第一篇：13多元函數(shù)的極值與連續(xù)

CH 13

多元函數(shù)的極值與連續(xù)

1，平面點(diǎn)集

鄰域：M0(x0,y0)?R2，稱{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)??,??0}為點(diǎn)M0的?鄰域，記作O(M0,?)。

點(diǎn)列的極限：設(shè){xn}是X軸上的一點(diǎn)列，{yn}是Y軸上的一個(gè)點(diǎn)列，則以xnyn為坐標(biāo)的點(diǎn){(xn,yn)}組成平面上的一個(gè)點(diǎn)列，記作{Mn}，又設(shè)M0是平面上的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為M0(x0,y0)，若對M0的任何一個(gè)?鄰域O(M0,?)，總存在正整數(shù)N，當(dāng)n?N時(shí)，有Mn?O(M0,?)，就稱點(diǎn)列{Mn}收斂，并且收斂于M0，記作limMn?M0或則記為

n??22（n??）即(xn,yn)?(x0,y0)，（n??）。Mn?M0，上面點(diǎn)列極限的定義也可用不等式敘述：若對???0，總存在N，當(dāng)n?N時(shí)，有(x?x0)2?(y?y0)2??就稱{Mn}收斂于M0。

點(diǎn)列極限的性質(zhì)：

性質(zhì)1：(xn,yn)?(x0,y0)的充分必要條件是xn?x0，yn?y0，（n??）性質(zhì)2：若{Mn}收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。

內(nèi)點(diǎn)：設(shè)M0?E，如果存在M0的一個(gè)鄰域O(M0,?)，使得O(M0,?)?E，則M0是E的內(nèi)點(diǎn)。

外點(diǎn)：設(shè)M1?E，如果存在M1的一個(gè)?鄰域O(M1,?)，使得O(M1,?)中沒有E的點(diǎn)，就稱M1是E的外點(diǎn)。

邊界點(diǎn)：設(shè)M1是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M的任何鄰域O(M,?)，其中既含有E的點(diǎn)，又含有非E中的點(diǎn)，就稱M為E的邊界點(diǎn)，E的邊界點(diǎn)的全體叫做E的邊界。

開集：如果E的點(diǎn)都是E的內(nèi)點(diǎn)，就稱E是開集。

聚點(diǎn)：設(shè)M0是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于E，也可以不屬于E，如果對M0的任何一個(gè)鄰域O(M0,?)，在這一鄰域內(nèi)至少含有E的一個(gè)（不等于M0）點(diǎn)，就稱M0是E的聚點(diǎn)。***閉集：若E的所有聚點(diǎn)都在E內(nèi)就稱E是閉集。

區(qū)域：設(shè)E是一個(gè)開集，并且E中任何兩點(diǎn)M1和M2之間都可以用有限條屬于E的直線段所組成的折線結(jié)起來，稱E是區(qū)域。

閉區(qū)域：一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理：

矩形套定理：設(shè){an?xn?bn,cn?yn?dn}是矩形an?xn?bn,cn?yn?dn，(n?1,2,...)所組成的矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且bn?an?0，那么有唯一的一點(diǎn)M0(x0,y0)，它位于每一個(gè)矩形中，亦即：

an?x0?bn,cn?y0?dn(n?1,2,...)

致密性原理（Weierstrass定理）：如果列{Mn(xn,yn)}有界（即存在常數(shù)a,b,c,d，使得a?xn?b,c?yn?d(n?1,2,...)），那么從其中必能選取收斂的子列。

有限覆蓋定理：若一開矩形集合{?}?{??x??,??y??}覆蓋有限閉區(qū)域，那么從{?}里，必可選出有限個(gè)開矩形，它們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。

收斂原理：平面點(diǎn)列{Mn}有極限的充分必要條件是：對任意給定的???0，總存在N，當(dāng)m,n?N時(shí)，有r(Mn,Mm)??。

2，多元函數(shù)的概念

二元函數(shù)的定義：設(shè)E是平面點(diǎn)集，f是一個(gè)規(guī)律。如果對E中的每一點(diǎn)(x,y)，通過規(guī)律f在R中存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)u和點(diǎn)(x,y)相對應(yīng)，就稱f是定義在E上的一個(gè)二元函數(shù)，它在(x,y)的函數(shù)值是u，并記此值為f(x,y)。即u?f(x,y)。與一元函數(shù)相仿。常采用下面的記號(hào)記這個(gè)函數(shù)：

f:E?R,(x,y)?u?f(x,y)

并稱E是f的定義域，通常為省略，也稱f(x,y)是一個(gè)二元函數(shù)。

3，二元函數(shù)的極限

二元函數(shù)的極限的定義：設(shè)二元函數(shù)f(M)?f(x,y)在點(diǎn)M0(x0,y0)附近有定義。（而在M0點(diǎn)是否有定義無關(guān)緊要）如果對???0，總存在??0，當(dāng)0?r(M,M0)??時(shí)恒有|f(M)?A|??，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。記為：

M?M0limf(M)?A或f(M)?A，（M?M0）

上述定義可用點(diǎn)的坐標(biāo)描述，即：如果對???0，總存在??0，當(dāng)0?(x?x0)2?(y?y0)2??時(shí)，恒有|f(x,y)?A|??。就稱A是二元函數(shù)f(x,y)在M0(x0,y0)點(diǎn)的極限。

上述定義也可用鄰域來表達(dá)，若對A的任何?鄰域O(A,?)，總存在M0點(diǎn)的?鄰域O(M0,?)，當(dāng)M?O(M0,?)?{M0}時(shí)，恒有f(M)?O(A,?)，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。

上述定義也可敘述為：若???0，總存在??0，使得當(dāng)|x?x0|??，|y?y0|??且(x,y)不與M0(x0,y0)重合，亦即(x?x0)2?(y?y0)2?0時(shí)，恒有：

|f(x,y)?A|??，就稱A是二元函數(shù)f(M)在M0點(diǎn)的極限。

上述的極限通常也稱為二重極限。而諸如若limlimf(x,y)存在或limlimf(x,y)存

y?y0x?x0x?x0y?y0在的極限稱為二次極限或累次極限。

4，二元函數(shù)的連續(xù)性及性質(zhì)

二元函數(shù)連續(xù)的定義：若f(M)?f(x,y)在M0(x0,y0)有定義，且滿足M?M0limf(M)?f(M0)，則稱f(M)在點(diǎn)M0(x0,y0)連續(xù)。

關(guān)于極限的性質(zhì)和運(yùn)算法則，以及連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則，與一元函數(shù)的情況是完全相似的。

若對某一區(qū)域（或開或閉）上的任意一點(diǎn)M0(x0,y0)，當(dāng)M取此區(qū)域上任意的點(diǎn)列趨于M0(x0,y0)時(shí)，f(M)的極限恒為f(M0)，那么稱f(M)在此區(qū)域上連續(xù)。

有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：

性質(zhì)1：有界性定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上有界；亦即存在正數(shù)M，使得在D上恒有|f(x,y)|?M。

性質(zhì)2 ：一致連續(xù)性定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上一致連續(xù)；亦即對???0，總存在??0，使得D上任意兩點(diǎn)M'(x',y')，M''(x'',y'')，當(dāng)|x'?x''|??，|y'?y''|??時(shí)恒有：

|f(x',y')?f(x'',y'')|??。

性質(zhì)3：最大值最小值定理：若f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則它在D上必有最大值和最小值。

性質(zhì)4：零點(diǎn)存在定理：若f(x,y)在區(qū)域D（不一定有界閉區(qū)域）內(nèi)連續(xù)，并且在D內(nèi)兩點(diǎn)M1(a1,b1)，N1(?1,?1)異號(hào)。即f(a1,b1)f(?1,?1)?0，那么用完全位于D內(nèi)的任意折線l連接M1和N1時(shí)，在l上必有一點(diǎn)M(x,y)，滿足f(x,y)?0。

5，二重極限與二次極限的關(guān)系

（1）兩個(gè)二次極限都不存在，而二重極限仍可能存在。（2）兩個(gè)二次極限存在而不相等，二重極限必不存在。（3）兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限仍可能不存在。

例：證明有界閉區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的有界性定理，最大（小）值定理及一致連續(xù)性定理。（1）有界閉區(qū)域上的二元連續(xù)函數(shù)必有界；（2）最大（?。┲刀ɡ?；（3）一致連續(xù)性定理。

證：（1）用反證法，設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，但無界。

?n,?Mn(xn,yn)?D，有|f(xn,yn)|?n，由致密性定理序列{Mn(xn,yn)}?D必有界，從其中必能選出收斂的子列{Mnk}?{Mn}，有l(wèi)imMnk?M(x,y)，由于D為有界

k??閉區(qū)域，故M?D。故f(x,y)在點(diǎn)M連續(xù)，limf(xnk,ynk)?f(M)?f(x,y)。但在k??構(gòu)造Mn(xn,yn)時(shí)已設(shè)

|f(xn,yn)|?n,|f(xnk,ynk)|?nkk??，故{f(xnk,ynk)}?{f(xn,yn)}發(fā)散到無窮大。這與limf(xnk,ynk)?f(M)?f(x,y)收斂矛盾。

（2）因f在D上有界，故設(shè)M?supf(p),m?inff(p)，可證必有一點(diǎn)Q?D，有

p?Dp?Df(Q)?M（同理可證?Q'?D,使f(Q')?m）。如若不然，?p?D均有M?f(p)?0。

考察D上的正值連續(xù)函數(shù)F(p)?1，由前面知F在D上有界，又因f不能在DM?f(p)上達(dá)到上確界M，故存在收斂的點(diǎn)列{pn}?D，使limf(pn)?M。于是

n??limF(pn)???，這與F在D上有界矛盾，故f在D上能取得最大值。

n??（3）（用反證法）設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，但非一致連續(xù)。則???0,???0，如??11,n?1,2,?有相應(yīng)的Pn,Qn?D:r(Pn,Qn)?但|f(Pn)?f(Qn)|??0成立。由nnk??于D為有界閉區(qū)域，故存在收斂的點(diǎn)列{Pnk}?{Pn}并設(shè)limPnk?P0。再在{Qn}中取出與{Pn}具有相同足標(biāo)的點(diǎn)列{Qnk}?{Qn}，由0?r(Pn,Qn)?1?0,k??，從而有 nklimQnk?limPnk?P0k??k??k??，最后由

f在P0連續(xù)，得lim|f(Pn)?f(Qn)|?|f(P0)?f(P0)|?0，這與|f(Pn)?f(Qn)|???0矛盾，所以f在D上一致連續(xù)。

第二篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)

數(shù)學(xué)分析

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

計(jì)劃課時(shí)：

0 時(shí)

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))

§ 1

平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

一.平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點(diǎn)集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3． 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?

（1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：

內(nèi)點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E

集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E??

界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E的邊界表示為?E

集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E , 界點(diǎn)不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集.（2）(以凝聚程度分為)聚點(diǎn)和孤立點(diǎn):

聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。

孤立點(diǎn)：A?E但不是聚點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點(diǎn)集.解

E的聚點(diǎn)集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：

（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時(shí)稱E為開集 , E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:

（4）

點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)

二.R2中的完備性定理:

1． 點(diǎn)列的極限:

設(shè)Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)

定義1。

limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??

例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設(shè)P0為點(diǎn)集E的一個(gè)聚點(diǎn).則存在E中的點(diǎn)列{ Pn }, 使limPn?P0.n??

2．R2中的完備性定理：

（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:

.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:

三．二元函數(shù):

1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：

2.定義域： 例6 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如

z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)

四．n元函數(shù)

二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n

作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限

一.二重極限

二重極限亦稱為全面極限

1.二重極限

定義1 設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或

2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗(yàn)證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2

?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)

P94 E2.證明

(x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則：

定理 1

limf(P)?A, ?

對D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E

推論1

設(shè)E1?D, P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D

推論2

設(shè)E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D

推論3

極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在

例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>

(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>

3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:

2定義2．設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 ?M?0,???0,或

P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???

其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限

二次極限

1.累次極限的定義:

定義3．設(shè)Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個(gè)y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)

記作?(y)?limf(x,y)

x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限

y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)

簡記L?limlim?(y)

y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(diǎn)(0 , 0)的情況.y

⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x

⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??

二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限

推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 二重極限不存在.但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 ??

二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0

作業(yè)提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí))

一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:

定義

用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y

f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2

f(x,y)??

([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :

定義

(單元連續(xù))

二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:

二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):

1.有界性與最值性.(證)

2.一致連續(xù)性.(證)

3.介值性與零點(diǎn)定理.(證)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4.10

第三篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)

多元函數(shù)的極限

1.求下列極限：

x2y111)lim(4x?3y)；

2）lim(x?y)sinsin；

3）lim2.2x?0x?2x?0x?yxyy?0y?1y?02

2.證明：若f(x，y)?

x?y，(x?y?0)，求 lim?limf(x，y)?與lim?limf(x，y)?.?x?0???y?0?y?0?x?0x?yx4y43.設(shè)函數(shù)f(x，y)?4，證明：當(dāng)點(diǎn)(x，y)沿通過原點(diǎn)的任意直線(y?mx)趨于（0,0）時(shí)，函數(shù)f(x，y)23(x?y)存在極限，且極限相等.但是，此函數(shù)在原點(diǎn)不存在極限.x2?y22D?(x，y)y?x4.若將函數(shù)f(x，y)?2限制在區(qū)域，則函數(shù)f(x，y)在原點(diǎn)（0，0）存在極限.2x?y??

5.求下列極限： 1）lim

3）lim(x?y)In(x?y)；

4）limx?0y?022x?ysinxy；

2）； limx?1x2?xy?y2x?0xy?2y?4(1?4x2)(1?6y2)?12x2?3y2x?0y?0.

第四篇：一、多元函數(shù)、極限與連續(xù)解讀

一、多元函數(shù)、極限與連續(xù) ㈠二元函數(shù) ．二元函數(shù)的定義：設(shè) D 是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對于每個(gè)點(diǎn) P（x，y）∈ D，變量 按照

一定法則總有確定的值與它對應(yīng)，則稱 是變量 x、y 的二元函數(shù)（或點(diǎn) P 的函數(shù)），記為

（或），點(diǎn)集 D 為該函數(shù)的定義域，x、y 為自

為該函數(shù)值域。由此變量，為因變量，數(shù)集也可定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面。例如 面。

㈡二元函數(shù)的極限

⒈設(shè)函數(shù) f（x,y）在開區(qū)域（或閉區(qū)域）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式，都有 的一切點(diǎn)

是球心在原點(diǎn)，半徑為 1 的上半球

成立，則稱常數(shù) A 為函數(shù)f（x,y）當(dāng)

或 , 這里 時(shí)的極限，記作

。為了區(qū)別一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。⒉注意：二重極限存在是指 都無限接近A。因此，如果條定直線或定曲線趨于

沿任意路徑趨于，函數(shù)

沿某一特殊路徑，例如沿著一時(shí)，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們也不能由此判定函數(shù)的極限存在。

㈢多元函數(shù)的連續(xù)性 ．定義：設(shè)函數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)有定義，是 D 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)且

。如果

連續(xù)。如果函，則稱函數(shù) f（x，y）在點(diǎn)

數(shù) f（x，y）在開區(qū)間（或閉區(qū)間）D 內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù) f（x，y）在 D 內(nèi)連續(xù)，或者稱 f（x，y）是 D 內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。2 ．性質(zhì)

⑴一切多元初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的；

⑵在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，在 D 上一定有最大值和最小值；

⑶在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在 D 上取兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在 D 上取得介于這兩 個(gè)值之間的任何值至少一次；

⑷在有界閉區(qū)域 D 上的多元連續(xù)函數(shù)必定在 D 上一致連續(xù)。

二、偏導(dǎo)數(shù)和全微分 ㈠偏導(dǎo)數(shù)

⒈偏導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)有增量

存在，則稱此極限為

處對 的偏導(dǎo)數(shù)，記作，當(dāng) 固定 在而 在處有增量，如果函數(shù)

或 類似，函數(shù) 在點(diǎn)

在點(diǎn)

處對 的偏導(dǎo)數(shù)定義為，記作

際中求，或。在實(shí)的偏導(dǎo)數(shù)，并不需要用新的方法，因?yàn)檫@里只有一個(gè)自變量在變動(dòng)，另一個(gè)自變量是看作固定的，所以求 時(shí)只要將暫時(shí)看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)；求 時(shí)，則只要將 暫時(shí)看作常量而對 求導(dǎo)數(shù)。偏導(dǎo)數(shù)可以推廣到二元以上的函數(shù) 注意：對于一元函數(shù)來說 可以看作函數(shù)的微分 分 之商，而偏導(dǎo)數(shù)的記

與自變量微號(hào)是一個(gè)整體符號(hào)，不能看作分母與分子之商。⒉偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè) 過 做平面，截此曲面得一曲線，此曲線在平面，則導(dǎo)數(shù)

上的方程為

為曲面

上的一點(diǎn)，即偏導(dǎo)數(shù)

對 軸的 斜率。同樣，偏導(dǎo)數(shù) 截得的曲線在點(diǎn) 的切線

處，就是這曲線在點(diǎn) 處的切線 的幾何意義是曲面被平面 所對 軸的斜率。

在區(qū)域 D 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)，都是，⒊高階偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)，那么在 D 內(nèi) 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) 的二階偏導(dǎo)數(shù)。按照對變量求導(dǎo)次序的不同有以下四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)： ,。二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)。

定理：如果函數(shù) 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) 及 在區(qū)域 D 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。（即二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。）㈡全微分

⒈全微分定義：如果函數(shù)

可表示為

賴于、而僅與、有關(guān)，在點(diǎn)

可微分，而

稱

在點(diǎn) 的全增量，其中 A、B 不依，則稱函數(shù)

為函數(shù)

在點(diǎn) 的全微分，記作，即。如果函數(shù)在區(qū)域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微分，那么稱這函數(shù)在 D 內(nèi)可微分。定理 1（必要條件）：如果函數(shù) 函數(shù)在點(diǎn) 的偏導(dǎo)數(shù)

在點(diǎn) 的全微分為 在點(diǎn)

可微分，則該必定存在，且函數(shù)

。定理2（充分條件）：如果函數(shù)續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。的偏導(dǎo)數(shù) 在點(diǎn) 連以上關(guān)于二元函數(shù)全微分的定義及可微分的必要條件和充分條件，可以完全類似地推廣到三元和三元以上的多元函數(shù)。習(xí)慣上將自變量的增量、分別記作、；并分別稱為自變量的微分，則函數(shù) 的全微分可表示為 分等于它的兩個(gè)偏微分之和

這件事稱為二元函數(shù)的微分符合疊加原理。疊加原理也適用于二元以上的函數(shù)的情形。

三、多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ㈠復(fù)合函數(shù)的全導(dǎo)數(shù)：如果函數(shù) 函數(shù) 在對應(yīng)點(diǎn)

在點(diǎn) 可導(dǎo)，且

及

都在點(diǎn) 可導(dǎo)。通常將二元函數(shù)的全微具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) 其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：。此定理可推廣到中間變量多余兩個(gè)的情況，例如，，則，其中 稱為全導(dǎo)數(shù)。上述定理還可推廣

到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情形。㈡復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) : 設(shè) 則

是

可微，函數(shù)，對，并且，的復(fù)合函數(shù)。如果 的偏導(dǎo)數(shù)存在，則 復(fù)合函數(shù)

對 的偏導(dǎo)數(shù)存在，且

㈢全微分形式的不變性 : 設(shè)函數(shù) 則有全微分 果、又是，如 的函數(shù)、具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且這兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合 函數(shù) 的全微分為

由此可見，無論 是自變量、的函數(shù)或中間變量、的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的，這個(gè)性質(zhì)叫做全微分形式不變性。

四、隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 ㈠、一個(gè)方程的情形 隱函數(shù)存在定理 1 ：設(shè)函數(shù) 有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，內(nèi)恒能

唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿，則方程

在點(diǎn) 的某一鄰域

在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)具 足條件，并有

隱函數(shù)存在定理 2 ：設(shè)函數(shù) 具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，一鄰域

內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它滿足條件，則方程

在點(diǎn) 的某

在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)，并有

㈡、方程組的情況 隱函數(shù)存在定理 3 ：設(shè) 某一鄰域內(nèi)、在點(diǎn) 的具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又，且，偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式（或稱雅可比（Jacobi）行列式）：

在點(diǎn) 點(diǎn) 不等于零，則方程組，在的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一組單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，它們滿足條件，并有，，五、方向?qū)?shù)、梯度 ㈠、方向?qū)?shù) 1、定義：設(shè)函數(shù)

在點(diǎn) 的某一鄰域 內(nèi)有定義，自點(diǎn) P 引射線。設(shè)軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 , 并設(shè)

為 上的另一點(diǎn)，且

。我們考慮函數(shù)的增量 的比

與 和 兩點(diǎn)間的距離

值。當(dāng) 沿著 趨于 時(shí)，如果這個(gè)比的極限存在，則稱這極限為函數(shù) 在點(diǎn)沿著方向的方向?qū)?shù)，記作，即。、定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 是可微分的，那么函數(shù)，在該點(diǎn)沿任一方向 的方向?qū)?shù)都存在，且有 其中 為 x 軸到方向 的轉(zhuǎn)角。上述定義也可推廣到三元函數(shù) 著方向（設(shè)方向 的方向角為，其中，它在空間一點(diǎn)

沿）的方向?qū)?shù)可以定義為，如果函數(shù)在所考慮的點(diǎn)處可微，則函數(shù)在該點(diǎn)沿著方向 的方向?qū)?shù)為

㈡、梯度、定義(二元函數(shù)的情形)：設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)量，這個(gè)向量稱為函數(shù)，即，在點(diǎn)

在平面區(qū)域 D，都可定出一個(gè)向的梯度，記作，由梯度的定義可知，梯度的模為： 當(dāng) 不為零時(shí)，x 軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為 2、與方向?qū)?shù)的關(guān)系：如果設(shè)

是與方向 同方向的單位向量，則由方向?qū)?shù)的計(jì)算公式可知：

由此可知，就是梯度在 上的投影，當(dāng)方向 與梯度的方向一致時(shí)，有，從而 有最大值。所以沿梯度方向的方向?qū)?shù)達(dá)最大值，也就是說，梯度的方向是函數(shù)

在該點(diǎn)增長最快的方向，因此，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，而它的模為方向?qū)?shù)的最大值?！鲜鏊v的梯度的概念也可推廣到三元函數(shù)的情況。設(shè)函數(shù) 續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn)，這個(gè)向量稱為函數(shù)

六、多元函數(shù)的泰勒公式、極值和幾何應(yīng)用 ㈠、二元函數(shù)的泰勒公式 定理：設(shè) 的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到

階

在空間區(qū)域 G 內(nèi)具有一階連，都可定出一個(gè)向量

在點(diǎn) 的梯度，即 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有

一般地，記號(hào) 表示

設(shè)，則上式可表示為

⑴，公式⑴稱為二元函數(shù)

在點(diǎn)的n階泰勒公式，而的表達(dá)式為拉格朗日型余項(xiàng)。在泰勒公式⑴中，如果取 公式，則⑴式成為 n 階麥克勞林

㈡、多元函數(shù)的極值 定理 1（必要條件）：設(shè)函數(shù) 數(shù)，且在點(diǎn)

在點(diǎn)（,）具有偏導(dǎo)(,)處有極值，則它在該點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)必然為零：

定理 2（充分條件）: 設(shè)函數(shù) 內(nèi)連續(xù)且

有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又)=A,(,)=B,(,)=C, 則 f(x,y)在（,）處是否取得極值的條件如下：，令

(,，在點(diǎn)（,）的某鄰域⑴ AC->0 時(shí)具有極值，且當(dāng) A<0 時(shí)有極大值，當(dāng) A>0 時(shí)有極小值；

⑵ AC-<0 時(shí)沒有極值；

⑶ AC-=0 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論。㈢、幾何應(yīng)用、空間曲線的切線和法平面： ⑴設(shè)空間曲線 的參數(shù)方程為 在曲線上取相應(yīng)于 的一點(diǎn)，這里假設(shè) 解析幾何中有，假設(shè)三個(gè)函數(shù)都可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn) M 處的切線方程為

均不為零。如果有個(gè)別為零，則應(yīng)按空間關(guān)直線的對稱式方程來理解。切線的方向向量成為曲線的切向量。向量

就是曲線 在點(diǎn) M 處的一個(gè)切向量。

⑵通過點(diǎn) M 而與切線垂直的平面稱為曲線 在點(diǎn) M 處的法平面，它是通過點(diǎn)

而與 T 為法向量的平面，因此方程為。

⑶若空間曲線 的方程以 為： 的形式給出 , 則切線方程，其中分母中帶下標(biāo) 0 的行列式表示

行列式在點(diǎn) 的值；曲線在點(diǎn)

處的法平面方程為 的值；曲線在點(diǎn) 處的法平面方程為、曲面的切平面和法線 ⑴若曲面方程為 M 處的

切平面的方程為：

；，是曲面上一點(diǎn)，則曲面在點(diǎn)

法線方程為： ⑵若曲面方程為，則切平面方程為

或 ；而法線方程為

第五篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題

多元函數(shù)的極限與連續(xù)習(xí)題

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。x?2y?1

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。

（1）f(x,y)?x?y； x?y

(2)f(x,y)?(x?y)sisi； 1

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2； x?y

1(4)f(x,y)?ysi。x

3.求極限（1）lim(x?y)x?0y?022x2y2；

（2）limx2?y2

?x?y?122x?0y?0；

（3）lim(x?y)sinx?0y?01； 22x?y

sin(x2?y2)（4）lim。22x?0x?yy?0

ln(1?xy)??4.試證明函數(shù)f(x,y)??x?y?

x?0x?0在其定義域上是連續(xù)的。

1.用極限定義證明:lim(3x?2y)?14。

x?2y?1

因?yàn)閤?2,y?1，不妨設(shè)|x?2|?0,|y?1|?0，有|x?2|?|x?2?4|?|x?2|?4?5，|3x?2y?14|?|3x?12?2y?2|

?3|x?2||x?2|?2|y?1|?15|x?2|?2|y?1|?15[|x?2|?|y?1|]

???0，要使不等式

|3x?2y?14|?15[|x?2|?|y?1|]??成立 取??min{

?

30,1}，于是

???0，???min{

?

30,1}?0，?(x,y)：|x?2|??,|y?1|??

且(x,y)?(2,1)，有|3x?2y?14|??，即證。

2.討論下列函數(shù)在（0,0）處的兩個(gè)累次極限，并討論在該點(diǎn)處的二重極限的存在性。（1）f(x,y)?

x?y

； x?y

x?yx?y

limli??1，limlim?1

y?0x?0x?yx?0y?0x?y

二重極限不存在。

x?yx?y1

或lim?0，li??。

x?0x?yx?0x?y3

y?x

y?2x

(2)f(x,y)?(x?y)sin

11sin； xy

0?|(x?y)sinsin|?|x|?|y|

xy

可以證明lim(|x|?|y|)?0所以limf(x,y)?0。

x?0y?0

x?0y?0

當(dāng)x?

111，y?0時(shí)，f(x,y)?(x?y)sinsin極限不存在，k?xy

因此limlim(x?y)sisi不存在，x?0y?0xy

lim(x?y)sisi不存在。同理lim

y?0x?0

x1y

x3?y3

(3)f(x,y)?2；

x?y

2x3

limf(x,y)?lim?0，x?0x?0x?x

y?x

當(dāng) P(x, y)沿著y??x?x趨于（0,0）時(shí)有

y??x?x

x3?(x3?x2)3limf(x,y)?li2?1，x?0x?0x?x3?x223

x?0y?0

所以 limf(x,y)不存在；

limlimf(x,y)?0，limlimf(x,y)?0。

x?0y?0

y?0x?0

(4)f(x,y)?ysinx

0?|ysin|?|y|

x

∴l(xiāng)imf(x,y)?0，x?0y?0

limlimysi?0，limlimysi不存在。x?0y?0y?0x?0xx

3.求極限（1）lim(x?y)

x?0

y?0

2x2y2；

(x2?y2)2

0?|xyln(x?y)|?|ln(x2?y2)|，22

(x2?y2)2t

ln(x2?y2)?limlnt?0，又 lim

x?0t?0?44

y?0

∴l(xiāng)im(x?y)

x?0

y?0

2x2y2

?e

limx2y2ln(x2?y2)(x,y)?(0,0)

?1。

（2）lim

x2?y2?x?y?1

x?0y?0；

(x2?y2)(?x2?y2?1)?lim?2。lim2222x?0?01?x?y?1?x?y?1x

y?0y?0

x2?y2

（3）lim(x?y)sin

x?0y?0

；22

x?y

|?|x?y|，|(x?y)sin2

x?y

而lim(x?y)?0

x?0

y?0

故lim(x?y)si2?0。2x?0x?yy?0

sin(x2?y2)

（4）lim。22x?0x?yy?0

令x?rcos?，y?rsin?，(x,y)?(0,0)時(shí)，r?0，sin(x2?y2)sinr2

lim?lim2?1。22x?0r?0rx?yy?0

ln(1?xy)??

4.試證明函數(shù)f(x,y)??x

?y?

x?0x?0

在其定義域上是連續(xù)的。

證明：顯然f(x, y)的定義域是xy>-1.當(dāng)x?0時(shí)，f(x, y)是連續(xù)的，只需證明其作為二元函數(shù)在y軸的每一點(diǎn)上連續(xù)。以下分兩種情況討論。（1）在原點(diǎn)（0,0）處

f(0, 0)=0,當(dāng)x?0時(shí)

0ln(1?xy)??1f(x,y)???

xyx??yln(1?xy)

由于limln1(?xy)

x?0

y?0

1xy

y?0,y?0

?1

1xy

不妨設(shè)|ln1(?xy)從而???0，取??

xy

?1|?1，|ln1(?xy)|?2，當(dāng)0?|x|??,0?|y|??時(shí)，?

ln(1?xy)

?0|?|yln(1?xy)xy||

x

?|y||ln(1?xy)|?2|y|??，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)|x|??,|y|??時(shí)，都有l(wèi)imf(x,y)?0?f(0,0)

x?0y?0

1xy

（2）在(0,)處。（?0)

xy

當(dāng)x?0時(shí)，|f(x,y)?f(0,)|?|yln(1?xy)

1xy

?|

1(?xy)?|y(ln?1)?(y?)| ?1|?|y?|

?|y||ln(1?xy)

xy

當(dāng)x=0時(shí),|f(x,y)?f(0,)|?|y?|,1xy

注意到，當(dāng)?0時(shí)limln1(?xy)

x?0

y??1，于是，無論x?0,x?0，當(dāng)?0時(shí)lim|f(x,y)?f(0,)|?0，x?0y?即 f(x, y)在在(0,)處連續(xù)，綜上，f(x, y)在其定義域上連續(xù)。