的解答過程。

（四）、課堂練習

如圖所示，有長為24米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長度a為10米），圍成中間有一道籬笆的長方形花圃，怎樣圍法才能使圍成的花圃的面積最大? 提示：設花圃的一邊BC為x（米），面積為S()

歸納解決實際問題的解題步驟 有哪些？需要注意哪些問題？

（五）、連接中考

某花圃利用花盆培育某種花苗，每盆的收益與每盆的株數(shù)成一種函數(shù)關系，每盆植入3株，平均每株售價3元，以同樣培育條件，每增加一株，生長受到一定的影響，平均每株售價就減少0.5元，寫出該函數(shù)的解析式，并求出植入多少株時收益最大？

（六）、大家都來說：

我學了———————— 我學會了——————— 我還有待加強—————

（七）、布置作業(yè)

課本第19頁習題第1、2、3題 同學們請預習求二次函數(shù)的關系式

中考語錄

我是最優(yōu)秀的，我一定會超常發(fā)揮，金榜題名！

第二篇：二次函數(shù)最值問題

《二次函數(shù)最值問題》的教學反思

大河鎮(zhèn) 件，設所獲利潤為y元，則y＝（x-2.5）［500+200(13.5-x)］，這樣，一個二元二次方程就列出，這也為后面學習二次函數(shù)與一元二次方程的關系奠定了基礎，針對上述分析，把所列方程整理后，并得到y(tǒng)＝－200x2＋3700x-8000，這里再利用二次函數(shù)y＝ax2+bx+c(a≠0)的解析式中a、b、c的大小來確定問題的最值。把問題轉化怎樣求這個函數(shù)的最值問題。

b4ac?bb4ac?b根據(jù)a>0時，當x=－，y最?。?；a<0時，當x＝－,y最大＝

2a4a2a4a的公式求出最大利潤。

例2是面積的最值問題（下節(jié)課講解）

教學反饋：講得絲絲入扣，大部分學生能聽懂，但課后的練習卻“不會做”。反思一：本節(jié)課在講解的過程中，不敢花過多的時間讓學生爭辯交流，生怕時間不夠，完成了不教學內容，只能按照自己首先設計好的意圖引領學生去完成就行了。實際上，這節(jié)課以犧牲學生學習的主動性為代價，讓學生被動地接受，去聽講，體現(xiàn)不了學生是學習的主人這一關鍵環(huán)節(jié)。

反思二：數(shù)學教學的目標不僅是讓學生學到一些知識，更重要的是讓學生學會運用知識去解決現(xiàn)實問題，讓學生“從問題的背景出發(fā)，建立數(shù)學模型”的基本流程，如例題中，可讓學生從“列方程→轉化為二次函數(shù)解析式→

b4ac?b當x＝－時，y最大（?。健鉀Q問題”，讓學生在實踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)2a4a學，掌握數(shù)學。

反思三：教學應當促進學生成為學習的主人，離開了學生積極主動學習，老師講得再好，學生也難以接受，或者是聽懂了，但不會做題的現(xiàn)象。傳統(tǒng)的教學“五環(huán)節(jié)”模式已成為過去，新的課程標準需要我們用新的理念對傳統(tǒng)的教學模式、教學方法等進行改革，讓學生成為課堂的主角。

第三篇：二次函數(shù)與實際問題(面積最值問題)教學設計解讀

[教學設計 ] 二次數(shù)學的實際運用 ——圖形面積的最值問題

【知識與技能】 :通過復習讓學生系統(tǒng)性地掌握并認識如何用函數(shù)的思想解決幾何問題中面積最值問題, 培養(yǎng)其 整體性思想。

【過程與方法】 :能通過設置的三個問題, 概括出二次函數(shù)解決這類問題的基本思路和基本方法, 并學會用數(shù)學 問題的結論,分析是否是實際問題的解,掌握類比的數(shù)學思想方法。

【情感態(tài)度與價值觀】 :體會函數(shù)建模思想的同時, 體會數(shù)學與現(xiàn)實生活的緊密聯(lián)系, 培養(yǎng)學生認真觀察, 不斷 反思,主動糾錯的能力和樂于思考,認真嚴謹、細心的好習慣。感受多媒體的直觀性和愉悅感。

【重點】 :如何利用二次函數(shù)的性質解決實際問題——圖形面積的最值問題 【難點】 :如何探究在自變量取值范圍內求出實際問題的解 【教學過程】 【活動 1】 :導入引言: 二次函數(shù)在實際問題中的應用常見類型有拋物線形問題和最值問題。而最值問題考試類型有兩類

(1利潤最大問題;(2幾何圖形中的最值問題:面積的最值,用料的最佳方案等,本節(jié)課,我們學習如何用二次函數(shù)解決實際 問題中圖形面積的最值問題。

【活動 2】 :師生互動,合作學習我們來看一道簡單的例題

例 1:李大爺要借助院墻圍成一個矩形菜園 ABCD ,用籬笆圍成的另外三邊總長為 24米,則矩形的長寬分別為 多少時,圍成的矩形面積最大?

師(讓學生思考 :題目中已知量是什么? 未知量是什么?如何理解“矩形面積最大”問題?是什么影響了矩 形面積的變化呢?我們一起來看下面的動畫演示(通過動畫演示,讓學生感受量的變化

師:在演示中你們看到了什么?想到了什么?你能列出函數(shù)解析式嗎? 學生解決:若設矩形一邊長為 X ,當 X 在變長時,另一邊變短,當 X 變短時,另一邊變長,則面積 S 也隨之發(fā) 生了變化;設寬 AB 為 X 米,則長為 24-2X(m 所以 面積 S=X(24-2X=-2X2+24X=-2(X-122 +288 師:分析歸納解函數(shù)問題的一般步驟是什么?(板書 : 第一步,正確理解題意 , 分析問題中的常量和重量;第二步,巧設未知數(shù),用未知數(shù)表示已知量和未知量,列二次函數(shù)解析式表示它們的關系;第三步,計算,將一般式轉化為頂點式,求出數(shù)學問題的最值。

師:請問這時解出的數(shù)學問題的解是不是實際問題的解,如何檢驗呢?(在師生共同研討的過程中找出計算中 學生容易犯的錯誤,分析解答是否符合實際問題

小結:求解完答案后,我們要善于檢查,分析,反思數(shù)學問題的解是否是實際問題的解。

活動 3:變式訓練,鞏固應用。

師:如果我們在圖形中再加一個“豎道” ,請問剛才的問題中,什么量在變化,什么量不變化?是否影響面積的 變化?

師生共同總結得出:AB 不變而 BC 在變, BC 表示時要考慮豎道的個數(shù)。師:請大家看下面的中考題,這個問題中涉及的是方程的思想還是函數(shù)的思想? 一題多變 1: 要利用一面墻(墻長為 25米 建羊圈, 用 100米的圍欄圍成總面積為 400平方米的三個大小相同的矩形羊圈, 求羊圈的邊長 AB,BC 各為多少米?

學生自主探究問題并解答(引導學生分析討論如何舍去方程的根,獲得實際問題的解

師:問題中面積是否由“ 400”可以改為“ 500” “ 600” “ 700”呢?面積是否可以取一個任意大的數(shù)值 呢? 生:不可以, x 受墻長的影響,圍欄長度的影響,面積不能超過一個最大值。師:引導利用函數(shù)的思想解決下面的問題。活動 4:深入探究,設疑激趣 一題多變 2: 師:請大家仔細閱讀下面的例題,分析問題中的已知條件又作了哪些變化?

如圖所示, 有長為 30m 的籬笆, 一面利用墻(墻的最大可用長度為 10m , 圍成中間隔有一道籬笆(平行于 AB 的矩形花圃,設花圃的一邊 AB =xm ,面積為 ym 2.(1求 y 與 x 的函數(shù)關系式;(2 y 是否有最大值?若有,求出 y 的最大值。

學生互學,師生共同總結:師:利用函數(shù)的思想解決實際問題時,要考慮自變量的取值范圍,要在自變量范圍 內 求出最大值, 要學會檢驗數(shù)學問題的解是否是實際問題的解。利用函數(shù)解決實際問題, 我們在后面的學習中 還要繼續(xù)探究。

【活動 4】歸納小結 :(1 利用函數(shù)思想解決實際問題的一般步驟是什么?(2 本節(jié)課你的收獲是什么?你的疑問是什么? 活動 6】作業(yè)布置。

第四篇：二次函數(shù)的最值問題

二次函數(shù)的最值問題

雷州市第一中學 徐曉冬

一、知識要點

對于函數(shù)f?x??ax2?bx?c?a?0?，當a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。當a?0時，f?x?在區(qū)間R上有最 值，值域為。

二、典例講解

例

1、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，（1）、若x???2,0?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。（2）、若x???1,1?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。（3）、若x??0,1?，求函數(shù)f?x?的最大值和最小值。

例

2、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數(shù)f?x?的最小值。

變式

1、已知函數(shù)f?x??x2?x?2，x??t,t?1?，求函數(shù)f?x?的最大值。

點評：本題屬于二次函數(shù)在動區(qū)間上的最值問題，由于二次函數(shù)的對稱軸是固定的，區(qū)間是變動的，屬于“軸定區(qū)間動”，由于圖象開口向上，所以求最小值1要根據(jù)對稱軸x??與區(qū)間?t,t?1?的位置關系，分三種情況討論；最大值在端2點取得時，只須比較f?t?與f?t?1?的大小，按兩種情況討論即可，實質上是討論對稱軸位于區(qū)間中點的左、右兩種情況.例

3、已知函數(shù)f?x??x2?2mx?2，x??1,2?，求函數(shù)f?x?的最小值和最大值。

例

4、已知函數(shù)f?x??mx2?x?2，x??1,2?，求函數(shù)f?x?的最小值和最大值。點評：二次函數(shù)最值與拋物線開口方向，對稱軸位置，閉區(qū)間三個要素有關。求最值常結合二次函數(shù)在該區(qū)間上的單調性或圖象求解，在區(qū)間的端點或二次函數(shù)圖象的頂點處取得最值。

三、練習

1、已知函數(shù)f?x??x2?6x?8，x∈[1，a]的最小值為f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是______________。

2、已知二次函數(shù)f?x???x2?2ax?1?a在區(qū)間[0,1]上有最大值為2，求實數(shù)a的值．

3、已知函數(shù)y?4x2?4ax?a2?2a在區(qū)間?0,2?上有最小值3，求a的值。

4、若f?x??1?2a?2acosx?2sin2x的最小值為g?a?。（1）、求g?a?的表達表；（2）、求能使g?a??

5、已知f?x???4?3a?x2?2x?a?a?R?，求f(x)在[0,1]上的最大值．

1的a的值，并求出當a取此值時，f?x?的最大值。2

第五篇：二次函數(shù)的最值問題

漣水縣第四中學（紅日校區(qū)）周練專用紙

初三：年級 數(shù)學：學科 出核人：楊守德 審核人：高陽 時間：12月26日 1．若二次函數(shù)y=x－3x＋c圖象的頂點在x軸上，則c=（）24411A． B．－ C． D．－

9999222．拋物線y=ax＋bx＋c的對稱軸的位置（）

A．與a、b、c有關 B．只與a、b有關 C．只與a有關 D．只與b有關 3．關于二次函數(shù)y=x＋4x－7的最大(小)值，下列敘述正確的是（）A．當x＝2時，函數(shù)有最大值 B．當x＝2時，函數(shù)有最小值 C．當x＝－2時，函數(shù)有最大值 D．當x＝－2時，函數(shù)有最小值 4．二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷錯誤的是（）

A．a＞0 B．c＜0 C．函數(shù)有最小值 D．y隨x的增大而減小

5．若所求的二次函數(shù)的圖象與拋物線y=2x－4x－1有相同的頂點，并且在對稱左側，y隨x的增大而增大；在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，則所求二次函數(shù)的關系式為（）A．y=－x＋2x－4 B．y=ax－ax＋a－3 C．y=－2x－4x－5 D．y=ax－2ax＋a－3（a＜0）6．拋物線y=－222222125x＋3x－的頂點坐標是（）22A．（2，3）B．（3，2）C．（－2，3）D．（－3，2）

7．某商品進貨單價為90元，按100元一個出售，能售出500個，如果這種商品漲價1元，其銷售額就減少10個，為了獲得最大利潤，其單價應定為（）A．130元 B．120元 C．110元 D．100元 8．將拋物線y=x＋2x＋1向左平移2個單位，再向上平移2個單位得到的拋物線的最小值是（）A．－3 B．1 C．2 D．3 9．根據(jù)二次函數(shù)y=（x－1）（x＋2）的圖象可知，當x的取值范圍是 時，y≤0 10．二次函數(shù)y=2x＋x－n的最小值是2，那么n＝

11．拋物線y=2x－4x＋1的開口向，最低點的坐標為

12．拋物線y=ax＋bx＋c在點（3，1）處達到最高點，拋物線與y軸交點的縱坐標為－8，則它的解析式為

13．把二次函數(shù)y=2x－4x＋5化成y=a（x－h(huán)）＋k的形式是，其圖象開口方向，頂點坐標是，當x＝ 時，函數(shù)y有最 值，當x 時，y隨x的增大而減小。22222214．已知二次函數(shù)y=x－6x＋m的最小值為1，那么m的值是

15．已知一個二次函數(shù)的頂點為（1，2），且有最大值，請寫出滿足條件的一個二次函數(shù)的關系式

16．心理學家發(fā)現(xiàn)學生對概念的接受能力y與提出概念所用時間x（單位：分）之間滿足函數(shù)關系：y=－0.1x＋2.6x＋43（0≤x≤30），y值越大，表示接受能力越強，當x＝ 時，y有最大值是

17．已知二次函數(shù)y有最大值4，且圖象與x軸兩交點間的距離是8，對稱軸為x=3，求此二次函數(shù)的表達式。

18．某產品每件的成本是120元，試銷階段每件產品的銷售價x（元）與產品的日銷售量y（件）之間的關系式y(tǒng)=－x＋200，為獲得最大利潤，每件產品的銷售價應定為多少元？此時每日的銷售利潤是多少？

19．在一場足球比賽中，一球員從球門正前方10米處將球踢起射向球門，當球飛行的水平距離是6米時，球到達最高點，此時球高3米，已知球門高2.44米，問能否射中球門？

20．如圖，在體育測試時，一位初三同學擲鉛球，已知鉛球所經過的路線是二次函數(shù)的一部分，如果這個同學出手點A的坐標為（0，2），鉛球路線最高處B的坐標為（6，5）（1）求這條二次函數(shù)的解析式；

（2）該生能把鉛球擲多遠？（精確到0.01米，15≈3.873）

21．某商場銷售一批名牌襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴大銷售，增加盈利，盡快減少庫存，商場判定采取適當?shù)慕祪r措施，經調查發(fā)現(xiàn)，如果每件襯衫每降價1元，商場平均每天可多售出2件

（1）若商場平均每天要盈利1200元，每件襯衫應降價多少元？（2）每件襯衫降低多少元時，商場平均每天盈利最多？ 22