第一篇：微分方程雙語教學(xué)研究論文

關(guān)鍵詞：教學(xué)研究 雙語教學(xué) 微分方程

摘要：微分方程雙語教學(xué)是微分方程教學(xué)中的一項(xiàng)重要環(huán)節(jié)，本文主要圍繞雙語教學(xué)主題，結(jié)合重慶科技學(xué)院目前實(shí)際情況，對常微分方程課程的雙語教學(xué)作了進(jìn)一步探討，分析總結(jié)了實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)中存在的問題并提出了一些意見。

保持式雙語教學(xué)是指學(xué)生剛進(jìn)入學(xué)校用母語進(jìn)行學(xué)習(xí)，然后逐步在部分課程上用第二種語言進(jìn)行教學(xué)，其他課程仍然用母語進(jìn)行教學(xué)。這種雙語教學(xué)比較適合普通高等本科院校。我校屬于新建的本科院校，用這種模式來進(jìn)行雙語教學(xué)比較符合我們學(xué)校的現(xiàn)實(shí)情況。常微分方程課程的雙語教學(xué)的主要目的是為了加深學(xué)生對國外常微分方程課程的先進(jìn)的體系、思想方法、發(fā)展趨勢的理解，以利于進(jìn)行中西方比較、借鑒西方的先進(jìn)成果，最終把學(xué)生培養(yǎng)成國際化人才。除此以外，“雙語教學(xué)”中的英語不僅僅是語言學(xué)習(xí)，而且可以為了培養(yǎng)學(xué)生相應(yīng)的思維基礎(chǔ)、智能結(jié)構(gòu)、文化素質(zhì)，在開放的外語環(huán)境中最大限度地挖掘?qū)W生潛能，這對現(xiàn)行的英語教學(xué)來說，是一個(gè)突破，也是一個(gè)更高的標(biāo)準(zhǔn)。

本人曾經(jīng)講授過本科的常微分方程課程而且在這方面發(fā)表過國際期刊，因此對于雙語教學(xué)有了一定的了解基礎(chǔ)。通過親身的講授體驗(yàn)，通過和學(xué)生的交流，觀察，調(diào)查等多種途徑，我發(fā)現(xiàn)了在我校進(jìn)行保持式雙語教學(xué)中所存在的主要問題。有如下：

一、缺乏師資

強(qiáng)大的師資力量是成功實(shí)施雙語教學(xué)的關(guān)鍵。要真正實(shí)現(xiàn)雙語教學(xué)的目標(biāo)，就要求教師既要精通常微分方程專業(yè)知識(shí)，又要具備扎實(shí)的英語水平。

有研究表明：現(xiàn)有的高校擴(kuò)招給大學(xué)英語教學(xué)帶來的巨大壓力已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了教師的承受能力，現(xiàn)有教師也很少有機(jī)會(huì)在職進(jìn)修，更缺乏定期出國提高自己語言能力，改善自身知識(shí)結(jié)構(gòu)的可能。許多大學(xué)雙語教師都沒有接受過系統(tǒng)，專門的雙語培訓(xùn)。

二、教師的工作量明顯加大，課堂信息不足

有研究表明：原來用母語教學(xué)10分鐘就能完成的知識(shí)點(diǎn)，用“雙語”后需要40分鐘，甚至更多。而授課教師的英語應(yīng)用能力高低不同，備課時(shí)間長短也不同。有教師認(rèn)為雙語教學(xué)備課量是非雙語教學(xué)的三倍以上。

三、學(xué)生英語水平參差不齊，師生溝通不流暢

就目前情況來看，大學(xué)生的英語綜合能力參差不齊，不少學(xué)生對專業(yè)詞匯掌握很少，聽力和口語不是很少，這些都使得教師不得不把重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到詞匯的講解，從而影響了教學(xué)進(jìn)度，達(dá)不到預(yù)期目標(biāo)。

四、國內(nèi)外教材不統(tǒng)一

雙語教學(xué)需要用國外的原版教材，但是國外原版教材難以與國內(nèi)相應(yīng)的學(xué)科教學(xué)要求相符。并且深淺程度不一致，理論和案例各自偏向不同的特點(diǎn)。許多國外教材是根據(jù)當(dāng)?shù)氐奈幕?xí)慣和思維方式編寫的，中國學(xué)生缺乏理解發(fā)達(dá)國家經(jīng)濟(jì)制度運(yùn)作的常識(shí)，理解教材中的內(nèi)容和案例還有很多困難。

五、教學(xué)中教育主體性缺失

常微分方程雙語教學(xué)應(yīng)該是學(xué)生和教師的主體性都是個(gè)和諧和統(tǒng)一的過程。但是目前是主體性的發(fā)揮存在不平衡。主要表現(xiàn)為：教師的主體性極度膨脹，學(xué)生的主體性沒有發(fā)揮出來。很多學(xué)生收到家庭環(huán)境，傳媒信息，個(gè)性特征，知識(shí)基礎(chǔ)，思維方式的影響，適應(yīng)雙語教學(xué)還需要一個(gè)過程。

六、教學(xué)方法需要配套改革

雖然目前，許多教師采用了多媒體來教學(xué)，但是也只是作了形式上的改變，把粉筆，黑板變成了電腦和幻燈片。以“學(xué)生為中心”的教學(xué)模式并沒有形成。

七、課程考核方式單一，缺乏專門的雙語教學(xué)質(zhì)量評價(jià)指標(biāo)體系

目前許多高校對雙語教學(xué)體系的評價(jià)，或者借助現(xiàn)有的單語教學(xué)評價(jià)指標(biāo)，或者以查代評，以考代評，定性多于定量，片面代替全面，評價(jià)的科學(xué)性還不是很完善。

從前面的分析來看，常微分方程雙語教學(xué)在發(fā)展中存在許多問題，形成這些問題的原因是多種多樣的。我們對上述的問題進(jìn)行簡單的歸類。發(fā)現(xiàn)可以歸類為：外部環(huán)境的問題(如學(xué)生的英語水平，師資的缺乏問題等)，教學(xué)內(nèi)容的問題(如方法的差異問題，教材選用的問題等)，教學(xué)方式，方法的問題(如教育主體性缺失問題)，考核辦法的問題(考核方式單一)。

考察、分析和解決常微分方程雙語教學(xué)中的問題都要著眼整個(gè)系統(tǒng)，要以合作的精神從大系統(tǒng)的全局出發(fā)。當(dāng)我們對雙語教學(xué)實(shí)施管理的時(shí)候，就是管理著一組有特定目的和目標(biāo)的相互關(guān)聯(lián)、相互制約的要素的組合體，而當(dāng)要解決其中任何一部分的問題時(shí)必須考慮到對系統(tǒng)其它部分以及周圍環(huán)境的影響，根據(jù)輕重緩急，予以通盤考慮，逐次解決。常微分方程雙語教學(xué)是適應(yīng)經(jīng)濟(jì)全球化和科技革命的挑戰(zhàn)。但是教學(xué)能否快速，良好的發(fā)展關(guān)鍵取決于自身的基礎(chǔ)條件，內(nèi)部教學(xué)系統(tǒng)的構(gòu)建與運(yùn)行以及外部環(huán)境的條件等。從這個(gè)意義來考慮，我們有必要構(gòu)建一個(gè)常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)，從而實(shí)現(xiàn)跨文化交流，把學(xué)生培養(yǎng)成國際化的人才。首先，構(gòu)建一個(gè)常微分方程教學(xué)系統(tǒng)必須有系統(tǒng)目標(biāo)。系統(tǒng)的目標(biāo)性要求我們在確定系統(tǒng)的目標(biāo)時(shí)，運(yùn)用各種調(diào)節(jié)手段把系統(tǒng)導(dǎo)向預(yù)定的目標(biāo)，達(dá)到系統(tǒng)整體性最優(yōu)的目標(biāo)。根據(jù)國家教學(xué)要求，常微分方程雙語教學(xué)的目標(biāo)應(yīng)該是用英語作為課堂主要語吉進(jìn)行常微分方程課程的教授，向?qū)W生推進(jìn)常微分方程專業(yè)理論的逐步演繹。使得學(xué)習(xí)者掌握本課程嚴(yán)密的專業(yè)知識(shí)，同時(shí)還可以培養(yǎng)學(xué)習(xí)者運(yùn)用兩種語言進(jìn)行思維的能力。

從系統(tǒng)論的角度，我們已經(jīng)明確了系統(tǒng)中的子系統(tǒng)(教學(xué)內(nèi)容，教學(xué)方式，方法和考核方法等)，外部環(huán)境(培養(yǎng)創(chuàng)新人才的需要，高等教學(xué)體制改革的重要舉措等)自身的基礎(chǔ)條件(師資力量。學(xué)生的英語水平)：

系統(tǒng)必須具備三個(gè)要素：系統(tǒng)的部件、系統(tǒng)的環(huán)境、系統(tǒng)的輸入與輸出。系統(tǒng)的部件，也就是系統(tǒng)下面的各個(gè)子系統(tǒng)，它們具有不同的屬性，又相互影響。他們組合結(jié)構(gòu)從整體上影響了系統(tǒng)的特征和行為。系統(tǒng)是在一定的外界環(huán)境條件下運(yùn)行的，它即受環(huán)境的影響，同時(shí)也對環(huán)境施加影響。系統(tǒng)與環(huán)境的交互影響就可以產(chǎn)生輸入與輸出的含義，輸入與輸出體現(xiàn)了系統(tǒng)與環(huán)境之間的交互影響，系統(tǒng)在目標(biāo)與要求明確以后，其部件就可以接受一系列的外界輸入以及進(jìn)行有效和高效率的處理后，提供系統(tǒng)所期望的實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的輸出，返回到環(huán)境。

概括的說，常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)的部件主要包括以下幾個(gè)子系統(tǒng)：教學(xué)內(nèi)容包括有課程設(shè)置和教材兩個(gè)子系統(tǒng)。在課程設(shè)置上，應(yīng)該與國際接軌，課程設(shè)置要借鑒國際知名同類院校的經(jīng)驗(yàn)，但是一定要結(jié)合本校的資源狀況，有辨別，有參考，有借鑒的學(xué)習(xí)和引進(jìn)。并且要循序漸進(jìn)，穩(wěn)步實(shí)施。應(yīng)該是先從高年級到低年級，先選修到必修，在大一和大二開設(shè)基礎(chǔ)英語和專業(yè)基礎(chǔ)理論課程，構(gòu)成基礎(chǔ)模塊。在大二下學(xué)期到大三開設(shè)常微分方程的外語課程，跨文化方面的課程。為雙語教學(xué)提供專業(yè)知識(shí)和文化環(huán)境作鋪墊。構(gòu)成過渡模塊。在前兩個(gè)基礎(chǔ)作好的情況下，開設(shè)常微分方程雙語課程?？傊x課程要有代表性，銜接性和外延性。在教材方面，主張采用原版英文教材，所選教材必須在國際學(xué)術(shù)界公認(rèn)先進(jìn)水平，要有一定適應(yīng)性，比如英，美兩國的教材都可以迅速，全面反應(yīng)最新的學(xué)術(shù)成果。教學(xué)方式和方法。教學(xué)方式和方法應(yīng)該多樣化。包括有教學(xué)工具的多樣化和教學(xué)的互動(dòng)化。除了傳統(tǒng)教材，多媒體以外，還應(yīng)該采用視頻剪輯材料，網(wǎng)絡(luò)材料，模擬實(shí)物等多種形式來為學(xué)生提供豐富的教學(xué)原始材料，這樣也容易產(chǎn)生更為直接的正向?qū)W習(xí)遷移。由于雙語教學(xué)的特殊性，情感過濾的效應(yīng)更為明顯，不同學(xué)習(xí)者可能會(huì)產(chǎn)生差異較大的主觀情感體驗(yàn)，因此設(shè)置互動(dòng)的教學(xué)情景非常重要。比如講座，討論，辯論，小組活動(dòng)。模擬游戲等教學(xué)活動(dòng)都可以產(chǎn)生比較好的效果。

在系統(tǒng)中，我們必須注意環(huán)境的變化?？梢钥紤]以立項(xiàng)的形式來加強(qiáng)常微分方程雙語課程建設(shè)，樹立精品意識(shí)，以教改立項(xiàng)或者課程建設(shè)立項(xiàng)的形式來推行常微分方程雙語教學(xué)。學(xué)校明確建設(shè)目標(biāo)，加大支持力度，嚴(yán)格驗(yàn)收，保證建設(shè)效果。并且要注意滾動(dòng)支持。這樣才能使得常微分方程雙語教學(xué)具有一定的連貫性和一致性。

在反饋機(jī)制中，我們重點(diǎn)要研究教學(xué)評價(jià)機(jī)制，也是考核辦法。應(yīng)該通過合適的考核方式來判斷，把平時(shí)考核和最后考試有機(jī)結(jié)合起來。平時(shí)考核采用靈活的方式，如課堂提問，小測驗(yàn)，作業(yè)，主體發(fā)言等。重點(diǎn)考核學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度，對知識(shí)的掌握，理解等。要結(jié)合筆試，口試，開卷，閉卷等多種方式，加強(qiáng)對知識(shí)應(yīng)用能力的考查。

除此以外，這個(gè)系統(tǒng)有個(gè)重要的支持平臺(tái)，就是師資狀況和學(xué)生的英語水平。沒有這兩個(gè)基本的平臺(tái)。其雙語教學(xué)將面臨嚴(yán)重的問題。要加強(qiáng)師資隊(duì)伍建設(shè)，采用各種形式加強(qiáng)對教師的培訓(xùn)，比如將一些雙語教師送到國外進(jìn)修，或者從條件好的院校聘請好的雙語專家來進(jìn)行外語授課，講學(xué)等。同時(shí)提高雙語教師的待遇，給予一定的工作量補(bǔ)貼等。鼓勵(lì)年輕教師投身雙語教學(xué)課程的建設(shè)中。

總而言之，常微分方程雙語教學(xué)系統(tǒng)必須要結(jié)合我校的實(shí)際情況來構(gòu)建，而影響系統(tǒng)的因素以及各個(gè)子系統(tǒng)本身都是在處于不斷變化之中的，特別是我國處于教育快速發(fā)展階段，可變量會(huì)更多也會(huì)更加復(fù)雜，技術(shù)在不斷的快速發(fā)展，相應(yīng)的政策法規(guī)也會(huì)隨著形式的需要不斷完善。在對外改革開放的浪潮中，傳統(tǒng)的文化受到?jīng)_擊，因此系統(tǒng)本身就是動(dòng)態(tài)變化中，要根據(jù)實(shí)際情況隨時(shí)進(jìn)行調(diào)整。使系統(tǒng)緊緊圍繞整體總目標(biāo)來協(xié)調(diào)發(fā)展。同時(shí)兼顧處理好與周圍環(huán)境的關(guān)系，系統(tǒng)與環(huán)境的互相影響主要依靠有效信息的反饋來爭取產(chǎn)生正面影響使整個(gè)系統(tǒng)健康協(xié)同的發(fā)展

第二篇：國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)研究

國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)研究

摘要:國際貿(mào)易專業(yè)推行雙語教學(xué)是順應(yīng)我國高等教育與國際接軌和改革發(fā)展和培養(yǎng)國際化高級人才的需要。本文從國際貿(mào)易專業(yè)的性質(zhì)出發(fā)，分析了該專業(yè)實(shí)施雙語教學(xué)的必要性。同時(shí)，對該專業(yè)實(shí)施雙語教學(xué)的模式、目標(biāo)體系以及教學(xué)實(shí)踐環(huán)節(jié)進(jìn)行探討，以期能促進(jìn)國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)工作的開展。

關(guān)鍵詞:國際貿(mào)易;雙語教學(xué);教學(xué)方法

隨著我國對外開放日益深入, 國際貿(mào)易規(guī)模飛速發(fā)展,市場對國際貿(mào)易的從業(yè)人員提出了更高的要求。從業(yè)人員不但要熟練貿(mào)易業(yè)務(wù), 而且還要會(huì)外語。雙語教學(xué)必須從源頭、從學(xué)校抓起。國際貿(mào)易專業(yè)開展“雙語教學(xué)”的目的不在于推進(jìn)專業(yè)英文教學(xué), 而是要培養(yǎng)學(xué)生成為在應(yīng)用外語中更新知識(shí)、開拓視野, 在工作中更好地交流的“ 面向國際市場競爭、具備國際經(jīng)營頭腦”的國際商務(wù)參與者和管理者。

自2004 年大部分開設(shè)國際貿(mào)易專業(yè)的高校多在國際貿(mào)易課程中推行雙語教學(xué)改革。在專業(yè)課程中推行雙語教學(xué)，依據(jù)專業(yè)特點(diǎn)，課程在學(xué)生專業(yè)知識(shí)結(jié)構(gòu)中的地位與作用，具體結(jié)合課程教學(xué)大綱，設(shè)置雙語教學(xué)這種課堂組織形式的教育教學(xué)目標(biāo)，從而選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法與技巧，使系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)學(xué)習(xí)與學(xué)生英語語言能力提高有機(jī)結(jié)合，達(dá)到更好的教學(xué)效果，應(yīng)該是可行的思路，本文結(jié)合自己的教學(xué)體會(huì)，對這一問題做初步探討。

一、國際貿(mào)易專業(yè)開展雙語教學(xué)的必要性

1.推動(dòng)“雙語教學(xué)”是國際貿(mào)易專業(yè)適應(yīng)我國教育教學(xué)改革的大環(huán)境的需要

2001年教育部頒發(fā)的《關(guān)于加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作提高教學(xué)質(zhì)量的意見》(教高字[2001]4號(hào))中就提出，“本科教育要?jiǎng)?chuàng)造條件使用英語等外語進(jìn)行公共課和專業(yè)課教學(xué)。對高新技術(shù)領(lǐng)域的生物技術(shù)、信息技術(shù)等專業(yè),以及為適應(yīng)我國加入WTO后需要的金融、貿(mào)易、法律等專業(yè),更要先行一步,力爭3年內(nèi),外語教學(xué)課程達(dá)到所開課程的5%-10%?！?2005年1月,教育部在《關(guān)于進(jìn)一步加強(qiáng)高等學(xué)校本科教學(xué)工作的若干意見》(教高[2005]1號(hào))文件中再一次明確提出“要提高雙語教學(xué)課程的質(zhì)量,繼續(xù)擴(kuò)大雙語教學(xué)課程的數(shù)量”的要求。

2.國際貿(mào)易專業(yè)課推行雙語教學(xué)是適應(yīng)WTO的要求的需要

隨著世界經(jīng)濟(jì)的一體化進(jìn)程的加快與世界文化的融合,要求通過提高高校國際貿(mào)易學(xué)的雙語教學(xué),培養(yǎng)既有豐富專業(yè)知識(shí),熟悉中國國情,又有較好外語水平,精通WTO規(guī)則和世界經(jīng)濟(jì)的國際化的人才。從這個(gè)意義上講,國際貿(mào)易專業(yè)課雙語教學(xué)勢在必行。在國際貿(mào)易學(xué)專業(yè)推行“雙語教學(xué)”的目的不在于推進(jìn)專業(yè)英文教學(xué),其真正目的在于培養(yǎng)學(xué)生――未來的商務(wù)人士、創(chuàng)業(yè)者,應(yīng)用外語在工作中交流,或應(yīng)用外語在專業(yè)上學(xué)習(xí),更新知識(shí),自我提高能夠具備同合作伙伴、國際競爭對手溝通和對抗的能力,真正成為“面向國際市場競爭、具備國際經(jīng)營頭腦”的國際商務(wù)參與者和管理者。上述人才培養(yǎng)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn),離不開與國際先進(jìn)教學(xué)模式的接軌,離不開對西方先進(jìn)管理思想與方法的研究和借鑒,更離不開英語這一國際貿(mào)易通用語言的運(yùn)用和英語思維能力的培養(yǎng)。

二、國際貿(mào)易實(shí)務(wù)開展雙語教學(xué)的主要模式

國際貿(mào)易實(shí)務(wù)的教學(xué)內(nèi)容具有國際性, 其教學(xué)目標(biāo)具有外向性的特點(diǎn)。國際貿(mào)易實(shí)務(wù)教學(xué)目標(biāo)的涉外性和教學(xué)內(nèi)容的國際性,決定了該課程進(jìn)行雙語教學(xué)的必要性。同時(shí),國際貿(mào)易實(shí)務(wù)雙語教學(xué)不僅是貿(mào)易全球化發(fā)展趨勢的必然要求, 而且也是培養(yǎng)國際性、復(fù)合型經(jīng)濟(jì)人才的需要。具體而言,在實(shí)踐中, 開展國際貿(mào)易實(shí)務(wù)存在三種模式。

1.簡單滲透型

在國際貿(mào)易教學(xué)中以中文授課為主, 用英語講授一些國際貿(mào)易術(shù)語, 并穿插使用一些常規(guī)的課堂用語, 學(xué)生的考試采用中文形式。這種模式對教師的英語水平要求不高, 適合英語基礎(chǔ)和接受能力相對薄弱的學(xué)生。從教學(xué)效果上看, 學(xué)生容易形成系統(tǒng)的以中文為媒介的知識(shí)體系,而英文掌握的只是零散的一些專業(yè)詞匯。雙語教學(xué)的最高目標(biāo)是在專業(yè)文獻(xiàn)的使用上、專業(yè)實(shí)務(wù)具體操作上能夠做到雙語自由轉(zhuǎn)換。這種雙語教學(xué)模式由于中英兩種語言的比重十分不平衡,教學(xué)過程中英文信息量不足,所培養(yǎng)的學(xué)生就其專業(yè)的英文知識(shí)而言十分有限, 很難達(dá)到雙語教學(xué)的真正目標(biāo)要求。這顯然是簡單滲透型的雙語教學(xué)模式的不足之處。

2.過渡型(混合型)

在雙語教學(xué)中以英語為主,采用英語板書和原版教材, 在英語授課的同時(shí)輔以中文解釋和說明,學(xué)生的作業(yè)、考試用英語出題,但用中文回答。這是目前我國國際貿(mào)易雙語教學(xué)中采用最多的一種模式,穿插過渡型雙語教學(xué)模式的優(yōu)點(diǎn)在于雙語的比重趨向均衡,采用這種教學(xué)模式與上種模式相比,教學(xué)過程中的英語信息量有了明顯增加,但是對教師和學(xué)生要求相對提高了,特別是學(xué)生必須具備較高的英文水平,否則很難感知英文教材,更難聽懂英文講授。

3.浸入型(全英語型)

在雙語教學(xué)中基本上使用英語,采用原版專業(yè)教材,課堂板書用英文,學(xué)生的作業(yè)、考試用英文出題, 學(xué)生答題一般用英語。這種模式的特點(diǎn)是對教師和學(xué)生的外文水平都有較高的要求。

以上三種方式各有所長。浸沒式雙語教學(xué)讓學(xué)生有一個(gè)很好的語言環(huán)境, 因此教學(xué)效果較好, 但是對老師和學(xué)生的要求都比較高, 尤其是語言環(huán)境的創(chuàng)造有諸多困難。過渡式雙語教學(xué)將第二語言逐步引入教學(xué)全過程維持式雙語教學(xué)則是將第二語言作為教學(xué)語言的同時(shí), 繼續(xù)用母語來維持學(xué)生理解的一種的教學(xué)模式, 這兩種模式比較適合雙語教學(xué)的起始階段, 但母語與非母語的比重難以把握。在我們的教學(xué)實(shí)踐中, 主要采用以英語浸沒式教學(xué)法為主, 輔以參與法的教學(xué)模式。

三、國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)的目標(biāo)體系

雙語教學(xué)的目標(biāo)體系是國際貿(mào)易專業(yè)教學(xué)目標(biāo)的重要組成部分, 它包括雙語教學(xué)的課程體系、雙語教學(xué)的能力體系兩大部分。雙語教學(xué)的課程體系包括國貿(mào)專業(yè)知識(shí)、國貿(mào)專業(yè)英語素養(yǎng)兩部分。雙語教學(xué)的能力體系包括英語應(yīng)用能力和社會(huì)適應(yīng)能力兩部分。

1.國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)的總目標(biāo)

通過雙語教學(xué), 不僅要求學(xué)生掌握專業(yè)知識(shí)和英語技能, 更要重視學(xué)生對專業(yè)知識(shí)與英語技能的應(yīng)用。通過本專業(yè)的學(xué)習(xí), 學(xué)生將提高專業(yè)知識(shí)水平, 加深對國際貿(mào)易業(yè)務(wù)的理解；學(xué)會(huì)運(yùn)用外語技能, 增強(qiáng)學(xué)生外貿(mào)業(yè)務(wù)的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力；增強(qiáng)學(xué)生人際交往技能和團(tuán)隊(duì)意識(shí)；樹立學(xué)生的自信心, 激發(fā)學(xué)生的潛能, 增強(qiáng)其就業(yè)競爭能力。

2.國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)課程目標(biāo)

雙語教學(xué)課程目標(biāo)是雙語教學(xué)目標(biāo)體系的重要組成部分, 包括國貿(mào)專業(yè)知識(shí)、國貿(mào)專業(yè)英語素養(yǎng)兩大部分, 它涵蓋了國際貿(mào)易專業(yè)學(xué)生必修的全部專業(yè)知識(shí)課程。在雙語教學(xué)安排上從兩大塊來完成這兩部分的教學(xué)任務(wù), 一部分國貿(mào)專業(yè)知識(shí)的中文講授包含了五大主干課程, 另一部分國貿(mào)專業(yè)英語素養(yǎng)的雙語講授包含了四大主干課程。

雙語教學(xué)課程的目標(biāo)分類方法有利于教師實(shí)施課程標(biāo)準(zhǔn), 使整個(gè)課程目標(biāo)落到實(shí)處。雙語教學(xué)的實(shí)施是在國貿(mào)專業(yè)知識(shí)掌握的基礎(chǔ)上來開展的, 學(xué)生在學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)行國貿(mào)實(shí)務(wù)的雙語學(xué)習(xí), 將有助于學(xué)生的理解, 減少許多國貿(mào)專業(yè)詞匯帶來的學(xué)習(xí)障礙。

雙語教學(xué)課程體系目標(biāo)兩大部分是互相聯(lián)系的整體,每個(gè)部分各有側(cè)重。國貿(mào)專業(yè)知識(shí)目標(biāo)要求學(xué)生熟練掌握貿(mào)易理論、專業(yè)國貿(mào)知識(shí)和貿(mào)易慣例, 培養(yǎng)學(xué)生全球貿(mào)易觀念, 掌握基本的國際貿(mào)易技能和方法。

3.國際貿(mào)易專業(yè)雙語教學(xué)能力目標(biāo)

雙語教學(xué)能力體系目標(biāo)主要指學(xué)生通過雙語的學(xué)習(xí)所獲得的用英語處理國貿(mào)實(shí)務(wù)的技能, 它包括英語應(yīng)用能力和社會(huì)適應(yīng)能力兩大部分。實(shí)現(xiàn)雙語教學(xué)能力體系目標(biāo), 一方面可通過校內(nèi)實(shí)驗(yàn)室模擬國貿(mào)實(shí)務(wù)操作環(huán)境的測評、模擬國貿(mào)場景交易的測評、單證制作及審核測試、函電寫作測試等來反映學(xué)生雙語學(xué)習(xí)所獲得的能力水平；另一方面也可通過校外的實(shí)訓(xùn)實(shí)習(xí)基地參與國貿(mào)實(shí)際業(yè)務(wù)各環(huán)節(jié)的實(shí)踐來測評學(xué)生的社會(huì)適應(yīng)能力。

四、國際貿(mào)易專業(yè)課堂雙語教學(xué)的探討

1.在教學(xué)組織中貫徹教育目標(biāo)

涉外經(jīng)濟(jì)活動(dòng)人才經(jīng)常從事國際經(jīng)濟(jì)業(yè)務(wù)，有更多的時(shí)間和機(jī)會(huì)接觸英語國家的思想觀念，行為方式等。我門常常把培養(yǎng)國際性人才作為國際貿(mào)易專業(yè)人才培養(yǎng)的高境界，這是因?yàn)槲覀兩钪诮?jīng)濟(jì)全球化日益形成的今天，以開放的心態(tài)面向世界的重要性。因此，在雙語課教學(xué)中，我們應(yīng)該首先樹立學(xué)生“民族性最鮮明的，也最富有國際性”的觀念，把我們國家處理國際經(jīng)濟(jì)、外交關(guān)系的基本原則貫穿于教學(xué)中，講清楚社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、文化進(jìn)步中的開放與保持民族意識(shí)，民族認(rèn)同感，民族自尊、自豪的關(guān)系，使我們的專業(yè)教育目標(biāo)通過教學(xué)實(shí)現(xiàn)。

2.正確設(shè)立課堂教學(xué)目標(biāo)，以專業(yè)知識(shí)為主線組織英文書面信息呈現(xiàn)，以母語為主，闡釋復(fù)雜深?yuàn)W觀點(diǎn)

我們知道，課堂教學(xué)是實(shí)現(xiàn)課程教育教學(xué)目標(biāo)的一個(gè)環(huán)節(jié)。專業(yè)課的雙語教學(xué)不同于大學(xué)英語等公共英語課教學(xué)，語言只是工具。依據(jù)課程教學(xué)大綱，每一次課堂教學(xué)時(shí)間內(nèi)，基本教學(xué)目標(biāo)是掌握系統(tǒng)的專業(yè)知識(shí)，而不是形成英語的聽說讀寫譯等語言能力。為此，宜采用英文呈現(xiàn)有關(guān)專業(yè)知識(shí)的書面信息。

3.注意調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，破除學(xué)生害怕出錯(cuò)、不敢自由表達(dá)的畏懼心理，樹立學(xué)生表達(dá)思想的信心

在第二語言不熟練，或者沒有經(jīng)常性使用時(shí)，每要表達(dá)一定意思，總會(huì)出現(xiàn)先出考慮語法對不對的現(xiàn)象，這樣反而妨礙了思想的表達(dá)。為此，課堂上要鼓勵(lì)學(xué)生大膽開口，不怕出錯(cuò)，凡不涉及基本概念，基本理論思想被曲解，就不糾正學(xué)生，盡量避免使用試錯(cuò)、負(fù)強(qiáng)化等教學(xué)手段，而是通過正強(qiáng)化，總結(jié)等方式來傳達(dá)正確信息。

4.嚴(yán)格使用學(xué)習(xí)評估方法

蘭伯特(Lambert)的態(tài)度/動(dòng)機(jī)模式(attitude/motivation model)認(rèn)為，在雙語學(xué)習(xí)方面，性向和態(tài)度是兩個(gè)重要的、相對獨(dú)立的影響因素；雙語學(xué)習(xí)不僅需要某種認(rèn)知能力，而且需要一種積極的態(tài)度；態(tài)度關(guān)系到動(dòng)機(jī)。因此，雙語能力基于性向、態(tài)度、動(dòng)機(jī)的程度以及態(tài)度與動(dòng)機(jī)之間的關(guān)系。依據(jù)這種理論，雙語教學(xué)應(yīng)該采用英文試題進(jìn)行考試，這樣不僅能夠使學(xué)生明確學(xué)習(xí)要求的嚴(yán)肅性，而且可以利用學(xué)生重視考試的心理，強(qiáng)化課堂學(xué)習(xí)的直接動(dòng)機(jī)。

課堂教學(xué)組織技巧是教師使有組織的教育形式在明確的教學(xué)目標(biāo)，有重點(diǎn)的內(nèi)容組織，系統(tǒng)并賦予連貫性的師生互動(dòng)下收到實(shí)際效果的主要途徑，也是教師“教育藝術(shù)”的展示平臺(tái)，各個(gè)教師可能有自己的獨(dú)特做法和經(jīng)驗(yàn)，但是，從整體上把握專業(yè)培養(yǎng)目標(biāo)，把其作為處理教學(xué)中語言能力形成與系統(tǒng)專業(yè)知識(shí)講述的大原則，有助于組織起知識(shí)傳授與技能形成相融合的課堂教學(xué)環(huán)境。

參考文獻(xiàn)：

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第三篇：系統(tǒng)工程學(xué)雙語教學(xué)研究與實(shí)踐論文

摘要：雙語教學(xué)是當(dāng)前高等院校教育教學(xué)改革的一個(gè)熱點(diǎn)問題。文章針對系統(tǒng)工程課程內(nèi)容，進(jìn)行了該課程雙語教學(xué)研究。首先分析該課程在雙語教學(xué)中遇到的問題，然后提出相應(yīng)的對策和建議，最后，對該課程新的教學(xué)模式進(jìn)行探索。

關(guān)鍵詞：系統(tǒng)工程；雙語教學(xué)；教學(xué)模式

雙語教學(xué)是時(shí)代發(fā)展的需要，也是改革開放的必然結(jié)果。為了適應(yīng)經(jīng)濟(jì)全球化、世界一體化的潮流，必須實(shí)施雙語教學(xué)，培養(yǎng)雙語人才，使他們成為受社會(huì)歡迎的復(fù)合型人才。只有這樣，才有利于學(xué)生吸收國外先進(jìn)的知識(shí)和技術(shù)，才能在國際交流與合作中，維護(hù)自己的利益，平等地參與國際事務(wù)。

雙語教學(xué)的英文是“Bilingual Education”，根據(jù)英國的《朗文語言教學(xué)及應(yīng)用語言學(xué)辭典》(Longman Dictionary of languageTeaching&Applied Linguistics)對“雙語教學(xué)”的定義是：“The useDf a second or foreign language in school for the teaching ofcontent suhject，”即在學(xué)校里使用第二語言或外語進(jìn)行學(xué)科教學(xué)的運(yùn)作方式。

“雙語教學(xué)”是指學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者與學(xué)習(xí)者圍繞某一門非語言學(xué)科的知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀，遵循一定的學(xué)科標(biāo)準(zhǔn)，在思維水平上運(yùn)用兩種語言媒介，通過傳授、仿效與內(nèi)化等過程而進(jìn)行的學(xué)校活動(dòng)。因此，雙語教學(xué)只是一種形式，它的實(shí)質(zhì)是研究型教學(xué)模式，旨在全面培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)和交際能力，目的是在不影響甚至促進(jìn)專業(yè)學(xué)習(xí)和認(rèn)知發(fā)展的同時(shí)，提高單語學(xué)習(xí)者運(yùn)用目標(biāo)語的水平，尤其是認(rèn)知學(xué)術(shù)語言的能力。

系統(tǒng)工程學(xué)是一門跨學(xué)科的工程技術(shù)，為現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展提供了新思路和新方法，是在較為系統(tǒng)地介紹系統(tǒng)工程的基本理論、基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)觀念，培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行實(shí)際系統(tǒng)建模、分析和綜合的能力。為了讓學(xué)生能夠更好地了解和掌握系統(tǒng)工程技術(shù)，能夠直接查閱英文參考文獻(xiàn)，有必要采用雙語教學(xué)教授本門課程。從而培養(yǎng)學(xué)生利用英語學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)和進(jìn)行技術(shù)交流的能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)專業(yè)知識(shí)的同時(shí)，能夠自然地提高英語語言應(yīng)用的能力，有利于學(xué)生學(xué)業(yè)深造和就業(yè)，同時(shí)促進(jìn)本門課程雙語教學(xué)的發(fā)展。雙語教學(xué)中存在的問題

1.1 對系統(tǒng)工程學(xué)雙語教學(xué)的意義理解不到位

高校最初開展雙語教學(xué)只是為了配合高等院校的教學(xué)改革，缺乏主動(dòng)性和積極性。教師對雙語教學(xué)的概念理解不準(zhǔn)確。認(rèn)為只要在課堂上說了外語就算是雙語教學(xué)，在授課內(nèi)容上也只停留在語言的改革上。而沒有在教學(xué)模式上跟進(jìn)，其效果是學(xué)生多記了幾個(gè)專業(yè)方面的英語單詞，并未達(dá)到雙語教學(xué)的真正目的。

1.2 教師的專業(yè)知識(shí)和“雙語”能力亟需提升

教師素質(zhì)和雙語能力是制約雙語教學(xué)的瓶頸問題，也是開展雙語教學(xué)的先決條件。系統(tǒng)工程學(xué)雙語教學(xué)對教師的要求更高，不僅要求專業(yè)知識(shí)精深，還要求用英語表述專業(yè)知識(shí)、解析專業(yè)詞匯的能力要強(qiáng)。

1.3 學(xué)生的接受能力有限

目前我國的大學(xué)英語趨向于應(yīng)試教育，忽視對聽說能力的培養(yǎng)，不利于培養(yǎng)真實(shí)環(huán)境中學(xué)生的口頭交際能力，導(dǎo)致學(xué)生實(shí)際應(yīng)用水平的降低，從而影響學(xué)生對專業(yè)知識(shí)的掌握程度和學(xué)習(xí)進(jìn)度。

1.4 缺乏雙語教學(xué)的優(yōu)秀教材

目前，雙語教學(xué)教材的選擇十分有限，本門課英文原版教材匱乏，不利于學(xué)生對相關(guān)的專業(yè)術(shù)語，相關(guān)的英語表達(dá)的掌握，導(dǎo)致學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的難度增加。對策和建議

2.1 轉(zhuǎn)變認(rèn)識(shí)

教師可以通過專業(yè)知識(shí)講座、主題班會(huì)等形式做好學(xué)生的思想工作，使他們意識(shí)到本門課程開展雙語教學(xué)的重要性與必要性。

2.2 教師素質(zhì)提升

師資的培養(yǎng)是順利開展雙語教學(xué)的基礎(chǔ)。首先挑選出具有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)和英文基礎(chǔ)好的青年教師參加由外籍教師任教的英語培訓(xùn)班。強(qiáng)化訓(xùn)練口語、聽力及寫作；其次，指派教師在國內(nèi)開展雙語教學(xué)的高校間訪問與交流，取長補(bǔ)短，共同提高；將優(yōu)秀的雙語教師送到國外進(jìn)修，提高英語應(yīng)用和交流的能力以及本學(xué)科最新技術(shù)、學(xué)術(shù)動(dòng)態(tài)的掌握。

2.3 學(xué)生素質(zhì)提升

首先，加大宣傳，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。學(xué)校應(yīng)該加強(qiáng)對雙語教學(xué)的宣傳，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目標(biāo)，提高對雙語課程開設(shè)的認(rèn)識(shí)，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣；其次，可以先通過小班教學(xué)，積累教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，樹立學(xué)習(xí)典型，讓多數(shù)學(xué)生看到雙語教學(xué)的良好效果；再次，優(yōu)化雙語教學(xué)內(nèi)容，新穎的雙語教學(xué)內(nèi)容能夠大大激發(fā)學(xué)生們的興趣，使他們積極主動(dòng)地參與到教學(xué)的實(shí)踐活動(dòng)中來。

2.4 教材選用

教材的選擇可通過引進(jìn)原版英文教材、在原版英文教材基礎(chǔ)上改編和編著自己的教材3種方式進(jìn)行選擇。引進(jìn)原版英文教材，價(jià)格高，解題思路與方法多有不同，內(nèi)容不完全適合教學(xué)要求；改編教材既可以吸收國外先進(jìn)的學(xué)科知識(shí)，又能符合教學(xué)大綱內(nèi)容。逐漸向原版教材過渡，易于與國際化接軌；編著教材既需要通曉學(xué)科知識(shí)，又要熟練應(yīng)用英語的專家來編著，難度較大。根據(jù)實(shí)際情況，選擇改編教材切實(shí)可行。探索新的教學(xué)模式

系統(tǒng)工程是一門專業(yè)課，它的雙語教學(xué)既不同于傳統(tǒng)的課程教學(xué)也不同于專業(yè)英語教學(xué)。既要介紹專業(yè)知識(shí)還要兼顧中英文的使用。因此，必須結(jié)合實(shí)際積極探索適宜的教學(xué)模式。

3.1 靈活的授課方式將班級的學(xué)生分成若干小組，每個(gè)小組圍繞某個(gè)主題用英語進(jìn)行討論，自由發(fā)揮，廣泛交流，每個(gè)人都能得到專業(yè)英語口語鍛煉的機(jī)會(huì)。還可以對某一專業(yè)問題用英語進(jìn)行分析，并形成書面報(bào)告，教師進(jìn)行修改，并提出修改意見，這樣不僅培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用英語分析問題和解決問題的能力，同時(shí)也提高了學(xué)生英語書面表達(dá)的能力。靈活的雙語教學(xué)形式能夠活躍課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。

3.2 充分利用多媒體

選擇英文原版教材，自制中英文結(jié)合的多媒體課件，多媒體板書中凡是涉及到專業(yè)術(shù)語和詞匯以及部分不易理解的科技英語句式結(jié)構(gòu)和主要的知識(shí)點(diǎn)，采用英中文對照，對于不易理解的專業(yè)術(shù)語要用母語進(jìn)行注釋。教學(xué)方法上，采用循序漸進(jìn)法。開始時(shí)可以采用20％英語，80％母語，語速要放慢，耐心講解，使學(xué)生盡快進(jìn)入狀態(tài)，待學(xué)生逐漸適應(yīng)課堂節(jié)奏和部分專業(yè)詞匯后，可提高英語授課的比例，最后達(dá)到全部用英語授課，難點(diǎn)用漢語補(bǔ)充。另外。在多媒體課件制作上，畫面要生動(dòng)，師生要互動(dòng)，這樣，可以使教學(xué)過程變得生動(dòng)，從而調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和飽滿的學(xué)習(xí)熱情。

3.3 充分利用網(wǎng)絡(luò)教輔資源

充分利用本校的網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)，建立系統(tǒng)工程的網(wǎng)絡(luò)課程。學(xué)生可以通過學(xué)號(hào)登錄本門課程，自學(xué)課堂上沒有完全消化的教學(xué)內(nèi)容，教師還可以針對部分章節(jié)，收集和整理了一些課外讀物幫助學(xué)生開擴(kuò)視野；通過相關(guān)網(wǎng)頁鏈接幫助學(xué)生快速準(zhǔn)確的查閱資料；學(xué)生可以通過學(xué)習(xí)論壇、習(xí)題庫、聊天室、電子郵件反映教學(xué)中的問題，與教師交流，形成互動(dòng)式教學(xué)。

3.4 教學(xué)考核改革

課程考核由平時(shí)成績和課程論文成績構(gòu)成。平時(shí)成績包括出勤、課堂作業(yè)和參與討論問題情況；期末考試時(shí)要求學(xué)生獨(dú)立下載并翻譯一篇與系統(tǒng)工程相關(guān)英文文章作為課程論文成績。通過口頭和書面能力的鍛煉，促進(jìn)學(xué)生真正掌握原理，同時(shí)提高專業(yè)英語聽、說、讀、寫能力。結(jié)束語

系統(tǒng)工程的雙語教學(xué)的實(shí)踐還在探索中，雖然摸索出一些實(shí)用的方法，取得了一定的教學(xué)效果。在今后的教學(xué)中仍要不斷提高教師的外語和專業(yè)水平、多媒體課件內(nèi)容體系與多元化教學(xué)的相容性以及網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的多層次化，并且，不斷將最新的科研成果和發(fā)展動(dòng)態(tài)補(bǔ)充到教學(xué)內(nèi)容中。

第四篇：微分方程教案

高等數(shù)學(xué)教案

第七章

微分方程

教學(xué)目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡單的應(yīng)用問題。教學(xué)重點(diǎn)：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學(xué)難點(diǎn)：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問開始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?

解 設(shè)列車在開始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?

t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數(shù)學(xué)教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

高等數(shù)學(xué)教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問題? 求微分方程滿足初始條件的解的問題稱為初值問題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗(yàn)證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數(shù)學(xué)教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業(yè)：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無法進(jìn)行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

高等數(shù)學(xué)教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫成如下對稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說? 能把微分方程寫成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數(shù)學(xué)教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)

高等數(shù)學(xué)教案

動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數(shù)學(xué)教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

高等數(shù)學(xué)教案

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?

因?yàn)?/p>

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數(shù)學(xué)教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過的跡線的方程?

解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數(shù)學(xué)教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2

高等數(shù)學(xué)教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數(shù)學(xué)教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數(shù)學(xué)教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數(shù)學(xué)教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數(shù)學(xué)教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?

解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數(shù)學(xué)教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數(shù)學(xué)教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?

給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?

又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項(xiàng)? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程?

如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?

m

例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數(shù)學(xué)教案

數(shù)? 電源電動(dòng)勢是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢為EL ? 由電學(xué)知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數(shù)學(xué)教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)?

設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無關(guān)?

判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因?yàn)閷τ谌我鈨蓚€(gè)常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無關(guān)解?

高等數(shù)學(xué)教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解? 并寫出其通解?

解 因?yàn)?/p>

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對應(yīng)的齊次方程?

定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對應(yīng)的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數(shù)學(xué)教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當(dāng)選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數(shù)學(xué)教案

求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?

這是因?yàn)?

函數(shù)y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的解?

這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數(shù)?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數(shù)學(xué)教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對x求導(dǎo)? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數(shù)學(xué)教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對共軛復(fù)根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項(xiàng)的對應(yīng)?

單實(shí)根r 對應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ?

一對單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實(shí)根r對應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對應(yīng)于2k項(xiàng)?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式?

高等數(shù)學(xué)教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?b0x?b1?

高等數(shù)學(xué)教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對應(yīng)的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數(shù)學(xué)教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 12121212高等數(shù)學(xué)教案

y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對應(yīng)的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數(shù)學(xué)教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第五篇：高職院校蒙漢雙語教育教學(xué)研究論文

摘要：內(nèi)蒙古地區(qū)的少數(shù)民族雙語教育應(yīng)該蒙漢語并重，以蒙漢兼通為教育目的，在教學(xué)中，注重蒙漢互通，相互轉(zhuǎn)換能力的培養(yǎng)。本文簡要闡述了國外的雙語教育模式，并與自治區(qū)少數(shù)民族雙語教育模式進(jìn)行對比與分析，從而闡明了我區(qū)少數(shù)民族雙語教育應(yīng)該采取的教育模式。

關(guān)鍵詞：教育模式；雙語教育；雙語教學(xué)；互通式教材

一、引言

我國的內(nèi)蒙古地區(qū)屬于少數(shù)民族地區(qū)，這些地區(qū)大多擁有自己的語言。但為了使得各民族能夠更加融合，團(tuán)結(jié)奮進(jìn)，也必須在少數(shù)民族的語言教育中加入漢語教育，使得兩種語言共同發(fā)展，學(xué)生既具備民族語言的能力，也擁有漢語能力，這才有利于學(xué)生的發(fā)展。所以，必須要實(shí)施雙語教育，促使民族和民族之間更好的進(jìn)行溝通、交流。

二、關(guān)于少數(shù)民族雙語教育的模式

這里所說的雙語教育，指的是促使學(xué)生既了解第一語言，也會(huì)運(yùn)用第二語言，在這樣的形式下來接受教育。分析其教學(xué)意義，雙語教學(xué)所涵蓋的范圍，比雙語教育更加廣泛，這是實(shí)現(xiàn)雙語教育的最好方式。此外，其還包括了雙語教學(xué)方法，以及非雙語教學(xué)方法。通過調(diào)查后發(fā)現(xiàn)，采取這樣的形式所教育出來的學(xué)生，比起過渡式方法所教育出來的學(xué)生，語言運(yùn)用能夠更強(qiáng)。然而這樣也有一個(gè)不足之處，那就是學(xué)生的母語能力會(huì)受到一定的限制，甚至不能進(jìn)一步的發(fā)展。所以，該種教育模式不利于內(nèi)蒙古地區(qū)的學(xué)生。

三、針對內(nèi)蒙古地區(qū)的雙語教學(xué)問題進(jìn)行分析

第一，雙語教學(xué)應(yīng)注重、加強(qiáng)基礎(chǔ)教育。內(nèi)蒙古地區(qū)的語言教育中，關(guān)于大專院校的教學(xué)是重點(diǎn)。因?yàn)閷W(xué)生在大學(xué)時(shí)期，屬于素質(zhì)教育的關(guān)鍵時(shí)期。通過實(shí)驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生的幼兒時(shí)期，便要開始實(shí)施雙語方面的教育。到了中學(xué)的時(shí)候，更是對學(xué)生進(jìn)行塑造的重點(diǎn)時(shí)期。這個(gè)時(shí)期，必須要樹立學(xué)生的民族觀念和愛國思想，因此雙語教學(xué)是非常重要的。所以，教學(xué)工作者必須改變陳舊的思想，將重點(diǎn)放在中學(xué)時(shí)期和小學(xué)時(shí)期，制定出科學(xué)合理的雙語教學(xué)計(jì)劃，這才有利于學(xué)生的發(fā)展。中學(xué)和小學(xué)時(shí)期打好了基礎(chǔ)，才能促使雙語教學(xué)起到一定的效果。若是到了大學(xué)再實(shí)施雙語教育，那么可能會(huì)起到適得其反的效果，甚至引發(fā)學(xué)生的反感。正因?yàn)檫@樣，所以在筆者看來，要使得大專院校的雙語教育更好的開展和進(jìn)行，就必須在中學(xué)和小學(xué)時(shí)期便打好基礎(chǔ)。第二，科學(xué)合理的選擇和使用教材。在進(jìn)行雙語教學(xué)的時(shí)候，教材是非常關(guān)鍵的一個(gè)部分，同時(shí)也是教學(xué)的基礎(chǔ)。因此必須選擇好的教材，使得教學(xué)質(zhì)量也得到提高。在筆者看來，蒙古地區(qū)的雙語教育教材在大學(xué)這個(gè)階段，可以盡量使用關(guān)于該民族的優(yōu)秀語言材料，使學(xué)生更好的了解民族語言的特色和風(fēng)格，另外也要在其中加入少量的漢語材料，漢語和蒙語的結(jié)合，幫助學(xué)生更好的了解和學(xué)習(xí)語言，形成自豪的民族觀念和愛國思想，為將來的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。蒙古地區(qū)大中院校的雙語教材，開始必須要使得富有特色的蒙語占大多數(shù)，之后逐漸轉(zhuǎn)變?yōu)闈h語占大多數(shù)，以及兩種語言的譯文占相同比例。在這個(gè)過程里，也需要增加一些語法、語音還有翻譯方面的內(nèi)容和知識(shí)，促使?jié)h語和蒙語能夠形成良好的互動(dòng)和參照。不僅如此，也必須考慮到學(xué)生所學(xué)習(xí)的專業(yè)，在其中加入關(guān)于專業(yè)的內(nèi)容。需要注意的是，教學(xué)大綱和教材的參考書都需要依照教材來設(shè)定，使得教學(xué)能夠獲得相應(yīng)的指導(dǎo)。所編撰和使用的教材，也必須得到相關(guān)專家和權(quán)威人士的審核。第三，教學(xué)的過程中采用科技手段。如今，隨著社會(huì)的發(fā)展，科學(xué)技術(shù)也在不斷進(jìn)步。涌現(xiàn)出了很多先進(jìn)技術(shù)和設(shè)備，比如網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、視聽技術(shù)、多媒體技術(shù)等等。很多地區(qū)在教育的時(shí)候，都采用了這些先進(jìn)設(shè)備。所以，在內(nèi)蒙古地區(qū)進(jìn)行雙語教育的時(shí)候，也要用到這些先進(jìn)技術(shù)和設(shè)備。使得語言教育能夠更好的進(jìn)行，同時(shí)也使得課堂效率得到提高。另外，在西部貧困地區(qū)使用這些設(shè)備和儀器，能夠減少經(jīng)濟(jì)發(fā)達(dá)地區(qū)和貧困地區(qū)之間在教育方面的差異，為當(dāng)?shù)貙W(xué)生的學(xué)習(xí)提供更好的條件和環(huán)境。第四，構(gòu)建科學(xué)合理的考試制度。內(nèi)蒙古地區(qū)在對學(xué)生進(jìn)行雙語教育的時(shí)候，必須采取措施提高當(dāng)?shù)亟處煹哪芰退刭|(zhì)，使其具備一定的語言能力。大部分教育工作者研究的重點(diǎn)都在于如何提高偏遠(yuǎn)地區(qū)教師的語言能力、教學(xué)能力。在筆者看來，除了必須要對教師進(jìn)行培訓(xùn)、改進(jìn)教學(xué)方式以外，另外也需要設(shè)置科學(xué)合理的考試制度，使得雙語教師接受一定的考核?？己说膬?nèi)容和形式由權(quán)威人士和教育工作者來制定。而且考試的結(jié)果還要和教師的薪資待遇進(jìn)行掛鉤，這才有利于少數(shù)民族的雙語教學(xué)更好的開展和進(jìn)行，提高教師的雙語應(yīng)用能力、教學(xué)能力。

四、結(jié)束語

綜上所述，內(nèi)蒙古少數(shù)民族地區(qū)的語言教學(xué)非常復(fù)雜，涉及的面也廣，必須要長期開展和進(jìn)行。因此，教師必須要付出一定的努力，同時(shí)政府也要進(jìn)行扶持，這樣才有利于當(dāng)?shù)卣Z言教育的進(jìn)行和實(shí)施。同時(shí)，開展雙語教學(xué)，也能夠促進(jìn)民族和民族之間更好的進(jìn)行溝通和交流，為社會(huì)的穩(wěn)定以及民族的團(tuán)結(jié)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

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