第一篇：幾何畫(huà)板在《圓錐曲線》中的應(yīng)用舉例

幾何畫(huà)板在《圓錐曲線》中的應(yīng)用舉例

高二數(shù)學(xué)組

劉中維

在《圓錐曲線方程》這一章中，一些曲線的圖像、性質(zhì)都比較抽象，學(xué)生難以理解和接受，如雙曲線的漸進(jìn)線、圓錐曲線的離心率與開(kāi)都的關(guān)系、一些數(shù)形結(jié)合的題目等，只憑學(xué)生的想象力是很難理解掌握有關(guān)圖像的性質(zhì)和圖像之間的相互關(guān)系的，若我們只借助尺規(guī)作圖的方法畫(huà)圖，一般難以達(dá)到滿意的效果，還容易把圖像畫(huà)錯(cuò)。但若我們能利用《幾何畫(huà)板》精確的畫(huà)圖功能、動(dòng)畫(huà)功能加以演示，將能引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生的理解，提高學(xué)生對(duì)平面圖形的想象思維能力，起到事半功倍的作用。下面舉幾個(gè)用幾何畫(huà)板解決圓錐曲線問(wèn)題的例子。

一、在“幾何畫(huà)板”中作直線與圓錐曲線的交點(diǎn)

在“幾何畫(huà)板”中可以直接作出直線與直線的交點(diǎn)，直線與圓的交點(diǎn)以及圓與圓的交點(diǎn)．但不能直接作出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)．本文介紹直線與圓錐曲線的交點(diǎn)制作、制作原理，該制作過(guò)程適合三種圓錐曲線．首先是三個(gè)工具的制作：

工具一

已知直線AP，A在圓錐曲線上，求作直線AP與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)B．(以橢圓為例)作圖過(guò)程

在橢圓上任取4個(gè)點(diǎn)C、D、E、F，作DE與PA交于點(diǎn)L，作AF與CD交于點(diǎn)M，作LM與EF的交點(diǎn)N，作NC與直線PA的交點(diǎn)B，則點(diǎn)就是直線PA與橢圓的交點(diǎn)（如圖1）．

圖1 圖2

制作成工具（命名為工具一）就可以直接使用，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)A、點(diǎn)P，不需要其它的，適合橢圓、雙曲線、拋物線．

Q、R共線制作原理

任意圓錐曲線的內(nèi)接六邊形的三組對(duì)邊的交點(diǎn)P、（以橢圓為例，如圖2）．（帕斯卡定理）

工具二

過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條切線．

圖4

圖5

圖6 作圖過(guò)程2.1 若P為橢圓外任意一點(diǎn)，以F1為圓心，2a為半徑作輔助圓，以P為圓心，A、BPF2為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)Q、R，分別取

QF1QF2、RF2的中點(diǎn)，則PA、PB為所求的切線，與PA的交點(diǎn)、RF1與PB的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖4）．

作圖過(guò)程2.2 若P為雙曲線外任意一點(diǎn)，以以P為圓心，A、BF12a為半徑作輔助圓，為圓心，PF2為半徑作圓與輔助圓交于點(diǎn)Q、R，分別取

QF1QF2、RF2的中點(diǎn)，PA、PB為所求的切線．

與PA的交點(diǎn)、RF1與PB的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖5）．

作圖過(guò)程2.3 若P為拋物線外任意一點(diǎn)，以P為圓心，PF為半徑作圓與準(zhǔn)線交于點(diǎn)Q、R，分別取QF、RF的中點(diǎn)A、B，PA、PB為所求的切線．過(guò)點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線與PA的交點(diǎn)、過(guò)點(diǎn)R作準(zhǔn)線的垂線與PB的交點(diǎn)為對(duì)應(yīng)切點(diǎn)（如圖6）．

把過(guò)圓錐曲線外一點(diǎn)作兩條切線的過(guò)程制作成工具，需要說(shuō)明的是要分成兩個(gè)工具：（1）對(duì)于橢圓雙曲線，工具先決條件是兩個(gè)焦點(diǎn)段、點(diǎn)P；（2）對(duì)于拋物線，工具的先決條件是焦點(diǎn)方便，統(tǒng)一稱之為工具二．

F1F1、F2、長(zhǎng)度2a的線，準(zhǔn)線，點(diǎn)P；為了敘述工具三

已知點(diǎn)P不在圓錐曲線上，求作點(diǎn)P的極線．(有關(guān)極點(diǎn)、極線問(wèn)題在《高等幾何》中有詳細(xì)地說(shuō)明，此處利用的是它們的性質(zhì))作圖過(guò)程

在圓錐曲線上任取兩點(diǎn)A、D，利用工具一作直線PA、PD與圓錐曲線的另一個(gè)交點(diǎn)B、C，連結(jié)AC、BD交于E，AD、BC交于F，就得到了點(diǎn)P的極線EF（如圖7）；如果點(diǎn)P在圓錐曲線內(nèi)也按此法，因?yàn)閳A錐曲線內(nèi)接四邊形ABCD中，點(diǎn)P的極線是EF，點(diǎn)E的極線是PF，點(diǎn)F的極線是PE．制作成工具(命名為工具三)，先決條件是圓錐曲線、點(diǎn)P．

圖7

圖8

圖9 作圖問(wèn)題

已知兩點(diǎn)P、Q不在圓錐曲線上，求作PQ與圓錐曲線的交點(diǎn)A、B．

（1）利用工具三作出點(diǎn)P的極線，（如圖

8、圖9兩種情況）；（2）同理利用工具三作出點(diǎn)Q的極線，兩條極線相交于點(diǎn)R；

圖10

圖11（3）利用工具二，過(guò)點(diǎn)R作圓錐曲線的兩條切線（如圖

10、圖11）；

（4）兩切線與直線PQ相交得到交點(diǎn)A、B即為所求交點(diǎn)． 以上過(guò)程亦可制作成工具．

制作原理

要想得到直線PQ與圓錐曲線相交的交點(diǎn)A、B，只要能預(yù)先作出以交點(diǎn)A、B為切點(diǎn)的兩條切線就可以了，設(shè)兩切線相交于點(diǎn)R，而過(guò)點(diǎn)R作圓錐曲線的切線問(wèn)題已經(jīng)由作圖問(wèn)題二解決；這個(gè)點(diǎn)R其實(shí)是直線ABPQ的極點(diǎn)，根據(jù)極線和極點(diǎn)的“點(diǎn)U在點(diǎn)V的極線上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)U的極線也繞點(diǎn)V而轉(zhuǎn)動(dòng)”這一性質(zhì)，我們知道點(diǎn)R也是由P、Q兩點(diǎn)的極線的交點(diǎn)來(lái)確定．

二、和兩圓都相切的圓心的軌跡

（一）、制作結(jié)果

如圖：?jiǎn)螕簟皠?dòng)畫(huà)”按鈕，D點(diǎn)在圓周上運(yùn)動(dòng)，從而圓（C，D）的大小和位置不斷發(fā)生改變，但始終和圓C1和圓C2相切，圓心C的軌跡是雙曲線。圓C1和圓C2的圓心和半徑都能改變，軌跡也會(huì)改變，甚至不是雙曲線，您想試試？

（二）、思路分析

如果按尺規(guī)作圖的思路，和已知兩圓相切要分為同時(shí)外切、內(nèi)切、一內(nèi)一外。幾何畫(huà)板號(hào)稱動(dòng)態(tài)幾何，其構(gòu)造的思路會(huì)復(fù)雜嗎？我們先來(lái)看其中一種情況：已知兩圓和圓C2上任一點(diǎn)D，求作一圓和兩已知圓都外切。看看下圖，是如何確定圓心C的？分析作圖步驟：

（三）、操作步驟

1、構(gòu)造兩已知圓的半徑 畫(huà)一條水平直線AB，在直線上畫(huà)三點(diǎn)C、D、E；隱藏點(diǎn)A、B?！?huà)線段（D，C）(D，E),并把線段DC和線段DE的標(biāo)簽分別改為R、r（想一想為什么在直線上畫(huà)點(diǎn)，而不直接畫(huà)線段）

兩點(diǎn)就是已知圓的圓心）

3、構(gòu)造已知圓 畫(huà)圓（H，線段R）畫(huà)圓（I，線段r）

2、構(gòu)造圓心 畫(huà)一條水平直線FG，隱藏點(diǎn)F、G→在直線上畫(huà)點(diǎn)H、I（這

4、構(gòu)造輔助圓 畫(huà)直線（I，J），其中J為圓I上任一點(diǎn)J→畫(huà)圓（J，線段R）→畫(huà)圓J和直線IJ的交點(diǎn)為L(zhǎng)。

5、構(gòu)造所求圓 作線段（H，L）→作線段HL的中垂線→作直線IJ和中垂線的交點(diǎn)K→作圓（K，J）

6、作軌跡（K，J）

7、作J點(diǎn)的動(dòng)畫(huà)

8、隱藏輔助線，修飾課件。

（四）、拓展研究

通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，這種構(gòu)造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內(nèi)切；一外一內(nèi)，盡在其中

四、拓展研究

通過(guò)移動(dòng)點(diǎn)C、E、H、I，改變兩已知圓的大小和位置，我們驚喜的發(fā)現(xiàn)，這種構(gòu)造方法，竟是一箭三雕－同外切；同內(nèi)切；一外一內(nèi)，盡在其中。

第二篇：幾何畫(huà)板的應(yīng)用舉例

幾何畫(huà)板的應(yīng)用舉例

上傳: 劉榮鋒 更新時(shí)間：2012-12-2 13:16:10

【引用】幾何畫(huà)板的應(yīng)用舉例

對(duì)于單位圓在三角函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用，各位老師可謂仁者見(jiàn)仁，智者見(jiàn)智，在利用單位圓時(shí)，如果能讓三角函數(shù)線動(dòng)起來(lái)，那就更加直觀易懂，學(xué)生更容易理解接受。這里我介紹利用《幾何畫(huà)板》展示單位圓的兩個(gè)應(yīng)用，供大家參考。1．解三角函數(shù)不等式

利用單位圓中的三角函數(shù)線解解三角函數(shù)不等式，不少老師已經(jīng)提到，這里不再贅述，只把我用《幾何畫(huà)板》作的一個(gè)小動(dòng)畫(huà)傳上來(lái)供大家參考，做法也很簡(jiǎn)單，就不在介紹。

2．作正弦函數(shù)圖象

利用三角函數(shù)線作正弦函數(shù)圖象也是教材中提出的方法，如果能讓三角函數(shù)線動(dòng)起來(lái)，那將會(huì)更加直觀易懂。

作法：

第一步： 打開(kāi)畫(huà)板，建立直角坐標(biāo)系（菜單欄里的“圖表”→“定義坐標(biāo)系”），在空白處右擊鼠 標(biāo)，在彈出的對(duì)話框中點(diǎn)“隱藏網(wǎng)格”；

第二步：在空白處右擊鼠標(biāo)，在彈出的對(duì)話框中點(diǎn)“繪制點(diǎn)”，繪制兩個(gè)點(diǎn)A（-2,0），B（-1,0），按順序選中A、B，在菜單欄里“構(gòu)造”→“以圓心和圓周上的點(diǎn)繪圓”，構(gòu)造一個(gè)單位圓。拖動(dòng)單位點(diǎn)調(diào)整單位長(zhǎng)度；

第三步：在單位圓上取一點(diǎn)D，按順序選中A、D，在菜單欄里“構(gòu)造”→“射線”，構(gòu)造一條射線，過(guò)點(diǎn)D構(gòu)造x軸的垂線交x軸于E，隱藏垂線，再構(gòu)造線段DE，并在菜單里“顯示”把線段DE改成藍(lán)色、粗線。

第四步：順序選中點(diǎn)B、E和圓，在“構(gòu)造”里點(diǎn)“圓上的弧”，及時(shí)選菜單里“度量”→“弧長(zhǎng)”，并及時(shí)點(diǎn)菜單里“變換”→“標(biāo)記距離”。

第五步：選中原點(diǎn)，“變換”→“平移”，在在彈出的對(duì)話框中把下邊的“固定角度”改為0，則原點(diǎn)平移到F’；

第六步： 順次選中E、F’點(diǎn)，“變換”→“標(biāo)記向量”，選中線段DE和點(diǎn)D，“變換”→“平移”，將線段DE平移到F’D’，；連結(jié)DD’，并把線段改為虛線；

第七步： 選中D’點(diǎn)，點(diǎn)菜單欄里“顯示”→“追蹤點(diǎn)”；

第八步： 選中點(diǎn)D，點(diǎn)“編輯”→“操作類按鈕”→“動(dòng)畫(huà)”，確定。OK！點(diǎn)一下“運(yùn)動(dòng)點(diǎn)”，欣賞一下你的大作吧。

幾何畫(huà)板在“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學(xué)中的應(yīng)用

上傳: 劉榮鋒 更新時(shí)間：2012-12-2 19:42:26

《幾何畫(huà)板》在“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學(xué)中的應(yīng)用

摘要：“三角函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；函數(shù)的兩種表達(dá)方式——解析式和圖象之間常常需要對(duì)照。為了解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫(huà)板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

關(guān)鍵詞：幾何畫(huà)板 函數(shù) 圖象 三角

對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來(lái)說(shuō)主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個(gè)沒(méi)有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯?tīng)柲曷宸蛩赋龅模骸爸灰锌赡?，?shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺(jué)化?！币虼耍S著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的變革——用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境——越來(lái)越受到重視。從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫(huà)板》以其學(xué)習(xí)入門(mén)容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫(huà)功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一?！稁缀萎?huà)板》給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)了極多方便，作為一名高中數(shù)學(xué)教師就此談在“函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象”教學(xué)中的應(yīng)用。

一、用《幾何畫(huà)板》動(dòng)態(tài)、直觀地推演出最基本的正弦函數(shù)Y=sinx的圖像

要研究三角函數(shù)的性質(zhì)，首先我們必須從他的圖像入手。然而為了解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，在有關(guān)三角函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖沒(méi)有動(dòng)態(tài)感；應(yīng)用幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)、直觀的顯示正弦函數(shù)Y=sinx的圖像怎么得來(lái)及變化情況．這樣學(xué)生通過(guò)動(dòng)態(tài)變化的圖象自主的接受和理解，講的再好還不如親眼所見(jiàn)．

二、探索函數(shù)圖象y=Asin x與y=sin x圖象之間的關(guān)系。在同一坐標(biāo)系里畫(huà)出y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三個(gè)不同的函數(shù)圖象(如下圖),然而點(diǎn)A、B、C分別在y=1/2sinx、y=sinx、y=2sinx三個(gè)圖象上，用《幾何畫(huà)板》的“度量”度量出點(diǎn)A、B、C的縱坐標(biāo).拖動(dòng)點(diǎn)P看A、B、C三點(diǎn)縱坐標(biāo)的變化，除相交處外，它們始終保持1/2:1:2的關(guān)系。這里體現(xiàn)的《幾何畫(huà)板》作圖的精確性，使得更有說(shuō)服力。這樣讓學(xué)生更能了解上面三個(gè)函數(shù)的聯(lián)系與不同。

再作出下圖，可以拖動(dòng)點(diǎn)P改變A的值觀察Y=Asinx的圖像的變化情況。

用《幾何畫(huà)板》畫(huà)出精確，而且可以隨意變化演示給學(xué)生看的圖象，起到比傳統(tǒng)教學(xué)難以比擬的教學(xué)效果。

三、探索函數(shù)圖象y=sinωx與y=sin x圖象之間的關(guān)系

在同一坐標(biāo)系里畫(huà)出y=sin

x、y=sinx、y=sin2x三個(gè)不同的函數(shù)圖象(如下圖)觀察它們的周期T變化,以及另外兩個(gè)函數(shù)圖象與y=sinx的圖象的聯(lián)系.再用《幾何畫(huà)板》畫(huà)出下面圖象，可以隨意輸入一個(gè)ω的值，將快速、自動(dòng)、準(zhǔn)確地畫(huà)出相應(yīng)的函數(shù)圖象，讓學(xué)生觀察它們的周期T的變化，總結(jié)出Y=sinωx的性質(zhì)。

四、探索函數(shù)圖象y=sin（x+φ）與y=sin x圖象之間的關(guān)系

適當(dāng)?shù)耐蟿?dòng)點(diǎn)φ，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象的變化。觀察函數(shù)圖象變化，讓學(xué)生總結(jié)圖象變化規(guī)律：圖象上各點(diǎn)沿x軸平移（φ＞0）或向右平移φ＜0）φ個(gè)單位。

五、探索函數(shù)圖象y=Asin（ωx+φ）與y=sin x圖象之間的關(guān)系。

從函數(shù)y=sin x圖象到y(tǒng)=Asin（ωx+φ）的圖象有多種不同的變換順序，變換方法與上同。通過(guò)改變A、ω和φ的值，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖象變化，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出：①A改變的是圖象的振幅；②ω改變的是圖象的周期;③φ改變的是圖象的左右平移。

利用幾何畫(huà)板，可以比較便捷地繪制出各種函數(shù)圖象，又能根據(jù)自己的教學(xué)意圖，隨心所欲地修改解析式的參數(shù)，并且能讓圖象真正“動(dòng)”起來(lái)通過(guò)實(shí)踐觀察，發(fā)現(xiàn)解析式各個(gè)參數(shù)的變化對(duì)函數(shù)圖象的影響及相互之間的聯(lián)系，給學(xué)生的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)一個(gè)體驗(yàn)和理解數(shù)學(xué)的過(guò)程，使學(xué)生直觀感受到數(shù)形結(jié)合是探尋數(shù)學(xué)規(guī)律的絕佳方法。同時(shí)還可以用它來(lái)演示、驗(yàn)證學(xué)生的發(fā)現(xiàn)和猜測(cè)，加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念和性質(zhì)的理解，激起學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和數(shù)學(xué)規(guī)律學(xué)習(xí)和探索的欲望，提高他們學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，使學(xué)生獲得積極的情感體驗(yàn)，并使之上升為理性認(rèn)識(shí)，達(dá)到了新課程下研究性學(xué)習(xí)的目的，最終提高了教與學(xué)的雙重效率。

幾何畫(huà)板的應(yīng)用實(shí)例之二:研究二次函數(shù)

《幾何畫(huà)板》是一款優(yōu)秀的教學(xué)軟件，具有動(dòng)態(tài)直觀、數(shù)形結(jié)合、變化無(wú)窮的特點(diǎn)，為我們提供了一個(gè)理想的做數(shù)學(xué)的環(huán)境。充分運(yùn)用好畫(huà)板的功能，可使學(xué)生從“聽(tīng)”數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變到“做”數(shù)學(xué)，以研究者的方式，參與包括發(fā)現(xiàn)、探索在內(nèi)的獲得知識(shí)的全過(guò)程，對(duì)開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，提高思維能力很有幫助。本文以二次函數(shù)的兩種基本形式y(tǒng)=a(x-h)2+k和y=ax2+bx+c為例，探討《幾何畫(huà)板》在二次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用。

一、利用《幾何畫(huà)板》，構(gòu)造函數(shù)圖像

由于解析式中字母系數(shù)的不同，函數(shù)的圖像也不盡相同。因此，要在畫(huà)板中構(gòu)造出能夠調(diào)節(jié)字母系數(shù)變化的元素，在圖像的動(dòng)態(tài)變化中，發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含其中的普遍規(guī)律。首先，打開(kāi)畫(huà)板，單擊“圖表”→“定義坐標(biāo)系”建立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，在畫(huà)板左側(cè)工具欄選擇點(diǎn)工具，在x軸的適當(dāng)位置構(gòu)造三個(gè)點(diǎn)A、B、C，再回到畫(huà)板工具欄，選中“選擇箭頭工具”，同時(shí)選中A、B、C三點(diǎn)和x軸，單擊“作圖”→“垂線”，再選中工具欄“直尺工具”中的線段工具，分別在這三條直線上構(gòu)造到垂足的垂線段，選中這三條垂線（不選剛構(gòu)造的垂線段），單擊“顯示”→“隱藏垂線”。把垂線段的另一個(gè)端點(diǎn)分別命名為D、E、F，再選中D、E、F三點(diǎn)，單擊“度量”→“縱坐標(biāo)”，就在畫(huà)板內(nèi)顯示出這三點(diǎn)的縱坐標(biāo)，單擊工具欄“文本工具”，雙擊度量出的D點(diǎn)縱坐標(biāo)，改名為a，D、E兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)改名為h、k。可以看到，改變一點(diǎn)的位置，相對(duì)應(yīng)的縱坐標(biāo)值隨之改變，這樣就構(gòu)造出了字母系數(shù)和它的調(diào)節(jié)元素。然后，就該構(gòu)造以a、h、k為字母系數(shù)的函數(shù)圖象了。在x軸上任作一點(diǎn)J，度量其橫坐標(biāo)xj，單擊“度量”→“計(jì)算”調(diào)出“新建計(jì)算”，單擊度量出的“a”，導(dǎo)入計(jì)算框內(nèi)，進(jìn)一步計(jì)算出a(xj-h)2+k的值，按順序選中xj和a(xj-h)2+k的值，單擊“圖表”→“繪制(x,y)”即在坐標(biāo)系內(nèi)繪出一點(diǎn)，再同時(shí)選中點(diǎn)J,單擊“作圖”→“軌跡”就繪出了函數(shù)圖象，最后選中不想顯示的元素將其隱藏。同樣可以繪出y=ax2+bx+c的圖像。綜合利用“度量”“作圖”“繪制(x,y)”還可以作出拋物線的對(duì)稱軸、頂點(diǎn)及圖像與y軸的交點(diǎn)等。

二、利用構(gòu)造出的函數(shù)圖象，研究拋物線的性質(zhì)

在y=a(x-h)2+k的圖像中，拖動(dòng)點(diǎn)D改變a的值，可以直觀地看到拋物線的開(kāi)口大小也隨之改變，a的絕對(duì)值越大，拋物線開(kāi)口越小，反之，則開(kāi)口越大；當(dāng)a>0時(shí)，開(kāi)口向上，當(dāng)a<0時(shí)，開(kāi)口向下；改變h或k的值，圖像左右或上下移動(dòng)。因此拋物線y=a(x-h)2+k可看做y=ax2經(jīng)過(guò)上下和左右平移后得到的結(jié)果，進(jìn)而理解平移后拋物線的解析式和平移數(shù)值的關(guān)系。

在y=ax2+bx+c的圖像中，改變a的值，不僅拋物線的開(kāi)口大小和開(kāi)口方向變化，而且對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)都有變化，這和y=a(x-h)2+k圖像中a的變化僅改變拋物線的開(kāi)口大小和開(kāi)口方向不同；改變b的值，拋物線的開(kāi)口大小和開(kāi)口方向不變，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)也不變，對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)均有變化；改變c的值拋物線只是上下移動(dòng)；并且不論改變哪一個(gè)字母的值,圖像與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)都和c的值相等。

這樣，通過(guò)對(duì)字母系數(shù)變化和與之關(guān)聯(lián)的圖像變化的形象認(rèn)識(shí)，學(xué)生可以直觀地把握字母系數(shù)和圖像變化間的聯(lián)系，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生思考引起這種變化的內(nèi)在原因，掌握二次函數(shù)圖像的變化規(guī)律。

總之，《幾何畫(huà)板》能準(zhǔn)確、動(dòng)態(tài)地表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題，它所提供的多種方法可以幫助教師進(jìn)行形象直觀的教學(xué)，也可以讓學(xué)生在教師做好的圖形上進(jìn)行數(shù)學(xué)探討，能極大地增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。但由于構(gòu)造圖形需準(zhǔn)確把握?qǐng)D形的性質(zhì)及圖形中各元素間的內(nèi)在聯(lián)系，故不適合學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立的構(gòu)圖探索。

幾何畫(huà)板在教學(xué)中的應(yīng)用之四:幾何畫(huà)板的應(yīng)用實(shí)例-----橢圓的構(gòu)造方法

評(píng)論：0 ? 瀏覽：269 ? ? RSS：0 文章類型：摘錄 發(fā)表于：2011/9/19 20:51:23 幾何畫(huà)板應(yīng)用實(shí)例之一:橢圓的構(gòu)造方法

在教學(xué)中本人發(fā)現(xiàn)利用幾何畫(huà)板可以有很多方法來(lái)構(gòu)造橢圓的圖象，于是把幾種畫(huà)法整理如下：

橢圓的第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值2a（2a＞|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡。橢圓的構(gòu)造方法一：

（1）以O(shè)為圓心，2a為半徑作圓，在圓上任取一點(diǎn)P，在圓內(nèi)任取一點(diǎn)A；（2）連接PO、PA，作PA的中垂線與PO交于點(diǎn)M，連接MA；

（3）將點(diǎn)M定義為“追蹤點(diǎn)”，選中點(diǎn)P，讓點(diǎn)P在圓上任意轉(zhuǎn)動(dòng)可得到點(diǎn)M的軌跡為以O(shè)，A為焦點(diǎn)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a的橢圓。

理由：圖中的MP=MA，所以O(shè)M+MA=OM+MP=OP=圓的半徑，符合橢圓的第一定義。橢圓的第二定義：設(shè)動(dòng)點(diǎn)M(x, y)與定點(diǎn)F(c, 0)的距離和它到定直線 : x＝ 的距離的比是常數(shù)(a>c>0)，則點(diǎn)M的軌跡是橢圓。點(diǎn)F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，直線 是橢圓中對(duì)應(yīng)于焦點(diǎn)F的準(zhǔn)線。常數(shù)e＝(0

（1）取點(diǎn)F和直線L，（點(diǎn)F不在L上）。過(guò)點(diǎn)F作一條直線，在直線上取一點(diǎn)P；

（2）以F為圓心以FP為半徑作圓，度量FP的長(zhǎng)度，取參數(shù)e=0.8(可改為其他小于1的正數(shù))，計(jì)算FP/e；

（3）過(guò)P點(diǎn)作直線L的垂線，交L于M點(diǎn)，以M為圓心，以FP/e為半徑做圓，交垂線于N點(diǎn)，過(guò)N作L的平行線，交圓F于A，B兩點(diǎn)；（4）追蹤A，B兩點(diǎn)，讓P在直線PF上任意移動(dòng)可得橢圓方程。

理由：不管P點(diǎn)在何位置，總可以保證A，B點(diǎn)到F點(diǎn)距離與他們到直線L的距離之比為0.8，所以構(gòu)造方法二依據(jù)的是橢圓的第二定義。橢圓的構(gòu)造方法三：

1．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，分別以a、b(a>b>0)為半徑畫(huà)兩個(gè)圓;2．在大圓上取一點(diǎn)A，連接OA與小圓交于點(diǎn)B；

3．過(guò)點(diǎn)A作AN垂直于Ox軸，垂足為N；作BM垂直于AN，垂足為M； 4．分別選中點(diǎn)M和點(diǎn)A，用“作圖”菜單中的“軌跡”功能，畫(huà)出橢圓。理由：|ON|＝acosφ, |NM|＝bsinφ, 根據(jù)橢圓的參數(shù)方程知，點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)橢圓。

橢圓的構(gòu)造方法四：

（1）任取一線段a，在Y軸上任取一點(diǎn)B，以B為圓心，以a為半徑作圓交X軸于A點(diǎn)，則AB為長(zhǎng)度為a的線段；

（2）在線段AB上任取一點(diǎn)C（不為AB中點(diǎn)），追蹤C(jī)點(diǎn)，讓B點(diǎn)在Y軸上任意移動(dòng)，C點(diǎn)軌跡即為半個(gè)橢圓，把線段AB關(guān)于Y軸反射一下，則可得另外半個(gè)橢圓。

理由：C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為BCcosθ，C點(diǎn)縱坐標(biāo)為CAsinθ，由于BC≠CA，所以C點(diǎn)軌跡滿足橢圓參數(shù)方程。橢圓的構(gòu)造方法五：（1）定義坐標(biāo)系；

（2）以原點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作圓；（3）在圓上任取一點(diǎn)A，并度量其橫縱坐標(biāo)xA，yA。（4）計(jì)算yA/3（分母可改為其他不等于1的正數(shù)）；

（5）繪制點(diǎn)B（xA，yA/3），并追蹤點(diǎn)B，讓點(diǎn)A在圓上任意移動(dòng)，可得B點(diǎn)的軌跡為橢圓。

理由：可以由圓的方程中把y換成3y，使得圓上的每一點(diǎn)橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的1/3，把圓“壓扁”從而得到橢圓；從方程的角度看，使得x2和y2的系數(shù)不一樣，從而得到橢圓的方程。

幾何畫(huà)板在教學(xué)中的應(yīng)用之三:應(yīng)用幾何畫(huà)板的小技巧

評(píng)論：0 ? 瀏覽：477 ? RSS：0 ? 文章類型：摘錄 發(fā)表于：2011/9/19 20:45:20

應(yīng)用幾何畫(huà)板的小技巧

1、如何用幾何畫(huà)板給相交兩圓公共部分涂顏色

①.按照?qǐng)D片中“第一步”，依次選中各個(gè)點(diǎn)或圓，然后點(diǎn)“構(gòu)造→圓上的弧” ②.按照?qǐng)D片中“第二步”，依次選中各個(gè)點(diǎn)或圓，然后點(diǎn)“構(gòu)造→圓上的弧” ③.選中構(gòu)造得到的兩段弧，點(diǎn)“構(gòu)造→弧內(nèi)部→弓形內(nèi)部”

④.選中兩個(gè)弓形內(nèi)部，點(diǎn)“顯示→顏色”，把他們的顏色調(diào)到相同的就行了 ⑤.如果這時(shí)他們中間有一條裂縫的話，那就連接兩個(gè)圓的交點(diǎn)，并把得到的線段的顏色調(diào)到與弓形內(nèi)部顏色相同

⑥.如果這時(shí)線的顏色比內(nèi)部顏色深的話，右鍵內(nèi)部，點(diǎn)“屬性→透明度→100%” ⑦.OK啦。

2、如何導(dǎo)入外部圖片

制作課件時(shí)，往往需要導(dǎo)入《幾何畫(huà)板》以外的美麗圖片，來(lái)提高課件的質(zhì)量。下面介紹兩種導(dǎo)入外部圖片的方法。①插入的方法

“編輯”菜單中“插入對(duì)象”命令 —>選中“BMP圖象”類型—> 自動(dòng)啟動(dòng)《畫(huà)圖》程序—>利用《畫(huà)圖》程序“編輯”菜單中的“粘貼自”命令，讀入所需圖片文件，最后利用“文件”菜單中的“退出并返回??”命令，回到《幾何畫(huà)板》編輯窗口。②粘貼的方法

把所需的圖片復(fù)制到Windows的“剪貼板”上，再利用《幾何畫(huà)板》中的“粘貼”命令直接導(dǎo)入一幅圖片到課件中。這種方法看來(lái)比較簡(jiǎn)單，但制作課件中若用到多個(gè)圖片時(shí)，此方法的優(yōu)勢(shì)就顯現(xiàn)不出來(lái)了。

注：若要使導(dǎo)入的圖片參與動(dòng)畫(huà)運(yùn)動(dòng)，可以先選中一點(diǎn)，然后利用上述方法導(dǎo)入圖片。這樣導(dǎo)入的圖片就被固定在指定點(diǎn)的位置，該點(diǎn)運(yùn)行軌跡就是此圖片的運(yùn)動(dòng)路徑。

3.如何輸入數(shù)學(xué)符號(hào)或數(shù)學(xué)公式 ①導(dǎo)入法

象導(dǎo)入外部圖片一樣，將Word或WPS中的數(shù)學(xué)公式或符號(hào)，導(dǎo)入到《幾何畫(huà)板》課件中。

②“編輯數(shù)學(xué)格式文本”法 其實(shí)《幾何畫(huà)板》中提供了輸入常用數(shù)學(xué)公式或符號(hào)命令，只是初學(xué)者不大會(huì)用。這里以一個(gè)具體的例子來(lái)說(shuō)明這些命令的使用方法。

例如：標(biāo)識(shí)5的算術(shù)平方根（根式）

按下[Num Lock]鍵不放開(kāi)，再雙擊A點(diǎn)的標(biāo)簽，彈出“編輯數(shù)學(xué)格式文本”對(duì)話框；在“數(shù)學(xué)格式”欄中輸入{V：5}，確定即可。

注：?jiǎn)为?dú)使用的“文本”工具，創(chuàng)建的“注釋”類型文本，不能進(jìn)行數(shù)學(xué)格式編輯。只有對(duì)象標(biāo)簽或度量的文本才可以進(jìn)行“數(shù)學(xué)格式編輯”。

4、如何查看別人是如何制作課件的？

看到某些精彩的課件時(shí)自然就會(huì)想知道別人是如何制作的，可是往往其中的關(guān)系錯(cuò)綜復(fù)雜，看得一頭霧水。怎么辦呢？其實(shí)很簡(jiǎn)單──

（1)幾何畫(huà)板打開(kāi)一個(gè)文件時(shí)，在“文件打開(kāi)”對(duì)話框右下角有一個(gè)“包括工作”選項(xiàng)，把它打上勾。

（2）打開(kāi)文件后，選擇“顯示”菜單中的“ 顯示所有隱藏”命令，就可以把所有隱藏的對(duì)象顯示出來(lái)。

（3）連續(xù)按“Ctrl+Z”鍵，直到所有的對(duì)象都不見(jiàn)了。

（4）連續(xù)按“Ctrl+R”鍵，您便可以看別人的課件是如何一步步做的了

5、如何動(dòng)態(tài)彈出一段文字？

有時(shí)候，我們希望執(zhí)行某些操作之后，出現(xiàn)一段說(shuō)明文字，加以說(shuō)明。兩種方法可實(shí)現(xiàn)：方法一：將所要出現(xiàn)的文字事先用“隱藏/顯示”按鈕作好，不使用之前先隱藏起來(lái)，要使用的時(shí)候再雙擊顯示按鈕把它顯示出來(lái)；方法二：給出三個(gè)點(diǎn)A，B，C其中C點(diǎn)位于A、B之間（注意：A、B不要在水平位置），把要顯示的文字事先用WORD等編輯工具編輯好，例如，我們事先在WORD中設(shè)計(jì)好“幾何畫(huà)板：二十一世紀(jì)的動(dòng)態(tài)幾何”這幾個(gè)字，將它復(fù)制，然后選中C點(diǎn)和B點(diǎn)，將它粘貼在這兩點(diǎn)上；設(shè)置兩個(gè)移動(dòng)按鈕，C點(diǎn)到A點(diǎn)的移動(dòng)按鈕和C點(diǎn)到B點(diǎn)的移動(dòng)按鈕，雙擊C點(diǎn)到B點(diǎn)的移動(dòng)按鈕，可以使文?quot;隱藏"起來(lái)，雙擊C點(diǎn)到A點(diǎn)的移動(dòng)按鈕，可以使文字出現(xiàn)。（注：文字大小可通過(guò)改變A點(diǎn)和B點(diǎn)的位置而調(diào)整）

第三篇：幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

正安縣楊興中學(xué)：秦月

【摘要】在信息技術(shù)突飛猛進(jìn)的今天，傳統(tǒng)的教學(xué)方式已不能適應(yīng)現(xiàn)代教育教學(xué)的要求。尤其是在數(shù)學(xué)教學(xué)這樣一個(gè)比較抽象的學(xué)科教學(xué)中顯得尤為突出，那么如何利用現(xiàn)代信息技術(shù)為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)教學(xué)服務(wù)呢！幾何畫(huà)板是當(dāng)今數(shù)學(xué)教師運(yùn)用最為廣泛的軟件之一，本文將從以下幾個(gè)方面作介紹幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用：幾何畫(huà)板在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用、在求解實(shí)際問(wèn)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。希望能起到拋磚引玉的作用。

【關(guān)鍵詞】幾何畫(huà)板 函數(shù) 參數(shù) 動(dòng)點(diǎn)

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師靠的主要是一張嘴、一支粉筆、一塊黑板進(jìn)行教學(xué)。直到今天，尤其是在我們落后鄉(xiāng)村學(xué)校，由于各種各樣的原因，這種教學(xué)方式依然主宰當(dāng)前的數(shù)學(xué)課堂，顯然這種方式已經(jīng)不能適應(yīng)當(dāng)前的教育發(fā)展大趨勢(shì)，如何改變這種現(xiàn)況，那就得借助現(xiàn)代信息技術(shù)，找一個(gè)適合數(shù)學(xué)教學(xué)的平臺(tái)?？v觀現(xiàn)在常用的軟件，幾何畫(huà)板具有操作簡(jiǎn)單、功能強(qiáng)大的特點(diǎn)，是廣大數(shù)學(xué)教師進(jìn)行現(xiàn)代化數(shù)學(xué)教學(xué)理想工具。在現(xiàn)代的數(shù)學(xué)教學(xué)中已發(fā)揮著越來(lái)越重要的作用。

幾何畫(huà)板又不同于其他繪圖工具，它能動(dòng)態(tài)地保持給定的幾何關(guān)系，便于學(xué)生自行動(dòng)手在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)其不變的幾何規(guī)律，從而打破傳統(tǒng)純理論數(shù)學(xué)教學(xué)的局面，成為提倡數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的新新工具。把它和數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行有機(jī)地整合，能為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)營(yíng)造一種動(dòng)態(tài)的有規(guī)律的數(shù)學(xué)教學(xué)新環(huán)境。

一、在一次函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

在幾何畫(huà)板中，可以新建參數(shù)（即變量），然后在函數(shù)中進(jìn)行引用并繪制函數(shù)圖像，通過(guò)改變參數(shù)的值來(lái)觀察函數(shù)圖像的變化，這在傳統(tǒng)教學(xué)中無(wú)法辦到。

如在講解一次函數(shù)y=kx+b的圖像一節(jié)中，如何向?qū)W生說(shuō)明函數(shù)圖像與參數(shù)“K”、“b”的相互關(guān)系一直是傳統(tǒng)教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)，學(xué)生難以理解，教師也難以用語(yǔ)言文字表達(dá)清楚；在作圖時(shí)，要取不同的“k”、“b”的值，然后列表在黑板上畫(huà)出多個(gè)不同的函數(shù)圖像，再進(jìn)行觀察比較。整個(gè)過(guò)程十分繁瑣，且費(fèi)時(shí)費(fèi)力。教師和學(xué)生的主要精力放在了重復(fù)的計(jì)算和作圖上，而不是通過(guò)觀察、比較、討論而得出結(jié)論上。整個(gè)過(guò)程顯得不夠直觀，重點(diǎn)不突出，學(xué)生理解起來(lái)也很難。然而在幾何畫(huà)板中，只需改變參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)圖像便可一目了然。如圖：

通過(guò)不斷改變參數(shù)“k”、“b”的值，從而得到不同的函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生觀察一次函數(shù)圖像變化的規(guī)律。

①當(dāng)k>0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而增大；②當(dāng)k<0時(shí)，函數(shù)值隨x的增大而減??；③當(dāng)b>0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向上移動(dòng)；④當(dāng)b<0時(shí)，函數(shù)圖像相對(duì)于b=0時(shí)向下移動(dòng)；⑤當(dāng)|k|越大時(shí)，函數(shù)圖像變化越快，圖像越陡峭；⑥當(dāng)|k|越小時(shí)，函數(shù)圖像變化越慢，圖像越平滑；

經(jīng)過(guò)我們改變一次函數(shù)的參數(shù)“K”、“b”的值，函數(shù)的圖像會(huì)隨之發(fā)生變化，這樣學(xué)生就很容易理解函數(shù)圖像變化的規(guī)律，從而使學(xué)生從更深層次理解一次函數(shù)的本質(zhì)。

二、在軸對(duì)稱圖形教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板提供了四種“變換”工具，包括平移、旋轉(zhuǎn)、縮放和反射變換。在圖形變換的過(guò)程中，圖形的某些性質(zhì)始終保持一定的不變性，幾何畫(huà)板能很好地反應(yīng)出這些特點(diǎn)。

在講解軸對(duì)稱圖形的教學(xué)中，可充分利用幾何畫(huà)板中提供的圖形變換功能進(jìn)行講解。首先，畫(huà)一個(gè)任意三角形△ABC，然后在適當(dāng)?shù)奈恢卯?huà)一條線段MN，并把雙擊它即可將其標(biāo)識(shí)為鏡面，這時(shí)就可以作△ABC關(guān)于對(duì)稱軸MN的軸對(duì)稱圖形。

△ABC和△A′B′C′關(guān)于MN軸對(duì)稱。任意拖動(dòng)△ABC的頂點(diǎn)、邊、對(duì)稱軸，雖然圖形的位置、形狀和大小在發(fā)生變化，但兩個(gè)圖形始終關(guān)于對(duì)稱軸MN對(duì)稱。同時(shí)可以觀察到△ABC與△A′B′C′沿MN對(duì)折后完全重合。

三、在勾股定理教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板能動(dòng)態(tài)地保持平面圖形中給定的幾何關(guān)系，利用這一特點(diǎn)便于在變化的圖形中發(fā)現(xiàn)恒定不變的幾何規(guī)律。如平行、垂直，中點(diǎn)，角平分線等等都能在圖形的變化中保持下來(lái)，不會(huì)因圖形的改變而改變，這也許是幾何畫(huà)板中最富有魅力的地方。在平面幾何的教學(xué)中如果能很好地發(fā)揮幾何畫(huà)板中的這些特性，就能為數(shù)學(xué)教學(xué)增輝添色。如在勾股定理的教學(xué)中，直角三角形的三邊之間有著必然的聯(lián)系。要弄清楚它們之間的關(guān)系，借助于幾何畫(huà)板，則一目了然。

在幾何畫(huà)板里，先畫(huà)一個(gè)直角△ABC，∠C=900。從圖右方的度量值可以發(fā)現(xiàn)，AB和AC、BC的長(zhǎng)度已經(jīng)知道，觀察AB2與AC2+BC2的關(guān)系：

如果拖動(dòng)頂點(diǎn)A（從a圖到b圖），我們通過(guò)改變直角三角形邊的長(zhǎng)度，從中觀察邊的平方的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)定理：在直角三角形中，始終有斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和。

再如，在講解“趙爽弦圖”時(shí)，傳統(tǒng)的教學(xué)方法只能教師在黑板上演算過(guò)程，而用幾何畫(huà)板更容易發(fā)現(xiàn)其中的不變的規(guī)律。

首先，在幾何畫(huà)板中構(gòu)造一個(gè)正方形，然后將經(jīng)過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)作直線，再通過(guò)另一相鄰的頂點(diǎn)作這條直線的垂線，得到一個(gè)交點(diǎn)。用同樣的方法，可得出另外幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，再將這幾條垂線隱藏，連接對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，即可得到下面這個(gè)圖形。分別度量AB、AF、FB的長(zhǎng)度，最后用不同的方法來(lái)計(jì)算這個(gè)正方形的面積：⑴、直接利用正方形的面積公式；⑵、正方形的面積等于其中四個(gè)直角三角形和中間的那個(gè)小正方形的面積之和；⑶、直接使用幾何畫(huà)板提供的量度面積命令。這三種方法都可得出這個(gè)正方形的面積，注意觀察得到的結(jié)果都是一樣的。

再改變正方形的大小及其組成的直角三角形和小正方形的比例，再來(lái)觀察這三種計(jì)算方法得到的結(jié)果是否一致，如下圖：

四、在求解實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用

利用幾何畫(huà)板不但可以給幾何問(wèn)題以準(zhǔn)確生動(dòng)的表達(dá)，成為教師教學(xué)上的得力“助手”，還可為教師和學(xué)生提供幾何探索和發(fā)現(xiàn)的一個(gè)良好環(huán)境，動(dòng)態(tài)是幾何畫(huà)板最主要的特點(diǎn)，也正是基于這一點(diǎn)，許多用一般方法不易解決的問(wèn)題，用它解決起來(lái)就要容易得多，現(xiàn)在舉例說(shuō)明。

如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+3的圖像經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、N（2，3）三點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C。

（1）求頂點(diǎn)M及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）若直線y=kx+d經(jīng)過(guò)C、M兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)D，試證明四邊行CDAN是平行四邊行；

（3）點(diǎn)P是這個(gè)二次函數(shù)的對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點(diǎn)P，使以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，并且與直線CD相切，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分析：這道目，第（1）、（2）問(wèn)都比較容易解決，第（3）問(wèn)就是關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的，比較抽象，然而運(yùn)用幾何畫(huà)板后，情況就變得很明顯了，給解題幫助很大。

解：（1）因?yàn)槎魏瘮?shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、N，且三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都已知，可解得二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3,可解得： C（0，3）；M（1，4）。

（2）在幾何畫(huà)板中連接CN、AN、AD，如圖： 由于已經(jīng)知道C、M兩點(diǎn)的坐標(biāo)，直線y=kx+d又經(jīng)過(guò)C、M兩個(gè)點(diǎn)，可得直線的解析式為y=x+3。D點(diǎn)是直線與X軸的交點(diǎn)，可得D點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，0），又因?yàn)锳點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，0），所以AD=2。再看C、N兩點(diǎn)，其坐標(biāo)都已知，且縱坐標(biāo)都為3，可得CN與X軸平行，那么自然就與AD平行了。再由C、N兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得CN=2，因此AD=CN；在四邊形CDAN中兩邊AD、CN平行且相等，所以它是一個(gè)平行四邊形。

（3）這個(gè)問(wèn)題比較抽象，因?yàn)辄c(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)。我們現(xiàn)在借助幾何畫(huà)板對(duì)這種情況進(jìn)行分析。因?yàn)锳、B兩點(diǎn)是二次函數(shù)與X軸的交點(diǎn)，自然關(guān)于函數(shù)的對(duì)稱軸對(duì)稱，兩點(diǎn)到對(duì)稱軸上任意一點(diǎn)的距離相等。故以對(duì)稱軸上的點(diǎn)為圓心作圓，經(jīng)過(guò)其中一個(gè)交點(diǎn)，必定經(jīng)過(guò)另外一個(gè)點(diǎn)，因此考慮一個(gè)點(diǎn)就行了。

先在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上任找一點(diǎn)P，連接AP，再以P為圓心，AP為半徑作圓，不斷的拖動(dòng)P點(diǎn)，看看這個(gè)圓是否能與直線CD相切。如下圖：

從上圖中可以看出：圖a中P點(diǎn)比較靠近X軸，所作圓與直線CD沒(méi)有交點(diǎn)；圖b中，P點(diǎn)離X軸較遠(yuǎn)，所作圓與直線CD相交，有兩個(gè)交點(diǎn)。試想：圖a中的P點(diǎn)向上移動(dòng)的到達(dá)圖b所在的位置過(guò)程中，中間肯定有一個(gè)點(diǎn)讓圓與直線CD相切，如圖c所示。

那么應(yīng)該怎樣求P點(diǎn)的坐標(biāo)呢！看右圖：

過(guò)P點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足為K，要想使圓P與直線CD相切，實(shí)際上PK這時(shí)是圓P的半徑。即PK=PA時(shí)，圓P與直線CD相切。

在△DEM中三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)都知道，可得DE=EM,因此△DEM是一個(gè)等腰直角三角形。同樣△PMK也是等腰直角三角形，有：

2KP2=MP2 又因?yàn)椋篈P2=AE2+PE2,MP=ME-PE,KP=AP；其中：AE=2；PE=1；ME=4。

可解得：PE=26?4,P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，26?4）。

解到這里，此題看似已完，但如果你夠細(xì)心，把P點(diǎn)再上下拖動(dòng)，會(huì)發(fā)現(xiàn)在X軸的下方還在一個(gè)點(diǎn)能使點(diǎn)圓P與直線CD相切，如下圖：

相同的方法，可解得：PE=(26?4)。由于P點(diǎn)在X軸的下方，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-(26?4)）。

因此滿足這樣的點(diǎn)P在對(duì)稱軸上有兩個(gè)點(diǎn)： 即P1(1，26?4)；P2（1，-(26?4)）。

從本題中不難看出，運(yùn)用幾何畫(huà)板給我們?cè)诮鉀Q動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題中提供了很大的幫助，在紙上或黑板上不容易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，在幾何畫(huà)板上只要輕輕拖動(dòng)鼠標(biāo)就很容易發(fā)現(xiàn)，從而有效的避免了漏解情況的發(fā)生。

幾何畫(huà)板在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止這些，如畫(huà)直觀圖，在黑板上畫(huà)是很費(fèi)時(shí)的，但在幾何畫(huà)板中可用鼠標(biāo)一點(diǎn)完成。因此，只要我們熟練掌握幾何畫(huà)板功能，多實(shí)踐，不斷與數(shù)學(xué)教學(xué)相結(jié)合，相信就能使它在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮的作用。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 田延斌.《《幾何畫(huà)板》教學(xué)實(shí)例》.[2] 張淑俊.《《幾何畫(huà)板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的妙用》.

第四篇：幾何畫(huà)板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用

幾何畫(huà)板5.06是幾何畫(huà)板的最新版本，備受數(shù)學(xué)老師青睞。眾多數(shù)學(xué)老師表示幾何畫(huà)板不僅能夠幫助他們制作出生動(dòng)的幾何課件，更加有助于學(xué)生理解教學(xué)內(nèi)容，并在長(zhǎng)期的教學(xué)中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力。本教程將向大家介紹幾何在現(xiàn)代教學(xué)中的應(yīng)用。

幾何畫(huà)板在教學(xué)中的應(yīng)用示例

一、幾何畫(huà)板在低年級(jí)的應(yīng)用

低年級(jí)的學(xué)生很容易被幾何畫(huà)板生動(dòng)的特性所吸引，從而可以非常迅速地掌握這些基礎(chǔ)技巧。幾何畫(huà)板可以幫助學(xué)生們?cè)诎咐锌焖俚貙W(xué)習(xí)和培養(yǎng)數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，從而更深刻的了解分?jǐn)?shù)計(jì)算、數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)和代數(shù)學(xué)。

二、幾何畫(huà)板在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

有些數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然可以通過(guò)代數(shù)演算得到答案，但是還是會(huì)覺(jué)得不夠直觀，給人知其然而不知其所以然的感覺(jué)。這時(shí)，我們可以借助幾何畫(huà)板，畫(huà)出數(shù)學(xué)圖形，從幾何的角度審視原題，幫助學(xué)生更直觀地理解原題中的數(shù)學(xué)本質(zhì)。

三、幾何畫(huà)板在幾何學(xué)中的應(yīng)用

利用幾何畫(huà)板可以畫(huà)出非常精確的圖形，必要時(shí)還可以將圖像“放大”，獲得更精細(xì)的圖像，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)解答中的疏忽或錯(cuò)誤，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考錯(cuò)解 的原因。學(xué)生還可以通過(guò)直接操縱幾何圖形的構(gòu)造、變換、測(cè)量和動(dòng)畫(huà)進(jìn)行深入的概念理解并提高學(xué)習(xí)信心，還可以有效地促進(jìn)學(xué)生之間的學(xué)習(xí)交流及他們的推理和 證明的能力。

四、幾何畫(huà)板在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用 幾何畫(huà)板不僅為數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)提供可操作的模型，而且為數(shù)學(xué)猜想提供驗(yàn)證的工具。如學(xué)生們可以使用幾何畫(huà)板繪制以幾何圖形為代表的復(fù)雜圖形、為微積分等創(chuàng) 建動(dòng)態(tài)模型。除了強(qiáng)大的函數(shù)繪圖功能，了解幾何畫(huà)板那高級(jí)教程的學(xué)生還可以使用自定義工具、基因座、自定義轉(zhuǎn)換、數(shù)字和幾何迭代等功能來(lái)構(gòu)建或編輯數(shù)學(xué)模 型。

綜上所述，可見(jiàn)在現(xiàn)代教學(xué)中幾何畫(huà)板的應(yīng)用還是比較廣泛，是全國(guó)初高中人教版教材指定軟件。幾何畫(huà)板5.06版本在之前的版本基礎(chǔ)上進(jìn)行了大量的改進(jìn)，可以為廣大用戶帶來(lái)更加高效便捷的使用體驗(yàn)。

第五篇：淺談幾何畫(huà)板在教學(xué)中的應(yīng)用

淺談《幾何畫(huà)板》在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

常寧市職業(yè)中專 譚新芽

對(duì)于數(shù)學(xué)科學(xué)來(lái)說(shuō)主要是抽象思維和理論思維，這是事實(shí)；但從人類數(shù)學(xué)思維系統(tǒng)的發(fā)展來(lái)說(shuō)，形象思維是最早出現(xiàn)的，并在數(shù)學(xué)研究和教學(xué)中都起著重要的作用。不難想象，一個(gè)沒(méi)有得到形象思維培養(yǎng)的人會(huì)有很高的抽象思維、理論思維的能力。同樣，一個(gè)學(xué)生如果根本不具備數(shù)學(xué)想象力，要把數(shù)學(xué)學(xué)好那也是不可能的。正如前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家A.H.柯?tīng)柲曷宸蛩赋龅模骸爸灰锌赡?，?shù)學(xué)家總是盡力把他們正在研究的問(wèn)題從幾何上視覺(jué)化?！币虼耍S著計(jì)算機(jī)多媒體的出現(xiàn)和飛速發(fā)展，在網(wǎng)絡(luò)技術(shù)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域的同時(shí)，也給學(xué)校教育帶來(lái)了一場(chǎng)深刻的變革──用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，改善人們的認(rèn)知環(huán)境──越來(lái)越受到重視。從國(guó)外引進(jìn)的教育軟件《幾何畫(huà)板》以其學(xué)習(xí)入門(mén)容易和操作簡(jiǎn)單的優(yōu)點(diǎn)及其強(qiáng)大的圖形和圖象功能、方便的動(dòng)畫(huà)功能被國(guó)內(nèi)許多數(shù)學(xué)教師看好，并已成為制作中學(xué)數(shù)學(xué)課件的主要?jiǎng)?chuàng)作平臺(tái)之一。那么，《幾何畫(huà)板》在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中有哪些應(yīng)用呢？作為一名高中數(shù)學(xué)教師筆者就此談幾點(diǎn)體會(huì)：

一、《幾何畫(huà)板》在高中代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)”是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最重要的概念，它的概念和思維方法滲透在高中數(shù)學(xué)的各個(gè)部分；同時(shí)，函數(shù)是以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的一種刻劃，這又決定了它是對(duì)學(xué)生進(jìn)行素質(zhì)教育的重要材料。就如華羅庚所說(shuō)：“數(shù)缺形少直觀，形缺數(shù)難入微。”函數(shù)的兩種表達(dá)方式──解析式和圖象──之間常常需要對(duì)照（如研究函數(shù)的單調(diào)性、討論方程或不等式的解的情況、比較指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象之間的關(guān)系等）。為了解決數(shù)形結(jié)合的問(wèn)題，在有關(guān)函數(shù)的傳統(tǒng)教學(xué)中多以教師手工繪圖，但手工繪圖有不精確、速度慢的弊端；應(yīng)用幾何畫(huà)板快速直觀的顯示及變化功能則可以克服上述弊端，大大提高課堂效率，進(jìn)而起到事倍功半的效果。

具體說(shuō)來(lái)，可以用《幾何畫(huà)板》根據(jù)函數(shù)的解析式快速作出函數(shù)的圖象，并且可以在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出多個(gè)函數(shù)的圖象，如在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)y?2x和y??12?的圖象，比較圖象的形狀和位置，歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；還可以作出含有若干參數(shù)的函數(shù)圖象，當(dāng)參數(shù)變化時(shí)函數(shù)圖象也相應(yīng)地變化，如在講函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，傳統(tǒng)教學(xué)只能將A、ω、φ代入有限個(gè)值，觀察各種情況時(shí)的函數(shù)圖象之間的關(guān)系；利用《幾何畫(huà)板》則可以以線段b、T的長(zhǎng)度和A點(diǎn)到x軸的距離為參數(shù)作圖（如圖1），當(dāng)拖動(dòng)兩條線段的某一端點(diǎn)（即改變兩條線段的長(zhǎng)度）時(shí)分別改變?nèi)呛瘮?shù)的首相和周期，拖動(dòng)點(diǎn)A則改變其振幅，這樣在教學(xué)時(shí)既快速靈活，又不失一般性。

《幾何畫(huà)板》在高中代數(shù)的其他方面也有很多用途。例如，借助于圖形對(duì)不等式的一些性質(zhì)、定理和解法進(jìn)行直觀分析──由“半徑不小于半弦”證明不等式“a+b≥2（a、b∈R+）等；再比如，講解數(shù)列的極限的概念時(shí)，作出數(shù)列an=10-n的圖形（即作出一個(gè)由離散點(diǎn)組成的函數(shù)圖象），觀察曲線的變化趨勢(shì)，并利用《幾何畫(huà)板》的制表功能以“項(xiàng)數(shù)、這一項(xiàng)的值、這一項(xiàng)與0的絕對(duì)值”列表，幫助學(xué)生直觀地理解這一較難的概念。

二、《幾何畫(huà)板》在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

立體幾何是在學(xué)生已有的平面圖形知識(shí)的基礎(chǔ)上討論空間圖形的性質(zhì)；它所用的研究方法是以公理為基礎(chǔ)，直接依據(jù)圖形的點(diǎn)、線、面的關(guān)系來(lái)研究圖形的性質(zhì)。從平面圖形到空間圖形，從平面觀念過(guò)渡到立體觀念，無(wú)疑是認(rèn)識(shí)上的一次飛躍。初學(xué)立體幾何時(shí)，大多數(shù)學(xué)生不具備豐富的空間想象的能力及較強(qiáng)的平面與空間圖形的轉(zhuǎn)化能力，主要原因在于人們是依靠對(duì)二維平面圖形的直觀來(lái)感知和想象三維空間圖形的，而二維平面圖形不可能成為三維空間圖形的真實(shí)寫(xiě)照，平面上繪出的立體圖形受其視角的影響，難于綜觀全局，其空間形式具有很大的抽象性。如兩條互相垂直的直線不一定畫(huà)成交角為直角的兩條直線；正方體的各面不能都畫(huà)成正方形等。這樣一來(lái)，學(xué)生不得不根據(jù)歪曲真象的圖形去想象真實(shí)情況，這便給學(xué)生認(rèn)識(shí)立體幾何圖形增加了困難。而應(yīng)用《幾何畫(huà)板》將圖形動(dòng)起來(lái)，就可以使圖形中各元素之間的位置關(guān)系和度量關(guān)系惟妙惟肖，使學(xué)生x 2 從各個(gè)不同的角度去觀察圖形。這樣，不僅可以幫助學(xué)生理解和接受立體幾何知識(shí)，還可以讓學(xué)生的想象力和創(chuàng)造力得到充分發(fā)揮。

像在講二面角的定義時(shí)（如圖2），當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)A所在的半平面也隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，即改變二面角的大小，圖形的直觀地變動(dòng)有利于幫助學(xué)生建立空間觀念和空間想象力；在講棱臺(tái)的概念時(shí)，可以演示由棱錐分割成棱臺(tái)的過(guò)程（如圖3），更可以讓棱錐和棱臺(tái)都轉(zhuǎn)動(dòng)起來(lái)，使學(xué)生在直觀掌握棱臺(tái)的定義，并通過(guò)棱臺(tái)與棱錐的關(guān)系由棱錐的性質(zhì)得出棱臺(tái)的性質(zhì)的同時(shí)，讓學(xué)生欣賞到數(shù)學(xué)的美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；在講錐體的體積時(shí)，可以演示將三棱柱分割成三個(gè)體積相等的三棱錐的過(guò)程（如圖4），既避免了學(xué)生空洞的想象而難以理解，又鍛煉了學(xué)生用分割幾何體的方法解決問(wèn)題的能力;在用祖恒原理推導(dǎo)球的體積時(shí)，運(yùn)用動(dòng)畫(huà)和軌跡功能作圖5，當(dāng)拖動(dòng)點(diǎn)O時(shí)，平行于桌面的平面截球和柱錐所得截面也相應(yīng)地變動(dòng)，直觀美麗的畫(huà)面在學(xué)生學(xué)得知識(shí)的同時(shí)，給人以美的感受，創(chuàng)建一個(gè)輕松、樂(lè)學(xué)的氛圍。

三、《幾何畫(huà)板》在平面解析幾何教學(xué)中的應(yīng)用

平面解析幾何是用代數(shù)方法來(lái)研究幾何問(wèn)題的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，它研究的主要問(wèn)題，即它的基本思想和基本方法是：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，借助形和數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，求出表示平面曲線的方程，把形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)來(lái)研究；再通過(guò)方程，研究平面曲線的性質(zhì)，把數(shù)的研究轉(zhuǎn)化為形來(lái)討論。而曲線中各幾何量受各種因素的影響而變化，導(dǎo)致點(diǎn)、線按不同的方式作運(yùn)動(dòng)，曲線和方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系比較抽象，學(xué)生不易理解，顯而易見(jiàn)，展示幾何圖形變形與運(yùn)動(dòng)的整體過(guò)程在解析幾何教學(xué)中是非常重要的。這樣，《幾何畫(huà)板》又以其極強(qiáng)的運(yùn)算功能和圖形圖象功能在解析幾何的教與學(xué)中大顯身手。如它能作出各種形式的方程（普通方程、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程）的曲線；能對(duì)動(dòng)態(tài)的對(duì)象進(jìn)行“追蹤”，并顯示該對(duì)象的“軌跡”；能通過(guò)拖動(dòng)某一對(duì)象（如點(diǎn)、線）觀察整個(gè)圖形的變化來(lái)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上曲線的位置關(guān)系。

具體地說(shuō)，比如在講平行直線系y=x+b或中心直線系y=kx+2時(shí)，如圖6所示，分別拖動(dòng)圖（1）中的點(diǎn)A和圖（2）中的點(diǎn)B時(shí)，可以相應(yīng)的看到一組斜率為1的平行直線和過(guò)定點(diǎn)（0，2）的一組直線（不包括y軸）。再比如在講橢圓的定義時(shí)，可以由“到兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡”入手──如圖7，令線段AB的長(zhǎng)為“定值”，在線段AB上取一點(diǎn)E，分別以F1為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑和以F2為圓心、AE的長(zhǎng)為半徑作圓，則兩圓的交點(diǎn)軌跡即滿足要求。先讓學(xué)生猜測(cè)這樣的點(diǎn)的軌跡是什么圖形，學(xué)生各抒己見(jiàn)之后，老師演示圖7（1），學(xué)生豁然開(kāi)朗：“原來(lái)是橢圓”。這時(shí)老師用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)B（即改變線

段AB的長(zhǎng)），使得|AB|=|F1F2|，如圖7（2），滿足條件的點(diǎn)的軌跡變成了一條線段F1F2，學(xué)生開(kāi)始謹(jǐn)慎起來(lái)并認(rèn)真思索,不難得出圖7（3）（|AB|<|F1F2|時(shí)）的情形。經(jīng)過(guò)這個(gè)過(guò)程，學(xué)生不僅能很深刻地掌握橢圓的概念，也鍛煉了其思維的嚴(yán)密性。

綜上所述，使用《幾何畫(huà)板》進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)，通過(guò)具體的感性的信息呈現(xiàn)，能給學(xué)生留下更為深刻的印象，使學(xué)生不是把數(shù)學(xué)作為單純的知識(shí)去理解它，而是能夠更有實(shí)感的去把握它。這樣，既能激發(fā)學(xué)生的情感、培養(yǎng)學(xué)生的興趣，又能大大提高課堂效率。