第一篇：八下數(shù)學(xué)《運用公式法》教案

年級：八年級 學(xué)科：數(shù)學(xué) 課題：《2.3運用公式法（2-1）》 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、經(jīng)歷通過整式乘法中的平方差公式逆向推導(dǎo)出用公式法分解因式的過程，理解乘法公式(a?b)(a-b)?a2?b2與公式a2?b2?(a?b)(a?b)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的逆向思維和推理能力.。

2、會用公式法（直接用公式不超過兩次）進(jìn)行因式分解(指數(shù)是正整數(shù)).。學(xué)習(xí)重點：用平方差公式分解因式 學(xué)習(xí)難點：正確地分解因式。

一、預(yù)習(xí)自學(xué)

1.運用乘法公式計算：

（1）（x+3）（x–3）= ；（2）（4x+y）（4x–y）= ；（3）（1+2x）（1–2x）= ；（4）（3m+2n）（3m–2n）= ． 根據(jù)上面式子填空：

（1）9m2–4n2= ；（2）16x2–y2= ；（3）x2–9= ；（4）1–4x2= ． 2.（1）觀察上面多項式,它們有什么共同特征？

（2）你能試著嘗試將x2?25,9x2?y2寫成兩個因式的乘積，并與同伴交流。

3.分解因式的平方差公式：

把乘法公式（a+b）（a－b）= ； 反過來就得到：a2－b2=_________________ 4.例1把下列各式分解因式：（1）25–16x2（2）9a2–b2

422（）?（）?（）解：（1）25–16x2 =（）)()

（2）9a2?b2?()2?()2?(45.例2把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;

（2）2x3－8x.鞏固提高:把下列各式分解因式

（1）－16x4+81y4（2）49（a?b)2?16(a?b)

2二、合作交流

7.請你將你的收獲與困惑同小組內(nèi)的同學(xué)交流。8.把下列各式因式分解：

(1)a2?81(2)36-x2(3)1?16b2

（m?n)2?n2(4)m2?9n2(5)

9.把下列各式因式分解：

(1)（2x?y)2?(x?2y)2(2)3ax2?3ay4 10.判斷正誤：

（1）x2+y2=（x+y）(x–y)()（2）–x2+y2=–（x+y）(x–y)()（3）x2–y2=（x+y）(x–y)()（4）–x2–y2=–（x+y）(x–y)()11.在多項式x2?2y2,x2?y2,?x2?y2,?x2?y2中，能用平方差公式分解的有（）個。A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 12.下列分解因式：

①(x?3)2?y2?x2?6x?9?y2②a2?9b2?(a?9b)(a?9b)③4x6?1?(2x3?1)(2x3?1)④m4n2?9?(m2n?3)(m2n?3)⑤?a2?b2?(?a?b)(?a?b)其中正確的有（）

A.1個 B.2個 C.3個 D.4個

13.在一個邊長為12.75cm的正方形內(nèi)剪去一個邊長為7.25cm的正方形，則剩下部分的面積應(yīng)當(dāng)是（）

A.20cm2 B.200cm2 C.110cm2 D.11cm2

三、展示拓展

14.若(2x)n?81?(4x2?9)(2x?3)(2x?3)，則n的值是（）A.2 B.4 C.6 D.8 15.如圖，在一塊邊長為acm的正方形紙片的四角，各剪去一個邊長為bcm的正方形．求剩余部分的面積，并求當(dāng)a=3.6，b=0.8時的面積．

16.如圖，大小兩圓的圓心相同，已知它們的半徑分別是Rcm和rcm，求它們所圍成的環(huán)形的面積。如果R=8.45，r=3.45呢？（π=3.14）

17.兩個連續(xù)偶數(shù)的平方差能被4整除嗎？為什么？

18.若n是整數(shù)，則(2n?1)2?1是否能被8整除？為什么？

四、檢測反饋

19.分解因式 A組：

（1）a2b2?m2(2)169x2?4y2（3）xy(x?y)2?4x3y3

B組：

（1）m4?16n4（2）3x3y?12xy

第二篇：八下 2.3.2運用公式法 教學(xué)設(shè)計(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.2運用公式法（2）

本節(jié)知識點：

1.會用完全平方公式將多項式分解因式 知識點1 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a?2ab?b的多項式分解因式的方法，即a2?2ab?b2?(a?b)2，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。22練一練：下列各式是不是完全平方式？（1）a2－4a＋4；（4）a2－ab＋b2；

[例題1] 將下列各式分解因式。

（1）x?14x?49

（2）x＋4xy＋4y 2（2）x2＋4x＋4y2；（5）x2－6x－9；

（3）4a2＋2ab＋b2；（6）a2＋a＋0.25．

1422分析：大家先把多項式化成符合完全平方公式特點的形式，然后再根據(jù)公式分解因式．

[針對性訓(xùn)練1]

把下列各式分解因式

（1）x2?12xy?36y2

（2）16a?24ab?9b

（3）

422412m?3mn?9n2

（4）x6?10x3?25 4（5）4a2－4ab＋b2；

（6）a2b2＋8abc＋16c2； [例題2] 將下列各式分解因式

(1)3ax2?6axy?3ay2

(2)?x2?4y2?4xy

分析：對一個三項式，如果發(fā)現(xiàn)它不能直接用完全平方公式分解時，要仔細(xì)觀察它是否有公因式，若有公因式應(yīng)先提取公因式，再考慮用完全平方公式分解因式．

如果三項中有兩項能寫成兩數(shù)或式的平方，但符號不是“＋”號時，可以先提取“－”號，然后再用完全平方公式分解因式．

[針對性訓(xùn)練2]

把下列各式分解因式

（1）4x?4x?x

（2）?2xy?x2?y2

22（3）x?36x?12x

（4）2x?4xy?2y

3232

（5）

[針對性訓(xùn)練2] 把下列各式分解因式 121a?ab?b2

（6）?2x3?4x2?2x 221已知a?2b??,ab?2,求?a4b2?4a3b3?4a2b4的值。

第三篇：八下 2.3.1運用公式法 教學(xué)設(shè)計(于海峰)

第二章

分解因式

2.3.1運用公式法（1）

本節(jié)知識點：

1.會用平方差公式將多項式分解因式 2..會用完全平方公式將多項式分解因式 知識點1用平方差公式分解因式

形如a?b的多項式分解因式的方法，即a2?b2?(a?b)(a?b)，我們把它叫做分解因式的平方差公式，可以敘述為：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和乘以這兩個數(shù)的差。筆記：（1）公式中的和既可以是單項式，也可以是多項式。

（2）常見的公式變式有：○1位置變化：x2?y2?(x?y)(x?y)；○2符號變化：3系數(shù)變化：○4指數(shù)變化：○5增項變化： x2?y2??(?x?y)(x?y)○[例題1]

把下列各式分解因式

2（1）25?16x

（2）9a?22212b 4

[針對性訓(xùn)練1] 把下列各式分解因式

（1）ab?m

（2）?16x4?81y4

[例題2]

把下列各式分解因式

22（1）9(m?n)?(m?n)

（2）2x?8x

3222

[針對性訓(xùn)練2] 把下列各式分解因式

（1）(m?a)?(n?b)

（2）x?(a?b?c)

當(dāng)多項式的各項含有公因式時，通常先提出這個公因式，然后再進(jìn)一步分解因式。2222知識點2 用完全平方公式分解因式

乘法公式中形如a?2ab?b的多項式分解因式的方法，即a2?2ab?b2?(a?b)2，我們稱它為分解因式的完全平方公式，即兩數(shù)的平方和加上（或減去）它們積的2倍，等于這兩個數(shù)和（或差）的平方。

[例題3] 將下列各式分解因式。

（1）x?14x?49

(2)(m?n)2?6(m?n)?9 222

[例題4] 將下列各式分解因式

(1)3ax2?6axy?3ay2

[針對性訓(xùn)練3]

把下列各式分解因式

（1）x2?12xy?36y2

（3）14m2?3mn?9n2

[針對性訓(xùn)練4]

（1）?2xy?x2?y2

(2)?x2?4y2?4xy

（2）16a4?24a2b2?9b4

（4）x6?10x3?25

（2）4?12(x?y)?9(x?y)2

第四篇：運用公式法分解因式教案

8.4.2

因式分解

2)36a281= m2-92 =(m + 9)(m25b2=(6a)2-(5b)2=(6a+5b)(6a-5b)2．填空：

（1）4a2=（）2（2）b2=（）2（3）0.16a4=（）2（4）1.21a2b2=（）2（5）2x4=（）2（6）5x4y2=（）2

3、下列多項式能轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式嗎？如果能，請將其轉(zhuǎn)化成（）２－（）２的形式。(1)m2 －1 =(2)4m2 －9=(3)4m2+9 =(4)x2 －25y 2(5)－x2 －25y2(6)－x2+25y2

例1.把下列各式分解因式

（1）16a2-1 =(2)4x2-m2n2= 2(3)–9x2 + m 考考你

144949a ? b ?(a ? b)a ? b)

(x+z)225(a4a 4)(x + y + z)2b2 =(a+b)(a-b)中的字母 a , b可以是數(shù)，也可以是單項式或多項式，要注意“整體”“換元”思想的運用。

3.當(dāng)要分解的多項式是兩個多項式的平方時，分解成的兩個因式要進(jìn)行去括號化簡，若有同類項，要進(jìn)行合并，直至分解到不能再分解為止。

（五）小結(jié)與評價

你的收獲是什么？

你還有什么疑惑？

六、作業(yè)布置

練習(xí)P76 1、2習(xí)題8.4

第2題（3）題，第4題（2）（4）題

第5題（1）（2）題

七、板書設(shè)計：

運用公式法

——平方差公式分解因式 a2-b2＝(a＋b)(a-b)例1 練習(xí)1 練習(xí)3

例2 練習(xí)2 練習(xí)4

八、教學(xué)反思 本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計借助于學(xué)生已有的整式乘法運算的基礎(chǔ)，給學(xué)生留有充分探索與交流的時間和空間，讓他們經(jīng)歷從整式乘法到分解因式的轉(zhuǎn)換過程并能用符號合理的表示出分解因式的關(guān)系式，同時感受到這種互逆變形的過程和數(shù)學(xué)知識的整體性。有意識的培養(yǎng)學(xué)生逆向思考問題的習(xí)慣，并且保證基本的運算技能的訓(xùn)練，避免復(fù)雜的題型訓(xùn)練。不足之處在于沒有把握好學(xué)生自主探究與講解的時間安排，導(dǎo)致學(xué)生訓(xùn)練的時間有所減少。

第五篇：運用公式法——平方差公式教案

運用公式法——平方差公式教案

教學(xué)目標(biāo)

（一）知識認(rèn)知要求

1.使學(xué)生了解運用公式法分解因式的意義； 2.使學(xué)生掌握用平方差公式分解因式.3.使學(xué)生了解，提公因式法是分解因式的首先考慮的方法，再考慮用平方差公式分解因式.（二）能力訓(xùn)練要求

1.通過對平方差公式特點的辨析，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力.2.訓(xùn)練學(xué)生對平方差公式的運用能力.（三）情感與價值觀要求

在引導(dǎo)學(xué)生逆用乘法公式的過程中，培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的意識，同時讓學(xué)生了解換元的思想方法.教學(xué)重點

讓學(xué)生掌握運用平方差公式分解因式.教學(xué)難點

將單項式化為平方形式，再用平方差公式分解因式；培養(yǎng)學(xué)生多步驟分解因式的能力.教學(xué)過程

一、創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課

在前兩節(jié)課中我們學(xué)習(xí)了因式分解的定義，即把一個多項式分解成幾個整式的積的形式，還學(xué)習(xí)了提公因式法分解因式，即在一個多項式中，若各項都含有相同的因式，即公因式，就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式.如果一個多項式的各項，不具備相同的因式，是否就不能分解因式了呢？當(dāng)然不是，只要我們記住因式分解是多項式乘法的相反過程，就能利用這種關(guān)系找到新的因式分解的方法，本節(jié)課我們就來學(xué)習(xí)另外的一種因式分解的方法——公式法.二、新課講解

1.請看乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

左邊是整式乘法，右邊是一個多項式，把這個等式反過來就是 a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

左邊是一個多項式，右邊是整式的乘積.大家判斷一下，第二個式子從左邊到右邊是否是因式分解？

符合因式分解的定義，因此是因式分解.對，是利用平方差公式進(jìn)行的因式分解.第（1）個等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）個等式可以看作是因式分解中的平方差公式.2.公式講解

請大家觀察式子a2－b2,找出它的特點.公式的特點

下面按公式分類，一一進(jìn)行闡述．(1)平方差公式：

a2?b2?(a?b)(a?b)這里a，b可以表示數(shù)、單項式、多項式． 公式的特點是： ①左側(cè)為兩項； ②兩項都是平方項； ③兩項的符號相反．

（是一個二項式，每項都可以化成整式的平方，整體來看是兩個整式的平方差.如果一個二項式，它能夠化成兩個整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成兩個整式的和與差的積.）

如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.9 m 2－4n2=（3 m）2－（2n）2 =（3 m +2n）（3 m －2n）3.例題講解

例1 ： 把下列各式分解因式：

（1）25－16x2;

（2）9a2－解：（1）25－16x2=52－（4x）2 =（5+4x）（5－4x）;

2b.4121b=（3a）2－（b）2 4211=（3a+b）（3a－b）.22（2）9a2－例2 ： 把下列各式分解因式:（1）9（m+n）2－（m－n）2;（2）2x3－8x.解：（1）9（m +n）2－（m－n）2 =［3（m +n）］2－（m－n）2 =［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］ =（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）=（4 m +2n）（2 m +4n）=4（2 m +n）（m +2n）（2）2x3－8x=2x（x2－4）=2x（x+2）（x－2）

說明：例1是把一個多項式的兩項都化成兩個單項式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一個二項式化成兩個多項式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，當(dāng)一個題中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式時，首先要考慮提公因式法，再考慮公式法.補(bǔ)充例題3：判斷下列分解因式是否正確.（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）·（a2－1）.解：（1）不正確.本題錯在對分解因式的概念不清，左邊是多項式的形式，右邊應(yīng)是整式乘積的形式，但（1）中還是多項式的形式，因此，最終結(jié)果是未對所給多項式進(jìn)行因式分解.（2）不正確.錯誤原因是因式分解不到底，因為a2－1還能繼續(xù)分解成（a+1）（a－1）.應(yīng)為a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.例4 ： 把下列各式分解因式：

22（1）9a?b；

（2）?4n?m；

2212a?9b2；

（4）16a2?25b2c4； 16122（5）?xy?0.09。

4（3）思路分析

（這是平方差公式的特征）

通過變形，二項都是完全平方形式，且符號相反。解：（1）9a2?b2?(3a)2?b2?(3a?b)(3a?b)；

（2）?4n2?m2?m2?(2n)2

（加法交換律）

=(m+2n)(m－2n)；

1?a?（3）a2?9b2????(3b)2

16?4??a??a????3b???3b?； ?4??4?（比較兩種分解方法）

或

2121a?9b2?(a2?144b2)16161?[a2?(12b)2] 161?(a?12b)(a?12b)； 16（與??a??a??3b???3b?相等嗎？）?4??4?224222（4）16a?25bc?(4a)?(5bc)（注意變形）

?(4a?5bc2)(4a?5bc2)；

1?1?（5）?x2y2?0.09?(0.3)2??xy?

4?2?（加法交換律）

21??1????0.3?xy??0.3?xy?。

2??2?? 點評：平方差公式的特征。

①公式左邊的多項式形式上是二項式，且兩項的符號相反； ②第一項都可化成某個數(shù)或某式的平方的形式；

③右邊是這兩個數(shù)或兩個式子的和與它們的差的積，相當(dāng)于分解為兩個一次二項式的積；

④公式中所說的兩個數(shù)或兩個式子是指a、b，不是a，b，其中a、b可以是數(shù)字，是字母，也可以是單項式、多項式。

應(yīng)用平方差公式分解多項式關(guān)鍵是把多項式構(gòu)建成符合公式特征的形式，然后明確多項 式和公式中的字母如何對應(yīng)。例5 ： 把下列各式分解因式：

（1）(m?n)2?1；

（2）?(a?1)2?9(a?2)2；（3）?(a?b)2?(a?b)2；

（4）4x2?(x?y)2；（5）?1?16x；

思路分析

通過觀察，都符合平方差公式的特征。

解：（1）(m?n)2?1?(m?n)2?1（把m－n看做一個整體）

=(m－n+1)(m－n－1)；

（2）?(a?1)?9(a?2)?[3(a?2)]?(a?1)

（加法交換律）

=[3(a－2)+(a+1)][3(a－2)－(a+1)]

=(3a－6+a+1)(3a－6－a－1)

（必須化簡）=(4a－5)(2a－7)；

（不要跳步，以免出錯）

（3）?(a?b)?(a?b)?(a?b)?(a?b)

=[(a－b)+(a+b)][(a－b)－(a+b)] =2a·(－2b)

（不要跳步）=－4ab；

（4）4x?(x?y)?(2x)?(x?y)

=(2x+x－y)(2x－x+y)=(3x－y)(x+y)。

（5）?1?16x?16x?1 ***22?(4x2)2?1

?(4x2?1)(4x2?1)

（4x2?1符合平方差公式，還能再分解）?(4x2?1)(2x?1)(2x?1)； 例6： 計算：（1）?1???1??1??1??1?； 1?1??1??2??2??2?2?2??3??4??100?1??1??1??1?1?1??1???????? 22??32??42??1002?解：（1）?1???1??1??1??1??1??1????1???1???1???1????1???1?? ?2??2??3??3??100??100?31425310199??????? ***1101???； 2100200?例7

若(248?1)可以被60與70之間的兩個數(shù)整除，求這兩個數(shù)． 點悟：將(248?1)分解成幾個整數(shù)的積的形式，然后分析對照條件即得． 解：248?1?(224?1)(224?1)

?(224?1)(212?1)(212?1)?(224?1)(212?1)(26?1)(26?1)，∵

2?1?65,2?1?63，∴

這兩個數(shù)分別為65和63．

三、課堂練習(xí)

（一）隨堂練習(xí)1.判斷正誤

（1）x2+y2=（x+y）（x－y）;

（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）;

2.把下列各式分解因式

解：（1）a2b2－m2（2）（m－a）2－（n+b）2（3）x2－（a+b－c）2（4）－16x4+81y4

（二）補(bǔ)充練習(xí)：把下列各式分解因式（1）36（x+y）2－49（x－y）2;（2）（x－1）+b2（1－x）;（3）（x2+x+1）2－1.66（2）x2－y2=（x+y）（x－y）;

（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）.四.課時小結(jié)

我們已學(xué)習(xí)過的因式分解方法有提公因式法和運用平方差公式法.如果多項式各項含有公因式，則第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的結(jié)構(gòu)特點，若符合則繼續(xù)進(jìn)行.第一步分解因式以后，所含的多項式還可以繼續(xù)分解，則需要進(jìn)一步分解因式，直到每個多項式都不能分解為止.五.課后作業(yè)

習(xí)題2.4 六.活動與探究

把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式 解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc =［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc

2=abc+a（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2 =（b+c）［a2+bc+a（b+c）］ =（b+c）［a2+bc+ab+ac］ =（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］ =（b+c）（a+b）（a+c）

七、板書設(shè)計

運用公式法——平方差公式

一、1.由整式乘法中的平方差公式推導(dǎo)因式分解中的平方差公式.2.公式講解 3.例題講解

補(bǔ)充例題