第一篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 教學(xué)反思

關(guān)于《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教案設(shè)計(jì)與反思

我是一名高中數(shù)學(xué)老師，我選取的教學(xué)資源片斷是《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》的教案設(shè)計(jì)，下面就此片斷談?wù)勎覍?duì)如何提高有效教學(xué)能力，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生有效學(xué)習(xí)的看法。

此片斷的設(shè)計(jì)意圖是讓學(xué)生通過橢圓與雙曲線第二定義的對(duì)比，總結(jié)出拋物線的定義；通過拋物線的定義推導(dǎo)出（焦點(diǎn)在x軸上，開口向右）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而通過對(duì)比寫出（不用推導(dǎo)）焦點(diǎn)在x軸開口向左、焦點(diǎn)在y軸開口向上、焦點(diǎn)在y軸開口向下三種情況拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；對(duì)上述四種形式拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行列表總結(jié)，加深印象、幫助理解；會(huì)直接運(yùn)用定義解決一些簡(jiǎn)單的拋物線問題，進(jìn)而會(huì)從生活實(shí)例中抽象出拋物線問題解決；培養(yǎng)學(xué)生的觀察、聯(lián)想、對(duì)比的能力，滲透類比、數(shù)形結(jié)合、建模的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)而提高學(xué)生建模和解決實(shí)際問題的能力。

上完這節(jié)課后，我的預(yù)期目標(biāo)基本完成。我認(rèn)為此教案設(shè)計(jì)的優(yōu)點(diǎn)有：

1、課前，我認(rèn)真?zhèn)湔n做了充分的準(zhǔn)備：制作了課件，運(yùn)用多媒體教學(xué)，這樣既節(jié)省了作圖時(shí)間圖形又很規(guī)范；教學(xué)流程循序漸進(jìn)、學(xué)生更容易接受；

2、對(duì)比橢圓與雙曲線第二定義的異同引入新課，符合邏輯，引入拋物線的定義、推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、列表總結(jié)拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程、最后是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程些簡(jiǎn)單應(yīng)用，循序漸進(jìn)的教學(xué)流程、井然有序的教學(xué)過程，讓學(xué)生對(duì)拋物線的理解更為深刻；

3、在教學(xué)過程中，充分體現(xiàn)了學(xué)生的主體性和教師的主導(dǎo)性，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)思考、發(fā)現(xiàn)問題并解決問題，如引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)離心率的范圍的問題引出拋物線的定義，進(jìn)而推導(dǎo)出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其它三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程；

4、列表總結(jié)，拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程及相應(yīng)的圖形、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線，學(xué)生自己總結(jié)，幫助理解并加深印象；

5、在教學(xué)過程中，滲透類比、數(shù)形結(jié)合、建模的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、對(duì)知識(shí)的遷移能力和歸納總結(jié)能力。使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)不是純理論的“紙上談兵”，而是可以并且也就是為了解決實(shí)際問題的存在，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是基礎(chǔ)學(xué)科的不可撼動(dòng)的地位！，最為一名剛上班一年的年輕教師，此片斷可能也存在一定的問題，有些地方也值得進(jìn)一步探討。如：如何進(jìn)一步調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生多思考、多討論，突出課堂教學(xué)中學(xué)生的“主體性”地位等。因此，我要更加努力，多向指導(dǎo)老師請(qǐng)教、多與同事交流，不斷改進(jìn)、力求進(jìn)一步提高自己的有效教學(xué)能力！

謝謝各位評(píng)委老師，歡迎各位評(píng)委老師批評(píng)指正！

第二篇：《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)反思

《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是人教版高中數(shù)學(xué)（選修2—1）中的內(nèi)容，適用對(duì)象是高二年級(jí)理科的學(xué)生。學(xué)生在初中階段所學(xué)的二次函數(shù)中，已經(jīng)初步接觸過拋物線。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解拋物線所形成的幾何本質(zhì)。在研究橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)上，通過類比來研究拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握研究曲的基本方法，并為他們今后學(xué)習(xí)解析幾何奠定良好的基礎(chǔ)。

本課在新課標(biāo)思想的指導(dǎo)下，結(jié)合前后的知識(shí)內(nèi)容及學(xué)生的特點(diǎn)和認(rèn)知規(guī)律，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教師現(xiàn)場(chǎng)用幾何畫板進(jìn)行演示，讓學(xué)生對(duì)拋物線由感性認(rèn)識(shí)開始，歸納出拋物線的定義，逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，并根據(jù)定義推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。在課堂教學(xué)中，充分發(fā)揮多媒體的資源優(yōu)勢(shì)，利用計(jì)算機(jī)作為輔助手段，動(dòng)態(tài)演示拋物線的圖像，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，有效地協(xié)助完成了師生探究活動(dòng)。充分將信息技術(shù)和學(xué)科教學(xué)有機(jī)地整合起來，有利于突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，有利于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)得以深化。充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人。

在教學(xué)中結(jié)合新課標(biāo)的思想，從三個(gè)維度出發(fā)，制定如下的教學(xué)目標(biāo)：由實(shí)例感知，得出拋物線的定義，并推導(dǎo)出其標(biāo)準(zhǔn)方程，在實(shí)際應(yīng)用中進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想。使學(xué)生了解拋物線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程；知道它們的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；使用拋物線的定義求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線方程。

同時(shí)能使學(xué)生初步根據(jù)拋物線的特征選擇不同的解決問題的方法。體會(huì)拋物線在生活中的應(yīng)用，學(xué)會(huì)在生活中用數(shù)學(xué)的方法去解釋生活中的問題。了解拋物線的實(shí)際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問題中的作用。通過設(shè)置豐富的問題情境，鼓勵(lì)從多角度思考、探索、交流，激發(fā)學(xué)生的好奇心和主動(dòng)學(xué)習(xí)的欲望；通過拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成利用數(shù)形結(jié)合解決問題的習(xí)慣。

不足之處：課堂容量稍顯大些，給學(xué)生自己思考的時(shí)間空間不夠。

第三篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

公開課教案

課題：2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

授課班級(jí)：高二18班（實(shí)驗(yàn)樓四樓）授課時(shí)間：10.11早上第二節(jié) 執(zhí)教：魏金寶 教學(xué)目標(biāo)：

1.學(xué)生理解并掌握拋物線的定義，掌握拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其推導(dǎo)。

2.明確拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中P的幾何意義，能解決簡(jiǎn)單的求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題。教學(xué)難點(diǎn)：拋物線概念的形成

教學(xué)重點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的理解和運(yùn)用 教學(xué)環(huán)節(jié)：

環(huán)節(jié)一，回顧橢圓、雙曲線的定義，回顧橢圓和雙曲線的第二定義，引入拋物線。環(huán)節(jié)二，觀察和分析拋物線的形成過程，得出拋物線的定義并建系求解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

環(huán)節(jié)三：講解例題，學(xué)生課堂練習(xí)。環(huán)節(jié)四：介紹圓錐曲線名稱的來歷。環(huán)節(jié)五：小結(jié)，布置作業(yè)。附：教學(xué)設(shè)計(jì)PPT

第四篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)設(shè)計(jì)案例

課程分析：拋物線是解析幾何的重要組成部分，是今后學(xué)習(xí)解析幾何的基礎(chǔ)。本節(jié)對(duì)拋物線的教學(xué)，是在學(xué)生對(duì)于拋物線基本知識(shí)和研究方法已經(jīng)熟悉的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，所以學(xué)習(xí)時(shí)采用了類比的方法，讓學(xué)生通過自主研究、合作交流等方式自己構(gòu)建新知識(shí)。

學(xué)情分析：《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》高中數(shù)學(xué)（選修2-1）中的內(nèi)容，適用對(duì)象是高二年級(jí)的學(xué)生。學(xué)生在初中階段所學(xué)的二次函數(shù)中，已經(jīng)初步接觸過拋物線。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生進(jìn)一步了解拋物線所形成的幾何本質(zhì)。在研究橢圓和雙曲線的基礎(chǔ)上，通過類比來研究拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，讓學(xué)生進(jìn)一步掌握研究曲線的基本方法，并為他們今后學(xué)習(xí)解析幾何奠定良好的基礎(chǔ)。類比學(xué)習(xí)時(shí)，要注意知識(shí)上的相似點(diǎn)和不同點(diǎn)，要注意加以區(qū)別，以防混淆。設(shè)計(jì)理念：本節(jié)課主要采用了誘思探究教學(xué)，改變了傳統(tǒng)教學(xué)中滿堂灌的教學(xué)方法，讓學(xué)生自己動(dòng)手探索新知識(shí)新問題。通過日常生活中存在的數(shù)學(xué)問題創(chuàng)設(shè)情境引出新知，充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生探討問題的積極性；考慮到學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的能力較弱，設(shè)置了一系列探究問題，幫學(xué)生鋪設(shè)好臺(tái)階，引導(dǎo)學(xué)生討論、主動(dòng)探索，自己構(gòu)建新知識(shí)，鼓勵(lì)提出不同見解，發(fā)表個(gè)人看法，真正成為課堂的主人。要讓學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過程體會(huì)到發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，充分發(fā)揮情意因素的作用。自制多媒體課件，用幾何畫板制作。通過多媒體，增強(qiáng)了教學(xué)的直觀性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)生興趣，同時(shí)又可提高課堂效率；使用了投影儀，迅速快捷地展示學(xué)生的解題方案，便于課堂討論和點(diǎn)評(píng)，不斷優(yōu)化學(xué)生思維，規(guī)范學(xué)生解題過程。建立了一種多媒體、大容量、高效率的教學(xué)模式，并通過這種教學(xué)示范培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)。學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、理解拋物線的定義，并能根據(jù)拋物線的定義恰當(dāng)?shù)倪x擇坐標(biāo)系，建立及推導(dǎo)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

2、了解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，培養(yǎng)分析、歸納、推理等能力。

3、掌握用待定系數(shù)法求拋物線方程的方法，并能根據(jù)條件確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)流程：

1、創(chuàng)設(shè)情境

復(fù)習(xí)：（1）出示課件中的橢圓圖像，讓學(xué)生說出橢圓的第二種定義（屏幕顯示橢圓的定義 ：到定點(diǎn)與到定直線的距離的比是小于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。）

（2）出示課件中的雙曲線圖像，讓學(xué)生說出雙曲線的第二種定義。（屏幕顯示雙曲線的定義：到定點(diǎn)與到定直線的距離的比是大于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。）

2、概念形成： 探究問題1：通過比較橢圓和雙曲線的定義思考：到定點(diǎn)的距離和到定直線的距離的比是等于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么？ 動(dòng)畫演示拋物線的形成

（實(shí)錄：學(xué)生觀察曲線，更好的從圖象上了解拋物線）（點(diǎn)評(píng)：通過類比更好的凸現(xiàn)了拋物線的獨(dú)特之處）

屏幕顯示拋物線定義：到定點(diǎn)與到定直線的距離的比是等于1的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即拋物線。

3、概念深化

問題：建立曲線方程一般有哪幾個(gè)步驟？

（學(xué)生回憶 建系--設(shè)點(diǎn)--列式--化簡(jiǎn)--證明）探究問題2：如何選擇合適的坐標(biāo)系建立方程？

（實(shí)錄：學(xué)生結(jié)合剛才在幾何畫板上所做的拋物線，思考、討論該如何建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，教師巡視、傾聽，然后讓學(xué)生發(fā)言。學(xué)生共同探討出多種方案，其中有3種最為常見。

生1：以l為y軸，過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。

生2：以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。

生3：過焦點(diǎn)F作直線FN垂直于直線l，垂足為N。以直線NF為x軸，線段NF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系）

探究問題3：請(qǐng)?jiān)谶@三種建系方案下推導(dǎo)出拋物線的方程。提示以定義為依據(jù)求拋物線的方程。

（實(shí)錄：學(xué)生自己動(dòng)手求解，紛紛發(fā)言，說出三種方案所求的結(jié)果。教師巡視、指導(dǎo)）

（點(diǎn)評(píng)：學(xué)生自己動(dòng)手在不同的方案下推導(dǎo)方程，可以進(jìn)一步激發(fā)學(xué)習(xí)的熱情，有助于增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果，加深對(duì)知識(shí)的理解。讓學(xué)生分組動(dòng)手，在三個(gè)建系方案下進(jìn)行推導(dǎo)，然后通過對(duì)比得出標(biāo)準(zhǔn)方程，使學(xué)生更能體會(huì)不同坐標(biāo)系下方程的差異，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)及對(duì)應(yīng)參數(shù)的意義。）

探究問題4：通過以上過程的比較，哪種方案的結(jié)果具有較簡(jiǎn)單的形式？

（實(shí)錄：學(xué)生對(duì)比發(fā)現(xiàn)第3種方案的結(jié)果不僅具有較簡(jiǎn)單的形式，而且方程中的一次項(xiàng)系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離的兩倍。教師就勢(shì)引導(dǎo)： 這個(gè)方程就叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，參數(shù)p的幾何意義：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離；焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(x??p2p2,0)，準(zhǔn)線方程為：）

（點(diǎn)評(píng)：一題多解并選擇最優(yōu)解。給學(xué)生自己探索的空間，讓學(xué)生共同體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，提高分析問題的能力。學(xué)生在合作交流、與人分享、探討的氛圍中傾聽、質(zhì)疑、表述，體驗(yàn)成功的喜悅；學(xué)會(huì)合作，并在合作中懂得欣賞他人）

探究問題5：拋物線其他三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。開口向右的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2?2px(p?0)，那么，對(duì)于開口向左、向上、向下的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程又是什么呢？類比開口向右的拋物線，把表格一一完善。

（實(shí)錄：投影學(xué)生答案，引導(dǎo)學(xué)生把圖形的位置特征和方程的形式結(jié)合起來記憶。）

探究問題6：通過四種標(biāo)準(zhǔn)方程的對(duì)比，從方程的形式上看，可以得出標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像有何聯(lián)系？

（實(shí)錄：學(xué)生先各自獨(dú)立思考，然后四人一組，互相討論，小組之間互相交流意見，不能達(dá)成共識(shí)的請(qǐng)教老師。最后，得出：①方程的一次項(xiàng)決定焦點(diǎn)位置；②一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)決定開口方向）

（點(diǎn)評(píng)：通過表格的形式，讓學(xué)生自主探求其中的關(guān)系，使學(xué)生從整體上理解和掌握四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程及其圖形）

、遷移運(yùn)用

例1根據(jù)下列拋物線的方程分別求出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

①y2=4x ②x2=-8y ③y=2x2

（實(shí)錄：學(xué)生分組討論，各抒己見，互相補(bǔ)充。及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，并將學(xué)生的解法投影，展示學(xué)生的成果，學(xué)生感覺比較有成就感）

（點(diǎn)評(píng)：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，挖掘?qū)W生的潛能，鼓勵(lì)學(xué)生大膽創(chuàng)新與實(shí)踐。要讓學(xué)生在自主探索和合作交流過程中獲得基本數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，進(jìn)一步深化方程與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的關(guān)系）

例2 根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

①經(jīng)過點(diǎn)P(-2,-4)

②拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2

③以直線2x-3y+6=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)

（實(shí)錄：學(xué)生分組討論，互相補(bǔ)充。將學(xué)生的解法投影，展示學(xué)生的成果，及時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)）

（點(diǎn)評(píng)：題目層次清晰，由淺入深，借助幾何畫板分析題目，增強(qiáng)直觀性）

5、歸納總結(jié)，升華提高 學(xué)生分組討論本節(jié)內(nèi)容，師生共同整理完善：（1）拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的形式（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與圖像的關(guān)系

（3）數(shù)學(xué)思想方法：（數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化思想）

（點(diǎn)評(píng):總結(jié)知識(shí)難度較大，因此設(shè)計(jì)學(xué)生討論且教師要適時(shí)點(diǎn)撥。學(xué)生通過反思總結(jié)提高了自己獲取知識(shí)的能力以及歸納概括能力，同時(shí)使自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)更完整，知識(shí)更系統(tǒng)化）

6、反饋檢測(cè)，鞏固落實(shí)

（1）根據(jù)下列拋物線的方程分別求出它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

①y2=-14x

②x2=18y ③y=-12x2

（2）根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

①經(jīng)過點(diǎn)P(2,-4)②拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為8

（點(diǎn)評(píng)：通過設(shè)計(jì)與本節(jié)知識(shí)平行的題目，檢測(cè)學(xué)生對(duì)本節(jié)課所學(xué)知識(shí)的掌握程度，落實(shí)知識(shí)情況，達(dá)到反饋矯正的目的。學(xué)生動(dòng)手解答，展示出部分學(xué)生的解題過程，學(xué)生互相點(diǎn)評(píng)，可以進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解程度）

（通過檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生掌握得比較好）

7、布置作業(yè)

必作題：根據(jù)下列條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

1、經(jīng)過點(diǎn)P(8,16)

2、以直線4x-3y+12=0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)

選作題：已知拋物線y2=6x和點(diǎn)A(4,0).求拋物線上一點(diǎn)M與A距離的最小值，并指出M的坐標(biāo)。

（點(diǎn)評(píng)：分層次布置作業(yè)，讓有能力的學(xué)生能更好的發(fā)揮自己的能力）課后反思：本節(jié)課根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行設(shè)計(jì)，并且讓學(xué)生真正成 為了課堂的主人。通過實(shí)物觀察和課件展示，學(xué)生積極思考，互相合 作，共同探究得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，他們的創(chuàng)造性思維得到了發(fā) 展；通過一系列思考和練習(xí)，學(xué)生加深了對(duì)知識(shí)和方法的理解。課堂 氣氛非?；钴S。

優(yōu)點(diǎn)：本節(jié)課的教學(xué)達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)目標(biāo)，通過“類比－ 猜想－驗(yàn)證－歸納”得出拋物線的定義，使學(xué)生體會(huì)到定義產(chǎn)生的全 過程，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。利用計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)，將信息技術(shù)和課 堂教學(xué)有機(jī)地結(jié)合起來，有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的認(rèn)知和理解，有效地突 出了數(shù)形結(jié)合的思想。

不足：有時(shí)引導(dǎo)相對(duì)過細(xì)，沒能給學(xué)生創(chuàng)造更大的自主探索空間。

第五篇：拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例

市教案設(shè)計(jì)一等獎(jiǎng)

高中數(shù)學(xué)“情境·問題·反思·應(yīng)用”

——“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”教學(xué)案例

梁

家

斌

（江蘇省金湖中學(xué)，江蘇 金湖 211600）

摘要：通過幾何畫板及Fash的演示，使學(xué)生直觀感受拋物線的形成過程，然后學(xué)生運(yùn)用類比的方法，自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：拋物線；標(biāo)準(zhǔn)方程；教學(xué) 1 教學(xué)設(shè)計(jì)

1.1 教學(xué)內(nèi)容分析

圓錐曲線是解析幾何中的一個(gè)重要內(nèi)容，本章圓錐曲線分為橢圓、雙曲線和拋物線三個(gè)部分，三部分在圓錐曲線中的地位相同。本章對(duì)拋物線的安排篇幅不多，并非其不重要，主要是因?yàn)閷W(xué)生對(duì)于橢圓、雙曲線的基本知識(shí)和研究方法已經(jīng)熟悉了，這里精簡(jiǎn)介紹，學(xué)生是完全可以接受的，講解時(shí)應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生自主研究、合作交流等方式得出拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，最后反思應(yīng)用。本課是高二數(shù)學(xué)§8.5的第一課時(shí)，它是學(xué)習(xí)拋物線的性質(zhì)及其應(yīng)用的基礎(chǔ)。拋物線的定義很簡(jiǎn)單但非常重要，學(xué)習(xí)時(shí)要注意和橢圓、雙曲線的第二定義相聯(lián)系，為深刻體會(huì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備。由橢圓、雙曲線、拋物線的定義可以看出，它們都是平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條直線的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，隨著e的變化，軌跡的圖形發(fā)生變化，既可從中得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，又可對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。在由拋物線的定義導(dǎo)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，可先讓學(xué)生考慮怎樣選擇坐標(biāo)系，在導(dǎo)出方程的過程中，設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是p，這就是拋物線方程中參數(shù)p的幾何意義，所以p的值永遠(yuǎn)大于0。1.2 數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)

筆者上這一節(jié)課的時(shí)間是2003年12月10日上午第二節(jié)，當(dāng)時(shí)的背景是淮安市高

一、高二數(shù)學(xué)研討會(huì)在我校舉行，圍繞新課改的精神，如何進(jìn)行課堂教學(xué)上的一節(jié)公開課。筆者設(shè)置了以下的數(shù)學(xué)情境：

前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？

與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)是橢圓，當(dāng)e＞1時(shí)是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時(shí)，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示得出e=1，指出此時(shí)曲線是拋物線。1.3 教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)教學(xué)大綱和考試說明，結(jié)合數(shù)學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)，確定本節(jié)課的素質(zhì)教育目標(biāo)是： ⑴知識(shí)教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程。

⑵能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，掌握拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論、類比的思想。

⑶德育滲透目標(biāo)：根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育。2 教學(xué)過程 2.1 創(chuàng)設(shè)情境

師：前面我們一起研究了橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)，大家想一想：橢圓、雙曲線的第二定義的內(nèi)容是什么？

生：與一個(gè)定點(diǎn)的距離和一條定直線的距離的比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)是橢圓，當(dāng)e＞1時(shí)是雙曲線，那么，當(dāng)e=1時(shí)，它是什么曲線呢？

師生一起利用幾何畫板進(jìn)行動(dòng)畫演示得出e=1，指出此時(shí)曲線是拋物線。

（通過幾何畫板的演示，由e的變化揭示課題，通過研究e的值，得到拋物線，再觀察拋物線的點(diǎn)滿足的條件，由學(xué)生歸納拋物線的定義，生動(dòng)、直觀。）2.2 探索研究

1、實(shí)驗(yàn)、演示，觀察猜想。幾何畫板課件演示：

學(xué)生觀察 ① 動(dòng)點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離|MF|與動(dòng)點(diǎn)M到定直線l的距離d之間的關(guān)系；② 觀察追蹤動(dòng)點(diǎn)M得到的軌跡形狀。

探索出當(dāng)e ＝1時(shí)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為拋物線，進(jìn)而給出拋物線的定義。

2、拋物線的定義：

平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線.點(diǎn)F叫拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.3、求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。師：下面，根據(jù)拋物線的定義，我們來求拋物線的方程，過F作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K，設(shè)｜MK｜＝p，如何建立直角坐標(biāo)系？

先讓學(xué)生思考，獨(dú)立建立直角坐標(biāo)系，教師巡視，從學(xué)生中歸納出以下幾種解法，視頻展臺(tái)展出。

y2＝2px－p2(p＞0)

y2＝2px＋p2(p＞0)

y2＝2px(p＞0)

師：選擇哪一種方程作為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程？并說明理由。

生：將方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，因?yàn)榇藭r(shí)方程最簡(jiǎn)潔，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。師：很好！我們把方程y2＝2px(p＞0)叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是(p/2,0),準(zhǔn)線方程是x＝－p/2。（Flash動(dòng)畫演示）

強(qiáng)調(diào)：① p的幾何意義；

② 已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px（p>0），迅速寫出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程； ③ 已知拋物線的焦點(diǎn)F（p/2，0）或準(zhǔn)線方程x＝－p/2（p>0），迅速寫出其標(biāo)準(zhǔn)方程。練習(xí)：已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝6x，則焦點(diǎn)坐標(biāo)是________；準(zhǔn)線方程是_____________。生：焦點(diǎn)(3/2, 0)，準(zhǔn)線方程是x＝－3/2。

4、討論四種位置上的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程

利用Fash，設(shè)置一個(gè)旋轉(zhuǎn)按鈕將焦點(diǎn)在x軸正半軸上的拋物線（上圖）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)分別得到下列圖形，由學(xué)生說出標(biāo)準(zhǔn)方程，焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程。

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程：y2＝－2px（p>0）

x2＝2py（p>0）

x2＝－2py（p>0）焦

點(diǎn)：F(－p/2,0)

F(0，p/2)

F(0，－p/2)準(zhǔn)線方程：x＝p/2

y＝－p/2

y＝p/2 師：觀察上面的圖與表格，觀察、歸納，尋找異同？ 生：相同點(diǎn) ① 頂點(diǎn)為原點(diǎn)； ② 對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸；

③頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，其值為p(p＞0)。不同點(diǎn) ①一次項(xiàng)變量為x（或y），則焦點(diǎn)在x（或y）軸；若系數(shù)為正，則焦點(diǎn)在正半軸上，系數(shù)為負(fù)，則焦點(diǎn)在負(fù)半軸上；

② 焦點(diǎn)在x（或y）軸的正半軸上，開口向右（向上），焦點(diǎn)在x（或y）軸的負(fù)半軸上，開口向左（向下）。

（學(xué)生先歸納，師然后點(diǎn)評(píng)）

師：知道拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，如何寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程？

生1：先確定焦點(diǎn)的位置，然后根據(jù)表格寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程。

生2：先觀察方程的結(jié)構(gòu)，若一次項(xiàng)變量為x，則焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的1/4，縱坐標(biāo)為0；若一次項(xiàng)變量為y，則焦點(diǎn)的縱坐標(biāo)是一次項(xiàng)系數(shù)的1/4，橫坐標(biāo)為0。2.3 反思應(yīng)用

例1 已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，－2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.生：因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，并且所以所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=－8y.變：

⑴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=－6x，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿＿＿； 生：焦點(diǎn)(－3/2,0)，準(zhǔn)線方程x＝3/2 ⑵拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y=－x2/8，則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)是＿，準(zhǔn)線方程是＿； 生：焦點(diǎn)(0，－2)，準(zhǔn)線方程x＝2 ⑶拋物線的焦點(diǎn)F(0,3)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是________； 生：x2＝12y ⑷拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝3,則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是＿＿＿＿＿＿； 生：x2＝－12y ⑸拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，且過點(diǎn)(－3,2)，則它的標(biāo)準(zhǔn)方程是_____； 生：由拋物線過點(diǎn)(－3,2)，且焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)方程為y2＝－2px(p>0), 將點(diǎn)(－3,2)代入方程得p＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。

師：大家想一想，在橢圓（或雙曲線）中，若橢圓（雙曲線）經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，我們是如何設(shè)方程的？

生：一般化，設(shè)mx2＋ny2＝1(m>0,n>0)師：這里能否一般化？

生2：能！∵拋物線的焦點(diǎn)在x軸上，∴設(shè)方程y2＝mx(m≠0)將點(diǎn)(－3,2)代入方程得m＝－4/3，所以方程為y2＝－4x/3。例2 求適合下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 ⑴過點(diǎn)(－3,2)；

生：設(shè)方程為y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入得

y2 ＝－4x/3或 x2＝9y/2 ⑵焦點(diǎn)為直線l：2x＋y－4＝0與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。生：先求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（2,0）或（0,4），故標(biāo)準(zhǔn)方程為y2 ＝8x或 x2＝16y 例3 點(diǎn)P(2,y)為拋物線y2＝8x上的一點(diǎn)，F(xiàn)是它的焦點(diǎn)，則|PF|＝______，y＝_____。

生：由拋物線y2＝8x知準(zhǔn)線方程x＝－2，根據(jù)拋物線的定義知|PF|等于點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離4，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程有y＝±4。

師：解決這類問題，首先心中要有一個(gè)圖形，利用定義求解是關(guān)鍵。變：若點(diǎn)Q為拋物線的一點(diǎn)，⑴若|QF|＝4，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_________； 生：(2,±4)⑵|QF|的最小值是_______； 生：2 ⑶若A(3,4),則|QA|＋|QF|的最小值是____，此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)是_______。生：5；（2,4）2.4 歸納總結(jié)

師：下面請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，這節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容？

生：⑴拋物線的定義、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、標(biāo)準(zhǔn)方程等基本知識(shí)及其相互聯(lián)系； ⑵理解p的幾何意義，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，p>0；

⑶掌握用坐標(biāo)法求曲線方程的方法，要注意選好坐標(biāo)系的恰當(dāng)位置。師：用到了哪些數(shù)學(xué)思想方法：

生：坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合、待定系數(shù)法、定義法 師：一起觀看表格，并填充（表在幾何畫板上）3 回顧反思

這堂課受到聽課教師和學(xué)生的好評(píng)，主要是因?yàn)榘褜W(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)交給學(xué)生，利用幾何畫板創(chuàng)設(shè)情境，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容直觀、生動(dòng)，抓住解析幾何的核心─數(shù)形結(jié)合。3.1創(chuàng)設(shè)情境是上好課的基礎(chǔ)

利用幾何畫板從學(xué)生已有的知識(shí)進(jìn)行遷移，采用類比的方法讓學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、合作交流，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力。3.2恰當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題

在上課前需要事先預(yù)想學(xué)生可能會(huì)提出的問題以及可能提出的解決方法，但是也不能忽視學(xué)生的發(fā)散思維，在講授過程中并不是每一個(gè)環(huán)節(jié)都能按照教師預(yù)想的步驟進(jìn)行，對(duì)于課堂上突發(fā)性的問題，教師要能自如地應(yīng)對(duì)。比如，在如何建立直角坐標(biāo)系求方程時(shí)，有一個(gè)學(xué)生提出以FK為y軸，F(xiàn)K的中垂線為x軸，雖然與我們的過程不一致，也要加以肯定與鼓勵(lì)，其實(shí)從另一個(gè)角度來看，反而是一件好事，為我們后面談其它三種形式埋下引子。3.3 變式訓(xùn)練，提高學(xué)生解題能力與思維深度

在本例中，我們圍繞例1進(jìn)行變式訓(xùn)練，師生圍繞幾個(gè)典型問題展開了充分的討論，學(xué)生在質(zhì)疑、討論、總結(jié)的過程中，理解了拋物線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，形成了自己的數(shù)學(xué)思想方法，更觸發(fā)了學(xué)生積極思考、勤奮探索的動(dòng)力，開發(fā)了學(xué)生的智慧源泉，實(shí)現(xiàn)了舉一反

三、觸類旁通的效果。3.4 教師的反思