第一篇：函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系教案

函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系教案

教學目的

1．使學生理解函數(shù)連續(xù)是函數(shù)可導的必要條件，但不是充分條件．

2．使學生了解左導數(shù)和右導數(shù)的概念．

教學重點和難點

掌握函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系．

教學過程

一、復習提問

1．導數(shù)的定義是什么？

2．函數(shù)在點x0處連續(xù)的定義是什么？

在學生回答定義基礎上，教師進一步強調(diào)函數(shù)f(x)在點x=x0處連續(xù)必須具備以

∴f(x)在點x0處連續(xù)．

綜合(1)(2)原命題得證．

在復習以上三個問題基礎上，直接提出本節(jié)課題．先由學生回答函數(shù)的可導性與連續(xù)性的關系．

二、新課

1．如果函數(shù)f(x)在點x0處可導，那么f(x)在點x0處連續(xù)．

∴f(x)在點x0處連續(xù)．

提問：一個函數(shù)f(x)在某一點處連續(xù)，那么f(x)在點x0處一定可導嗎？為什么？若不可導，舉例說明．

如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，那么f(x)在該點不一定可導．

例如：函數(shù)y=|x|在點x＝0處連續(xù)，但在點x=0處不可導．從圖2－3看出，曲線y＝f(x)在點O(0，0)處沒有切線．

證明：(1)∵ Δy=f(0＋Δx)－f(0)＝|0＋Δx|－|0|=|Δx|，∴函數(shù)y=|x|在點x0處是連續(xù)的．

2．左導數(shù)與右導數(shù)的概念．

(2)左、右導數(shù)存在且相等是導數(shù)存在的充要條件(利用左右極限存在且相等是極限存在的充要條件，可以加以證明，本節(jié)不證明)．

(3)函數(shù)在一個閉區(qū)間上可導的定義．

如果函數(shù)y=f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，在左端點x＝a處存在右導數(shù)，在右端點x＝b處存在左導數(shù)，我們就說函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上可導．

三、小結

1．函數(shù)f(x)在x0處有定義是f(x)在x0處連續(xù)的必要而不充分條件．

2．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處有極限的充分而不必要條件．

3．函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)是f(x)在x0處可導的必要而不充分的條件．

四、布置作業(yè)

作業(yè)解答的提示：

=f(1)．

∴ f(x)在點x＝1處連續(xù)．

∴ f(x)在x=1處不可導．

第二篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會判斷函數(shù)的間斷點.4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學重點與難點：

重點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，間斷點，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點：函數(shù)在一點連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若當自變量的增量?x趨近于零

時，相應函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當?x?0時，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設函數(shù)y?f(x)在點x0的某個鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點x0連續(xù)包含了三個條件：

（1）f?x?在點x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點a右連續(xù)，在右端點b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點x0有下列三種情況

（1）f?x?在點x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點的分類

??左右極限都相等（可去間斷點）第一類間斷點：左右極限都存在??間斷點? ?左右極限不相等（跳躍間斷點）

?第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實數(shù)C，至少存在一點???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個實根 證明 略

Ⅴ 小結與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習題1-8 2，5，7，9

第三篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設limx?1x?

17、設函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當x=0+時，f(x)=-1；當x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。

第四篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)

數(shù)學分析

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

計劃課時：

0 時

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時)

§ 1

平面點集與多元函數(shù)

一.平面點集:平面點集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分.極坐標表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實心鄰域 , 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3． 點與點集的關系（集拓撲的基本概念）:

（1）內(nèi)點、外點和界點：

內(nèi)點：存在U(A)使U(A)?E

集合E的全體內(nèi)點集表示為intE,.外點：存在U(A)使U(A)?E??

界點：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點也有不屬于E的點。E的邊界表示為?E

集合的內(nèi)點?E, 外點?E , 界點不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點、外點集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點、外點和界點集.（2）(以凝聚程度分為)聚點和孤立點:

聚點：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點。

孤立點：A?E但不是聚點。孤立點必為界點.例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點集.解

E的聚點集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：

（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時稱E為開集 , E的聚點集?E時稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:

（4）

點集的直徑d(E)： 兩點的距離?(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)

二.R2中的完備性定理:

1． 點列的極限:

設Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)

定義1。

limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??

例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設P0為點集E的一個聚點.則存在E中的點列{ Pn }, 使limPn?P0.n??

2．R2中的完備性定理：

（1）Cauchy收斂準則:

.（2）.閉域套定理:（3）.聚點原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點原理.（4）有限復蓋定理:

三．二元函數(shù):

1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：

2.定義域： 例6 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如

z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)

四．n元函數(shù)

二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n

作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限

一.二重極限

二重極限亦稱為全面極限

1.二重極限

定義1 設f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個聚點，A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或

2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2

?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標變換)

P94 E2.證明

(x,y)?(0,0)lim2.歸結原則：

定理 1

limf(P)?A, ?

對D的每一個子集E , 只要點P0是E的聚點 , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E

推論1

設E1?D, P0是E1的聚點.若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D

推論2

設E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點.若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D

推論3

極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關.但應注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在

例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>

(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>

3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:

2定義2．設f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個聚點，若 ?M?0,???0,或

P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???

其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠點的情況.例7 驗證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限

二次極限

1.累次極限的定義:

定義3．設Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點，二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)

記作?(y)?limf(x,y)

x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限

y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)

簡記L?limlim?(y)

y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(0 , 0)的兩個累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關系:

⑴ 兩個累次極限存在時, 可以不相等.(例9)⑵ 兩個累次極限中的一個存在時, 另一個可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(0 , 0)的情況.y

⑶ 二重極限存在時, 兩個累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x

⑷ 兩個累次極限存在(甚至相等)??

二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個累次極限三者的存在性彼此沒有關系.但有以下確定關系.定理2 若二重極限

推論1 二重極限和兩個累次極限三者都存在時 , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個充分條件.推論2 兩個累次極限存在但不相等時 , 二重極限不存在.但兩個累次極限中一個存在 , 另一個不存在 ??

二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0

作業(yè)提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時)

一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:

定義

用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點必為連續(xù)點.例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y

f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2

f(x,y)??

([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :

定義

(單元連續(xù))

二元連續(xù)與單元連續(xù)的關系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復合函數(shù)連續(xù)性.僅證復合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:

二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):

1.有界性與最值性.(證)

2.一致連續(xù)性.(證)

3.介值性與零點定理.(證)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4.10

第五篇：二元函數(shù)的極限與連續(xù)

§2.3 二元函數(shù)的極限與連續(xù)

定義 設二元函數(shù)有意義, 若存在 常數(shù)A,都有

則稱A是函數(shù)

當點

趨于點

或 或趨于點

時的極限,記作

。的方式無關,即不,當

（即）時，在點的某鄰域

內(nèi) 或 必須注意這個極限值與點論P以什么方

向和路徑（也可是跳躍式地，忽上忽下地）趨向分接近, 就能 使

。只要P與 充與A 接近到預先任意指定的程度。注意：點P趨于點點方式可有無窮多

種,比一元函數(shù)僅有左,右兩個單側極限要復雜的多（圖8-7）。

圖8-7

同樣我們可用歸結原則,若發(fā)現(xiàn)點P按兩個特殊的路徑趨于點時,極限

在該點

存在,但不相等, 則可以判定元函數(shù)極限不 存在的重要方法之一。

極限不存在。這是判斷多 一元函數(shù)極限中除了單調(diào)有界定理外,其余的有關性質(zhì)和結論, 在二元函數(shù)極

限理論中都適用，在這里就不一一贅述了。例如

若

有, 其中。

求多元函數(shù)的極限, 一般都是轉化為一元函數(shù)的極限來求, 或利用夾逼定理

來計算。例4 求。

解由于 , 而,根據(jù)夾逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根據(jù)夾逼定

.例7 研究函數(shù)在點處極限是否存在。

解 當x2+y2≠0時，我們研究函數(shù)，沿x→0,y=kx→0這一方式趨于

（0，0）的極限，有值，可得到不同的極 限值,所以極限

不存在,但 ,。很顯然，對于不同的k。注意：極限方式的 的區(qū)別, 前面兩個求本質(zhì)是兩次求一元函數(shù)的極限, 我們稱為累次極限, 而最后一個是求二元函數(shù)的

極限,我們稱為求二重極限。

例8 設函數(shù)極限都不存在,因 為對任何,當

時,。它關于原點的兩個累次

的第二項不存在極限；同理對任何 時, 的第 一項也不存在極限,但是因此。

由例7知, 兩次累次極限存在, 但二重極限不存在。由例8可知,二重極限存

在,但二個累次極限不存在。我們有下面的結果: 定理1 若累次極限都存在,則

三者相等（證明略）。推論 若但不相等,則二重極限

不

存在和二重極限, 由于, 存在。定義 設

在點的某鄰域內(nèi)有意義,且稱函數(shù),則

在點

處

連

續(xù),記

上式稱為函數(shù)(值)的全增量。則。

定義

增量。

為函數(shù)(值)對x的偏二元函數(shù)連續(xù)的定義可寫為

偏增量。若斷點, 若

在點

為函數(shù)（值）對y的處不連續(xù),則稱點

是的間在某區(qū)域

在區(qū)域G上連續(xù)。若

在閉區(qū)域GG上每一點都連續(xù),則稱的每一內(nèi)點都連 續(xù),并在G的連界點

處成立 , 則稱為連續(xù)曲面。在閉域G上連續(xù)。閉域上連續(xù)的二元函數(shù)的圖形稱 關于一元函數(shù)連續(xù)的有關性質(zhì), 如最值定理、介值定理、Cantor定理,對于

二元函數(shù)也相應成立?？梢宰C明如下的重要結果：

定理2 設

在平面有界閉區(qū)域G上連續(xù),則（1）必在G上取到最大值,最小值及其中間的一切值;（2）,當

時,都有

。以上關于二元函數(shù)的在G上一致連續(xù),即

極限和連續(xù)的有關性質(zhì)和結論在n元函數(shù)中仍然成立。