第一篇：第四章 微分方程講稿

高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

第四章

微分方程

§4? 1 微分方程的基本概念

導(dǎo)入：(8分鐘)函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問(wèn)題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來(lái)? 這就是解微分方程?

引例 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))? ? 高等數(shù)學(xué)C教案

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微分方程

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說(shuō)? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫(xiě)成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問(wèn)題? 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問(wèn)題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

§4? 2 一階微分方程

導(dǎo)入：（8分鐘）1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得

y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無(wú)法進(jìn)行? 方程兩邊直接積分不能求出通解?

??

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y ??x2?C? 或y??可以驗(yàn)證函數(shù)y??1y1?

x2?C1是原方程的通解?

x2?C

g(y)dy?f(x)dx

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫(xiě)成

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解 高等數(shù)學(xué)C教案

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微分方程

對(duì)稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫(xiě)成如下對(duì)稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

一、可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說(shuō)? 能把微分方程寫(xiě)成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫(xiě)成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解?

例1 求微分方程??dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y兩邊積分得

1dy?2xdx?

?y?3 高等數(shù)學(xué)C教案

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微分方程

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex?

2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

2dM?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程

dM???M?

dtdM?0?

dt其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為

M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得

dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

m初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

兩邊積分? 得

dv?mg?kv?

dtdv?dt?

mg?kvmdv?dt?

?mg?kv?m 高等數(shù)學(xué)C教案

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?ln(mg?kv)??kC1?ktmgem?Ce(C??即v?)?

kk1kt?C?

m1將初始條件v|t?0?0代入通解得C??mg?

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?k

例4 求微分方程

解 方程可化為 dy?1?x?y2?xy2的通解?

dx

dy?(1?x)(1?y2)?

dx1dy?(1?x)dx?

1?y2分離變量得

兩邊積分得

1dy?(1?x)dx1x2?x?C?

? 即arctany??1?y2?2于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

例5 有高為1m的半球形容器? 水從它的底部小孔流出? 小孔橫截面面積為1cm2? 開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)盛滿了水? 求水從小孔流出過(guò)程中容器里水面高度h隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 由水力學(xué)知道? 水從孔口流出的流量Q可用下列公式計(jì)算?

Q?12dV?0.62S2gh?

dt其中0? 62為流量系數(shù)? S為孔口橫截面面積? g為重力加速度? 現(xiàn)在孔口橫截面面積S?1cm2? 故

dV?0.622gh? 或dV?0.622ghdt?

dt

dV???r2dh?

另一方面? 設(shè)在微小時(shí)間間隔[t? t?dt]內(nèi)? 水面高度由h降至h?dh(dh?0)? 則又可得到

其中r是時(shí)刻t的水面半徑? 右端置負(fù)號(hào)是由于dh?0而dV?0的緣故? 又因

r?1002?(100?h)2?200h?h2?

所以

dV???(200h?h2)dh?

通過(guò)比較得到

0.622ghdt???(200h?h2)dh? 高等數(shù)學(xué)C教案

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這就是未知函數(shù)h?h(t)應(yīng)滿足的微分方程?

此外? 開(kāi)始時(shí)容器內(nèi)的水是滿的? 所以未知函數(shù)h?h(t)還應(yīng)滿足下列初始條件?

h|t?0?100?

將方程0.622ghdt???(200h?h2)dh分離變量后得

dt??兩端積分? 得

t??35?0.622g13(200h2?h2)dh?

0.622g??13(200h2?h2)dh?

即 t??(400h2?2h2)?C?

50.622g3其中C是任意常數(shù)?

由初始條件得

t??(400?1002?2?1002)?C?

50.622gC???35?(400000?200000)??14?105?

350.622g0.622g15

?因此t??0.622g(7?1053532?10h?3h2)?

上式表達(dá)了水從小孔流出的過(guò)程中容器內(nèi)水面高度h與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系? 二、一階線性微分方程

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程?

dxx?2dx如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

提問(wèn)：下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx6 高等數(shù)學(xué)C教案

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3(y?1)2dydy3dxx?0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程? ?x?0??32dydxx(y?1)dx21、齊次線性方程的解法?

齊次線性方程dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dx

dy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例6 求方程(x?2)dy?y的通解?

dxdydx??

yx?

2解

這是齊次線性方程? 分離變量得

兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡(jiǎn)得u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]?

??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx?

? 高等數(shù)學(xué)C教案

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微分方程

非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例7 求方程dxx?

1解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?12u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?12

5兩邊積分? 得

1u??(x?1)2? u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

3例8 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出 dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

di?Ri?Emsin? t?

dtLL8 高等數(shù)學(xué)C教案

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微分方程

i|t?0?0?

方程di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中 dtLLER

P(t)?? Q(t)?msin? t?

LL?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRR由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dtRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?2R??2L2R2??2L2? LEm?

R2??2L2總結(jié)：

1、微分方程的相關(guān)概念

a、微分方程的階

b、微分方程的通解與特解

2、可分離變量的微分方程

a、可分離變量的微分方程

b、可轉(zhuǎn)化為可分離變量的微分方程

3、一階線性微分方程

a、一階線性齊次微分方程

b、一階線性非齊次微分方程

c、常數(shù)變易法 教學(xué)后記：高等數(shù)學(xué)C教案

第四章

微分方程

作業(yè)：

第二篇：微分方程教案

高等數(shù)學(xué)教案

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微分方程

教學(xué)目的：

1．了解微分方程及其解、階、通解，初始條件和特等概念。2．熟練掌握變量可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法。

3．會(huì)解齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程，會(huì)用簡(jiǎn)單的變量代換解某些微分方程。4． 會(huì)用降階法解下列微分方程：y(n)?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)5． 理解線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理。

6．掌握二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，并會(huì)解某些高于二階的常系數(shù)齊次線性微分方程。

7.求自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。

8.會(huì)解歐拉方程，會(huì)解包含兩個(gè)未知函數(shù)的一階常系數(shù)線性微分方程組。9．會(huì)解微分方程組（或方程組）解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)：

1、可分離的微分方程及一階線性微分方程的解法

(n)

2、可降階的高階微分方程y?f(x)，y???f(x,y?)和y???f(y,y?)

3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程；

4、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程；

教學(xué)難點(diǎn)：

1、齊次微分方程、伯努利方程和全微分方程；

2、線性微分方程解的性質(zhì)及解的結(jié)構(gòu)定理；

3、自由項(xiàng)為多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、余弦函數(shù)，以及它們的和與積的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解。

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 1 微分方程的基本概念

函數(shù)是客觀事物的內(nèi)部聯(lián)系在數(shù)量方面的反映? 利用函數(shù)關(guān)系又可以對(duì)客觀事物的規(guī)律性進(jìn)行研究? 因此如何尋找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 在實(shí)踐中具有重要意義? 在許多問(wèn)題中? 往往不能直接找出所需要的函數(shù)關(guān)系? 但是根據(jù)問(wèn)題所提供的情況? 有時(shí)可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式? 這樣的關(guān)系就是所謂微分方程? 微分方程建立以后? 對(duì)它進(jìn)行研究? 找出未知函數(shù)來(lái)? 這就是解微分方程?

例1 一曲線通過(guò)點(diǎn)(1? 2)? 且在該曲線上任一點(diǎn)M(x? y)處的切線的斜率為2x? 求這曲線的方程?

解 設(shè)所求曲線的方程為y?y(x)? 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義? 可知未知函數(shù)y?y(x)應(yīng)滿足關(guān)系式(稱為微分方程)

dy?2x?

(1)

dx此外? 未知函數(shù)y?y(x)還應(yīng)滿足下列條件?

x?1時(shí)? y?2? 簡(jiǎn)記為y|x?1?2?

(2)把(1)式兩端積分? 得(稱為微分方程的通解)

y?2xdx? 即y?x2?C?

(3)其中C是任意常數(shù)?

把條件“x?1時(shí)? y?2”代入(3)式? 得

2?12?C?

由此定出C?1? 把C?1代入(3)式? 得所求曲線方程(稱為微分方程滿足條件y|x?1?2的解)?

y?x2?1?

例2 列車在平直線路上以20m/s(相當(dāng)于72km/h)的速度行駛? 當(dāng)制動(dòng)時(shí)列車獲得加速度?0?4m/s2? 問(wèn)開(kāi)始制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住? 以及列車在這段時(shí)間里行駛了多少路程?

解 設(shè)列車在開(kāi)始制動(dòng)后t秒時(shí)行駛了s米? 根據(jù)題意? 反映制動(dòng)階段列車運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)s?s(t)應(yīng)滿足關(guān)系式 ?d2s??0.?

(4)dt2此外? 未知函數(shù)s?s(t)還應(yīng)滿足下列條件?

t?0時(shí)? s?0? v?ds?20? 簡(jiǎn)記為s|=0? s?|=20?

(5)

t?0t?0dt高等數(shù)學(xué)教案

把(4)式兩端積分一次? 得

v?ds??0.4t?C?

(6)1dt再積分一次? 得

s??0?2t2 ?C1t ?C2?

(7)這里C1? C2都是任意常數(shù)?

把條件v|t?0?20代入(6)得

20?C1?

把條件s|t?0?0代入(7)得0?C2?

把C1? C2的值代入(6)及(7)式得

v??0?4t ?20?

(8)

s??0?2t2?20t?

(9)在(8)式中令v?0? 得到列車從開(kāi)始制動(dòng)到完全停住所需的時(shí)間

t?20?50(s)?

0.4再把t?50代入(9)? 得到列車在制動(dòng)階段行駛的路程

s??0?2?502?20?50?500(m)?

幾個(gè)概念?

微分方程? 表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與自變量之間的關(guān)系的方程? 叫微分方程?

常微分方程? 未知函數(shù)是一元函數(shù)的微分方程? 叫常微分方程?

偏微分方程? 未知函數(shù)是多元函數(shù)的微分方程? 叫偏微分方程?

微分方程的階? 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)? 叫微分方程的階?

x3 y????x2 y???4xy??3x2 ?

y(4)?4y????10y???12y??5y?sin2x?

y(n)?1?0?

一般n階微分方程?

F(x? y? y??

? ? ? ? y(n))?0?

y(n)?f(x? y? y??

? ? ? ? y(n?1))?

微分方程的解? 滿足微分方程的函數(shù)(把函數(shù)代入微分方程能使該方程成為恒等式)叫做該微分方程的解? 確切地說(shuō)? 設(shè)函數(shù)y??(x)在區(qū)間I上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)? 如果在區(qū)間I上?

高等數(shù)學(xué)教案

F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n)(x)]?0?

那么函數(shù)y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n))?0在區(qū)間I上的解?

通解? 如果微分方程的解中含有任意常數(shù)? 且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同? 這樣的解叫做微分方程的通解?

初始條件? 用于確定通解中任意常數(shù)的條件? 稱為初始條件? 如

x?x0 時(shí)? y?y0 ? y?? y?0 ?

一般寫(xiě)成

??

yx?x0?y0? y?x?x0?y0

特解? 確定了通解中的任意常數(shù)以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常數(shù)的解?

初值問(wèn)題? 求微分方程滿足初始條件的解的問(wèn)題稱為初值問(wèn)題?

如求微分方程y??f(x?

y)滿足初始條件yx?x0?y0的解的問(wèn)題? 記為

?y??f(x,y)

?? yx?x0?y0?

積分曲線? 微分方程的解的圖形是一條曲線? 叫做微分方程的積分曲線?

d2x?k2x?0

例3 驗(yàn)證? 函數(shù) x?C1cos kt?C2 sin kt是微分方程

的解?

dt

2解 求所給函數(shù)的導(dǎo)數(shù)?

dx??kCsinkt?kCcoskt? 12dtd2x??k2Ccoskt?k2Csinkt??k2(Ccoskt?Csinkt)

?

1212dt2d2x將2及x的表達(dá)式代入所給方程? 得 dt

?k2(C1cos kt?C2sin kt)? k2(C1cos kt?C2sin kt)?0?

d2x?k2x?0

這表明函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt 滿足方程2? 因此所給函數(shù)是所給方程的解?

dtd2x?k2x?0

例4 已知函數(shù)x?C1coskt?C2sinkt(k?0)是微分方程2的通解? 求滿足初始條件

dt

x| t?0 ?A? x?| t?0 ?0 的特解?

高等數(shù)學(xué)教案

解

由條件x| t?0 ?A及x?C1 cos kt?C2 sin kt? 得

C1?A?

再由條件x?| t?0 ?0? 及x?(t)??kC1sin kt?kC2cos kt? 得

C2?0?

把C1、C2的值代入x?C1cos kt?C2sin kt中? 得

x?Acos kt?

作業(yè)：P298：4

§7? 2 可分離變量的微分方程

觀察與分析?

1? 求微分方程y??2x的通解? 為此把方程兩邊積分? 得 y?x2?C?

一般地? 方程y??f(x)的通解為y?f(x)dx?C(此處積分后不再加任意常數(shù))?

2? 求微分方程y??2xy2 的通解?

因?yàn)閥是未知的? 所以積分2xy2dx無(wú)法進(jìn)行? 方程兩邊直

??接積分不能求出通解?

為求通解可將方程變?yōu)?/p>

?1dy?2xdx? 兩邊積分? 得

y21?x2?C1? ? 或y??2yx?C可以驗(yàn)證函數(shù)y??1是原方程的通解?

x2?C

一般地? 如果一階微分方程y???(x, y)能寫(xiě)成 g(y)dy?f(x)dx

形式? 則兩邊積分可得一個(gè)不含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方程

高等數(shù)學(xué)教案

G(y)?F(x)?C?

由方程G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)就是原方程的通解

對(duì)稱形式的一階微分方程?

一階微分方程有時(shí)也寫(xiě)成如下對(duì)稱形式?

P(x? y)dx?Q(x? y)dy?0 在這種方程中? 變量x與y 是對(duì)稱的?

若把x看作自變量、y看作未知函數(shù)? 則當(dāng)Q(x,y)?0時(shí)? 有

dyP(x,y)???

dxQ(x,y)dx??Q(x,y)?

dyP(x,y)若把y看作自變量、x看作未知函數(shù)? 則當(dāng)P(x,y)?0時(shí)? 有

可分離變量的微分方程?

如果一個(gè)一階微分方程能寫(xiě)成

g(y)dy?f(x)dx(或?qū)懗蓎???(x)?(y))的形式? 就是說(shuō)? 能把微分方程寫(xiě)成一端只含y的函數(shù)和dy? 另一端只含x的函數(shù)和dx? 那么原方程就稱為可分離變量的微分方程?

討論? 下列方程中哪些是可分離變量的微分方程？(1)y??2xy?

是? ?y?1dy?2xdx ?(2)3x2?5x?y??0?

是? ?dy?(3x2?5x)dx?(3)(x2?y2)dx?xydy=0?

不是?

(4)y??1?x?y2?xy2? 是? ?y??(1?x)(1?y2)?(5)y??10x?y?

是? ?10?ydy?10xdx?(6)y??x?y?

不是? yx

可分離變量的微分方程的解法?

第一步

分離變量? 將方程寫(xiě)成g(y)dy ?f(x)dx的形式?

第二步

兩端積分?g(y)dy?f(x)dx? 設(shè)積分后得G(y)?F(x)?C?

第三步

求出由G(y)?F(x)?C所確定的隱函數(shù)y??(x)或x??(y)G(y)?F(x)?C ? y??(x)或x??(y)都是方程的通解? 其中G(y)?F(x)?C稱為隱式(通)解? ??高等數(shù)學(xué)教案

例1 求微分方程dy?2xy的通解?

dx

解

此方程為可分離變量方程? 分離變量后得

1dy?2xdx?

y1dy?2xdx?

?y?兩邊積分得

即

ln|y|?x2?C1?

從而

y??ex2?C1??eC1ex? 2因?yàn)?eC1仍是任意常數(shù)? 把它記作C? 便得所給方程的通解

y?Cex?

例2 鈾的衰變速度與當(dāng)時(shí)未衰變的原子的含量M成正比? 已知t?0時(shí)鈾的含量為M0? 求在衰變過(guò)程中鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律?

解 鈾的衰變速度就是M(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)2dM?

dtdM???M?

dtdM?0?

dt

由于鈾的衰變速度與其含量成正比? 故得微分方程其中?(?>0)是常數(shù)? ?前的曲面號(hào)表示當(dāng)t增加時(shí)M單調(diào)減少? 即由題意? 初始條件為 M|t?0?M0?

將方程分離變量得

兩邊積分? 得dM???dt?

MdM?(??)dt?

?M?即

lnM???t?lnC? 也即M?Ce??t?

由初始條件? 得M0?Ce0?C?

所以鈾含量M(t)隨時(shí)間t變化的規(guī)律M?M0e??t ?

例3 設(shè)降落傘從跳傘塔下落后? 所受空氣阻力與速度成正比? 并設(shè)降落傘離開(kāi)跳傘塔時(shí)速度為零? 求降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系?

解

設(shè)降落傘下落速度為v(t)? 降落傘所受外力為F?mg?kv(k為比例系數(shù))? 根據(jù)牛頓第二運(yùn)

高等數(shù)學(xué)教案

動(dòng)定律F?ma? 得函數(shù)v(t)應(yīng)滿足的方程為

mdv?mg?kv?

dt初始條件為

v|t?0?0?

方程分離變量? 得

dv?dt?

mg?kvmdv?dt?mg?kv?m? 兩邊積分? 得

?ln(mg?kv)?1kt?C?

m1?kC1?ktmgem?Ce即

v?(C??)?

kkmg將初始條件v|t?0?0代入通解得C???

k?ktmg(1?em)?

于是降落傘下落速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為v?kdy?1?x?y2?xy2的通解?

例4 求微分方程dx

解 方程可化為

dy?(1?x)(1?y2)?

dx分離變量得

1dy?(1?x)dx?

1?y21dy?(1?x)dx? 即1x2?x?C?

arctany??1?y2?2兩邊積分得

于是原方程的通解為y?tan(x2?x?C)?

作業(yè)：P304：1（1）（2）（3）（7）（9）（10），2（2）（4），3 12高等數(shù)學(xué)教案

§7? 3 齊次方程

齊次方程?

如果一階微分方程dy?f(x,y)中的函數(shù)f(x, y)可寫(xiě)成 dxyy的函數(shù)? 即f(x,y)??()? 則稱這方程為齊次方程?

xx

下列方程哪些是齊次方程？

dyy?y2?x2dyyy

(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????()2?1?

dxxdxxx22dy1?y

2(2)1?xy??1?y不是齊次方程???

?dx1?x222dyx2?y2dyxy?????

(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??

(5)(2xshdy2x?y?4???

dxx?y?1yyy?3ych)dx?3xchdy?0是齊次方程?

xxxyy2xsh?3ychdyxx?dy?2thy?y ?

?ydxdx3xx3xchx

齊次方程的解法?

在齊次方程

u?x分離變量? 得

ydyy??()中? 令u?? 即y?ux? 有 dxxxdu??(u)?

dxdu?dx? ?(u)?uxdu?dx??(u)?u?x? 兩端積分? 得

高等數(shù)學(xué)教案

求出積分后? 再用y代替u? 便得所給齊次方程的通解?

xdydy?xy?

dxdx

例1 解方程y2?x2

解

原方程可寫(xiě)成

y2()dyy??x?

2ydxxy?x?1x2因此原方程是齊次方程? 令

y?ux? 于是原方程變?yōu)?/p>

2duu?

u?x?

dxu?1y?u? 則 xdy?u?xdu?

dxdx即

xdu?u?

dxu?1分離變量? 得

(1?)du?1udx?

x兩邊積分? 得u?ln|u|?C?ln|x|?

或?qū)懗蒷n|xu|?u?C?

以y代上式中的u? 便得所給方程的通解 x

ln|y|?y?C?

x

例2 有旋轉(zhuǎn)曲面形狀的凹鏡? 假設(shè)由旋轉(zhuǎn)軸上一點(diǎn)O發(fā)出的一切光線經(jīng)此凹鏡反射后都與旋轉(zhuǎn)軸平行? 求這旋轉(zhuǎn)曲面的方程?

解 設(shè)此凹鏡是由xOy面上曲線L? y?y(x)(y>0)繞x軸旋轉(zhuǎn)而成? 光源在原點(diǎn)? 在L上任取一點(diǎn)M(x, y)? 作L的切線交x軸于A? 點(diǎn)O發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)M反射后是一條平行于x軸射線? 由光學(xué)及幾何原理可以證明OA?OM?

因?yàn)?/p>

OA?AP?OP?PMcot??OP?y?x?

y?高等數(shù)學(xué)教案

而

OM?x2?y2?

于是得微分方程y?x?x2?y2? y?整理得dx?x?(x)2?1? 這是齊次方程?

dyyydx?x?(x)2?1?

dyyy

問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程

令即

yx?vdv?v?v2?1? 即x?yv? 得v?y?

ydydv?v2?1?

dy分離變量? 得dv?dy?

v2?1yyy, ?(?v)2?v2?1, CC兩邊積分? 得 ln(v?v2?1)?lny?lnC, ?v?v2?1?y22yv??1?

C2C以yv?x代入上式? 得y2?2C(x?C)?

2這是以x軸為軸、焦點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線? 它繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)曲面的方程為

y2?z2?2C(x?C)? 2這就是所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程?

例3 設(shè)一條河的兩岸為平行直線? 水流速度為a? 有一鴨子從岸邊點(diǎn)A游向正對(duì)岸點(diǎn)O? 設(shè)鴨子的游速為b(b>a)? 且鴨子游動(dòng)方向始終朝著點(diǎn)O? 已知OA?h? 求鴨子游過(guò)的跡線的方程?

解 取O為坐標(biāo)原點(diǎn)? 河岸朝順?biāo)较驗(yàn)閤軸? y 軸指向?qū)Π? 設(shè)在時(shí)刻t鴨子位于點(diǎn)P(x, y)? 則鴨子運(yùn)動(dòng)速度

v?(vx, vy)?(dx, dy)? 故有dx?vx?

dyvydtdt高等數(shù)學(xué)教案

另一方面? v?a?b?(a, 0)?b(?x, ?y)? v?(a?bx, ?by)?

x2?y2x2?y2x2?y2x2?y2因此dx?vx??a(x)2?1?x? 即dx??a(x)2?1?x?

dybyydyvybyydx??a(x)2?1?x?

dybyy

問(wèn)題歸結(jié)為解齊次方程

令

yx?u? 即x?yu? 得 ydu??au2?1?

dyb分離變量? 得du??ady?

u2?1by兩邊積分? 得 arshu??(lny?lnC)? bax1[(Cy)1?b?(Cy)1?b]?

將u?代入上式并整理? 得x?y2C以x|y?h?0代入上式? 得C?aa1? 故鴨子游過(guò)的軌跡方程為

haay1?by1?bh?()]? 0?y?h?

x?[()2hhb將u?x代入arshu??(lny?lnC)后的整理過(guò)程?

yaarshx??b(lny?lnC)

ya???x?shln(Cy)a?x?1[(Cy)a?(Cy)a] yy2bbb?bya?x?[(Cy)?(Cy)a]?x?1[(Cy)1?a?(Cy)1?a]?

2C2bbb作業(yè)：P309：1（1）（3）（5），2

高等數(shù)學(xué)教案

§7.4 線性微分方程

一、線性方程

線性方程?

方程dy?P(x)y?Q(x)叫做一階線性微分方程? ?dxdydy?P(x)y?0叫做對(duì)應(yīng)于非齊次線性方程?P(x)y?Q(x)的齊次線性方程?

dxdxdydy?y??1y?0是齊次線性方程? dxdxx?2如果Q(x)?0 ? 則方程稱為齊次線性方程? 否則方程稱為非齊次線性方程?

方程

下列方程各是什么類型方程？

(1)(x?2)

(2)3x2?5x?5y??0?y??3x2?5x ? 是非齊次線性方程?

(3)y??y cos x?e?sin x ? 是非齊次線性方程?

(4)dy?10x?y? 不是線性方程? dx23dy3(y?1)2dydxx?x?0???0或?

(5)(y?1)? 不是線性方程?

dxdydx(y?1)2x

3齊次線性方程的解法?

齊次線性方程

dy?P(x)y?0是變量可分離方程? 分離變量后得 dxdy??P(x)dx?

y兩邊積分? 得

ln|y|??P(x)dx?C1?

?P(x)dx(C??eC1)?

或

y?Ce??這就是齊次線性方程的通解（積分中不再加任意常數(shù)）?

例

1求方程(x?2)dy?y的通解?

dx

解

這是齊次線性方程? 分離變量得

高等數(shù)學(xué)教案

dydx??

yx?2兩邊積分得

ln|y|?ln|x?2|?lnC?

方程的通解為

y?C(x?2)?

非齊次線性方程的解法?

將齊次線性方程通解中的常數(shù)換成x的未知函數(shù)u(x)? 把

?P(x)dx

y?u(x)e?

設(shè)想成非齊次線性方程的通解? 代入非齊次線性方程求得

?P(x)dx?P(x)dx?P(x)dx?u(x)e?P(x)?P(x)u(x)e??Q(x)?

u?(x)e?化簡(jiǎn)得

u?(x)?Q(x)e?P(x)dx?

u(x)?Q(x)e??P(x)dxdx?C?

于是非齊次線性方程的通解為

?P(x)dxP(x)dx

y?e?[Q(x)e?dx?C]? ??P(x)dx?P(x)dxP(x)dx或

y?Ce??e?Q(x)e?dx? ?非齊次線性方程的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次線性方程通解與非齊次線性方程的一個(gè)特解之和?

5dy2y??(x?1)2的通解?

例2 求方程dxx?1

解

這是一個(gè)非齊次線性方程?

先求對(duì)應(yīng)的齊次線性方程分離變量得

dy2y??0的通解?

dxx?1dy2dx??

yx?1兩邊積分得

ln y?2ln(x?1)?ln C?

齊次線性方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C(x?1)2?

用常數(shù)變易法? 把C換成u? 即令y?u?(x?1)2? 代入所給非齊次線性方程? 得

52u?(x?1)2?(x?1)2

u??(x?1)?2u?(x?1)?x?1 1u??(x?1)2?

兩邊積分? 得 u?(x?1)2?C?

3再把上式代入y?u(x?1)2中? 即得所求方程的通解為 32

y?(x?1)[(x?1)2?C]?

323

例3 有一個(gè)電路如圖所示? 其中電源電動(dòng)勢(shì)為E?Emsin?t(Em、?都是常數(shù))? 電阻R和電感L都是常量? 求電流i(t)?

解

由電學(xué)知道? 當(dāng)電流變化時(shí)? L上有感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)?L

E?L即

di? 由回路電壓定律得出

dtdi?iR?0?

dtdi?Ri?E?

dtLLdi?Ri?Emsin? t?

dtLL

把E?Emsin? t代入上式? 得

初始條件為

i|t?0?0?

di?Ri?Emsin? t為非齊次線性方程? 其中

dtLLER? t?

P(t)?? Q(t)?msinLL

方程由通解公式? 得

i(t)?e??P(t)dt?dtdtEP(t)dt[?Q(t)e?dt?C]?e?L(?msin? te?Ldt?C)

LRRRttEm?ReL(?sin?teLdt?C)

?L高等數(shù)學(xué)教案

?RtEm(Rsin? t?? Lcos? t)?CeL?

?222R??L其中C為任意常數(shù)?

將初始條件i|t?0?0代入通解? 得C?因此? 所求函數(shù)i(t)為

t? LEm?REmL?e(Rsin? t?? Lcos? t)?

i(t)?222222R??LR??L? LEm?

R2??2L

2二、伯努利方程

伯努利方程? 方程

dy?P(x)y?Q(x)yn(n?0? 1)dx叫做伯努利方程?

下列方程是什么類型方程？

(1)

(2)dy1?y?1(1?2x)y4? 是伯努利方程? dx33dydy?y?xy5? ??y?xy5? 是伯努利方程? dxdxxy

1(3)y???? ?y??y?xy?1? 是伯努利方程? yxx

(4)dy?2xy?4x? 是線性方程? 不是伯努利方程? dxdy?P(x)y1?n?Q(x)dx

伯努利方程的解法? 以yn除方程的兩邊? 得

y?n令z ?y1?n ? 得線性方程

dz?(1?n)P(x)z?(1?n)Q(x)?

dxdyy??a(lnx)y2的通解?

例4 求方程dxx

解 以y2除方程的兩端? 得

y?2dy1?1?y?alnx?

dxxd(y?1)1?1?y?alnx?

即

?dxx高等數(shù)學(xué)教案

令z?y?1? 則上述方程成為

dz?1z??alnx?

dxxa2這是一個(gè)線性方程? 它的通解為

z?x[C?(lnx)2]?

以y?1代z ? 得所求方程的通解為

yx[C?(lnx)2]?1?

經(jīng)過(guò)變量代換? 某些方程可以化為變量可分離的方程? 或化為已知其求解方法的方程?

例

5解方程a2dy?1?

dxx?y

解

若把所給方程變形為

dx?x?y?

dy即為一階線性方程? 則按一階線性方程的解法可求得通解? 但這里用變量代換來(lái)解所給方程?

令x?y?u? 則原方程化為

du?1?1? 即du?u?1?

dxudxuudu?dx?

u?1分離變量? 得

兩端積分得

u?ln|u?1|?x?ln|C|?

以u(píng)?x?y代入上式? 得

y?ln|x?y?1|??ln|C|? 或x?Cey?y?1?

作業(yè)：P315：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5），7（1）（2）

§7? 5可降階的高階微分方程

高等數(shù)學(xué)教案

一、y(n)?f(x)型的微分方程

解法? 積分n 次

y(n?1)?f(x)dx?C1? ?

y(n?2)?[f(x)dx?C1]dx?C2? ??

? ? ??

例1 求微分方程y????e2x?cos x 的通解?

解 對(duì)所給方程接連積分三次? 得

y???e2x?sinx?C1?

y??e2x?cosx?C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

或

y???e2x?sinx?2C1?

y??e2x?cosx?2C1x?C2?

y?e2x?sinx?C1x2?C2x?C3?

這就是所給方程的通解?

例2 質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)受力F的作用沿Ox軸作直線運(yùn)動(dòng)? 設(shè)力F僅是時(shí)間t的函數(shù)?F?F(t)? 在開(kāi)始時(shí)刻t?0時(shí)F(0)?F0? 隨著時(shí)間t的增大? 此力F均勻地減小? 直到t?T時(shí)? F(T)?0? 如果開(kāi)始時(shí)質(zhì)點(diǎn)位于原點(diǎn)? 且初速度為零? 求這質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律?

解 設(shè)x?x(t)表示在時(shí)刻t時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置? 根據(jù)牛頓第二定律? 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程為

m12141812121418d2x?F(t)?

2dt由題設(shè)? 力F(t)隨t增大而均勻地減小? 且t?0時(shí)? F(0)?F0? 所以F(t)?F0?kt? 又當(dāng)t?T時(shí)? F(T)?0? 從而

F(t)?F0(1?)?

于是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程又寫(xiě)為 tTd2x?F0(1?t)

?

Tdt2m高等數(shù)學(xué)教案

其初始條件為x|t?0?0? dx|?0?

dtt?0

把微分方程兩邊積分? 得

dx?F0(t?t2)?C

1?

dtm2T再積分一次? 得

F012t x?(t?)?C1t?C2?

m26T由初始條件x|t?0?0? 得C1?C2?0?

于是所求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為 dx|?0?

dtt?0F012t3

x?(t?)? 0?t?T?

m26T

二、y??? f(x? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p則方程化為

p??f(x? p)?

設(shè)p??f(x? p)的通解為p??(x?C1)? 則

dy??(x,C1)?

dx原方程的通解為

y??(x,C1)dx?C2?

例3 求微分方程

(1?x2)y???2xy? 滿足初始條件

y|x?0?1? y?|x?0?3 的特解?

解 所給方程是y???f(x? y?)型的? 設(shè)y??p? 代入方程并分離變量后? 有

?dp2x?dx?

p1?x2兩邊積分? 得

ln|p|?ln(1?x2)?C?

即

p?y??C1(1?x2)(C1??eC)?

由條件y?|x?0?3? 得C1?3?

所以

y??3(1?x2)?

高等數(shù)學(xué)教案

兩邊再積分? 得 y?x3?3x?C2?

又由條件y|x?0?1? 得C2?1?

于是所求的特解為

y?x3?3x?1?

例4 設(shè)有一均勻、柔軟的繩索? 兩端固定? 繩索僅受重力的作用而下垂? 試問(wèn)該繩索在平衡狀態(tài)時(shí)是怎樣的曲線?

三、y???f(y? y?)型的微分方程

解法? 設(shè)y??p?有

y???原方程化為 dpdpdydp???p?

dxdydxdydp?f(y,p)?

dydp?f(y,p)的通解為y??p??(y? C1)? 則原方程的通解為 設(shè)方程pdy

p

dy??(y,C1)?x?C2?

dp?

dy

例5 求微分yy???y?2?0的通解?

解 設(shè)y??p? 則y???p代入方程? 得

ypdp2?p?0?

dy

在y?0、p?0時(shí)? 約去p并分離變量? 得

dpdy??

py兩邊積分得

ln|p|?ln|y|?lnc?

即

p?Cy或y??Cy(C??c)?

再分離變量并兩邊積分? 便得原方程的通解為

ln|y|?Cx?lnc1?

或

y?C1eCx(C1??c1)?

作業(yè)：P323：1（1）（3）（5）（7）（9），2（1）（3）（5）

高等數(shù)學(xué)教案

§7? 6 高階線性微分方程 一、二階線性微分方程舉例

例1 設(shè)有一個(gè)彈簧? 上端固定? 下端掛一個(gè)質(zhì)量為m 的物體? 取x 軸鉛直向下? 并取物體的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)?

給物體一個(gè)初始速度v0?0后? 物體在平衡位置附近作上下振動(dòng)? 在振動(dòng)過(guò)程中? 物體的位置x是t的函數(shù)? x?x(t)?

設(shè)彈簧的彈性系數(shù)為c? 則恢復(fù)力f??cx?

又設(shè)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中受到的阻力的大小與速度成正比? 比例系數(shù)為?? 則

R??dx?

dt

由牛頓第二定律得

2dxdx

m2??cx???

dtdt

移項(xiàng)? 并記2n??c? k2??

mmd2x?2ndx?k2x?0則上式化為

?

dtdt2這就是在有阻尼的情況下? 物體自由振動(dòng)的微分方程?

如果振動(dòng)物體還受到鉛直擾力

F?Hsin pt 的作用? 則有

d2x?2ndx?k2x?hsinpt

?

dtdt2H其中h?? 這就是強(qiáng)迫振動(dòng)的微分方程?

m

例2 設(shè)有一個(gè)由電阻R、自感L、電容C和電源E串聯(lián)組成的電路? 其中R、L、及C為常

高等數(shù)學(xué)教案

數(shù)? 電源電動(dòng)勢(shì)是時(shí)間t的函數(shù)? E?Emsin?t? 這里Em及?也是常數(shù)?

設(shè)電路中的電流為i(t)? 電容器極板上的電量為q(t)? 兩極板間的電壓為uc? 自感電動(dòng)勢(shì)為EL ? 由電學(xué)知道

i?qdqdi? uc?? EL??L?

Cdtdtdi?q?Ri?0?

dtC根據(jù)回路電壓定律? 得

E?Ld2ucduc?RC?uc?Emsin?t?

即

LCdtdt2或?qū)懗?/p>

d2ucducEm2?2???u?sin?t?

0c2dtLCdtR? ??1? 這就是串聯(lián)電路的振蕩方程? 其中??02LLC

如果電容器經(jīng)充電后撤去外電源(E?0)? 則上述成為

d2ucduc2?2???0uc?0?

2dtdt

二階線性微分方程? 二階線性微分方程的一般形式為

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)?

若方程右端f(x)?0時(shí)? 方程稱為齊次的? 否則稱為非齊次的?

二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

先討論二階齊次線性方程

d2ydy?Q(x)y?0?

y???P(x)y??Q(x)y?0? 即2?P(x)dxdx

定理

1如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0?的兩個(gè)解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程的解? 其中C1、C2是任意常數(shù)?

齊次線性方程的這個(gè)性質(zhì)表明它的解符合疊加原理?

證明 [C1y1?C2y2]??C1 y1??C2 y2??

高等數(shù)學(xué)教案

[C1y1?C2y2]???C1 y1???C2 y2???

因?yàn)閥1與y2是方程y???P(x)y??Q(x)y?0? 所以有

y1???P(x)y1??Q(x)y1?0及y2???P(x)y2??Q(x)y2?0?

從而

[C1y1?C2y2]???P(x)[ C1y1?C2y2]??Q(x)[ C1y1?C2y2]

?C1[y1???P(x)y1??Q(x)y1]?C2[y2???P(x)y2??Q(x)y2]?0?0?0?

這就證明了y?C1y1(x)?C2y2(x)也是方程y???P(x)y??Q(x)y?0的解

函數(shù)的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)?

設(shè)y1(x)? y2(x)? ? ? ? ? yn(x)為定義在區(qū)間I上的n個(gè)函數(shù)? 如果存在n個(gè)不全為零的常數(shù)k1? k2? ? ? ? ? kn? 使得當(dāng)x?I 時(shí)有恒等式

k1y1(x)?k2y2(x)?

? ? ? ? knyn(x)?0 成立? 那么稱這n個(gè)函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)? 否則稱為線性無(wú)關(guān)?

判別兩個(gè)函數(shù)線性相關(guān)性的方法?

對(duì)于兩個(gè)函數(shù)? 它們線性相關(guān)與否? 只要看它們的比是否為常數(shù)? 如果比為常數(shù)? 那么它們就線性相關(guān)? 否則就線性無(wú)關(guān)?

例如? 1? cos2x ? sin2x 在整個(gè)數(shù)軸上是線性相關(guān)的? 函數(shù)1? x? x2在任何區(qū)間(a, b)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

定理2 如果如果函數(shù)y1(x)與y2(x)是方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解? 那么

y?C1y1(x)?C2y2(x)(C1、C2是任意常數(shù))是方程的通解?

例3 驗(yàn)證y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解? 并寫(xiě)出其通解?

解 因?yàn)?/p>

y1???y1??cos x?cos x?0?

y2???y2??sin x?sin x?0?

所以y1?cos x與y2?sin x都是方程的解?

因?yàn)閷?duì)于任意兩個(gè)常數(shù)k1、k2? 要使

k1cos x?k2sin x?0?

只有k1?k2?0? 所以cos x與sin x在(??, ??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

因此y1?cos x與y2?sin x是方程y???y?0的線性無(wú)關(guān)解?

高等數(shù)學(xué)教案

方程的通解為y?C1cos x?C2sin x?

例4 驗(yàn)證y1?x與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解? 并寫(xiě)出其通解?

解 因?yàn)?/p>

(x?1)y1???xy1??y1?0?x?x?0?

(x?1)y2???xy2??y2?(x?1)ex?xex?ex?0?

所以y1?x與y2?ex都是方程的解?

因?yàn)楸戎礶 x/x 不恒為常數(shù)? 所以y1?x與y2?ex在(??, ??)內(nèi)是線性無(wú)關(guān)的?

因此y1?x 與y2?ex是方程(x?1)y???xy??y?0的線性無(wú)關(guān)解?

方程的通解為y?C1x?C2e x?

推論 如果y1(x)? y2(x)? ? ? ?? yn(x)是方程

y(n)?a1(x)y(n?1)? ? ? ? ?an?1(x)y?? an(x)y?0 的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的解? 那么? 此方程的通解為

y?C1y1(x)?C2y2(x)? ? ? ? ? Cnyn(x)?

其中C1? C2? ? ? ?? Cn為任意常數(shù)?

二階非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)?

我們把方程

y???P(x)y??Q(x)y?0 叫做與非齊次方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)對(duì)應(yīng)的齊次方程?

定理3 設(shè)y*(x)是二階非齊次線性方程

y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的一個(gè)特解? Y(x)是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解? 那么

y?Y(x)?y*(x)是二階非齊次線性微分方程的通解?

證明提示? [Y(x)?y*(x)]???P(x)[ Y(x)?y*(x)]??Q(x)[ Y(x)?y*(x)]

? [Y ???P(x)Y ??Q(x)Y ]?[ y* ???P(x)y* ??Q(x)y*]

?0? f(x)? f(x)?

例如? Y?C1cos x?C2sin x 是齊次方程y???y?0的通解? y*?x2?2是y???y?x2 的一個(gè)特解? 因此

y?C1cos x?C2sin x?x2?2

高等數(shù)學(xué)教案

是方程y???y?x2的通解?

定理4 設(shè)非齊次線性微分方程 y???P(x)y??Q(x)y?f(x)的右端f(x)幾個(gè)函數(shù)之和? 如

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)? f2(x)?

而y1*(x)與y2*(x)分別是方程

y???P(x)y??Q(x)y?f1(x)與y???P(x)y??Q(x)y?f2(x)的特解? 那么y1*(x)?y2*(x)就是原方程的特解?

證明提示?

[y1?y2*]???P(x)[ y1*?y2*]??Q(x)[ y1*?y2*]

?[ y1*???P(x)y1*??Q(x)y1*]?[ y2*???P(x)y2*??Q(x)y2*]

?f1(x)?f2(x)?

作業(yè)：P331：1（1）（3）（5）（7），4（1）（3）（5）

§7? 7 二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程 y???py??qy?0 稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中p、q均為常數(shù)?

如果y1、y2是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解? 那么y?C1y1?C2y2就是它的通解?

我們看看?

能否適當(dāng)選取r? 使y?erx

滿足二階常系數(shù)齊次線性微分方程? 為此將y?erx代入方程

y???py??qy?0 得

(r 2?pr?q)erx ?0?

由此可見(jiàn)? 只要r滿足代數(shù)方程r2?pr?q?0? 函數(shù)y?erx就是微分方程的解?

特征方程? 方程r2?pr?q?0叫做微分方程y???py??qy?0的特征方程? 特征方程的兩個(gè)根r1、r2可用公式

?p??p2?4q

r 1,2?2高等數(shù)學(xué)教案

求出?

特征方程的根與通解的關(guān)系?

(1)特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根r1、r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?er2x是方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?

這是因?yàn)?

函數(shù)y1?e因此方程的通解為

y?C1er1x?C2er2x?

(2)特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根r1?r2時(shí)? 函數(shù)y1?er1x、y2?xer1x是二階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解?

這是因?yàn)? y1?er1x是方程的解? 又

r1xr1x2r1x

(xer1x)???p(xer1x)??q(xer1x)?(2r1?xr1?xr1)e?p(1)e?qxe r1x

2?er1x(2r1?p)?xe(r1?pr1?q)?0? r1x、y2?er2xy1er1x(r1?r2)x是方程的解? 又不是常數(shù)?

??ey2er2xy2xer1x??x不是常數(shù)?

所以y2?xe也是方程的解? 且y1er1xr1x

因此方程的通解為

y?C1er1x?C2xer1x?

(3)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根r1, 2???i?時(shí)? 函數(shù)y?e(??i?)x、y?e(??i?)x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的復(fù)數(shù)形式的解? 函數(shù)y?e?xcos?x、y?e?xsin?x是微分方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的實(shí)數(shù)形式的解?

函數(shù)y1?e(??i?)x和y2?e(??i?)x都是方程的解? 而由歐拉公式? 得

y1?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

y2?e(??i?)x?e?x(cos?x?isin?x)?

1y1?y2?2e?xcos?x? e?xcos?x?(y1?y2)?

2高等數(shù)學(xué)教案

1y1?y2?2ie?xsin?x? e?xsin?x?(y1?y2)?

2i故e?xcos?x、y2?e?xsin?x也是方程解?

可以驗(yàn)證? y1?e?xcos?x、y2?e?xsin?x是方程的線性無(wú)關(guān)解?

因此方程的通解為

y?e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

求二階常系數(shù)齊次線性微分方程y???py??qy?0的通解的步驟為?

第一步

寫(xiě)出微分方程的特征方程

r2?pr?q?0 第二步

求出特征方程的兩個(gè)根r1、r2?

第三步

根據(jù)特征方程的兩個(gè)根的不同情況? 寫(xiě)出微分方程的通解?

例1 求微分方程y???2y??3y?0的通解?

解 所給微分方程的特征方程為

r2?2r?3?0? 即(r?1)(r?3)?0?

其根r1??1? r2?3是兩個(gè)不相等的實(shí)根? 因此所求通解為

y?C1e?x?C2e3x?

例2 求方程y???2y??y?0滿足初始條件y|x?0?

4、y?| x?0??2的特解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?1?0? 即(r?1)2?0?

其根r1?r2??1是兩個(gè)相等的實(shí)根? 因此所給微分方程的通解為

y?(C1?C2x)e?x?

將條件y|x?0?4代入通解? 得C1?4? 從而

y?(4?C2x)e?x?

將上式對(duì)x求導(dǎo)? 得

y??(C2?4?C2x)e?x?

再把條件y?|x?0??2代入上式? 得C2?2? 于是所求特解為

x?(4?2x)e?x?

例 3 求微分方程y???2y??5y? 0的通解?

解 所給方程的特征方程為

r2?2r?5?0?

高等數(shù)學(xué)教案

特征方程的根為r1?1?2i? r2?1?2i? 是一對(duì)共軛復(fù)根?

因此所求通解為

y?ex(C1cos2x?C2sin2x)?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 方程

y(n)?p1y(n?1)?p2 y(n?2)? ? ? ? ? pn?1y??pny?0?

稱為n 階常系數(shù)齊次線性微分方程? 其中 p1?

p2 ? ? ? ? ? pn?1? pn都是常數(shù)?

二階常系數(shù)齊次線性微分方程所用的方法以及方程的通解形式? 可推廣到n 階常系數(shù)齊次線性微分方程上去?

引入微分算子D? 及微分算子的n次多項(xiàng)式?

L(D)=Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn? 則n階常系數(shù)齊次線性微分方程可記作

(Dn ?p1Dn?1?p2 Dn?2 ? ? ? ? ? pn?1D?pn)y?0或L(D)y?0? 注? D叫做微分算子D0y?y? Dy?y?? D2y?y??? D3y?y???? ? ? ??Dny?y(n)?

分析? 令y?erx? 則

L(D)y?L(D)erx?(rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn)erx?L(r)erx?

因此如果r是多項(xiàng)式L(r)的根? 則y?erx是微分方程L(D)y?0的解?

n 階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程?

L(r)?rn ?p1rn?1?p2 rn?2 ? ? ? ? ? pn?1r?pn?0 稱為微分方程L(D)y?0的特征方程?

特征方程的根與通解中項(xiàng)的對(duì)應(yīng)?

單實(shí)根r 對(duì)應(yīng)于一項(xiàng)? Cerx ?

一對(duì)單復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于兩項(xiàng)? e?x(C1cos?x?C2sin?x)?

k重實(shí)根r對(duì)應(yīng)于k項(xiàng)? erx(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)?

一對(duì)k 重復(fù)根r1? 2?? ?i? 對(duì)應(yīng)于2k項(xiàng)?

e?x[(C1?C2x? ? ? ? ?Ck xk?1)cos?x?(D1?D2x? ? ? ? ?Dk xk?1)sin?x]?

例4 求方程y(4)?2y????5y???0 的通解?

解

這里的特征方程為

r4?2r3?5r2?0? 即r2(r2?2r?5)?0?

它的根是r1?r2?0和r3? 4?1?2i?

因此所給微分方程的通解為

高等數(shù)學(xué)教案

y?C1?C2x?ex(C3cos2x?C4sin2x)?

例5 求方程y(4)?? 4y?0的通解? 其中??0?

解

這里的特征方程為

r4?? 4?0?

它的根為r1,2??2?(1?i)? r3,4???2(1?i)?

因此所給微分方程的通解為

y?e2x(C1cos?2x?C2sin?2x)?e? ?2x(C3cos?2x?C4sin?2x)?

作業(yè)：P340：1（1）（3）（2）（4）（5）（6）（8），2（2）（4）（6）

§7? 8 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 方程

y???py??qy?f(x)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 其中p、q是常數(shù)?

二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解是對(duì)應(yīng)的齊次方程 的通解y?Y(x)與非齊次方程本身的一個(gè)特解y?y*(x)之和?

y?Y(x)? y*(x)?

當(dāng)f(x)為兩種特殊形式時(shí)? 方程的特解的求法?

一、f(x)?Pm(x)e?x 型

當(dāng)f(x)?Pm(x)e?x時(shí)? 可以猜想? 方程的特解也應(yīng)具有這種形式? 因此? 設(shè)特解形式為y*?Q(x)e?x? 將其代入方程? 得等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

(1)如果?不是特征方程r2?pr?q?0 的根? 則?2?p??q?0? 要使上式成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m 次多項(xiàng)式?

高等數(shù)學(xué)教案

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm? 并得所求特解

y*?Qm(x)e?x?

(2)如果?是特征方程 r2?pr?q?0 的單根? 則?2?p??q?0? 但2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?1 次多項(xiàng)式?

Q(x)?xQm(x)?

Qm(x)?b0xm ?b1xm?1? ? ? ?

?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ?

? bm? 并得所求特解

y*?xQm(x)e?x?

(3)如果?是特征方程 r2?pr?q?0的二重根? 則?2?p??q?0? 2??p?0? 要使等式

Q??(x)?(2??p)Q?(x)?(?2?p??q)Q(x)?Pm(x)?

成立? Q(x)應(yīng)設(shè)為m?2次多項(xiàng)式?

Q(x)?x2Qm(x)?

Qm(x)?b0xm?b1xm?1? ? ? ? ?bm?1x?bm ?

通過(guò)比較等式兩邊同次項(xiàng)系數(shù)? 可確定b0? b1? ? ? ? ? bm ? 并得所求特解

y*?x2Qm(x)e?x?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論? 如果f(x)?Pm(x)e?x? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程y???py??qy ?f(x)有形如

y*?xk Qm(x)e?x 的特解? 其中Qm(x)是與Pm(x)同次的多項(xiàng)式? 而k 按?不是特征方程的根、是特征方程的單根或是特征方程的的重根依次取為0、1或2?

例1 求微分方程y???2y??3y?3x?1的一個(gè)特解?

解 這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且函數(shù)f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?3x?1? ??0)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???2y??3y?0?

它的特征方程為

r2?2r?3?0?

由于這里??0不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?b0x?b1?

高等數(shù)學(xué)教案

把它代入所給方程? 得

?3b0x?2b0?3b1?3x?1?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

???3b0?3? ?3b0?3? ?2b0?3b1?1? ?2b?3b?1?01由此求得b0??1? b1?? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*??x??

例2 求微分方程y???5y??6y?xe2x的通解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程? 且f(x)是Pm(x)e?x型(其中Pm(x)?x? ??2)?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???5y??6y?0?

它的特征方程為

r2?5r ?6?0?

特征方程有兩個(gè)實(shí)根r1?2? r2?3? 于是所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為

Y?C1e2x?C2e3x ?

由于??2是特征方程的單根? 所以應(yīng)設(shè)方程的特解為

y*?x(b0x?b1)e2x?

把它代入所給方程? 得

?2b0x?2b0?b1?x?

比較兩端x同次冪的系數(shù)? 得

?1313??2b0?1? ?2b0?1? 2b0?b1?0? 2b?b?0?01由此求得b0??? b1??1? 于是求得所給方程的一個(gè)特解為

y*?x(?x?1)e2x?

從而所給方程的通解為

y?C1e2x?C2e3x?(x2?2x)e2x? 121212高等數(shù)學(xué)教案

提示?

y*?x(b0x?b1)e2x?(b0x2?b1x)e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]??[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?

[(b0x2?b1x)e2x]???[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?

y*???5y*??6y*?[(b0x2?b1x)e2x]???5[(b0x2?b1x)e2x]??6[(b0x2?b1x)e2x] ?[2b0?2(2b0x?b1)?2?(b0x2?b1x)?22]e2x?5[(2b0x?b1)?(b0x2?b1x)?2]e2x?6(b0x2?b1x)e2x ?[2b0?4(2b0x?b1)?5(2b0x?b1)]e2x?[?2b0x?2b0?b1]e2x?

方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解形式

應(yīng)用歐拉公式可得

e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]

?e?x[P(x)eli? x?e?i? x?P(x)ei? x?e?i? x] n22i

?[Pe(??i?)x?[Pe(??i?)x

l(x)?iPn(x)]l(x)?iPn(x)]

?P(x)e(??i?)x?P(x)e(??i?)x?

其中P(x)?(Pl?Pni)? P(x)?(Pl?Pni)? 而m?max{l? n}?

設(shè)方程y???py??qy?P(x)e(??i?)x的特解為y1*?xkQm(x)e(??i?)x?

則y1*?xkQm(x)e(??i?)必是方程y???py??qy?P(x)e(??i?)的特解?

其中k按??i?不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1?

于是方程y???py??qy?e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]的特解為

y*?xkQm(x)e(??i?)x?xkQm(x)e(??i?)x

?xke?x[Qm(x)(cos?x?isin?x)?Qm(x)(cos?x?isin?x)

?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

綜上所述? 我們有如下結(jié)論?

如果f(x)?e?x [Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]? 則二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 12121212高等數(shù)學(xué)教案

y???py??qy?f(x)的特解可設(shè)為

y*?xk e?x[R(1)m(x)cos?x?R(2)m(x)sin?x]?

其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多項(xiàng)式? m?max{l? n}? 而k 按??i?(或??i?)不是特征方程的根或是特征方程的單根依次取0或1?

例3 求微分方程y???y?xcos2x的一個(gè)特解?

解 所給方程是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程?

且f(x)屬于e?x[Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x]型(其中??0? ??2? Pl(x)?x? Pn(x)?0）?

與所給方程對(duì)應(yīng)的齊次方程為

y???y?0?

它的特征方程為

r2?1?0?

由于這里??i??2i 不是特征方程的根? 所以應(yīng)設(shè)特解為

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

把它代入所給方程? 得

(?3ax?3b?4c)cos2x?(3cx?3d?4a)sin2x?xcos2x?

比較兩端同類項(xiàng)的系數(shù)? 得 a??? b?0? c?0? d?于是求得一個(gè)特解為 y*??xcos2x?sin2x?

提示?

y*?(ax?b)cos2x?(cx?d)sin2x?

y*??acos2x?2(ax?b)sin2x?csin2x?2(cx?d)cos2x?

?(2cx?a?2d)cos2x?(?2ax?2b?c)sin2x?

y*???2ccos2x?2(2cx?a?2d)sin2x?2asin2x?2(?2ax?2b?c)cos2x

?(?4ax?4b?4c)cos2x?(?4cx?4a?4d)sin2x?

y*??? y*?(?3ax?3b?4c)cos2x?(?3cx?4a?3d)sin2x? 134?

91349高等數(shù)學(xué)教案

??3a?1??3b?4c?014由?? 得a??? b?0? c?0? d?? ?3c?039???4a?3d?0作業(yè)：P347：1（1）（2）（5）（9）2（2）（3）（4）

第三篇：微分方程習(xí)題答案

微分方程習(xí)題答案

習(xí)題基本要求：微分方程的階，判定一階齊次（非齊次）微分方程，微分方程的通解及特解，可分離變量微分方程及其通解，二階常系數(shù)微分方程的特征根及其三種不同形式的通解，選擇題

下列方程哪些是一階齊次微分方程？ dyy?y2?x2dyyy(1)xy??y?y?x?0是齊次方程??????(2?1?dxxdxxx2

2dy?y2(2)?xy???y不是齊次方程????dx1?x22

dyx2?y2dyxy?????(3)(x?y)dx?xydy?0是齊次方程? ?dxxydxyx22

(4)(2x?y?4)dx?(x?y?1)dy?0不是齊次方程??dy2x?y?4???dxx?y?

1y2()dyydy22dy???xy(5)y?x是齊次方程?dxdxdxxy?x2?1x21、微分方程y“+（yˊ）4-y3=0的階數(shù)是（B）

（A）1（B）2（C）3（D）

42、方程(y-3x)dx –(x+y)dy=0是（B）

（A）可分離變量微分方程（B）齊次方程

（C）一階非齊次線性微分方程（D）一階齊次線性微分方程

3、方程xdy+ydx=0的通解為（D）

（A）xy=1（B）xy=3（C）xy=-3（D）xy=C4、方程y”+ yˊ-2 y=0的通解為（C）

----（A）y=e2x+ex（B）y=Ce2x+ex（C）y=C1e2x+C2ex（D）y=e2x+Cex

填空題：

1、方程ydy+xdx=0的通解為22.通解為y=Cex的一階微分方程為yˊ-y=0.2、滿足條件y(0)=3的微分方程dy=2xydx的特解為y=3ex2.3、二階常系數(shù)齊次線性微分方程y“+p yˊ+q y=0的特征方程為r2-

4、微分方程y”-4y=0的通解為2x2x.-

5、微分方程y“-4yˊ-5y=0的通解為x5x6、微分方程y”-4yˊ+13y=0的通解為

7、微分方程y“+2yˊ+y=0的通解解答題

1、求可分離變量微分方程dy=xydx的通解。

解：（1）顯然y=0是微分方程的解；

（2）當(dāng)y≠0時(shí)，方程可化為dydy?xdx，兩邊分別積分??xdx yy?

12x12得方程的解為lny?x?C1，即y?Ce2

212x2由（1）（2）可知微分方程的通解為y?Ce。

2、求微分方程ex-ydx=dy的通解。

解：方程可化為exdx=eydy，兩邊積分得∫exdx=∫eydy，于是微分方程的通解為ey = ex+C.3、求微分方程y”-2yˊ-3y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2-2r-3=0，其根為r1=-1,r2=3，因此所求通解為y=C1ex+C2e3x4、求微分方程y“-5yˊ+6y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-5r+6=0,其根為r1=2,r2=3.因此所求通解為y=C1e2x+C2e3x。

5、求微分方程y”+2yˊ+y=0的通解。

-解：所給微分方程的特征方程為r2+2r+1=0,其根為r1=r2=-1.因此所求通解為y=(C1+C2x)ex.6、求微分方程y“-4yˊ+4y=0的通解。

解：所給微分方程的特征方程為r2-4r+4=0，其根為r1=r2=2，因此所求通解為y=(C1+C2x)e2x.7、求微分方程y”-2 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0，其根為r?

因此所求通解為y=ex(C1cos2x+C2sin2x)

8、求微分方程y"-4 yˊ+5 y=0的通解。

解：所給方程的特征方程為r2-2r+5=0,其根為r?

因此所求通解為y=e2x(C1cosx+C2sinx).?1?2i ?2?i

第四篇：微分方程傳遞函數(shù)的定義

求解微分方程可求出系統(tǒng)的輸出響應(yīng)，但如果方程階次較高，則計(jì)算非常繁瑣，因此對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析不便，所以應(yīng)用傳遞函數(shù)將實(shí)數(shù)中的微分運(yùn)算變成復(fù)數(shù)中的代數(shù)運(yùn)算，可使問(wèn)題分析大大簡(jiǎn)化。

一、傳遞函數(shù)的概念及意義

（1）傳遞函數(shù)的定義：

線性系統(tǒng)在零初始條件下，輸出信號(hào)的拉氏變換與輸入信號(hào)的拉氏變換之比。

線性定常系統(tǒng)微分方程的一般表達(dá)式:

其中 xc 為系統(tǒng)輸出量，xr 為系統(tǒng)輸入量

在初始情況為零時(shí)，兩端取拉氏變換：

移項(xiàng)后得：

上式中Xc(s)輸出量的拉氏變換；Xr(s)輸入量的 拉氏變換； W(s)為系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的傳遞系數(shù)。

（2）傳遞函數(shù)的兩種表達(dá)形式

a.傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)表示形式

b.傳遞函數(shù)的時(shí)間常數(shù)表示形式

（3）關(guān)于傳遞函數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明

a.傳遞函數(shù)的概念只適應(yīng)于線性定常系統(tǒng)。

b.傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)本身的特性參數(shù)有關(guān)，而與輸入量變化無(wú)關(guān)。c.傳遞函數(shù)不能反映非零初始條件下系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。

d.傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式階次低于或至多等于分母多項(xiàng)式的階次。

二、典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)及其暫態(tài)特性

無(wú)論什么樣的系統(tǒng)，它的傳遞函數(shù)都是一些基本因子相乘積而得到的。這些基本因子就是典型環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。把復(fù)雜的物理系統(tǒng)劃分為若干個(gè)典型環(huán)節(jié)，利用傳遞函數(shù)和框圖來(lái)進(jìn)行研究，這是研究系統(tǒng)的一種重要方法。

（1）比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)/無(wú)慣性環(huán)節(jié)）

特點(diǎn)：輸入量與輸出量的關(guān)系為一種固定的比例關(guān)系（見(jiàn)下圖）。

（2）慣性環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：只包含一個(gè)儲(chǔ)能元件，使其輸出量不能立即跟隨輸入量的變化，存在時(shí)間上的延遲（見(jiàn)下圖）。

（3）積分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：輸出量隨時(shí)間成正比地?zé)o限增加（見(jiàn)下圖）。

(4）振蕩環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：振蕩的程度與阻尼系數(shù)有關(guān)（見(jiàn)下圖）。

（5）微分環(huán)節(jié)

特點(diǎn)：是積分環(huán)節(jié)的逆運(yùn)算，其輸出量反映了輸入信號(hào)的變化趁勢(shì)（見(jiàn)下圖）。

實(shí)踐中，理想的微分環(huán)節(jié)難以實(shí)現(xiàn)。

（6）延遲環(huán)節(jié)（時(shí)滯環(huán)節(jié)、滯后環(huán)節(jié)）

特點(diǎn)：輸出信號(hào)經(jīng)過(guò)一段延遲時(shí)間τ后，可完全復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)（見(jiàn)下圖）。

第五篇：大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 競(jìng)賽訓(xùn)練 微分方程

大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽訓(xùn)練五—微分方程

一、（15分）設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，且，對(duì)任給的滿足等式

1）求導(dǎo)數(shù)；

2）證明：當(dāng)時(shí)，成立不等式：。

解：1）設(shè)，則有

當(dāng)時(shí)有

兩邊關(guān)于求導(dǎo)得

解微分方程得

由條件可得，因此

2）當(dāng)時(shí)，所以此時(shí)有；

又因?yàn)?，?dāng)時(shí)，所以此時(shí)有，因此當(dāng)時(shí)，有

二、（15分）設(shè)微分方程的兩個(gè)解滿足求此微分方程的通解。

解：1）如果為常數(shù)，則有

因?yàn)?，所以，由此可得，此時(shí)方程變?yōu)?/p>

令，則有

2）如果不是常數(shù)，則有，代入原方程可得

（1）

（2）

由（1）、（2）可得

令，則有，解得，因?yàn)樗鼈兪蔷€性無(wú)關(guān)的，所求通解為

三、（15分）有一個(gè)攀巖愛(ài)好者要攀登一個(gè)表面為的山巖，在攀巖時(shí)他總是沿著最陡峭的路線攀登，他的出發(fā)點(diǎn)在山下的一點(diǎn)處，求他攀登的路線方程。

解：設(shè)所求曲線在面上的投影為，則其切向量與函數(shù)的梯度平行，因此有

此為一階齊次方程，解得，由可得，再由題意得到

所求曲線方程為。

四、（15分）求方程的通解。

解：設(shè)，則有，原方程化為

解得

五、(15分)設(shè)，求在上的連續(xù)函數(shù)使得其在上滿足方程

及初值條件。

解：解方程得

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，由的連續(xù)性可得，又因?yàn)榭傻茫蠛瘮?shù)為。

六、（15分）已知二元函數(shù)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且滿足

證明：。

證明：因?yàn)槎瘮?shù)有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，所以

由此可得。

七、