第一篇：《二面角及其平面角》教學(xué)設(shè)計(jì)范文

《二面角及其平面角》教學(xué)設(shè)計(jì)

袁素燕（江西省泰和縣第二中學(xué) 343700）

課題：二面角及其平面角 學(xué)科：數(shù)學(xué)

版本：人民教育出版社2006版 年級(jí)：高二年級(jí) 冊(cè)別：第二冊(cè)下（A）課時(shí)：1課時(shí)

一、教學(xué)目的

1、知識(shí)目的：①理解二面角的概念 ②能正確畫(huà)出二面角及二面角的平面角 ③會(huì)求簡(jiǎn)單二面角的平面角的大小

2、能力目的：

①通過(guò)二面角的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力 ②通過(guò)將研究二面角的大小轉(zhuǎn)化為研究其平面角的大小，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。

3、情感目的

①通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的引入，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，讓學(xué)生明白數(shù)學(xué)與生活是密不可分的。

②培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真參與，積極交流的主體意識(shí)和樂(lè)于探 索、勇于創(chuàng)新的科學(xué)精神。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

1、教學(xué)重點(diǎn)

①二面角及二面角平面角的定義 ②作二面角平面角的三種方法

2、教學(xué)難點(diǎn)：理解二面角的平面角定義的科學(xué)性，解決的辦法是：讓學(xué)生打開(kāi)書(shū)的過(guò)程，書(shū)的兩頁(yè)之間形成了二面角，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手測(cè)量其大小，從而解決本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。

三、教具準(zhǔn)備：三角板、紙板和多媒體

四、教學(xué)過(guò)程

1、復(fù)習(xí)引入（5分鐘）通過(guò)下列一組問(wèn)題的設(shè)計(jì)，經(jīng)啟發(fā)引導(dǎo)，提出今天的學(xué)習(xí)課題

①問(wèn)題一：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？（引導(dǎo)學(xué)生從兩種不同的角度回答）是這樣定義的：（1）從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形，叫做角。（2）一條射線繞它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所形成的圖形，叫做角。

②問(wèn)題二：在立體幾何中，我們還學(xué)習(xí)了哪些角？（學(xué)生能容易地回答）異面直線所成的角，直線與平面所成的角。

③問(wèn)題三：在空間和日常生活中，我們還會(huì)遇到一些角（1）（動(dòng)畫(huà)演示）修水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐久，必 須使水壩面與水平面成一定的角度。

（2）（動(dòng)畫(huà)演示）人造地球衛(wèi)星繞地球飛行的軌道平面與地球的赤道平面成一定的角度。

（3）（師生動(dòng)手演示）打開(kāi)數(shù)學(xué)課本的過(guò)程，書(shū)的兩頁(yè)之間形成了一定的角。

④上面問(wèn)題三中所說(shuō)的角就是我們今天要學(xué)習(xí)的另一個(gè)空間的角——二面角（板書(shū)課題）

2、新課探究（22分鐘）

①問(wèn)題一：如何給二面角下定義？（讓學(xué)生充分思考，討論并展示打開(kāi)書(shū)的過(guò)程，通過(guò)角的定義用類(lèi)比的方法給二面角下定義）。

②問(wèn)題二：二面角是否有大小？用什么方法度量？（可以先回顧度量“角”的方法及使用的工具<量角器>，再讓學(xué)生思考并展開(kāi)討論，教師可提示、引導(dǎo)“異面直線所成的角”、“斜線與平面所成的角”的度量方法——轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面角，讓學(xué)生嘗試二面角的度量方法，結(jié)合學(xué)生情況，引導(dǎo)思考，解決問(wèn)題。）

③師生共同總結(jié)得出：

二面角的平面角的定義：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。④（師生合作）由定義出發(fā)得出作二面角的平面角的步驟：

（1）確定二面角的棱上一點(diǎn)；（2）經(jīng)過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)引與棱垂直的射線。

⑤由以上活動(dòng)，師生共同總結(jié)得出以下結(jié)論：（1）二面角的大小，可以用它的平面角來(lái)度量。（2）二面角的大小范圍是：[0°，180°]（3）平面角是直角的二面角，是直二面角 ⑥歸納得出過(guò)空間一點(diǎn)作二面角的平面角的方法：（1）定義法（已知點(diǎn)在棱上）

（2）三垂線法（已知點(diǎn)在二面角的某一個(gè)面上）（3）垂面法（已知點(diǎn)在二面角內(nèi)）

3、應(yīng)用舉例（13分鐘）

例1：二面角指的是從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所夾的角；從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形；兩個(gè)平面相交時(shí)，兩個(gè)平面所夾的銳角或鈍角；過(guò)棱上一點(diǎn)和棱垂直的二射線所成的角（啟發(fā)引導(dǎo)，邊講解，邊畫(huà)圖，同時(shí)強(qiáng)調(diào)正確畫(huà)圖的重要性）

設(shè)計(jì)意圖：從不同方位認(rèn)識(shí)二面角和二面角的平面角，進(jìn)而突出本節(jié)課的重點(diǎn)。

例2：已知二面角α-l-β的平面角為60°，P∈α，若P到平面β的距離為9cm，則點(diǎn)P到棱l的距離為，點(diǎn)P在β上的射影為P1，則P1到平面α的距離為。（師生共同完成作圖）。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)正確作圖的重要性，讓學(xué)生掌握用三垂線法作二面角的平面角。

例3：如圖，平面角為銳角的二面角α－EF－β，A∈EF，AG α，∠GAE=45°，若AG與β所成角為30°，求二面角α－EF－β的平面角的大小（多媒體幻燈片演示圖例）。

解：作GH垂直β于H，作HB垂直EF于B，連GB，則GB垂直EF，∴∠GBH為二面角的平面角。又∠GAH是AG與β所成的角，即∠GAH=30°，設(shè)AG=a，則GB=，GH=，sin∠GBH=，∴∠GBH=，故二面角α－EF－β的平面角為（45°）。

設(shè)計(jì)意圖：做立體幾何的計(jì)算題，規(guī)范解題至關(guān)重要，本例起到一個(gè)示范作用，同時(shí)本例也提供了一種作二面角的平面角的最常用方法。

4、小結(jié)與作業(yè)（5分鐘）： ①小結(jié)

（1）二面角的定義（2）二面角的平面角的定義

（3）作二面角的平面角的方法：定義法、三垂線法、垂面法

（4）兩個(gè)教學(xué)思想：將空間問(wèn)題向平面問(wèn)題轉(zhuǎn)化及類(lèi)比的數(shù)學(xué)思想

②作業(yè)和練習(xí)

（1）作業(yè)：P32第2、3題

（2）練習(xí)課題：用今天學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)學(xué)校辦公樓前臺(tái)階的坡度

五、教學(xué)后記

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明本節(jié)課屬于新授課型，應(yīng)主要把握以下幾個(gè)方面：

1、要做好新知識(shí)的鋪墊。數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地同化或順應(yīng)的過(guò)程。學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，始終是關(guān)系遷移功能的一個(gè)關(guān)鍵因素。為了有效遷移和構(gòu)建就應(yīng)認(rèn)真尋找和了解學(xué)生的原認(rèn)知，及時(shí)組織改造和喚起這些關(guān)鍵因素，為學(xué)習(xí)新知識(shí)提供基礎(chǔ)。

2、要做好新知識(shí)的導(dǎo)入。新課導(dǎo)入就是在新舊問(wèn)題之間架起一座“認(rèn)知橋梁”，從而順利實(shí)現(xiàn)遷移。導(dǎo)入時(shí)要尋求新舊問(wèn)題的最短距離，要瞄準(zhǔn)新舊關(guān)系的最佳方位，要把握新舊轉(zhuǎn)換的最精確地表達(dá)。

3、新授課的重點(diǎn)是新授。新授是一堂課的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生思維最活躍、最緊張、最有效的認(rèn)知高潮。因此，新授過(guò)程應(yīng)確保在教學(xué)中的最佳時(shí)域進(jìn)行，要讓學(xué)生有觀察、動(dòng)手、表達(dá)、思考、交流、表現(xiàn)等時(shí)機(jī)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，主動(dòng)地和生動(dòng)地進(jìn)行認(rèn)知建構(gòu)。

4、要做好課堂鞏固。鞏固的主要目的是幫助學(xué)生建立起關(guān)于某道范例的思維模式，形成積極有益的認(rèn)知定勢(shì)，從而去解決實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于鞏固練習(xí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈儞Q形式或角度，集中突破教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)。

5、結(jié)合實(shí)際，做好作業(yè)的選題、批改、訂正、講評(píng)，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)質(zhì)量。練習(xí)課題的布置，能夠很好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

附：板書(shū)設(shè)計(jì)

1、二面角定義

2、二面角的平面角定義

3、作二面角的平面角的方法（1）（2）（3）

4、例題講解：例1 例2 例3

第二篇：二面角教學(xué)設(shè)計(jì)

二面角教學(xué)設(shè)計(jì)

四川梓潼中學(xué) 李光銀

教學(xué)分析：

二面角的計(jì)算是立體幾何中重要內(nèi)容之一。是繼空間異面直線、直線與平面夾角之后又一個(gè)空間角的計(jì)算。二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；進(jìn)一步體現(xiàn)了空間問(wèn)題平面化的思想。

學(xué)情分析：

學(xué)生學(xué)習(xí)了線與線、線與面、面與面的平行與垂直問(wèn)題，形成了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且又學(xué)習(xí)了異面直線所成的角、線現(xiàn)面所成的角，所以，有了一定的基礎(chǔ)。但是二面角與其它知識(shí)不一樣，學(xué)生理解有困難，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)作二面角的平面角又是一個(gè)很難的事，我們就要細(xì)分析、多引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并解決。

教學(xué)目標(biāo)：

1．使學(xué)生了解二面角及其平面角的概念、作法，并能初步運(yùn)用定義法和三垂線法求二面角的平面角，二面角及其平面角的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。

2．引導(dǎo)學(xué)生探索和研究“二面角的平面角”應(yīng)該如何定義，在概念形成的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的思維能力． 能力目標(biāo)：

培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力、空間想象能力和猜想能力，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合和把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的化歸思想。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

本課的重點(diǎn)是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本課的難點(diǎn)是“二面角的平面角”概念形成的過(guò)程． 教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程 一．復(fù)習(xí)引入

學(xué)習(xí)過(guò)平面幾何中的角，在立體幾何中，學(xué)習(xí)“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”，分別為線線角，線面角，在現(xiàn)實(shí)生活中要研究面面角。引入現(xiàn)實(shí)實(shí)例：1人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面成一定的角度． 2.安裝太陽(yáng)能熱水器的時(shí)候，集熱板與地面成一定的角度 二．講授新課

1．二面角的概念(1)有關(guān)定義：

半平面：一個(gè)平面內(nèi)的一條直線，把這個(gè)平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。

二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。

這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。(2)平面角與二面角的比較：平面角由射線—點(diǎn)—射線構(gòu)成．二面角由半平面—線—半平面構(gòu)成．（3）二面角的畫(huà)法及表示：

2．二面角的平面角 問(wèn)題1：我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大一些”，“把書(shū)翻開(kāi)一些”是指哪個(gè)角增大了?

我們?cè)鯓觼?lái)度量一個(gè)二面角的大小呢? 問(wèn)題2：我們以前學(xué)過(guò)的空間角，如異面直線所成的角，空間線面所成的角怎樣度量的? 設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題意在引發(fā)學(xué)生回憶：空間角都是轉(zhuǎn)化成平面角進(jìn)行度量的，從化歸思想的角度引導(dǎo)學(xué)生猜想得到：二面角也可以轉(zhuǎn)化成平面角進(jìn)行度量，并且角的大小唯一確定

問(wèn)題3：平面角度量二面角，那這個(gè)平面角的頂點(diǎn)和兩邊應(yīng)放在什么位置? 設(shè)計(jì)這個(gè)問(wèn)題讓學(xué)生嘗試二面角的度量方法，結(jié)合學(xué)生情況，引導(dǎo)思考，解決問(wèn)題。

二面角的平面角的定義:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別做垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。教師示范如何正確做出二面角的平面角.應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題的情況抓住“二面角的平面角”的三個(gè)要素：（1）確定二面角的棱上一點(diǎn)；

（2）經(jīng)過(guò)這點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)引射線；（3）所引的射線都垂直于棱。

注意：①二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上的位置無(wú)關(guān)，只與二面角的張角大小有關(guān)。

②二面角是用它的平面角來(lái)度量的，一個(gè)二面角的平面角多大，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度的二面角。

3．二面角的平面角的取值范圍：

0° ≤ α≤ 180 ° 直二面角：平面角是直角的二面角是直二面角

4.二面角的平面角的作法： 定義法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，這兩射線的夾角即為二面角的平面角。一般有等腰型（兩個(gè)半平面由同底的兩個(gè)等腰三角形組成）和全等型（兩個(gè)半平面由能對(duì)折重合的兩個(gè)全等三角形組成）兩種。例1.在三棱錐V?ABC中，VA?VB?AC?BC?2,AB?23,VC?1,試畫(huà)出二面角V?AB?C的平面角，并求他的度數(shù)。解：取AB的中點(diǎn)D，連接VD,CD.在?VAB中，?VA?VB,D為AB的中點(diǎn)。

?VD?AB

同理可證：CD?AB

??VDC是二面角V-AB-C的平面角。

計(jì)算的：VD=CD=1??VDC是正三角形。??VDC=60?

?二面角V?AB?C為60?.反思：等腰型的二面角作平面角時(shí)，取棱的中點(diǎn)是關(guān)鍵，再連接兩個(gè)面的頂點(diǎn)，由等腰三角形三線合一可證的兩射線均垂直于棱。即產(chǎn)生二面角的平面角。例2.在正四棱錐P-ABCD中，側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1.求二面角A-PB-C的余弦值。反思：全等型的二面角作平面角，在其中一個(gè)面內(nèi)向棱作垂線，將垂足與第二個(gè)面內(nèi)的頂點(diǎn)向連?？勺C的兩射線均垂直于棱。即產(chǎn)生二面角的平面角。練習(xí)：在正方體ABCD-A1B1C1D1中。

① 求二面角C1?AB?C的大小。② 求二面角D1?AC?D的正切值。③ 求二面角D1?AC?B1的余弦值。

三．課堂小結(jié)：

求二面角的平面角的過(guò)程和求兩條異面所成的角、求直線和平面所成的等角類(lèi)似，步驟都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角；

二證─—用定義來(lái)證明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通過(guò)解三角形求出二面角的平面角的度數(shù)。

四、課堂練習(xí)

如圖，?、?、?為平面，????L,????AO,????BO,l??，指出圖中哪個(gè)角是二面角的平面角，并說(shuō)明理由。五．課后作業(yè)

課本P74習(xí)題2.3 A組 7 課本P78復(fù)習(xí)參考題

A 組

第三篇：“二面角”教學(xué)設(shè)計(jì)

“二面角”教學(xué)設(shè)計(jì)

一、教學(xué)內(nèi)容解析

“二面角”在人教版新課標(biāo)教材《必修2》第二章第三節(jié)第二小節(jié)的一個(gè)子內(nèi)容，它的主要用途在于去定義兩平面垂直關(guān)系，同時(shí)它也是繼討論了直線與直線所成的角、直線與平面所成的角之后的另一種自然的空間角。在《必修2》中教材沒(méi)有例題進(jìn)行二面角的計(jì)算，只是在小節(jié)習(xí)題中以正方體為背景設(shè)計(jì)了一個(gè)題，在《選修2-1》的第三章第二節(jié)中教材著重的加強(qiáng)了利用空間向量的工具去解決二面角的計(jì)算。

“二面角”的內(nèi)容在以前的大綱版教材中是專設(shè)一節(jié)來(lái)進(jìn)行詳細(xì)的介紹，以及對(duì)二面角平面角的找尋進(jìn)行了細(xì)致的劃分，諸如：定義法，三垂線定理法等。對(duì)比兩個(gè)版本教材的編寫(xiě)情況可以看出，本節(jié)在新課程中主要起到的作用是更好地理解兩平面垂直的關(guān)系，而且對(duì)前面兩者——直線與直線的垂直，直線與平面的垂直起著銜接和完善整個(gè)關(guān)系體系的作用。

故而，“二面角”這節(jié)的重點(diǎn)應(yīng)該是理解概念，以及通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)讓學(xué)生在各自的思維中構(gòu)建整個(gè)知識(shí)脈絡(luò)，建立相關(guān)關(guān)系。

二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

在《說(shuō)明》中對(duì)《必修2》教材第二章“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”的目標(biāo)設(shè)置為能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定，并對(duì)某些結(jié)論進(jìn)行論證，以及以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。

又在《說(shuō)明》中對(duì)《選修2-1》教材第三章“空間向量與立體幾何”的目標(biāo)設(shè)置為能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用，足以見(jiàn)得，對(duì)于二面角這個(gè)子內(nèi)容的作用就是過(guò)渡，提出面面垂直的定義。

故而，在本節(jié)我設(shè)計(jì)的目標(biāo)要求如下：

（1）引導(dǎo)學(xué)生探索和研究?jī)善矫娲怪睉?yīng)該如何定義，在概念形成的過(guò)程中，使得學(xué)生認(rèn)同學(xué)習(xí)“二面角”概念的必要，并發(fā)展學(xué)生的思維。

（2）在經(jīng)歷概念形成的過(guò)程中去理解二面角平面的作法，并掌握。

三、學(xué)生學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)“二面角”之前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間中兩直線的垂直定義，兩直線所成角的定義，直線與平面垂直的定義和直線與平面所成角的定義，至此學(xué)生已經(jīng)具備一定的空間想象力和概括能力，在這里很自然的能夠聯(lián)想到缺少了兩個(gè)平面垂直的關(guān)系，兩個(gè)平面的垂直是生活中常見(jiàn)的形式，學(xué)生能夠去感受，而數(shù)學(xué)是嚴(yán)格的，也就自然會(huì)想該怎樣去定義這種關(guān)系，根據(jù)前兩種關(guān)系從“角度”出發(fā)的描述形式，“二面角”是呼之欲出，是勢(shì)在必然。

不過(guò)這其中的矛盾就在于角是能夠觀察出圖形，關(guān)鍵在于怎樣去計(jì)算“二面角”的大小，它的大小又是用哪個(gè)角去代替，兩面中有很多的線，哪個(gè)線更直接，更方便，教學(xué)的難點(diǎn)就在這里，是要讓學(xué)生達(dá)成共識(shí)，對(duì)二面角的平面角的“代表性”進(jìn)行認(rèn)同。

四、教學(xué)問(wèn)題診斷分析

學(xué)生對(duì)“二面角”學(xué)習(xí)的必然性能夠水到渠成，但在其中的確切定義的理解會(huì)出現(xiàn)差異，從名稱可以看出應(yīng)是兩個(gè)平面組成的角，但實(shí)際是兩個(gè)半平面，而且在尋找到二面角平面角后，對(duì)平面角的認(rèn)同也會(huì)存在著一定的誤區(qū)，就是忽略兩個(gè)半平面內(nèi)的射線需垂直于棱。本節(jié)知識(shí)沒(méi)有理解的難點(diǎn)，因?yàn)橛芯唧w的空間為想象的基礎(chǔ)，只是在其中有需要去具體細(xì)化的概念。

五、教學(xué)過(guò)程 1．課題引入

首先讓學(xué)生一起來(lái)回顧一下前面剛學(xué)習(xí)的直線與平面垂直的判定定理，再讓學(xué)生去回顧直線與平面垂直的定義，直線與直線垂直的定義，在兩直線垂直的定義中可以發(fā)現(xiàn)是從90o角去定義的，再喚起學(xué)生對(duì)直線與平面所成角定義的印象，即直線與平面垂直是可以從90o的線面角去描述的，從而引出新課題從哪個(gè)角度去定義兩平面垂直。2．探究二面角的定義

先展示兩個(gè)平面相交的圖形，如圖①，從圖中就可以感受到有四個(gè)角的形式，而且從大小的方面也可以體會(huì)到有對(duì)頂角相等的情況，借此機(jī)會(huì)教師提出疑問(wèn)，什么時(shí)候才能夠說(shuō)對(duì)頂角，當(dāng)然是在兩直線相交的情況，所以教師通過(guò)軟件從不同的角度去觀察兩個(gè)平面相交的情形，就會(huì)有如圖②的情況。

圖②

圖①

面縮成了直線，線變成了點(diǎn)，那就會(huì)有角的真實(shí)存在了，既然換一個(gè)觀察角度可以把兩個(gè)平面所成的角變成平面角，那么“二面角”的定義就可以類(lèi)比到平面角的定義，借此教師引導(dǎo)學(xué)生回憶平面中的角的定義從而自然得到“二面角”的定義。

再類(lèi)比平面中角的表示法自然得到“二面角”的表示形式。3．探究二面角平面角的定義

平面中的角是有大小的，而且兩個(gè)平面的展開(kāi)形式也有所不同，有的大，有的小，所以“二面角”的也應(yīng)該有大小。問(wèn)題就來(lái)了，“二面角”的大小該用哪個(gè)角去表示呢？用一點(diǎn)時(shí)間讓學(xué)生像剛才一樣利用身邊的工具——課本，打開(kāi)課本就可以形成一個(gè)“二面角”，然后從不同的角度去觀察變化過(guò)程中有哪個(gè)平面角與之相對(duì)應(yīng)。

教師就利用軟件展示一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，形成統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)，如圖③。

圖③

再讓二面角的其中一個(gè)半平面繞著棱進(jìn)行旋轉(zhuǎn)變化，觀察“二面角”與∠POQ的變化對(duì)應(yīng)關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系，后引導(dǎo)學(xué)生觀察∠POQ的特征，故而給出“二面角”平面角的具體概念。

4．對(duì)比其他空間角的度量形式

異面直線所成的角是學(xué)生進(jìn)入立體幾何的第一類(lèi)空間角，它的定義是通過(guò)平移讓直線相交后所形成的角為異面直線的角，在空間中從不同角度觀察兩異面直線，便可得到如圖④。

從圖中可以觀察出，“二面角”平面角的找尋實(shí)際也是自然的。

圖④ 5．完善點(diǎn)、直線、平面垂直關(guān)系

有了描述兩個(gè)平面角度形式的“二面角”后，那么就可以從90o去定義兩個(gè)平面的垂直，同時(shí)也就完善了整個(gè)關(guān)系體系，即每種垂直關(guān)系都可以從各種形式的角為90o去描述，對(duì)比直線與直線平行。直線與平面平行，平面與平面平行一樣都可以從無(wú)交點(diǎn)去描述。

第四篇：《二面角》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

《二面角》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

一、教材分析

二面角及其平面角的概念是立體幾何最重要的概念之一。二面角的概念發(fā)展、完善了空間角的概念；而二面角的平面角不但定量描述了兩相交平面的相對(duì)位置，同時(shí)它也是空間中線線、線面、面面垂直關(guān)系的一個(gè)匯集點(diǎn)。搞好本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對(duì)學(xué)生系統(tǒng)地掌握直線和平面的知識(shí)乃至于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)都具有十分重要的意義。教學(xué)大綱明確要求要讓學(xué)生掌握二面角及其平面角的概念和運(yùn)用。

二、學(xué)情分析

學(xué)生學(xué)習(xí)了線與線、線與面、面與面的平行與垂直問(wèn)題，形成了一定的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并且又學(xué)習(xí)了異面直線所成的角、線現(xiàn)面所成的角，所以，有了一定的基礎(chǔ)。但是二面角與其它知識(shí)不一樣，學(xué)生理解有困難，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)作二面角的平面角又是一個(gè)很難的事，我們就要細(xì)分析、多引導(dǎo)，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)并解決。

三、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：（1）使學(xué)生正確理解二面角及其平面角的概念，并能初步運(yùn)用它們解決實(shí)際問(wèn)題。（2）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的化歸思想。

能力與方法：以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和動(dòng)手能力為重點(diǎn)。(1)突出對(duì)類(lèi)比、直覺(jué)、發(fā)散等探索性思維的培養(yǎng)，從而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。（2）通過(guò)對(duì)圖形的觀察、分析、比較和操作來(lái)強(qiáng)化學(xué)生的動(dòng)手操作能力。

情感與態(tài)度：(1)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)自實(shí)踐，并服務(wù)于實(shí)踐，從而增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。(2)通過(guò)揭示線線、線面、面面之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)。

四、教學(xué)重難點(diǎn)

1、二面角的平面角概念的形成過(guò)程

2、尋找二面角的平面角的方法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程

五、教學(xué)過(guò)程

1、二面角概念的引入

師：我們知道，面與面的位置關(guān)系分相交和平行兩種，對(duì)于兩個(gè)平面平行的研究已經(jīng)很深刻了，現(xiàn)在我們來(lái)探討兩個(gè)平面相交的問(wèn)題

讓學(xué)生觀察老師手里的教具（用兩塊硬紙板做成的大小可變的“二面角”）的變化。

師：你觀察到了什么？生：好象有一個(gè)角在不斷改變。師：對(duì)，它就是我們今天要學(xué)習(xí)的二面角；二面角在生產(chǎn)生活中隨處可見(jiàn)，水壩面與水平面所成的角，衛(wèi)星的運(yùn)行軌道與赤道平面所成的角都給我們二面角的形象。

啟發(fā)學(xué)生從這些形象中抽象出二面角的定義：

半平面—平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做半平面。二面角—從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。

二面角與平面中的角的對(duì)比如圖1。

畫(huà)法、記法如圖2。

2、二面角的平面角的探討

老師再次拿起教具在學(xué)生的睽睽眾目下，全神貫注地把玩著，嘴里還在嘟嚕：“這是二面角?！彪S著二面角的變化，語(yǔ)氣變得十分驚訝：“看來(lái)二面角還有大小的，這時(shí)大，這時(shí)小?！苯K于頭抬起來(lái)了，聲音也提高了八度：“他的大小由誰(shuí)決定呢？”

學(xué)生也開(kāi)始了沉思。

老師不時(shí)時(shí)機(jī)地啟發(fā)著，兩條異面直線所成的角、平面的斜線與平面所成的角是怎么定義的？

前者是通過(guò)平移轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成角，后者是通過(guò)找射影轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成角，所以人們考慮二面角的大小也轉(zhuǎn)化為某兩相交直線所成角來(lái)度量。

老師又第三次那起了教具，問(wèn)：角的頂點(diǎn)（這兩相交直線的交點(diǎn)）應(yīng)選在那里？生1：棱上。老師回答：好（并用黃色粉筆在棱上標(biāo)出一點(diǎn)）。

師：角的兩邊呢？生1：兩個(gè)半平面內(nèi)，老師回答：好（并用黃色粉筆過(guò)上面標(biāo)出的點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)做出多條射線）。

師：這樣的角多不多？生1：多。

師：這些角相等嗎？生1：不一定相等。

師：那到底用哪個(gè)角來(lái)表示二面角呢？生1：不知道。

老師若有所思：“這個(gè)角應(yīng)該有這樣的特點(diǎn)—只要二面角定了，這個(gè)角的大小也就定了”，并板書(shū)該特點(diǎn)。

師：要滿足這個(gè)特點(diǎn)，看來(lái)對(duì)這兩邊的作法還要加以限制。還加怎樣的限制呢？

沉默一會(huì)之后，生2：過(guò)棱上標(biāo)出的那點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線試看。老師按照學(xué)生2的意見(jiàn)，做出了這兩條射線。

師：二面角定了，這個(gè)角的大小就定了嗎？在不太整齊的“是的”之后，有同學(xué)提出：還得把頂點(diǎn)任意換個(gè)位置再作個(gè)角來(lái)比較了才知道。

師：說(shuō)得好，說(shuō)得好，說(shuō)得太好了，下面我們就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。如右圖： ?AP?l? ??AP//A1P?A1P?l????APB??A1PB1 ? 同理AP//BP1?

即這樣做出的角與頂定的位置無(wú)關(guān)，只與兩個(gè)半平面的相對(duì)位置有關(guān)，所以可用它來(lái)表示二面角的大小，我們把這個(gè)角叫二面角的平面角。

師：下面我們來(lái)給二面角的平面角下個(gè)定義。

找生3回答（不準(zhǔn)確老師補(bǔ)充）：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

由此可見(jiàn)二面角的平面角有三要素：（1）角的頂點(diǎn)在棱上；（2）角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)；

（3）角的兩邊都要垂直于二面角的棱。二面角的平面角的范圍:??[0?,180? ]

001800；當(dāng)兩個(gè)半平面共面時(shí)，具體地當(dāng)兩個(gè)半平面重合時(shí)，??0；當(dāng)兩個(gè)半平面相交時(shí)，??0，????1800。

平面角是直角的二面角叫做直二面角。

二面角的大小可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是多少度，就說(shuō)這個(gè)二面角是多少度。木工用活動(dòng)尺測(cè)量工件的兩個(gè)面所成的角時(shí)，就是測(cè)量這兩個(gè)面所成的二面角的平面角。我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的傾斜角是68.5，就是說(shuō)衛(wèi)星軌道平面與地球赤道平面所成的二面角的平面角是

068.50。

3、應(yīng)用舉例 例1.如圖，河堤斜面與水平面所成的二面角為60°, 堤面有一條直道CD,它和堤腳的水平線AB的夾角是30°, 沿條直道從堤腳向上行走到10米時(shí)人升高了多少米？ 解：設(shè)水平面是?，作EG??于G，作GF⊥AB于F，連結(jié)EF，上這?FE?AB（三垂線定理）。

答：沿直道行走10m時(shí)人升高約4.3m。?FG是斜線FE在水平面內(nèi)的射影，GF⊥AB，∴∠EFG就是河堤斜面與水平面所成的二面角的平面角?！郋G?EFsin600?CEsin300sin600?2.53?4.3?m?。

小結(jié)：

1、求二面角的平面角的過(guò)程和求兩條異面所成的角、求直線和平面所成的等角類(lèi)似，步驟都是：

一找（或作）─—找（或作）出二面角的平面角； 二說(shuō)─—用定義來(lái)說(shuō)明上面所得角就是二面角的平面角； 三算─—通過(guò)解三角形求出二面角的平面角的度數(shù)。

2、用三垂線（逆）定理作二面角的平面角的過(guò)程是：

一垂面、二垂線、三連線得二面（二面角的平面角）。

如本題：一作EG??于G、二作GF⊥AB于F（或作EF⊥AB于F）、三連結(jié)EF（作的是EF?AB時(shí)，三連結(jié)EF），得∠EFG就是所求二面角的平面角。

師：除可用三垂線（逆）定理得二面角的平面角以外，還可用另外的方法求二面角的平面角嗎？

4、課堂練習(xí)

練習(xí)1.如圖，?、?、?為平面，????L,????AO,????BO,l??，指出圖中哪個(gè)角是二面角的平面角，并說(shuō)明理由。

學(xué)生4起來(lái)給出了完滿的答。

師：這說(shuō)明通過(guò)作棱的垂面也可以得到二面角的平面角。

其實(shí)，二面角的平面角就是棱垂直的平面與兩個(gè)半平面的交線所成的角。師：最后還要強(qiáng)調(diào)的求法得先做下面的練習(xí)。

練習(xí)2.如圖,已知P是二面角??AB??棱上一點(diǎn)，過(guò)P 分別在?、?內(nèi)引射線PM、PN，且∠MPN=60，∠

0BPM =∠BPN =450，求此二面角的度數(shù)。經(jīng)過(guò)充分醞釀后，學(xué)生5：

在PB上取不同于P 的一點(diǎn)O，在? 內(nèi)過(guò)O作OC⊥AB交PM 于C，在 ? 內(nèi)作OD⊥AB 交PN于D，連結(jié)CD，可得： ∠COD是二面角??AB??的平面角。

師：可見(jiàn)最后要強(qiáng)調(diào)的是更可以用定義去求二面角的平面角。

5、知識(shí)回顧、小結(jié)

6、布置作業(yè)

7、板書(shū)設(shè)計(jì)

1、二面角的定義、畫(huà)法和表示法

定義 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角。記法 二面 角?－ l－ ?。

2、二面角的平面角的概念和求法

定義 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線, 這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角。

六、教學(xué)反思

（1）現(xiàn)行教材省略了概念的形成過(guò)程和方法的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，沒(méi)有反映出科學(xué)認(rèn)識(shí)產(chǎn)生的辯證過(guò)程，與學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律相悖，給學(xué)生的學(xué)習(xí)造成了很大的困難，非常不利于學(xué)生創(chuàng)新能力、獨(dú)立思考能力以及動(dòng)手能力的培養(yǎng)。

（2）現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)認(rèn)為，揭示知識(shí)的形成過(guò)程，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)是十分必要的。同時(shí)通過(guò) 展現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，給學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供了最大的空間，可以使學(xué)生在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中始終處于積極的思維狀態(tài)，進(jìn)而培養(yǎng)他們獨(dú)立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實(shí)本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

第五篇：二面角教案

二面角教案

教學(xué)目標(biāo)

1．使學(xué)生正確理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”的概念，并能初步運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題；

2．引導(dǎo)學(xué)生探索和研究“二面角的平面角”應(yīng)該如何定義，在概念形成的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的思維能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

本課的重點(diǎn)是“二面角”和“二面角的平面角”的概念； 本課的難點(diǎn)是“二面角的平面角”概念形成的過(guò)程． 教學(xué)設(shè)計(jì)過(guò)程

教師：在平面幾何中“角”是怎樣定義的？

學(xué)生：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形叫做角．

教師：在立體幾何中，“異面直線所成的角”、“直線和平面所成的角”又是怎樣定義的？它們有什么共同的特征？

學(xué)生；直線a，b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．

它們的共同特征是都是將三維空間的角轉(zhuǎn)化為二維空間的角． 教師：請(qǐng)同學(xué)們觀察下面的幾個(gè)問(wèn)題．

（當(dāng)教師說(shuō)完上述話后，利用多媒體技術(shù)，讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算機(jī)看兩個(gè)例子）例子之一：

鏡頭一：淡藍(lán)色的地球．（圖片）

鏡頭二：火箭發(fā)射人造地球衛(wèi)星．（錄相）

鏡頭三：人造地球衛(wèi)星繞地球旋轉(zhuǎn)，最后畫(huà)出衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面．

讓學(xué)生觀察這兩個(gè)平面相交成一定的角度． 例子之二：

鏡頭一：人走在坡度不太大的橋上．（錄相）鏡頭二：人在爬山．（錄相）鏡頭三：攀巖運(yùn)動(dòng)．（錄相）

鏡頭四：演示下面動(dòng)態(tài)圖象．（讓水平面靜止不動(dòng)，坡面在不斷變化，目的是讓學(xué)生看到，在生活實(shí)踐中，有許多問(wèn)題要涉及到兩個(gè)平面相交所成的角的情形）

（注意：四個(gè)鏡頭要連續(xù)編排在一起進(jìn)行演示，時(shí)間一分鐘）

教師：如何給二面角下定義呢？下面我們用類(lèi)比的辦法，與角的概念對(duì)比，探討二面角的定義．

這一段教學(xué)采用計(jì)算機(jī)輔助手段，每一個(gè)問(wèn)題分三步完成，首先給出平面角的問(wèn)題，然后請(qǐng)學(xué)生思考并回答二面角的問(wèn)題，最后計(jì)算機(jī)顯示正確結(jié)果．這部分共有四個(gè)問(wèn)題，全部研究完畢后，將整個(gè)過(guò)程列成一個(gè)總表，顯示在屏幕上．

教師：請(qǐng)看角的圖形，思考二面角的圖形． 學(xué)生可以將自己畫(huà)的圖展示給大家． 計(jì)算機(jī)顯示：二面角的圖形．

教師：（給出平面角的定義）請(qǐng)同學(xué)們給二面角下定義． 顯示：從平面內(nèi)一點(diǎn)出發(fā)的兩條射線所組成的圖形． 學(xué)生：（口答）

計(jì)算機(jī)顯示：從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形． 教師：平面角由射線—點(diǎn)—射線構(gòu)成．二面角呢？ 學(xué)生：二面角由半平面—線—半平面構(gòu)成． 教師：平面角表示法：∠AOB． 二面角表示法 α-a-β或α-AB-β． 最后計(jì)算機(jī)顯示整個(gè)過(guò)程．

教師：經(jīng)過(guò)上面的研究我們已經(jīng)看到，平面上的角，可以看作是一條射線繞其端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)形成的圖形；類(lèi)似地，一個(gè)半平面繞其界線旋轉(zhuǎn)到一定位置所得到的圖形，就是二面角．

教師：二面角與平面內(nèi)的角一樣，是可以比較大小的，其比較方法，與平面內(nèi)的角的大小的比較方法類(lèi)似．

（教師讓學(xué)生打開(kāi)書(shū)本）

打開(kāi)書(shū)本的過(guò)程，給我們一種二面角的大小連續(xù)變化的形象．（前面看到的爬山問(wèn)題也是如此）

教師：用量角器可以量出平面內(nèi)的角的大小，能否也能用量角器直接去量出二面角的大小呢？

比如，這里有一個(gè)對(duì)頂量角器和一個(gè)三角木塊（直三棱柱）模型，你們能用我們自制的對(duì)頂量角器來(lái)量出三角木塊模型的某兩面角的大小嗎？比如平面α與β的夾角？

教師：一般地說(shuō)，量角器只能測(cè)量“平面角”（指兩條相交直線所成的角．相應(yīng)地，我們把異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，均稱為空間角）那么，如何去度量二面角的大小呢？我們以往是如何度量某些角的？

學(xué)生：分別通過(guò)“取點(diǎn)、平移（相交）”（對(duì)異面直線所成的角）與“斜線的射影（相交）”（對(duì)斜線與平面所成的角）去度量的．

教師：這些做法的共同點(diǎn)是什么？ 學(xué)生：都是將空間角化為平面角．

教師：對(duì)！再回到剛才的量角操作，你是怎樣用對(duì)頂量角器去量二面角α-l-β的大小呢？

學(xué)生：將對(duì)頂量角器的一個(gè)角的兩邊靠緊二面角的兩個(gè)面，角的頂點(diǎn)則在二面角的棱上．

教師：大家注意，實(shí)際上同學(xué)們量的是一個(gè)平面內(nèi)的角：∠BAC．這個(gè)角的頂點(diǎn)在二面角的棱上，它的兩邊分別在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且與棱垂直．而且對(duì)于確定的二面角，這樣的角的大小是唯一的，確定的，我們把它叫做二面角的平面角．

（對(duì)于訓(xùn)練有素，肯于思考的學(xué)生可能會(huì)提出下面的問(wèn)題）

學(xué)生：若以棱a上任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)作與棱成等角θ′（0°＜θ′＜90°）的兩條射線OA′，OB′，由空間等角定理知，∠A′OB′也是存在且唯一的，為什么不用這樣的角定義二面角的平面角？

教師：記∠AOB=θ，∠A′OB′= ．當(dāng)OA′，OB′在平面AOB同側(cè)時(shí)θ＞ ；當(dāng)OA′，OB′在平面AOB異側(cè)時(shí)θ＜ ．請(qǐng)看圖6：

設(shè) A′P′=a，A′P=b，A′B′=x 由余弦定理，得：

x2=b2+b2-2b2cos =2b2（1-cos），x2=a2+a2-2a2cosθ=2a2（1-cosθ），當(dāng)OA′，OB′在平面AOB的同側(cè)時(shí)，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，由（*）知，與θ之間會(huì)有常數(shù)關(guān)系，這將給表示，尤其是計(jì)算、應(yīng)用帶來(lái)諸多不便；另外，若用∠A′OB′= 表示二面角的大小，當(dāng)平面α⊥平面β時(shí)；

≠90°，當(dāng)半平面α與半平面β在同一平面時(shí)，=2θ′≠180°，都與已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)不符，不能直觀反映出空間兩個(gè)相交平面的相對(duì)位置關(guān)系。

教師板書(shū)二面角的平面角的定義．

定義 以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角．

教師：“二面角的平面角”的定義三個(gè)主要特征是什么？ 學(xué)生：過(guò)棱上任意一點(diǎn)（0∈a），分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線（OA β），射線垂直于棱（OA⊥a，OB⊥a）．

α，OB

教師：經(jīng)過(guò)上面的研究我們看到，二面角的大小，可以用它的平面角來(lái)度量，二面角的平面角是幾度，就說(shuō)這個(gè)二面角是幾度．

教師：許多立體幾何問(wèn)題，若能正確地作出圖形，則問(wèn)題就便于解決．若能正確地作出二面角的平面角乃是解決這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵步驟．下面我們總結(jié)一下作二面角平面角的幾種基本方法．如何利用定義作二面角的平面角呢？

學(xué)生：在二面角的棱a上任意取一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在面α，β內(nèi)分別引垂直于棱a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：如何利用三垂線定理作二面角的平面角呢？

學(xué)生：在二面角α-a-β的面α上任取一點(diǎn)A，過(guò)A分別作棱a和另一面β的垂線AO和AB（O，B分別是垂足），連BO；或者過(guò)A作面β的垂線AB，又過(guò)垂足B引棱a的垂線BO，連AO；則∠AOB為該二面角的平面角．

教師：能否用作垂面的辦法作二面角的平面角呢？

學(xué)生：過(guò)二面角的棱a上任一點(diǎn)O，作平面γ與該棱垂直（作棱的垂面），平面γ與α，β分別交于OA，OB，則可用∠AOB來(lái)度量二面角α-a-β的大?。?/p>

教師：下面我們研究一道例題．

題目：如圖11，山坡的傾斜度（坡面與水平面所成二面角的度數(shù)）是60°，山坡上有一條直道CD，它和坡腳的水平線AB的夾角是30°，沿這條路上山，行走100米后升高多少米？

（投影打出下圖）

（此例是一個(gè)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，難度較低，一般不易引起人們的注意，但教師應(yīng)深入思考，講清下面幾點(diǎn)）

分析：

1．建模過(guò)程

此例的求解首先要對(duì)實(shí)際圖形作出想象理解，然后在教學(xué)中抽象出數(shù)學(xué)模型．雖然建模過(guò)程難度較低，但教學(xué)中應(yīng)主要向?qū)W生滲透建模的思想和增強(qiáng)學(xué)生對(duì)立體幾何中一些基本圖形的認(rèn)識(shí)與理解．

設(shè)過(guò)AB的水平面為α，坡面DAB所在的平面為β，CD=100m．

本題要求“升高了多少米”？即是求點(diǎn)D到水平面α的距離DH．這自然會(huì)想到解直角三角形DHC，但該直角三角形不可解，故必須另尋途徑．（如圖，利用計(jì)算機(jī)顯示在屏幕上）

再看看給出的條件，已知二面角α-AB-β是60°，如何作出它的平面角呢？過(guò)D在平面β內(nèi)作DG⊥AB，G是垂足，再連結(jié)HG，則根據(jù)三垂線定理，可得HG⊥AB，則∠DGH就是該二面角的平面角，即∠DGH=60°．再根據(jù)∠DCH=30°及直角三角形DGH和DCG的邊角關(guān)系，就可以求出DH．

2．提煉方法

此例的求解是應(yīng)用三垂線定理作二面角的平面角的典型例子，也是立體幾何的一個(gè)基本方法．為了強(qiáng)化此法，應(yīng)在本節(jié)練習(xí)中配套出相應(yīng)的題目．這表明在教學(xué)中加強(qiáng)對(duì)基本方法的提煉、理解是很有必要的，也是加強(qiáng)通法教學(xué)的具體表現(xiàn)．

練習(xí)：

①在30°二面角的一個(gè)面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)，它到另一個(gè)面的距離是a，求它到棱的距離．

②把邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD以BD為軸折疊，使二面角A-BD-C成60°的二面角，求A、C兩點(diǎn)的距離．

3．導(dǎo)出等式 在圖12中，不妨從一般性出發(fā)，記∠DCH=θ1，∠DCG=θ2，∠HCG=θ3，∠DGH=θ．引導(dǎo)學(xué)生從例題圖形中推導(dǎo)出等式：

①sinθ1=sinθ2sinθ； ②cosθ2=cosθ1cosθ3．

這樣的練習(xí)既鍛煉了學(xué)生的動(dòng)手能力，還揭示了例題的引申功能，使例題的作用突出，導(dǎo)向明確，極有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)串聯(lián)、累積、加工，從而達(dá)到舉一反三的作用．

sinθ1=sinθ2sinθ．

cosθ2=cosθ1cosθ3．

4．挖掘引申

教師在學(xué)生導(dǎo)出等式①，②后，把課堂教學(xué)進(jìn)一步引向深入，對(duì)等式①，②作出說(shuō)明與解釋．

由等式①可得sinθ1≤sinθ，即θ1≤θ，說(shuō)明沿山坡直道CD上山時(shí)與水平面所成的角θ1不大于山坡的傾斜度，這使例題的實(shí)際性增強(qiáng)，又使學(xué)生在教學(xué)過(guò)程中對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與實(shí)際生活進(jìn)行比較、聯(lián)系、評(píng)價(jià)，突出了數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步強(qiáng)化了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，從而有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高．

小結(jié)

1．空間的“二面角”，是平面幾何中角的概念在空間中的拓廣．處理問(wèn)題的思想方法是將“空間的角”轉(zhuǎn)化為“平面的角”來(lái)處理．定義的原則是：這個(gè)“平面角”的大小必須是由空間的角完全確定而且是唯一的．

2．凡是涉及到二面角的幾何問(wèn)題，都要根據(jù)題目的條件，在圖形的恰當(dāng)位置作出二面角的平面角，主要方法有“定義法”，“應(yīng)用三垂線定理”和“作垂面”的方法．我們將在下一課做進(jìn)一步的研究．

布置作業(yè) 1．閱讀課本．

2．正四面體ABCD，求側(cè)面與底面所成二面角的大小的余弦值． 3．如果兩個(gè)二面角的兩個(gè)面對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)二面角相等或互補(bǔ)． 課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

本節(jié)課屬于新授課型．應(yīng)主要把握下述幾個(gè)方面．

1．要有良好的鋪墊．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上就是原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷地同化或順應(yīng)的能動(dòng)過(guò)程．學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，始終是關(guān)系遷移功能的一個(gè)關(guān)鍵的因素．為了有效遷移和建構(gòu)，就應(yīng)認(rèn)真尋找和了解學(xué)生的原認(rèn)知，及時(shí)組織改造和喚起這些關(guān)鍵因素，為學(xué)習(xí)新的知識(shí)提供基礎(chǔ)．主要要做到三個(gè)方面的鋪墊：（1）知識(shí)性鋪墊．（2）技能性鋪墊．（3）原理性鋪墊．

2．抓著新知識(shí)的導(dǎo)入點(diǎn)．新課導(dǎo)入就是在新舊問(wèn)題之間架起一座“認(rèn)知橋梁”，從而順利實(shí)現(xiàn)遷移．導(dǎo)入時(shí)要尋求新舊問(wèn)題的最短距離，要瞄準(zhǔn)新舊關(guān)系的最佳方位，要把握新舊轉(zhuǎn)換的最精確表達(dá)．

3．新授課的重點(diǎn)是新授．新授是一堂課的重要環(huán)節(jié)，也是學(xué)生思維最活躍、最緊張、最有效的認(rèn)知高潮．因此，新授過(guò)程應(yīng)確保在教學(xué)中的最佳時(shí)域進(jìn)行．要讓學(xué)生有觀察、動(dòng)手、表達(dá)、思考、交流、表現(xiàn)等時(shí)機(jī)，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人，主動(dòng)地和生動(dòng)地進(jìn)行認(rèn)知建構(gòu)．

4．做好課堂鞏固．鞏固的主要目的就是幫助學(xué)生建立起關(guān)于某道范例的思維模式，形成積極有益的認(rèn)知定勢(shì)作為學(xué)習(xí)優(yōu)勢(shì)去解決實(shí)際問(wèn)題．這樣的鞏固練習(xí)，不能單純停留于對(duì)范例的模仿上，而應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈儞Q形式或角度，集中突破教學(xué)難點(diǎn)和重點(diǎn)．

5．做好作業(yè)的選題、批改、訂正、講評(píng)，進(jìn)一步提高學(xué)習(xí)質(zhì)量．