第一篇：典型應用題集

差倍應用題

1、一籃蘋果比一籃桔子重40千克，蘋果重量是桔子的5倍，蘋果、桔子各有多少千克？

2、山坡上有一群羊，其中有綿羊和山羊。已知綿羊比山羊的3倍多55只，已知綿羊比山羊多345只，兩種羊各有多少只？

3、育才小學參加科技小組的同學比參加合唱隊的4倍少45人，參加科技小組的同學比合唱隊的人數(shù)多105人，求參加科技小組同學和參加合唱隊的人數(shù)各有多少人？

4、小芳課外書的本數(shù)是小強課外書本數(shù)的3倍。如果小芳借給小強10本書，小強書的本數(shù)等于小芳的3倍。小芳和小強各有課外書多少本？

5、甲倉庫存大米500袋，乙倉庫存大米200袋，現(xiàn)從兩個倉庫里運走同樣袋數(shù)的大米，結(jié)果甲倉庫剩下大米正好是乙倉庫剩下大米的3倍。問從兩個倉庫里各運走多少袋大米？

6、一個車間，女工比男工少35人，男女工各調(diào)出17人后，男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍。原有男工、女工各多少人？

7、甲、乙兩數(shù)的差及商都等于6，那么甲、乙兩數(shù)的和等于多少？

8、某車間男工人數(shù)是女工人數(shù)的2倍，若調(diào)走18個男工，那么女工人數(shù)是男工人數(shù)的兩倍，這個車間有女工多少人？

9、有兩缸金魚，如果從甲缸中取出5條放入乙缸，兩缸內(nèi)的金魚數(shù)相等。已知原來甲缸的金魚數(shù)是乙缸的1又2/3倍，甲缸原有金魚多少條？

10.兩筐重量相等的蘋果，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克以后，甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的3倍，兩筐蘋果各有多少千克？

11一天，A、B、C三個釣魚協(xié)會的會員去郊外釣魚，已知A比B多釣6條，C釣的魚是A的2倍，比B多釣22條，他們一共釣了多少條魚？

12、某小隊隊員提一籃蘋果和梨子到敬老院去慰問，每次從籃里取出2個梨子、5個蘋果送給老人，最后剩下11個蘋果，梨子正好分完。這時他們才想起原來蘋果數(shù)是梨子的3倍。問籃內(nèi)原有蘋果、梨子各多少個？

13已知大小兩個數(shù)的差是5.49，將較大數(shù)的小數(shù)點向左移動一位，就等于較小數(shù)。較大的數(shù)是多少？較小的數(shù)是多少？

14、已知兩個數(shù)的商是4，這兩個數(shù)的差是39，那么這兩個數(shù)中較小的一個數(shù)是多少？

15、甲、乙兩數(shù)的差是9，甲數(shù)的1/6和乙數(shù)的1/4相等，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？

16、育紅小學原來參加室外活動的人數(shù)比室內(nèi)的人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)人數(shù)的5倍，參加室內(nèi)、室外活動的共有多少人？

和倍問題應用題

1、小衛(wèi)家里養(yǎng)了20只兔子，其中大兔只數(shù)是小兔的4倍，問小衛(wèi)家養(yǎng)的小兔和大兔各有多少只？

2、被除數(shù)、除數(shù)、商三個數(shù)的和是212，已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？

3、某校四、五年級共有學生218人，五年級學生人數(shù)比四年級的2倍少22人。問四、五年級各有學生多少人？

4、兩數(shù)相除，商3余4，如果被除數(shù)、除數(shù)、商及余數(shù)相加，和是43，求被除數(shù)和除數(shù)。

5、姐姐有連環(huán)畫38本，妹妹有連環(huán)畫52本，姐姐要給妹妹多少本連環(huán)畫，才能使妹妹的本數(shù)是姐姐的2倍？

6、兩箱茶葉共176千克，從甲箱取出30千克放乙箱，乙箱的千克數(shù)就是甲箱的3倍。兩箱原有茶葉多少千克？

7、甲數(shù)是乙數(shù)的3倍，丙數(shù)是乙數(shù)的4倍，丁數(shù)是丙數(shù)的一半，四個數(shù)的和是1040，丁數(shù)是多少？

8、四個數(shù)的和是408，這四個數(shù)分別能被2、3、5、7整除，而且商相同。這四個數(shù)分別是多少？

9、兩個數(shù)相除商9，無余數(shù)，被除數(shù)、除數(shù)與商的和是89，除數(shù)是多少？

10、有三堆煤，甲堆比乙堆的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共240千克，那么，甲堆有煤多少千克？

11、分子、分母之和是23，分母增加19以后，得到一個新的分數(shù)，把這個分數(shù)化為最簡分數(shù)是1/5，原來分數(shù)是幾分之幾？

12、甲、乙兩數(shù)的和是16，甲數(shù)的3倍等于乙數(shù)的5倍，較大的數(shù)是多少？

13、商店運來桔子、蘋果、香蕉共53千克，桔子的重量是蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量是蘋果的2倍多2千克，桔子重量是多少千克？

14、兩個數(shù)的和是682，其中一個加數(shù)的個位是0，若把0去掉，則與另一個數(shù)相同，這兩個數(shù)各是多少？

15、甲、乙兩人共有150張畫片，甲的張數(shù)比乙的2倍多30張，兩人各有幾張畫片？

16、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差的和等于120，而差是減數(shù)的3倍，那么差等于多少？

還原問題應用題

1、甲、乙、丙三個中隊，共有圖書498冊，如果甲中隊給乙中隊4冊，乙中隊給丙中隊10冊，那么三個中隊的圖書冊數(shù)相等。原來甲中隊有圖書多少冊？

2、小虎做一道減法題時，把被減數(shù)十位上的6錯寫成9，減數(shù)個位上的9錯寫成6，最后所得的差是577。這道題的正確答案是多少？

3、同學們玩扔沙袋游戲，甲、乙兩班共有140只沙袋，如果甲班先給乙班5只，乙班又給甲班8只，這時兩班沙袋數(shù)相等。兩班原來各有沙袋多少只？

4、在做一道加法式題時，某學生把個位上的5看作9，把十位上的8看作3，結(jié)果和得123。正確的答案是多少？

5、小文在計算兩個數(shù)相加時，把一個加數(shù)個位上的1錯誤地當作7，把另一個加數(shù)十位上的8錯誤地當作3，所得的和是1946，原來兩數(shù)相加的正確答案是多少？

6、小馬虎做一道減法題，把被減數(shù)十位的6當作9，把減數(shù)個位的3當作5，結(jié)果是217，正確的答案是多少？

7、小軍在做一道減法題的時候，真粗心！把被減數(shù)個位上的3錯寫成8，十位上的0錯寫成6，這樣他算得的差是199，正確的差是多少？

8、如果某數(shù)擴大5倍，再減去6得39，如果這個數(shù)先減去6，再擴大5倍得多少？

9、某數(shù)加上1，減去2，乘3，除以4得9，求這個數(shù)。

10、某數(shù)加上6，乘6，減去6，除以6，其結(jié)果等于6，求某數(shù)。

11、有一老人說：把我的年齡加上17用4除，再減去15后用10乘，恰巧是100歲。這位老人今年幾歲？

12、一根繩子剪去一半多0.4米，再剪去余下的一半，還剩4.3米，這根繩子原來長多少米？

13、有一根鐵絲，第一次用去它的一半少1米，第二次用去了剩下的一半多1米，最后還剩2.5米。這條鐵絲原來長多少米？

14、甲、乙、丙三個組共有圖書90本，如果乙組向甲組借3本后，又送丙組5本，結(jié)果三個組所有圖書剛好相等。問甲、乙、丙三個組原有圖書多少本？

15、有甲、乙兩堆小球，各有若干個。按下面的要求移動小球：先從甲堆拿出和乙堆同樣多的小球放到乙堆；再從乙堆拿出和這時甲堆同樣多的小球放到甲堆。這時，甲乙兩堆的小球恰好都是16個。問甲、乙兩堆最初各有小球多少個？

16、有一個數(shù)，除以5，乘4，減去15，再加上35等于100，這個數(shù)是多少？

17、甲、乙、丙三人共有人民幣168元，第一次甲拿出與乙同樣的錢數(shù)給乙；第二次乙拿出與丙相同的錢數(shù)給丙；第三次丙拿出與這時甲相同的錢數(shù)給甲。這時甲、乙、丙三人的錢數(shù)恰好相等。原來甲比乙多多少元？

18、有甲、乙、丙三個數(shù)，從甲數(shù)取出15加到乙數(shù)，從乙數(shù)取出18加到丙數(shù)，從丙數(shù)取出12加到甲數(shù)，這時三個數(shù)都是180，甲、乙、丙三個數(shù)原來各是多少？

19、小明爺爺今年的年紀減去15后，縮小4倍，再減去6后，擴大10倍，恰好是100歲。請你算一算，小明爺爺今年多少歲？

20、某人去儲蓄所取款，第一次取了存款數(shù)的一半還多15元，第二次取了余下的一半還多10元，這時還剩125元。他原來存款多少元？

21、書架分上、中、下三層，一共分放192本書?，F(xiàn)在從上層取出與中層同樣多的書放到中層，再從中層取出與下層同樣多的書放到下層，最后從下層取出與上層剩下的本數(shù)同樣多的書放到上層，這時三層所放的書本數(shù)相同。試問：這個書架的上、中、下層原來各有書多少本？

22、有鉛筆若干支，分給甲、乙、丙三個學生。甲得最多，乙得較少，丙得最少。后重新分配。第一次分配，甲分給乙、丙，各給乙、丙所有數(shù)多4支，結(jié)果乙得最多；第二次分配，乙給甲、丙，各給甲、丙所有數(shù)多4支，結(jié)果丙得最多；第三次分配，丙給甲、乙，各給甲、乙所有數(shù)多4支。經(jīng)三次重新分配后，甲、乙、丙三個學生各得鉛筆44支。最初甲、乙、丙三個學生各得鉛筆多少支？

23、將八個數(shù)從左到右排成一行，從第三個數(shù)開始，每個數(shù)都恰好等于前兩個數(shù)之和。如果第7個數(shù)和第8個數(shù)分別是81，131，那么第一個數(shù)是多少？

24、一個數(shù)減去2487，小明在計算時錯把被減數(shù)百位和十位上的數(shù)交換了，結(jié)果得8439，正確的結(jié)果是多少？

25、一群猴子分一堆桃子，第一個猴子取走了一半零一個，第二個猴子取走剩下的一半零一個，……直到第七個猴子按上述方式取完后恰好取盡。這堆桃子一共有多少個？

假設法應用題

1、雞兔同籠，共100個頭，320只腳，問雞、兔各幾只？

2、小明計算20道競賽題，做對一道得5分，做錯一道倒扣3分。結(jié)果小明考得60分，問他做對了幾道題？

3、松鼠媽媽采松子。晴天每天可以采20個，雨天每天可以采12個。它一連幾天采了112個松子，平均每天采14個。問這幾天中有幾天下雨？

4、個體戶王小二承接了建筑公司一項運輸1200塊玻璃的業(yè)務，并簽了合同。合同上規(guī)定：每塊玻璃運費2元；如果運輸過程中有損壞，每損壞一塊，除了扣除一塊的運費外，還要賠償25元。王小二把這1200塊玻璃運送到指定地點后，建筑公司按合同付給他2076元。問：運輸過程中損壞了幾塊？ 5、100名師生綠化校園，老師每人栽3棵樹，學生每2人栽1棵，總共栽樹100棵。求老師與學生各栽樹多少棵？ 6、30枚硬幣由2分和5分組成，共值9角9分，兩種硬幣各多少枚？

7、某校數(shù)學競賽，共有20道填空題。評分標準是每做對一題得5分，做錯一題倒扣3分，某題沒做該題得0分。小英結(jié)果得了69分，那小英有幾題沒做？

8、學校早晨6：00開門，晚上6：40分關門。下午有一同學問老師現(xiàn)在的時間。老師說：從開校門到現(xiàn)在的1/3，加上現(xiàn)在到關校門時間的1/4，就是現(xiàn)在的時間。那么現(xiàn)在的時間是下午幾點？

9、大半導體25元一只，小半導體19元一只，某單位買這兩種數(shù)型半導體若干只，總價為360元。問該單位買這兩種半導體的總只數(shù)是多少？

10、蜘蛛有8只腳，蜻蜓有6只腳和2對翅膀，蟬有6只腳和1對翅膀。現(xiàn)在這三種昆蟲18只，共有118只腳和20對翅膀。問每種昆蟲各有多少只？

11、甲、乙兩人進行射擊比賽，約定每中一發(fā)記20分，脫靶一發(fā)扣12分，兩人各打10發(fā)，共得208分，其中甲比乙多64分，問甲、乙兩人各中了多少發(fā)？

年齡問題應用題

1、小剛說：去年爸爸比媽媽大4歲，我比媽媽小26歲。請你算一算，今年小剛的爸爸比小剛大幾歲？

2、老張、阿明和小紅三人共91歲，已知阿明22歲，是小紅年齡的2倍。問老張幾歲？

3、兒子的年齡是爸爸的1/4，三年前父子年齡之和是49歲。求父子現(xiàn)在年齡各是幾歲？

4、媽媽今年35歲，恰好是女兒年齡的7倍。多少年后，媽媽的年齡恰好是女兒的3倍？

5、小明今年8歲，他與爸爸、媽媽的年齡和是81歲，多少年后他們的平均年齡是34歲？這時小明幾歲？

6、小冬今年12歲，五年前爺爺?shù)哪挲g是小冬年齡的9倍，爺爺今年多少歲？

7、媽媽今年40歲，恰好是小紅年齡的4倍，多少年后，媽媽的年齡是小紅的2倍？

8、一家三口人，三人的年齡和是72歲。媽媽和爸爸同歲，媽媽的年齡是孩子的4倍，三人各是多少歲？

9、今年，祖父的年齡是小明年齡的6倍，幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的5倍。又過了幾年后，祖父的年齡將是小明年齡的4倍，求祖父今年多少歲？

10、三年前爸爸的年齡正好是兒子小剛年齡的6倍，今年父子年齡和是55歲，小剛今年多少歲？

11、爸爸15年前的年齡相當于兒子12年后的年齡，當爸爸的年齡是兒子的4倍時，爸爸多少歲？

12、甲的年齡數(shù)字顛倒過來恰好是乙的年齡，兩人年齡和為99歲，甲比乙大9歲，求甲的年齡。

13、祖孫三人的年齡加在一起正好是100歲，祖父過的年數(shù)正好等于孫子過的月數(shù)，兒子過的星期數(shù)正好等于孫子過的天數(shù)。問祖父、兒子、孫子各多少歲？

14、已知祖父和父親、父親和孫子的年齡的差是一樣的。又知祖父和孫子的年齡之和為84歲，這個歲數(shù)再加上孫子的年齡，正好是100歲，問三人的年齡各是多少歲？

15、張強兩歲時，他的父親32歲，張強的年齡是父親年齡的3/5的那一年，父親去世，問他父親活了多大歲數(shù)？

16、小英一家由小英和她的父母組成。小英的父親比母親大3歲。今年全家年齡的總和是71歲，8年前這個家庭成員的年齡總和是49歲。今年小英多少歲？父親多少歲？母親多少歲？

17、一個十幾歲的男孩子，把自己的歲數(shù)寫在父親歲數(shù)之后，組成一個四位數(shù)，從這個四位數(shù)中減去他們父子兩人歲數(shù)這差，得4289，求父子的歲數(shù)各是多少？ 18、10年前田蕓的年齡是她女兒的7倍，15年后田蕓的年齡是她女兒的2倍，現(xiàn)在母女倆的年齡各是多少歲？

19、兄弟倆都有點傻，以為自己過一年長一歲而別人不會長大。有一天哥哥對弟弟說：再過5年我的年齡就是你的2倍。弟弟說：不對，再過5年我和你一樣大。這時他們倆各幾歲？

20、媽媽今年的年齡是女兒的3倍，5年前的年齡是女兒的4倍。今年媽媽是多少歲？女兒是多少歲？

盈虧問題應用題

1、學校有一批樹苗，交給若干名少先隊員去栽，一次一次往下分，每次分一棵，最后剩下12棵不夠分；如果再拿來8棵樹苗，那么每個少先隊員正好栽10棵。問參加栽樹的少先隊員有多少人？原有樹苗多少棵？

2、小明一元錢買了5支鉛筆和8塊橡皮，余下的錢，如果買1支鉛筆就不足2分，如果買一塊橡皮就多出1分，每支鉛筆多少分？每塊橡皮多少分？

3、四（1）班同學植樹，每人植1棵還剩20棵，每人植2棵差30棵。有多少個同學？多少棵樹苗？

4、學雷鋒小組為學校搬磚。如果每人搬18塊，還剩2塊；如果每人搬20塊，就有一位同學沒磚可搬。問共有多少塊磚？

5、老師把一些蘋果分給小朋友。如果每人分一個，還剩下8個蘋果；如果每人分2個，那么還少2個蘋果。一共有多少個小朋友？

6、少先隊員植樹，如果每人種5棵，則剩下13棵；若每人種7棵，則差21棵。參加植樹的少先隊員有多少人？這批樹有多少棵？

7、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友，每人5個余10個；如果分給小班的小朋友，每人8個缺2個。已知大班比小班多3個小朋友。這一筐蘋果有多少個？

8、一小包糖分給幾個小朋友，如果每人分3塊，則余3塊；如果每人分5塊，則少一塊。那么小朋友有多少人？糖有多少塊？

9、王華用自己僅存的漆包線在磁棒上繞線圈，當他繞了80圈時，測得余線長15.28厘米，于是想改繞90圈，卻發(fā)現(xiàn)缺少22.4厘米的漆包線，王華的漆包線有多長？所用的磁棒的半徑是多少？

10、李老師將一疊練習本分給第一小組同學，每人分7本還多7本，如果每人分9本，那么有一個同學分不到。請算一算，第一小組有幾個同學？這疊練習本有多少本？

植樹問題應用題

1、一條路每隔5米有電線桿一根，連兩端共有20根，算一算，這條路有多長？

2、在一條長30米的走廊兩邊，每隔5米放一盆花，這樣一共需要放多少盆花？

3、一個湖泊周圍長1800米，沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹，每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，湖泊周圍各栽了多少棵柳樹和桃樹？

4、有三根木料，打算把每根鋸成三段，每鋸開一處，需用3分鐘，全部鋸完需要多少時間？

5、有一個掛鐘，每小時敲一次鐘，幾點敲幾下，鐘敲6下，5秒鐘敲完，鐘敲12下，幾秒鐘敲完？

6、有一幢房高17層，相鄰兩層間都有17個臺階。某人從一層走到十一層，一共要登多少個臺階？

7、某人到十層大樓的第八層辦事，不巧停電，電梯停開。如從一層樓走到四層樓需要48秒，請問以同樣的速度往上走到八層，還需要多少時間才能到達？

8、一個老人以等速在公路上散步，從第一根電線桿走到第12根電線桿用了12分鐘，這個老人用同樣的速度走24分鐘，應走到第幾根電線桿？

9、科學家進行一項實驗，每隔5小時做一次記錄。做第十二次記錄時，掛鐘的時針恰好指向9，問做第一次記錄時，時針指向幾？

10、有一條道路，左邊每隔5米種一棵楊樹，右邊每隔6米種一棵柳樹，兩端都種上樹，共有5處楊樹與柳樹相對。這條道路長多少米？

11、有一根180厘米長的繩子，從一端開始每3厘米作一記號，每4厘米也作一記號，然后將標有記號的地方剪斷，繩子共被剪成了多少段？

12、在一根長木棍上，有三種刻度線。第一種刻度線將木棍分成十等份，第二種將木棍分成十二等份；第三種將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸開，木棍總共被鋸成多少段？

小學奧數(shù)習題薈萃

1、勝利小學開展冬季體育比賽，參加跳繩的人數(shù)是打球的人數(shù)的4倍，比打球的人多72人，參加跳繩和打球的人各是多少人？

2、生產(chǎn)隊利用山地種了一批核桃樹和紅果樹，核桃樹的棵數(shù)是紅果樹的2倍多95棵，已知核桃樹比紅果樹多1455棵，兩種樹各種了多少棵？、一項工程，甲、乙、丙三人合作8天可完成，已知甲的工作效率等于乙、丙兩人工作效率之和，乙的工作效率相當于甲、丙兩人工作效率之和的1/2。這項工作如果由丙單獨完成，需要多少時間？

4、學校買來黃的和紅色兩中菊花，其中黃色菊花的盆數(shù)比總數(shù)的2/5多8盆，紅色菊花的盆數(shù)的黃色菊花的1/2。兩種菊花共有多少盆？

5、大小兩筐蘋果一共90千克，從大筐中取出1/5，從小筐中取出1/4，取出來的蘋果合在一起是20千克。小筐原來有多少千克蘋果？

6、甲、乙兩捆鋼絲原來是質(zhì)量相差60千克，后來甲捆用去75%，乙捆用去60%，剩下的一樣重，兩捆鋼絲原來各重多少千克？

7、把一藍山核桃分給甲、乙、丙、丁地個小猴，已知甲分得的山核桃相當于乙、丙、丁之和的1/2，乙分得的山核桃相當于甲、丙、丁之和的1/3，丙分得的山核桃相當于甲、乙、丁之和的1/4，余下的全給丁，已知丁分到26顆。甲、乙、丙各分到幾顆？

8、足球賽門票15元一張，降價后觀眾增加了一半，收入增加了1/5。門票降價了多少元？

9、甲、乙兩人步行的速度比是7：5，它們分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行，0.5銷售后相遇。如果它們分別從A，B兩地同時出發(fā)，同向而行，甲追上乙需要多少小時？

10、某廠去年有職工630人，其中男工人人數(shù)是女工人數(shù)的20%，今天又招進了一批男工人，這時男、女工人人數(shù)的比是3：7。今天招進男工人多少人？

11、五（1）班原計劃抽1/5的學生大掃除，后來又有2人主動要求參加，這樣參加大掃除的認輸是未參加的1/3。這個 班共有學生多少人？

12、工廠的27位師傅共帶徒弟40名，每位師傅可以帶一名徒弟、兩名徒弟或三名徒弟。如果帶一名徒弟的師傅人數(shù)是其他師傅人數(shù)的2倍，那么帶兩名徒弟的師傅有多少人？

13、某書店出售一種掛歷，每賣出一本可獲得18元里云，書店賣出一部分后每本減價10元，直至全部賣完，已知出售的掛歷本數(shù)的原價出售的2/3，書店賣完這種掛歷伙獲利潤2870元，書店功賣出這種掛歷多少本？ 14.（歸一問題）工程隊計劃用60人5天修好一條長4800米的公路，實際上增加了20人，每人每天比計劃多修了4米，實際修完這條路少用了幾天？

15、（相遇問題）甲、乙兩輛汽車同時從東西兩地相向開出，甲車每小時行56千米，乙車每小時行48千米。兩車距中點40千米處相遇。東西兩地相距多少千米？

16、（追及問題）大客車和小轎車同地、同方向開出，大客車每小時行60千米，小轎車每小時行84千米，大客車出發(fā)2小時后小轎車才出發(fā)，幾小時后小轎車追上大客車？

17、（過橋問題）列車通過一座長2700米的大橋，從車頭上橋到車尾離橋共用了3分鐘。已知列車的速度是每分鐘1000米，列車車身長多少米？

18、某自然數(shù),它可表示成9個連續(xù)自然數(shù)的和,也可表示成10個連續(xù)自然數(shù)的和,也可表示成11個連續(xù)自然數(shù)的和,符合以上條件的最小自然數(shù)是多少

19、（錯車問題）一列客車車長280米，一列貨車車長200米，在平行的軌道上相向而行，從兩個車頭相遇到車尾相離經(jīng)過20秒。如果兩車同向而行，貨車在前，客車在后，從客車頭遇到貨車尾再到客車尾離開貨車頭經(jīng)過120秒?？蛙嚨乃俣群拓涇嚨乃俣确謩e是多少？

.20、（行船問題）客輪和貨輪從甲、乙兩港同時相向開出，6小時后客輪與貨輪相遇，但離兩港中點還有6千米。已知客輪在靜水中的速度是每小時30千米，貨輪在靜水中的速度是每小時24千米。求水流速度是多少？

21、（和倍問題）小李有郵票30枚，小劉有郵票15枚，小劉把郵票給小李多少枚后，小李的郵票枚數(shù)是小劉的8倍？

22、（差倍問題）同學們?yōu)橄Ｍこ叹杩?，六年級捐款?shù)是二年級的3倍，如果從六年級捐款錢數(shù)中取出160元放入二年級，那么六年級的捐款錢數(shù)比二年級多40元，兩個年級分別捐款多少元？

23、（和差問題）一只兩層書架共放書72本，若從上層中拿出9本給下層，上層還比下層多4本，上下層各放書多少本？

24、（周期問題）2006年7月1日是星期六，求10月1日是星期幾？

25、（雞兔同籠問題）小麗買回0.8元一本和0.4元一本的練習本共50本，付出人民幣32元。0.8元一本的練習本有多少本？

26、（年齡問題）5年前父親的年齡是兒子的7倍。15年后父親的年齡是兒子的二倍，父親和兒子今年各是多少歲？

27.（還原問題）便民水果店賣芒果，第一次賣掉總數(shù)的一半多2個，第二次賣掉剩下的一半多1個，第三次賣掉第二次賣后剩下的一半少1個，這時只剩下11個芒果。求水果店里原來一共有多少個芒果？

28.（置換問題）學校買回6張桌子和6把椅子共用去192元。已知3張桌子的價錢和5把椅子的價錢相等，每張桌子和每把椅子各是多少元？

29.（最佳安排）烤面包的架子上一次最多只能烤兩個面包，烤一個面包每面需要2分鐘，那么烤三個面包最少需要多少分鐘？

30.（油和桶問題）一桶油連桶共重18千克，用去油的一半后，連桶還重9.75千克，原有油多少千克？桶重多少千克？

31、（盈虧問題）王老師發(fā)筆記本給學生們，每人6本則剩下41本，每人8本則差29本。求有多少個學生？有多少個筆記本？

第二篇：典型應用題

典型應用題

一、平均數(shù)問題：求幾個不相等的數(shù)值的平均數(shù)值的應用題。

1、解題關鍵：要先確定“總數(shù)量”和“總份數(shù)”。

2、計算公式：

平均數(shù)=總數(shù)量÷總份數(shù)

總份數(shù)=總數(shù)量÷平均數(shù)

總數(shù)量=平均數(shù)×總份數(shù)

(2)先設各數(shù)中最小的一個數(shù)為基數(shù)，再用“補差”（移多補少）的方法，求平均數(shù)。

平均數(shù)=基數(shù)+各數(shù)與基數(shù)的差的和÷總份數(shù)

（3）求等差數(shù)列的平均數(shù)

等差數(shù)列各項數(shù)字之和（即總數(shù)量）=（首項+末項）×項數(shù)÷2

項數(shù)（即總份數(shù)）=(末項—首項)÷2

平均數(shù)=（首項+末項）÷2

(附：第幾項=首項+（項數(shù)—1）×公差

3、類型:(1)求平均分數(shù)（2）求平均數(shù)（3）求平均原數(shù)

二 倍數(shù)問題：已知幾個數(shù)的和或差以及這幾個數(shù)之間的倍數(shù)關系，求這幾個數(shù)的應用題。

1、解題關鍵：必須先確定一個數(shù)（通常選用較小的數(shù)）作為標準數(shù)，即１倍數(shù)，再

根據(jù)其他幾個數(shù)與這個１倍數(shù)的關系，確定“和”與“ 差”相當于這樣的幾倍，最后用除法求出１倍數(shù)。

2、類型：

（１）和倍問題：根據(jù)大數(shù)是小數(shù)的幾倍，找出兩個數(shù)之和與小數(shù)的倍數(shù)關系（ｎ

＋１），算出小數(shù)，再算出大數(shù)

小數(shù)＝兩數(shù)之和÷（倍數(shù)＋１），大數(shù)＝小數(shù)×倍數(shù)

（２）差倍問題；：根據(jù)大數(shù)是小數(shù)的幾倍，找出兩個數(shù)之差與小數(shù)的倍數(shù)關系

（ｎ—１），算出小數(shù)，再算出大數(shù)

小數(shù)＝兩數(shù)之差÷（倍數(shù)＋１），大數(shù)＝小數(shù)×倍數(shù)

（３）變倍問題：兩數(shù)的倍數(shù)關系前后發(fā)生變化的應用題，解此類題，要找出倍數(shù)關系前后發(fā)生變化的原因，即與其相對應的大數(shù)與小

數(shù)也發(fā)生了變化，再按照和倍問題或差倍問題進行計算。

三 和差問題：已知兩數(shù)的和與差，求出這兩個數(shù)各是多少的應用題 １＼解題關鍵：選擇適當?shù)臄?shù)作為標準，設計把若干個不相等的數(shù)變成相當?shù)臄?shù)。也就是應用＂假定法＂，即先去掉或補足相差的數(shù)，再探求它們的數(shù)量關系。

某些復雜的應用題沒有直接告訴我們兩數(shù)的和與差，可以通過轉(zhuǎn)化求它們的和與差。２＼計算公式；小數(shù)＝（兩數(shù)之和－兩數(shù)之差）÷2

大數(shù)＝（兩數(shù)之和＋兩數(shù)之差）÷2

小數(shù)＝大數(shù)—差，小數(shù)＝兩數(shù)之和－大數(shù)

大數(shù)＝小數(shù)＋差，大數(shù)＝和—小數(shù)

第三篇：一元一次方程典型應用題

小學數(shù)學典型應用題分析歸納

（1）平均數(shù)問題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對應的總份數(shù)。

算術平均數(shù)：已知幾個不相等的同類量和與之相對應的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個數(shù)=算術平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關系式（部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個大于或小于標準數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標準數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應得數(shù)

最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應給數(shù)

最大數(shù)與個數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應得數(shù)。

例：一輛汽車以每小時 100 千米 的速度從甲地開往乙地，又以每小時 60 千米的速度從乙地開往甲地。求這輛車的平均速度。

分析：求汽車的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設為“ 1”，則汽車行駛的總路程為“ 2”，從甲地到乙地的速度為 100，所用的時間為，汽車從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時間是，汽車共行的時間為 + = ,汽車的平均速度為 2÷ =75（千米）

（2）歸一問題：已知相互關聯(lián)的兩個量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問題稱之為歸一問題。

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問題可以分為一次歸一問題，兩次歸一問題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問題可以分為正歸一問題，反歸一問題。

一次歸一問題，用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一。”

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。

解題關鍵：從已知的一組對應量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標準，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例 一個織布工人，在七月份織布 4774 米，照這樣計算，織布 6930 米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。693 0÷（477 4÷ 31）=45（天）

（3）歸總問題：是已知單位數(shù)量和計量單位數(shù)量的個數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個數(shù)），通過求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點：兩種相關聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關系式：單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量 =另一個單位數(shù)量

單位數(shù)量×單位個數(shù)÷另一個單位數(shù)量=另一個單位數(shù)量。

例 修一條水渠，原計劃每天修 800 米，6天修完。實際 4天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應用題叫做“歸總問題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。80 0× 6÷ 4=1200（米）

（4）和差問題：已知大小兩個數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個數(shù)各是多少的應用題叫做和差問題。

解題關鍵：是把大小兩個數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個大數(shù)的和（或兩個小數(shù)的和），然后再求另一個數(shù)。

解題規(guī)律：（和＋差）÷2 =大數(shù)

大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù)

和－小數(shù)=大數(shù)

例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94人，因工作需要臨時從乙班調(diào) 46人到甲班工作，這時乙班比甲班人數(shù)少 12人，求原來甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào) 46人到甲班，對于總數(shù)沒有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2個乙班，即 9 4－ 12，由此得到現(xiàn)在的乙班是（9 4－ 12）÷ 2=41（人），乙班在調(diào)出 46人之前應該為 41+46=87（人），甲班為 9 4－ 87=7（人）

（5）和倍問題：已知兩個數(shù)的和及它們之間的倍數(shù) 關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題，叫做和倍問題。

解題關鍵：找準標準數(shù)（即1倍數(shù)）一般說來，題中說是“誰”的幾倍，把誰就確定為標準數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標準的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個數(shù)（也可能是幾個數(shù)）與標準數(shù)的倍數(shù)關系，再去求另一個數(shù)（或幾個數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標準數(shù)

標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)

例:汽車運輸場有大小貨車 115輛，大貨車比小貨車的 5倍多 7輛，運輸場有大貨車和小汽車各有多少輛？

分析：大貨車比小貨車的 5倍還多 7輛，這 7輛也在總數(shù) 115輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（5+1）倍對應，總車輛數(shù)應（115-7）輛。

列式為（115-7）÷（5+1）=18（輛），18× 5+7=97（輛）

（6）差倍問題：已知兩個數(shù)的差，及兩個數(shù)的倍數(shù)關系，求兩個數(shù)各是多少的應用題。

解題規(guī)律：兩個數(shù)的差÷（倍數(shù)－1）=標準數(shù) 標準數(shù)×倍數(shù)=另一個數(shù)。

例 甲乙兩根繩子，甲繩長 63 米，乙繩長 29 米，兩根繩剪去同樣的長度，結(jié)果甲所剩的長度是乙繩 長的 3倍，甲乙兩繩所剩長度各多少米？ 各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長度差沒變，甲繩所剩的長度是乙繩的 3倍，實比乙繩多（3-1）倍，以乙繩的長度為標準數(shù)。列式（63-29）÷（3-1）=17（米）?乙繩剩下的長度，17× 3=51（米）?甲繩剩下的長度，29-17=12（米）?剪去的長度。

（7）行程問題：關于走路、行車等問題，一般都是計算路程、時間、速度，叫做行程問題。解答這類問題首先要搞清楚速度、時間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關系，再根據(jù)這類問題的規(guī)律解答。

解題關鍵及規(guī)律：

同時同地相背而行：路程=速度和×時間。

同時相向而行：相遇時間=速度和×時間

同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程速度差。同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×時間。

例 甲在乙的后面 28 千米，兩人同時同向而行，甲每小時行 16 千米，乙每小時行 9 千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。已知甲在乙的后面 28 千米（追擊路程），28 千米 里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間。列式 2 8÷（16-9）=4（小時）

（8）流水問題：一般是研究船在“流水”中航行的問題。它是行程問題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問題。它的特點主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動的速度。

順水速度：船順流航行的速度。

逆水速度：船逆流航行的速度。

順速=船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關鍵：因為順流速度是船速與水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問題當作和差問題解答。解題時要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順水速度+逆流速度）÷2 流水速度=（順流速度逆流速度）÷2 路程=順流速度× 順流航行所需時間

路程=逆流速度×逆流航行所需時間

例 一只輪船從甲地開往乙地順水而行，每小時行 28 千米，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順水多行 2小時，已知水速每小時 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順水的速度和順水所需要的時間，或者逆水速度和逆水的時間。已知順水速度和水流 速度，因此不難算出逆水的速度，但順水所用的時間，逆水所用的時間不知道，只知道順水比逆水少用 2小時，抓住這一點，就可以就能算出順水從甲地到乙地的所用的時間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284× 2=20（千米）2 0× 2 =40（千米）40÷（4× 2）=5（小時）28× 5=140（千米）。

（9）還原問題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過一定的四則運算后所得的結(jié)果，求這個未知數(shù)的應用題，我們叫做還原問題。

解題關鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā)，采用與原題中相反的運算（逆運算）方法，逐步推導出原數(shù)。

根據(jù)原題的運算順序列出數(shù)量關系，然后采用逆運算的方法計算推導出原數(shù)。

解答還原問題時注意觀察運算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時別忘記寫括號。

例 某小學三年級四個班共有學生 168人，如果四班調(diào) 3人到三班，三班調(diào) 6人到二班，二班調(diào) 6人到一班，一班調(diào) 2人到四班，則四個班的人數(shù)相等，四個班原有學生多少人？

分析：當四個班人數(shù)相等時，應為 168÷ 4，以四班為例，它調(diào)給三班 3人，又從一班調(diào)入 2人，所以四班原有的人數(shù)減去 3再加上 2等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168÷ 4-2+3=43（人）

一班原有人數(shù)列式為 168÷ 4-6+2=38（人）；二班原有人數(shù)列式為 168÷ 4-6+6=42（人）三班原有人數(shù)列式為 168÷ 4-3+6=45（人）。

（10）植樹問題：這類應用題是以“植樹”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹四種數(shù)量關系的應用題，叫做植樹問題。

解題關鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹 棵樹=段數(shù)+1

棵樹=總路程÷株距+1 株距=總路程÷（棵樹-1）

總路程=株距×（棵樹-1）

沿周長植樹

棵樹=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹

總路程=株距×棵樹

例 沿公路一旁埋電線桿 301根，每相鄰的兩根的間距是 50 米。后來全部改裝，只埋了201根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50×（301-1）÷（201-1）=75（米）

（11）盈虧問題：是在等分除法的基礎上發(fā)展起來的。他的特點是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問題，叫做盈虧問題。

解題關鍵：盈虧問題的解法要點是先求兩次分配中分配者沒份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個差去除后一個差，就得到分配者的數(shù)，進而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余，第二次不足，總差額=多余+不足

第一次正好，第二次多余或不足，總差額=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足，總差額=大不足-小不足

例 參加美術小組的同學，每個人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10人，則多 25支，如果小組有 12人，色筆多余 5支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個同學分到的色筆相等。這個活動小組有 12人，比 10人多 2人，而色筆多出了（25-5）=20支，2個人多出 20支，一個人分得 10支。列式為（25-5）÷（12-10）=10（支）10× 12+5=125（支）。

（12）年齡問題：將差為一定值的兩個數(shù)作為題中的一個條件，這種應用題被稱為“年齡問題”。

解題關鍵：年齡問題與和差、和倍、差倍問題類似，主要特點是隨著時間的變化，年歲不斷增長，但大小兩個不同年齡的差是不會改變的，因此，年齡問題是一種“差不變”的問題，解題時，要善于利用差不變的特點。

例 父親 48歲，兒子 21歲。問幾年前父親的年齡是兒子的 4倍？

分析：父子的年齡差為 48-21=27（歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（4-1）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4倍。列式為： 21（48-21）÷（4-1）=12（年）

（13）雞兔問題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應用題。通常稱為“雞兔問題”又稱雞兔同籠問題

解題關鍵：解答雞兔問題一般采用假設法，假設全是一種動物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù) 兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2 如果假設全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2 兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例 雞兔同籠共 50個頭，170條腿。問雞兔各有多少只？

兔子只數(shù)（170-2× 50）÷ 2 =35（只）

雞的只數(shù) 50-35=15（只）

第四篇：小學數(shù)學典型應用題

小學數(shù)學典型應用題

01歸一問題

【含義】

在解題時，先求出一份是多少（即單一量），然后以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。這類應用題叫做歸一問題。

【數(shù)量關系】

總量÷份數(shù)＝1份數(shù)量

1份數(shù)量×所占份數(shù)＝所求幾份的數(shù)量

另一總量÷（總量÷份數(shù)）＝所求份數(shù)

02解題思路和方法

先求出單一量，以單一量為標準，求出所要求的數(shù)量。

例1：3頭牛4天吃了24千克的草料，照這樣計算5頭牛6天吃草

_____

千克。

解:

1.根據(jù)題意先算出1頭牛1天吃草料的質(zhì)量：24÷3÷4=2(千克)。

2.那么5頭牛一天吃2×5=10(千克)的草料。

3.那么6天就能吃10×6=60(千克)草料。

例2：5名同學8分鐘制作了240張正方形紙片。如果每人每分鐘制作的數(shù)量相同，并且又來了2位同學，那么再過15分鐘他們又能做

_____

張正方形紙片？

解：

1.可以先算出5名同學1分鐘能制作正方形紙片的數(shù)量，240÷8=30(張)。

2.再算出1名同學1分鐘制作的數(shù)量，30÷5=6(張)。

3.現(xiàn)在有5+2=7(名)同學，每人每分鐘做6張，要做15分鐘，那么他們能做7×6×15=630(張)正方形紙片。

例3：某車間用4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，照這樣計算，增加3臺同樣的車床后，如果要生產(chǎn)6300個零件，需要

_____

小時完成？

解：

1.4臺車床5小時生產(chǎn)零件600個，則每臺車床每小時生產(chǎn)零件600÷4÷5=30（個）。

2.增加3臺同樣的車床，也就是4+3=7（臺）車床，7臺車床每小時生產(chǎn)零件7×30=210（個）。

3.如果生產(chǎn)6300個零件，需要6300÷210=30（小時）完成。

02歸總問題

【含義】

解題時，常常先找出“總數(shù)量”，然后再根據(jù)其它條件算出所求的問題，叫歸總問題。

所謂“總數(shù)量”是指貨物的總價.幾小時（幾天）的總工作量.幾公畝地上的總產(chǎn)量.幾小時走的總路程等。

【數(shù)量關系】

1份數(shù)量×份數(shù)＝總量

總量÷1份數(shù)量＝份數(shù)總量÷另一份數(shù)＝另一每份數(shù)量

解題思路和方法

先求出總數(shù)量，再根據(jù)題意得出所求的數(shù)量。

例1:王大伯家的干草夠8只牛吃一個星期的，照這樣計算，這些草夠4只牛吃（）天？

解：

1.可以算出這些草夠1只牛吃多少天，用8×7=56(天)。

2.算4只牛能吃多久，用56÷4=14(天)。

例2小青家有個書架共5層，每層放36本書?，F(xiàn)在要空出一層放碟片，把這層書平均放入其它4層中，每層比原來多放

（）本書。

解：

方法一：

1.根據(jù)題意可以算出書架上有5×36=180(本)書。

2.現(xiàn)在還剩下5-1=4(層)書架。

3.所以每層書架上有180÷4=45(本)書。比原來多45-36=9(本)書。

方法二：

也可以這樣考慮，就是要把其中一層的36本書平均分到其他4層，所以每層比原來多放36÷4=9（本）書。

例3一個長方形的水槽可容水480噸，水槽裝有一個進水管和一個排水管。單開進水管8小時可以把空池注滿；單開排水管6小時可以把滿水池排空，兩管齊開需要多少小時把滿池水排空？

解：

1.要求兩管齊開需要多少小時把滿池水排光，關鍵在于先求出進水速度和排水速度，進水每小時480÷8=60（噸）；排水每小時480÷6=80（噸）。

2.當兩管齊開，排水速度大于進水速度，即每小時排80-60=20（噸）。

3.再根據(jù)總水量就可以求出排空滿池水所需的時間。480÷20=24（小時）。

03和差問題

【含義】

已知兩個數(shù)量的和與差，求這兩個數(shù)量各是多少，這類應用題叫和差問題。

【數(shù)量關系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)＝(和－差)÷2

解題思路和方法

簡單的題目可以直接套用公式；復雜的題目變通后再用公式。

例1:兩筐水果共重150千克，第一筐比第二筐多18千克，第一筐水果重

_____

千克，第二筐水果重

_____

千克。

解：

因為第一筐比第二筐重

1.根據(jù)大大數(shù)＝(和＋差)÷2的數(shù)量關系，可以求出第一筐水果重(150+18)÷2=84（千克）。

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關系，可以求出第二筐水果重(150-18)÷2=66（千克）。

例2:登月行動地面控制室的成員由兩組專家組成，兩組共有專家120名，原來第一組人太多，所以從第一組調(diào)了20人到第二組，這時第一組和第二組人數(shù)一樣多，那么原來第二組有（）名專家。

解：

1.原來從第一組調(diào)了20人到第二組，這時第一組和第二組人數(shù)一樣多，說明原來第一組比第二組多20+20=40（人）

2.根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的數(shù)量關系，第二組人數(shù)應該為(120-40)÷2=40（人）。

例3:某工廠第一.二.三車間共有工人280人，第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人，三個車間各有多少人？

解：

1.第一車間比第二車間多10人，第二車間比第三車間多15人；

那么第一車間就比第三車間多25人，因此第三車間的人數(shù)是（280-25-15）÷3=80（人）。

據(jù)此可得出第一.二車間的人數(shù)。

04和倍問題

【含義】

已知兩個數(shù)的和及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少，這類應用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關系】

總和÷（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

總和－較小的數(shù)＝較大的數(shù)

較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例１：甲、乙兩倉庫共存糧２６４噸，甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍。甲倉庫存糧噸，乙倉庫存糧＿＿＿＿＿噸。

解：

１.根據(jù)“甲倉庫存糧是乙倉庫存糧的１０倍”，把甲倉庫存糧數(shù)看成“大數(shù)”，乙倉庫存糧數(shù)看成“小數(shù)”。

２.根據(jù)和倍公式總和－（幾倍＋１）＝較小的數(shù)，即可求乙倉庫存糧２６４＝（１０＋１）＝２４（噸）。

３.根據(jù)和倍公式較小的數(shù)×幾倍＝較大的數(shù)，即可求甲倉庫存糧２４×１０＝２４０（噸）。

例２：已知蘋果.梨.桃子的總質(zhì)量為４０千克，蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍，求蘋果.梨.桃子的質(zhì)量。

解：

１.根據(jù)“蘋果的質(zhì)量是桃子的４倍，梨的質(zhì)量是桃子的３倍”；

把桃子看成１倍數(shù)，則蘋果是４倍數(shù)，梨是３倍數(shù)。

２.根據(jù)“蘋果、梨、桃子的總質(zhì)量為４０千克”和和倍公式：

總和＝（幾倍＋１）＝較小的數(shù)

可求出桃子的質(zhì)量，４０＝（４＋３＋１）＝５（千克）

３.根據(jù)桃子質(zhì)量可以求出蘋果和梨的質(zhì)量。

例３：歡歡、樂樂和多多一共帶了1４８元去公園。

已知歡歡帶的錢數(shù)比樂樂的２倍多１元，多多帶的錢數(shù)比歡歡多２倍，那么多多帶了（）元。

解：

１.在三個量的和倍問題中，我們可以選擇其中一個標準量，然后通過三個量之間的和倍關系進行計算即可。

需要注意，多２倍就是３倍。

２.由題可知，三人里樂樂的錢數(shù)最少。

我們可以把樂樂看成標準量，那么歡歡就是２份標準量再加１元。

３.多多比歡歡多兩倍，就是２×３＝６份標準量再加１×３＝３（元）。

４.那么他們?nèi)齻€合起來就是１＋２＋６＝９

份標準量再加１＋３＝４（元）。

５.所以標準量是

（１４８－４）÷９＝１６（元），即樂樂帶了１６元。

６.根據(jù)樂樂的錢數(shù)可以求出歡歡帶了

１６×２＋１＝３３（元），所以多多帶了

３３×３＝９９（元）。

05差倍問題

【含義】

已知兩個數(shù)的差及大數(shù)是小數(shù)的幾倍（或小數(shù)是大數(shù)的幾分之幾），要求這兩個數(shù)各是多少；

這類應用題叫做差倍問題。

【數(shù)量關系】

兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：莉莉的科技書比故事書多16本，科技書是故事書3倍，莉莉有科技書（）本。

A.8

B.12

C.16

D.24

解：

1.解決差倍問題，可以畫線段圖解決，也可以直接套用公式解決。

2.把故事書的本數(shù)看作1倍數(shù)，科技書的本數(shù)就是3倍數(shù)，科技書比故事書多16本，所以根據(jù)差倍公式兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出故事書有16÷2=8本。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出科技書有8×3=24本。

例2：甲桶油是乙桶油4倍，如果從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，則原來甲桶有油

____

千克，乙桶有油

____

千克。

解：

1.根據(jù)題意，從甲桶倒出15千克給乙桶，兩桶油的重量就相等了，說明原來甲桶油比乙桶油多15×2=30（千克）。

2.根據(jù)差倍公式兩個數(shù)的差÷（幾倍-1）=較小的數(shù)，可以求出乙桶有油30÷（4-1）=10（千克）。

3.根據(jù)差倍公式較小的數(shù)×幾倍=較大的數(shù)，可以求出甲桶原有油10×4=40（千克）。

例3：每件成品需要5個甲零件，2個乙零件。

開始時，甲零件的數(shù)量是乙零件數(shù)量的2倍，加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多，那么還可以加工

_____

個成品。

解：

1.加工一個成品，甲零件比乙零件多用5-2=3（個），加工30個成品，甲零件比乙零件多用3×30=90（個）。

根據(jù)“加工了30個成品之后甲零件和乙零件的數(shù)量一樣多”說明原來甲零件比乙零件多90個。

2.把乙原來的零件數(shù)看成1倍，甲就是這樣的2倍，甲比乙多1倍，對應90個，求出乙原來有90÷（2-1）=90（個）

3.那么甲原來有90×2=180（個）零件。

4.每件成品需要5個甲零件，2個乙零件，那么加工30個成品，甲零件用了5×30=150（個），乙零件用了2×30=60（個），所以甲零件還剩180-150=30（個），乙零件還剩90-60=30（個）。

剩下的甲零件還能做30÷5=6（個）成品，剩下的乙零件還能做30÷2=15（個）成品。

因為每件成品需要甲.乙兩種零件共同完成，所以剩下的零件數(shù)還可以加工6個成品。

06和倍問題

【含義】

已知兩個或多個人年齡關系，求各自年齡或年齡關系，這類應用題叫做和倍問題。

【數(shù)量關系】

大數(shù)＝(和＋差)÷2小數(shù)

＝(和－差)÷2總和÷(幾倍+1)

＝較小的數(shù)

總和-較小的數(shù)＝較大的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

＝較大的數(shù)兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）

=較小的數(shù)較小的數(shù)×幾倍

=較大的數(shù)

解題思路和方法

年齡問題具有年齡同增同減，年齡差不變的特性。

年齡問題都可以轉(zhuǎn)化為和差.和倍.差倍問題。

簡單的題目直接利用公式，復雜的題目變通后利用公式。

例1：爸爸今年38歲，媽媽今年36歲，當爸爸42歲時，媽媽

_____

歲。

解：

1.本題考查的年齡差不變（簡單），不管過了多少年年齡差是不變的。

2.爸爸比媽媽大2歲，根據(jù)不管過了多少年年齡差是不變的，當爸爸42歲時，媽媽是40歲。

例2：姐姐今年15歲，妹妹今年12歲，當她們的年齡和是39歲時，那時妹妹

_____

歲。

解：

方法一：

1.利用年齡同增同減的思路。

2.姐妹倆今年的年齡之和是：

15+12=27（歲），年齡之和到達39歲時需要的年限是：

（39-27）÷2=6（年）。

3.那是妹妹的年齡是12+6=18（歲）。

方法二：

1.利用年齡差不變的思路。

2.兩姐妹的年齡差為15-12=3（歲），再根據(jù)小數(shù)＝(和－差)÷2的公式，可以求出妹妹的年齡為（39-3）÷2=18（歲）。

例3：爸爸今年50歲，哥哥今年14歲，_____

年前，爸爸的年齡是哥哥的5倍。

解：

1.不管過了多少年，年齡差是不變的，當爸爸的年齡是哥哥的5倍時，年齡差仍是50-14=36（歲）。

2.問什么時候爸爸的年齡是哥哥的5倍，實際上年齡差就是哥哥的5-1=4倍。

3.根據(jù)兩個數(shù)的差÷（幾倍－1）=較小的數(shù)，可以求出哥哥當時的年齡是（50-14）÷4=9（歲）。

4.再根據(jù)題意可求出14-9=5（年）前。

例4：今年姐妹兩人的年齡和是50歲，曾經(jīng)有一年，姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，且那時姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍。

那么姐姐今年

_____

歲。

解：

1.當姐姐的年齡恰好是妹妹年齡的2倍時，我們設那時妹妹的年齡是1份，那么姐姐的年齡就是2份，那么姐姐與妹妹的年齡差就是1份。

2.因為那時姐姐的年齡與妹妹今年的年齡相同，所有妹妹今年的年齡也是2份。

因為年齡差不變，所以今年姐姐的年齡應該是2+1=3份。

3.今年姐妹兩人的年齡和是50歲，對應2+3=5份，求出1份是50÷5=10（歲），那么姐姐今年是10×3=30（歲）。

07相遇問題

【含義】

兩個運動的物體同時由兩地出發(fā)相向而行，在途中相遇。

這類應用題叫做相遇問題。

這類應用題叫做相遇問題。

【數(shù)量關系】

相遇時間＝總路程÷（甲速＋乙速）總路程

＝（甲速＋乙速）×相遇時間

解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：歡歡和樂樂在一條馬路的兩端相向而行，歡歡每分鐘行60米，樂樂每分鐘行80米，他們同時出發(fā)5分鐘后相遇。這條馬路長（）。

解：

根據(jù)公式總路程＝（甲速＋乙速）×相遇時間，可以求出這條馬路長（60＋80）×5

=700（米）。

例2：甲乙兩車分別以不變的速度從AB兩地同時出發(fā)，相向而行。到達目的地后立即返回。

已知第一次相遇地點距離A地50千米，第二次相遇地點距離B地60千米，AB兩地相距

_____

千米。

解：

1.本題考查的是二次相遇問題，靈活的運用畫線段圖的方法來分析是解決這類問題的關鍵。

2.畫線段圖

3.從圖中可以看出，第一次相遇時甲行了50千米。甲乙合行了一個全程的路程。

從第一次相遇后到第二次相遇，甲乙合行了兩個全程的路程。

由于甲乙速度不變，合行兩個全程時，甲能50×2=100(千米)。

4.因此甲一共行了50+100=150(千米)，從圖中看甲所行路程剛好比AB兩地相距路程還多出60千米。

所以AB兩地相距150-60=90(千米)。

例3：歡歡和樂樂在相距80米的直跑道上來回跑步，樂樂的速度是每秒3米，歡歡的速度是每秒2米。

如果他們同時分別從跑道兩端出發(fā)，當他們跑了10分鐘時，在這段時間里共相遇過

_____

次。

解：

1.根據(jù)題意，第一次相遇時，兩人共走了一個全程，但是從第二次開始每相遇一次需要的時間都是第一次相遇時間的兩倍。（線段圖參考例2。）

2.根據(jù)“相遇時間=總路程÷速度和”得到，歡歡和樂樂首次相遇需要80÷（3+2）=16（秒）。

3.因為從第一次相遇結(jié)束到第二次相遇，歡歡和樂樂要走兩個全程，所以從第二次開始每相遇一次需要的時間是16秒的2倍，也就是32秒，則經(jīng)過第一次相遇后，剩下的時間是600-16=584（秒），還要相遇584÷32=18.25（次），所以在這段時間里共相遇過18+1=19（次）。

追及問題（含解析）

01追及問題

【含義】

兩個運動物體在不同地點同時出發(fā)（或者在同一地點而不是同時出發(fā)，或者在不同地點又不是同時出發(fā)）

作同向運動，在后面的，行進速度要快些，在前面的，行進速度較慢些，在一定時間之內(nèi)，后面的追上前面的物體。

這類應用題就叫做追及問題。

【數(shù)量關系】

★

追及時間＝

追及路程÷（快速－慢速）

★

追及路程＝（快速－慢速）×追及時間

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖

分析可以讓解題事半功倍。

例1：某警官發(fā)現(xiàn)前方100米處有一匪徒，匪徒正以每秒2米的速度逃跑。

警官趕緊以每秒3米的速度追，（）秒后警官可以追上這個匪徒。

解：

1.從警官追開始到追上匪徒，這就是一個追及過程。

根據(jù)公式：路程差÷速度差=追及時間。

2.路程差為100米，警官每秒比匪徒多跑3-2=1（米），即速度差為1米/秒。

所以追及的時間為100÷1=100（秒）。

例2：甲乙二人同時從400米的環(huán)形跑道的起跑線出發(fā)，甲每秒跑6米，乙每秒跑8米，同向出發(fā)。

那么甲乙二人出發(fā)后（）秒第一次相遇？

解：

1.由題可知，甲乙同時出發(fā)后，乙領先，甲落后，那么兩人第一次相遇時，乙從后方追上甲。

所以，乙的路程=甲的路程+一周跑道長度，即追及路程為400米。

2.由追及時間=總路程÷速度差可得：經(jīng)過400÷（8-6）=200（秒）

兩人第一次相遇。

例3：小轎車、面包車和大客車的速度分別為60千米/時.48千米/時和42千米/時，小轎車和大客車從甲地.面包車從乙地同時相向出發(fā)，面包車遇到小轎車后30分鐘又遇到大客車。

那么甲.乙兩地相距多遠？

解：

1.根據(jù)題意，將較復雜的綜合問題分解為若干個單一問題。

首先是小轎車和面包車的相遇問題；

其次是面包車和大客車的相遇問題；

然后是小轎車與大客車的追及問題。

最后通過大客車與面包車共行甲.乙兩地的一個單程，由相遇問題可求出甲.乙兩地距離。

2.畫線段圖，圖上半部分是小轎車和面包車相遇時三車所走的路程。

圖下半部分是第一次相遇30分鐘之后三車所走的路程。

3.由圖可知，當面包車與大客車相遇時，大客車與小轎車的路程差為小轎車與大客車30分鐘所走的路程。

有小轎車與大客車的速度差，有距離，所以可以求出車輛行駛的時間。

（60+48）×0.5÷（60-42）=3（小時）。

4.由于大客車與面包車相遇，共行一個行程，所以AB兩地路程為

（42+48）×3=270（千米）。

01

植樹問題

【含義】

按相等的距離植樹，在距離.棵距.棵數(shù)這三個量之間，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應用題叫做植樹問題。

【數(shù)量關系】

線形植樹：

一端植樹：棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

兩端植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)+1=距離÷棵距＋1

兩端都不植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)-1=距離÷棵距-1

環(huán)形植樹：

棵數(shù)＝間隔數(shù)=距離÷棵距

正多邊形植樹：

一周總棵數(shù)=每邊棵數(shù)×邊數(shù)-邊數(shù)

每邊棵樹=一周總棵數(shù)÷邊數(shù)+1

面積植樹：

棵數(shù)＝面積÷（棵距×行距）

02解題思路和方法

先弄清楚植樹問題的類型，然后可以利用公式。

例1：植樹節(jié)到了，少先隊員要在相距72米的兩幢樓房之間種8棵楊樹。

如果兩頭都不栽，平均每兩棵樹之間的距離應是多少米？

解：

1.本題考察的是植樹問題中的兩端都不栽的情況，解決此類問題的關鍵是要理解棵數(shù)比間隔數(shù)少1。

2.因為棵數(shù)比間隔數(shù)少1，所以共有8+1=9個間隔，每個間隔距離是72÷9=8米。

3.所以每兩棵樹之間的距離是8米。

例2：佳一小學舉行運動會，在操場周圍插上彩旗。

已知操場的周長是500米，每隔5米插一根紅旗，每兩面紅旗之間插一面黃旗，那么一共插紅旗多少面，一共插黃旗多少面。

解：

1.本題考查的是植樹問題中封閉圖形間隔問題。

本題中只要抓住棵數(shù)＝間隔數(shù)，就能求出插了多少面紅旗和黃旗。

2.棵數(shù)＝間隔數(shù)，一共插紅旗500÷5＝100（面），這一百面紅旗中一共有100個間隔，所以一共插黃旗100面。

例3：多多從一樓爬樓梯到三樓需要6分鐘，照這樣計算，從三樓爬到十樓需要多少分鐘？

解：

1.本題考查的是植樹問題中鋸木頭.爬樓梯問題的情況。

需要理解爬的樓層.鋸的次數(shù)與層數(shù).段數(shù)之間的關系。

所在樓層=爬的層數(shù)+1；

木頭段數(shù)=鋸的次數(shù)+1。

2.從一樓爬樓梯到三樓，需要爬2層，需要6分鐘，所以每層需要6÷2=3（分鐘）。

因此從三樓爬到十樓，需要（10-3）×3=21（鐘）。

例4：時鐘敲3下要2秒鐘，敲6下要多少秒？

解：

1.本題考查的是植樹問題中敲鐘聲問題，與鋸木頭爬樓問題類似。

本題中只要抓住敲的次數(shù)＝間隔數(shù)+1。

2.時鐘敲3下，中間有2個間隔，2個間隔需要2秒鐘，那么1個間隔需要1秒鐘。

時鐘敲6下，中間有5個間隔，需要5秒。

01行船問題

【含義】

行船問題也就是與航行有關的問題。

解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度；

也就是船只在靜水中航行的速度；

水速是水流的速度，船只順水航行的速度是船速與水速之和；

船只逆水航行的速度是船速與水速之差。

【數(shù)量關系】

（順水速度＋逆水速度）÷2

＝船速（順水速度－逆水速度）÷2

＝水速順水速＝船速×2－逆水速

＝逆水速＋水速×2逆水速

＝船速×2－順水速

＝順水速－水速×2

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：某船在同一條河中順水船速是每小時20千米，逆水船速是每小時10千米，這條河的水流速度是每小時

_____

千米？

解：

順水船速=船速+水流速度，逆水船速=船速-水流速度，可以看出，順水船速比逆水船速多2個水流速度，因此，水流速度=(20-10)÷2=5(千米/時)。

例2：某條大河水流速度是每小時5千米，一艘靜水船速是每小時20千米的貨輪逆水航行5小時能到達目的地，這艘貨輪原路返回到出發(fā)地需要多少小時？

解：

1.逆水速度=靜水船速-水流速度，所以貨輪逆水速度是20-5=15(千米/時)，行駛5小時共行了15×5=75(千米)。

2.原路返回時是順水航行，順水速度是靜水船速+水速，即20+5=25(千米/時)，所以返回用時75÷25=3(小時)。

例3：小船在兩個碼頭間航行，順水需4小時，逆水需5小時，若一只木筏順水漂過這段距離需

_____

小時？

解：

1.我們可以假設一個路程。

假設兩個碼頭之間的距離是200千米，順水需4小時，則順水的速度是每小時200÷4=50（千米），逆水需5小時，則逆水的速度是每小時200÷5=40（千米）。

2.根據(jù)“水速=（順水行駛速度-逆水行駛速度）÷2”得到，水流速度是每小時（50-40）÷2=5（千米）。

3.一只木筏順水漂過的速度就是水流速度，所以木筏順水漂過這段距離需要200÷5=40（小時）。

01列車問題

【含義】

與列車行駛有關的一些問題，解答時要注意列車車身的長度。

【數(shù)量關系】

★

火車過橋：

過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速

★

火車追及：

追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）

★

火車相遇：

相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）

02解題思路和方法

簡單的題目可直接利用公式，復雜的題目變通后再利用公式，利用線段圖分析可以讓解題事半功倍。

例1：一列火車全長126米，全車通過611米的隧道需要67秒，火車的速度是多少米/秒？

解：

1.本題考查的是火車過橋的問題。

解決本題的關鍵是知道火車完全經(jīng)過隧道所走的路程是一個車身長＋隧道長，進而求出車速。

2.因此火車的速度為：（126＋611）÷67＝11（米/秒）。

例2：在兩行軌道上有兩列火車相對開來，一列火車長208米，每秒行18米，另一列火車每秒行19米，兩列火車從相遇到完全錯開用了12秒鐘，那么另一列火車長多少

米？

解：

兩列火車從相遇到完全錯開，所行路程之和剛好是它們的車身長度之和。

根據(jù)“路程和=速度和×時間”

可得，另一列火車長=（18+19）×12-208=236（米）。

例3：一列火車通過一座長90米的橋需要24秒，如果火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒。

原來火車每秒行多少米？

解：

1.根據(jù)“火車的速度加快1倍，它通過長為222米的隧道只用了18秒”可知，如果火車用原來的速度通過222米的隧道，則要用18×2=36（秒）。

2.隧道比大橋長222-90=132（米），火車要多用36-24=12（秒）行駛這一段路程，根據(jù)速度=路程÷時間，可以求出原來火車每秒行132÷12=11（米）。

01時鐘問題

【含義】

就是研究鐘面上時針與分針關系的問題，如兩針重合.兩針垂直.兩針成一線.兩針夾角為60度等，這類問題可轉(zhuǎn)化為行程問題中的追及問題。

【數(shù)量關系】

分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為5.5度/分。

通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算。

02解題思路和方法

將兩針重合，兩針垂直，兩針成一線，兩針夾角60°等為“追及問題”后可以直接利用公式。

例1：鐘面上從時針指向8開始，再經(jīng)過多少分鐘，時針正好與分針第一次重合?（精確到1分）

解：

1.此類題型可以把鐘面看成一個環(huán)形跑道。

那么本題就相當于行程問題中的追及問題，即分針與時針之間的路程差是240°。

2.分針每分鐘比時針多轉(zhuǎn)6°-0.5°=5.5°，所以240÷5.5≈44（分鐘）。

也就是從8時開始，再經(jīng)過44分鐘，時針正好與分針第一次重合。

例2：從早晨6點到傍晚6點，鐘面上時針和分針一共重合了多少次？

解：

我們可以把鐘面看成一個環(huán)形跑道，這樣分針和時針的轉(zhuǎn)動就可以轉(zhuǎn)化成追及問題。

從早晨6點到傍晚6點，一共經(jīng)過了12小時，12個小時分針要跑12圈，時針只能跑1圈，分針比時針多跑12-1=11（圈），而分針每比時針多跑1圈，就會追上時針一次，也就是和時針重合1次，所以12小時內(nèi)兩針一共重合了11次。

例3：一部記錄中國軍隊時代變遷的紀錄片時長有兩個多小時。

小明發(fā)現(xiàn)，紀錄片播放結(jié)束時，手表上時針.分針的位置正好與開始時時針.分針的位置交換了一下。

這部紀錄片時長多少分鐘？（精確到1分）

解：

1.解決本題的關鍵是認識到時針與分針合走的路程是1080°，進而轉(zhuǎn)化成相遇問題來解決。

2.兩個多小時，分針與時針位置正好交換。

所以分針與時針所走的路程和正好是三圈，也就是分針和時針合走360°×3=1080°，而分針和時針每分鐘的合走6°+0.5°=6.5°，所以合走1080°

需要1080÷6.5≈166（分鐘），即這部紀錄片時長166分鐘。

01

工程問題

【含義】

工程問題主要研究工作量.工作效率和工作時間三者之間的關系。

這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”.“一塊土地”.“一條水渠”.“一件工作”等。

在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。

【數(shù)量關系】

工作量＝工作效率×工作時間工作時間

＝工作量÷工作效率工作時間

＝工作總量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

02解題思路和方法

解答工程問題的關鍵是把工作總量看作單位“1”。

這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾）。

進而就可以根據(jù)工作量.工作效率.工作時間三者之間的關系列出算式。

例1：一項工程，甲隊獨做要12天完成，乙隊獨做要15天完成，兩隊合做4天可以完成這項工程的（）。

解：

1.本題考察的是兩個人的工程問題，解決本題的關鍵是求出甲.乙兩隊的工作效率之和。

進而用工作效率×工作時間=工作量。

2.甲隊的工作效率為:1÷12=，乙隊的工作效率為:1÷15=，兩隊合做4天，可以完成這項工程的（+）×4=。

例2：一項工程，甲.乙兩隊合作30天完成。

如果甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去，由乙隊繼續(xù)做了15天才完成。

這項工程如果由甲隊單獨做，需要多少天完成？

解：

1.我們可以將“甲隊單獨做24天后，乙隊再加入合做，兩隊合做12天后，甲隊因事離去。

由乙隊繼續(xù)做了15天才完成”轉(zhuǎn)化為“甲.乙兩隊合做27天，甲再單獨做9天”，由此可以求出甲9天的工作量為：，甲每天的工作效率為：，這項工程如果由甲隊單獨做，需要。

例3：有一項工程，甲單獨做需要6小時，乙單獨做需要8小時，丙單獨做需要10小時，上午8時三人同時開始，中間甲有事離開，如果到中午12點工程才完工，則甲上午離開的時間是幾時幾分？

解：

1.根據(jù)題意，知道了甲乙丙的工作時間可求出相應的工作效率。

甲的工作量是全部工作量減去乙丙的工作量，所以甲的工作時間也可以求出來，即甲上午離開的時間也可以求出來。

2.甲的工作量=1-（+）×4=；

甲的工作效率為：1÷6=

所以甲的工作時間為：÷=（小時）

所以甲離開的時間是8時36分。

01盈虧問題

【含義】

根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應用題叫做盈虧問題。

【數(shù)量關系】

一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：

參加分配總量＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：

參加分配總量＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總量＝（大虧－小虧）÷分配差

02解題思路和方法

大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關系的公式。

例1：小明從家到學校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘；

如果每分鐘走70米，則可提前5分鐘到校，小明家到學校的路程是多少米？

解：

1.分析題意，類比“盈虧問題”，我們可以把“遲到3分鐘”，轉(zhuǎn)化為比計劃路程少行50×3=150（米），把“提前5分鐘”轉(zhuǎn)化為比計劃路程多行70×5=350（米）

這時題目被轉(zhuǎn)化成了“一盈一虧”問題。

2.根據(jù)公式，求出原計劃到校的時間：（350+150）÷（70-50）=25（分鐘）。

3.所以小明家到學校的路程：50×（25+3）=1400（米），或者70×（25-5）=1400（米）。

例2：若干人擦玻璃窗，其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊；

若每人擦6塊，正好擦完。

擦玻璃窗的共有多少人，玻璃共有多少塊？

解：

1.由題意可知，本題屬于分配不均型的盈虧問題，需要將題目條件轉(zhuǎn)化成一般盈虧問題。

“其中2人各擦4塊，其余的人各擦5塊，則余12塊”可以轉(zhuǎn)化為“每人擦5塊，則余10塊”。

2.這樣就轉(zhuǎn)化為了雙盈問題，擦玻璃的有：

（10-0）÷（6-5）=10人，玻璃共有10×5+10=60塊。

例3：動物園飼養(yǎng)員把一堆桃子分給一群猴子。如果每只猴子分10個桃子，則有兩只猴子沒有分到；

如果有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子。

一共有多少只猴子？

解：

1.分析題意，題中有兩種分配方式。

聯(lián)系“盈虧問題”，我們可以把“兩只猴子沒有分到”理解為桃子的數(shù)量少

2×10=20（個），再把“有兩只猴子分8個桃子，其余猴子分9個，則還差3個桃子”理解為每只猴子分9個，則還少（9-8）×2+3=5（個）。

2.這時把題目看成“雙虧問題”，求出猴子的數(shù)量：（20-5）÷（9-8）=15（只）。

01百分數(shù)問題

【含義】

百分數(shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分數(shù)是一種特殊的分數(shù)。

分數(shù)常常可以通分.約分，而百分數(shù)則無需；

分數(shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分數(shù)只顯“率”；

分數(shù)的分子.分母必須是自然數(shù)，而百分數(shù)的分子可以是小數(shù)；

百分數(shù)有一個專門的記號“%”。

在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%。

【數(shù)量關系】

掌握“百分數(shù)”.“標準量”“比較量”三者之間的數(shù)量關系：

百分數(shù)＝比較量÷標準量標準量＝比較量÷百分數(shù)

02解題思路和方法

一般有三種基本類型：

（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；

（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；

（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。

例1：在植樹節(jié)里，某校六年級學生在校園內(nèi)種樹8棵，占全校植樹數(shù)的20%，則該校在植樹節(jié)里共植樹多少棵？

解：

已知六年級學生的種樹棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹數(shù)的比值，直接用除法運算即可。

所以：8÷20%=40（棵）

例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣出總數(shù)的25%，第二天賣出45件，第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進了多少件連衣裙？

解：

1.把這批連衣裙的總數(shù)看作單位“1”，已知第三天賣出的是前兩天賣出的總和的三分之一，也就是第三天賣出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45×+20）對應的分率。

2.根據(jù)已知一個數(shù)的幾分之幾或百分之幾是多少，求這個數(shù)，用除法解答。

（45+45×+20）÷（1-25%-25%×）=120（件）

例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來這堆棋子一共有多少枚？

解：

1.本題考察的是百分數(shù)應用題的相關知識，解決本題的關鍵是當一種棋子變化時，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進而解決問題。

2.由條件可知，當拿走49枚黑子時，此時白子的數(shù)量沒有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（1-40%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（1-75%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當于9-2=7（份），故每一份是49÷7=7（枚）棋子

3.拿走49枚棋子之前，黑子有7×9=63（枚），白子有7×6=42（枚）。

4.再往前推，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒有變化，所以原來黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。

03知識補充

百分數(shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應用很廣泛，常見的百分率有：

★?增長率＝增長數(shù)÷原來基數(shù)×100%

★?合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)÷產(chǎn)品總數(shù)×100%

★?出勤率＝實際出勤人數(shù)÷應出勤人數(shù)×100%

★?出勤率＝實際出勤天數(shù)÷應出勤天數(shù)×100%

★?缺席率＝缺席人數(shù)÷實有總?cè)藬?shù)×100%

★?發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)÷試驗種子總數(shù)×100%

★?成活率＝成活棵數(shù)÷種植總棵數(shù)×100%

★?出粉率＝面粉重量÷小麥重量×100%

★?出油率＝油的重量÷油料重量×100%

★?廢品率＝廢品數(shù)量÷全部產(chǎn)品數(shù)量×100%

★?命中率＝命中次數(shù)÷總次數(shù)×100%

★?烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

方陣問題

【含義】

將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣）。

根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題。

【數(shù)量關系】

（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關系：

四周人數(shù)?＝（每邊人數(shù)－1）×4

每邊人數(shù)?＝四周人數(shù)÷4＋1

（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：

實心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)×每邊人數(shù)

空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人

數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)×2

（3）若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4

解題思路和方法

方陣問題有實心與空心兩種。

實心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應根據(jù)具體情況確定。

例1：佳一學校參加運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少23人。

那么參加團體操表演的運動員一共有

多少人？

解：

1.要知道參加表演的運動員共有多少人，只需要找到最外層每邊有多少人即可。

2.一個正方形隊列，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點上的人數(shù)計算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)×2-1。

所以開始每邊有（23+1）÷2=12（人），參加表演的有12×12=144（人）。

例2：歡歡用圍棋子圍成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個方陣共用了多少枚圍棋子？

解法1：

1.本題考查的空心方陣，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關系，算出每一層的棋子數(shù)。

2.方陣每向里一層，每邊的枚數(shù)就減少2枚。

知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。

最外一層的棋子的枚數(shù)：（16-1）×4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（16-2-1）×4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（16-2-2-1×4=11×4=44（枚），擺這個方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。

解法2:

若將空心方陣分成四個相等的矩形計算，則：

總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）×層數(shù)×4。則：

（16-3）×3×4=156(枚)

例3：一個實心方陣由81人組成，這個方陣的最外層有

多少人？

解：

方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，9×9=81，所以這是一個9行9列的方陣。

最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關系：一邊人數(shù)×4-4=一層人數(shù)。

所以最外層的人數(shù)是9×4-4=32(人)。

例4：明明在一個用棋子排成的實心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個棋子，這樣排成了一個新方陣，他又把這個新方陣改排成一個4層的空心陣，這個方陣最外層每邊有

多少個棋子？

解：

1.根據(jù)題意，排成的這個新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）÷2=12（個）,那么這個實心方陣的棋子總數(shù)是12×12=144（個）。

2.根據(jù)空心方陣中，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關系，我們可以找出等量關系，列方程解決。

設最外層有x個棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x-8）個.（x-16）個.（x-24）個。

則：x+

x-8+x-16+x-24=144，x=48

所以這個方陣最外層每邊有48÷4+1=13（個）棋子。

01牛吃草問題

【含義】

“牛吃草”問題是大科學家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。

這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素。

【數(shù)量關系】

草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)

02解題思路和方法

解這類題的關鍵是求出草每天的生長量。

例1：這是一片新鮮的牧場，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長6份草。

若一開始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。

這片牧場的草夠奶牛吃多少天？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題。

解決本題的關鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問題中，讓幾頭牛專吃新長出的草，其余的牛吃原有的草。

2.由題目可知：原有的草量+新長的草量=總的草量。

奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長的草。

原有的草量是不變的，每天新長的草量是勻速的，每天都長6份，每頭奶牛每天吃1份，新長的草剛好夠6頭奶牛吃的量。

那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400÷20=20（天），夠吃20天。

例2：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。

5臺抽水機連續(xù)20天可抽干；6臺同樣的抽水機連續(xù)15天可抽干。

若要求6天抽干，需要

多少臺同樣的抽水機？

解：

設每臺抽水機每天可抽1份水。

5臺抽水機20天抽水：5×20=100（份）

6臺抽水機15天抽水：6×15=90（份）

每天入庫的水量：（100-90）÷（20-15）=2（份）

原有的存水量：100-20×2=60（份）

需抽水機臺數(shù)：60÷6+2=12（臺）

答：要求6天抽干，需要12臺同樣的抽水機。

例3：某車站在檢票前若干分鐘就開始排隊，每分鐘來的旅客人數(shù)一樣多。

從開始檢票到等候檢票的隊伍消失，同時開4個檢票口需30分鐘，同時開5個檢票口需20分鐘。

如果同時打開7個檢票口，那么需

多少分鐘？

解：

1.本題考查的是牛吃草的問題，“旅客”相當于“草”，檢票口相當于“?！薄?/p>

2.由題目可知，旅客總數(shù)由兩部分組成：

一部分是開始檢票前已經(jīng)排隊的原有旅客，另一部分是開始檢票后新來的旅客。

設1個檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。

那么4個檢票口30分鐘檢票4×30=120（份），5個檢票口20分鐘檢票5×20=100（份），多花了10分鐘多檢了120-100=20（份）

那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20÷10=2（份）。

那么原有顧客總量為：120-30×2=60（份）。

同時打開7個檢票口，我們可以讓2個檢票口專門通過新來的顧客，其余的5個檢票口通過原來的顧客，需要60÷5=12（分鐘）。

01雞兔同籠問題

【含義】

這是古典的算術問題。已知籠子里雞.兔共有多少只頭和多少只腳，求雞.兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。

已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞.兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。

【數(shù)量關系】

第一雞兔同籠問題：

??假設全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）

??假設全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）

第二雞兔同籠問題：

??假設全是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）

??假設全是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（4＋2）

02解題思路和方法

解此類題目一般都用假設法，可以先假設都是雞，也可以假設都是兔。

如果先假設都是雞，然后以兔換雞；

如果先假設都是兔，然后以雞換兔。

這類問題也叫置換問題。

通過先假設，再置換，使問題得到解決。

例1：雞和兔在一個籠子里，共有35個頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？

假設籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應該有35×2=70（只）腳，而實際有94只腳，這多出來的腳就是把兔子當作雞多出來的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了94-70=24（只），則兔子有24÷2=12（只），那么雞有35-12=23（只）。

例2：動物園里有鴕鳥和長頸鹿共70只，其中鴕鳥的腳比長頸鹿多80只，那么鴕鳥有多少只，長頸鹿有多少只？

解：

假設全部都是鴕鳥，則一共有70×2=140（只）腳，此時長頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥腳比長頸鹿腳多140只，而實際上鴕鳥的腳比長頸鹿多80只。

因此鴕鳥腳與長頸鹿腳的差數(shù)多了140-80=60（只），這是因為把其中的長頸鹿換成了鴕鳥。

把每一只長頸鹿換成鴕鳥，鴕鳥的腳數(shù)將增加2只，長頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥腳數(shù)與長頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥的長頸鹿有60÷6=10（只），鴕鳥有70-10=60（只）。

例3：李阿姨的農(nóng)場里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？

解：

根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。

把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。

前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）

所以共有300÷6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。

例4：一次數(shù)學考試，只有20道題。做對一題加5分，做錯一題倒扣3分（不做算錯）。

樂樂這次考試得了84分，那么樂樂做對了多少道題？

解：

如果20題全部做對，應該得20×5=100（分），而實際得了84分，少了100-84=16（分）。

做錯一題和做對一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯了16÷8=2（題）。

一共20題，所以樂樂做對了20-2=18（題）。

01抽屜問題

【含義】

在數(shù)學問題中有一類與“存在性”有關的問題，如367個人中至少有兩個人是同一天過生日，這類問題在生活中非常常見。

它所依據(jù)的理論，我們稱之為“抽屜原理”。

抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對象存在性問題有力工具。

【數(shù)量關系】

基本的抽屜原則是：

如果把n＋1個物體（也叫元素）放到n個抽屜中，那么至少有一個抽屜中放著2個或更多的物體（元素）。

抽屜原則可以推廣為：

如果有m個抽屜，元素的個數(shù)是抽屜個數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個抽屜要放（k＋1）個或更多的元素。

02

解題思路和方法

目前,處理抽屜原理問題最基本和常用的方法是運用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點最背”的情形。

例1：不透明的箱子中有紅.黃.藍.綠四種顏色的球各20個，一次至少摸出多少個球才能保證摸出兩個相同顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利的情況，因為有4種顏色，想要摸出兩個相同顏色的球。

那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個，這時再摸一個球，一定與前幾個球有顏色相同的。

因此至少要摸4+1=5(個)球。

例2：袋子中有2個紅球，3個黃球，4個藍球，5個綠球，一次至少摸出多少個球就能保證摸到兩種顏色的球？

解：

解決這個問題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。

最不利的情況應該是將一種顏色的球都拿出來時，不論接下來摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。

因為4種球的個數(shù)各不相同。

所以最不利的情況應該是先將個數(shù)最多的球都拿出來，接下來摸的球都一定與之前顏色不同。

因此至少摸出5+1=6(個)球

例3：一次數(shù)學競賽共5道選擇題，評分標準為：基礎分5分，答對一題得3分，答錯扣1分，不答不得分。

要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競賽？

解：

1.本題考察的是抽屜原理的相關知識，解決本題的關鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。

進而從最壞的情況開始考慮解決問題。

2.一共有5題，且有5分的基礎分，那么每道題就有1分的基礎分。

也就相當于答對一題得4分，答錯不得分，不答得1分。

這次數(shù)學競賽的得分情況有以下幾種：

5題全對的只有1種情況：得20分；

對4題的有2種情況：1題答錯得16分，1題沒答得17分；

對3題的有3種情況：2題全錯得12分，只錯1題得13分，2題不做得14分；

對2題的有4種情況：3題全錯得8分，只錯2題得9分，只錯1題得10分；3題全不答得11分；

對1題的有5種情況：4題全錯得4分，只錯3題得5分，只錯2題得6分，只錯1題得7分，4題全不答得8分；

答對0題有6

種情況：5題全錯得0分；錯4題得1分，錯3題得2分，錯2題得3分，錯1題得4分，5題全不答得5分。

我們發(fā)現(xiàn)從0分到20分，只有19分.18分.15分這三個分數(shù)沒有，其它都有。

所以一共有20+1-3=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。

最少需要18×3+1

=

55（人）參加競賽。

01濃度問題【含義】

在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會遇到溶液濃度問題。

這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.溶質(zhì).溶液.濃度這幾個量的關系。

例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。

溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分數(shù)叫濃度，也叫百分比濃度。

【數(shù)量關系】

溶液＝溶劑＋溶質(zhì)濃度＝溶質(zhì)÷溶液×100%

02解題思路和方法

找出不變量，簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：要將濃度為25％的酒精溶液1020克，配制成濃度為17％的酒精溶液，需加水多少克？

解：

1.根據(jù)題意可知，配制前后酒精溶液的質(zhì)量和濃度發(fā)生了改變，但純酒精的質(zhì)量并沒有發(fā)生改變。

2.純酒精的質(zhì)量：1020×25%=255（克），占配制后酒精溶液質(zhì)量的17%。

所以配制后酒精溶液的質(zhì)量：255÷17%=1500（克）。

加入的水的質(zhì)量：1500-1020=480（克）。

例2：有濃度為30%的鹽水溶液若干，添加了一定數(shù)量的水后稀釋成濃度為24%的鹽水溶液。

如果再加入同樣多的水，那么鹽水溶液的濃度變?yōu)槎嗌伲?/p>

解：

1.分析題意，假設濃度為30%的鹽水溶液有100克，則100克溶液中有100×30%=30（克）的鹽，加入水后，鹽占鹽水的24%。

此時鹽水的質(zhì)量為：30÷24%=125（克），加入的水的質(zhì)量為：125-100=25（克）。

2.再加入相同多的水后，鹽水溶液的濃度為：30÷（125+25）=20%。

例3：兩個杯中分別裝有濃度為45%與15%的鹽水，倒在一起后混合鹽水的濃度為35%。

若再加入300克濃度為20%的鹽水，則變成濃度為30%的鹽水，則原來濃度為45%的鹽水有多少克？

解：

1.本題考察的是濃度和配比問題的相關知識。

解決本題的關鍵是先求出原溶液與混合后的溶液濃度差的比。

從而求出所需溶液質(zhì)量的比，并解決問題。

2.根據(jù)題意可知，濃度為35%的鹽水和濃度為20%的鹽水混合成濃度為30%的鹽水，因為濃度為35%的鹽水比混合后的濃度多35%-30%=5%，濃度為20%的鹽水比混合后的濃度少30%-20%=10%，5%：10%=1:2，即混合時，2份濃度為35%的鹽水才能補1份濃度為20%的鹽水。

故濃度為35%的鹽水與濃度為20%的鹽水所需質(zhì)量比為2:1

所以濃度為35%的鹽水一共300÷1×2=600（克）。

3.同理，濃度為45%和15%的鹽水溶液與混合后濃度為35%的鹽水溶液差的比為（45%-35%）:（35%-15%）=1:2，那么濃度為45%和15%的鹽水溶液所需要的質(zhì)量比為2:1，即2份濃度為45%的鹽水才能補上1份濃度為15%的鹽水。

故原來濃度為45%的鹽水有600÷（1+2）×2=400（克）。

01利潤問題【含義】

這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本.利潤.利潤率和虧損.虧損率等方面的問題。

【數(shù)量關系】

利潤＝售價－進貨價利潤率

＝（售價－進貨價）÷進貨價×100%售價

＝進貨價×（1＋利潤率）虧損

＝進貨價－售價虧損率

＝（進貨價－售價）÷進貨價×100%

02解題思路和方法

簡單題目直接利用公式，復雜題目變通后再利用公式。

例1：某服裝店從韓國代購100件羽絨服，每件進價300元，另外還需要付10元/件的代購費和200元的國際快遞費。

該服裝店要想每件羽絨服獲得75%的利潤率，則每件定價為多少元？

解：

由題意可知，每件羽絨服實際總成本包括每件羽絨服的進價.代購費和運費，總成本為300+10+200÷100=312（元），要想每件獲得75%的利潤，那么每件定價應該是成本的1+75%=175%，故每件定價為312×175%=546（元）。

例2：一件上衣打七折后的售價是140元，老板說：“如果這件上衣打?qū)φ劬筒毁嵰膊惶潯薄?/p>

這件上衣成本是多少元？

解：

1.本題關鍵是理解打折的含義，打幾折后現(xiàn)價就是原價的百分之幾十，打?qū)φ劬褪侵脯F(xiàn)價是原價的50%。

2.打七折是指現(xiàn)價是原價的70%，若把原價看成單位“1”，它的70%對應的數(shù)量是140元，所以原價是140÷70%=200（元）。

打?qū)φ凼侵复蛘酆蟮膬r格是原價的50%，再用原價乘50%就是這件上衣的成本價。

所以這件上衣成本價：200×50%=100（元）。

第五篇：典型應用題.還原問題

典型應用題—還原問題

11例題:一根繩子，第一次剪去又2分米，第二次剪去余下的 又2分米，最后剩下6分米。這根繩子3

3原來有多長?

分析：這類問題可以從“最后余下多少”這個問題出發(fā)，到回頭來想想，如果上一次沒有剪去這時應該余下多少，再想想如果上上一次沒有剪去，余下的應該又是多少、、、、、、。這樣一直想下去直到還原這根

1繩子沒有剪。例如這道題，我們就可以從“第二次剪去余下的又2分米，最后剩下6分米。”出發(fā)去

31想，先求出如果這次沒有剪，該余下多少？可以這樣想，假設2分米沒有剪，那么第二次剪去余下的 3

11后，剩下(2+6)分米,正好就是余下的),.這樣用(2+6)÷(1-)=12(米),就求出了如果這次沒有剪，該余33

11下12米。這樣就還原到“一根繩子，第一次剪去 又2分米后余下12米?！蓖瑯佑茫?2+2）÷（1-）33

=21（米），就求得這根繩子原來的長度。

練習：

1、一筐蘋果，第一次吃去一半零3個，第二次吃去余下的一半零2個，第三次吃去余下的一半零4個，最后還有12個蘋果，求原來共有多少個蘋果？

2、籃子中有一些桔子，如果將其中的一半又一個給第一個人，將余下的一半給又2個給第二個人，然后將剩下的一半又3個給第三個人，藍中剛好一個也不剩。藍中原有多少個桔子？

3、大娘院子里有群雞，雞的只數(shù)加上七，乘以七，減去七，除以七，再減去七，其結(jié)果等于七，大娘院子里有多少只雞？

4、姐姐買了一些桃子，第一天吃了這些桃子的一半多1個，第二天吃了剩下的一半多1個，第三天又吃掉了剩下的一半多1個，還剩下1個。那么姐姐買了多少個桃子？

5、王老師拿著一批書送給30位學生，每到一位學生家里，王老師就將所有書的一半給他，每位學生也都還他一本，最后王老師還剩2本書。那么王老師原來拿了幾本書？

6、一堆煤，先運走12又1噸，再運走余下的又1噸，這時還剩下2噸。原來這堆煤有多少噸？ 357、一根繩子第一次剪去全長的一半差1米，第二次剪去余下的一半差1米，第三次又剪去剩下的一半差1米，最后還剩下3米。這根繩子原來有多少米？

8、一根繩子第一次剪去全長的一半多1米，第二次剪去余下的米，最后還剩下2米。這根繩子原來有多少米？

9、一根繩子剪去全長的11多2米，第三次又剪去剩下的多134111，再剪去余下的，又剪去余下的，還剩下4米。這根繩子原來有多少米？ 33310、某新華書店運進一批故事書，第一周售出總數(shù)的一半還多40本，第二周售出剩下的一半少5本，還剩下35本，新華書店運進故事書多少本？

11、一堆煤，先運走12又2噸，再運走的是余下的少2噸，還剩下8噸。原來這堆煤有多少噸？ 35