第一篇：第24章解直角三角形教案

第24章解直角三角形

24.1 測

量

教學(xué)目標(biāo)

1、在探索基礎(chǔ)上掌握測量。

2、掌握利用相似三角形的知識 教學(xué)重難點

重點：利用相似三角形的知識在直角三角形中，知道兩邊可以求第三邊。難點：應(yīng)用勾股定理時斜邊的平方等于兩直角邊的平方和。教學(xué)過程

當(dāng)你走進學(xué)校，仰頭望著操場旗桿上高高飄揚的五星紅旗時，你也許很想知道，操場旗桿有多高？ 你可能會想到利用相似三角形的知識來解決這個問題．

圖24.1.1

如圖25．1．1，站在操場上，請你的同學(xué)量出你在太陽光下的影子長度、旗桿的影子長度，再根據(jù)你的身高，便可以利用相似三角形的知識計算出旗桿的高度．

如果就你一個人，又遇上陰天，那怎么辦呢？人們想到了一種可行的方法，還是利用相似三角形的知識． 試一試

如圖25．1．2所示，站在離旗桿BE底部10米處的D點，目測旗桿的頂部，視線AB與水平線的夾角∠BAC為34°，并已知目高AD為1.5米．現(xiàn)在若按1∶500的比例將△ABC畫在紙上，并記為△A′B′C′，用刻度直尺量出紙上B′C′的長度，便可以算出旗桿的實際高度． 你知道計算的方法嗎？

圖24.1.2

實際上，我們利用圖25．1．2（1）中已知的數(shù)據(jù)就可以直接計算旗桿的高度，而這一問題的解決將涉及直角三角形中的邊角關(guān)系．我們已經(jīng)知道直角三角形的三條邊所滿足的關(guān)系（即勾股定理），那么它的邊與角又有什么關(guān)系？這就是本章要探究的內(nèi)容． 練習(xí)

1． 小明想知道學(xué)校旗桿的高度，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當(dāng)他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，求旗桿的高度．

2． 請你與你的同學(xué)一起設(shè)計切實可行的方案，測量你們學(xué)校樓房的高度．習(xí)題25．1 1． 如圖，為測量某建筑的高度，在離該建筑底部30．0米處，目測其頂，視線與水平線的夾角為40°，目高1．5米．試利用相似三角形的知識，求出該建筑的高度．（精確到0．1米）

2． 在平靜的湖面上，有一枝紅蓮，高出水面1米，陣風(fēng)吹來，紅蓮被風(fēng)吹到一邊，花朵齊及水面，已知紅蓮移動的水平距離為2米，問這里水深多少？ 3． 如圖，在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，一只猴子爬下樹走到離樹20米處的池塘A處．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經(jīng)過的距離相等，求這棵樹的高度． 小結(jié)與作業(yè): 利用相似三角形的知識在直角三角形中，知道兩邊可以求第三邊 作業(yè):1.習(xí)題24.1；

2.練習(xí)冊同步 教后反思:

（第1題）（第3題）24.2直角三角形的性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

1.復(fù)習(xí)“直角三角形的兩個銳角互余”定理和“勾股定理”。

2.掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”定理以及應(yīng)用。

3.鞏固利用添輔助線證明有關(guān)幾何問題的方法。教學(xué)重點與難點：

重點：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的應(yīng)用。

難點 ：直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)定理的證明思想方法。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

（1）什么叫直角三角形？

（2）直角三角形是一類特殊的三角形，除了具備三角形的性質(zhì)外，還具備哪些性質(zhì)?

①直角三角形的兩個銳角互余。

②勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

二、新授：

如圖24.2.1，畫Rt△ABC,并畫出斜邊AB上的中線CD,量一量，看看CD與AB有什么關(guān)系？ 發(fā)現(xiàn)：CD恰好是 AB的一半。

下面讓我們用演繹推理證明這一猜想。

提出命題：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半 證明命題：（教師引導(dǎo)，學(xué)生討論，共同完成證明過程）應(yīng)用定理：

例1：已知：如圖24.2.3，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=300。

求證：BC?1AB

2∠A=30°，求BC，CD和DE的長

證明：（教師引導(dǎo)，學(xué)生討論，共同完成證明過程）

推論：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。例2：已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD是∠BAC的平分線，E、F分別AB、AC的中點。求證：DE=DF 分析：可證兩條線段分別是兩直角三角形的斜邊上的中線，再證兩斜邊相等即可證得。（上一題我們是兩個直角三角形的一條較長直角邊重合，現(xiàn)在我們將圖形變化使斜邊重合，我們可以得到哪些結(jié)論？）

A練習(xí)變式： DO1、已知：在△ABC中，BE、CD分別是邊AC、AB上的高，F(xiàn)是BC的中點。E求證：FD=FE 練習(xí)引申：（1）若連接DE，能得出什么結(jié)論？ BFC（2）若O是DE的中點，則DO與DE存在什么結(jié)論嗎？

上題兩個直角三角形共用一條斜邊，兩個直角三角形位于斜邊的同側(cè)。如果共用一條斜邊，兩個直角三角形位于斜邊的兩側(cè)我們又會有哪些結(jié)論？

D2、已知：∠ABC=∠ADC=90o，E是AC中點。你能得到什么結(jié)論？

三、小結(jié)：通過今天的學(xué)習(xí)有哪些收獲？

E1.直角三角形的兩個銳角互余。AC2.勾股定理：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。

B3.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。4.30°角所對的直角邊為斜邊的一半。

四、作業(yè)：1.習(xí)題24.2

2.練習(xí)冊同步

五、教學(xué)反思：

24.3銳角三角函數(shù)

24.3.1銳角三角函數(shù)（1）

教學(xué)目標(biāo)

1.正弦、余弦、正切、余切的定義。

2.正弦、余弦、正切、余切的應(yīng)用 教學(xué)重難點

重點：正弦、余弦、正切、余切。

難點：正弦、余弦、正切、余切的應(yīng)用。教學(xué)過程

一、復(fù)習(xí)引入：

在§25．1中，我們曾經(jīng)使用兩種方法求出操場旗桿的高度，其中都出現(xiàn)了兩個相似的直角三角形，即

△ABC∽△A′B′C′．

1的比例，就一定有 500B?C?A?C?1，??BCAC5001就是它們的相似比． 500B?C?BC當(dāng)然也有． ?A?C?AC按我們已經(jīng)知道，直角三角形ABC可以簡記為Rt△ABC，直角∠C所對的邊AB稱為斜邊，用c表示，另兩條直角邊分別為∠A的對邊與鄰邊，用a、b表示（如圖24.3.1）．

圖24.3.1

前面的結(jié)論告訴我們，在Rt△ABC中，只要一個銳角的大小不變（如∠A＝34°），那么不管這個直角三角形大小如何，該銳角的對邊與鄰邊的比值是一個固定的值． 思考

一般情況下，在Rt△ABC中，當(dāng)銳角A取其他固定值時，∠A的對邊與鄰邊的比值還會是一個固定值嗎？

圖24.3.2

觀察圖24.3.2中的Rt△AB1C1、Rt△AB2C2和Rt△AB3C3，易知 Rt△AB1C1∽Rt△_________∽Rt△________，所以B1C1＝_________＝____________． AC1可見，在Rt△ABC中，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與鄰邊的比值是唯一確定的． 我們同樣可以發(fā)現(xiàn)，對于銳角A的每一個確定的值，其對邊與斜邊、鄰邊與斜邊、鄰邊與對邊的比值也是唯一確定的．

二、新授

因此這幾個比值都是銳角A的函數(shù)，記作sinA、cosA、tanA、cotA，即 sinA＝?A的對邊?斜邊，cosA＝A的鄰邊斜邊，tanA＝?A的對邊?A的鄰邊，cotA＝?A的鄰邊?A的對邊．

分別叫做銳角∠A的正弦、余弦、正切、余切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù)．顯然，銳角三角函數(shù)值都是正實數(shù)，并且 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1．

根據(jù)三角函數(shù)的定義，我們還可得出

sin2A?cos2A＝1，tanA·cotA＝1．

圖24.3.3

例1 求出圖24.3．3所示的Rt△ABC中∠A的四個三角函數(shù)值． 解 AB?BC2?AC2?289?17，sinA＝BCAB?817，cosA＝AC15AB?17，tanA＝BCAC?815，cotA＝ACBC?158．

練習(xí):P107.1.2.3.三、小結(jié): 正弦、余弦、正切、余切，統(tǒng)稱為銳角∠A的三角函數(shù)

四、作業(yè): 練習(xí)冊同步

五、教后反思：

24.3.1銳角三角函數(shù)（2）

教學(xué)目標(biāo)

1、探索直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系。

2、掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值。

3、掌握三角函數(shù)定義式：sin A=

?A的對邊?A的鄰邊，cos A=，斜邊斜邊tan A=?A的對邊?A的鄰邊，cot A=

?A的鄰邊?A的對邊教學(xué)重難點

重點：三角函數(shù)定義的理解。難點：掌握三角函數(shù)定義式。教學(xué)過程

一、探索

根據(jù)三角函數(shù)的定義，sin30°是一個常數(shù)．用刻度尺量出你所用的

含30°角的三角尺中，30°角所對的直角邊與斜邊的長，與同伴交流，看看常數(shù)sin30°是多少． 通過計算，我們可以得出

sin30°＝對邊1?，斜邊2圖24.3.4

即斜邊等于對邊的2倍．因此我們可以得到：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半． 思考

上述結(jié)論還可通過邏輯推理得到．如圖24.3．4，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，作∠BCD＝60°，點D位于斜邊AB上，容易證明△BCD是正三角形，△DAC是等腰三角形，從而得出上述結(jié)論．

二、做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90°，借助于你常用的兩塊三角尺，或直接通過計算，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義，分別求出下列∠A的四個三角函數(shù)值：

（1）∠A＝30°；（2）∠A＝60°；（3）∠A＝45°．

為了便于記憶，我們把30°、45°、60°角的三角函數(shù)值列表如下：

α sinα cosα tanα cotα

30° 12

45°1 60°

三、練習(xí)求值： 2cos60°＋2sin30°＋4tan45°．

四、學(xué)習(xí)小結(jié):記憶特殊角的函數(shù)值

五、布置作業(yè)

練習(xí)冊同步

六、教后反思：

24.3.1銳角三角函數(shù)（3）

教學(xué)目標(biāo)

1、進一步復(fù)習(xí)直角三角形中銳角三角函數(shù)值與三邊之間的關(guān)系。

2、進一步掌握30°、45°、60°等特殊角的三角函數(shù)值。

3、掌握三角函數(shù)定義式：sin A=

?A的對邊斜邊，cos A=?A的鄰邊斜邊, tan A=?A的對邊?A?A的鄰邊，cot A= 的鄰邊?A的對邊

教學(xué)重難點

重點：三角函數(shù)定義的理解。難點：掌握三角函數(shù)定義式。教學(xué)過程

一、新授：例1

求出如圖所示的Rt△DEC（∠E＝90°）中∠D的四個三角函數(shù)值． 7

（第2題）

sin30゜是一個常數(shù).用刻度尺量出你所用的含30゜的三角尺中，30゜所對的直角邊與斜邊的長，sin30゜=對邊1＝ 斜邊2即斜邊等于對邊的2倍.因此我們還可以得到：

在直角三角形中，如果一個銳角等于30゜，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.做一做

在Rt△ABC中，∠C＝90゜，借助于你常用的兩塊三角尺，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義求出∠A的四個三角函數(shù)值：

（1）∠A＝30゜

（2）∠A＝60゜

（3）∠A＝45゜.為了便于記憶，我們把30゜、45゜、60゜的三角函數(shù)值列表如下.（請?zhí)畛隹瞻滋幍闹担?/p>

二、課堂練習(xí)

1.如圖，在Rt△MNP中，∠N＝90゜.∠P的對邊是__________,∠P的鄰邊是_______________;

∠M的對邊是__________,∠M的鄰邊是_______________;（第1題）

（第2題）

2.求出如圖所示的Rt△DEC（∠E＝90゜）中∠D的四個三角函數(shù)值.3.設(shè)Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，根據(jù)下列所給條件求 8

∠B的四個三角函數(shù)值.（1）a=3,b=4;

（2）a=6,c=10.4.求值：2cos60゜+2sin30゜+4tan45゜.三、小結(jié): 記憶特殊角的函數(shù)值

四、作業(yè)：練習(xí)冊同步

五、教后反思：

24.3.2.用計算器求銳角三角函數(shù)值

教學(xué)目標(biāo)

學(xué)會計算器求任意角的三角函數(shù)值。教學(xué)重難點

重點：用計算器求任意角的三角函數(shù)值。難點：實際運用。教學(xué)過程

一、新授

拿出計算器，熟悉計算器的用法。

下面我們介紹如何利用計算器求已知銳角的三角函數(shù)值和三角函數(shù)值求對應(yīng)的銳角.（1）求已知銳角的三角函數(shù)值.例

2、求sin63゜52′41″的值.（精確到0.0001）

解 先用如下方法將角度單位狀態(tài)設(shè)定為“度”：

顯示

再按下列順序依次按鍵：

顯示結(jié)果為0.897 859 012.所以

sin63゜52′41″≈0.8979 例3 求cot70゜45′的值.（精確到0.0001）

解 在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵： 9

由

顯示結(jié)果為0.349 215 633.所以

cot70゜45′≈0.3492.（2）由銳角三角函數(shù)值求銳角

例4 已知tan x=0.7410,求銳角x.（精確到1′）

解 在角度單位狀態(tài)為“度”的情況下（屏幕顯示出），按下列順序依次按鍵：

顯示結(jié)果為36.538 445 77.再按鍵：

顯示結(jié)果為36゜32′18.4.所以，x≈36゜32′.例5 已知cot x=0.1950,求銳角x.（精確到1′）分析 根據(jù)tan x＝1，可以求出tan x的值，然后根據(jù)例4的方法就可以求出銳角x的值.cotx

二、課堂練習(xí)

1.使用計算器求下列三角函數(shù)值.（精確到0.0001）

sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.2.已知銳角a的三角函數(shù)值，使用計算器求銳角a.（精確到1′）（1）sin a=0.2476;

（2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890;

（4）cot a=1.3773.三、小結(jié)

不同計算器操作不同，按鍵定義也不一樣。同一銳角的正切值與余切值互為倒數(shù)。

在生活中運用計算器一定要注意計算器說明書的保管與使用。方法歸納

在解決直角三角形的相關(guān)問題時，常常使用計算器幫助我們處理比較復(fù)雜的計算。

四、作業(yè)：1.習(xí)題24.3；

2.練習(xí)冊同步。

五、教后反思：

24.4 解直角三角形(1)教學(xué)目標(biāo)

1、鞏固勾股定理，熟悉運用勾股定理。

2、學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的幾種情況。教學(xué)重難點

重點：使學(xué)生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。難點：運用三角函數(shù)解直角三角形。教學(xué)過程

我們已經(jīng)掌握了直角三角形邊角之間的各種關(guān)系，這些都是解決與直角三角形有關(guān)的實際問題的有效工具.例1 如圖24.4.1所示，一棵大樹在一次強烈的地震中于離地面10米處折斷倒下，樹頂落在離樹根24米處.大樹在折斷之前高多少？

解 利用勾股定理可以求出折斷倒下部分的長度為

102?242?26

26＋10＝36（米）.所以，大樹在折斷之前高為36米.在例1中，我們還可以利用直角三角形的邊角之間的關(guān)系求出另外兩個銳角.像這樣，在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.例2 如圖，東西兩炮臺A、B相距2000米，同時發(fā)現(xiàn)入侵敵艦C，炮臺A測得敵艦C在它的南偏東40゜的方向，炮臺B測得敵艦C在它的正南方，試求敵艦與兩炮臺的距離.（精確到1米）

解 在Rt△ABC中，因為

∠CAB＝90゜－∠DAC＝50゜，11

BC＝tan∠CAB, AB所以

BC＝AB?tan∠CAB

=2000×tan50゜≈2384(米).AB?cos50?，ACAB2000??3111(米)所以

AC＝cos50?cos50?又因為

答：敵艦與A、B兩炮臺的距離分別約為3111米和2384米.在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，本書除特別說明外，邊長保留四個有效數(shù)字，角度精確到1′.解直角三角形，只有下面兩種情況：（1）已知兩條邊；

（2）已知一條邊和一個銳角 課堂練習(xí)

1.在電線桿離地面8米高的地方向地面拉一條長10米的纜繩，問這條纜繩應(yīng)固定在距離電線桿底部多遠的地方？

2.海船以32.6海里/時的速度向正北方向航行，在A處看燈塔Q在海船的北偏東30゜處，半小時后航行到B處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔Q與海船的距離最短，求燈塔Q到B處的距離.（畫出圖形后計算，精確到0.1海里）

學(xué)習(xí)小結(jié)：這節(jié)課你有什么收獲？

布置作業(yè)1.習(xí)題24.4第1題；；

2.練習(xí)冊同步 教后反思：

24.2 解直角三角形(2)教學(xué)目標(biāo)

1、鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。

2、學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的幾種情況。

4、學(xué)習(xí)仰角與俯角。教學(xué)重難點：

重點：使學(xué)生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。

難點：運用三角函數(shù)解直角三角形。

教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入 讀一讀

如圖，在進行測量時，從下向上看，視線與水平線的夾角叫做仰角；從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.圖

二、合作探究

例3 如圖4，為了測量電線桿的高度AB，在離電線桿22.7米的C處，用高1.20米的測角儀CD測得電線桿頂端B的仰角a＝22°，求電線桿AB的高．（精確到0.1米）

解

在Rt△BDE中，BE＝DE×tan a ＝AC×tan a ＝22.7×tan 22° ≈9.17，所以AB＝BE＋AE

＝BE＋CD

＝9.17＋1.20≈10.4（米）．

答： 電線桿的高度約為10.4米．

三、課堂練習(xí)

1.如圖，某飛機于空中A處探測到目標(biāo)C，此時飛行高度AC＝1200米，從飛機上看地面控制點B的俯角a＝16゜31′，求飛機A到控制點B的距離.（精確到1米）

（第2題）（第1題）

2.兩座建筑AB及CD，其地面距離AC為50.4米，從AB的頂點B測得CD的頂部D的仰角β＝25゜，測得其底部C的俯角a＝50゜，求兩座建筑物AB及CD的高.（精確到0.1米）

四、學(xué)習(xí)小結(jié) 內(nèi)容總結(jié)

仰角是視線方向在水平線上方，這時視線與水平線的夾角。俯角是視線方向在水平線下方，這時視線與水平線的夾角。

梯形通常分解成矩形和直角三角形（或分解成平行四邊形與直角三角形）來處理。方法歸納

認真閱讀題目，把實際問題去掉情境轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的幾何問題。把四邊形問題轉(zhuǎn)化為特殊四邊形（矩形或平行四邊形）與三角形來解決。

五、布置作業(yè) 1.習(xí)題24.4第2，3題；

2.練習(xí)冊同步

六、教后反思：

24.3 解直角三角形（3）

教學(xué)目標(biāo)

1、鞏固勾股定理，熟練運用勾股定理。

2、學(xué)會運用三角函數(shù)解直角三角形。

3、掌握解直角三角形的幾種情況。

4、學(xué)習(xí)仰角與俯角。教學(xué)重難點

重點：使學(xué)生養(yǎng)成“先畫圖，再求解”的習(xí)慣。

難點：靈活的運用有關(guān)知識在實際問題情境下解直角三角形。教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入 讀一讀

在修路、挖河、開渠和筑壩時，設(shè)計圖紙上都要注明斜坡的傾斜程度.如圖5，坡面的鉛垂高度（h）和水平長度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）.記作i,即i=坡度通常寫成1∶m的形式，如i=1∶6.坡面與水平面的夾角叫做坡角，記作a，有

i＝

h.lh=tan a l顯然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.圖5

二、課前熱身

分組練習(xí)，互問互答，鞏固勾股定理和銳角三角函數(shù)定義等內(nèi)容，掌握仰角與俯角等概念。

三、合作探究

例4 如圖6，一段路基的橫斷面是梯形，高為4.2米，上底的寬是12.51米，路基的坡面與地面的傾角分別是32°和28°．求路基下底的寬．（精確到

0.1米）

解 作DE⊥AB，CF⊥AB，垂足分別為E、F．由題意可知

DE＝CF＝4.2（米），CD＝EF＝12.51（米）．

在Rt△ADE中，因為

i?所以 DE4.2??tan32? AEAEAE?4.2?6.72(米)tan32?

圖6 在Rt△BCF中，同理可得

BF?4.2?7.90(米)

tan28?因此

AB＝AE＋EF＋BF

≈6.72＋12.51＋7.90≈27.13（米）．

答： 路基下底的寬約為27.13米．

四、課堂練習(xí)

一水庫大壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬6.2米，壩高23.5米，斜坡AB的坡度i1＝1∶3，斜坡CD的坡度i2=1∶2.5.求：（1）斜坡AB與壩底AD的長度；（精確到0.1米）（2）斜坡CD的坡角α.（精確到1°）

五、學(xué)習(xí)小結(jié) 內(nèi)容總結(jié)

坡角是斜坡與水平線的夾角；坡度是指斜坡上任意一點的高度與水平距離的比值。

坡角與坡度之間的關(guān)系是：i＝

h=tan a。l坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡。方法歸納

在涉及梯形問題時，常常首先把梯形分割成我們熟悉的三角形、平行四邊形，再借助這些熟悉圖形的性質(zhì)與特征來加以研究。

六、布置作業(yè)：1.習(xí)題24.4第4題；

2.練習(xí)冊

七、教后反思：

第24章

小結(jié)

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解本章的知識結(jié)構(gòu)；

2、通過復(fù)習(xí)，進一步理解勾股定理及三角函數(shù)的意義。

3、通過復(fù)習(xí)，進一步掌握直角三角形的解法。

4、學(xué)會運用勾股定理和三角函數(shù)解決簡單的實際問題。教學(xué)重難點：

重點：靈活運用解直角三角形知識解決問題。難點：選擇恰當(dāng)知識解決具體問題。教學(xué)過程

一、情境導(dǎo)入

通過本章的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識？你有哪些收獲？

二、課前熱身

同學(xué)們交流、討論、概括出本章所學(xué)的主要內(nèi)容。

三、合作探究知識結(jié)構(gòu)

概括

1.了解勾股定理的歷史，經(jīng)歷勾股定理的探索過程； 2.理解并掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系；

3.能應(yīng)用直角三角形的邊角關(guān)系解決有關(guān)實際問題．

四、課堂練習(xí)

1.求下列陰影部分的面積：（1）陰影部分是正方形；（2）陰影部分是長方形；（3）陰影部分是半圓

（第1題）

2.如圖，以Rt△ABC的三邊向外作三個半圓，試探索三個半圓的面積之間的關(guān)系．（第2題）

3.已知直角三角形兩條直角邊分別為6、8，求斜邊上中線的長． 4.求下列各式的值．

（1）2cos 30°＋cot 60°－2tan 45°;（2）sin2 45°＋cos2 60°;（3）sin230??cos230??tan260?cot260?.5.求下列各直角三角形中字母的值．

（第5題）

6.小明放一個線長為125米的風(fēng)箏，他的風(fēng)箏線與水平地面構(gòu)成39°角．他的風(fēng)箏有多高？（精確到1米）

7.已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，直角邊AC是直角邊BC的2倍，求∠B的四個三角函數(shù)

值．

8.如圖，在直角坐標(biāo)平面中，P是第一象限的點，其坐標(biāo)是（3，y），且OP與x軸的正半軸的夾角a的正切值是（1）y的值；

4，求：

3（2）角a的正弦值．

（第8題）

9.如圖，一段河壩的斷面為梯形ABCD，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，求出坡角a和壩底寬AD．（i＝CE∶ED，單位米，結(jié)果保留根號）

（第9題）（第10題）

10.如圖，兩建筑物的水平距離BC為24米，從點A測得點D的俯角a＝30°，測得點C的俯角b＝60°，求AB和CD兩座建筑物的高．（結(jié)果保留根號）

五、學(xué)習(xí)小結(jié)

本節(jié)課主要復(fù)習(xí)了兩個部分的內(nèi)容：一部分是本章的知識結(jié)構(gòu)；另一部分是直角三角形中勾股定理及銳角三角函數(shù)定義。

方法歸納：在測量時，要以構(gòu)造直角三角形在實際生活中應(yīng)用的實例，至少一個。

六、布置作業(yè)：

1.復(fù)習(xí)題1--17題；

2.練習(xí)冊同步

七、教后反思：

第二篇：28.2.1解直角三角形教案

28.2.1解直角三角形

西湖中學(xué) 黃 勇

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

1、內(nèi)容：解直角三角形的意義，直角三角形的解法。

2、內(nèi)容解析：本節(jié)是學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)之后，結(jié)合已學(xué)過的勾股定理和三角形內(nèi)角和定理，研究解直角三角形的問題。本課內(nèi)容既能加深對銳角三角函數(shù)的理解，又能為后續(xù)解決與其相關(guān)的實際問題打下基礎(chǔ)，在本章起到承上啟下的作用。

二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

1．了解解直角三角形的意義和條件．

2．能根據(jù)直角三角形中的角角關(guān)系、邊邊關(guān)系、邊角關(guān)系解直角三角形，能運用解直角三角形的知識解決有關(guān)的實際問題．

目標(biāo)解析：達成目標(biāo)1的標(biāo)志是，知道解直角三角形的內(nèi)涵，能根據(jù)直角三角形中已知元素，明確所有要求的未知元素。達成目標(biāo)2的標(biāo)志是根據(jù)元素的關(guān)系，選擇適當(dāng)關(guān)系式，求出未知元素。

三、學(xué)情分析

在直角三角形的邊角關(guān)系中，三邊之間的關(guān)系、兩銳角之間的關(guān)系比較直接，而兩邊的比與一個銳角的關(guān)系，學(xué)生通過學(xué)習(xí)銳角三角函數(shù)，有了一定的基礎(chǔ)，但在具體的直角三角形中，根據(jù)已知條件選擇恰當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)，還是有些困難，且解直角三角形往往需要綜合運用勾股定理及三角函數(shù)的知識，具有一定的綜合性。

CB

四、教學(xué)過程

1、實例引入，初步體驗

本章引言提出的比薩斜塔傾斜程度的問題。設(shè)塔頂中心點為B，塔身中心線與垂直中心線夾角為∠A，過點B向垂直中心線引 垂線，垂足為點C，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5.2m，AB＝54.5m，求∠A的度數(shù)。

sinA=BC5.2?≈0.0954 AB54.5A一般地，在直角三角形中，除直角外，共有五個元素，即三條邊和兩個角，由已知元素求出其余未知元素的過程，叫做解直角三角形．

解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如下圖：

角角關(guān)系：兩銳角互余，即∠A+∠B＝90°；

222邊邊關(guān)系：勾股定理，即a?b?c；

邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即：

a,cosA?cbsinB?,cosB?csinA?b,tanA?ca,tanB?ca,cotA?bb,cotB?abaab

解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：(1)已知兩條邊(一直角邊和一斜邊；兩直角邊)；

(2)已知一條邊和一個銳角(一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角)．這兩種情形的共同之處：有一條邊．因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊．

用解直角三角形的知識解決實際問題的基本方法是：

把實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系．

借助生活常識以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題．當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求解?/p>

例1 在△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形． AC?2,BC?6解這個直角三角形。

思路與技巧

求解直角三角形的方法多種多樣，可以先求AB，也可以先求∠A，依據(jù)都是直角三角形中的各元素間的關(guān)系，但求解時為了使計算簡便、準(zhǔn)確，一般盡量選擇正、余弦，盡量使用乘法，盡量選用含有已知量的關(guān)系式，盡量避免使用中間數(shù)據(jù)． 解答

tanA?BC?6?3AC2

??A?60o

?B?90o??A?90o?60o?30o AB?2AC?22A

C B 例2 如圖，CD是Rt△ABC斜邊上的高，BC?23，CD?22,求AC，AB，∠A，∠B(精確到1′)．

思路與技巧 在Rt△ABC中，僅已知一條直角邊BC的長，不能直接求解．注意到BC和CD在同一個Rt△BCD中，因此可先解這個直角三角形．

解答 在Rt△BCD中

BD?BC2?CD2?12?8?2

sinB?cosB?CD226??BC323BD23??BC323

用計算器求得 ∠B＝54°44′ 于是∠A＝90°-∠B＝35°16′ 在Rt△ABC中，AB?BC3?23??6cosB36?263 AC?AB?sinB?6?

五、課堂小結(jié)

1、直角三角形中，除直角外，五個元素之間的關(guān)系。

2、什么是解直角三角形。

六、課堂練習(xí)

在Rt△ABC中，∠C＝90°，根據(jù)下列條件解直角三角形。

（1）C＝20，b=20;（2）∠B＝72°，c=14；（3）∠B＝30°，a=7

第三篇：解直角三角形的應(yīng)用教案

解直角三角形的應(yīng)用教案

教學(xué)目標(biāo)：1.使學(xué)生能運用解直角三角形模型，將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形。

2.通過對比練習(xí)，使學(xué)生體會到用斜三角形構(gòu)造直角三角形，要構(gòu)造為可解(含特殊角)的直角三角形。及方程思想的運用。

教學(xué)重點：

將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形和實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

教學(xué)難點：

將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形及方程思想的運用 教學(xué)過程：

一、讓學(xué)生回憶解直角三角形的依據(jù)和哪兩種情形？

依據(jù)：1.邊的關(guān)系（勾股定理）2.銳角的關(guān)系（互余）3.邊角關(guān)系（銳角三角函數(shù)關(guān)系式）情形有：1.已知兩邊，2，已知一邊一銳角，二、練習(xí)直接解直角三角形

試一試：如圖，在RtΔABC中，已知∠C=90°，(1)若AC=3,AB=5,求 sinA ；（已知兩邊）

A

(2)若AC=3, ∠A=60°,求BC；（已知一條直角邊和一個銳角）

C

(3)若AB=5，∠A=60°,求BC.（已知斜邊和一個銳角）

三、解斜三角形

變式：1）如圖1，在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，AC=4，求AB。2）圖2 中，∠B=135°，∠C=30°，AC=4，求AB。

BA

BB

圖1

CC圖2

A

四、用解斜三角形解決實際問題

典型中考題賞析：

將實際問題化為解斜三角形

例：（2013遂寧）如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A、B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20海里的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，船B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少?（結(jié)果保留根號）

方程思想的滲透

變式訓(xùn)練：如果將上題中“C在B的北偏東15°方向”改為“C在B的北偏東30°方向”,其它條件不變，你能解嗎？

小結(jié)：解決與斜三角形有關(guān)的實際問題

北450AC北300B的方東

法是構(gòu)造可解的直角三角形（1）形內(nèi)構(gòu)造（2）形外構(gòu)造

練習(xí)：如圖，海島A四周45海里周圍內(nèi)為暗礁區(qū)，一艘貨輪由東向西航行，在B處見島A在北偏西60?，航行18海里到C，見島A在北偏西45?，貨輪繼續(xù)向西航行，有無觸礁的危險？

教學(xué)反思：

第四篇：28.2 解直角三角形 教案5

課題

28.2解直角三角形

一、教學(xué)目標(biāo)

1、鞏固用三角函數(shù)有關(guān)知識解決問題，學(xué)會解決坡度問題．

2、逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力；滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法．

3、培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識，滲透理論聯(lián)系實際的觀點．

二、教學(xué)重點、難點

重點：解決有關(guān)坡度的實際問題． 難點：理解坡度的有關(guān)術(shù)語．

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1．講評作業(yè)：將作業(yè)中學(xué)生普遍出現(xiàn)問題之處作一講評． 2．創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課．

例

同學(xué)們，如果你是修建三峽大壩的工程師，現(xiàn)在有這樣一個問題請你解決：如圖6-33 水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬6m，壩高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，壩底寬AD和斜坡AB的長(精確到0.1m)．

同學(xué)們因為你稱他們?yōu)楣こ處煻湴?，滿腔熱情，但一見問題又手足失措，因為連題中的術(shù)語坡度、坡角等他們都不清楚．這時，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生想學(xué)的心情，及時點撥．

（二）教學(xué)互動

通過前面例題的教學(xué)，學(xué)生已基本了解解實際應(yīng)用題的方法，會將實際問題抽象為幾何問題加以解決．但此題中提到的坡度與坡角的概念對學(xué)生來說比較生疏，同時這兩個概念在實際生產(chǎn)、生活中又有十分重要的應(yīng)用，因此本節(jié)課關(guān)鍵是使學(xué)生理解坡度與坡角的意義． 1． 坡度與坡角

結(jié)合圖6-34，教師講述坡度概念，并板書：坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即ｉ＝，常i=1：m的形式如i=1:2.5 把坡面與水平面的夾角α叫做坡角．

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合圖形思考，坡度i與坡角α之間具有什么關(guān)系？

答：i＝hl＝tan?

這一關(guān)系在實際問題中經(jīng)常用到，教師不妨設(shè)置練習(xí)，加以鞏固．

練習(xí)(1)一段坡面的坡角為60°，則坡度i=______； ______，坡角?______度．

為了加深對坡度與坡角的理解，培養(yǎng)學(xué)生空間想象力，教師還可以提問：

(1)坡面鉛直高度一定，其坡角、坡度和坡面水平寬度有什么關(guān)系？舉例說明．(2)坡面水平寬度一定，鉛直高度與坡度有何關(guān)系，舉例說明．

答：(1)

如圖，鉛直高度AB一定，水平寬度BC增加，α將變小，坡度減小，因為 tan?＝ABBC，AB不變，tan?隨BC增大而減小

（2）與(1)相反，水平寬度BC不變，α將隨鉛直高度增大而增大，tanα

AB 也隨之增大，因為tan?=BC不變時，tan?隨AB的增大而增大 2．講授新課

引導(dǎo)學(xué)生回頭分析引題，圖中ABCD是梯形，若BE⊥AD，CF⊥AD，梯形就被分割成Rt△ABE，矩形BEFC和Rt△CFD，AD=AE+EF+FD，AE、DF可在△ABE和△CDF中通過坡度求出，EF=BC=6m，從而求出AD．

以上分析最好在學(xué)生充分思考后由學(xué)生完成，以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力及良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣．

坡度問題計算過程很繁瑣，因此教師一定要做好示范，并嚴格要求學(xué)生，選擇最簡練、準(zhǔn)確的方法計算，以培養(yǎng)學(xué)生運算能力．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m)． FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因為斜坡AB的坡度i＝tan?＝α≈18°26′

13≈0.3333，答：斜坡AB的坡角α約為18°26′，壩底寬AD為132.5米，斜坡AB的長約為72.7米．

其實這是舊人教版的一個例題，由于新版里這樣的內(nèi)容和題目并不少，但是對于題目里用的術(shù)語新版少提，基于學(xué)生的接受情況應(yīng)插講這一內(nèi)容。

（三）鞏固再現(xiàn)

1、習(xí)題

2、利用土埂修筑一條渠道，在埂中間挖去深為0.6米的一塊(圖6-35陰影部分是挖去部分)，已知渠道內(nèi)坡度為1∶1.5，渠道底面寬BC為0.5米，求：

①橫斷面(等腰梯形)ABCD的面積；

②修一條長為100米的渠道要挖去的土方數(shù)．

四、布置作業(yè)習(xí)題

第五篇：(教案2)28.2解直角三角形

課題

28.2解直角三角形

一、教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生會把實際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．

2、逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力．

3、滲透數(shù)學(xué)來源于實踐又反過來作用于實踐的觀點，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識

二、教學(xué)重點、難點

重點：要求學(xué)生善于將某些實際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形元素之間的關(guān)系，從而利用所學(xué)知識把實際問題解決． 難點：實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型

三、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)引入

1．直角三角形中除直角外五個元素之間具有什么關(guān)系？請學(xué)生口答．

2、在中Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B應(yīng)該用哪個關(guān)系？請計算出來。

（二）實踐探索

要想使人安全地攀上斜靠在墻面上的梯子的頂端.梯子與地面所成的角，(如圖).現(xiàn)有一個長6m的梯子，問:(1)使用這個梯子最高可以安全攀上多高的墻(精確到0.1 m)(2)當(dāng)梯子底端距離墻面2.4 m時，梯子與地面所成的角能夠安全使用這個梯子

引導(dǎo)學(xué)生先把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型 然后分析提出的問題是數(shù)學(xué)模型中的什么量 在這個數(shù)學(xué)模型中可用學(xué)到的什么知識來求 未知量？

幾分鐘后，讓一個完成較好的同學(xué)示范。

（三）教學(xué)互動

例3 2003年10月15日“神舟”5號載人航天飛船發(fā)射成功.當(dāng)飛船完成變軌后，就在離地球表面350km的圓形軌道上運行.如圖,當(dāng)飛船運行到地球表面上P點的正上方時，從飛船上最遠能直接看到的地球上的點在什么位置?這樣的最遠點與P點的距離是多少?(地球半徑約為6 400 km，結(jié)果精確到0.1 km)分析:從飛船上能最遠直接看到的地球上的點，應(yīng)是視線與地球相切時的切點.如圖,⊙O表示地球，點F是飛船的位置，F(xiàn)Q是⊙O的切線，切點Q是從飛船

觀測地球時的最遠點.弧PQ的長就是地面上P, Q兩點間的距離.為計算弧PQ的長需先求出(即)

等于多少(精確到1o)這時人是否

一般要滿足 1

解:在上圖中，F(xiàn)Q是⊙O的切線，是直角三角形，弧PQ的長為

由此可知，當(dāng)飛船在p點正上方時，從飛船觀測地球時的最遠點距離 P點約2 009.6 km.（四）鞏固再現(xiàn) 練習(xí)1,習(xí)題 1

四、布置作業(yè)習(xí)題 2,3