第一篇：數(shù)學分析教案第一章

數(shù)學分析(mathematical analysis)課程簡介

(計劃課時:2時)

一、背景:從切線、面積等問題引入.1極限(limit)—— 變量數(shù)學的基本運算.2數(shù)學分析的基本內容：數(shù)學分析以極限作為工具來研究函數(shù)的一門學科（僅在實數(shù)范圍內進行討論）.主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù),并依據這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.3 數(shù)學分析的形成過程：孕育于古希臘時期:在我國很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes就有了積分思想.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期:十七世紀下半葉到十九時紀上半葉——微積分的創(chuàng)建時期:十九時紀上半葉到二十時紀上半葉——分析學理論的完善和重建時期.二、數(shù)學分析課的特點: 邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 若能努力學懂前四章(或前四章的80%),后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講,一般是可以聽得懂的,但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學分析技巧性很強,只了解基本的理論和方法,不輔以相應的技巧,是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是數(shù)學分析課基本的,也是重要的內容之一,也是最難的內容之一.一般懂得了證明后,能把證明準確、嚴密、簡練地用數(shù)學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式,學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是:課前要復習,做好必要的聽課準備;課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主,力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導,閱讀教科書,學習證明或推導敘述和書寫的格式與方法.基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業(yè).在學習中,要養(yǎng)成多想問題的習慣,善于論證進行肯定，尤其要善于舉反例進行否定;對概念不能有一點含糊,那是一個數(shù)學名詞的固定含義,那是推理論證的根據.數(shù)學分析是數(shù)學系最重要的一門專業(yè)基礎課，因為它不僅是大學數(shù)學系學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學本科乃至研究生階段的很多后繼課程在本質上都可以看作是它的延伸、深化或應用,至于它的基本概念、思想和方法，更可以說是無處不在.本課程的主要任務是：使學生獲得極限論、單多元微積分、級數(shù)論等方面的系統(tǒng)知識；為后繼數(shù)學專業(yè)課程（如微分方程、實變函數(shù)和復變函數(shù)、概率論、統(tǒng)計及有關的泛函分析、微分幾何等選修課程）及普通物理課程等提供所需的基礎理論和知識；提高學生思維能力，開發(fā)學生智能，加強“三基”（基礎知識、基本理論、基本技能）訓練及培養(yǎng)學生獨立工作能力.數(shù)學分析是數(shù)學專業(yè)各個方向上考研必考的專業(yè)基礎課(另一門是高等代數(shù)).三、課堂講授方法:

1.關于教材與參考書目: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材: [1] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析(上下冊)(第三版)，高等教育出版社，2001.6.[2] 數(shù)學分析講義(上下冊)(第三版).劉玉璉 傅沛仁編.高等教育出版社，2001.[3] 數(shù)學分析新講（一、二、三冊).張筑生編.北京大學出版社，1991.[4] 微積分學教程(共八冊).Γ.Μ.菲赫金哥爾茨著.人民教育出版社，1978.[5] 數(shù)學分析中的反例.王俊青編.電子科技大學出版社，1996.[6] 數(shù)學分析中的典型問題與方法.裴禮文編.高等教育出版社，2002.[7] 數(shù)學分析習題集題解(共六冊).Б.Л.吉米多維奇編.費定輝等譯，山東科技出版社，1983.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[2]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內容的出處.本課程為適應課時少和學分制的要求,只介紹數(shù)學分析最基本的內容.因此刪去了[1]中第十九和二十三等兩章, 相應的內容作為選修課將在學完數(shù)學分析課之后開設.2.內容多,課時緊:大學課堂教學與中學不同的是,這里每次課介紹的內容很多,因此,內容重復的次數(shù)少,講課只注重思想性與基本思路,具體內容或推導,特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算,可能講得很簡,留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點:概念的意義與理解,幾何直觀,理論的體系,定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路,具有代表性的證明方法,解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質差別.在第一、二章教學中,可能會寫出某些定理證明,以后一般不會做特別具體的證明敘述.四、要求、輔導及考試：

1.學習方法:盡快適應大學的學習方法,盡快進入角色.課堂上以聽為主,但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化,補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1:3(國外這個比例通常是1: 4)對將來從事數(shù)學教學工作的師范大學本科生來說,課堂聽講的內容應該更為豐富:要認真評價教師的課堂教學,把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕涷?這對未來的教學工作是很有用的.2.作業(yè):作業(yè)以[1]的練習題中劃線以上的部分習題為主要內容,同時可參考[7]與[1]中劃線以下部分的習題.大體上每個練習收一次作業(yè),每次收作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記,缺交作業(yè)將直接影響學期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.3.輔導:大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試:按學分制的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業(yè)的內容, 包括[1]中的典型例題.開設三學期考三次.考試題為標準化試題.五.內容安排

1.課時分配: 第一學期16×6=96;第二學期18×6=108;第三學期18×4=72.2.內容分配: 第一學期一元函數(shù)微分學;第二學期一元函數(shù)積分學與級數(shù)論;第三學期二元函數(shù)微積分學.第一章 實數(shù)集與函數(shù)（計劃課時：6 時）P1—22

§1 實 數(shù)（1時）

一．實數(shù)及其性質：回顧中學中關于實數(shù)集的定義.1.實數(shù)用無限小數(shù)表示的方法: 為了把有限小數(shù)(包括整數(shù))表示為無限小數(shù), 規(guī)定: 對于正有限小數(shù)(包括正整數(shù))x,x?a0.a1a2?an時,其中0?ai?9,i?1,2,?,n,an?0,a0為非負整數(shù),記x?a0.a1a2?(an?1)9999?;而當x?a0為正整數(shù)時,則記x?(a0?1).9999?;對于負有限小數(shù)(包括負整數(shù))y,則先將?y表示為無限小數(shù),再在所得無限小數(shù)之前加負號;又規(guī)定數(shù)0表示為0.000?.例如2.011?2.010999?,?8??7.999?.2.實數(shù)的大小: 定義1:(實數(shù)大小的概念)見[1]P1.定義2:(不足近似與過剩近似的概念)見[1]P2.命題: 設x?a0.a1a2?與y?b0.b1b2?為兩個實數(shù),則x?y??n,使得xn?yn.例1 設x、y為實數(shù)，x?y.證明：存在有理數(shù)r滿足x?r?y.[1]P17E1.3.實數(shù)的性質: ⑴.四則運算封閉性: ⑵.三歧性(即有序性): ⑶.Rrchimedes性:?a,b?R,b?a?0,?n?N,?na?b.⑷.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.⑸.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: ⑺.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b ? ???0, a?b ? ?.二.區(qū)間和鄰域的概念:見[1]P5 三.幾個重要不等式: 1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其它不等式:

⑴ a?b?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵ 均值不等式: 對?a1,a2,?,an?R, 記

?22 3 a1?a2???an1n

M(ai)? ? ?ai,(算術平均值)

nni?G(ai)?na1a2?an???

H(ai)???a?i??,(幾何平均值)?i?1??11n1?ni?1ai?n1?i?1ainn1nn111????a1a2an.(調和平均值)有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.⑶

Bernoulli 不等式: ?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴格不等式(1?x)n?1?nx.nn證

由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)?n?1?(1?x)?1?1???1?

nn

?n n(1?x)?n(1?x).?(1?x)?1?nx.⑷

利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式

(1?h)?1?nh?nnn(n?1)2n(n?1)(n?2)3h?h???hn, 2!3!

有(1?h)?上式右端任何一項.Ex [1]P4: 3，4，5，6；

§2 確界原理（2時）

一、有界數(shù)集:定義(上、下有界,有界), 閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，如集合 E?y y?sinx, x?(?? , ??)也是有界數(shù)集.??

二、無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集,如集 合 E??y y???1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?

三、確界:給出直觀和刻畫兩種定義.?(?1)n?例1 ⑴S??1? infS?_______.?,則supS?______,n??⑵E?y y?sinx, x?(0,?).則supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有supA?infB.證?y?B,y是A的上界,? supA?y.? supA是B的下界,? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有x?infA或??x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有

infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.四、數(shù)集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.五、確界與最值的關系:設E為數(shù)集.⑴E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結論.六、確界原理: Th(確界原理).Ex

[1]P9:

2，4，5.§3 函數(shù)概念(2時)

一.函數(shù)的定義:

1.函數(shù): [1]P10—11的四點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法: 4.反函數(shù): 一 一對應, 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

?1?x, x?1,???2?x, x?1, x?1, 和g(x)??2二.分段函數(shù): 以函數(shù)f(x)??2, 為例介紹

??x2, ?x, x?1x?1?概念.f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.例2 f(x)??x?1,?x，求 f(0), f(1), f(2).?1?x, x?1.x?10,?x?3, 例3 設 f(x)??

求 f(5).(答案為8)??ff(x?5), x?10.? 三.復合函數(shù): 例4 y?f(u)?u, u?g(x)?1?x2.求 ?f?g?(x)?f?g(x).?并求定義域.例5 ⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_______________.⑵

f?x?2??1?12)??x?2.則f(x)?(x?x2222A.x, B.x?1,C.x?2, D.x?2.四.初等函數(shù): 1.基本初等函數(shù): 2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則

⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)?

?f(x)?2.⑵

?(x)?ma?xf(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)??12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? ，?(x)?min?f(x), g(x)? ?12?f(x)?g(x)?f(x)?g(x)?.⑶

冪指函數(shù) ?f(x)?g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為

?f(x)?g(x)?eln?f(x)?g(x)?eg(x)lnf(x).五.介紹一些特殊函數(shù): 1.符號函數(shù) 2.Dirichlet函數(shù) 3.Riemann函數(shù) 4.取整函數(shù)

5.非負小數(shù)部分函數(shù)

Ex

[1]P15 1(4)(5)，2, 3，4，5, 6, 7，8；

§4 具有某些特性的函數(shù)(1時)

一、有界函數(shù): 有界與無界函數(shù)的概念.例1 驗證函數(shù) f(x)?5x2x2?3在R內有界.解法一

由2x2?3?(2x)2?(3)2?22x?3?26x, 當x?0時,有

f(x)?5x5x5x2x2?3?2x2?3?26x?526?3.f(0)?0?3，?對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內有界.解法二

令 y?5x2x2?3 ? 關于x的二次方程 2yx2?5x?3y?0有實數(shù)根.? ??52?24y2?0, ? y2?2524?4, ? y ?2.解法三

令 x?3????tgt, t???,?對應x?(?? , ??).于是 2?22?5x53tgt5sint1????

222253tgt2f(x)?2x?32??3?32tgt?16costsec?2tgt?t??3??

?526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.例2 見[1]P17.例3 見[1]P17.二、關于單調函數(shù)、奇偶函數(shù)和周期函數(shù)(略)，參閱[1]P17—19，Ex

[1]P20 1，2, 3，4，5, 6, 7；

第二篇：數(shù)學分析教案

《數(shù)學分析Ⅲ》教案編寫目錄（1—16周，96學時）

課時教學計劃（教案21-1）

課題：§21-1二重積分的概念

一、教學目的：

1．理解二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．理解二重積分的7條性質。

二、教學重點：二重積分的概念；二重積分的存在性和性質。

三、教學難點：二重積分的定義；二重積分的存在性。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由平面圖形的面積和曲頂柱體的體積引出二重積分的概念。?平面圖形的面積

（約40min，投影、圖示與黑板講解）

1．平面圖形面積的定義；

2．平面圖形可求面積的充分必要條件；

?二重積分的定義及其存在性

1.2.? 二重積分的定義；

二重積分存在的充分條件和必要條件。

二重積分的性質

（約25min，圖示與黑板講解）

結合二重積分的定義講解二重積分的7條性質。

? 補充例子：

（約10min，黑板講解）

1．根據二重積分的定義計算二重積分； 2．根據二重積分的性質證明不等式。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質。

八、作業(yè)：P217習題

1，2，3，4，5，6，8。

課時教學計劃（教案21-2）

課題：§21-2直角坐標系下二重積分的計算

一、教學目的：

掌握在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：定理21.8，21.9。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

由曲頂柱體的體積引出二重積分計算的直觀概念。? 定理21.8，21.9的證明

?

X型、y型區(qū)域的講解及其定理21.10的證明

? 直角坐標系下二重積分的計算舉例

教材中例1—例4。

? 補充例子：

利用二重積分計算體積；

七、課程小結：

直角坐標系下二重積分的計算。

八、作業(yè)：P222習題

1，2，3，4，5，6，8。

（約5min，語言表述）

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-3）

課題：二重積分的概念與計算習題課

一、教學目的：

1．鞏固二重積分的概念，其中包括二重積分的定義、幾何意義和存在性。2．鞏固在直角坐標系下二重積分的計算方法。

二、教學重點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

三、教學難點：直角坐標系下二重積分的計算方法。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

1．二重積分的概念復習； 2．二重積分的性質復習。

?

二重積分的計算

1.2.利用二重積分的定義和限制計算二重積分和某些不等式； 在直角坐標系下計算二重積分。

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習題

1，2。

課時教學計劃（教案21-4）

課題：§21-3格林公式、曲線積分與路線的無關性

一、教學目的：

1.理解格林公式；

2.掌握格林公式在計算二重積分和曲線積分的方法。3.掌握曲線積分與路線無關的條件和應用方法。

二、教學重點：格林公式的理解和方法。

三、教學難點：定理21.11，21.12。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 格林公式，定理21.11的證明

?

例1—例3的講解

? 曲線積分與路線的無關性，定理21.12的證明

例4的講解。

? 補充例子：

利用二重積分計算曲線積分。

七、課程小結：

格林公式與曲線積分與路徑無關的概念。

八、作業(yè)：P231習題

1，2，3，4，5，6，8。

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約25min，圖示與黑板講解）

（約30min，圖示與黑板講解）

（約20min，黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案21-5）

課題：§21-4二重積分的變量變換

一、教學目的：

1.理解二重積分的變量變換的基本思想；

2.3.掌握二重積分變量變換的方法特別是極坐標變換。掌握在極坐標系下計算二重積分的方法。

二、教學重點：二重積分的變量變換。

三、教學難點：引理和定理21.13，21.14。

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的變量變換公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

引理證明，定理21.13證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 用極坐標計算二重積分，定理21.14證明

（約20min，圖示與黑板講解）二重積分在極坐標系下化為累次積分，例3，例4，例5，例6講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的變量變換，在極坐標系下計算二重積分的方法。

八、作業(yè)：P242習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-6）

課題：格林公式、曲線積分與路線的無關性

及積分變換習題課

一、教學目的：

1.2.鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換；

鞏固格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換的計算方法。

二、教學重點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

三、教學難點：格林公式、曲線積分與路線的無關性及積分變換

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 講解格林公式、曲線積分與路線的無關性的計算題

（約95min，投影、圖示與黑板講解）

?

講解積分變換的計算題

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

二重積分的定義；二重積分性質；二重積分的計算。

八、作業(yè)：P243

總練習題

7，8 6

課時教學計劃（教案21-7）

課題：§21-5 三重積分

一、教學目的：

1.2.3.理解三重積分的概念；

掌握化三重積分為累次積分的方法； 掌握三重積分換元法。

二、教學重點：三重積分換元法

三、教學難點：定義和定理21.15

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 三重積分的定義

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

定理21.15證明，例1，例2講解

（約25min，圖示與黑板講解）

? ? 三重積分還原公式，柱面坐標變換，球面坐標變換（約20min，圖示與黑板講解）例3，例4，例5講解

（約35min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

三重積分的定義，在直角坐標、柱面坐標、球面坐標下計算三重積分的方法。

八、作業(yè)：P251習題

1，2，3，4，5。

課時教學計劃（教案21-8）

課題：§21-6 重積分的應用

一、教學目的：

1.2.3.掌握重積分在求曲面面積的應用； 了解重積分在重心的應用； 了解重積分在轉動慣量的應用。

二、教學重點：重積分求曲面面積

三、教學難點：運用重積分公式求解曲面面積

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由曲面的面積引出重積分的應用。

?

建立曲面面積的計算公式

（約40min，圖示與黑板講解）

? ? 例1講解

（約35min，圖示與黑板講解）簡單介紹重積分在重心、轉動慣量的應用

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業(yè)：P259 1，2。

課時教學計劃（教案21-9）

課題：§21-8 反常二重積分

一、教學目的：

掌握反常二重積分及其計算

二、教學重點：反常二重積分及其計算

三、教學難點：反常二重積分及其計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

?

無界區(qū)域上的二重積分

（約10min，圖示與黑板講解）

? ? ? ? 定理21.16，定理21.17的證明

（約40min，圖示與黑板講解）例1的講解

（約15min，圖示與黑板講解）定理21.18，定理21.19

（約15min，圖示與黑板講解）無界函數(shù)上的二重積分及定理21.20

（約15min，圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

曲面面積的概念，重積分在計算曲面面積、重心、轉動慣量中的應用。

八、作業(yè)：P272 1，2，3。

課時教學計劃（教案21-10）

課題：三重積分及重積分的應用習題課

一、教學目的：

1.鞏固三重積分的概念，其中包括三重積分的定義、幾何意義和存在性。2.鞏固在直角坐標系下三重積分的計算方法。3.鞏固化三重積分為累次積分的方法。4.鞏固三重積分換元法。

二、教學重點：直角坐標系下三重積分的計算方法。

三、教學難點：三重積分換元法

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 二重積分的概念與性質

1.三重積分的概念復習； 2.三重積分的性質復習。

?

三重積分的計算

1.化三重積分為累次積分；

2.在柱面坐標、球面坐標下計算三重積分； 3.計算曲面面積。

七、課程小結：

三重積分的定義；三重積分性質；三重積分的計算。

八、作業(yè)：P278

總練習題

15min，投影、圖示與黑板講解）

（約80min，投影、圖示與黑板講解）

（約5min，黑板講解）

（約

課時教學計劃（教案22-1）

課題：§22-1第一型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第一型曲面積分的概念。第一型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一型曲面積分計算

三、教學難點：第一型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求曲面的質量引出第一型曲面積分的概念。

? 第一型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一型曲面積分的計算

1.2.定理22.1第一型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一型曲面積分的定義；第一型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P282 1，2，3，4

課時教學計劃（教案22-2）

課題：§22-2第二型曲面積分

一、教學目的：

1.2.第二型曲面積分的概念。第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第二型曲面積分計算

三、教學難點：第二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

[引例]：

（約5min，語言表述）

由求流量問題引出第二型曲面積分的概念。

? 第二型曲面積分的概念

（約25min，投影、圖示與黑板講解）

?

第二型曲面積分的計算

1.2.3.定理22.2第二型曲面積分計算公式

（約30min，投影、圖示與黑板講解）例1，例2的求解

（約35min，投影、圖示與黑板講解）

簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第二型曲面積分的定義；第二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P289 1，2 12 課時教學計劃（教案22-3）

課題：第一、二型曲面積分復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的概念。鞏固第一型曲面積分、第二型曲面積分的計算。

二、教學重點：第一、二型曲面積分計算

三、教學難點：第一、二型曲面積分計算

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 第一、二型曲面積分的概念

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

?

第一、二型曲面積分的計算

1.2.習題鞏固第一、二型曲面積分計算公式

（約75min，投影、圖示與黑板講解）簡單介紹兩類曲面積分的聯(lián)系

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

第一、二型曲面積分的定義；第一、二型曲面積分的計算。

八、作業(yè)：P305 1，2

課時教學計劃（教案22-4）

課題：§22-3高斯公式與斯托克斯公式

一、教學目的：

1.2.掌握高斯公式 掌握斯托克斯公式

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式

1.2.? 定理22.3證明

（約25min，投影、圖示與黑板講解）例1的求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

斯托克斯公式的重要意義

（約5min，投影、圖示與黑板講解）

?

斯托克說公式

1.2.3.定理22.4證明

（約15min，投影、圖示與黑板講解）例2的求解

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

定理22.5及例3

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4 14 課時教學計劃（教案22-5）

課題：§22-4場論初步

一、教學目的：

1.2.了解場的概念 掌握梯度場、散度場

二、教學重點：梯度場、散度場

三、教學難點：梯度場、散度場

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 場的概念、向量場線

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

梯度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）?

例1求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

? 散度場的定義及其基本性質

（約20min，投影、圖示與黑板講解）

?

例2求解

（約15min，投影、圖示與黑板講解）?

了解其他場

（約10min，投影、圖示與黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P296 1，2，3，4。

課時教學計劃（教案22-6）

課題：高斯公式與斯托克斯公式和場論初步復習課

一、教學目的：

1.2.鞏固高斯公式與斯托克斯公式 鞏固梯度場、散度場

二、教學重點：高斯公式與斯托克斯公式

三、教學難點：高斯公式與斯托克斯公式

四、教學方法：多媒體、問題討論與黑板講解穿插教學。

五、教學用具：黑板、CAI課件及硬件支持

六、教學過程：

? 高斯公式與斯托克斯公式

（約15min，投影、圖示與黑板講解）

?

高斯公式與斯托克斯公式的計算

（約65min，投影、圖示與黑板講解）?

復習場論知識

（約15min，黑板講解）

七、課程小結：

（約5min，黑板講解）

高斯公式與斯托克斯公式；高斯公式與斯托克斯公式的計算； 場的概念；梯度場、散度場。

八、作業(yè)：P305 3，4。

第三篇：數(shù)學分析 教案

第九章

空間解析幾何

教學目標：

1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算.5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、參數(shù)方程，了解平面和空間直線的一般式方程.6．理解曲面及其方程的關系，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以坐標軸為旋轉軸、準線在坐標面上的旋轉曲面及以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在坐標面內的投影.8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標準方程及其圖形.教學重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標準式方程和參數(shù)方程，球面、以坐標軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在坐標面內的投影.教學難點：向量的概念，向量的點積與叉積的概念與計算，利用向量的點積與叉積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：14學時 教學手段：板書

學法建議：解析幾何的實質是建立點與實數(shù)有序數(shù)組之間的關系，把代數(shù)方程與曲線、曲面對應起來，從而能用代數(shù)方法研究幾何圖形建議在本章的學習中，應注意對空間圖形想象能力的培養(yǎng)，有些空間圖形是比較難以想像和描繪的，這是學習本章的一個難點.為了今后學習多元函數(shù)重積分的需要，同學們應自覺培養(yǎng)這方面的能力.參考資料： 使用教材：《高等數(shù)學》（第三版），高職高專十一五規(guī)劃教材，高等教育出版社，2011年5月，侯**主編.參考教材： 1.《高等數(shù)學》，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月，宋立溫等主編.2.《高等數(shù)學》，教育部高職高專規(guī)劃教材，高等教育出版社，2006年4月，盛祥耀主編.3.《高等數(shù)學》，第五版.同濟大學數(shù)學教研室編，高等教育出版社.4.《高等數(shù)學應用205例》，李心燦編，1986年，高等教育出版社.5.《高等數(shù)學》，宋立溫等主編，21世紀高職高專精品教材，北京理工大學出版社，2005年5月.第一節(jié) 空間直角坐標系與向量的概念

教學目標：

1．理解空間直角坐標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.3．理解向量的加法、數(shù)乘、點積與叉積的概念.4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的坐標表示，熟練掌握用向量的坐標表示進行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學重點：向量的概念，向量的加法、數(shù)乘的概念，用向量的坐標表示進行向量的加法、數(shù)乘的運算.教學難點：向量的概念.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書

一、引入新課（3分鐘）

(提問)舉幾個既有大小又有方向的量.(溫故知新,進行一些必要知識鋪墊。)

二、講授新課（72分鐘）

（一）空間直角坐標系（17分鐘）

在空間,使三條數(shù)軸相互垂直且相交于一點O，這三條數(shù)軸分別稱為x軸、y軸和z軸，一般是把x軸和y軸放置在水平面上，z軸垂直于水平面.z軸的正向按下述法則規(guī)定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，并使四指先指向x軸的正向，然后讓四指沿握拳方向旋轉090指向y軸的正向，這時大拇指所指的方向就是z軸的正向(該法則稱為右手法則).這樣就組成了右手空間直角坐標系Oxyz.在此空間直角坐標系中，x軸稱為橫軸，y軸稱為縱軸，簡稱坐標面.x軸與yz軸稱為豎軸，O稱為坐標原點;每兩軸所確定的平面稱為坐標平面，軸所確定的坐標面稱為xOy坐標面，類似地有yOz坐標面，zOx坐標面。這些坐標面把空間分為八個部分，每一部分稱為一個卦限.在空間直角坐標系中建立了空間的一點M與一組有序數(shù)(x,y,z)之間的一一對應關系。有序數(shù)組(x,y,z)稱為點M的坐標；x,y,z分別稱為x坐標，y坐標，z坐標.(提問)根據點的坐標的規(guī)定，點（0,0,c）在哪條坐標軸上，點（a，b，0）(a,0,c)在哪個坐標面上？（目的在于檢驗學生能否正確理解點與有序數(shù)組的對應關系，并在問題中正確應用.）

（二）向量的基本概念及線性運算（15分鐘）1.向量的基本概念

（此部分內容在高中階段已學，故可由教師引導，師生共同回憶完成）⑴向量的定義：既有大小，又有方向的量，稱為向量或矢量．

?⑵向量的模：向量的大小稱為向量的模，用a或AB表示向量的模． ⑶單位向量 模為1的向量稱為單位向量． ⑷零向量 模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.⑸向量的相等 大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.⑹自由向量 在空間任意地平行移動后不變的向量,稱為自由向量.2.向量的線性運算 ⑴ 向量的加法

① 三角形法則 若將向量a的終點與向量b的起點放在一起，則以a的起點為起點，以b的終點為終點的向量稱為向量a與b的和向量，記為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.②平行四邊形法則 將兩個向量a和b的起點放在一起，并以a和b為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為a?b.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.向量的加法滿足下列運算律.交換律：a?b=b?a； 結合律：（a?b）+c=a+（b+c）.⑵ 向量與數(shù)的乘法運算

實數(shù)?與向量a的乘積是一個向量，稱為向量a與數(shù)?的乘積，記作?a，并且規(guī)定：

①?a?? a；

②當??0時，?a與a的方向相同；當??0時，?a與a的方向相反； ③當??0時，?a是零向量.設?,?都是實數(shù)，向量與數(shù)的乘法滿足下列運算律：

結合律：?(?a)?(??)a??(?a)；

分配律：(???)a??a??a , ?(a+b)=?a+?b.向量的加法運算和向量與數(shù)的乘法運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.⑶ 求與a同向的單位向量的方法 設向量a是一個非零向量，則與a同向的單位向量

ea?a.a ⑷ 負向量 當???1時，記(-1)a=-a，則-a與a的方向相反，模相等，-a稱為向量a的負向量.⑸ 向量的減法 兩向量的減法（即向量的差）規(guī)定為 a-b=a +(-1)b.向量的減法也可按三角形法則進行，只要把a與b的起點放在一起，a-b即是以b的終點為起點，以a的終點為終點的向量.（三）向量的坐標表示（40分鐘）

1、向徑及其坐標表示

⑴ 基本單位向量 i,j,k分別為與x軸,y軸,z軸同向的單位向量.⑵ 向徑及其坐標表示

向徑 終點為P的向量OP稱為點P的向徑,記為OP.點P(a1,a2,a3)的向徑OP的坐標表達式為OP=a1i?a2j?a3k或簡記為 OP={a1,a2,a3}.講解例1（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向徑的坐標表示.）

2、向量M1M2的坐標表示

設以M1(x1,y1,z1)為起點,以M2(x2,y2,z2)為終點的向量M1M2的坐標表達式為 M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k.講解例2（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確應用向量M1M2的坐標表示.）

3、向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4、空間兩點間距離公式

?222點M1(x1,y1,z1)與點M2(x2,y2,z2)間的距離記為d(M1M2),則d(M1M2)?M1M2, 而M1M2=(x2?x1)i?(y2?y1)j?(z2?z1)k 所以d(M1M2)?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2

講解例

3、例4（學生講解，考察學生對所學知識進行運用的情況）5.坐標表示下的向量運算

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則有（1）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（2）a?b?(a1?b1)i?(a2?b2)j?(a3?b3)k；（3）?a??(a1i?a2j?a3k)??a1i??a2j??a3k；（4）a?b?a1?b1,a2?b2,a3?b3（5）a∥b?a=?b?a1a2a3??.b1b2b3引導學生看書、探究證明方法.由老師分析歸納證明思路，指出定理的作用與用法.講解例5（師生共同完成，讓學生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學生解題步驟，培養(yǎng)科學的學習方法與態(tài)度）

三、課堂練習（9分鐘）教材169頁1—5題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度。旨在訓練學生總結數(shù)學思想的能力，并在學習中注意這些數(shù)學思想的應用）

四、內容小結（4分鐘）

（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納）

（一）空間直角坐標系

（二）向量的基本概念及線性運算 1.向量的基本概念 2.向量的線性運算

（三）向量的坐標表示 1.向徑及其坐標表示 2.向量M1M2的坐標表示

3.向量a?a1i?a2j?a3k的模 a=a1?a2?a3.4.空間兩點間距離公式 5.坐標表示下的向量運算

五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材169頁2、4、6題

2.預習第二節(jié)向量的點積與叉積

222第二節(jié) 向量的點積與叉積

教學目標：熟練掌握用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學重點：向量點積與叉積的概念.教學難點：用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算.教學方法：講授為主的綜合法 教學學時：2學時 教學手段：板書

一、引入新課（5分鐘）

(提問)1.向徑及其坐標表示2.向量M1M2的坐標表示3.向量a?a1i?a2j?a3k的模

222?a2?a34.空間兩點間距離公式 a=a1(溫故知新,為用向量的坐標表示進行向量點積與叉積的運算做一些必要的知識鋪墊。)

二、講授新課（64分鐘）

（一）向量的點積（34分鐘）

1、引例

已知力F與x軸正向夾角為?，其大小為F,在力F的作用下，一質點M沿x軸由x=a移動到x=b,求力F所做的功？（創(chuàng)設學習的情景，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣）

分析：在力F使質點M沿x軸由x=a移動到x=b,所做的功等于F的模與位移的模及其夾角余弦的積.解略.這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的點積的定義.2、定義 設向量a,b之間的夾角為?(0???π)，則稱abcos?為向量a與b的數(shù) 量積，記作a·b，即 a·b=abcos?.向量的點積又稱“點積”或“內積”.講解例1.（教師分析，師生共同完成本題目的求解，目的在于檢驗學生能否正確理解向量的點積的定義.）

向量的點積還滿足下列運算律: 交換律：a·b= b·a；

分配律：(a+b)·c= a·c+b·c；

結合律：?(a·b)=(?a)·b(其中?為常數(shù)).3、點積的坐標表示

（1）設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則a·b=a1b1?a2b2?a3b3.（由學生自行得出點積的坐標表示公式，進一步加深對向量點積的定義的理解）（2）定理1：a⊥b?a?b?0?a1b1?a2b2?a3b3?0

講解例2.（學生講解，考察學生對兩向量正交充分必要條件的理解與應用能力）

4、向量a與b的夾角余弦

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k,則 cos??a1b1?a2b2?a3b3a?b =(0???π).222222aba1?a2?a3b1?b2?b35、向量的方向余弦

設 向 量 a?a1i?a2j?a3k與 x 軸 ,y 軸 ,z 軸 的 正 向 夾 角 分 別 為

?,?,?(0??,?,??π),稱其為向量a的三個方向角，并稱cos? ,cos?,cos?為a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐標表示為

cos??且cos2??cos2a1a?a?a212223, cos??a2a?a?a212223, cos??a3a?a?a212223，??cos2??1.講解例4（（師生共同完成.利用數(shù)學建模解決物理問題，讓學生熟悉建模過程，規(guī)范解題步驟.數(shù)學來源于生活、服務生活，培養(yǎng)學生學數(shù)學、用數(shù)學的意識.）

（二）向量的叉積（30分鐘）1.引例

設點O為一杠桿的支點，力F作用于杠桿上點P處，求力F對支點O的力矩.分析：力F對支點O的力矩等于F的模與向量OP的模及其夾角正弦的積.解略.（這個特殊問題中得出的關系是否具有普遍意義？引起思維的碰撞，引出向量的叉積的定義.）

2.叉積的定義

(1)定義 兩個向量a與b的叉積是一個向量，記作a×b，它的模和方向分別規(guī)定如下：

①a×b=absin? 其中?是向量a與b的夾角；

②a×b的方向為既垂直于a又垂直于b，并且按順序a,b,a×b符合右手法則.（2）向量的叉積滿足如下運算律.反交換律：a×b=-b×a；

分配律：(a+b)×c=a×c+b×c；

結合律：?(a×b)=(?a)×b=a×(?b)(其中?為常數(shù)).講解例5（學生講解，考察學生對向量叉積定義的理解與應用能力）（3）定理2：a∥b?a?b?0.3.叉積的坐標表示

設a?a1i?a2j?a3k，b?b1i?b2j?b3k，則

a×b=(a2b3?a3b2)i?(a1b3?a3b1)j?(a1b2?a2b1)k.可將a×b表示成一個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即

i j k a×b= a1 a2 a3.b1 b2 b3

講解例6（師生共同完成，加深學生對叉積的坐標表示公式的記憶，讓學生熟悉解題過程，旨在規(guī)范學生解題步驟，培養(yǎng)科學的學習方法與態(tài)度）

講解例8(師生共同完成，訓練學生解決實際問題的能力)

三、課堂練習（15分鐘）

教材174頁思考題1—3題.（檢驗學習效果，讓學生在會的基礎上，訓練解題速度.）

四、內容小結（4分鐘）

（教師引導學生一起完成，讓學生學會總結歸納，訓練學生總結數(shù)學思想的能力，并在學習中注意這些數(shù)學思想的應用.）

（一）向量的點積定義、坐標表示；

（二）向量的叉積定義、坐標表示及記憶方法.五、布置作業(yè)(2分鐘)1.教材174頁2、4、6、8題 2.預習第三節(jié)平面與直線

第四篇：《數(shù)學分析》教案

《數(shù)學分析》教案

S F 01(數(shù))

C h0 數(shù)學分析課程簡介

C h 1 實數(shù)集與函數(shù)

計劃課時： Ch 0

2時

Ch 1

6時

P 1—8

說 明：

1．這是給數(shù)學系2001屆學生講授《數(shù)學分析》課編制的教案.該課程開設兩學期, 總課時為1 8 0 學時, 是少課時型教案（后來又開設了一學期，增加了8 0 學時）.按照學分制的要求, 只介紹數(shù)學分析最基本的內容.本教案共2 7 9頁，分2 1章.2.取材的教材: [1] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學分析習題課教程，高等教育出版社，1991； [3] 馬振民，數(shù)學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999； [4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999； [5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.Ch 0

數(shù)學分析課程簡介(2 時)一.數(shù)學分析(mathematical analysis)簡介:

1.背景: 從切線、面積、計算sin32?、實數(shù)定義等問題引入.2.極限(limit)—— 變量數(shù)學的基本運算：

3.數(shù)學分析的基本內容：數(shù)學分析以極限為基本思想和基本運算研究實變實值

函數(shù).主要研究微分(differential)和積分(integration)兩種特殊的極限運算,利用這兩種運算從微觀和宏觀兩個方面研究函數(shù), 并依據這些運算引進并研究一些非初等函數(shù).數(shù)學分析基本上是連續(xù)函數(shù)的微積分理論.微積運算是高等數(shù)學的基本運算.數(shù)學分析與微積分(calculus)的區(qū)別..二． 數(shù)學分析的形成過程：

1． 孕育于古希臘時期： 在我國，很早就有極限思想.紀元前三世紀, Archimedes 就有了積分思想.2.十七世紀以前是一個漫長的醞釀時期,是微積分思想的發(fā)展、成果的積累時期: 3． 十七世紀下半葉到十九時紀上半葉 —— 微積分的創(chuàng)建時期: 參閱《數(shù)學分

析選講》講稿(1997.8.10.)第三講P72.4.十九時紀上半葉到二十時紀上半葉 —— 分析學理論的完善和重建時期：參閱 《數(shù)學分析選講》講稿第三講P72—75.三.數(shù)學分析課的特點:

邏輯性很強, 很細致, 很深刻;先難后易, 是說開頭四章有一定的難度, 倘能努力學懂前四章(或前四章的8000), 后面的學習就會容易一些;只要在課堂上專心聽講, 一般是可以聽得懂的, 但即便能聽懂,習題還是難以順利完成.這是因為數(shù)學分析技巧性很強, 只了解基本的理論和方法, 不輔以相應的技巧, 是很難順利應用理論和方法的.論證訓練是數(shù)學分析課基本的,也是重要的內容之一, 也是最難的內容之一.一般懂得了證明后，能把證明準確、嚴密、簡練地用數(shù)學的語言和符號書寫出來，似乎是更難的一件事.因此, 理解證明的思維方式, 學習基本的證明方法, 掌握敘述和書寫證明的一般語言和格式, 是數(shù)學分析教學貫穿始終的一項任務.有鑒于此, 建議的學習方法是: 預習, 課堂上認真聽講, 必須記筆記, 但要注意以聽為主, 力爭在課堂上能聽懂七、八成.課后不要急于完成作業(yè), 先認真整理筆記, 補充課堂講授中太簡或跳過的推導, 閱讀教科書, 學習證明或推導的敘述和書寫.基本掌握了課堂教學內容后, 再去做作業(yè).在學習中, 要養(yǎng)成多想問題的習慣.四.課堂講授方法:

1.關于教材: 沒有嚴格意義上的教科書.這是大學與中學教學不同的地方, 本課程主要從以下教科書中取材:

[1] 華東師范大學數(shù)學系編，數(shù)學分析，高等教育出版社，1996；

[2] 鄭英元，毛羽輝，宋國東，數(shù)學分析習題課教程，高等教育出版社，1991；

[3] 馬振民，數(shù)學分析的方法與技巧選講，蘭州大學出版社，1999；

[4] 馬振民，呂克璞，微積分習題類型分析, 蘭州大學出版社，1999；

[5] W.Rudin, Principles of mathematical analysis, 1964.本課程基本按[1]的邏輯順序, 主要在[1]、[4]、[3]中取材.在講授中, 有時會指出所講內容的出處.本課程為適應課時少和學分制的要求，只介紹數(shù)學分析最基本的內容.因此刪去了[1]中第八、十五、十九和二十二等四章，相應的內容作為選修課將在學完數(shù)學分析課之后開設.2.內容多, 課時緊: 大學課堂教學與中學不同的是, 這里每次課介紹的內容很多, 因此, 內容重復的次數(shù)少, 講課只注重思想性與基本思路, 具體內容或推導, 特別是同類型或較簡的推理論證及推導計算, 可能講得很簡, 留給課后的學習任務一般很重.3.講解的重點: 概念的意義與理解, 幾何直觀, 理論的體系, 定理的意義、條件、結論.定理證明的分析與思路, 具有代表性的證明方法, 解題的方法與技巧.某些精細概念之間的本質差別.在第一、二章教學中, 可能會寫出某些定理證明, 以后一般不會做特別具體的證明敘述.五.要求、輔導及考試：

1.學習方法: 盡快適應大學的學習方法, 盡快進入角色.課堂上以聽為主, 但要做課堂筆記.課后一定要認真復習消化, 補充筆記.一般課堂教學與課外復習的時間比例應為1 : 3(國外這個比例通常是 1 : 4.參《西北師大報》№191，2000.9.30.第二版:

本科節(jié)段如何培養(yǎng)高素質創(chuàng)新人材 ——

伯利克大學的啟示.注: 伯利克大學乃美國加州大學伯利克分校.)對將來從事數(shù)學教學工作的師范大學本科生來說, 課堂聽講的內容應該更為豐富:

要認真評價教師的課堂教學, 把教師在課堂上的成功與失敗變?yōu)樽约旱慕涷?這對未來的教學工作是很有用的.2.作業(yè):

作業(yè)以[1]的練習題中劃線以上的部分習題和[4]中的計算題為主要內容.大體上每兩周收一次作業(yè), 一次收清.每次重點檢查作業(yè)總數(shù)的三分之一.作業(yè)的收交和完成情況有一個較詳細的登記, 缺交作業(yè)將直接影響學期總評成績.作業(yè)要按數(shù)學排版格式書寫恭整.要求活頁作業(yè), 最好用西北師大稿紙.要有作業(yè)封面, 尺寸為19.5?27.5cm.作業(yè)布置方式: [1]P…, [4]P…

3.輔導: 大體每周一次, 第一學期要求輔導時不缺席.4.考試: 按學分制的要求, 只以最基本的內容進行考試, 大體上考課堂教學和所布置作業(yè)的內容, 包括[1]和[4]中的典型例題.考試題為標準化試題.Ch 1 實數(shù)集與函數(shù)(6時)

§ 1

實數(shù)集與確界（3時）

一．

實數(shù)集R：回顧中學中關于實數(shù)集的定義.1.四則運算封閉性: 2.三歧性(即有序性): 3.Rrchimedes性: ?a,b?R, b?a?0, ?n?N, ? na?b.4.稠密性: 有理數(shù)和無理數(shù)的稠密性, 給出稠密性的定義.5.實數(shù)集的幾何表示 ─── 數(shù)軸: 6.兩實數(shù)相等的充要條件: a?b, ? ???0, a?b ? ?.7.區(qū)間和鄰域:

二.幾個重要不等式:

1.絕對值不等式: 定義 a ?max??a , a ?.[1]P2 的六個不等式.2.其他不等式:

⑴ a2?b2?2ab, sinx ? 1.sinx ? x.⑵

均值不等式: 對?aa?1,a2,?,n?R, 記

M(aa1?a2???anni)? n? 1n?ai,(算術平均值)

i?11n

G(ai)?na?1a2?an??n???ai??,(幾何平均值)?i?1?

H(ai)?n1?1n?nna?1???111?1.(調和平均值)1a2ann?i?1aii?1ai有平均值不等式:

H(ai)? G(ai)? M(ai),等號當且僅當a1?a2???an時成立.⑶

Bernoulli 不等式:(在中學已用數(shù)學歸納法證明過)?x??1,有不等式(1?x)n?1?nx, n?N.當x??1 且 x?0, n?N且n?2時, 有嚴格不等式(1?x)n?1?nx.(現(xiàn)采用《數(shù)學教學研究》1991.№ 1馬德堯文 “均值不等式妙用兩則”中的證明)證 由 1?x?0且1?x?0, ?(1?x)n?n?1?(1?x)n?1?1???1? ?n n(1?x)n?n(1?x).?(1?x)n?1?nx.⑷ 利用二項展開式得到的不等式: 對?h?0, 由二項展開式(1?h)n?1?nh?n(n?1)2!h?2n(n?1)(n?2)3!h???h，3n 有(1?h)n?上式右端任何一項.三.有界數(shù)集與確界原理: 1.有界數(shù)集:

定義(上、下有界, 有界)，閉區(qū)間、(a,b)(a,b為有限數(shù)）、鄰域等都是有界數(shù)集，集合 E??y y?sinx, x?(?? , ??)?也是有界數(shù)集.無界數(shù)集: 定義,(?? , ??),(?? , 0),(0 , ??)等都是無界數(shù)集，??1?, x?(0 , 1)?也是無界數(shù)集.x?集合 E??y y?2.確界: 給出直觀和刻畫兩種定義.n?(?1)

例

1⑴

S??1?n???,則supS?______, infS?_______.?

⑵ E??y y?sinx, x?(0,?)?.則

supE?________, infE?_________.例2 非空有界數(shù)集的上（或下）確界是唯一的.例3 設S和A是非空數(shù)集，且有S?A.則有 supS?supA, infS?infA..例4 設A和B是非空數(shù)集.若對?x?A和?y?B,都有x?y, 則有

supA?infB.證 ?y?B, y是A的上界, ? supA?y.? supA是B的下界, ? supA?infB.例5 A和B為非空數(shù)集, S?A?B.試證明: infS?min? infA , infB ?.證

?x?S,有x?A或x?B, 由infA和infB分別是A和B的下界,有

x?infA或x?infB.? x?min? infA , infB ?.即min? infA , infB ?是數(shù)集S的下界, ? infS?min? infA , infB ?.又S?A, ? S的下界就是A的下界,infS是S的下界, ? infS是A的下界, ? infS?infA;同理有infS?infB.于是有 infS?min? infA , infB ?.綜上, 有 infS?min? infA , infB ?.3.數(shù)集與確界的關系: 確界不一定屬于原集合.以例1⑵為例做解釋.4.確界與最值的關系: 設 E為數(shù)集.⑴

E的最值必屬于E, 但確界未必, 確界是一種臨界點.⑵

非空有界數(shù)集必有確界(見下面的確界原理), 但未必有最值.⑶

若maxE存在, 必有 maxE?supE.對下確界有類似的結論.四.確界原理:

Th(確界原理).Ex

[1]P4 3，4，9，10；

P9

2，4，7⑴⑶.§ 2 初等函數(shù)(3時)

一.函數(shù):

1.函數(shù):

[1]P10—12的五點說明.2.定義域: 定義域和存在域.3.函數(shù)的表示法:

4.反函數(shù):

一 一 對應, 反函數(shù)存在定理.5.函數(shù)的代數(shù)運算:

?1?x, x?1,?f(x)??2, x?1，?2?x, x?1

二.分段函數(shù): 以函數(shù)介紹概念.??2?x, x?1,和g(x)??2為例

??x, x?1例1 f(x)?3?2x?1, 去掉絕對值符號.x ? 1,?x, ?1?x, x ?1.例

2f(x)??

求 f(0), f(1), f(2).例

3設 f(x)???x?3, x?10,?f?f(x?5)?, x?10.求 f(5).(答案為8)

三.函數(shù)的復合:

例4 y?f(u)?定義域.例

5⑴

f(1?x)?x?x?1, f(x)?_____________.??1?12??x?2.則f(x)?()x?x222u, u ?g(x)?1?x.求

2?f?g?(x)?f?g(x).?并求

⑵

f?x?2

A.x, B.x?1, C.x?2, D.x?2.[4]P407 E62.2四.初等函數(shù):

1.基本初等函數(shù):

2.初等函數(shù): 3.初等函數(shù)的幾個特例: 設函數(shù)f(x)和g(x)都是初等函數(shù), 則

⑴ f(x)是初等函數(shù), 因為 f(x)??f(x)?2.⑵ ?(x)?max?f(x), g(x)? 和 ?(x)?min?f(x), g(x)?都是初等函數(shù), 因為 ?(x)?max?f(x), g(x)?? ?(x)?min?f(x), g(x)? ? ⑶ 冪指函數(shù) ?f(x)? ?f(x)?g(x)1212?f(x)?g(x)??f(x)?g(x)?f(x)?g(x)? , f(x)?g(x)?.g(x)?f(x)?0?是初等函數(shù),因為

g(x)?eln?f(x)??eg(x)lnf(x).五.有界函數(shù): 有界函數(shù)概念.例6

驗證函數(shù) f(x)?225x2x?32在R內有界.2解法一 由2x?3?(2x)?(3)?25x2x?322x?3?26x, 當x?0時,有

f(x)??5x2x?32?5x26x?526?3.f(0)?0?3，?

對 ?x?R, 總有 f(x)?3, 即f(x)在R內有界.解法二

令 y?5x2x?32, ? 關于x的二次方程 2yx22?5x?3y?0有實數(shù)根.22

? ??5?24y?0, ? y?2524?4, ? y?2.解法三

令 x?????tgt, t???,?對應x?(?? , ??).于是 2?22?3f(x)?5x2x?325??2???332tgt2?533tgt2?tgt??3?2?2tgt?1?5sint126costsect?

? 526sin2t, ? f(x)?526sin2t?526.關于奇偶函數(shù)、周期函數(shù)和單調函數(shù)，參閱[1]P22—25，[4]P19—24.Ex [1]P19—20 1⑸，3，4，6；

P25 1，2，5，8，12；

[4]P34—36 54，55，56，67，68，71，81.

第五篇：(數(shù)學分析教案)第七章

第七章 實數(shù)的完備性

(9學時)§1 關于實數(shù)完備性的基本定理

教學目的要求： 掌握實數(shù)完備性的基本定理的內容，知道其證明方法.教學重點、難點：重點實數(shù)完備性的基本定理.難點是定理的證明,特別是柯西收斂準則和充分性的證明..學時安排:

4學時 教學方法:

講授法.教學過程如下:

一、區(qū)間套定理與柯西收斂準則

定義1 設閉區(qū)間列{[an,bn]}具有如下性質：（1）[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;（2）n??lim(bn?an)?0

則稱{[an,bn]}為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套.定理7.1(區(qū)間套定理)若{[an,bn]}是一個區(qū)間套,則在實數(shù)系中存在唯一的一點?使得??[an,bn],n?1,2,?,即 證: 先證存在性

an???bn,n?1,2,?.?{[an,bn]}是一個區(qū)間套, 所以

a1?a2???an???bn???b2?b,1

?可設 liman??n??n??

n??n??且由條件2有 limbn?lim(bn?an?bn)?liman??

由單調有界定理的證明過程有an???bn,n?1,2,?.再證唯一性

?????bn?an,n?1,2,?.?設??也滿足an???bn,n?1,2,?.那么,由區(qū)間套的條件2得

?????lim(bn?an)?0n??故有????

推論

若??[an,bn](n?1,2,?)是區(qū)間套{[an,bn]}所確定的點,則對任給的??0,存在N?0,使得當

n?N時有

[an,bn]?U(?,?)

柯西收斂準則 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對任給的??0,存在N?0,使得對m,n?N有 |am?an|??.證

[必要性] 略.[充分性] 已知條件可改為：對任給的??0,存在N?0,使得對m,n?N有|am?an|??.取m?N，有對任給的??0,存在N?0,使得對n?N有|am?an|??，即 在區(qū)間[aN??,aN??]內含有{an}中幾乎所有的項（指的是{an}中除有限項的所有項）

?令??12則存在N1，在區(qū)間

[aN1?12,aN1?1]2內含有{an}中幾乎所有的項，記該區(qū)間為[?1,?1].再令項，??122則存在N2(?N1)，在區(qū)間

[aN1?122,aN1?122]內含有{an}中幾乎所有的記該區(qū)間為滿足 [?2,?2]?[aN1?122,aN1?122]?[?1,?1]也含有{an}中幾乎所有的項,且[?1,?1]?[?2,?2]及

?2??2?12n12

.依次繼續(xù)令幾乎所有的項,且滿足 ??123,?，?,得一區(qū)間列{[?n,?n]},其中每個區(qū)間中都含有{an}中

[?n,?n]?[?n?1,?n?1],n?1,2,?;

?n??n?12n?1?0(n??)，即時{[?n,?n]}是區(qū)間套.由區(qū)間套定理,存在唯一的一個數(shù)??[?n,?n],n?1,2,?.再證n??liman??.由定理7.1的推論對任給的??0,存在N?0,使得當n?N時有

[?n,?n]?U(?,?)

liman??即在U(?,?)內含{an}中除有限項的所有項,由定義1?n??.二、聚點定理與有限覆蓋定理

定義2 設S為數(shù)軸上產的點集，?為定點，若?的任何鄰域內都有含有S中無窮多個點，則稱?為點集S的一個聚點.例如:{(?1)?n1n有兩聚點??1,???1.}1{}

n有一個聚點??0.(a,b)內的點都是它的聚點,所以開區(qū)間集(a,b)有無窮多個聚點.聚點的等價定義;定義2?對于點集S,若點?的任何?鄰域內都含有S中異于?的點,即U(?;?)?S??,則稱?為S的一個聚點.0limxn??{x}?Sn??2定義若存在各項互異的數(shù)列,則其極限n??稱為S的一個聚點.三個定義等價性的證明: 證明思路為:2?2??2???2.定義2??2??的證明: 由定義2?設?為S的一個聚點,則對任給的??0,存在x?U(?,?)?S.0令?1?1,則存在x1?U(?,?)?S;

0令?2?min(,|??x1|)2110,則存在x2?U(?;?2)?S,且顯然x2?x1;??

令異;?n?min(,|??xn?1|)20,則存在xn?U(?;?n)?S,且顯然xn與x1,?,xn?1互??

得S中各項互異的數(shù)列{xn},且由由閉區(qū)間套定理可證聚點定理.|?n?xn|??n?1limx??n,知n??n.定理7.2(Weierstrass聚點定理)實數(shù)軸上的任一有界無限點集S致少有一個聚點.證 ?S有界, ?存在M?0,使得S?[?M,M],記[a1,b1]?[?M,M], 將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間.因S為無限點集,故意兩個子區(qū)間中至少有一個含有S中無窮多個點,記此子區(qū)間為[a2,b2],則[a1,b1]?[a2,b2]且b2?a2?12(b1?a1)?M.再將[a2,b2]等分為兩個子區(qū)間,則其中至少有一個含有S中無窮多個點,取出這樣一個子區(qū)間記為[a3,b3],則[a2,b2]?[a3,b3],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:

[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;bn?an?M2n?2b3?a3?12(b2?a2)?M2

?0(n??)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套,且其中每一個閉區(qū)間都含有S中無窮多個點.由區(qū)間套定理, 存在唯一的一點?使得??[an,bn],n?1,2,?.由定理1的推論, 對任?,?).從而U(?;?)含有S給的??0,存在N?0,使得當n?N時有[an,bn]?U(中無窮多個點按定義2?為S的一個聚點.推論(致密性定理)有界數(shù)列必含有收斂子列.證: 設{xn}為有界數(shù)列.若{xn}中有無限多個相等的項,顯然成立.若數(shù)列{xn}中不含有無限多個相等的項,則{xn}在數(shù)軸上對應的點集必為有界無限點集,故由聚點定理,點集{xn}至少有一個聚點,記為?.由定義2??,存在{xn}的一個收斂子列(以?為極限).由致密性定理證柯西收斂準則的充分性.柯西收斂準則 數(shù)列{an}收斂的充要條件是: 對任給的??0,存在N?0,使得對m,n?N有 |am?an|??.證: [充分性] 先證{an}有界,由憶知條件取??1,則存在正整數(shù)N, 則m?N?1及n?N時有

|an?aN?1|?1

由此得|an|?|an?aN?1?aN?1|?1?|aN?1|.取M?max{|a1|,|a2|,?,|aN|,1?|aN?1|}則對一切的正整數(shù)n均有|an|?M.再證{an}收斂,由致密性定理,數(shù)列{an}有收斂子列|am?an|??，|ank?A|??

|a?A|?|an?an|?|an?A|?2?取m?nk(?k?K)時得到 n

kk{ank},設k??limank?A

由條件及數(shù)列極限的定義, 對任給的??0,存在K?0,使得對m,n,k?N有

所以k??limank?A

定義

3設S為數(shù)思軸上的點集,H為開區(qū)間集合(即H的每一個元素都是形如(?,?)的開區(qū)間).若S中的任何一個點都有含在H中至少一個開區(qū)間內,則稱H為S的一個開覆蓋,(H覆蓋S).若H中開區(qū)間的個數(shù)是無限的(有限)的,則稱H為S的一個無限開覆蓋(人限開覆蓋).如S?(a,b),H?{(x??x,x??x)|x?(a,b)},H為S的一個無限開覆蓋.定理7.3(海涅---博雷爾(Heine-Borel)有限覆蓋定理)設H為閉區(qū)間[a,b]的一個(無限)開覆蓋,則從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].證 用反證法

設定理的結論不成立,即不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].將[a,b]等分為兩個子區(qū)間,其中至少有一個不區(qū)間不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.記這個子區(qū)間為[a1,b1],則[a1,b1]?[a,b],且

b1?a1?12(b?a).122再將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間,同樣,其中至少有一個不區(qū)間不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.記這個子區(qū)間為[a2,b2],則[a2,b2]?[a1,b1],且依次繼續(xù)得一區(qū)間列{[an,bn]},它滿足:

[an,bn]?[an?1,bn?1],n?1,2,?;bn?an?12nb2?a2?(b?a).(b?a)?0(n??)，即{[an,bn]}為閉區(qū)間套,且其中每一個閉區(qū)間都不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋 由閉區(qū)間套定理, 存在唯一的一點?使得??[an,bn],n?1,2,?,由于H為閉區(qū)間[a,b]的一個(無限)開覆蓋,故存在(?,?)?H,使得??(?,?).于是,由定理7.1的推論,當n充分大時有[an,bn]?(?,?).即用H中一個開區(qū)間就能覆蓋[an,bn]矛盾.課后記: 這一節(jié)理論性強,學生學習困難較大,我認為應從以下幾個方面和學生共同學習這一節(jié).1 如何理解記憶定理內容.2 如何掌握定理的證明方法.3 怎樣應用定理及定理的證明方法去解決問題.在應用閉區(qū)間套定理時,應先構造一個閉區(qū)間套,構造的方法一般是二等分法,在應用有限覆蓋定理時,應先構造一個開覆蓋構造的方法一般與函數(shù)的連續(xù)性定義結合.應用聚點定理時,應先構造一數(shù)列等.教材中P163[?2,?2]中包含{an}的幾乎所有項,是因為它中包含{an}的第N2項以后的所有項,這里應強掉,容易被忽略.在下節(jié)的教學中就讓學一注意到在什么時候用實數(shù)的完備性定理,這是一個難點,重點.三、實數(shù)基本定理等價性的證明（未講）

證明若干個命題等價的一般方法.本節(jié)證明七個實數(shù)基本定理等價性的路線 : 證明按以下三條路線進行: Ⅰ: 確界原理 單調有界原理

區(qū)間套定理

Cauchy收斂準則

確界原理;Ⅱ: 區(qū)間套定理

致密性定理

Cauchy收斂準則;

Ⅲ: 區(qū)間套定理

Heine–Borel 有限復蓋定理

區(qū)間套定理.一.“Ⅰ” 的證明:(“確界原理

單調有界原理”已證明過).1.用“確界原理”證明“單調有界原理”: 定理7.4 單調有界數(shù)列必收斂.2.用“單調有界原理”證明“區(qū)間套定理”: 定理 7.5 設

是一閉區(qū)間套.則存在唯一的點,使對

有.推論1 若是區(qū)間套

確定的公共點, 則對, 當時, 總有.推論2 若是區(qū)間套確定的公共點, 則有 ↗, ↘，.3.用“區(qū)間套定理”證明“Cauchy收斂準則”:

定理 7.6 數(shù)列收斂 是Cauchy列.引理 Cauchy列是有界列.(證)

定理 7.6 的證明:(只證充分性)教科書P217—218上的證明留作閱讀.現(xiàn)采用三等分的方法證明,該證法比較直觀.4． 用“Cauchy收斂準則” 證明“確界原理” ：

定理7.7 非空有上界數(shù)集必有上確界 ；非空有下界數(shù)集必有下確界.證（只證“非空有上界數(shù)集必有上確界”）設時 , 顯然有上確

界.下設為無限集, 取, 使

不是的上界，為的上界.對分區(qū)間 為的上界.依此得閉區(qū)間列

收斂;同理

為非空有上界數(shù)集.當

為有限集, 取.驗證收斂.易見下證

不是的上界，為Cauchy列, 由Cauchy收斂準則,↘.設

↘

.有

↗

..用反證法驗證的上界性和最小性.二.“Ⅱ” 的證明:

1.用“區(qū)間套定理”證明“致密性定理”:

定理7.8(Weierstrass)任一有界數(shù)列必有收斂子列.證（突出子列抽取技巧）

定理7.9 每一個有界無窮點集必有聚點.2．用“致密性定理” 證明“Cauchy收斂準則” ： 定理7.10 數(shù)列

收斂

是Cauchy列.有收斂子列

驗證收斂子列的極證（只證充分性）證明思路 ：Cauchy列有界限即為的極限.三.“Ⅲ” 的證明: 1.用“區(qū)間套定理”證明“Heine–Borel 有限復蓋定理”: 2.用“Heine–Borel 有限復蓋定理” 證明“區(qū)間套定理”:

§2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質的證明

教學目的要求：

掌握定理的證明方法.教學重點、難點：重點是定理的證明方法,難點是什么情況下用哪一個定理.學時安排:

2學時 教學方法:

講授法.教學過程: 一.有界性: 命題1 ，在上

.證法 一(用區(qū)間套定理).反證法.證法 二(用列緊性).反證法.證法 三(用有限復蓋定理).二.最值性: 命題2(只證取得最大值)

證(用確界原理)參閱[1]P226[ 證法二 ] 后半段.三.介值性: 證明與其等價的“零點定理 ”.命題3(零點定理)

證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用確界原理).不妨設 令有

.現(xiàn)證 ,(為此證明.由 ，.因此只能有

.在點連續(xù)和.于是，.由，在點

連續(xù)和

且).取

且, 則

非空有界，.有上確界.設，在上取得最大值和最小值.證法 三(用有限復蓋定理).四.一致連續(xù)性: 命題4(Cantor定理)

證法 一(用區(qū)間套定理).證法 二(用列緊性).五.實數(shù)基本定理應用舉例： 例1 設, 則是閉區(qū)間, 使

上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù).如果

.(山東大學研究生入學試題)，證法 一(用確界技術.參閱[3] P76例10 證法1)設集合

有界.由確界原理 ,下證 ?。┤?由., 有遞增和, ⅱ）若,.于是 , 只能有, 則存在

↘,內的數(shù)列

.由

., 使遞增，↗, 以及, 得

;也存在數(shù)列 , 就有式

;又, 有, 得, 可見

..由

有上確界.設

.則, , 則

不空;

.，對任何成立.令

于是有.證法二(用區(qū)間套技術, 參閱[3] P77例10 證法2)當時,或就是方程間, 設分 , 就是方程

在在上的實根.以下總設

或

.對分區(qū)點為.倘有下總設不會

出現(xiàn)這種情況).若如此得一級區(qū)間

上的實根.(為行文簡練計, 以, 取;若, 取,.依此構造區(qū)間套, 使對

..時

↗, 對,有.由區(qū)間套定理, 任何,有現(xiàn)證事實上, 注意到和↘以及遞增,就有.令 , 得例2 設在閉區(qū)間

于是有上函數(shù)

連續(xù)，.遞增 , 且有

內有實根..由區(qū)間套定，.試證明: 方程

證 構造區(qū)間套理,有, 使對, ,使

在區(qū)間

.現(xiàn)證 的構造以及

↗

.事實上, 由在上的遞增性和和↘， 有

.注意到在點連續(xù)，由Heine歸并原則, 有 , ，.為方程

在區(qū)間

內的實根.例3 試證明: 區(qū)間

上的全體實數(shù)是不可列的.上的全體實數(shù)是可列的,即證(用區(qū)間套技術, 具體用反證法)反設區(qū)間 可排成一列:

把區(qū)間

.把區(qū) 三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含，記該區(qū)間為一級區(qū)間間三等分，所得三個區(qū)間中至少有一個區(qū)間不含.??.，記該區(qū)間為二級區(qū)間依此得區(qū)間套, 使對 而 , 有, 其中區(qū)間

.當然有 ，不含.由區(qū)間套定理，.但對

有

.矛盾.習題 課

（3學 時）

一．實數(shù)基本定理互證舉例：

例4 用“區(qū)間套定理”證明“單調有界原理”.證 設數(shù)列遞增有上界.取閉區(qū)間 , 使內含有數(shù)列, 取

不是的上界，是的上界.易見在閉區(qū)間 外僅含有質.??.于是得區(qū)間套的無窮多項而在其外僅含有的有限項.對分的無窮多項, 而在使有的性,有公共點.易見在點的任何鄰域內有數(shù)列的有限項，.例5 用“確界原理”證明“區(qū)間套定理”.證 界.由確設 由為區(qū)間套.先證每個界原理 , 數(shù)列,，為數(shù)列的下界, 而每個

為數(shù)列的上

有上確界, 數(shù)列.易見有

.有下確界.和

.例6 用“有限復蓋定理”證明“聚點原理”.證(用反證法)設是的聚點, 則對的有限個點.??.例7 用“確界原理”證明“聚點原理”.證 設為有界無限點集.構造數(shù)集

中大于的點有無窮多個.為有界無限點集, , 存在開區(qū)間

.反設, 使在的每一點都不

內僅有易見數(shù)集,由 非空有上界, 由確界原理，不是的上界

有上確界.設.則對中大于的點有無窮多個;由是內有的上界, 中大于

是的一的點僅有有限個.于是, 在個聚點.的無窮多個點,即課后記

強掉應先構造閉區(qū)間套、構造開覆蓋、構造數(shù)列等的方法.通過大量的例子讓同學們體會在什么時候用哪一個定理.