專題一：隱圓

一、定點定長作圓

基礎(chǔ)：如圖1，在⊙O中，OA＝OB＝OC＝OD；

延伸：如圖2，若有AB＝AC＝AD，則B，C，D三點在以A為圓心，AB長為半徑的圓上．(理論依據(jù)：到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓)

【跟蹤訓練一】

1、如圖，在矩形

ABCD中，AB＝4，AD＝6，E

是

AB邊的中點，F(xiàn)是線段

BC邊上的動點，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D，則B′D的最小值是________．

2、如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AC＝6，點F在邊AC上，并且CF＝2，點E為邊BC上的動點，將△CEF沿直線EF翻折，點C落在點P處，則點P到邊AB距離的最小值是________．

3、(2020廣東)有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖3所示，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2.在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為__________.第1題圖

第2題圖

第3題圖

二、直角對直徑

如圖1，在⊙O中，AB為直徑，則始終有AB所對的∠C＝90°；

如圖2，若有AB為固定線段，且總有∠ACB＝90°，則C在以AB為直徑的圓上．

【跟蹤訓練二】

1、已知：如圖，在Rt△ABC中，BC=AC=2，點M是AC邊上一動點，連接BM，以CM為直徑的⊙O交BM于N，則線段AN的最小值為

．

2、（2020?南寧一模）如圖，點D在半圓O上，半徑OB=，AD=10，點C在弧BD上移動，連接AC，H是AC上一點，∠DHC=90°，連接BH，點C在移動的過程中，BH的最小值是（）

A．5

B．6

C．7

D．83、如圖，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝3，P是△ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足∠PAB＝∠PBC，則線段CP長的最小值為________．

第1題圖

第2題圖

第3題圖

三、定弦定角

如圖1，在⊙O中，若弦AB長度固定，則弦AB所對的圓周角都相等(注意：弦AB在劣弧AB上也有圓周角，需要根據(jù)題目靈活運用)．

如圖2，若有一固定線段AB及線段AB所對的∠C大小固定，根據(jù)圓的知識可知C點并不是唯一固定的點，C在⊙O的優(yōu)弧ACB上均可(至于是優(yōu)弧還是劣弧取決于∠C的大小，小于90°，則C在優(yōu)弧上運動；等于90°，則C在半圓上運動；大于90°，則C在劣弧上運動)．

【跟蹤訓練三】

1、如圖，已知正方形ABCD的邊長為4.點M和N分別從B，C同時出發(fā)，以相同的速度沿BC，CD方向向終點C和D運動．連接AM和BN，交于點P，則PC長的最小值為________．(請在圖中畫出點P的運動路徑)

2、如圖,邊長為3的等邊△ABC,D、E分別為邊BC、AC上的點,且BD＝CE,AD、BE交于

P點,則CP的最小值為_______．

3、如圖，扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=8，點P為弧AD上一動點，PQ⊥OD于點Q，點I為△OPQ的內(nèi)心，當點P從點A沿弧AD運動到點D時，點I運動的路徑長為

．

第2題圖

第3題圖

專題二：運動路徑為直線型

解題策略：

①利用平行定距法或者角度固定法確定動點運動路徑為直線型

②確定動點的起點與終點，計算出路徑長度即可

解題關(guān)鍵：解題過程中常常出現(xiàn)中位線，平行線分線段成比例，相似證動角恒等于頂角等知識點

【跟蹤訓練】

1、如圖，在平面直角坐標系中，A（-3,0），點B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊△ABP，點B在y軸上運動時，求OP的最小值

．

2、如圖，等腰Rt△ABC中，斜邊AB的長為2，O為AB的中點，P為AC邊上的動點，OQ⊥OP交BC于點Q，M為PQ的中點，當點P從點A運動到點C時，點M所經(jīng)過的路線長為（）

A.B.C.1???????????????D.23、如圖，P為邊長為2的正方形ABCD的邊BC上一動點，將線段DP繞P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PE（E為D的對應點），M為線段PE的中點，當點P從點C運動到點B的過程中，點M的運動路徑長為

第1題圖

第2題圖

第3題圖

專題三：二次函數(shù)最值

1、若自變量的取值范圍是全體實數(shù)，則函數(shù)在頂點處取得最大值或最小值。

2、若自變量的取值范圍是，若-在自變量的取值范圍內(nèi)，則當x=-時，y=是其中的一個最值。另一個最值在或處取得。若不在自變量的取值范圍內(nèi)，則函數(shù)的最值即為函數(shù)在，時的函數(shù)值，且較大的為最大值，較小的為最小值，最大值和最小值是同時存在的。

【跟蹤訓練】

1、當-1≤x≤1時，一次函數(shù)y=2x+4的最大值為____，最小值是____.2、二次函數(shù)y=-x2+2x-+3，當，則的取值范圍為____.3、當x=____時，二次函數(shù)y=－x2-2x+6有最大值_____.4、（2021·上海）如圖，已知△ABC中，BC＝10，BC邊上的高AH＝8，四邊形DEFG為內(nèi)接矩形．

（1）當矩形DEFG是正方形時，求正方形的邊長．

（2）設EF＝x，矩形DEFG的面積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，當x為何值時S有最大值，并求出最大值．

（3）當矩形DEFG的面積最大時，該矩形DEFG以每秒1個單位的速度沿射線DC勻速運動（當點D與點C重合時停止運動），設運動時間為t秒，矩形EFGQ與△ABC重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

5、如圖，已知拋物線y＝ax2＋2x＋c與y軸交于點A(0,6)，與x軸交于點B(6,0)，連接AB，點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．

(1)求這條拋物線的表達式及其頂點坐標；

(2)當點P從點A出發(fā)沿線段AB上方的拋物線向終點B移動時，點P到直線AB的距離為d，當d取最大值時，求點P的坐標；

6、已知拋物線y=mx2-2mx+3(m<0)與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，且OB=3OA.（1）求拋物線的解析式：

（2）若M，N是第一象限的拋物線上不同的兩點，且ΔBCN的面積恒小于ΔBCM的面積，求點M的坐標；

（3）若D為拋物線的頂點，P為第二象限的拋物線上的一點，連接BP，DP，分別交y軸于E，F(xiàn)，若EF=OC，求點P的坐標。

專題四：將軍飲馬模型與最值問題

【知識要點】

知識點一：和最小

（方法說明）

“和最小”問題常見的問法是：在一個直線上找一點，使得這個點與兩個定點距離的和最小（將軍飲馬問題）。

如圖所示：在直線l

上找一點P使得PA+PB最小。當點P為直線AB’與直線l的交點時，PA+PB最小

【方法歸納】

①

如圖所示,在直線l上找一點B使得線段AB最小，過點A作AB⊥l，垂足為B，則線段AB即為所求

②

如圖所示，在直線l上找一點P使得PA+PB最小，過點B作關(guān)于直線l的對稱點B’,BB’與直線l交于點P，此時PA+PB最小，則點P即為所求

③

如圖所示，在∠AOB的邊AO,BO上分別找一點C，D使得PC+CD+PD最小，過點P分別作關(guān)于AO,BO的對稱點E,F，連接EF，并與AO，BO分別交于點C，D，此時PC+CD+PD最小，則點C,D即為所求。

④

如圖所示，在∠AOB的邊AO,BO上分別找一點E,F使得DE+EF+CF最小，分別過點C,D作關(guān)于AO,BO的對稱點D’,C’，連接D’C’,并與AO,BO分別交于點E,F。此時DE+EF+CF最小，則點E，F(xiàn)即為所求。

⑤

如圖所以，長度不變的線段CD在直線l上運動，在直線l上找到使得AC+BD最小的CD的位置，分別過點A,D作AA’∥CD，DA’∥AC，AA’與DA’交于點A’，再作點B關(guān)于直線l的對稱點B’.連接A’B’與直線l交于點D’。此時點D’即為所求

知識點二：差最大

（方法說明）

“差最大”問題常見的問法是，在一條直線上面找一點，使得這個點與兩個定點距離的差最大

如圖所示，在直線l上找一點P使得|PA-PB|最大，當點P為直線AB與直線l的交點時，|PA-PB|最大。

【方法歸納】

①

如圖所示，當點A,B在直線l的同側(cè)時，連接AB并延長交直線l于點P，此時|PA-PB|最大；

②

如圖所示，當點A,B在直線l的異側(cè)時，作點B關(guān)于直線l的對稱點B’，連接AB’并延長交直線l于點P，此時|PA-PB|最大；

【跟蹤訓練】

1、如圖，在中，是的兩條中線，是上一個動點，則下列線段的長度等于最小值的是（）

A．

B．

C．

D．

2、如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點，BE＝2，AB＝8，P是AC上一動點，則PB+PE的最小值_____．

3、（2017?安徽）如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點P滿足S△PAB=S矩形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為_____．

第1題圖

第2題圖

第3題圖

4、如圖，∠AOB的邊OB與x軸正半軸重合，點P是OA上的一動點，點N（3，0）是OB上的一定點，點M是ON的中點，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，則點P的坐標為______．

5、如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，交AC于點D，M、N分別是BD，BC上的動點，則CM+MN的最小值是

A．

B．2

C．

D．4

第4題圖

第5題圖

6、如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；

7、如圖，拋物線與軸交于A、B兩點，與軸交于點C，點D（2,2）是拋物線上一點，那么在拋物線的對稱軸上，是否存在一點P，使得△BDP的周長最小，若存在，請求點P的坐標；若不存在，請說明理由。

8、如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(?1，0，)、B(3，0)兩點與y軸交于點C(0，3)，點D為拋物線的頂點。

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點P的坐標為(a，0)，當|PD?PC|最大時，求a的值；

9、（2019南寧）已知點A（3，4），點B為直線x=－1上的動點，設B（－1，y）．

（1）如圖1，若點C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）在（1）的條件下，y是否有最大值？若有，請求出最大值；若沒有，請說明理由；

（3）如圖2，當點B的坐標為（－1，1）時，在x軸上另取兩點E，F(xiàn)，且EF=1．線段EF在x軸上平移，線段EF平移至何處時，四邊形ABEF的周長最??？求出此時點E的坐標．