第一篇：幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板5.06是幾何畫板的最新版本，備受數(shù)學(xué)老師青睞。眾多數(shù)學(xué)老師表示幾何畫板不僅能夠幫助他們制作出生動(dòng)的幾何課件，更加有助于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，并在長(zhǎng)期的教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用。

幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用示例

一、幾何畫板在低年級(jí)的應(yīng)用

低年級(jí)的學(xué)生很容易被幾何畫板生動(dòng)的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎(chǔ)技巧。幾何畫板可以幫助學(xué)生們?cè)诎咐锌焖俚貙W(xué)習(xí)和培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，從而更深刻的了解分?jǐn)?shù)計(jì)算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和代數(shù)學(xué)。

二、幾何畫板在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

有些數(shù)學(xué)問題，雖然可以通過代數(shù)演算得到答案，但是還是會(huì)覺得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺。這時(shí)，我們可以借助幾何畫板，畫出數(shù)學(xué)圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學(xué)生更直觀地理解原題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、幾何畫板在幾何學(xué)中的應(yīng)用

利用幾何畫板可以畫出非常精確的圖形，必要時(shí)還可以將圖像“放大”，獲得更精細(xì)的圖像，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答中的疏忽或錯(cuò)誤，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考錯(cuò)解 的原因。學(xué)生還可以通過直接操縱幾何圖形的構(gòu)造、變換、測(cè)量和動(dòng)畫進(jìn)行深入的概念理解并提高學(xué)習(xí)信心，還可以有效地促進(jìn)學(xué)生之間的學(xué)習(xí)交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫板在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用 幾何畫板不僅為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供可操作的模型，而且為數(shù)學(xué)猜想提供驗(yàn)證的工具。如學(xué)生們可以使用幾何畫板繪制以幾何圖形為代表的復(fù)雜圖形、為微積分等創(chuàng) 建動(dòng)態(tài)模型。除了強(qiáng)大的函數(shù)繪圖功能，了解幾何畫板那高級(jí)教程的學(xué)生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉(zhuǎn)換、數(shù)字和幾何迭代等功能來構(gòu)建或編輯數(shù)學(xué)模 型。

綜上所述，可見在現(xiàn)代教學(xué)中幾何畫板的應(yīng)用還是比較廣泛，是全國(guó)初高中人教版教材指定軟件。幾何畫板5.06版本在之前的版本基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量的改進(jìn)，可以為廣大用戶帶來更加高效便捷的使用體驗(yàn)。

第二篇：淺談幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用

淺談《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

常寧市職業(yè)中專 譚新芽

對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來說主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來說，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個(gè)沒有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯爾莫戈洛夫所指出的：“只要有可能，數(shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問題從幾何上視覺化?！币虼耍S著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來了一場(chǎng)深刻的變革──用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境──越來越受到重視。從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫板》以其學(xué)習(xí)入門容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。那么，《幾何畫板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點(diǎn)體會(huì)：

一、《幾何畫板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微?！焙瘮?shù)的兩種表達(dá)方式──解析式和圖象──之間常常需要對(duì)照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

具體說來，可以用《幾何畫板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并且可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖象，如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫板》則可以以線段b、T的長(zhǎng)度和A點(diǎn)到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動(dòng)兩條線段的某一端點(diǎn)（即改變兩條線段的長(zhǎng)度）時(shí)分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動(dòng)點(diǎn)A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對(duì)不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢(shì)，并利用《幾何畫板》的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對(duì)值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過渡到立體觀念，無疑是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫成正方形等。這樣一來，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫板》將圖形動(dòng)起來，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生x 2 從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時(shí)（如圖2），當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動(dòng)有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺(tái)的概念時(shí)，可以演示由棱錐分割成棱臺(tái)的過程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺(tái)都轉(zhuǎn)動(dòng)起來，使學(xué)生在直觀掌握棱臺(tái)的定義，并通過棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺(tái)的性質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐的過程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫面在學(xué)生學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建一個(gè)輕松、樂學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何問題的一門數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)來研究；再通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫板》又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”；能通過拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，如圖6所示，分別拖動(dòng)圖（1）中的點(diǎn)A和圖（2）中的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長(zhǎng)為“定值”，在線段AB上取一點(diǎn)E，分別以F1為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑和以F2為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測(cè)這樣的點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開朗：“原來是橢圓”。這時(shí)老師用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B（即改變線

段AB的長(zhǎng)），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開始謹(jǐn)慎起來并認(rèn)真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時(shí)）的情形。經(jīng)過這個(gè)過程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解它，而是能夠更有實(shí)感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。

第三篇：幾何畫板在初中幾何教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用

淺談幾何畫板在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的幾點(diǎn)應(yīng)用

泰興市南沙初中 劉巖碧

摘 要：幾何畫板是現(xiàn)代信息技術(shù)與課程整合的一項(xiàng)杰出創(chuàng)作．應(yīng)用幾何畫板可以提高幾何教學(xué)的直觀性和準(zhǔn)確性，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，讓學(xué)生更深刻體會(huì)到幾何“動(dòng)”的一面．從而達(dá)到改進(jìn)部分章節(jié)的教學(xué)方法和教學(xué)手段的目的，更好地提高課堂效率的作用．

關(guān)鍵字：幾何畫板；初中幾何；特色運(yùn)用

新課改下的初中幾何的教學(xué)正在發(fā)生革命性的變化．過去的幾何教學(xué)一直過分強(qiáng)調(diào)演繹推理，卻忽視了幾何的“圖形”特征．新課改的最大亮點(diǎn)，便是恢復(fù)了幾何的“圖形”特征，削弱證明在初中幾何中那種“神圣不可動(dòng)搖”的地位，使初中幾何重新煥發(fā)生機(jī)．借用學(xué)生的話說是：幾何“活”了，幾何也可以“動(dòng)”了．課程的改革勢(shì)必引起教學(xué)方法的改革．可不是嗎？現(xiàn)在的初中幾何的講臺(tái)再也不是“粉筆加尺規(guī)”就可以上的了，教學(xué)理念的變化加上現(xiàn)代教育技術(shù)的普遍應(yīng)用已經(jīng)給教學(xué)手段，特別是幾何教學(xué)也帶來了新的變化和改進(jìn)．

“信息技術(shù)與課程的整合”是我國(guó)面向21世紀(jì)基礎(chǔ)教育教學(xué)改革的新視點(diǎn)．借助多媒體的動(dòng)畫效果，更有利于向?qū)W生展示幾何圖形的“動(dòng)”的一面．計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)進(jìn)人課堂，可使抽象的概念具體化、形象化，尤其是計(jì)算機(jī)能進(jìn)行動(dòng)態(tài)的演示，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)教學(xué)方式在直觀感、立體感和動(dòng)態(tài)感等方面的不足，利用這個(gè)特點(diǎn)可處理其他教學(xué)手段難以處理的問題，并能引起學(xué)生的興趣，增強(qiáng)他們的直觀印象，為教師化解教學(xué)難點(diǎn)、突破教學(xué)重點(diǎn)、提高課堂效率和教學(xué)效果提供了一種現(xiàn)代化的教學(xué)手段．幾何畫板也正是在這樣的背景下被研發(fā)出來的．現(xiàn)在我們很欣喜地看到這項(xiàng)工具正在給我們的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來更多的革命性的變化．

下面就本人所從事的初中數(shù)學(xué)的教學(xué)，談?wù)剮缀萎嫲逶趯?duì)教材中某些知識(shí)點(diǎn)處理上的獨(dú)到之處．

[案例一]：

《等腰三角形》是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，這部分有很多定理．教材在處理方法上引入了較多的動(dòng)手操作和直觀感知，通過折紙、觀察、歸納等方法很直觀地得出等腰三角形的有關(guān)性質(zhì)和識(shí)別．但是由于學(xué)生在制作等腰三角形的模型時(shí)，存在一定的誤差，導(dǎo)致結(jié)論不是很準(zhǔn)確．而且學(xué)生所制作的模型帶有一定的局限性，無法更好地解釋這種結(jié)論的一般性．應(yīng)用幾何畫板就可以模擬這些折疊、翻轉(zhuǎn)的動(dòng)畫效果，而且可以達(dá)到很準(zhǔn)確的效果．然后還可以通過拖動(dòng)等腰三角形的頂點(diǎn)任意改變它的形狀和大小，直觀地說明結(jié)論的正確性，從而也便于論證結(jié)論的一般性．

具體過程如下：

（1）等腰△ABC紙片中，AB=AC，（圖1-1）將AB與AC重合在一起折疊，（圖1-2）觀察→兩部分會(huì)完全重合→等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，折痕AD是對(duì)稱軸，B與C重合，BD與CD重合→∠B=∠C，即等邊對(duì)等角．（圖1-3）通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)折痕AD的分析，也就能很容易得出“三線合一”的性質(zhì)．用這種直接的方式得出結(jié)論，就可以避免煩瑣的推理過程，而且也讓學(xué)生更容易記住結(jié)論．

（2）在畫△ABC，使∠B=∠C，D為BC中點(diǎn)，連結(jié)AD，（圖1-4）沿AD為折痕對(duì)折，觀察→兩部分會(huì)完全重合→AB與AC會(huì)完全重合，△ABC是等腰三角形，即等角對(duì)等邊．（圖1-5）

（3）拖動(dòng)等腰△ABC的頂點(diǎn)A，改變?nèi)切蔚男螤睿玫讲煌螤畹姆蠗l件的三角形，然后重復(fù)上述的步驟（1）和步驟（2），也得到同樣的結(jié)論．讓學(xué)生掌握以上結(jié)論的一般性，（圖1-6，圖1-7）．

[案例二]：

講三角形內(nèi)角和定理，以前都是用剪紙、拼接和度量的方法讓學(xué)生直觀感受，但由于實(shí)際操作起來都有誤差，很難達(dá)到理想的效果．現(xiàn)在利用“幾何畫板”隨意畫一個(gè)三角形（圖2-1），度量出它的三個(gè)內(nèi)角并求和（圖2-2——圖2-5），然后拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)任意改變?nèi)切蔚男螤詈痛笮。▓D2-6的鈍角三角形和圖2-7直角三角形），發(fā)現(xiàn)：無論怎么變，三個(gè)內(nèi)角的和總是180度．這無疑大大地激起學(xué)生進(jìn)一步探究“為什么”的欲望．

[案例三]：

在學(xué)習(xí)三角形的三條角平分線（三條中線、三條高或高的延長(zhǎng)線、三邊的垂直平分線）相交于一點(diǎn)時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)方式都是讓學(xué)生作圖、觀察、得出結(jié)論，但每個(gè)學(xué)生在作圖中總會(huì)出現(xiàn)種種誤差，導(dǎo)致三條線沒有相交于一點(diǎn)，即使交于一點(diǎn)了，也會(huì)心存疑惑：是否是個(gè)別現(xiàn)象？使得學(xué)生很難領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)．但利用信息技術(shù)就不同了，我們可以在幾何畫板里只要畫出一個(gè)三角形（圖3-1），用菜單命令畫出相應(yīng)的三條角平分線（圖3-2），就能觀察到三線交于一點(diǎn)的事實(shí)（圖3-3），然后任意拖動(dòng)三角形的頂點(diǎn)，改變?nèi)切蔚男螤詈痛笮?，發(fā)現(xiàn)三線交于一點(diǎn)的事實(shí)總是不會(huì)改變的（圖3-4）．特別是像高這樣有特征情況的線，還可以通過拖動(dòng)得出交點(diǎn)的三個(gè)不同位置．（圖3-5，圖3-6，圖3-7）

[案例四]：

在學(xué)習(xí)《探索勾股定理》時(shí)，利用“幾何畫板”作一個(gè)動(dòng)態(tài)變化的直角三角形，通過滾動(dòng)的數(shù)值度量各邊長(zhǎng)度的平方值，（圖4-1讓點(diǎn)A沿AC方向運(yùn)動(dòng)），并通過觀察，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任何一個(gè)直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，（圖4-2，圖4-3，圖4-4）從而加深了對(duì)勾股定理的認(rèn)識(shí)、理解和應(yīng)用．

學(xué)無定法，教同樣也無定法．我們應(yīng)該在平時(shí)的教學(xué)中不斷地鉆研教材，力求以最簡(jiǎn)潔，最高效的方法進(jìn)行有效地教學(xué)．新課改在對(duì)課程改革的同時(shí)也帶動(dòng)了教學(xué)方法和教學(xué)手段的不斷創(chuàng)新．因此，我們應(yīng)該抓住這樣的時(shí)機(jī)，除了關(guān)注課程和課堂教學(xué)改革的同時(shí)，也尋求一些更能提高課堂效率的教學(xué)手段的更新．將多媒體輔助教學(xué)的方法真正落到實(shí)處，不僅做到輔助教學(xué)，還要真正做到能促進(jìn)教學(xué)．

第四篇：幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

正安縣楊興中學(xué)：秦月

【摘要】在信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求。尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個(gè)比較抽象的學(xué)科教學(xué)中顯得尤為突出，那么如何利用現(xiàn)代信息技術(shù)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)呢！幾何畫板是當(dāng)今數(shù)學(xué)教師運(yùn)用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個(gè)方面作介紹幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：幾何畫板在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用、在求解實(shí)際問題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫板 函數(shù) 參數(shù) 動(dòng)點(diǎn)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進(jìn)行教學(xué)。直到今天，尤其是在我們落后鄉(xiāng)村學(xué)校，由于各種各樣的原因，這種教學(xué)方式依然主宰當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂，顯然這種方式已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前的教育發(fā)展大趨勢(shì)，如何改變這種現(xiàn)況，那就得借助現(xiàn)代信息技術(shù)，找一個(gè)適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)?？v觀現(xiàn)在常用的軟件，幾何畫板具有操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)，是廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)理想工具。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來越重要的作用。

幾何畫板又不同于其他繪圖工具，它能動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動(dòng)手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)其不變的幾何規(guī)律，從而打破傳統(tǒng)純理論數(shù)學(xué)教學(xué)的局面，成為提倡數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新新工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營(yíng)造一種動(dòng)態(tài)的有規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)新環(huán)境。

一、在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在幾何畫板中，可以新建參數(shù)（即變量），然后在函數(shù)中進(jìn)行引用并繪制函數(shù)圖像，通過改變參數(shù)的值來觀察函數(shù)圖像的變化，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無法辦到。

如在講解一次函數(shù)y=kx+b的圖像一節(jié)中，如何向?qū)W生說明函數(shù)圖像與參數(shù)“K”、“b”的相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生難以理解，教師也難以用語(yǔ)言文字表達(dá)清楚；在作圖時(shí)，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫出多個(gè)不同的函數(shù)圖像，再進(jìn)行觀察比較。整個(gè)過程十分繁瑣，且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計(jì)算和作圖上，而不是通過觀察、比較、討論而得出結(jié)論上。整個(gè)過程顯得不夠直觀，重點(diǎn)不突出，學(xué)生理解起來也很難。然而在幾何畫板中，只需改變參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)圖像便可一目了然。如圖：

通過不斷改變參數(shù)“k”、“b”的值，從而得到不同的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)圖像變化的規(guī)律。

①當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減??；③當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向上移動(dòng)；④當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向下移動(dòng)；⑤當(dāng)|k|越大時(shí)，函數(shù)圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當(dāng)|k|越小時(shí)，函數(shù)圖像變化越慢，圖像越平滑；

經(jīng)過我們改變一次函數(shù)的參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)的圖像會(huì)隨之發(fā)生變化，這樣學(xué)生就很容易理解函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而使學(xué)生從更深層次理解一次函數(shù)的本質(zhì)。

二、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫板能很好地反應(yīng)出這些特點(diǎn)。

在講解軸對(duì)稱圖形的教學(xué)中，可充分利用幾何畫板中提供的圖形變換功能進(jìn)行講解。首先，畫一個(gè)任意三角形△ABC，然后在適當(dāng)?shù)奈恢卯嬕粭l線段MN，并把雙擊它即可將其標(biāo)識(shí)為鏡面，這時(shí)就可以作△ABC關(guān)于對(duì)稱軸MN的軸對(duì)稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關(guān)于MN軸對(duì)稱。任意拖動(dòng)△ABC的頂點(diǎn)、邊、對(duì)稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但兩個(gè)圖形始終關(guān)于對(duì)稱軸MN對(duì)稱。同時(shí)可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對(duì)折后完全重合。

三、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫板能動(dòng)態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點(diǎn)便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來，不會(huì)因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在勾股定理的教學(xué)中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯(lián)系。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫板，則一目了然。

在幾何畫板里，先畫一個(gè)直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AB和AC、BC的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，觀察AB2與AC2+BC2的關(guān)系：

如果拖動(dòng)頂點(diǎn)A（從a圖到b圖），我們通過改變直角三角形邊的長(zhǎng)度，從中觀察邊的平方的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只能教師在黑板上演算過程，而用幾何畫板更容易發(fā)現(xiàn)其中的不變的規(guī)律。

首先，在幾何畫板中構(gòu)造一個(gè)正方形，然后將經(jīng)過一個(gè)頂點(diǎn)作直線，再通過另一相鄰的頂點(diǎn)作這條直線的垂線，得到一個(gè)交點(diǎn)。用同樣的方法，可得出另外幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再將這幾條垂線隱藏，連接對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得到下面這個(gè)圖形。分別度量AB、AF、FB的長(zhǎng)度，最后用不同的方法來計(jì)算這個(gè)正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個(gè)直角三角形和中間的那個(gè)小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個(gè)正方形的面積，注意觀察得到的結(jié)果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來觀察這三種計(jì)算方法得到的結(jié)果是否一致，如下圖：

四、在求解實(shí)際問題中的應(yīng)用

利用幾何畫板不但可以給幾何問題以準(zhǔn)確生動(dòng)的表達(dá)，成為教師教學(xué)上的得力“助手”，還可為教師和學(xué)生提供幾何探索和發(fā)現(xiàn)的一個(gè)良好環(huán)境，動(dòng)態(tài)是幾何畫板最主要的特點(diǎn)，也正是基于這一點(diǎn)，許多用一般方法不易解決的問題，用它解決起來就要容易得多，現(xiàn)在舉例說明。

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+d經(jīng)過C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問都比較容易解決，第（3）問就是關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的，比較抽象，然而運(yùn)用幾何畫板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)A、B、N，且三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都已知，可解得二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經(jīng)知道C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直線y=kx+d又經(jīng)過C、M兩個(gè)點(diǎn)，可得直線的解析式為y=x+3。D點(diǎn)是直線與X軸的交點(diǎn)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），又因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點(diǎn)，其坐標(biāo)都已知，且縱坐標(biāo)都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個(gè)平行四邊形。

（3）這個(gè)問題比較抽象，因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)。我們現(xiàn)在借助幾何畫板對(duì)這種情況進(jìn)行分析。因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，自然關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，兩點(diǎn)到對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。故以對(duì)稱軸上的點(diǎn)為圓心作圓，經(jīng)過其中一個(gè)交點(diǎn)，必定經(jīng)過另外一個(gè)點(diǎn)，因此考慮一個(gè)點(diǎn)就行了。

先在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上任找一點(diǎn)P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動(dòng)P點(diǎn)，看看這個(gè)圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點(diǎn)比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒有交點(diǎn)；圖b中，P點(diǎn)離X軸較遠(yuǎn)，所作圓與直線CD相交，有兩個(gè)交點(diǎn)。試想：圖a中的P點(diǎn)向上移動(dòng)的到達(dá)圖b所在的位置過程中，中間肯定有一個(gè)點(diǎn)讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應(yīng)該怎樣求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢！看右圖：

過P點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實(shí)際上PK這時(shí)是圓P的半徑。即PK=PA時(shí)，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個(gè)等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因?yàn)椋篈P2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細(xì)心，把P點(diǎn)再上下拖動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在X軸的下方還在一個(gè)點(diǎn)能使點(diǎn)圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點(diǎn)在X軸的下方，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點(diǎn)P在對(duì)稱軸上有兩個(gè)點(diǎn)： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運(yùn)用幾何畫板給我們?cè)诮鉀Q動(dòng)點(diǎn)問題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發(fā)現(xiàn)的問題，在幾何畫板上只要輕輕拖動(dòng)鼠標(biāo)就很容易發(fā)現(xiàn)，從而有效的避免了漏解情況的發(fā)生。

幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如畫直觀圖，在黑板上畫是很費(fèi)時(shí)的，但在幾何畫板中可用鼠標(biāo)一點(diǎn)完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫板功能，多實(shí)踐，不斷與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，相信就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 田延斌.《《幾何畫板》教學(xué)實(shí)例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用》.

第五篇：嘗試幾何畫板在教學(xué)中的應(yīng)用

嘗試《幾何畫板》在新課標(biāo)教學(xué)中的運(yùn)用

江西省萬載縣萬載中學(xué)

曾才明

新課標(biāo)提倡教學(xué)內(nèi)容與信息算技術(shù)相結(jié)合。我們可以借助現(xiàn)代教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，數(shù)學(xué)的活動(dòng)不再局限于演繹推理的形式體系中，現(xiàn)代教學(xué)手段的應(yīng)用擴(kuò)大了數(shù)學(xué)實(shí)踐的內(nèi)容和范圍。如規(guī)律的探索，性質(zhì)的預(yù)測(cè)以及模擬仿真的演示，都可通過計(jì)算機(jī)來實(shí)驗(yàn)，計(jì)算機(jī)做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)將成為數(shù)學(xué)靈感和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉。首先講講應(yīng)用幾何畫板探討橢圓形成的三個(gè)實(shí)驗(yàn)。

教科書上橢圓的構(gòu)造原理，簡(jiǎn)單明了實(shí)用，學(xué)生容易接受，其關(guān)鍵之處在于要把細(xì)繩的長(zhǎng)理解為到兩點(diǎn)之間距離的和，當(dāng)鉛筆緊靠細(xì)繩緩慢移動(dòng)時(shí)，它留下了軌跡——橢圓，所以我們把平面與兩定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓。

根據(jù)其定義，我們開始就用幾何畫板做第一個(gè)實(shí)驗(yàn)：

打開《幾何畫板》（1）：畫線段CE及構(gòu)造線段CE上一點(diǎn)D

（2）：其次在平面上確定兩點(diǎn)F1，F(xiàn)2，滿足（|F1F2|＜|CE|（3）以F1為圓心，以CD長(zhǎng)為半徑畫圓，以F2為圓心，以DE長(zhǎng)為半徑畫圓，兩圓相交于點(diǎn)P、點(diǎn)Q。

（4）利用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)D在線段CD上輕輕地左右移動(dòng)，兩圓的大小 隨著半徑的變化而變化，這時(shí)交點(diǎn)P、Q也在移動(dòng)。我們應(yīng)用幾體畫板的跟蹤功能對(duì)交點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)軌跡進(jìn)行跟蹤，隨著點(diǎn)D的在右移動(dòng)，一個(gè)橢圓便清晰的顯現(xiàn)在屏幕上，一個(gè)封閉的優(yōu)美曲線，在幾何畫板的幫助下，經(jīng)過幾個(gè)簡(jiǎn)短步驟便可畫出，究其原因，其實(shí)就是因?yàn)辄c(diǎn)P滿足到F1、F2的距離和（|PF1|+|PF2|）為常數(shù)CE.也即是根據(jù)橢圓的定義來構(gòu)造的。還可以添加適當(dāng)?shù)念伾?，調(diào)控學(xué)生的注意力。

在探討點(diǎn)p的軌跡方程時(shí)我們不僅可以參考課本方法進(jìn)行演練，在這引入又一方法相互對(duì)比，以便更好的掌握其定義。

法1: 以F1F2所在的直線為x軸它的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系 則F1(-C,0),F2(C,0)，由PF1＋PF2=2a得根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式代入方程得(x+c)兩邊乘以2+y2＋(x-c)2+y2＝2a(1)?x+c?2+y2?得2cx?222(2)?x-c?+y-?x+c?+y＝acx2+y2＝(1)+(2)得x+ca+??a兩邊平方得：?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2?x2y2令a2-c2=b2得＋ =122ab?x-c??+y2-? 法(2)同法(1)建立平面直角系 設(shè)p(x,y)由PF1+PF2=2a得方程?x+c?2+y2+移項(xiàng)得?x-c?2+y2=2aF1PMF22a－?x+c?2+y2＝兩邊平方化簡(jiǎn)得x2a2?x-c?2+y2?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2?令a2-c2=b2得＋ y2b2=1 Animate M試驗(yàn)2

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的探討過程，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的一種對(duì)稱美，兩種策略的對(duì)比.法(1)借助有理化因式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,它是一種基礎(chǔ)技能的應(yīng)用。法(2)是常規(guī)解決無理方程的基本方法,兩次的平方培養(yǎng)了同學(xué)們一種刻苦求知的意志力,一種鍥而不舍的進(jìn)取精神?；A(chǔ)理論掌握好了，在不同的情景下可以得到不同的發(fā)展，激發(fā)著我們探討數(shù)學(xué)這門學(xué)科的激情，這就是數(shù)學(xué)獨(dú)特的引人之處。

有興趣的同學(xué)還可以利用幾何畫板緩慢增加F1F2的距離，使它靠近兩半徑之和。這時(shí)兩圓的交點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡會(huì)是怎樣的呢？試一試就有意外的發(fā)現(xiàn)！

橢圓還有其他方法進(jìn)行構(gòu)造嗎？答案是肯定的。

下面一起來看實(shí)驗(yàn)2：

某定圓F1及其內(nèi)部一點(diǎn)F2，半徑為2a，點(diǎn)M是圓上的一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)MF2，且作MF2的中垂線交MF1于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探討點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。

分析，利用幾何畫板設(shè)定動(dòng)點(diǎn)M的速度，并且跟蹤點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，不難發(fā)現(xiàn)動(dòng)點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是橢圓。試驗(yàn)分析：由MF2的垂直平分線得PF1=PF2, PF1+PF2=PF1+PM=MF1=2a 滿足動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離和為常數(shù),其軌跡 是橢圓。建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系可列的方程 ?x+c?2+y2+ 化簡(jiǎn)這無理方程得?x-c?2+y2=2a ?a2-c2?x2+a2y2=a2?a2-c2? 令a2-c2=b2得 x2a2＋ y2b2=1

以上兩個(gè)實(shí)驗(yàn)，不同的方案得到相同的軌跡——橢圓。數(shù)學(xué)知識(shí)可能在將來會(huì)遺忘,但這種學(xué)習(xí)研究數(shù)學(xué)的方法是終生受益的。

試驗(yàn)3：

在平在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為圓心，分別以a、b為半徑畫兩個(gè)圓（a＞b），過大圓上一動(dòng)點(diǎn)M，作MD的垂直X軸，連接OM交小圓于點(diǎn)D，過用E作MD的垂線，垂足為P，當(dāng)點(diǎn)M在大圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探討點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡。

YMEOPDX Animate M試驗(yàn)3試驗(yàn)現(xiàn)象：用鼠標(biāo)輕輕地移動(dòng)點(diǎn)M，并且跟蹤點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡，隨著點(diǎn)M的移動(dòng)，便得到一個(gè)橢圓。試驗(yàn)分析： 設(shè)OM與x正半軸夾角為 則x=a cos? y=b sin?, 消去參數(shù)：?得x2a2＋ ?, P(x,y)y2b2=

1試驗(yàn)3中，我們利用幾何畫板特有的跟蹤功能，清晰地反映了 被動(dòng)點(diǎn)P與主動(dòng)點(diǎn)M的關(guān)系，受a、b不同的影響，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡不再是圓了，而是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的橢圓，課堂上我們可邊演示邊講解，從實(shí)踐中得出的理論是令人終忘的，只有理解了的知識(shí)才是屬于自己的。方程我們稱它為橢圓的參數(shù)方程，其中

以上三個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們借助幾何畫板這軟件，成功地演示了橢圓的形成過程，橢圓是一種非常重要的圓錐曲線，我們理解了它的產(chǎn)生過程，便能為下一步運(yùn)用橢圓的性質(zhì)解決問題提供了很好的理論依據(jù)。實(shí)踐證明，橢圓的定義是用來解決橢圓有關(guān)問題的一種有效的工具，有些疑難問題束手無策時(shí)，聯(lián)想到其定義便能柳暗花明，而前兩個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論便是我們橢圓的定義，而我們實(shí)驗(yàn)的結(jié)論是從實(shí)踐中得出的，參與了就難以忘懷，我們堅(jiān)信幾何畫板會(huì)給數(shù)學(xué)課堂帶來更多、更好的幫助。

接下來我們開始利用幾何畫板根據(jù)橢圓的方程探橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)。

在解析幾何里，常常利用曲線方程來研究曲線的幾何性質(zhì)，通過對(duì)曲線方程的討論，得到曲線的形狀、大小和位置，下面我們利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，借助《幾何畫板》來研究橢圓的幾何性質(zhì)。

yyPP1B1OF2F1xOP

21，范圍：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可得y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))，分別繪制這兩個(gè)函數(shù)的圖象，得到一個(gè)完整的橢圓。在坐標(biāo)系中，分別繪制（-a，0），（a，0），（0，b），（0，-b）四點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)矩形方框，結(jié)果橢圓在這個(gè)矩形內(nèi)，由此可知橢圓位于直線X=±a，y=±b所圍成的矩形內(nèi)。對(duì)稱性：在繪制函數(shù)y=±bsqrt(1-((x^2)/(a^2)))時(shí)，可發(fā)現(xiàn)上、下兩條對(duì)稱的曲線，很明顯，橢圓是關(guān)于X軸對(duì)稱的，在橢圓上任取一點(diǎn)P，利用鏡面反射，作關(guān)于Y軸的對(duì)稱點(diǎn)P1正好也在橢圓上，說明橢圓關(guān)于Y軸所對(duì)稱，再作P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2，可得其對(duì)稱點(diǎn)P2以也在橢圓上，這兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，由于P點(diǎn)的任意性，得知橢圓既是軸對(duì)稱圖形(對(duì)稱軸是X軸、Y軸)，又是中心對(duì)稱圖形，原點(diǎn)是對(duì)稱中心。

用幾何畫板探討橢圓對(duì)稱性和范圍，簡(jiǎn)潔明了，學(xué)生可以動(dòng)手做實(shí)驗(yàn)親身體會(huì)便可以牢固掌握。離心率：我們知道，橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比e=(c/a)，稱它為橢圓的離心率，在實(shí)驗(yàn)2中，橢圓的離心率其實(shí)就是(F[1]F[2]/F[1]M)的比值，因?yàn)镕1F2=2C，如果把圓內(nèi)這定點(diǎn)F2的位置移動(dòng)，使得F1F2的大小發(fā)生變化，這是點(diǎn)P的軌跡——橢圓的圓扁程度也跟著發(fā)生變化，為什么離心率的變化會(huì)影響著橢圓的圓扁呢？

帶著這個(gè)疑問，我們一起來分析實(shí)驗(yàn)2。因?yàn)楫?dāng)F2移動(dòng)靠近F1時(shí)，e就減小，而橢圓卻越來越圓，在畫板中可以清晰看到這個(gè)變化過程，若F2與F1重合時(shí)，我們可猜測(cè)所得圖形就圓，也即離心率越小，橢圓就越圓，這結(jié)論從理論上我們也可以分析得到，因?yàn)閑=(c/a)=sqrt(1-((b^2)/(a^2)))中，若a不變，b變大，1-((b^2)/(a^2))就變小，這時(shí)離心率變小，所以離心率越小，橢圓就越圓。

實(shí)驗(yàn)2中，還可以進(jìn)一步探討離心率的范圍，因?yàn)辄c(diǎn)F2在圓內(nèi)可知F1F2＜R=F1M，所以e一定小于1，即0＜e＜1 4 探討過橢圓焦點(diǎn)三角形的面積問題？在橢圓上任取一點(diǎn)P，邊結(jié)PF1、PF2得△PF1F2。點(diǎn)P在什么位置時(shí)，三角形的面積

B1PPB1F2F1F2F1 Animate P面積 最大？

PF2F1 = 3.27 厘米2 Animate P面積 PF2F1 = 3.90 厘米2

設(shè)定點(diǎn)P的動(dòng)畫，并在測(cè)量欄，測(cè)量三角形PF1F2的面積，點(diǎn)擊動(dòng)畫按鈕時(shí)，△的面積在不斷地變化，當(dāng)點(diǎn)P繞橢圓運(yùn)動(dòng)一周時(shí)可發(fā)現(xiàn)它在兩處的面積最大，即短軸的頂點(diǎn)。

理論依據(jù)：△PF1F2的面積以是F1F2為底邊，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為高的積，而邊F1F2不變，當(dāng)高|y[p]|最大時(shí)面積最大，所以點(diǎn)P在短軸的兩端點(diǎn)時(shí)其面積最大。

拓展：利用幾何畫板進(jìn)一步演示橢圓內(nèi)與定點(diǎn)有關(guān)的問題，不僅形象直觀，而且很容易發(fā)現(xiàn)其特殊位置，幫助我們找到解決問題的方法、思路。

幾年以來，我利用幾何畫板對(duì)高中數(shù)學(xué)進(jìn)行了很多種嘗試，在課堂上直接演示一些曲線的形成過程，比如后面的雙曲線、拋物線的形成過程，親眼所見、親手操作，得到的圓錐曲線，對(duì)于理解其定義，應(yīng)用它的性質(zhì)解題，可以起稱潛移默化的作用，從實(shí)踐中，得出來的數(shù)學(xué)知識(shí)，其精彩過程有時(shí)是終生難忘的，不僅在解析幾何中，幾何畫板有著很多的應(yīng)用，還有比如函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何等知識(shí)有著很廣的應(yīng)用。任意的函數(shù)，只要輸入其解析式，便能得到其圖像，很方便研究它的性質(zhì)例如單調(diào)性、周期性，最值，交點(diǎn)的個(gè)數(shù)等等問題。在立體幾何方面，可以利用圖像的旋轉(zhuǎn)，對(duì)折把抽象的角，距離等問題利用添色功能把它門淺顯化。現(xiàn)在幾何畫板正在普及，大眾化。相信越來越多的教師學(xué)他，應(yīng)用他。使更多的學(xué)生終生受益。

2009.9