第一篇：《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

對于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币虼?，隨著計算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境——越來越受到重視。從國外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分；同時，函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！焙瘮?shù)的兩種表達(dá)方式——解析式和圖象——之間常常需要對照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖

byA象，如在同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x、y=x3和y=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位

2TO置，歸納冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時函數(shù)圖象

í?1x也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數(shù)、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當(dāng)拖 動點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，A A 圖2 í?3í?4即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫Oí?5和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)建一個輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強(qiáng)的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中的點B時，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時，可以由

（1）圖6yAOxB2Oxy（2）“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如圖7，令線段AB的長為“定值”，在線段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標(biāo)拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹(jǐn)慎起來并認(rèn)真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經(jīng)過這個過AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）圖7（3）程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。

第二篇：《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

對于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币虼耍S著計算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域的同時，也給學(xué)校教育帶來了一場深刻的變革——用計算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境——越來越受到重視。從國外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡單的優(yōu)點及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動畫功能被國內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要創(chuàng)作平臺之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點體會：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

“函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個部分；同時，函數(shù)是以運動變化的觀點對現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！焙瘮?shù)的兩種表達(dá)方式——解析式和圖象——之間常常需要對照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并可

y以在同一個坐標(biāo)系中作出多個函數(shù)的圖象，如b在2

3A同一個直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=x、y=x和Ty=x1/2的圖象，比較各圖象的形狀和位置，歸納

O冪函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)x圖象，當(dāng)參數(shù)變化時函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時，傳統(tǒng)教學(xué)í?1只能將A、ω、φ代入有限個值，觀察各種情況時的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長度和A點到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動兩條線段的某一端點（即改變兩條線段的長度）時分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動點A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析——由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2ab（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個由離散點組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項數(shù)、這一項的值、這一項與0的絕對值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實情況，這便給學(xué)生認(rèn)識立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生從各個不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時（如圖2），當(dāng)拖 動A A 點A時，點A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動有利于幫助學(xué)

生建

圖2 立空間觀念和í?4í?3空間想象力；在講棱臺的概念時，可以演示由棱錐分割成棱臺的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺都轉(zhuǎn)動起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺的定義，并通過棱臺與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺的性質(zhì)的同時，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時，可以演示將三棱柱分割成三個體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時，運用動畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動點O時，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識的同時，給人以美的感受，創(chuàng)建一個輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問Oí?5題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點、線按不同的方式作運動，曲線和方程的對應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運動的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強(qiáng)的運算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對動態(tài)的對象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對象的“軌跡”；能通過拖動某一對象（如點、線）觀察整個圖形的變化來研究兩個或兩個以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時，如圖6所示，分別拖動圖（1）中的點A和圖（2）中

yy的點B時，可以相應(yīng)的看到一組斜率為

1BA的平行直線和過定點（0，2）的一組直2線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的OOxx定義時，可以由“到兩定點F1、F2的距離之和為定值的點的軌跡”入手——如（2）（1）圖7，令線段AB的長為“定值”，在線

圖6段AB上取一點E，分別以F1為圓心、AE的長為半徑和以F2為圓心、AE的長為半徑作圓，則兩圓的交點軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測這樣的點的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時老師用鼠標(biāo)拖動點B（即改變線段AB的長），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹(jǐn)慎起來并認(rèn)真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時）的情形。經(jīng)過這個過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識去理解它，而是能夠更有實感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。

AEBAEBAEBF1F2F1F2F1F2（1）（2）圖7（3）

第三篇：幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

《幾何畫板》是觀察和探索幾何圖形的內(nèi)在關(guān)系，深入幾何的精髓的實驗平臺

《校本課程開發(fā)與實施有效性研究》課題組

雷作明

校本課程自編教材

《幾何畫板》

—觀察和探索幾何圖形的內(nèi)在關(guān)系，深入幾何的精髓的實驗平臺

《幾何畫板》是一個適用于幾何（平面幾何、解析幾何、射影幾何等）教學(xué)的軟件平臺。它為老師和學(xué)生提供了一個觀察和探索幾何圖形內(nèi)在關(guān)系的環(huán)境。它以點、線、圓為基本元素，通過對這些基本元素的變換、構(gòu)造、測算、計算、動畫、跟蹤軌跡等，構(gòu)造出其它較為復(fù)雜的圖形。

《幾何畫板》最大的特色是“動態(tài)性”，即：可以用鼠標(biāo)拖動圖形上的任一元素（點、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變。舉個簡單的例子。我們可以先在畫板上任取三個點，然后用線段把它們連起來。這時，我們就可以拉動其中的一個點，同時圖形的形狀就會發(fā)行變化，但仍然保持是三角形。再進(jìn)一步，我們還可以分別構(gòu)造出三條形的三條中線。這時再拉動其中任一點時，三角形的形狀同樣會發(fā)生變化，但三條中線的性質(zhì)永遠(yuǎn)保持不變。這樣學(xué)生就可以在圖形的變化中觀察到不變的規(guī)律：任意三角形的三條中線交于一點。

請注意：上述操作基本上與老師在黑板上畫圖相同。但當(dāng)老師說“在平面上任取一點”時，在黑板上畫出的點卻永遠(yuǎn)是固定的。所謂“任意一點”在許多時候只不過是出現(xiàn)在老師自己的頭腦中而已。而《幾何畫板》就可以讓“任意一點”隨意運動，使它更容易為學(xué)生所理解。所以，可以把《幾何畫板》看成是一塊“動態(tài)的黑板”?！稁缀萎嫲濉返倪@種特性有助于幫助學(xué)生在圖形的變化中把握不變的幾何規(guī)律，深入幾何的精髓。這是其它教學(xué)手段所不可能做到的，真正體現(xiàn)了計算機(jī)的優(yōu)勢。另一方面，利用它的動態(tài)性和形象性，還可以給學(xué)生創(chuàng)造一個實際“操作”幾何圖形的環(huán)境。學(xué)生可以任意拖動圖形、觀察圖形、猜測并驗證，在觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加對各種圖形的感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗背景，從而更有助于學(xué)生理解和證明。因此，《幾何畫板》還能為學(xué)生創(chuàng)造一個進(jìn)行幾何“實驗”的環(huán)境，有助于發(fā)揮學(xué)生的主體性、積極性和創(chuàng)造性，充分體現(xiàn)了現(xiàn)代教學(xué)的思想。

《幾何畫板》的操作非常簡單，一切操作都只靠工具欄和菜單實現(xiàn)，而無需編制任何程序。在《幾何畫板》中，一切都要借助于幾何關(guān)系來表現(xiàn)，因此用它設(shè)計軟件最關(guān)鍵的是“把握幾何關(guān)系”，而這正是老師們所擅長的；但同時這也是它的局限性：它只適用于能夠用幾何模型來描述的內(nèi)容。例如幾何問題、部分物理、天文問題等。

用《幾何畫板》開發(fā)軟件的速度非?？?。一般來說，如果有設(shè)計思路的話，操作較為熟練的老師開發(fā)一個難度適中的軟件只需5-10分鐘。正因為如此，老師們才能真正把精力用于課程的設(shè)計而不是程序的編制上，才能使技術(shù)真正地促進(jìn)和幫助教學(xué)工作，并進(jìn)一步推動教育改革的發(fā)展。

由此可見，《幾何畫板》是一個“個性化”的面向?qū)W科的工具平臺。這樣的平臺能幫助所有老師在教學(xué)中使用現(xiàn)代教育技術(shù)，也能幫助學(xué)生更好地把握學(xué)科的內(nèi)在實質(zhì)，培養(yǎng)他們的觀察能力、問題解決能力，并發(fā)展思維能力?？梢哉J(rèn)為，《幾何畫板》這樣的平臺代表著教育類工具軟件的一個發(fā)展方向。目錄

第一篇 《幾何畫板》基本操作

一、畫板工具

二、編輯

三、按鈕設(shè)置

四、顯示/隱藏

五、構(gòu)造

六、變換

七、度量

八、繪圖

第二篇 邊學(xué)邊作

示范1.動畫制作（線性規(guī)劃，動點軌跡）示范2.制作太陽、地球、月亮相對運動 示范3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象比較 示范4.二分法求方程的零點（計算器與幾何畫板比較）示范5.分段函數(shù)圖象制作(符號函數(shù)利用)示范6.某區(qū)間（可動）上二次函數(shù)的值域

第三篇 深化學(xué)習(xí)

一、深度迭代

二、圓錐曲線制作

三、旋轉(zhuǎn)生成圓臺、圓柱、圓錐 四、一動點與兩定點之連線的斜率乘積為常數(shù)的點的軌跡

五、投擲硬幣模擬試驗 第一篇

《幾何畫板》基本操作

要想用幾何畫板來開發(fā)一些簡單但又實用的課件，就得先認(rèn)識幾何畫板的工具及命令。

一、畫板工具與菜單 1.工具與菜單：

2.點擊【文件】：

其中下設(shè)：

【新建文件】新建一個幾何畫板文件(.gsp)【畫板課堂鏈接】

3【打開】打開一個或多個(.gsp或.gss)文件

若勾選“包括工作過程”，則可保留上次工作過程，并對前面工作步驟進(jìn)行“撤消”或“重復(fù)”(在編輯菜單中有此項目)，對畫板進(jìn)行加工，對于初學(xué)者可從別人的工作過程中獲益?！颈４妗勘４娈?dāng)前文件(.gsp或.gss)【另存為】換名保存或存為圖象文件(.wmf)

在此標(biāo)簽中的“文件名：”后輸入所存的文件名。若要將畫板當(dāng)前狀態(tài)存為圖像文件，則只須將“保存為元文件[.wmf]”前勾選，按下確認(rèn)后再次確認(rèn)，即存有一幅圖元文件，可在word等字處理軟件中調(diào)用。下面就是調(diào)用的：波的干涉的畫板圖元文件：(由于是矢量圖形，所以任意縮放均不會出現(xiàn)變花現(xiàn)象)

【關(guān)閉】關(guān)閉當(dāng)前文件(.gsp或.gss)【文檔選項】

【打印預(yù)覽】預(yù)覽當(dāng)前文件(.gsp或.gss)的打印效果，也可在此處對打印的情況進(jìn)行調(diào)整。在標(biāo)簽中，顯示了要打印圖形(左方)及有關(guān)屬性右上、進(jìn)一步對打印機(jī)的設(shè)置(如紙張大小、打印質(zhì)量等)“尺寸”可選“實際尺寸”(按實際尺寸打印)、充滿整頁(使圖象按紙張大小充滿整頁打印)、“其它”(按給定比例打印)等，可根據(jù)需要，打印出合適的圖形來?！敬蛴　堪辞懊娴脑O(shè)置打印圖形。

【退出】全部退出幾何畫板。

二、【編輯】

點選編輯欄,彈出如下菜單:

1．撤銷與重做操作：

(1)U撤消[Ctrl+R] 復(fù)原前一次操作(也就是撤消前一次操作)。(2)[R重做[ Ctrl+R] 重復(fù)前一次操作（將已撤消的操作重復(fù)出來）2．.編輯操作：

(1)[X剪切 Ctrl+X]將選中對象剪切到剪貼板(2)[C復(fù)制 Ctrl+C]將選中對象復(fù)制到剪貼板

(3)[P粘貼圖片 Ctrl+V]將剪貼板上的內(nèi)容粘貼到當(dāng)前文件上(4)[E清除 Ctrl+Del]清除全部選中對象等。

三、按鈕設(shè)置

1.M運動：命令點由這一位置運動到另一位置。

操作：①依次選定起點、終點；②啟動下拉菜單中[編輯]→[操作類按鈕]→[動畫]命令；③運動方式設(shè)置：如下圖，有急速、快速、中速及慢速等四檔。

于是在畫板中出現(xiàn)按鈕2.，當(dāng)雙擊該按鈕時，動點就會按要求移動。

A動畫：動點按照給定的路徑(線段、直線、射線、圓等)運動。

操作：①選定一個動點、一條軌跡；②執(zhí)行[編輯]→[按鈕]→[動畫]命令，彈出上圖所示對話框，進(jìn)行動畫設(shè)置；③一切設(shè)定完畢，按下“動畫”按鈕，在畫板中出現(xiàn)按鈕，雙擊此按鈕，動點就按給定的軌跡運動起來。3.H隱藏/顯示：對選定對象設(shè)置“隱藏/顯示”按鈕。

操作：①選擇需要隱藏的對象；②執(zhí)行[編輯]→[按鈕]→[隱藏/顯示]命令，畫板上出現(xiàn)按鈕，雙擊△隱藏按鈕，被選擇對象隱藏起來，雙擊▲顯示按鈕，顯示被隱藏對象。4.Q序列：按選定動作序列設(shè)置新的動作按鈕。

操作：①依次選擇幾個需要順序完成的動作；②執(zhí)行[編輯]→[按鈕]→[序列]命令，在畫板中出現(xiàn)按鈕，雙擊此按鈕，畫板就依次執(zhí)行設(shè)定的動作。5.執(zhí)行按鈕：執(zhí)行選擇按鈕的動作。6.選擇按鈕(1)[A選擇全部 Ctrl+/]選擇活動窗口中的全部內(nèi)容。(2)[N選擇父母 Ctrl+U]選擇父母對象。(3)[H選擇子女 Ctrl+D]選擇子女對象。7．[O插入] 【鏈接】

【O插入】可插入各種對象：聲音、動畫、圖形、圖像、文字、?。設(shè)置標(biāo)簽如圖：

從插入目標(biāo)類型看，理論上可在幾何畫板中插入Windows資源管理器中存在的各種媒體文件，究竟有哪些媒體能在你的計算機(jī)中插入，希望通過實踐來摸索(聲音是可以的)。

四、顯示/隱藏

1．[L線類型]定義所選擇的線的類型：粗線、細(xì)線、虛線等。

2．[C顏色]定義線或面的顏色。面的顏色只有7種(前一列中的7種);面的顏色共有28種。

3．[Y字號/字形?]、[F字體?]

對選定的文字進(jìn)行字號、字形與字體的定義。

4．[H隱藏(對象)Ctrl+H]、[S顯示所有隱藏]

對選定的對象(點、線、文本、圖像等)進(jìn)行隱藏；將所有隱藏對象全顯示出來。

5．[B顯示符號 Ctrl+k]、[R更改符號(對象)]

顯示所選對象的符號；對所選對象的符號進(jìn)行更改。6．[T軌跡跟蹤(對象)Ctrl+T]、[A動畫?]

跟蹤對象(點、線、內(nèi)圓、內(nèi)多邊形等)移動的軌跡；定義動畫(與前面編輯中動畫定義相比，這里只有一次，且無按鈕)。7．

設(shè)置顯示參數(shù)。其設(shè)置標(biāo)簽如圖所示。

五、構(gòu)造

構(gòu)造菜單由五部分夠成：構(gòu)造點、構(gòu)造線、構(gòu)造圓或圓弧、內(nèi)部、軌跡等。

1．構(gòu)造點：(1)[O目標(biāo)上的點](2)[I交點 Ctrl+I]構(gòu)造兩相交線(直線或弧線)的交點。

操作：①依次選擇兩條相交的直線或弧線；②執(zhí)行該命令或按下[Ctrl+I]鍵。(3)[M中點 Ctrl+M]構(gòu)造某一線段的中點。

操作：①選定一條或多條線段；②執(zhí)行該命令或按下[Ctrl+M]鍵。2．構(gòu)造線：

(1)[S線段 Ctrl+L]根據(jù)選定的點依次構(gòu)造線段(直線、射線)，具體由“工具”給定。操作：①選定兩點或依次選定幾點；執(zhí)行該命令或按下[Ctrl+L]鍵。

(2)[D垂直線]過直線(或線段)外(或直線上)一點構(gòu)造該直線(或線段)的垂直線。操作：①選擇一個(或多個)點和一條(或多條)直線；②執(zhí)行該命令。(3)[P平行線]過直線外一點構(gòu)造該直線的平行線。

操作：①選擇一個點(或多個點)和一條(或多條直線)；②執(zhí)行該命令。(4)[B角平分線]構(gòu)造一個角的平分線。

操作：①依次選定三點A、B、C代表∠ABC；②執(zhí)行該命令，便作出∠ABC的平分線。3．構(gòu)造弧線：

(1)[T以圓心和一點劃圓]以選定的第一點為圓心，過選定的第二點畫一圓。(2)[R以圓心和半徑劃圓]以選定的點為圓心、選定的線段為半徑畫圓。

(3)[E圓上的弧]根據(jù)選定的三點，構(gòu)造圓上的弧(有一點為圓心，另有一點不一定在圓弧上)(4)[A構(gòu)造過三點的圓弧(三點均在圓弧上)4．構(gòu)造軌跡：根據(jù)條件，構(gòu)造點的軌跡(以后在講)。

5．構(gòu)造內(nèi)部：→(三種方式)

根據(jù)選定的對象構(gòu)造內(nèi)圓(選擇對象是圓時)、內(nèi)多邊形(按依次選定的點)、扇形內(nèi)(按選定的圓弧)、弧弦內(nèi)6．構(gòu)造軌跡：按約束條件構(gòu)造軌跡。

六、變換

(按選定的圓弧)

1．變換方式：(1)執(zhí)行[變換]→[平移?]后出現(xiàn)定義標(biāo)簽：

可選擇“根據(jù)標(biāo)識的距離”平移、根據(jù)“直角坐標(biāo)向量”平移、根據(jù)“極坐標(biāo)向量”平移、根據(jù)“標(biāo)識的向量”平移等多種定義，不同的定義方式，移動的用處不同。(2)執(zhí)行[變換]→[R旋轉(zhuǎn)?]后，出現(xiàn)如下對話框：

這里，可給定要旋轉(zhuǎn)的角度或選擇“根據(jù)標(biāo)識的角度”事先設(shè)定進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。(3)執(zhí)行[變換]→[D縮放?]，出現(xiàn)下圖對話框：

這里，你可自己給定縮放的比例，或選擇“根據(jù)標(biāo)識的比例”(事先設(shè)定)進(jìn)行縮放。(4)執(zhí)行[變換]→[F反射]命令，將選擇對象按標(biāo)識的鏡面進(jìn)行反射。

2．標(biāo)識：(1)

在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放等操作時，需標(biāo)識中心。選擇一個點，執(zhí)行[變換]→[C標(biāo)識中心* Ctrl+F]或用鼠標(biāo)雙擊該點，即標(biāo)識此點為中心，即可進(jìn)行旋轉(zhuǎn)、縮放等變換。(2)

在進(jìn)行反射時，需標(biāo)識鏡面。選擇一條直線或線段，執(zhí)行[變換]→[M標(biāo)識鏡面 Ctrl+G]或用鼠標(biāo)雙擊該直線或線段，即標(biāo)識此直線或線段為鏡面，此后可進(jìn)行反射變換。(3)標(biāo)識從起點到終點的向量。順次選擇兩個點，執(zhí)行[變換]→[V標(biāo)識向量]，即標(biāo)識一個從起點到終點的向量，在進(jìn)行平移變換時，可選擇“按標(biāo)識的向量”進(jìn)行，則平移的距離大小、方向均與該向量一致。

12(4)標(biāo)識一個距離。選定一個已測算的長度，執(zhí)行[變換]→[I標(biāo)識距離]，即按已測算的長度標(biāo)識一個距離，在進(jìn)行平移時，可選擇按“標(biāo)識的距離”平移，其平移的方式就是在X軸或Y軸上按次距離平移一段。(5)標(biāo)識一個角度。依次選定三個點(如A、B、C)，執(zhí)行[變換]→[A標(biāo)識角度]，則標(biāo)識一個角度∠ABC，在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變換時，可選擇“按標(biāo)識的角度進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。(6)標(biāo)識一個比例。依次選定兩條線段(如k、j)，執(zhí)行[變換]→[O標(biāo)識比例”k/j”]，則標(biāo)識一個以線段k和線段j的長度之比的比例，在執(zhí)行縮放變換時，可選擇“按標(biāo)識的比例”進(jìn)行縮放。

七、度量 測算：

1．：測算兩點間、一點和另一條線之間的距離。先選定兩點或一個點和另一條線段(直線)，執(zhí)行[測算]→[D距離]，畫板中顯示被測算的距離。2．測算線段的長度、線段所在直線或選定的直線的斜率。選定一條線段，執(zhí)行[測算]→[L長度]，即測出所選線段的長度并顯示于畫板中；執(zhí)行[測算]→[S斜率]，即測出所選線段或直線的斜率。

3．測算一個圓的半徑、圓周、和面積。選定一個圓，執(zhí)行[測算]→[R半徑]([F圓周]、[A面積])，即測出所選定的圓的半徑(圓周、面積)。

4．測算內(nèi)多邊形的面積、周長。選定一個內(nèi)多邊形，執(zhí)行[測算]→[A面積]([P周長])，即測出內(nèi)多邊形的面積(周長)。5．測定所選角的角度。依次選定三點(A、B、C)，執(zhí)行命令[測算]→[N角度]，所測角度(∠ABC)便顯示于畫板中。

6．測定所選弧的弧度或弧長。選定一段圓弧，執(zhí)行命令[測算]→[G弧度]([H弧長])，所測弧度或弧長顯示于畫板中。7．中。依次選定兩條線段(l1、l2)，執(zhí)行命令[測算]→[O比例]，則比例l1/l2算出并顯示于畫板8．畫板中。9．程式。10．測算點的坐標(biāo)。選定一個或多個點，執(zhí)行命令[測算]→[I坐標(biāo)]，則測算出各點的坐標(biāo)并顯示于測算圓、直線的方程。選定一個圓或直線，執(zhí)行[測算]→[Q方程式]，則測算出該圓或直線的方

執(zhí)行命令[測算]→[C計算? Ctrl+=]，出現(xiàn)如下對話框：

分離坐標(biāo)：將一個點的坐標(biāo)分離為單獨的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)。根據(jù)需要編寫一個簡單的計算公式或由系統(tǒng)內(nèi)部提供的函數(shù)進(jìn)行數(shù)值計算。

11．將測算出來的一組數(shù)固定成表格。

例如：設(shè)計一反映折射定律的小課件：

拖動“入射光線”上端的點，可改變?nèi)肷浣?，折射角發(fā)生相應(yīng)改變，這時，我們將入射角、折射角、入射角與折射角的比值，入射角的正弦值、折射角的正弦值、入射角的正弦值與折射角的正弦值的比值固定成表格，通過對比就可得相應(yīng)的結(jié)論。

八、繪圖

1．2．3．4．5．

顯示或隱藏坐標(biāo)軸。顯示或隱藏格柵。

點的移動只能按照格柵進(jìn)行而不能連續(xù)移動。

選擇是按直角坐標(biāo)還是極坐標(biāo)方式顯示格柵。

按給定坐標(biāo)畫點，可設(shè)定所畫點的屬性是定點還是自由點。設(shè)置如下。

6．設(shè)定坐標(biāo)的形式：

直角坐標(biāo)還是極坐標(biāo)。

7．給定直線或圓的方程式的形式。第二篇

邊學(xué)邊作

線性規(guī)劃：

動點軌跡：

太陽、地球、月亮相對運動： 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)圖象比較：

二分法求方程的零點：

分段函數(shù)圖象制作： 某區(qū)間（可動）上二次函數(shù)的值域： 第三篇

深化學(xué)習(xí)

【深度迭代】

【操作步驟】先選中圓上起始點，再選中參數(shù)n-1,按住shift不放，【變換】出現(xiàn)【深度迭代】(否則只出現(xiàn)【迭代】)，對話框中出現(xiàn)“？”，點圓上第二個點，點擊對話框中【迭代】（可連接第一與第二兩個點得線段, 選中圓上起始點，再 選中參數(shù)n-1,按住shift不放進(jìn)行迭代得正多邊形）。點擊參數(shù)n，【操作類按鈕】，【動畫】，范圍改成3到18（太大不明顯），連續(xù)改為【離散】，動畫參數(shù)n，迭代成功。選擇起始點，【操作類按鈕】，【動畫】，可使圓旋轉(zhuǎn)起來。（注：n-1可變?yōu)閚+1）

【圓錐曲線制作】

制作定長線段繞軸旋轉(zhuǎn)中點的軌跡是圓：

按橢圓定義制作橢圓：

畫雙曲線：

畫拋物線：

【旋轉(zhuǎn)生成圓臺、圓柱、圓錐】 【一動點與兩定點之連線的斜率乘積為常數(shù)的點的軌跡】

【投擲硬幣模擬試驗】

第四篇：幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

幾何畫板在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運用

[摘要]幾何畫板的應(yīng)用為數(shù)學(xué)實驗提供廣闊空間，為數(shù)學(xué)探究提供有力工具，為“以學(xué)生為主體”的教學(xué)思想的體現(xiàn)提供條件，使個別化教學(xué)成為可能，能使抽象的教學(xué)內(nèi)容形象化，有利于知識的獲取和保持。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)教學(xué) 信息技術(shù) 課程整合

中圖分類號：G63 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-7597（2009）0720148－01

信息技術(shù)與高中數(shù)學(xué)有效整合，首先應(yīng)該構(gòu)建一個適合教學(xué)的現(xiàn)代信息技術(shù)平臺，我們選擇了“幾何畫板”、“立體幾何畫板”和“數(shù)學(xué)實驗室”等輔助教學(xué)。“幾何畫板”提供了數(shù)值運算、函數(shù)運算、平面圖形、函數(shù)圖象的繪制等強(qiáng)大的功能，并有較大的開放性和二次開發(fā)空間。下面結(jié)合教學(xué)實際談?wù)剮缀萎嫲逶诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中的運用。

一、幾何畫板的應(yīng)用為數(shù)學(xué)實驗提供了廣闊空間

如：已知集合A＝｛y|y=2x，x∈R｝，B＝｛y|y=x2，x∈R｝，則A∩B的集合個數(shù)為。我們知道，此題的關(guān)鍵是確定曲線y=2x與y=x2的交點個數(shù)，大多數(shù)同學(xué)都認(rèn)為只有一個，但實際上是兩個，這兩個交點的坐標(biāo)為（1，1）和（2，4）。為了說明更一般的情況下函數(shù)y=ax與y=xa（a>0且a≠1）有幾個交點，我用“幾何畫板4.07”做了一個課件，通過拖動點P改變a的值從而得到不同的交點情況。實驗的結(jié)果是：當(dāng)a∈（0，1）時恰有一個交點；當(dāng)a>1時除了在（2.7，2.8）內(nèi)某個值時只有一個交點外，其它情況都是兩個交點。再通過對這兩個函數(shù)的定量分析，可知此值為e。如果沒有計算機(jī)強(qiáng)大的數(shù)據(jù)處理功能，這里的數(shù)學(xué)實驗是不可想象的。

二、幾何畫板的應(yīng)用為數(shù)學(xué)探究提供了有力工具

“幾何畫板”能在不斷變化的幾何圖形中得到不變的幾何規(guī)律，利用它可以做成動態(tài)的而且具有數(shù)學(xué)表達(dá)的準(zhǔn)確性的課件。如2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第15題：一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓內(nèi)一定點A，且OA=a。折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕。當(dāng)A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上點的集合。這道題是聯(lián)賽試題的壓軸題，從命題者對此題的命制意圖看，無疑是一道難題，競賽結(jié)果也充分印證了這一點。學(xué)生為什么會覺得這道題難呢？我認(rèn)為根本原因在于學(xué)生對求軌跡的思維定勢。在他們看來，要求軌跡就要先求軌跡方程，而要求軌跡方程就要先設(shè)軌跡上的任一點的坐標(biāo)為（x，y），再得到x，y之間的關(guān)系。而此題要得到x，y之間的關(guān)系比較困難，思維極易受阻，當(dāng)然就覺得難了。我們不妨用“幾何畫板4.07”來探求一下所求點的集合。（1）用“點”工具畫點O、M，并使|OM|=R；（2）用“作圖”菜單中的“以圓心和圓周上的點畫圓”命令畫以O(shè)為圓心，R為半徑的圓，并“隱藏點”M；（3）用“點”工具在⊙O內(nèi)畫點A，使｜OA｜＝a；（4）在⊙O上任取一點A′，用“線段”工具作線段AA′、OA′；（5）分別用“作圖”菜單中的“線段”、“中點”、“垂線”命令得到線段AA′的中垂線l；（6）選定直線l，并用“顯示”菜單中的“追蹤直線”命令；（7）同時選定點A和直線l，用“作圖”菜單中的“軌跡”命令即可得到點A′的集合。它是以點O、A為焦點，以a為焦距，以R為長軸長的橢圓及其外部。若要用動畫顯示，則只需在完成以上步驟（1）――（6）后實施步驟；（8）同時選定A′和⊙O，并用“編輯”菜單中的“操作類按鈕”和“動畫”命令即可。有了此探究過程，我們便可得到本題的比聯(lián)賽命題組提供的“參考答案”更簡單的妙解了。

三、幾何畫板的應(yīng)用為“以學(xué)生為主體”教學(xué)思想的體現(xiàn)提供了條件

“幾何畫板”可以在少花時間的情況下通過上網(wǎng)查找資料和請教名師，對教學(xué)內(nèi)容中可能遇到的問題得到更多更好地解決。還如2003年全國高中聯(lián)賽第15題，因為它的結(jié)論是“橢圓及其外部”，當(dāng)我講完后，接著就有學(xué)生問“有沒有一個類似的命題，它的結(jié)論是雙曲線及其外部呢”？我肯定后讓學(xué)生思考和討論，并選出代表回答。在學(xué)生代表類比原題得出引申題“一張紙上畫有半徑為R的圓O和圓外一定點A，且OA=a。折疊紙片，使圓周上某一點A′剛好與點A重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕。當(dāng)A′取遍圓周上所有點時，求所有折痕所在直線上的點的集合。我當(dāng)場利用“幾何畫板”做了一個課件，并現(xiàn)場進(jìn)行動畫演示。當(dāng)學(xué)生提出結(jié)論是“拋物線及其外部”的命題時，我用同樣的方法進(jìn)行處理。這時，又有學(xué)生提出，能否用類似的方法畫圓錐曲線――橢圓、雙曲線和拋物線呢？我說可以，并利用“幾何畫板”的軌跡功能將課件略加修改后進(jìn)行演示，收到了很好的效果。由此我們可以看到，“幾何畫板”為“以學(xué)生為主體”的教學(xué)思想的體現(xiàn)提供了優(yōu)越的條件。

四、幾何畫板的應(yīng)用使個別化教學(xué)成為可能

幾何畫板”的“顯示/隱藏”按鈕，能實現(xiàn)對同一教學(xué)內(nèi)容的不同教學(xué)設(shè)計的切換，也可以實現(xiàn)對同一數(shù)學(xué)對象的不同結(jié)構(gòu)側(cè)面的切換，還可以實現(xiàn)對同一數(shù)學(xué)問題的不同解法的切換，從而滿足各類學(xué)生的需要。例如，在講解函數(shù)圖象的作法中的伸縮變換時，為了便于比較，我在同一坐標(biāo)系中作出y=sinx、y=sin2x、y=sin、y=2sinx和y=sinx的圖象。并給每個函數(shù)圖象都設(shè)計了“顯示/隱藏”按鈕。我在利用y=sinx、y=sin2x和y=sin的圖象說明橫向伸縮變換時，我首先將y=2sinx和y=sinx的圖象隱藏起來；而利用y=2sinx和y=sinx的圖象說明縱向伸縮變換時，又先將y=sin2x和y=sin的圖象隱藏起來。我們還可以根據(jù)不同學(xué)生的需要隨心所欲地對所作的函數(shù)圖象進(jìn)行顯示/隱藏操作。

五、幾何畫板的應(yīng)用能使抽象的教學(xué)內(nèi)容形象化

如在講解立體幾何中三棱錐體積公式的推導(dǎo)時，我通過一個課件，把已知三棱錐和在此基礎(chǔ)上補成一個三棱柱的另外兩個三棱錐通過按鈕的操作使它們拉開和重疊，并用顏色來說明每一組兩個三棱錐同底等高（如圖5），從而得到這三個三棱錐體積相等的結(jié)論，因而得到三棱錐體積公式。又如函數(shù)y=f（|x|）的圖象的作法。我們可以先利用“幾何畫板4.07”作兩個具體函數(shù)f（x）=（x－2）－6與f（|x|）=（|x|－2）－6的圖象，再通過這兩個函數(shù)圖象的關(guān)系的分析得到更一般的函數(shù)y=f（x）與y=f（|x|）的圖象的關(guān)系。

六、幾何畫板的應(yīng)用有利于知識的獲取和保持

實驗心理學(xué)家赤瑞特拉的實驗表明：人們一般能記住自己閱讀內(nèi)容的10%，自己聽到內(nèi)容的20%，自己看到內(nèi)容的30%，自己聽到和看到內(nèi)容的50%，在交流過程中自己所說內(nèi)容的70%。利用幾何畫板提供的外部刺激不是單一的，而是多種感官的綜合刺激，這對于知識的獲取和保持是非常重要的。

其實實驗過程就是一個科學(xué)研究的過程、探索真理的過程。因此，數(shù)學(xué)實驗必然能更高效地培養(yǎng)學(xué)生的探索能力和科學(xué)創(chuàng)新精神，激發(fā)學(xué)生的好奇心，也更有利于學(xué)生的個性發(fā)展。

第五篇：幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

正安縣楊興中學(xué)：秦月

【摘要】在信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求。尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個比較抽象的學(xué)科教學(xué)中顯得尤為突出，那么如何利用現(xiàn)代信息技術(shù)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)呢！幾何畫板是當(dāng)今數(shù)學(xué)教師運用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個方面作介紹幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：幾何畫板在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用、在軸對稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用、在求解實際問題中的簡單應(yīng)用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 函數(shù) 參數(shù) 動點

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進(jìn)行教學(xué)。直到今天，尤其是在我們落后鄉(xiāng)村學(xué)校，由于各種各樣的原因，這種教學(xué)方式依然主宰當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂，顯然這種方式已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前的教育發(fā)展大趨勢，如何改變這種現(xiàn)況，那就得借助現(xiàn)代信息技術(shù)，找一個適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺。縱觀現(xiàn)在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡單、功能強(qiáng)大的特點，是廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)理想工具。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)其不變的幾何規(guī)律，從而打破傳統(tǒng)純理論數(shù)學(xué)教學(xué)的局面，成為提倡數(shù)學(xué)實驗，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新新工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營造一種動態(tài)的有規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)新環(huán)境。

一、在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在幾何畫板中，可以新建參數(shù)（即變量），然后在函數(shù)中進(jìn)行引用并繪制函數(shù)圖像，通過改變參數(shù)的值來觀察函數(shù)圖像的變化，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無法辦到。

如在講解一次函數(shù)y=kx+b的圖像一節(jié)中，如何向?qū)W生說明函數(shù)圖像與參數(shù)“K”、“b”的相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點和難點，學(xué)生難以理解，教師也難以用語言文字表達(dá)清楚；在作圖時，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個不同的函數(shù)圖像，再進(jìn)行觀察比較。整個過程十分繁瑣，且費時費力。教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結(jié)論上。整個過程顯得不夠直觀，重點不突出，學(xué)生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數(shù)“k”、“b”的值，從而得到不同的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)圖像變化的規(guī)律。

①當(dāng)k>0時，函數(shù)值隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時，函數(shù)值隨x的增大而減??；③當(dāng)b>0時，函數(shù)圖像相對于b=0時向上移動；④當(dāng)b<0時，函數(shù)圖像相對于b=0時向下移動；⑤當(dāng)|k|越大時，函數(shù)圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當(dāng)|k|越小時，函數(shù)圖像變化越慢，圖像越平滑；

經(jīng)過我們改變一次函數(shù)的參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)的圖像會隨之發(fā)生變化，這樣學(xué)生就很容易理解函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而使學(xué)生從更深層次理解一次函數(shù)的本質(zhì)。

二、在軸對稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應(yīng)出這些特點。

在講解軸對稱圖形的教學(xué)中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進(jìn)行講解。首先，畫一個任意三角形△ABC，然后在適當(dāng)?shù)奈恢卯嬕粭l線段MN，并把雙擊它即可將其標(biāo)識為鏡面，這時就可以作△ABC關(guān)于對稱軸MN的軸對稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關(guān)于MN軸對稱。任意拖動△ABC的頂點、邊、對稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但兩個圖形始終關(guān)于對稱軸MN對稱。同時可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對折后完全重合。

三、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板能動態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在勾股定理的教學(xué)中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯(lián)系。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AB和AC、BC的長度已經(jīng)知道，觀察AB2與AC2+BC2的關(guān)系：

如果拖動頂點A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長度，從中觀察邊的平方的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這樣一個定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發(fā)現(xiàn)其中的不變的規(guī)律。

首先，在幾何畫板中構(gòu)造一個正方形，然后將經(jīng)過一個頂點作直線，再通過另一相鄰的頂點作這條直線的垂線，得到一個交點。用同樣的方法，可得出另外幾個關(guān)鍵點，再將這幾條垂線隱藏，連接對應(yīng)的點，即可得到下面這個圖形。分別度量AB、AF、FB的長度，最后用不同的方法來計算這個正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個直角三角形和中間的那個小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個正方形的面積，注意觀察得到的結(jié)果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計算方法得到的結(jié)果是否一致，如下圖：

四、在求解實際問題中的應(yīng)用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準(zhǔn)確生動的表達(dá)，成為教師教學(xué)上的得力“助手”，還可為教師和學(xué)生提供幾何探索和發(fā)現(xiàn)的一個良好環(huán)境，動態(tài)是幾何畫板最主要的特點，也正是基于這一點，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現(xiàn)在舉例說明。

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點，且與y軸交于點C。

（1）求頂點M及點C的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點，且與x軸交于點D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點P，使以點P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點，并且與直線CD相切，如果存在，請求出點P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關(guān)于動點的，比較抽象，然而運用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因為二次函數(shù)經(jīng)過點A、B、N，且三個點的坐標(biāo)都已知，可解得二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經(jīng)知道C、M兩點的坐標(biāo)，直線y=kx+d又經(jīng)過C、M兩個點，可得直線的解析式為y=x+3。D點是直線與X軸的交點，可得D點的坐標(biāo)為（-3，0），又因為A點的坐標(biāo)為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點，其坐標(biāo)都已知，且縱坐標(biāo)都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點的坐標(biāo)可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個平行四邊形。

（3）這個問題比較抽象，因為點P是動點。我們現(xiàn)在借助幾何畫板對這種情況進(jìn)行分析。因為A、B兩點是二次函數(shù)與X軸的交點，自然關(guān)于函數(shù)的對稱軸對稱，兩點到對稱軸上任意一點的距離相等。故以對稱軸上的點為圓心作圓，經(jīng)過其中一個交點，必定經(jīng)過另外一個點，因此考慮一個點就行了。

先在二次函數(shù)的對稱軸上任找一點P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動P點，看看這個圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點；圖b中，P點離X軸較遠(yuǎn)，所作圓與直線CD相交，有兩個交點。試想：圖a中的P點向上移動的到達(dá)圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個點讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應(yīng)該怎樣求P點的坐標(biāo)呢！看右圖：

過P點作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實際上PK這時是圓P的半徑。即PK=PA時，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個點的坐標(biāo)都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因為：AP2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點的坐標(biāo)為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細(xì)心，把P點再上下拖動，會發(fā)現(xiàn)在X軸的下方還在一個點能使點圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點在X軸的下方，所以P點的坐標(biāo)為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點P在對稱軸上有兩個點： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運用幾何畫板給我們在解決動點問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發(fā)現(xiàn)的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動鼠標(biāo)就很容易發(fā)現(xiàn)，從而有效的避免了漏解情況的發(fā)生。

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費時的，但在幾何畫板中可用鼠標(biāo)一點完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實踐，不斷與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，相信就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學(xué)實例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用》.