第一篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補習(xí)教案8-數(shù)數(shù)與計數(shù)2

數(shù)數(shù)與計數(shù)

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，可以發(fā)現(xiàn)重要的算術(shù)運算定律．

例1 數(shù)一數(shù)，下面圖形中有多少個點？

解：方法1：從上到下一行一行地數(shù)，見下圖．

點的總數(shù)是：

5+5+5+5=5×4．

方法2：從左至右一列一列地數(shù)，見下圖．

點的總數(shù)是：4+4+4+4+4=4×5．

因為不論人們怎樣數(shù)，點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

5×4=4×5

從這個等式中，我們不難發(fā)現(xiàn)這樣的事實：

兩個數(shù)相乘，乘數(shù)和被乘數(shù)互相交換，積不變．

這就是乘法交換律．

正因為這樣，在兩個數(shù)相乘時，以后我們也可以不再區(qū)分哪個是乘數(shù)，哪個是被乘數(shù)，把兩個數(shù)都叫做“因數(shù)”，因此，乘法交換律也可以換個說法：

兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．

如果用字母a、b表示兩個因數(shù)，那么乘法交換律可以表示成下面的形式：a×b=b×a．

方法3：分成兩塊數(shù)，見右圖．

前一塊4行，每行3個點，共3×4個點．

后一塊4行，每行2個點，共2×4個點．

兩塊的總點數(shù)=3×4+2×4．

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中總的點數(shù)的多少都是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．所以應(yīng)有下列等式成立：

3×4+2×4=5×4．

仔細觀察圖和等式，不難發(fā)現(xiàn)其中三個數(shù)的關(guān)系：

3+2=5

所以上面的等式可以寫成：

3×4+2×4=（3+2）×4

也可以把這個等式調(diào)過頭來寫成：

（3+2）×4=3×4+2×4．

這就是乘法對加法的分配律．

如果用字母a、b、c代表三個數(shù)，那么乘法對加法的分配律可以表示成下面的形式：

（a+b）×c=a×c+b×c

分配律的意思是說：兩個數(shù)相加之和再乘以第三數(shù)的積等于第一個數(shù)與第三個數(shù)的積加上第二個數(shù)與第三個數(shù)的積之和．

進一步再看，分配律是否也適用于括號中是減法運算的情況呢？請看下面的例子：

計算（3-2）×4和3×4-2×4．

解：（3-2）×4=1×4=3×4-2×4=12-8=4．

兩式的計算結(jié)果都是4，從而可知：

（3-2）×4=3×4-2×4

這就是說，這個分配律也適用于一個數(shù)與另一個數(shù)的差與第三個數(shù)相乘的情況．

如果用字母a、b、c（假設(shè)a>b）表示三個數(shù)，那么上述事實可以表示如下：（a-b）×c=a×c-b×c．

正因為這個分配律對括號中的“+”和“-”號都成立，于是，通常人們就簡稱它為乘法分配律．

例2 數(shù)一數(shù)，下左圖中的大長方體是由多少個小長方體組成的？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見上右圖．

第一層 4×2個

第二層 4×2個

第三層 4×2個

三層小長方體的總個數(shù)（4×2）×3個．

方法2：從左至右一排一排地數(shù)，見下圖．

第一排 2×3個

第二排 2×3個

第三排 2×3個

第四排 2×3個

四排小長方體的總個數(shù)為（2×3）×4．

若把括號中的2×3看成是一個因數(shù)，就可以運用乘法交換律，寫成下面的形式：4×（2×3）．

因為不論人們怎樣數(shù)，原圖中小長方體的總個數(shù)是一定的，不會因為數(shù)數(shù)的方法不同而變化．把兩種方法連起來看，應(yīng)有下列等式成立：（4×2）×3=4×（2×3）．

這就是說在三個數(shù)相乘的運算中，改變相乘的順序，所得的積相同．

或是說，三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘再乘以第三個數(shù)，或者先把后兩個數(shù)相乘，再去乘第一個數(shù)，積不變，這就是乘法結(jié)合律．

如果用字母a、b、c表示三個數(shù)，那么乘法結(jié)合律可以表示如下：（a×b）×c=a×（b×c）．

巧妙地運用乘法交換律、分配律和結(jié)合律，可使得運算變得簡潔、迅速．

從數(shù)數(shù)與計數(shù)中，還可以發(fā)現(xiàn)巧妙的計算公式．

例3 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖．

總點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．

方法2：補上一個同樣的三角形點群（但要上下顛倒放置）和原有的那個三角形點群共同拼成一個長方形點群，則顯然有下式成立（見下圖）：

三角形點數(shù)=長方形點數(shù)÷因三角形點數(shù)=1+2+3+4+5+6+7+8+9

而長方形點數(shù)=10×9=（1+9）×9

代入上面的文字公式可得：

1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2=45．

進一步把兩種方法聯(lián)系起來看：

方法1是老老實實地直接數(shù)數(shù)．

方法2可以叫做“拼補法”．經(jīng)拼補后，三角形點群變成了長方形點群，而長方形點群的點數(shù)就可以用乘法算式計算出來了．

即1+2+3+4+5+6+7+8+9

=（1+9）×9÷2．

這樣從算法方面講，拼補法的作用是把一個較復(fù)雜的連加算式變成了一個較簡單的乘除算式了．這種方法在700多年前的中國的古算書上就出現(xiàn)了．

再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景，純粹從數(shù)的方面找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

這個等式的左邊就是從1開始的連續(xù)自然數(shù)相加之和，第一個數(shù)1又叫首項，最后一個數(shù)9叫末項，共有9個數(shù)又可以說成共有9項，這樣，等式的含義就可以用下面的語言來表述：

從1開始的連續(xù)自然數(shù)前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半．或是寫成下面的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2

這個文字式通常又叫做等差數(shù)列求和公式．

例4 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖：

總點數(shù)=2+3+4+5+6=20．

方法2：補上一個同樣的梯形點群，但要上下顛倒放置，和原圖一起拼成一個長方形點群如下圖所示：

由圖可見，有下列等式成立：

梯形點數(shù)=長方形點數(shù)÷2．

因為梯形點數(shù)=2+3+4+5+6 而長方形點數(shù)=8×5=（2+6）×代入上面的文字式，可得：

2+3+4+5+6=（2+6）×5÷2

與例1類似，我們用拼補法得到了一個計算梯形點群總點數(shù)的較為簡單的公式．

再進一步，若脫離開圖形（點群）的背景純粹從數(shù)的方面找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

這個等式的左邊就是一個等差數(shù)列的求和式，它的首項是2，末項是6，公差是1，項數(shù)是5．這樣這個等式的含義就可以用下面的語言來表述：

等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)的積的一半．

寫成下面較簡化的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2

這就是等差數(shù)列的求和公式．

例5 數(shù)一數(shù)，下圖中有多少個小三角形？

解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，見下圖．

小三角形總數(shù)=1+3+5+7=16個．

方法2：補上一個同樣的圖形，但要上下顛倒放置、和原來的一起拼成一個大平行四邊形如下圖所示．

顯然平行四邊形包含的小三角形個數(shù)等于原圖中的大三角形所包含的小三角形個數(shù)的兩倍，即下式成立．

大三角形中所含=平行四邊形所含÷2

平行四邊形所含=8×4=（1+7）×4（個）

大三角形中所含=1+3+5+7=16

代入上述文字式：

1+3+5+7＝（1+7）×4÷2

這樣，我們就得到了一個公式：

小三角形個數(shù)=（第一層的數(shù)+最末層的數(shù)）×層數(shù)÷2

脫離開圖形的背景，純粹從數(shù)的方面進行考察，找找規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)下述事實：

等式左邊就表示一個等差數(shù)列的前幾項的和，它的首項是1，末項是7，公差是2，項數(shù)是4．這樣這個等式的含義也就可以用下面的語言來表述：

等差數(shù)列前幾項的和等于首項加末項之和乘以項數(shù)之積的一半．

寫成較簡單的文字式：

和=（首項+末項）×項數(shù)÷2． 這就是等差數(shù)列的求和公式

數(shù)數(shù)與計數(shù)習(xí)題

下列各題至少用兩種方法數(shù)數(shù)與計數(shù)．

1．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個點？

2．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中的三角形點群有多少個點？

3．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中有多少個小正方形？

4．?dāng)?shù)一數(shù)，下圖中共有多少個小三角形？

數(shù)數(shù)與計數(shù)習(xí)題解答

1．解：方法1：從上至下一行一行地數(shù)，共4行每行5個點，得5×4=20．

方法2：分成兩個三角形后再數(shù)，見下圖．得：

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4＝（1+4）×4÷2．

2．解：方法1：從上至下一行一行地數(shù)，再相加，得：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55．

方法2：用拼補法，如圖所示：

11×10÷2=55．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=（1+10）×10÷2．

3．解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)，得：5×4=20．

方法2：做階梯形切割，分兩部分數(shù)，見右圖．

（1+2+3+4）×2=20．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+2+3+4=（1+4）×4÷2．

4：解：方法1：從上至下一層一層地數(shù)（圖略）得：20×10=200．

方法2：分成兩個三角形來數(shù)：

（1+3+5+7+9+11+13+15+17+19）×2

=200．

發(fā)現(xiàn)一個等式：

1+3+5+7+9+11+13+15+17+19 =（1+19）×10 ÷2

第二篇：北京華羅庚學(xué)校各年級奧數(shù)補習(xí)教案1-數(shù)數(shù)與計數(shù)

數(shù)數(shù)與計數(shù)

（四）本講采用枚舉法解決數(shù)數(shù)與計數(shù)的問題。比如老奶奶數(shù)雞蛋，她小心翼翼地把雞蛋從藍子里一個一個地往外拿，邊拿邊數(shù)?；@子里的雞蛋拿光了，有多少個雞蛋也就數(shù)出來了。

這種最簡單的數(shù)數(shù)與計數(shù)的方法就叫做枚舉法。例1 用分別寫有數(shù)字1和2的兩張紙片，能夠排出多少個不同的二位數(shù)？

解：用代表這兩張紙片。把所有可能的排法枚舉出來，可知能排出兩個二位數(shù)來。它們是：

例2 用分別寫有數(shù)字0，1，2的三張紙片

能排出多少個不同的二位數(shù)？

解：因為“0”不能作為首位數(shù)字，所以只能排出4個二位數(shù)，它們是：

1作十位數(shù)字，0或2作個位數(shù)字：

2作十位數(shù)字，0或1作個位數(shù)字：

例3 用分別寫有數(shù)字1，2，3的三張紙片能排出多少不同的三位數(shù)？

解：用枚舉法，即把所有可能排出的每一個三位數(shù)都寫出來。再數(shù)一數(shù)共有多少個。

共6個不同的三位數(shù)。

例4 小明左邊抽屜里放有三張數(shù)字卡片

右邊抽屜里也放有三張卡片。如果他每次從左右兩邊抽屜里任意各拿一張出來，組成一個二位數(shù)，在紙上記下來之后，再把卡片放回各自原來的抽屜里。然后再拿、再組數(shù)、再記、再放回??這樣一直做下去，問他一共可能組成多少個不同的二位數(shù)？ 解：不妨假設(shè)小明先從左邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在十位；再從右邊抽屜拿，把拿出的數(shù)字卡片排在個位。下面是記下來的所有不同的二位數(shù)：11，12，13，21，22，23，31，32，33。共9個不同的二位數(shù)。

例5 有一群人，若規(guī)定每兩個人都握一次手而且只握一次手，求他們共握多少次手？假設(shè)這群人是：

①兩個人，②三個人，③四個人

解：畫圖。用點“·”代表人。如果兩人握一次手就在兩個點之間連一條線。那么，點和點之間連線的條數(shù)就代表握手的次數(shù)。見以下的圖。

①兩個人：

兩點之間只能連一條線，表示兩個人共握1次手。

②三個人：

三點之間有三條連線，表示三個人共握3次手。

③四個人：

四點之間有六條連線，表示四個人共握6次手。

例6 鐵路上的火車票價是根據(jù)兩站距離的遠近而定的，距離愈遠，票價愈高。如果一段鐵路上共有五個車站，每兩站間的距離都不相等，問這段鐵路上的火車票價共有多少種？ 解：

如圖所示，用一條線段表示這段鐵路，用線段上的五個點代表五個車站，各點間距離不同表示各車站間距離不同，因而票價不同。

由圖可見，各段長度不同的線段就表示各種不同的票價。

數(shù)一數(shù)，票價種數(shù)是：4+3+2+1=10種。

例7 小明到小華家有甲、乙兩條路，小華到小英家有a，b，c三條路（如下圖所示）。小明經(jīng)過小華家去找小英，他想每次都不走完全重復(fù)的路線，問有多少種不同的走法？

解：共有6種不同的走法，見下圖。

第三篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補習(xí)教案10-畫圖顯示法

畫圖顯示法

在有些數(shù)學(xué)題中，數(shù)量之間的關(guān)系不容易看出來;可是只要畫個圖就能顯示清楚了.同學(xué)們要學(xué)會這種畫圖方法.例1 小明比小英小5歲，小方比小明大2歲.那么小英和小方差幾歲?

解：先畫個圖看看：

①表示小明比小英小5歲，②表示小方比小明大2歲，由圖可見，小英比小方大3歲.注意：畫這個圖時，由題意應(yīng)以小明為基準(zhǔn).例2小初、小美、小英三個人分糖塊.小美比小英多3塊，小初比小美多2塊.已知糖塊總數(shù)是50塊，那么每人各分到多少塊?

解：依題意畫圖，可以先畫小英，見下圖中①，再畫小美，它比小英多3塊，見下圖中②，接著再畫小初，它又比小美多2塊，見下圖中③，至此，圖已畫完，下面借助此圖進行分析推理.由圖可見，小初比小英多3+2=5塊，由圖還可以看出，50-(3+5)=42(塊)就是小英糖數(shù)的3倍，所以小英的一份是：

42÷3=14(塊);

由此可求出小美的一份是14+3=17(塊);

小初的一份是17+2=19(塊).例3 小健到商店去買練習(xí)本，他的錢若買4本還剩2分;若買5本，就差1角.問小健有多少錢?

解：依題意畫出下圖：

由圖易見一本的價錢是： 2+10=12(分)，所以小健有的錢是 12×4+2=50(分)或12×5-10=50(分)，即5角.例4 媽媽的年齡是小鈴的3倍，兩個人年齡加起來是40歲.問小鈴和媽媽各多少歲? 解：依題畫下圖：

由上圖可見，40歲是小鈴年齡的3+1=4倍，所以小鈴的年齡是：40÷4=10(歲);而媽媽的年齡則是：10×3=30(歲).例5 父親今年40歲，小哲10歲.問幾年以后父親年齡是小哲年齡的2倍? 解：按題意畫下圖：

先畫陰影部分，小哲(10歲)占1格，父親(40歲)占4格，年齡差(40-10=30(歲))是3格，再畫圖表示二人年齡的增長，注意應(yīng)從上往下畫.不難得出當(dāng)二人年齡各增加2格時，即20年后(父親是6格，小哲是3格)父親年齡是小哲年齡的2倍.畫圖顯示法習(xí)題

1.王強和李明都想買一本《趣味數(shù)學(xué)》，但王強的錢少2角5分，李明的錢少3角1分.如果兩個人的錢合在一起就剛夠買這本書.問一本《趣味數(shù)學(xué)》多少錢?王強和李明各有多少錢?

2.大、小二數(shù)之和為10，之差為2，求大、小二數(shù)各多少?

3.小軍、小方和小雄共有12本小人書，小軍比小方多2本，小方比小雄多2本，問他們?nèi)烁鲙妆?

4.今年弟弟8歲，哥哥14歲.問當(dāng)兩人的年齡和是30歲時，兩人各幾歲?

5.兩個桶里共盛水30斤.如果把第一個桶里的水倒3斤給第二個桶里，兩個桶里的水就一樣多了.問每個桶里各有多少斤水?

6.玻璃瓶里裝著一些水，把水加到原來的2倍時，稱得重為5千克;把水加到原來的4倍時，再稱一稱重為9千克，問原來水有多少千克? 7.一筐鮮魚，連筐共重56千克.先賣出鮮魚的一半，再賣出剩下的一半，這時連筐還重17千克.原來這筐鮮魚重多少千克? 8.小秋用一根繩子測量一口枯井的深.他把繩子放入井里，當(dāng)繩子到達井底后，井外還留有15米;小秋又把這根繩子對折后再放入井里，井外還留有1米.請問，這口枯井有多少米深?

畫圖顯示法習(xí)題答案

1.解：畫個圖用實線段表示二人有的錢，虛線表示缺的錢.依題意，“兩人錢合在一起，剛好買這本書”.就是說，如圖所示，實線段(表示李明的錢)按圖線可以向上移到短的虛線處(表示王強缺的錢)接起來剛好等書價.也就是說一本書的書價是：

2角5分+3角1分=5角6分.王強有3角1分，李明有2角5分.2.解：畫線段圖用長線段表示大數(shù)，用短線段表示小數(shù)，用差線段表示兩數(shù)之差，見圖：

由圖顯見，若在虛線處再加上一段“差線段”，那就顯然得到了兩條等長的長線段.這就表示，和加差等于兩個大數(shù)，即(和+差)÷2=大數(shù).反之，如果去掉那段“差線段”，則得到兩條等長的短線段.這就表示，和減差等于兩個小數(shù)，即(和-差)÷2=小數(shù).注意，此題就叫“和差問題”，以上兩式就叫和差問題公式.把題給的具體數(shù)值代入這兩個公式，可得：

大數(shù)=(10+2)÷2=6，小數(shù)=(10-2)÷2=4.3.解：畫線段圖如下：

與上題類比，采用添加差線段的方法可得：

(12+2×3)÷3=6(本)(小軍);

6-2=4(本)(小方);

4-2=2(本)(小雄);

同樣也可采用去掉差線段的方法得：

(12-2×3)÷3=2(本)(小雄);

2+2=4(本)(小方);

4+2=6(本)(小軍).4.解：此題叫年齡問題，它的特點是年齡差保持不變.此題可歸納為和差問題：哥弟年齡之差為14-8=6(歲)，和為30歲，求哥弟各幾歲?

(30+6)÷2=18(歲)(哥)

(30-6)÷2=12(歲)(弟).5.解：此題的實質(zhì)也是和差問題.和為30斤，差：3×2=6(斤)，由和差問題公式得：

(30+6)÷2=18斤(大桶);

(30-6)÷2=12斤(小桶).6.解：畫線段圖如下：

由圖可見，線段③-線段②=2倍小線段，即一條小線段表示(9-5)÷2=2(千克)，即 原來瓶中水重是2千克.7.解：畫線段圖如下：

由圖可以看出總重減去最后剩下的(包括筐重和魚)等于第一次和第二次賣出的鮮魚總數(shù).又知第一次賣出的是第二次賣出的2倍，即兩次賣出的鮮魚總數(shù)是第二次賣出的3倍，即得第二次賣出魚的總量為(56-17)÷3=13千克.原來鮮魚總數(shù)為13×4=52千克.8.解：畫示意圖如下：

小秋第二次把繩子對折量，井外留1米長的雙股繩相當(dāng)實際繩長2米，比第一次單股繩測時，井外少了15-2=13(米)，因為這段繩放到井里去了，所以得出井深為13米.

第四篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補習(xí)教案7-仔細審題講解

仔細審題

解數(shù)學(xué)題很關(guān)鍵的一步是審題.如果把題目看錯了，或是把題意理解錯了，那樣解題肯定是得不出正確的答案來的.什么叫審題？扼要地講，審題就是要弄清楚：未知數(shù)是什么？已知數(shù)是什么？條件是什么？

有一種類型的數(shù)學(xué)題叫“機智題”.在這一講要通過解這種題體會如何審題.例1 ①樹上有5只小鳥，飛起了1只，還剩幾只？

②樹上有5只小鳥，“叭”地一聲，獵人用槍打下來1只，樹上還剩幾只？

解：①5-1=4（只），樹上還剩4只小鳥.②對這一問，如果你還像上面那樣算就錯了.正確地算法應(yīng)該是：5-1-4=0（只）

為什么呢？聽到“叭”地一聲響，其他4只會被嚇飛的，這叫“隱含的條件”，在題目中雖沒有明確地說出來，解題時卻要考慮到.例2 要把一個籃子里的5個蘋果分給5個孩子，使每人得到1個蘋果，但籃子里還要留下一個蘋果，你能分嗎？

解：能.最后一個蘋果留在籃子里不拿出來，把它們一同送給一個孩子.這是因為“籃子里留下一個蘋果和每個孩子分得一個蘋果”這兩個條件并不矛盾（見圖12—3）.例3 兩個父親和兩個兒子一起上山捕獵，每人都捉到了一只野兔.拿回去后數(shù)一數(shù)一共有兔3只.為什么？

解：“兩個父親和兩個兒子”實際上只是3個人：爺爺、爸爸和孩子.“爸爸”這個人既是父親又是兒子.再數(shù)有幾個爸爸幾個兒子時，把他算了兩次.這是數(shù)數(shù)與計數(shù)時必須注意的（見圖12—4）.例4 一個小島上住著說謊的和說真話的兩種人.說謊人句句謊話，說真話的人句句是實話.假想某一天你去小島探險，碰到了島上的三個人A、B和C.互相交談中，有這樣一段對話：

A說：B和C兩人都說謊；

B說：我沒有說謊；

C說：B確實在說謊.小朋友，你能知道他們?nèi)齻€人中，有幾個人說謊，有幾個人說真話嗎？

解：這是并不難的一道邏輯推理問題.怎樣解答這個問題呢？有的人一定會列成下面形式的表格，想由此把所有的可能情況都判斷出來，認為這樣就可以得到答案了.人 說謊 說真話

A _____ _____

B _____ _____

C _____ _____

但是，如果你也真的這樣做的話，你是無論如果得不出答案的，因為從這道題目所給出的條件中根本無法判斷出某一個人是說謊還是說真話.你這樣解題，說明你把解題的目標(biāo)（未知數(shù)）改變了.請你再看一下，題目問的是什么？題目并沒有問“誰說謊，誰說真話”？而是在問“幾個人說謊，幾個人說真話？”正確的答案是不難得到的：因為B和C兩人說的話正好相反，所以一定有一個人說謊，另一個人說真話；由此又可知道，他們兩人不可能都說謊，所以A必定說謊.于是可知3個人有2個人說謊，有一個人說真話.例5 如圖12—5，三根火柴棍可以組成一個等邊三角形，再加三根火柴棍，請你組成同樣大小的四個等邊三角形.解：請你先不要繼續(xù)往下看，自己想一想能不能用六根火柴棍組成四個同樣大小的等邊三角形？

通常，很多人在解這題時，往往自己給自己多加了一個限制條件：“在平面上組成等邊三角形”.但是，仔細看看，原題并沒有限制你在平面上解題.由于給自己多加了一個條件，他們的思想就會被限制在平面上解題，那就無論如何也解不出來.這也是把題意理解錯了的一種情況.但是，如圖12—6所示，只要把思維從平面擴大到立體空間，你就能輕而易舉找到問題的答案.例6 一筆畫出由四條線段連接而成的折線把九個點串起來，你能做到嗎？（見圖12—7）.解：先不要往下看，你先畫畫試試.你可能會畫出類似于下面的各種各樣的折線來，但你很快會發(fā)現(xiàn)，它們都不是符合題目要求的答案（見圖12—8）.總結(jié)一下畫過的折線的特點，顯然這些線段都沒有超出這9個點所決定的正方形.再仔細看看已知條件，問題里并沒有這一條限制，畫線段的時候沒有不讓你超出這個正方形.明白了這點，就不難得到正確的答案了（見圖12—9）.回想一下開始的想法也是屬于把題意理解錯了的情況，但是這種錯誤是很不容易被自己發(fā)現(xiàn)的.只有在解題的過程中，通過對自己的失敗的解法加以總結(jié)，再與題目中所給出的已知條件加以對照，才有可能發(fā)現(xiàn)自己“不自覺”的錯誤想法.仔細審題習(xí)題

1.①一個學(xué)生花2角錢買了2個練習(xí)本，花5角錢能買幾個練習(xí)本？

②在上學(xué)的路上2個學(xué)生拾到了2角錢，問5個學(xué)生撿到多少錢？

2.桌上放著一堆糖果，兩個母親和兩個女兒，還有一個外祖母和一個外孫女，每人拿了一塊，這堆糖果就被拿完了，而這堆糖只有3塊.這是為什么？

3.天上飛著幾只大雁：兩只在后，一只在前；一只在后，兩只在前；一只在兩只中間，三只排成一條線.請你猜猜看，天上共有幾只雁？

4.小強帶了5元錢上街，他到書店買了3本書，應(yīng)付一元五角錢，可是售貨員找給他五角錢，你說售貨員一定錯了嗎？

5.一棟大樓內(nèi)有60盞燈，關(guān)掉其中的一半后，還剩下多少盞燈？

6.大海中有一個小島，小島上住著的100名婦女中有一半人只戴一只耳環(huán).余下的婦女中一半人戴兩只耳環(huán)，另一半人不戴耳環(huán).問這100名婦女共戴有多少只耳環(huán)？

7.有一人一天讀20頁書，第三天因病沒讀，其他日子都按計劃讀了書.問第十二天他讀了多少頁書？

8.一家文具店賣某種文具，文具的價錢是：五個是2元，五十個是3元，而五百個、五千個、五萬個都是3元.問五十萬個是幾元？

9.王老師有一個孩子，李老師也有一個孩子，兩位老師共有多少個孩子？

10.一個長方形，剪掉一個角時，剩下的部分還有幾個角？ 11.圖中12—10正方體形的紙盒六個面的正中都有一個洞口，旁邊放著三根圓木棍，洞口的直徑能容棍子通過去.請你將三根木棍從三個洞口穿到另外三個洞口，而且每根棍子穿好后就不再拔出來，你能做得到嗎？

12.一家冷飲店規(guī)定，喝完汽水后，用4個空汽水瓶可以換1瓶汽水.老師帶著32個學(xué)生進店后，他只買了24瓶汽水.問每個學(xué)生能喝到一瓶汽水嗎？

13.兩條直線垂直相交，可以組成4個直角，如圖12—11所示，那么三根直線相交時最多能組成多少個直角呢？

14.圖12—12有12個點.請你用一筆畫出由五條線段連接成的折線，把12個點串起來.15.圖12—13有16個點，請你用一筆畫出由六條線段連接成的折線，把16個點串起來.仔細審題習(xí)題答案

1.解：①花5角錢買5個練習(xí)本.②無法回答.因為在路上撿錢是偶然的，人數(shù)多不一定能多撿到錢.這和多花錢就能多買練習(xí)本不是同樣的問題.2.解：因為只有三個人：外祖母、母親和女孩（人物關(guān)系見圖12—14）.3.解：天上只有3只大雁（見圖12—15）.4.解：不能說售貨員找錯了錢.很可能是小強買東西時給售貨員的錢是2元一張的，所以售貨員給小強找回五角錢，售貨員找的錢是對的.5.解：60盞燈.60-0=0.關(guān)掉燈后燈還在大樓里.6.解： 100只耳環(huán).因為50+50=100（只）.7.解：20頁.“第三天因病沒讀書”并不影響第十二天仍按計劃讀書.8.解：“五十萬個”是4元（一個字一元錢）.對這道題進行審題時，很可能被以往的經(jīng)驗和知識影響，把“五個”、“五十個”等作為數(shù)量詞，為了得出價錢，總想

猜測后面的名詞是什么，從而得出問的文具的價錢.實際上這家商店賣的是刻有“五”、“十”、“百”、“千”、“萬”等字的字模.心理學(xué)上，把這種情況叫做“負遷移”規(guī)律干擾人們準(zhǔn)確地審題.［注］：一個人掌握了某些知識后，當(dāng)他用這些知識以某種智力活動方式去解決某一問題時，這個應(yīng)用過程就是心理學(xué)上所說的“遷移”.遷移就是已經(jīng)學(xué)得的東西在新情景中的應(yīng)用.在審題中，也就是已有知識、經(jīng)驗對解題的影響.如果影響是積極的、起促進作用的，就叫“正遷移”；如果影響是消極的，起干擾作用的，就叫“負遷移”.9.解：可能是1個，也可能是2個.當(dāng)王老師和李老師是一對夫妻時，只有一個孩子當(dāng)王老師和李老師不是一家人時，共有2個孩子.10.解：可能是5個角，也可能是4個角，也可能是3個角.如圖12—16所示：

11.解：能.見圖12—17.如果只想把棍子穿兩個對面的洞口，穿進一根棍子后，另兩根棍子就會因為被擋住而無法再穿進去，仔細看題目，并沒有要求小棍穿“對面”洞口的條件.只有把小棍穿過相鄰的兩個洞口，方可能解決問題.12.解：能夠使每個學(xué)生都喝到一瓶汽水.因為用4個空瓶可換1瓶汽水，寫成算式就是：

1瓶汽水=4個空瓶

因為 汽水=1瓶中的汽水+1個空瓶

得 1瓶中的汽水=3個空瓶

所以 24+24÷3=24+8=32汽水

上面的1汽水=3空瓶是較隱蔽的條件，審題時，只要細心尋找，并加以適當(dāng)?shù)难菟闶强梢园l(fā)現(xiàn)的.13.解：12個直角.把思維從平面擴大到空間，就能容易得到答案（見圖12—18）.14.解：列出兩種畫法（如圖12—19和圖12—20所示）.15.解：見圖12—21.

第五篇：北京華羅庚學(xué)校二年級奧數(shù)補習(xí)教案6-考慮所有可能情況

考慮所有可能情況

（一）有些數(shù)學(xué)題，要求把符合條件的算式或得數(shù)全部找出來；若漏掉一個，答案就不對.做這種題，特別強調(diào)有秩序的思考.例1 從2個5分硬幣、5個2分硬幣、10個1分硬幣中，拿出1角錢來，有多少種不同的拿法？

解：找出所有不同的搭配情況，共10種見下表.例2 5個茶杯的價錢分別是9角、8角、6角、4角和3角，3個茶盤的價錢分別是7角、5角和2角；如果一個茶杯配一個茶盤，一共可以配成多少種不同價錢的茶具？

解：采取“笨”辦法進行搭配.先把各種不同價錢的茶杯都配上一個7角錢的茶盤，得出不同價錢的茶具如下：

將這些茶杯與5角錢的茶盤搭配，又可得出一些不同價錢的茶具，但要注意去掉那些與前面相同的價錢：

再將這些茶杯與2角錢的茶盤搭配，同時去掉那些與前面相同的價錢：

最后數(shù)一數(shù)，共有10種不同價錢的茶具.這些價錢是1元6角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角，6角，5角.例3 將無法區(qū)分的7個蘋果放在三個同樣的盤子里，允許有的盤子空著不放.問共有多少種不同的放法？

解：用數(shù)字代表盤子里的蘋果數(shù)，用由3個數(shù)字組成的數(shù)組表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一個盤子里放7個蘋果，而另外兩個盤子里都空著不放.各種可能的放置情況如下：

（7，0，0）

（6，1，0）

（5，2，0），（5，1，1）

（4，3，0），（4，2，1）

（3，3，1），（3，2，2）

數(shù)一數(shù)，共有8種不同的放法.例4 把一個整數(shù)表示成若干個小于它的自然數(shù)之和，通常叫做整數(shù)的分拆.問整數(shù)4有多少種不同的分拆方式？

解：分拆時，使自然數(shù)按由大到小的順序出現(xiàn).可以看出，共有4種不同的分拆方式：

4=3+1

4=2+2

4=2+1+1

4=1+1+1+1.例5 郵局門前共有5級臺階.若規(guī)定一步只能登上一級或兩級，問上這個臺階共有多少種不同的上法？

解：如圖10—1，同時用數(shù)組表示不同的上法.（1，1，1，1，1）表示每步只上一級，只有1種上法.見圖10—2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）

③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）

表示有一步上兩個臺階，其他幾步都各上一個臺階，共有四種上法.見圖10—3，①（2，2，1），②（1，2，2），③（2，1，2）.表示有兩步各上兩個臺階，有一步上一個臺階，這種上法共有3種.因此，上臺階共有1+4+3=8種不同的上法.考慮所有可能情況

（一）習(xí)題

1.現(xiàn)有5分幣一枚，2分幣三枚，1分幣六枚，若從中取出6分錢，有多少種不同的取法？

2.從1個5分，4個2分，8個1分硬幣中拿出8分錢，你能想出多少種不同的拿法？

3.把3個無法區(qū)分的蘋果放到同樣的兩個抽屜里，有多少種不同的放法？

4.把4個蘋果放到同樣的2個抽屜里，有多少種不同的放法？

5.整數(shù)6有多少種不同的分拆方式？

6.用分別寫著1，2，3的三張紙片，可以組成多少個不同的三位數(shù)？

7.一個盒中裝有七枚硬幣，兩枚1分的，兩枚5分的，兩枚1角的，一枚5角的，每次取出兩枚，記下它們的和，然后放回盒中.如此反復(fù)地取出和放回，那么記下的和至多有多少種不同的錢數(shù)？

8.一個外國小朋友手中有4張3分郵票和3張5分郵票.請你幫他算一算，他用這些郵票可以組成多少種不同的郵資？ 考慮所有可能情況

（一）習(xí)題答案

1.解：有5種不同的取法.（見下表）

2.解：有7種不同的拿法.（見下表）

3.解：有2種不同的放法.第1種放法：3個蘋果全放在一個抽屜里，另一個抽屜空著不放；第2種放法：2個蘋果放在一個抽屜里，1個蘋果放在另一個抽屜里；注意：在每種放法中，必有一個抽屜里的蘋果數(shù)等于或大于2.4.解：有3種不同的放法.第1種放法：甲抽屜中放4個，乙抽屜中不放；

第2種放法：甲抽屜中放3個，乙抽屜中放1個；

第3種放法：甲、乙抽屜中各放2個蘋果；

注意：這三種放法中，無論哪種放法，都必有一個抽屜里的蘋果數(shù)等于或大于2.5.解：6的不同分拆方式共有10種，它們是：

①拆成兩個數(shù)之和：

6=5+1=4+2=3+3

②拆成三個數(shù)之和：

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2

③拆成四個數(shù)之和：

6=3+1+1+1=2+2+1+1

④拆成五個數(shù)之和：

6=2+1+1+1+1

⑤拆成六個數(shù)之和：

6=1+1+1+1+1+1.6.解：可以組成6個不同的三位數(shù).下面是用選擇填空法組數(shù)；見圖10－5.7.解：列舉出兩枚硬幣搭配的所有情況：

硬幣 算式和錢數(shù)

1分、1分1+1=2（分）

1分、5分 1+5=6（分）

1分、10分 1+10=11（分）（即1角1分）

1分、50分 1+50=51（分）（即5角1分）

5分、5分 5+5=10（分）（即1角）

5分、10分 5+10=15（分）（即1角5分）

5分、50分 5+50=55（分）（即5角5分）

10分、10分 10+10=2O（分）（即2角）

10分、50分10+50=60（分）（即6角）

共有9種不同的錢數(shù).8.解：把所有的情況都列舉出來：4張3分郵票可組成4種郵資：

3分，6分，9分，12分.3張5分郵票可組成3種郵資：

5分，10分，15分.兩種郵票搭配可組成12種郵資：

3+5=8（分）3+10=13（分）

3+15=18（分）6+5=11（分）

6+10=16（分）6+15=21（分）

9+5=14（分）9+10=19（分）

9+15=24（分）12+5=17（分）

12+10=22（分）12+15=27（分）

共可組成4+3+12=19種不同的郵資.