第一篇：拋物線的定義
拋物線的定義
溫宿二中
王蕊
一、教學目標
1.經(jīng)歷從具體情景中抽象出拋物線幾何特征的過程； 2.掌握拋物線的幾何圖形，定義和標準方程；
3.進一步鞏固圓錐曲線的研究方法，體會類比法，直接法，待定系數(shù)法和數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學中的應用；
4.感受拋物線的廣泛應用和文化價值，體會學習數(shù)學的樂趣和數(shù)學美.教學重點: 1.掌握拋物線的定義與相關(guān)概念； 2.掌握拋物線的標準方程；
教學難點:從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義.四、教學問題診斷
本節(jié)課的教學難點是從拋物線的畫法中抽象概括出拋物線的定義.對教學難點的突破我采取的策略是：
1.類比學習橢圓的過程和方法去學習拋物線.2.鑒于拋物線的畫法比較復雜，用教具難以操作，因此我運用多媒體來演示畫拋物線的過程.另外，畫法中所隱含的拋物線的本質(zhì)特征不是特別明顯，對學生的抽象能力要求比較高，為此，我設置了兩個問題，為學生發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征作鋪墊.3.學生在抽象概括拋物線定義時，容易忽略拋物線定義中“點不在直線上”這個條件.為了加深學生對這個條件的理解，教學中通過師生互動來引導學生逐步完善拋物線的定義，并以小組合作交流的方式討論這個條件的必要性.另外，在建系、推導拋物線標準方程的過程中，依據(jù)學生的認知習慣，同時激勵學生主動學習，我采取了以下策略：
1.坐標系的建立——教師不作引導，由學生自己選擇建系方式，再將學生的結(jié)果用投影儀展示出來，并進行歸納.2.求拋物線的方程——全班學生分工，求出不同建系方式下的拋物線方程.通過比較，明確第2種建系方式所得的拋物線方程最簡潔，并把這個方程叫做拋物線的標準方程.3.明確拋物線標準方程的四種形式——給出問題4，先讓學生獨立思考，再組織學生以小組交流的方式進行討論.以加深學生對拋物線標準方程的理解.五、教學過程 教學過程 設計說明
一、課堂導入
1.生活中的拋物線：
（1）投籃時籃球的運行軌跡是拋物線；
2）南京秦淮河三山橋的橋拱的形狀是拋物線；（3）衛(wèi)星天線是根據(jù)拋物線的原理制造的.2.數(shù)學中的拋物線：
一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線.提出問題：為什么一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？ 通過生活中的拋物線使學生認識到學習拋物線的必要性.通過問題引入引發(fā)學生的認知沖突，激發(fā)學生的學習欲望.二、拋物線的定義 1.拋物線的畫法（1）介紹作圖規(guī)則.（2）動畫展示作圖過程.提出問題：筆尖所對應的點滿足的幾何關(guān)系是什么？（3）分析作圖過程
提出問題：在作圖過程中，直尺，三角板，筆尖，點F中，哪些沒有動？哪些動了？ 提出問題：在作圖過程中，繩長，，中，哪些量沒有變？哪些量變了？（4）結(jié)論
點滿足的幾何關(guān)系是：動點到定點F的距離等于它到直尺的距離.2.拋物線的定義
問題1：你能給拋物線下個定義嗎？ 拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點和一條定直線（不過）的距離相等的點的集合叫作拋物線.問題2：為什么定點不能在定直線上？若點在直線上，則軌跡為過定點垂直于直線的直線.3.拋物線的相關(guān)概念：
定點：拋物線的焦點.定直線：拋物線的準線.設，焦點到準線的距離.拋物線的對稱軸與拋物線的交點：拋物線的頂點
拋物線的畫法比較復雜，讓學生自己畫拋物線，操作起來很困難，學生很難完成.因此我運用多媒體信息技術(shù)來演示畫拋物線的過程.通過兩個問題的設置，為學生從畫法中發(fā)現(xiàn)拋物線的幾何特征奠定基礎(chǔ).加深學生對拋物線定義中的條件“不過”的理解.這是教材的第一個思考交流，目的是對拋物線定義的應用，同時也給出了課堂導入時所給問題的一種解決方法.三、拋物線的方程.方程推導 1）建
請同學們將拋物線畫在草稿紙上，自己建立平面直角坐標系.（2）推導
問題3：以下三種建系方式，你認為哪種建系方式最好？請說明理由
提示：設，先將拋物線的焦點坐標和準線方程求出來，再來求拋物線的方程.三種建系方式下的拋物線方程分別為：，.不難得出，第二種建系方式下的拋物線方程最簡潔，因此第二種建系方式最好.：焦點到準線的距離.3.思考交流
問題4：你能否分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程？
具體要求：以頂點在原點，焦點在軸正半軸上的拋物線的標準方程為基礎(chǔ)，分別寫出開口向左、向上、向下，頂點在原點，焦點在坐標軸上的拋物線的標準方程，不要求寫過程.學生先獨立思考，再小組合作交流.教材只給出了一種建系方式，但學生在建系時可能不只一種.為了體現(xiàn)學生的主體地位，這里先讓學生建系，教師再匯總學生的結(jié)果，并用投影儀展示.通過問題3，讓學生分工求出三種建系下的方程，為標準方程的理解奠定基礎(chǔ).部學生在推導方程時存在困難，故給出提示.這是教材的第二個思考交流，目的是讓學生認識到拋物線的標準方程一共有四種形式，加深學生對拋物線標準方程的理解.大部分學生解決問題4所用的方法都是圖像變換法.圖像
拋物線的標準方程是指頂點放在坐標原點，焦點放在坐標軸上的拋物線的方程，一共有四種形式.4.例題分析
例1.求出下列拋物線的焦點坐標和準線方程.（1）；（2）；
2.根據(jù)下列條件求拋物線的標準方程.（1）焦點：；（2）準線：.課本中的例題只涉及了拋物線標準方程的一種形式，無法達到鞏固知識的目的.因此，我更換了教材的例題，例1是由方程求圖像，例2是由圖像求方程.并且兩個例題中的4個小題正好包含了拋物線標準方程的四種形式.四、課堂小結(jié)
問題5：這節(jié)課你學到了什么？請談談你的收獲.1.知識內(nèi)容：（1）拋物線的定義：（2）拋物線的標準方程： ①焦點在軸正半軸：； ②焦點在軸負半軸：； ③焦點在軸正半軸：； ④焦點在軸負半軸：.2.學習方法與過程：類比橢圓的研究方法與過程.3.學習中用到的數(shù)學思想和方法：（1）直接法；（2）待定系數(shù)法；（3）類比的思維方法；（4）數(shù)形結(jié)合思想.培養(yǎng)學生梳理知識點，總結(jié)知識內(nèi)容，建構(gòu)知識體系的能力.五、課后延伸 1.課后作業(yè)
書，P76，A組，2題，3題，4題.2.課后思考
請你思考如何用拋物線的定義來證明一元二次函數(shù)的圖像是一條拋物線？ 3.課后延展
（1）拋物線型橋梁
通過圖片展示南京秦淮河三山橋，湖北宜昌西陵長江大橋，寧波明州大橋這三座拋物線型橋梁.提出問題：拋物線型拱橋有哪些特點？有哪些優(yōu)點?在橋梁的設計上利用了拋物線的哪些特征？
（2）衛(wèi)星.提出問題：我們知道衛(wèi)星天線是根據(jù)拋物線原理來制造的.在制造衛(wèi)星時利用了拋物線的哪些性質(zhì)？
對此感興趣或者學有余力的學生，可以在課后收集相關(guān)資料進行學習，并作進一步的探討.是對這節(jié)課所學方法的鞏固和對初中所學相關(guān)內(nèi)容的同化，也是為下節(jié)課作好鋪墊.感受拋物線的廣泛應用和文化價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣和研究問題的熱情.
第二篇：拋物線的定義、性質(zhì)及標準方程
高三數(shù)學第一輪復習：拋物線的定義、性質(zhì)及標準方程
【本講主要內(nèi)容】
拋物線的定義及相關(guān)概念、拋物線的標準方程、拋物線的幾何性質(zhì)
【知識掌握】 【知識點精析】 1.拋物線定義：平面內(nèi)與一個定點和一條直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點
叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線，定點不在定直線上。它與橢圓、雙曲線的第二定義相仿，僅比值（離心率e）不同，當e＝1時為拋物線，當0
2.拋物線的標準方程有四種形式，參數(shù)式方程的幾何性質(zhì)（如下表）： 的幾何意義，是焦點到準線的距離，掌握不同形
其中為拋物線上任一點。
3.對于拋物線上的點的坐標可設為，以簡化運算。的焦點的直線與拋物線交于，則有4.拋物線的焦點弦：設過拋物線，直線
與的斜率分別為，直線的傾斜角為。，，，說明：
1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律一般用軌跡法。
2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達定理，能避免求交點坐標的復雜運算。
3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應用，而且還應注意焦點弦的幾何性質(zhì)。【解題方法指導】
例1.已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，且與圓于，求此拋物線的方程。解析：設所求拋物線的方程為設交點則∴點在，∴
上，（y1>0），代入
在得上
或
相交的公共弦長等∴或，∴或
。，經(jīng)過的直線交拋物線于
兩點，點故所求拋物線方程為例2.設拋物線在拋物線的準線上，且的焦點為
∥軸，證明直線經(jīng)過原點。
解析：證法一：由題意知拋物線的焦點
故可設過焦點的直線的方程為
由，消去得 設，則
∵∥軸，且在準線上
∴點坐標為
于是直線的方程為
要證明注意到經(jīng)過原點，只需證明，即證
經(jīng)過原點。
知上式成立，故直線證法二：同上得。又∵∥軸，且在準線上，∴點坐標為。于是過原點。
證法三：如圖，知三點共線，從而直線經(jīng)
設軸與拋物線準線交于點則∥∥，連結(jié)，過交
作于點，則
是垂足
又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，∴因此點是的中點，即
與原點
重合，∴直線
經(jīng)過原點。
評述：本題考查拋物線的概念和性質(zhì)，直線的方程和性質(zhì)，運算能力和邏輯推理能力。其中證法一和二為代數(shù)法，證法三為幾何法，充分運用了拋物線的幾何性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，更為巧妙。
【考點突破】 【考點指要】
拋物線部分是每年高考必考內(nèi)容，考點中要求掌握拋物線的定義、標準方程以及幾何性質(zhì)，多出現(xiàn)在選擇題和填空題中，主要考查基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)技能、基本方法，分值大約是５分?？疾橥ǔ７譃樗膫€層次：
層次一：考查拋物線定義的應用； 層次二：考查拋物線標準方程的求法； 層次三：考查拋物線的幾何性質(zhì)的應用；
層次四：考查拋物線與平面向量等知識的綜合問題。
解決問題的基本方法和途徑：待定系數(shù)法、軌跡方程法、數(shù)形結(jié)合法、分類討論法、等價轉(zhuǎn)化法。
【典型例題分析】 例3.（2006江西）設，則點A.C.答案：Ｂ
解析：解法一：設點坐標為，則，解得或（舍），代入拋物線可得點的坐標為。
為坐標原點，的坐標為（）B.D.為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若解法二：由題意設，則，即，求得，∴點的坐標為。
評述：本題考查了拋物線的動點與向量運算問題。例4.（2006安徽）若拋物線為（）
A.－2 B.2 C.－4 Ｄ.4 答案：D 的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值解析：橢圓的右焦點為，所以拋物線的焦點為，則。
評述：本題考查拋物線與橢圓的標準方程中的基本量的關(guān)系?！具_標測試】 一.選擇題： 1.拋物線的準線方程為，則實數(shù)的值是（）
A.B.C.D.軸上，又拋物線上的點，與焦點的距離2.設拋物線的頂點在原點，其焦點在為4，則等于（）
A.4 B.4或－4 C.－2 D.－2或2 3.焦點在直線A.C.B.D.或或
上的拋物線的標準方程為（）
4.圓心在拋物線上，并且與拋物線的準線及軸都相切的圓的方程為（）
A.B.C.D.5.正方體上的動點，且點的軌跡是（）的棱長為１，點到直線的距離與點
在棱到點
上，且，點是平面的距離的平方差為１，則點
A.拋物線 B.雙曲線 C.直線 D.以上都不對 6.已知點是拋物線的距離為
上一點，設點，則
到此拋物線準線的距離為，到直線的最小值是（）
A.5 B.4 C.7.已知點D.是拋物線
上的動點，點
在軸上的射影是，點的坐標是，則的最小值是（）
A.B.4 C.D.5 的焦點的直線交拋物線于
兩點，為坐標原點，則的值8.過拋物線是（）
A.12 B.－12 C.3 D.－3 二.填空題： 9.已知圓10.已知物線的焦點分別是拋物線，則直線
和拋物線的準線相切，則的值是＿＿＿＿＿。的垂心恰好是此拋
上兩點，為坐標原點，若的方程為＿＿＿＿＿。
11.過點（0，1）的直線與＿＿＿。12.已知直線＿＿＿。三.解答題： 與拋物線
交于兩點，若的中點的橫坐標為，則
交于兩點，那么線段的中點坐標是＿＿13.已知拋物線頂點在原點，對稱軸為拋物線的方程。14.過點（4，1）作拋物線
軸，拋物線上一點到焦點的距離是5，求的弦點在，恰被所平分，求所在直線方程。
。15.設點F（1，0），M點在軸上，⑴當點⑵設在軸上運動時，求
軸上，且
點的軌跡是曲線的方程； 上的三點，且的坐標。
成等差數(shù)列，當?shù)拇怪逼椒志€與軸交于E（3，0）時，求點【綜合測試】 一.選擇題：
1.（2005上海）過拋物線的焦點作一條直線與拋物線相交于兩點，它們的橫坐標之和等于5，則這樣的直線（）A.有且僅有一條 B.有且僅有兩條 C.有無窮多條 D.不存在 2.（2005江蘇）拋物線
上的一點
到焦點的距離為1，則點的縱坐標是（）
A.B.C.D.0，若它的一條準線與拋物線3.（2005遼寧）已知雙曲線的中心在原點，離心率為的準線重合，則該雙曲線與拋物線A.B.C.D.21 的交點與原點的距離是（）
4.（2005全國Ⅰ）已知雙曲線合，則該雙曲線的離心率為（）的一條準線與拋物線的準線重A.B.C.D.的準線與軸交于點，若過點的直線與拋物線有5.（2004全國）設拋物線公共點，則直線的斜率的取值范圍是（）
A.B.C.D.6.（2006山東）動點取得最小值，則
是拋物線的最小值為（）
上的點，為原點，當時A.B.C.D.7.（2004北京）在一只杯子的軸截面中，杯子內(nèi)壁的曲線滿足拋物線方程，在杯內(nèi)放一個小球，要使球觸及杯子的底部，則該球的表面積取值范圍是（）A.B.C.D.的準線為，直線
與該拋物線相交于的8.（2005北京）設拋物線點，則點及點
兩到準線的距離之和為（）
A.8 B.7 C.10 D.12 二.填空題： 9.（2004全國Ⅳ）設到
是曲線
上的一個動點，則點
到點的距離與點軸的距離之和的最小值是＿＿＿＿＿。
10.（2005北京）過拋物線為，則圓的焦點
且垂直于軸的弦為，以
為直徑的圓與拋物線準線的位置關(guān)系是＿＿＿＿＿，圓的面積是＿＿＿＿＿。的一條弦，所在11.（2005遼寧）已知拋物線直線與軸交點坐標為（0，2），則＿＿＿＿＿。的焦點在直線
移到點
上，現(xiàn)將拋物線沿處，則平移后所12.（2004黃岡）已知拋物線向量進行平移，且使得拋物線的焦點沿直線得拋物線被軸截得的弦長
＿＿＿＿＿。三.解答題：
13.（2004山東）已知拋物線C：與拋物線交于⑴若以弦兩點。，求的值； 的軌跡方程。的焦點為，直線過定點
且為直徑的圓恒過原點⑵在⑴的條件下，若，求動點
14.（2005四川）如圖，點，是拋物線的焦點，點
為拋物線內(nèi)一定點，點
為拋物線上一動的最小值為8。
⑴求拋物線方程； ⑵若為坐標原點，問是否存在點，若存在，求動點，使過點的動直線與拋物線交于
兩點，且的坐標；若不存在，請說明理由。
15.（2005河南）已知拋物線拋物線交于⑴求⑵求滿足 ； 的點的軌跡方程。，為頂點，使得
為焦點，動直線。
與兩點。若總存在一個實數(shù)
第三篇：《拋物線的定義及方程》教學反思
《拋物線的定義及方程》教學反思
儀征市工業(yè)學校數(shù)學組2003年謝晶晶
拋物線的定義及方程是圓錐曲線中的重要內(nèi)容，在這之前，學生對拋物線有了一定的認識和理解，知道平拋運動的軌跡是拋物線。那時主要從函數(shù)圖象的角度進行分析，目的還是為能有效直觀理解二次函數(shù)的性質(zhì)。拋物線作為理解的工具而出現(xiàn)的，對拋物線本身的科學的定義和方程（包括四種標準形式）未作深入的探索和研究，這節(jié)課的目的就是從解析幾何的角度學習拋物線。另外，學生已經(jīng)學習了直線、圓、橢圓、雙曲線，對解析幾何的基本方法也有深入的認識。所以這節(jié)課無論從內(nèi)容和方法上是前面知識的延伸。
建構(gòu)主義認為人的認識不是對于客觀實在的被動的反映，而是主體以已有的知識經(jīng)驗為依托所進行的主動建構(gòu)的過程。因而學習不是學習者被動地接受書本或教師所傳授的現(xiàn)成的結(jié)論，而是學習者在一定的社會環(huán)境下，借助他人的幫助而實現(xiàn)的意義建構(gòu)的過程。在教學中設計中要求學生能主動探索拋物線定義和掌握四種標準方程，充分展示定義形成和證明的思維過程，在這當中暴露學生觀察、比較、分析、演繹、歸納、判斷、綜合等思維鏈。
本節(jié)課的教學過程設計主要有兩個階段：拋物線定義的形成和歸納四種方程。第一階段經(jīng)歷了“問題的產(chǎn)生—探求曲線的形狀—論證猜想—發(fā)現(xiàn)定義”的過程，第二階段也經(jīng)歷“類比推導—觀察比較—討論歸納—圖表展示”的過程，讓學生經(jīng)歷科學的探求過程，享受數(shù)學學習的樂趣。另外，我一貫注重精心設計細節(jié)的小問題，啟發(fā)、點撥、誘導學生，使學生思維活動真實的暴露出來，通過學生的答疑和討論，師生、學生之間的協(xié)作和會話，在“學習共同體”中，每個人都展示了自己的真實想法，并在交流活動中使意見趨于統(tǒng)一，從中得到提高。教學按預定的設計執(zhí)行下來，總體感到課堂思路清晰、節(jié)奏明快，課堂氣氛活躍，基本完成了課前預設的目標，說明課前在學生層面所做的分析是準確的。感到最成功之處是：學生的數(shù)學思維能力得到了培養(yǎng)，學生的學力得到了訓練提高。教育家奧蘇貝爾指出，影響學習的最重要因素是學生已經(jīng)知道了什么，我們應當根據(jù)學生原有的知識狀況去進行教學。因而，在教學中，教師了解學生的真實的思維活動是一切教學工作的實際出發(fā)點。教師應當“接受”和“理解”學生的真實思想，盡管它可能是錯誤的或幼稚的，但卻具有一定的“內(nèi)在的”合理性，教師不應簡單否定，而應努力去理解這些思想的產(chǎn)生與性質(zhì)等等，只有真正理解了學生思維的發(fā)生發(fā)展過程，才能有的放矢地采取適當?shù)慕虒W措施以便幫助學生不斷改進并最終實現(xiàn)自己的目標。感到遺憾的這節(jié)課時間上比較緊，后面練習講評顯得很急促，深入反思教學過程，教學理念還不先進，總認為一節(jié)課內(nèi)容含量多比較好，注重講授的量，而沒有更多的照顧到每一個個體的有學習情況。所以我重新設想：本節(jié)課分成兩節(jié)課來學習，第一節(jié)學習拋物線的定義及推導，然后鞏固求軌跡的方法。讓每一個學生有充分的時間參與交流討論，有充分讓學生表現(xiàn)的機會。更要關(guān)注一些“困難生”學習情況的了解，在尊重他們的意見和思考成果的同時，啟發(fā)他們反思自身的思維漏洞，糾正錯誤，還給他一個正確的認識。
第四篇：圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案
圓錐曲線教案 拋物線的定義及其標準方程教案
教學目標
1．使學生理解拋物線的定義、標準方程及其推導過程，并能初步利用它們解決有關(guān)問題．
2．通過教學，培養(yǎng)學生觀察、聯(lián)想、類比、猜測、歸納等合情推理的方法，提高學生抽象、概括、分析、綜合的能力，既教猜想，又教證明．
3．培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想理解有關(guān)問題． 教學重點與難點
拋物線標準方程的推導及有關(guān)應用既是教學重點，又是難點． 教學過程
師：請同學們回憶橢圓和雙曲線的第二定義．
生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點的軌道，當e＜1時，是橢圓，當e＞1時，是雙曲線．
(計算機演示動畫——圖2-45)
(1)不妨設定點F到定直線l的距離為p．
(2)通過提問，讓學生思考隨著e的變化曲線的形狀的變化規(guī)律．同時演示動畫，讓學生充分體會這種變化規(guī)律，為學生猜測e=1時曲線形狀奠定基礎(chǔ)．
師：那么，當e=1時，軌跡的位置和形狀是怎樣的？大膽地猜一猜！(可請學生直接畫出自己想象中曲線的形狀，并利用投影展示．)師：同學的猜測對不對呢？請同學看屏幕．(圖2-46)
我們利用電腦精確地計算展示到定點F的距離和它到定直線距離的比為1的點的軌跡．
師：你見過這種曲線嗎？(拋物線)這就是我們這節(jié)課主要的研究對象．(師板書課題——拋物線的定義及其標準方程)師：能否給拋物線下個定義？
生：與一個定點的距離和一條定直線的距離的比是1的點的軌跡叫拋物線． 師：換句話說，就是與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
(投影)平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線．點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線．
師：它的方程是什么樣子呢？我們可以預先做一個估計．
如圖2-47(1)，橢圓的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：
如圖2-47(2)，雙曲線的圖形是關(guān)于x軸、y軸和原點對稱的，其方程為：
在方程中都僅有x、y的二次項．
當e=1時，圖形變成了開口的一支，從而喪失了關(guān)于y軸和原點的對稱性，那么方程將會發(fā)生怎樣的變化？
生：在方程中，一定會失去x2項，而且會出現(xiàn)x的一次項，(否則方程變成y2=b2，它表示直線．)所以方程應為Ay2+Bx+C=0的形式．
師：同學的猜測對不對呢？可否從理論上給予說明？ 生：建立直角坐標系． 師：如何建立？
學生甲：取經(jīng)過定點F且垂直于定直線l的直線為x軸，設x軸與l相交于點K，以線段KF的垂直平分線為y軸，設所求軌跡上一點坐標為M(x，y)．
師：點M滿足什么條件？
生：到定點F的距離和到定直線l的距離的比是1． 師：這些條件能否轉(zhuǎn)化成點M的坐標所滿足的條件？
請同學化簡上式，并通過投影展示演算過程，得：y2=2px．(1)師：顯然符合預想的形式．這個方程就叫作拋物線的標準方程． 在你以往的學習過程中，是否見到過類似這種形式的方程？ 生：二次函數(shù)的表達式．
師：若將x與y換個位置，它就是缺少一次項和常數(shù)項的二次函數(shù)，而曲線的形狀也與拋物線完全一致．
師：由于拋物線開口方向的不同，共有4種不同情況．(計算機演示——圖2-48)
師：請同學們寫出其它3種情況下的標準方程、焦點坐標及準線方程，并說明理由．
觀察圖形，分辨這些圖有何相同點和不同點．
生：共同點有：①原點在拋物線上．②對稱軸為坐標軸．③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數(shù)的絕對值的四分之一． 不同點：①拋物線的焦點在x軸上時，方程左端是y2，右端是2px；當拋物線的焦點在y軸上時，方程左端是x2，右端是2py．②開口方向與x軸(y軸)正半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的正半軸上，方程右端取正號．
開口方向與x軸(y軸)負半軸同向時，焦點在x軸(y軸)的負半軸上，方程右端取負號．
師：作為應用，請同學們看下面的例題．(展示投影)例1(1)已知拋物線的標準方程是y2=6x，求它的焦點坐標和準線方程；(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，-2)，求它的標準方程．
(2)分析 要求拋物線的標準方程，需①確定焦點在y軸的負半軸上，②求出p值．
例2 經(jīng)過拋物線的焦點F，作一條直線垂直于x軸，和拋物線相交，兩個交點的縱坐標為y1，y2．求y1·y2的值．(計算機演示圖形——圖2-49)
師：首先弄清題意——條件有哪些？求什么？如何求？
(師板書)
故y1·y2=-p2．
師：還有其他辦法嗎？可否根據(jù)拋物線的定義？
生：如圖2-50，根據(jù)拋物線的定義，|AF|=|BF|=|AM|=p，故y1·y2=-p2．
引申1：上例中若缺少“垂直于x軸”的條件，結(jié)果怎樣？(計算機演示動畫——圖2-51)
師：由于缺少垂直的條件，上例中的方法均不適用了． 怎樣求交點坐標？
生：只需求直線方程與拋物線方程的公共解． 師：如何建立直線方程？ 生：利用點斜式．
(請同學自行寫出解題過程，并利用投影儀展示解題過程．)
與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得：
引申2：以AB為直徑的圓和準線具有怎樣的位置關(guān)系？(計算機演示動畫——圖2-52)
學生乙：以AB為直徑的圓和準線相切．
師：能否給予證明？這作為思考題，請同學們課下完成． 師：請同學小結(jié)這節(jié)課的內(nèi)容．
(拋物線的定義；p的幾何意義；標準方程的4種形式．)作業(yè)：
課本第98頁習題八：1，2． 設計說明 1．關(guān)于教學過程
(1)由于拋物線的定義是本章的主要內(nèi)容之一，因而將它作為教學目標之一．(2)MM教學方式在課堂教學中十分重視的一個方面就是合情推理方法的運用，邏輯思維能力的提高以及良好個性品質(zhì)的培養(yǎng)．這對于提高學生的一般科學素養(yǎng)，形成和發(fā)展他們的數(shù)學品質(zhì)，必將起著十分重要的作用，因而制定了目標2．(3)按照大綱的要求，在教學中培養(yǎng)學生運用數(shù)學思想方法解決有關(guān)問題，據(jù)此制定了目標3．
2．關(guān)于教學重點
為實現(xiàn)教學目標，把充分展現(xiàn)拋物線的定義及標準方程的探索、發(fā)現(xiàn)、推理的思維過程和知識形成的過程作為本節(jié)課的重點．
3．關(guān)于教學方法
按照MM教學方式“學習、教學、研究同步協(xié)調(diào)原則”和“二主方針”，運用問題性，給學生創(chuàng)造一種思維情境，一種動腦、動手、動口的機會，提高能力、增長才干，采用啟發(fā)式．
4．關(guān)于教學手段
利用計算機輔助教學，演示圖形的動態(tài)變化過程，彌補傳統(tǒng)教學手段(如投影片、模型等)的不足之處．
(1)在新課引入部分，通過動畫演示，使學生充分理解并且掌握3種圓錐曲線的統(tǒng)一定義，以及曲線形狀變化與常數(shù)e的大小之間的關(guān)系．
(2)在拋物線定義的引入部分，利用電腦精確測算“兩個距離”，以及動點M的任意選取，充分展示了滿足條件的點的軌跡，避免了傳統(tǒng)教學中此處的生硬與牽強．
(3)在例2及引申中也采用動畫演示，彌補了投影片無法實現(xiàn)的動態(tài)效果． 5．關(guān)于教學過程
(1)復習內(nèi)容的確定，旨在通過聯(lián)想，為運用類比方法探索拋物線的定義奠定基礎(chǔ)．
(2)通過引導學生觀察橢圓、雙曲線圖形的變化規(guī)律，類比、聯(lián)想、進而猜想出e=1時軌跡形狀是拋物線，然后進行推理證明．即通過既教猜想、又教證明這一MM可控變量的操作，旨在揭示科學實驗的規(guī)律，從而暴露知識的形成過程，體現(xiàn)科學發(fā)現(xiàn)的本質(zhì)，培養(yǎng)學生合理推理能力、邏輯推理能力、科學的思維方式、實事求是的科學態(tài)度及勇于探索的精神等個性品質(zhì)．
(3)學以致用是教學的主要目標之一，在例題求解過程中，運用波利亞一般解題方法，培養(yǎng)學生合理的思考問題，清楚地表達思想和有條不紊的工作習慣．(4)讓學生小結(jié)，充分發(fā)揮學生的主觀能動性，提高學生分析、概括、綜合、抽象能力．
第五篇：拋物線的定義及其標準方程教學設計案例
拋物線的定義及其標準方程教學設計
1、目標和目標解析
（1）知識目標：
理解并掌握拋物線的定義及其標準方程；會求拋物線的標準方程。
（2）能力目標：
通過“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動，培養(yǎng)學生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力，使學生學會數(shù)學思考與推理，學會反思與感悟，形成良好的數(shù)學觀。并進一步感受坐標法及數(shù)形結(jié)合的思想
2、教學問題診斷
坐標法求拋物線的標準方程是本節(jié)課的重點和難點。通過合作交流，探究不同的建系方案，對比所得方程的異同，使學生認識到恰當建立坐標系的重要性，進一步感受坐標法的思想。在推導拋物線四種形式的標準方程的過程中，理解焦參數(shù)的幾何意義；能根據(jù)條件求出拋物線的標準方程；會根據(jù)拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程。根據(jù)以上教學內(nèi)容及要求，擬定教學重、難點如下
（1）教學重點：拋物線的定義及其標準方程。
（2）教學難點：拋物線定義的形成過程及拋物線標準方程的推導
3、教學支持條件分析
新課程大力倡導積極主動、勇于探索的學習方式，為的是使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展學生的創(chuàng)新意識。在本節(jié)課中，將通過適當?shù)膯栴}情景，在“實驗”、“觀察”、“思考”、“探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學活動中，引導學生自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題。課堂上真正以學生發(fā)展為本，鼓勵學生積極參與教學活動，包括思維的參與和行為的參與；鼓勵學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學的規(guī)律和問題解決的途經(jīng)，使他們經(jīng)歷知識形成的過程。最大限度地讓學生在活動中學習，在主動中發(fā)展，在合作中增知，在交流中深入，在探究中創(chuàng)新，并達成教與學的互促互動、相得益彰的良性循環(huán)的最優(yōu)局面。
教學方法：啟導探究式
教學用具：多媒體課件
4、教學過程設計
（1）設置情景，引發(fā)探究
①課件演示：用幾何畫板設置一個直觀性問題情景，已知F是平面上一個定點，是平面上不過點F的一條定直線，點M到定點F的距離和到定直線的距離的比是一個常數(shù)e，改變這兩個距離大小的關(guān)系（即常數(shù)e的大小），觀察動點M的軌跡。
②學生觀察：兩個距離大小的變化；并追蹤：動點M得到的軌跡形狀。然后記下實驗追蹤結(jié)果。
③學生交流：當o＜e＜1時動點M得到的軌跡是橢圓；當e＞1時是雙曲線。
④引發(fā)探究：進而引發(fā)探究欲望：當e=1時，它又是什么曲線呢？
設計意圖：數(shù)學教學需要一定問題情景的支撐，恰當?shù)膯栴}情景能
激起學生的情感體驗，有利于學生學習興趣的激發(fā)，也有利于學生良好數(shù)學觀的形成。因此，在教學中，應力求通過恰當問題情景的創(chuàng)設，讓學生產(chǎn)生積極的學習心態(tài)，在具體的情景中實現(xiàn)知識的學習。上述教學設計通過信息技術(shù)設置一個直觀性問題情景，激發(fā)了學生探究的欲望，這時學生自然地產(chǎn)生了探究當動點到一定點距離與定直線距離相等（即）時點的軌跡到底是什么的強烈愿望。讓學生在“觀察”、“思考”、“探究”等活動中，自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題。
（2）觀察歸納，形成定義
①觀察：當e=1時，曲線上的動點滿足怎樣幾何特征？讓學生通過獨立思考和互相討論，并交流看法。針對學生的回答進行引導，把學生的思維一步步引入發(fā)現(xiàn)規(guī)律的最近區(qū)域，最終使得學生發(fā)現(xiàn)：曲線上的點到定點的距離和到一條定直線的距離相等。
②歸納：拋物線的定義
要求學生用自己的語言描述什么樣的曲線是拋物線。規(guī)范學生的語言描述，提出拋物線定義的書面文字。
定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線。點F叫做拋物線的焦點，直線叫做拋物線的準線。強調(diào)定義的中心句和關(guān)鍵詞（讓學生自己找出）。并與橢圓、雙曲線的定義進行比較。
③反思：在拋物線定義中，要注意定點F不在定直線上。若定點F在定直線上，則動點的軌跡又是什么圖形呢？（此時退化為過F點且與直線垂直的一條直線）。
④欣賞：讓同學們說一說生活中有哪些圖形是拋物線。然后教師用幻燈片播放一些典型的拋物線型標志性建筑，如中國的趙州橋，世界第一大拱橋——盧浦大橋、北京奧運會主場館的拱頂、夜色下噴水池噴出的彩色水流等，讓學生欣賞審美，陶冶情操，激發(fā)興趣。
設計意圖：由上述直觀性問題情景引出了拋物線定義，順理成章。教學中處處注重師生之間的互動，注重學生觀察、比較、分析、概括能力的培養(yǎng)，注重反思環(huán)節(jié)的落實。通過學生親身實踐、主動思維，讓學生在實踐中得到體驗，在反思中產(chǎn)生感悟，使學生學會思考并養(yǎng)成自主學習、勇于探索的良好習慣。通過讓學生動口參與教學活動，培養(yǎng)了學生自然觀察的能力和數(shù)學語言的表達能力；同時通過欣賞生活中一些拋物線型建筑，不但加強了學生對拋物線的感性認識，而且使學生受到美的享受，陶冶了情操。
（3）合作交流，導出方程
①類比：類比橢圓、雙曲線標準方程的建立過程（用屏幕顯示圖形），讓學生認真捉摸坐標系的位置特點，感悟求拋物線的方程應建立怎樣的直角坐標系最好（力求使其方程形式最簡單）。也可以幫助學生回顧初中二次函數(shù)圖象的平移變化，從而感悟到要得到拋物線的最簡方程，必須使圖象過坐標原點（可使常數(shù)項為零）；使圖象的對稱軸為x軸（或y軸）（可使方程中不含y（或x）的一次項）。
②合作：師生合作共同推導拋物線的標準方程
請學生將自己的感悟畫在紙板上。學生分兩人一組互相討論，老師展示幾組學生的建系方案，一一作出評價。
選擇正確的一個建系方案師生一起探究拋物線方程的建立。
如推導焦點F在x軸正半軸上的拋物線標準方程。
設焦點F在x軸的正半軸上，焦點F到準線L的垂線段FN的垂直平分線為y軸，設|FN|=p。
請學生口頭敘述焦點F的坐標和準線L的方程。
師生共同推導出拋物線方程：y2=2px（p>0）
指出這個方程叫做拋物線的標準方程。它表示焦點F在x軸正半
軸上，頂點在原點的拋物線，其準線為
③反思：建系方案的合理性。
在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為一條坐標軸建立坐標系。這樣使標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原點，方程不含常數(shù)項，形式更為簡單，便于應用。
④探究：拋物線的標準方程的其它形式
在建立橢圓、雙曲線的標準方程時，選取不同的坐標系我們得到了不同形式的標準方程。那么拋物線的標準方程還有哪些不同形式？
讓學生分組求出其它三種形式的標準方程，師生協(xié)作，填充拋物線標準方程的分類表格
再反思：拋物線四種形式的標準方程與圖形間的對應關(guān)系及它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。從前面求橢圓、雙曲線、拋物線標準方程的過程中，你是否深刻感悟到：求軌跡方程時，如何才能建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>
設計意圖：教學過程是師生互相交流、共同參與的過程。數(shù)學通過交流，才能得以深入發(fā)展，數(shù)學思想才能變得更加清晰；通過多邊合作，又可以增強學生的合作能力與群體創(chuàng)造意識。教學中，只有在師生密切合作、共同探索的氛圍中數(shù)學交流才能得以真正實施。上述設計在探究拋物線標準方程時，通過師生的對話交流、密切合作和信息的互動，讓學生體驗合作交流探究的學習過程，并自覺地建構(gòu)起拋物線標準方程的知識系統(tǒng)。
（4）練習反饋，鞏固提高
①會根據(jù)拋物線的標準方程，求出焦點坐標、準線方程
例1已知拋物線的標準方程是，求它的焦點坐標和準線方程（教材例1之（1））。
變式：求下列拋物線的焦點坐標和準線方程：
⑴；⑵；
感悟：你能說明二次函數(shù)的圖象為什么是拋物線嗎？如何才能正確地求出它的焦點坐標、準線方程？
②能根據(jù)條件求出拋物線的標準方程
例2已知拋物線的焦點是F，求它的標準方程（教材例1之（2））。
變式：已知拋物線的焦點F到準線L的距離為4。根據(jù)下列條件求此拋物線的標準方程。
（1）若焦點F在y軸正半軸上；
（2）若焦點F在y軸上；
（3）若焦點F在x軸上；
（4）若焦點F在坐標軸上。
（5）焦點在直線上（均由學生口答）
感悟：
①求給定拋物線的標準方程的基本方法是：待定系數(shù)法。關(guān)鍵是
定軸向——求p值——寫方程。（若開口方向不定，則要注意分類討論的思想。）
②在認識事物的過程中，我們不僅要善于從一些不同的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的共同點，還要善于從一些相似的事物中去發(fā)現(xiàn)它們的不同點。
設計意圖：以課本例題為本，通過變式訓練這一環(huán)節(jié)，既讓學生鞏固和加深對拋物線及其標準方程的理解，又使學生在“練”的過程中通過反思、感悟，不斷調(diào)整自己的認識結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗結(jié)構(gòu)，完成人的經(jīng)驗自主建構(gòu)的過程。
（5）自我總結(jié)，提煉升華
讓學生回憶并小結(jié)、提煉本節(jié)課學習內(nèi)容：
①拋物線的定義（其本質(zhì)屬性）；
②拋物線的標準方程（注意四種形式的異同）；
③求拋物線標準方程的基本方法：待定系數(shù)法。關(guān)鍵是：定軸向——求p值——寫方程。
設計意圖：引導學生自我反饋、自我總結(jié)，并對所學知識進行提煉升華。讓學生學會學習，學會內(nèi)化知識的方法與經(jīng)驗，促進目標達成。
5、目標檢測設計
（1）書面作業(yè)：A組1（2）、（4）；4（1）（2）（必做）
補充：求經(jīng)過點p（4，—2）的拋物線的標準方程。（選做）
（2）課后探究：
①的幾何意義是焦點到準線的距離，其實也是拋物線的定形條件。你能說出焦參數(shù)對拋物線的開口大小有什么影響嗎？
②同學們在初中學習過二次函數(shù)，為什么二次函數(shù)的圖象是拋物線？
設計意圖：為體現(xiàn)以學生發(fā)展為本的理念，使不同學生在數(shù)學上獲得不同的發(fā)展，本作業(yè)依一定梯度進行設計，并拋出兩個課后探究性問題，既是對本節(jié)課有關(guān)內(nèi)容的延伸、拓展，回應了本節(jié)課內(nèi)容，又是為下繼內(nèi)容作些鋪墊、畜勢，讓學生有“意尤未盡”之感。同時形成開放性學習環(huán)境，滿足了不同學生的需要，體現(xiàn)了個性化的學習，目的是努力使每一位學生都能得到成功的體驗。
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