第一篇：二面角教案

二面角教案

教學目標

1．使學生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步運用它解決實際問題；

2．引導(dǎo)學生探索和研究“二面角的平面角”應(yīng)該如何定義，在概念形成的過程中，發(fā)展學生的思維能力．

教學重點和難點

本課的重點是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本課的難點是“二面角的平面角”概念形成的過程． 教學設(shè)計過程

教師：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？

學生：從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角．

教師：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

學生；直線a，b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點O，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．

它們的共同特征是都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角． 教師：請同學們觀察下面的幾個問題．

（當教師說完上述話后，利用多媒體技術(shù)，讓學生通過計算機看兩個例子）例子之一：

鏡頭一：淡藍色的地球．（圖片）

鏡頭二：火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星．（錄相）

鏡頭三：人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，最后畫出衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面．

讓學生觀察這兩個平面相交成一定的角度． 例子之二：

鏡頭一：人走在坡度不太大的橋上．（錄相）鏡頭二：人在爬山．（錄相）鏡頭三：攀巖運動．（錄相）

鏡頭四：演示下面動態(tài)圖象．（讓水平面靜止不動，坡面在不斷變化，目的是讓學生看到，在生活實踐中，有許多問題要涉及到兩個平面相交所成的角的情形）

（注意：四個鏡頭要連續(xù)編排在一起進行演示，時間一分鐘）

教師：如何給二面角下定義呢？下面我們用類比的辦法，與角的概念對比，探討二面角的定義．

這一段教學采用計算機輔助手段，每一個問題分三步完成，首先給出平面角的問題，然后請學生思考并回答二面角的問題，最后計算機顯示正確結(jié)果．這部分共有四個問題，全部研究完畢后，將整個過程列成一個總表，顯示在屏幕上．

教師：請看角的圖形，思考二面角的圖形． 學生可以將自己畫的圖展示給大家． 計算機顯示：二面角的圖形．

教師：（給出平面角的定義）請同學們給二面角下定義． 顯示：從平面內(nèi)一點出發(fā)的兩條射線所組成的圖形． 學生：（口答）

計算機顯示：從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形． 教師：平面角由射線—點—射線構(gòu)成．二面角呢？ 學生：二面角由半平面—線—半平面構(gòu)成． 教師：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后計算機顯示整個過程．

教師：經(jīng)過上面的研究我們已經(jīng)看到，平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點旋轉(zhuǎn)形成的圖形；類似地，一個半平面繞其界線旋轉(zhuǎn)到一定位置所得到的圖形，就是二面角．

教師：二面角與平面內(nèi)的角一樣，是可以比較大小的，其比較方法，與平面內(nèi)的角的大小的比較方法類似．

（教師讓學生打開書本）

打開書本的過程，給我們一種二面角的大小連續(xù)變化的形象．（前面看到的爬山問題也是如此）

教師：用量角器可以量出平面內(nèi)的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？

比如，這里有一個對頂量角器和一個三角木塊（直三棱柱）模型，你們能用我們自制的對頂量角器來量出三角木塊模型的某兩面角的大小嗎？比如平面α與β的夾角？

教師：一般地說，量角器只能測量“平面角”（指兩條相交直線所成的角．相應(yīng)地，我們把異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，均稱為空間角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我們以往是如何度量某些角的？

學生：分別通過“取點、平移（相交）”（對異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對斜線與平面所成的角）去度量的．

教師：這些做法的共同點是什么？ 學生：都是將空間角化為平面角．

教師：對！再回到剛才的量角操作，你是怎樣用對頂量角器去量二面角α-l-β的大小呢？

學生：將對頂量角器的一個角的兩邊靠緊二面角的兩個面，角的頂點則在二面角的棱上．

教師：大家注意，實際上同學們量的是一個平面內(nèi)的角：∠BAC．這個角的頂點在二面角的棱上，它的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)且與棱垂直．而且對于確定的二面角，這樣的角的大小是唯一的，確定的，我們把它叫做二面角的平面角．

（對于訓(xùn)練有素，肯于思考的學生可能會提出下面的問題）

學生：若以棱a上任意一點O為端點，在兩個面內(nèi)作與棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的兩條射線OA′，OB′，由空間等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，為什么不用這樣的角定義二面角的平面角？

教師：記∠AOB=θ，∠A′OB′= ．當OA′，OB′在平面AOB同側(cè)時θ＞ ；當OA′，OB′在平面AOB異側(cè)時θ＜ ．請看圖6：

設(shè) A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得：

x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），當OA′，OB′在平面AOB的同側(cè)時，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由（*）知，與θ之間會有常數(shù)關(guān)系，這將給表示，尤其是計算、應(yīng)用帶來諸多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，當平面α⊥平面β時；

≠90°，當半平面α與半平面β在同一平面時，=2θ′≠180°，都與已有知識和經(jīng)驗不符，不能直觀反映出空間兩個相交平面的相對位置關(guān)系。

教師板書二面角的平面角的定義．

定義 以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：“二面角的平面角”的定義三個主要特征是什么？ 學生：過棱上任意一點（0∈a），分別在兩個面內(nèi)作射線（OA β），射線垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．

α，OB

教師：經(jīng)過上面的研究我們看到，二面角的大小，可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是幾度，就說這個二面角是幾度．

教師：許多立體幾何問題，若能正確地作出圖形，則問題就便于解決．若能正確地作出二面角的平面角乃是解決這類問題的關(guān)鍵步驟．下面我們總結(jié)一下作二面角平面角的幾種基本方法．如何利用定義作二面角的平面角呢？

學生：在二面角的棱a上任意取一點O為端點，在面α，β內(nèi)分別引垂直于棱a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：如何利用三垂線定理作二面角的平面角呢？

學生：在二面角α-a-β的面α上任取一點A，過A分別作棱a和另一面β的垂線AO和AB（O，B分別是垂足），連BO；或者過A作面β的垂線AB，又過垂足B引棱a的垂線BO，連AO；則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：能否用作垂面的辦法作二面角的平面角呢？

學生：過二面角的棱a上任一點O，作平面γ與該棱垂直（作棱的垂面），平面γ與α，β分別交于OA，OB，則可用∠AOB來度量二面角α-a-β的大?。?/p>

教師：下面我們研究一道例題．

題目：如圖11，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？

（投影打出下圖）

（此例是一個實際應(yīng)用問題，難度較低，一般不易引起人們的注意，但教師應(yīng)深入思考，講清下面幾點）

分析：

1．建模過程

此例的求解首先要對實際圖形作出想象理解，然后在教學中抽象出數(shù)學模型．雖然建模過程難度較低，但教學中應(yīng)主要向?qū)W生滲透建模的思想和增強學生對立體幾何中一些基本圖形的認識與理解．

設(shè)過AB的水平面為α，坡面DAB所在的平面為β，CD=100m．

本題要求“升高了多少米”？即是求點D到水平面α的距離DH．這自然會想到解直角三角形DHC，但該直角三角形不可解，故必須另尋途徑．（如圖，利用計算機顯示在屏幕上）

再看看給出的條件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？過D在平面β內(nèi)作DG⊥AB，G是垂足，再連結(jié)HG，則根據(jù)三垂線定理，可得HG⊥AB，則∠DGH就是該二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根據(jù)∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的邊角關(guān)系，就可以求出DH．

2．提煉方法

此例的求解是應(yīng)用三垂線定理作二面角的平面角的典型例子，也是立體幾何的一個基本方法．為了強化此法，應(yīng)在本節(jié)練習中配套出相應(yīng)的題目．這表明在教學中加強對基本方法的提煉、理解是很有必要的，也是加強通法教學的具體表現(xiàn)．

練習：

①在30°二面角的一個面內(nèi)有一個點，它到另一個面的距離是a，求它到棱的距離．

②把邊長為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C兩點的距離．

3．導(dǎo)出等式 在圖12中，不妨從一般性出發(fā)，記∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引導(dǎo)學生從例題圖形中推導(dǎo)出等式：

①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3．

這樣的練習既鍛煉了學生的動手能力，還揭示了例題的引申功能，使例題的作用突出，導(dǎo)向明確，極有利于學生對知識串聯(lián)、累積、加工，從而達到舉一反三的作用．

sinθ1=sinθ2sinθ．

cosθ2=cosθ1cosθ3．

4．挖掘引申

教師在學生導(dǎo)出等式①，②后，把課堂教學進一步引向深入，對等式①，②作出說明與解釋．

由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，說明沿山坡直道CD上山時與水平面所成的角θ1不大于山坡的傾斜度，這使例題的實際性增強，又使學生在教學過程中對數(shù)學知識與實際生活進行比較、聯(lián)系、評價，突出了數(shù)學應(yīng)用的廣泛性，進一步強化了學生的應(yīng)用意識，從而有利于學生數(shù)學素養(yǎng)的提高．

小結(jié)

1．空間的“二面角”，是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣．處理問題的思想方法是將“空間的角”轉(zhuǎn)化為“平面的角”來處理．定義的原則是：這個“平面角”的大小必須是由空間的角完全確定而且是唯一的．

2．凡是涉及到二面角的幾何問題，都要根據(jù)題目的條件，在圖形的恰當位置作出二面角的平面角，主要方法有“定義法”，“應(yīng)用三垂線定理”和“作垂面”的方法．我們將在下一課做進一步的研究．

布置作業(yè) 1．閱讀課本．

2．正四面體ABCD，求側(cè)面與底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果兩個二面角的兩個面對應(yīng)平行，那么這兩個二面角相等或互補． 課堂教學設(shè)計說明

本節(jié)課屬于新授課型．應(yīng)主要把握下述幾個方面．

1．要有良好的鋪墊．數(shù)學教學的過程，實質(zhì)上就是原有認知結(jié)構(gòu)不斷地同化或順應(yīng)的能動過程．學生原有的認知結(jié)構(gòu)，始終是關(guān)系遷移功能的一個關(guān)鍵的因素．為了有效遷移和建構(gòu)，就應(yīng)認真尋找和了解學生的原認知，及時組織改造和喚起這些關(guān)鍵因素，為學習新的知識提供基礎(chǔ)．主要要做到三個方面的鋪墊：（1）知識性鋪墊．（2）技能性鋪墊．（3）原理性鋪墊．

2．抓著新知識的導(dǎo)入點．新課導(dǎo)入就是在新舊問題之間架起一座“認知橋梁”，從而順利實現(xiàn)遷移．導(dǎo)入時要尋求新舊問題的最短距離，要瞄準新舊關(guān)系的最佳方位，要把握新舊轉(zhuǎn)換的最精確表達．

3．新授課的重點是新授．新授是一堂課的重要環(huán)節(jié)，也是學生思維最活躍、最緊張、最有效的認知高潮．因此，新授過程應(yīng)確保在教學中的最佳時域進行．要讓學生有觀察、動手、表達、思考、交流、表現(xiàn)等時機，讓學生真正成為學習的主人，主動地和生動地進行認知建構(gòu)．

4．做好課堂鞏固．鞏固的主要目的就是幫助學生建立起關(guān)于某道范例的思維模式，形成積極有益的認知定勢作為學習優(yōu)勢去解決實際問題．這樣的鞏固練習，不能單純停留于對范例的模仿上，而應(yīng)恰當?shù)刈儞Q形式或角度，集中突破教學難點和重點．

5．做好作業(yè)的選題、批改、訂正、講評，進一步提高學習質(zhì)量．

第二篇：教案-二面角的求法

教學目標：

學會用不同方法求二面角

知識歸納：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形，叫做二面角（這條直線叫做二面角的棱，每個半平面叫做二面角的面)。二面角的大小可以用它的平面角度來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度，平面角是直角的二面角叫做直二面角。

例題講解：

一、定義法：

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角, 這條直線叫做二面角的棱, 這兩個半平面叫做二面角的面，在棱上取點，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角的平面角。

本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例1中從二面角S—AM—B中半平面ABM上的一已知點（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）；在另一半平面ASM內(nèi)過該垂足（F）作棱AM的垂線（如GF），這兩條垂線（BF、GF）便形成該二面角的一個平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個可解三角形，然后借助直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。

例1（2009全國卷Ⅰ理）如圖，四棱錐S-ABCD

AD=2，DC=SD=2，點M在側(cè)棱SC上，?ABM

求二面角S-AM-B的大小。ABCD為矩形，SD?底面ABCD，=60°（I）證明：M在側(cè)棱SC的中點（II）

練習1（2008山東）如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，?ABC=60?,E，F(xiàn)分別是BC, PC的中點.（Ⅰ）證明：AE⊥PD;（Ⅱ）若H為PD上的動

6點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為2，求二面角E—AF—C的余弦值.分析：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過證AE⊥AD后推出AE⊥平面APD，使命題獲證，而第2題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計算出各線段的長度之后，考慮到運用在二面角的棱AF上找到可計算二面角的平面角的頂點S，和兩邊SE與SC，進而計算二面角的余弦值。

二、三垂線法

三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直．通常當點P在一個半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。

本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過二面角B-FC1-C中半平面BFC上的一已知點B作另一半平面FC1C的垂線，得垂足O；再過該垂足O作棱FC1的垂線，得垂足P，連結(jié)起點與終點得斜線段PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度數(shù)。

例2．(2009山東卷理)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,AA1=2,E、E1、F分別是棱AD、AA1、AB的中點。（1）證明：直線EE1//平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值。

練習2（2008天津）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=22,?PAB=60（Ⅰ）證明AD?平面PAB；（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P-BD-A的大小．

分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問題，在證明AD⊥平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB⊥平面ABCD，點P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個點，于是可過點P 作棱BD的垂線，再作平面ABCD的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。

?

三、補棱法

本法是針對在解構(gòu)成二面角的兩個半平面沒有明確交線的求二面角題目時，要將兩平面的圖形補充完整，使之有明確的交線（稱為補棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當二平面沒有明確的交線時，一般用補棱法解決

例3（2008湖南）如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.分析：本題的平面PAD和平面PBE沒有明確的交線，依本法顯然要補充完整（延長AD、BE相交于點F，連結(jié)PF.）再在完整圖形中的PF.上找一個適合的點形成二面角的平面角解之。

練習3已知斜三棱柱ABC—A1B1C1的棱長都是a，側(cè)棱與底面成60的角，側(cè)面BCC1B1⊥底面ABC。

（1）求證：AC1⊥BC；

（2）求平面AB1C1與平面 ABC所成的二面角（銳角）的大小。

提示：本題需要補棱，可過A點作CB的平行線L

o

四、射影面積法（cosq=S）S

S）求出二面角的大小。S

PC?AB（Ⅱ）求二面角凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個半平面上的射影圖形面積的都可利用射影面積公式（cos??例4．（2008北京理）如圖，在三棱錐

P-ABCAC=BC=2，?ACB=90，AP=BP=AB，PC?ACo

B-AP-C的大??；

分析：本題要求二面角B—AP—C的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面ABP與平面ACP中建立一對原圖形與射影圖形并分別求出S原與S射 于是得到下面解法。

練習4： 如圖5，E為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中點，求平面AB1E和底面A1B1C1D1所成銳角的余弦值.分析平面AB1E與底面A1B1C1D1交線即二面角的棱沒有給出，要找到二面角的平面角，則必須先作兩個平面的交線，這給解題帶來一定的難度?？紤]到三角形AB1E在平面A1B1C1D1上的射影是三角形A1B1C1，從而求得兩個三角形的面積即可求得二面角的大小。

五、向量法

向量法解立體幾何中是一種十分簡捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時，通常要建立空間直角坐標系，寫出各點的坐標，然后將幾何圖中的線段寫成用坐標法表示的向量，進行向量計算解題。

例4：（2009天津卷理）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=1AD(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證

2明平面AMD?平面CDE； 求二面角A-CD-E的余弦值

練習

5、（2008湖北）如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC?側(cè)面A1ABB1.（Ⅰ）求證：AB?BC（Ⅱ）若直線AC與平面1ABC所成的角為?,二面角A1-BC-A的大小為?，試判斷?與?的大小關(guān)系，并予以證明.上述五種二面角求法中，前三種方法可以說是三種增添輔助線的一般規(guī)律，后兩種是兩種不同的解題技巧

第三篇：“二面角”教學設(shè)計

“二面角”教學設(shè)計

一、教學內(nèi)容解析

“二面角”在人教版新課標教材《必修2》第二章第三節(jié)第二小節(jié)的一個子內(nèi)容，它的主要用途在于去定義兩平面垂直關(guān)系，同時它也是繼討論了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后的另一種自然的空間角。在《必修2》中教材沒有例題進行二面角的計算，只是在小節(jié)習題中以正方體為背景設(shè)計了一個題，在《選修2-1》的第三章第二節(jié)中教材著重的加強了利用空間向量的工具去解決二面角的計算。

“二面角”的內(nèi)容在以前的大綱版教材中是專設(shè)一節(jié)來進行詳細的介紹，以及對二面角平面角的找尋進行了細致的劃分，諸如：定義法，三垂線定理法等。對比兩個版本教材的編寫情況可以看出，本節(jié)在新課程中主要起到的作用是更好地理解兩平面垂直的關(guān)系，而且對前面兩者——直線與直線的垂直，直線與平面的垂直起著銜接和完善整個關(guān)系體系的作用。

故而，“二面角”這節(jié)的重點應(yīng)該是理解概念，以及通過學習本節(jié)讓學生在各自的思維中構(gòu)建整個知識脈絡(luò)，建立相關(guān)關(guān)系。

二、教學目標設(shè)置

在《說明》中對《必修2》教材第二章“點、直線、平面之間的位置關(guān)系”的目標設(shè)置為能用數(shù)學語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對某些結(jié)論進行論證，以及以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點，通過直觀感知、操作確認、思辨論證，認識和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。

又在《說明》中對《選修2-1》教材第三章“空間向量與立體幾何”的目標設(shè)置為能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用，足以見得，對于二面角這個子內(nèi)容的作用就是過渡，提出面面垂直的定義。

故而，在本節(jié)我設(shè)計的目標要求如下：

（1）引導(dǎo)學生探索和研究兩平面垂直應(yīng)該如何定義，在概念形成的過程中，使得學生認同學習“二面角”概念的必要，并發(fā)展學生的思維。

（2）在經(jīng)歷概念形成的過程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、學生學情分析

在學習“二面角”之前，學生已經(jīng)學習了空間中兩直線的垂直定義，兩直線所成角的定義，直線與平面垂直的定義和直線與平面所成角的定義，至此學生已經(jīng)具備一定的空間想象力和概括能力，在這里很自然的能夠聯(lián)想到缺少了兩個平面垂直的關(guān)系，兩個平面的垂直是生活中常見的形式，學生能夠去感受，而數(shù)學是嚴格的，也就自然會想該怎樣去定義這種關(guān)系，根據(jù)前兩種關(guān)系從“角度”出發(fā)的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是勢在必然。

不過這其中的矛盾就在于角是能夠觀察出圖形，關(guān)鍵在于怎樣去計算“二面角”的大小，它的大小又是用哪個角去代替，兩面中有很多的線，哪個線更直接，更方便，教學的難點就在這里，是要讓學生達成共識，對二面角的平面角的“代表性”進行認同。

四、教學問題診斷分析

學生對“二面角”學習的必然性能夠水到渠成，但在其中的確切定義的理解會出現(xiàn)差異，從名稱可以看出應(yīng)是兩個平面組成的角，但實際是兩個半平面，而且在尋找到二面角平面角后，對平面角的認同也會存在著一定的誤區(qū)，就是忽略兩個半平面內(nèi)的射線需垂直于棱。本節(jié)知識沒有理解的難點，因為有具體的空間為想象的基礎(chǔ)，只是在其中有需要去具體細化的概念。

五、教學過程 1．課題引入

首先讓學生一起來回顧一下前面剛學習的直線與平面垂直的判定定理，再讓學生去回顧直線與平面垂直的定義，直線與直線垂直的定義，在兩直線垂直的定義中可以發(fā)現(xiàn)是從90o角去定義的，再喚起學生對直線與平面所成角定義的印象，即直線與平面垂直是可以從90o的線面角去描述的，從而引出新課題從哪個角度去定義兩平面垂直。2．探究二面角的定義

先展示兩個平面相交的圖形，如圖①，從圖中就可以感受到有四個角的形式，而且從大小的方面也可以體會到有對頂角相等的情況，借此機會教師提出疑問，什么時候才能夠說對頂角，當然是在兩直線相交的情況，所以教師通過軟件從不同的角度去觀察兩個平面相交的情形，就會有如圖②的情況。

圖②

圖①

面縮成了直線，線變成了點，那就會有角的真實存在了，既然換一個觀察角度可以把兩個平面所成的角變成平面角，那么“二面角”的定義就可以類比到平面角的定義，借此教師引導(dǎo)學生回憶平面中的角的定義從而自然得到“二面角”的定義。

再類比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定義

平面中的角是有大小的，而且兩個平面的展開形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也應(yīng)該有大小。問題就來了，“二面角”的大小該用哪個角去表示呢？用一點時間讓學生像剛才一樣利用身邊的工具——課本，打開課本就可以形成一個“二面角”，然后從不同的角度去觀察變化過程中有哪個平面角與之相對應(yīng)。

教師就利用軟件展示一個動態(tài)的過程，形成統(tǒng)一的認識，如圖③。

圖③

再讓二面角的其中一個半平面繞著棱進行旋轉(zhuǎn)變化，觀察“二面角”與∠POQ的變化對應(yīng)關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)關(guān)系，后引導(dǎo)學生觀察∠POQ的特征，故而給出“二面角”平面角的具體概念。

4．對比其他空間角的度量形式

異面直線所成的角是學生進入立體幾何的第一類空間角，它的定義是通過平移讓直線相交后所形成的角為異面直線的角，在空間中從不同角度觀察兩異面直線，便可得到如圖④。

從圖中可以觀察出，“二面角”平面角的找尋實際也是自然的。

圖④ 5．完善點、直線、平面垂直關(guān)系

有了描述兩個平面角度形式的“二面角”后，那么就可以從90o去定義兩個平面的垂直，同時也就完善了整個關(guān)系體系，即每種垂直關(guān)系都可以從各種形式的角為90o去描述，對比直線與直線平行。直線與平面平行，平面與平面平行一樣都可以從無交點去描述。

第四篇：二面角練習課

二面角練習課

教學目標

1．使學生進一步掌握好二面角及二面角的平面角的概念；

2．使學生掌握求二面角平面角的基本方法，不斷提高分析問題和解決問題的能力． 教學重點和難點

重點：使學生能夠作出二面角的平面角；

難點：根據(jù)題目的條件，作出二面角的平面角． 教學設(shè)計過程

重溫二面角的平面角的定義．

（本節(jié)課設(shè)計的出發(fā)點：空間圖形的位置關(guān)系是立體幾何的重要內(nèi)容．解決立體幾何問題的關(guān)鍵在于做好：定性分析，定位作圖，定量計算，其中定性是定位、定量的基礎(chǔ)，而定量則是定位，定性的深化．在面面關(guān)系中，二面角是其中的重要概念之一，它的度量歸結(jié)為平面上角的度量，一般說來，對其平面角的定位是問題解決的關(guān)鍵一步．可是學生往往把握不住其定位的基本思路而導(dǎo)致思維混亂，甚至錯誤地定位，使問題的解決徒勞無益．這正是本節(jié)課要解決的問題．）

教師：二面角是怎樣定義的？

學生：從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角． 教師：二面角的平面角是怎樣定義的？

學生：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：請同學們看右圖．

如圖1：α，β是由l出發(fā)的兩個半平面，O是l上任意一點，OC α，且OC⊥l；OD β，且OD⊥l．這就是二面角的平面角的環(huán)境背景，即∠COD是二面角α-l-β的平面角．從中我們可以得到下列特征：

（1）過棱上任意一點，其平面角是唯一的；（2）其平面角所在平面與其兩個半平面均垂直；

另外，如果在OC上任取一點A，作AB⊥OD，垂足為B，那么由特征（2）可知AB⊥β．突出l，OC，OD，AB，這便是另一特征．

（3）體現(xiàn)出一完整的三垂線定理（或逆定理）的環(huán)境背影．

由于二面角的平面角是由一點和兩條射線構(gòu)成，所以二面角的定位可化歸為“定點”或“定線”的問題．

特征（1）表明，其平面角的定位可先在棱上取一“點”．耐人尋味的是這一點可以隨便取，但又總是不隨便取定的，它必須與問題背影互相溝通，給計算提供方便．

例1 已知：如圖2，四面體V-ABC中，VA=VB=VC=a，AB=BC=CA=b，VH⊥面ABC，垂足為H，求側(cè)面與底面所成的角的大?。?/p>

分析：由已知條件可知，頂點V在底面ABC上的射影H是底面的中心，所以連結(jié)CH交AB于O，且OC⊥AB，由三垂線定理可知，VO⊥AB，則∠VOC為側(cè)面與底面所成二面角的平面角．（圖2）

正因為此四面體的特性，解決此問題，可以取AB的中點O為其平面角的頂點，而且使得題設(shè)背影突出在面VOC上，給進一步定量創(chuàng)造了得天獨厚的條件．

特征（2）指出，如果二面角α-l-β的棱l垂直某一平面γ，那么l必垂直γ與α，β的交線，而交線所成的角就是α-l-β的平面角．（如圖3）

由此可見，二面角的平面角的定位可以考慮找“垂平面”．

例2 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿對角線BD把△ABD折起，使點A在平面BCD上的射影A′落在BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

在Rt△AA′O中，∠AA′O=90°，課堂練習

1．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E為BC的中點，求面B1D1E與面BB1C1C所成的二面角的大小的正切值．

練習1的環(huán)境背景表明，面B1D1E與面BB1C1C構(gòu)成兩個二面角，由特征（2）可知，這兩個二面角的大小必定互補．

為創(chuàng)造一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，線段C1D1會讓我們眼睛一亮，我們只須由C1（或D1）作B1E的垂線交B1E于O，然后連結(jié)OD1（或OC1）即得面D1B1E與面CC1B1E所成二面角的平面角∠C1OD1，2．將棱長為a的正四面體的一個面與棱長為a的正四棱錐的一個側(cè)面吻合，則吻合后的幾何體呈現(xiàn)幾個面？

分析：這道題，考生答“7個面”的占99.9％，少數(shù)應(yīng)服從多數(shù)嗎？

從例題中三個特征提供的思路在解決問題時各具特色，它們的目標分別是找“點”、“垂面”、“垂線段”．事實上，我們只要找到其中一個，另兩個就接踵而來．掌握這種關(guān)系對提高解題技能和培養(yǎng)空間想象能力非常重要．

本題如果能融合三個特征對思維的監(jiān)控，可有效地克服、抑制思維的消極作用，培養(yǎng)思維的廣闊性和批判性．

如圖9，過兩個幾何體的高線VP，VQ的垂足P，Q分別作BC的垂線，則垂足重合于O，且O為BC的中點．

OP延長過A，OQ延長交ED于R，考慮到三垂線定理的環(huán)境背影，∠AOR為二面角A-BC-R的平面角，結(jié)合特征（1），（2），可得VAOR為平行四邊形，VA∥BE，所以V，A，B，E共面．

同理V，A，C，D共面．

所以這道題的正確答案應(yīng)該是5個面．

（這一階段的教學主要是通過教師精心設(shè)計的一組例題與練習題，或邊練邊評，或由學生一鼓作氣練完后再逐題講評，達到練習的目的．其間要以學生“練”為主，教師“評”為輔）

由例

1、例2和課堂練習，我們已經(jīng)看到二面角的平面角有三個特征，這三個特征互相聯(lián)系，客觀存在，但在許多問題中卻表現(xiàn)得含糊而冷漠，三個特征均藏而不露，在這種形勢下，需認真探索．探索體現(xiàn)出一完整的三垂線定理的環(huán)境背景，有了“垂線段”，便可以定位．

例3 如圖10，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中點，F(xiàn)在AA1上，且A1F∶FA=1∶2，求平面B1EF與底面A1C1所成的二面角大小的正切值．

分析：在給定的平面B1EF與底面A1C1所成的二面角中，沒有出現(xiàn)二面角的棱，我們可以設(shè)法在二面角的兩個面內(nèi)找出兩個面的共點，則這兩個公共點的連線即為二面角的棱，最后借助這條棱作出二面角的平面角．

略解：如圖10．

在面BB1CC1內(nèi)，作EH⊥B1C1于H，連結(jié)HA1，顯然直線EF在底面A1C1的射影為HA1． 延長EF，HA1交于G，過G，B1的直線為所求二面角的棱． 在平面A1B1C1D1內(nèi)，作HK⊥GB1于K，連EK，則∠HKE為所求二面角的平面角．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，作B1L⊥GH于L，利用Rt△GLB1∽Rt△GKH，可求得KH． 又在Rt△EKH中，設(shè)EH=a，容易得到：所求二面角大小的正切值

教師：有時我們也可以不直接作出二面角的平面角，而通過等價變換或具體的計算得出其平面角的大小．

例如我們可以使用平移法．由兩平面平行的性質(zhì)可知，若兩平行平面同時與

顯見平面FGH∥平面A′B′C′D′．

則二面角B′-FH-G的平面角度數(shù)等于所求二面角的度數(shù)．

過G作GM⊥HF，垂足為M，連B′M，由三垂線定理知B′M⊥HF．

所以∠B′MG為二面角B′-FH-G的平面角，其大小等于所求二面角平面角的大?。?例4 已知：如圖12，P是正方形ABCD所在平面外一點，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB與平面CPD相交所成較大的二面角的余弦值．

分析：為了找到二面角及其平面角，必須依據(jù)題目的條件，找出兩個平面的交線． 解：因為 AB∥CD，CD平面CPD，AB平面CPD． 所以 AB∥平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD，因此平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一個二面角．

因為 AB∥平面CPD，AB平面APB，平面CPD∩平面APB=l，所以 AB∥l． 過P作PE⊥AB，PE⊥CD．

因為 l∥AB∥CD，因此 PE⊥l，PF⊥l，所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因為 PE是正三角形APB的一條高線，且AB=a，因為 E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，所以 EF=BC=a． 在△EFP中，小結(jié)：二面角及其平面角的正確而合理的定位，要在正確理解其定義的基礎(chǔ)上，掌握其基本特征，并靈活運用它們考察問題的背景．

我們已經(jīng)看到，定位是為了定量，求角的大小往往要化歸到一個三角形中去解，因此尋找“垂線段”，把問題化歸是十分重要的．

作業(yè)

1．120°二面角α-l-β內(nèi)有一點P，若P到兩個面α，β的距離分別為3和1，求P到l的距離．

2．正方體ABCD-A1B1C1D1中，求以BD1為棱，B1BD1與C1BD1為面的二面角的度數(shù)．

第五篇：《二面角的概念》說課稿

《二面角的概念》說課稿

一、說教材

二面角的概念是普通高中課程標準人教A版數(shù)學必修2第2章第3節(jié)兩個平面垂直的判定中的內(nèi)容。它是在學生學習了異面直線所稱的角、直線與平面所成的角之后，有一個要學習的空間角，而二面角的本質(zhì)特征時候從度量的角度，通過二面角的平面角揭示了平面與平面的位置關(guān)系（垂直關(guān)系是其中的一種特殊關(guān)系），它是為以后從度量角研究面與面的非垂直關(guān)系奠定了基礎(chǔ)，因此二面角的內(nèi)容在教材中起到了一個承上啟下的作用，同時，通過本節(jié)課的學習，學生的空間想象能力和邏輯思維能力進一步得到提升。

二、說學情

高一學生知識經(jīng)驗已較為豐富，他們的智力發(fā)展已到了形式運演階段，具備了較強的抽象思維能力和演繹推理能力，針對學生主觀能動性強，思維活躍的特點，我在授課中主要以問題為紐帶引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)問題—類比聯(lián)想—解決問題。

三、說教學目標

（一）知識與技能

能正確概述“二面角”、“二面角的平面角”的概念，會做二面角的平面角。

（二）過程與方法

利用類比的方法推理二面角的有關(guān)概念，提升知識遷移的能力。

（三）情感態(tài)度與價值觀

營造和諧、輕松的學習氛圍，通過學生之間，師生之間的交流、合作和評價達成共識、共享、共進，實現(xiàn)教學相長和共同發(fā)展。

四、說教學重難點

（一）重點

“二面角”和“二面角的平面角”的概念。

（二）難點

“二面角的平面角”概念的形成過程。

五、說教學方法

數(shù)學是一門培養(yǎng)人思維，發(fā)展人思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。所以在學生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問題情境—提出數(shù)學問題—嘗試解決問題—驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學方法。在教學手段上，則采用多媒體與模型相結(jié)合，將抽象問題形象化，使教學目標體現(xiàn)的更加完美。

六、說教學過程

（一）新課導(dǎo)入

首先我會用多媒體課件展示生活中的一些模型，請學生觀察：

1、打開書本的過程；

2、發(fā)射人造地球衛(wèi)星，要根據(jù)需要使衛(wèi)星的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度；

3、修筑水壩時，為了使水壩堅固耐久，須使水壩坡面與水平面成適當?shù)慕嵌龋?/p>

引導(dǎo)學生說出書本的兩個面、水壩面與底面，衛(wèi)星軌道面與地球赤道面均是呈一定的角度關(guān)系。

【設(shè)計意圖】通過一系列的模型與動畫展示，從生活中提取模型，讓學生由感性認識出發(fā)，從多種模型中抽象出二面角的概念，這符合認知的一般規(guī)律。同時，也讓學生體會到數(shù)學來源于生活，也服務(wù)于生活，增加學生學習本節(jié)內(nèi)容的興趣

（二）新課探究

1、二面角的概念

利用多媒體展示初中所學的平面角的形成過程，并向?qū)W生提問，可否根據(jù)平面內(nèi)角的定義給上述的這些圖形下一個定義。

在提問過程中注意引導(dǎo)學生進行類比，大膽概括。同時，對學生的表現(xiàn)加以肯定，注意規(guī)范學生的語言。最后引出二面角的概念。在此要注意講解半平面的概念，即平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，這兩部分通常稱為半平面。并根據(jù)具體模型講解二面角的棱，面等相關(guān)概念。

（1）對比平面角得出二面角的概念

（2）二面角的表示

接下來注意講解二面角表示法：α—a—β或α—AB—β。在此要注意分析講解三個量的含義。

二面角的畫法

然后是師生同步，練習畫二面角。著重練習近平臥式和直立式，可請學生同桌之間互相點評，強調(diào)平行關(guān)系。

2。二面角的平面角

一般地說，量角器只能測量“平面角”讓學生大膽猜想如何去測量二面角的大小。學生類比平面角，會想到將空間角化為平面角。

（1）二面角的平面角的定義

教師給出二面角的平面交的定義：以二面角的棱上任意一點為端點，在兩個面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

教師進一步對定義進行深化，請學生找出“二面角的平面角”的定義三個主要特征，即點在棱上、線在面內(nèi)、與棱垂直

并通過實物展示讓學生認識直二面角。

（2）二面角的平面角的作法

接下來，師生同步，共同作出某一二面角的平面角，注意點P的三種情況：

①點P在棱上—定義法

②點P在一個半平面上—三垂線定理法

③點P在二面角內(nèi)—垂面法

【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學生的觀察能力，學生會發(fā)現(xiàn)身邊很多的圖形都和教師展示的模型一樣。同時，這樣的教學也符合認識事物的一般規(guī)律：由感性認識到理性認識，再到感性認識，再到理性認識。

（三）深化新知

提問二面角的取值范圍，強調(diào)一般規(guī)定為[0，π]。重點要讓學生理解0和的區(qū)別。

（四）鞏固提高

為了讓學生切實掌握二面角的概念及其求法，設(shè)計兩個環(huán)節(jié)：通過例題講解讓學生學會運用。通過課堂作業(yè)，讓學生鞏固新知。

首先是基礎(chǔ)題，利用概念判斷命題的真假，如：

（1）兩個相交平面組成的圖形叫做二面角。（ ）

（2）角的兩邊分別在二面角的兩個面內(nèi)，則這個角是二面角的平面角。（ ）

（3）二面角的平面角所在平面垂直于二面角的棱。（ ）

【設(shè)計意圖】通過這幾道判斷題，鞏固學生對二面角概念的理解。

此外我會在添加兩道以正方體為模型，求解兩個平面的二面角的題目，抽取兩位同學在黑板上扮演，我將會在巡視過程中對部分學生加以指導(dǎo)。最后對黑板上的兩名學生的解題過程加以分析完善，規(guī)范的書寫格式。

（五）小結(jié)作業(yè)

教師口頭提問：

（1）這節(jié)課學習的主要內(nèi)容是什么？

（2）在數(shù)學問題的解決過程中運用了哪些數(shù)學思想？

設(shè)計意圖：啟發(fā)式的課堂小結(jié)方式能讓學生主動回顧本節(jié)課所學的知識點。也促使學生對知識網(wǎng)絡(luò)進行主動建構(gòu)。

作業(yè)：以正方體為模型請找出一個所成角度為四十五度的二面角，并證明。

設(shè)計意圖：利用正方體模型，激發(fā)學生的探索欲望，體現(xiàn)分層教學的思想，才能達到因材施教的目的。

七、說板書設(shè)計

我的板書本著簡介、直觀、清晰的原則，這就是我的板書設(shè)計。