第一篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)27.4正多邊形和圓教案3新華東師大版

27.4正多邊形和圓

教學(xué)目標(biāo)：1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形． 2.復(fù)習(xí)正多邊形概念，讓學(xué)生盡可能講出生活中的多邊形為引題引入正多邊形和圓這一節(jié)間的內(nèi)容．

3、通過(guò)正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；通過(guò)正多邊形有關(guān)概念的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力．

重難點(diǎn)：正多邊形和圓中心正多邊形半徑、中心角、弦心距、?邊長(zhǎng)之間的關(guān)系． 教學(xué)過(guò)程

一、探索新知

如果我們以正多邊形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的交點(diǎn)作為圓心，過(guò)點(diǎn)到頂點(diǎn)的連線為半徑，能夠作一個(gè)圓，很明顯，這個(gè)正多邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在這個(gè)圓上，如圖，?正六邊形ABCDEF，連結(jié)AD、CF交于一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，那么肯定B、C、?D、E、F都在這個(gè)圓上．

因此，正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個(gè)圓分成相等的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的外接圓．

為了今后學(xué)習(xí)和應(yīng)用的方便，?我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心．

外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

正多邊形每一邊所對(duì)的圓心角叫做正多邊形的中心角．

中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

例1．已知正六邊形ABCDEF，如圖所示，其外接圓的半徑

ED是a，?求正六邊形的周長(zhǎng)和面積．

O

CF

AMB 現(xiàn)在我們利用正多邊形的概念和性質(zhì)來(lái)畫正多邊形．

例2．利用你手中的工具畫一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的正五邊形．

分析：要畫正五邊形，首先要畫一個(gè)圓，然后對(duì)圓五等分，因此，?應(yīng)該先求邊長(zhǎng)為3的正五邊形的半徑．

二、嘗試應(yīng)用

例3．在直徑為AB的半圓內(nèi)，劃出一塊三角形區(qū)域，如圖所示，使三角形的一邊為AB，頂點(diǎn)C在半圓圓周上，其它兩邊分別為6和8，現(xiàn)要建造一個(gè)內(nèi)接于△ABC?的矩形水池DEFN，其中D、E在AB上，如圖24-94的設(shè)計(jì)方案是使AC=8，BC=6．

（1）求△ABC的邊AB上的高h(yuǎn)．

（2）設(shè)DN=x，且h?DNNF?，當(dāng)x取何值時(shí)，水池DEFN的面積最大？ hAB（3）實(shí)際施工時(shí)，發(fā)現(xiàn)在AB上距B點(diǎn)1．85的M處有一棵大樹(shù)，問(wèn)：這棵大樹(shù)是否

位于最大矩形水池的邊上？如果在，為了保護(hù)大樹(shù)，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出另外的方案，使內(nèi)接于滿足條件的三角形中欲建的最大矩形水池能避開(kāi)大樹(shù)．

CNhADGE

分析：要求矩形的面積最大，先要列出面積表達(dá)式，再考慮最值的求法，初中階段，尤其現(xiàn)學(xué)的知識(shí)，應(yīng)用配方法求最值．（3）的設(shè)計(jì)要有新意，?應(yīng)用圓的對(duì)稱性就能圓滿解決此題．

三、歸納小結(jié)（學(xué)生小結(jié)，老師點(diǎn)評(píng)）本節(jié)課你有什么收獲？

四、當(dāng)堂達(dá)標(biāo)

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）．

A．60° B．45° C．30° D．22．5°

FB

(1)(2)(3)2．圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（）． A．36° B．60° C．72° D．108° 3．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，?則這段弧所對(duì)的圓心角為（）A．18° B．36° C．72° D．144°

4．已知正六邊形邊長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)______． 5.正五邊形ABCDE的對(duì)角線AC、BE相交于M．

（1）求證：四邊形CDEM是菱形；（2）設(shè)MF=BE·BM，若AB=4，求BE的長(zhǎng)．

教后反思：

第二篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)圓教案4

第二十四章“圓”簡(jiǎn)介

課程教材研究所

李海東

與三角形、四邊形等一樣，圓也是基本的平面圖形，也是“空間與圖形”的主要研究對(duì)象，是人們生活中常見(jiàn)的圖形。本章將在學(xué)生前面學(xué)習(xí)了一些基本的直線形──三角形、四邊形等的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究一個(gè)基本的曲線形──圓，探索圓的有關(guān)性質(zhì)，了解與圓有關(guān)的位置關(guān)系等，并結(jié)合一些圖形性質(zhì)的證明，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力。本章共安排四個(gè)小節(jié)和兩個(gè)選學(xué)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)間大約需要17課時(shí)，具體安排如下（僅供參考）：

24.1 圓

5課時(shí) 24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

6課時(shí) 24.3 正多邊形和圓

2課時(shí) 24.4 弧長(zhǎng)和扇形的面積

2課時(shí) 數(shù)學(xué)活動(dòng)

小結(jié)

2課時(shí)

一、教科書內(nèi)容和課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

（一）本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)如下圖所示：

（二）教科書內(nèi)容

本章是在學(xué)習(xí)了直線圖形的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，來(lái)研究一種特殊的曲線圖形──圓的有關(guān)性質(zhì)。圓也是常見(jiàn)的幾何圖形之一，不僅日常生活中的許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以看到圓。圓的有關(guān)性質(zhì)，也被廣泛的應(yīng)用。圓也是平面幾何中最基本的圖形之一，它不僅在幾何中有重要地位，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)以及其他科學(xué)的重要的基礎(chǔ)。圓的許多性質(zhì)，比較集中地反映了事物內(nèi)部量變與質(zhì)變的關(guān)系、一般與特殊的關(guān)系、矛盾的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系等等。結(jié)合圓的有關(guān)知識(shí)，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。所以這一章的教學(xué)，在初中的學(xué)習(xí)中也占有重要地位。

本章是在小學(xué)學(xué)過(guò)的一些圓的知識(shí)的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)的研究圓的概念、性質(zhì)、圓中有關(guān)的角、點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓、圓與正多邊形之間的位置、數(shù)量關(guān)系。本章共分為四個(gè)小節(jié)，第1小節(jié)是“圓”，主要是圓的有關(guān)概念和性質(zhì)，圓的概念和性質(zhì)是進(jìn)一步研究圓與其他圖形位置、數(shù)量關(guān)系的主要依據(jù)，是全章的基礎(chǔ)。這一節(jié)包括“圓”“垂直于弦的直徑”“弧、弦、圓心角”“圓周角”四個(gè)部分。“24.1.1 圓”的主要內(nèi)容是圓的定義和圓中的一些相關(guān)概念。圓的定義是研究圓的有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)。在小學(xué)，學(xué)生接觸過(guò)圓，對(duì)它有一定的認(rèn)識(shí)。教科書首先結(jié)合生活中一些圓的實(shí)際例子，在學(xué)生小學(xué)學(xué)過(guò)的畫圓的基礎(chǔ)上，通過(guò)設(shè)置一個(gè)觀察欄目，用“發(fā)生法”給出了圓的定義。進(jìn)一步的教科書又分析了圓上每一個(gè)點(diǎn)與圓心的距離都等于定長(zhǎng)，同時(shí)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)都在圓上，這樣實(shí)際上從點(diǎn)和集合的角度進(jìn)一步認(rèn)識(shí)圓，這樣再認(rèn)識(shí)之后，學(xué)生對(duì)圓的 認(rèn)識(shí)就加深了。接下來(lái)，是與圓有關(guān)的一些概念，如半徑、直徑、弦、弧等，對(duì)于這些概念要讓學(xué)生結(jié)合圖形進(jìn)行認(rèn)識(shí)，并多進(jìn)行比較，以搞清他們的異同。在接下來(lái)的幾部分，教科書探究并證明了垂徑定理、弧、弦、圓心角的關(guān)系定理、圓周角定理。垂徑定理及其推論反映了圓的重要性質(zhì)，是圓的軸對(duì)稱性的具體化，也是證明線段相等、角相等、垂直關(guān)系的重要依據(jù)，同時(shí)也為進(jìn)行圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù)；圓周角定理及其推論對(duì)于角的計(jì)算、證明角相等、弧、弦相等等問(wèn)題提供了十分簡(jiǎn)便的方法。所以垂徑定理及其推論、圓周角定理及其推論是本小節(jié)的重點(diǎn)，也是本章的重點(diǎn)內(nèi)容。而垂徑定理及其推論的條件和結(jié)論比較復(fù)雜，容易混淆，圓周角定理的證明要用到完全歸納法，學(xué)生對(duì)與分類證明的必要性不易理解，所以這兩部分內(nèi)容也是本節(jié)的難點(diǎn)。

“24.2 與圓有關(guān)的位置關(guān)系”包括三部分內(nèi)容，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系。在“點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”中，教科書首先結(jié)合射擊問(wèn)題，給出了點(diǎn)與圓的三種不同位置關(guān)系，接下來(lái)討論了過(guò)三點(diǎn)的圓，并結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”介紹了反證法。在“直線與圓的位置關(guān)系”中，教科書首先討論了直線與圓的三種位置關(guān)系，然后重點(diǎn)研究了直線與圓相切的情況，給出了直線與圓相切的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理，在此基礎(chǔ)上介紹了三角形的內(nèi)切圓。在“圓與圓的位置關(guān)系”中，重點(diǎn)是討論圓與圓的不同位置關(guān)系。本小節(jié)中，直線與圓的位置關(guān)系是中心內(nèi)容，切線的判定定理、性質(zhì)定理、切線長(zhǎng)定理等則是研究直線與圓的有關(guān)問(wèn)題時(shí)常用的定理，是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容。反證法的思想在前面章節(jié)有所滲透，在這一小節(jié)正式提出，它是一種間接證法，學(xué)生接受還是有一定的困難，所以對(duì)于反證法的教學(xué)是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)；另外切線的判定定理和性質(zhì)定理的題設(shè)和結(jié)論容易混淆，證明性質(zhì)定理又要用到反證法，因此這兩個(gè)定理的教學(xué)也是本節(jié)的難點(diǎn)，這些也同時(shí)是本章的難點(diǎn)。正多邊形是一種特殊的多邊形，它有一些類似于圓的性質(zhì)。例如，圓有獨(dú)特的對(duì)稱性，它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任意一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸，繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能和原來(lái)的圖形重合。正多邊形也是軸對(duì)稱圖形，正n邊形就有n條對(duì)稱軸，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，它也是中心對(duì)稱圖形，而且繞中心每旋轉(zhuǎn)，都能和原來(lái)的圖形重合，可見(jiàn)正多邊形和圓有很多內(nèi)在的聯(lián)系。另外，正多邊形也在生產(chǎn)和生活中有著廣泛的應(yīng)用，所以教科書接下來(lái)安排了“正多邊形和圓”的內(nèi)容。教科書回顧學(xué)生已經(jīng)了解的正多邊形概念的基礎(chǔ)上，以正五邊形為例，證明了利用等分圓周得到正五邊形的方法，接下來(lái)介紹了正多邊形的有關(guān)概念，如中心、半徑、中心角、邊心距等，并進(jìn)一步介紹了畫正多邊形的方法。正多邊形的有關(guān)計(jì)算是本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，這些計(jì)算都是幾何中的基礎(chǔ)知識(shí)，正確掌握它們也要綜合運(yùn)用以前所學(xué)的知識(shí)，這些知識(shí)在生產(chǎn)和生活中也常要用到。本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)在學(xué)生對(duì)正n邊形中“n”的接受和理解上。學(xué)生對(duì)三角形、四邊形、圓等這些具體圖形比較習(xí)慣，對(duì)于泛指的n邊形

不習(xí)慣。為了降低難度，教科書涉及的證明、計(jì)算等問(wèn)題都是結(jié)合具體的多邊形為例的，教學(xué)時(shí)要注意把這種針對(duì)具體圖形的結(jié)論和方法推廣，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)由具體到抽象，特殊到一般的認(rèn)識(shí)上的飛躍，提高學(xué)生的思維能力。

教科書接下來(lái)的24.4節(jié)的主要內(nèi)容是一些與圓有關(guān)的計(jì)算，包括兩部分“弧長(zhǎng)和扇形的面積”“圓錐的側(cè)面積和全面積”?！盎￠L(zhǎng)和扇形的面積”是在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓周長(zhǎng)、面積公式的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出來(lái)的，應(yīng)用這些公式，就可以計(jì)算一些與圓有關(guān)的簡(jiǎn)單組合圖形的周長(zhǎng)和面積。由于圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，所以教科書接下來(lái)介紹了圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算。這些計(jì)算不僅是幾何中基本的計(jì)算，也是日常生活中經(jīng)常要用到的，運(yùn)用這些知識(shí)也可以解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。圓錐的側(cè)面積的計(jì)算還可以培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，因此對(duì)這部分內(nèi)容的教學(xué)也要重視。

（三）課程學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解圓及其有關(guān)概念，理解弧、弦、圓心角的關(guān)系，探索并了解點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，探索并掌握?qǐng)A周角與圓心角的關(guān)系、直徑所對(duì)的圓周角的特征。

2.了解切線的概念，探索并掌握切線與過(guò)切點(diǎn)的半徑之間的位置關(guān)系，能判定一條直線是否為圓的切線，會(huì)過(guò)圓上一點(diǎn)畫圓的切線。

3.了解三角形的內(nèi)心和外心，探索如何過(guò)一點(diǎn)、兩點(diǎn)和不在同一直線上的三點(diǎn)作圓。

4.了解正多邊形的概念，掌握用等分圓周畫圓的內(nèi)接正多邊形的方法；會(huì)計(jì)算弧長(zhǎng)及扇形的面積、圓錐的側(cè)面積及全面積。

5.結(jié)合相關(guān)圖形性質(zhì)的探索和證明，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和推理論證的表達(dá)能力；通過(guò)這一章的教學(xué)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，運(yùn)用學(xué)過(guò)的知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義世界觀的教育。

二、本章編寫特點(diǎn)

（一）突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合 圓是日常生活中常見(jiàn)的圖形之一，也是平面幾何中的基本圖形，本章重點(diǎn)研究了與圓有關(guān)的一些性質(zhì)。教科書在編寫時(shí)，注意突出圖形性質(zhì)的探索過(guò)程，重

視直觀操作和邏輯推理的有機(jī)結(jié)合，通過(guò)多種手段，如觀察度量、實(shí)驗(yàn)操作、圖形變換、邏輯推理等來(lái)探索圖形的性質(zhì)。

例如結(jié)合圓的軸對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)垂徑定理及其推論；利用圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，發(fā)現(xiàn)圓中弧、弦、圓心角之間的關(guān)系；通過(guò)觀察、度量，發(fā)現(xiàn)圓心角與圓周角、圓周角之間的數(shù)量關(guān)系；利用直觀操作，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓之間的位置關(guān)系等等。在學(xué)生通過(guò)觀察、操作、變換探究出圖形的性質(zhì)后，還要求學(xué)生能對(duì)發(fā)現(xiàn)的性質(zhì)進(jìn)行證明，使直觀操作和邏輯推理有機(jī)的整合在一起，使推理論證成為學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出結(jié)論的自然延續(xù)。

（二）注意聯(lián)系實(shí)際

圓是人們?nèi)粘Ｉ詈蜕a(chǎn)中應(yīng)用較廣的一種幾何圖形，不僅日常生活中許多物體是圓形的，而且在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、交通運(yùn)輸、土木建筑等方面都可以見(jiàn)到圓。這部分內(nèi)容與實(shí)際聯(lián)系比較緊密。在教科書編寫時(shí)，也充分注意到這一點(diǎn)。例如，在引入圓、正多邊形等概念時(shí)，舉出了大量的實(shí)際生活中的例子；在介紹點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，也是注意從它們?cè)趯?shí)際生活中的應(yīng)用引入；利用垂徑定理解決求趙州橋的主橋拱半徑的問(wèn)題；根據(jù)海洋館中人們視野的關(guān)系引出研究圓周角與圓心角、圓周角之間的關(guān)系；利用正多邊形的有關(guān)計(jì)算求亭子的地基；實(shí)際問(wèn)題中有關(guān)弧長(zhǎng)、扇形的面積、圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題等等。教科書的例、習(xí)題中也有一些實(shí)際應(yīng)用的例子等等。這些材料都是從實(shí)際中提煉出來(lái)的，要通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，幫助學(xué)生從實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題、運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。教學(xué)時(shí)，還可以根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際，選擇一些實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生加以解決，提高他們應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。

（三）重視滲透數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)中不僅要教知識(shí)，更重要的是教方法，本章重涉及的數(shù)學(xué)思想方法也比較多。例如，圓周角定理證明中的通過(guò)分類討論，把一般問(wèn)題轉(zhuǎn)化為特殊情況來(lái)證明；研究點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系時(shí)的分類的思想；研究正多邊形的有關(guān)問(wèn)題是通過(guò)把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形來(lái)解決的；正多邊形的畫圖是通過(guò)等分圓來(lái)完成的；等等。通過(guò)這些知識(shí)的教學(xué)，使學(xué)生學(xué)會(huì)化未知為已知、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單、化一般為特殊或化特殊為一般的思考方法，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

另外，在本章，通過(guò)理論聯(lián)系實(shí)際，對(duì)學(xué)生進(jìn)行唯物論認(rèn)識(shí)論的教育；通過(guò)圓的許多性質(zhì)之間的內(nèi)在聯(lián)系，圓與其他圖形之間量變與質(zhì)變的關(guān)系，一般與特殊之間的關(guān)系等，對(duì)學(xué)生進(jìn)行辯證唯物主義觀點(diǎn)的教育；使學(xué)生增強(qiáng)民族的自豪感和振興中華的使命感，對(duì)他們進(jìn)行學(xué)習(xí)目的的教育，培養(yǎng)他們良好的個(gè)性品質(zhì)。

三、幾個(gè)值得關(guān)注的問(wèn)題

（一）進(jìn)一步培養(yǎng)推理論證能力

從培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力來(lái)說(shuō)，“圓”這一階段處于學(xué)生初步掌握了推理論證方法的基礎(chǔ)上進(jìn)一步鞏固和提高的階段，不僅要求學(xué)生能熟練地用綜合法證明命題，熟悉探索法的推理過(guò)程，而且要求了解反證法。教學(xué)中要重視推理論證的教學(xué)，進(jìn)一步提高學(xué)生的思維能力。教科書在這方面也還是很重視的。在推理與證明的要求方面，除了要求學(xué)生對(duì)經(jīng)過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、探究得出的結(jié)論進(jìn)行證明以外，有一些圖形的性質(zhì)是直接由已有的結(jié)論經(jīng)過(guò)推理論證得出的。另外，為了鞏固并提高學(xué)生的推理論證能力，本章的定理證明中，除了采用了規(guī)范的證明方法外，還有一些采用了探索式的證明方法。這種方法不是先有了定理再去證明它，而是根據(jù)題設(shè)和已有知識(shí)，經(jīng)過(guò)推理，得出結(jié)論。這些對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，活躍學(xué)生的思維，對(duì)發(fā)展學(xué)生的思維能力有好處。教學(xué)中要注意啟發(fā)和引導(dǎo)，使學(xué)生在熟悉“規(guī)范證明”的基礎(chǔ)上，推理論證能力有所提高和發(fā)展。

另外，這部分內(nèi)容所涉及的圖形很多是圓和直線形的組合，而且題目也相對(duì)以前比較復(fù)雜，教學(xué)時(shí)應(yīng)注意多幫助學(xué)生復(fù)習(xí)有關(guān)直線形的知識(shí)，做到以新帶舊、新舊結(jié)合，而且要加強(qiáng)解題思路的分析，幫助學(xué)生樹(shù)立已知與未知、簡(jiǎn)單與復(fù)雜、特殊與一般在一定條件下可以轉(zhuǎn)化的思想，使學(xué)生學(xué)會(huì)把未知化為已知，把復(fù)雜問(wèn)題化為簡(jiǎn)單問(wèn)題，把一般問(wèn)題化為特殊問(wèn)題的思考方法。如對(duì)于圓周角定理的證明，可以先從最簡(jiǎn)單的情況──角的一邊經(jīng)過(guò)圓心時(shí)入手，再推廣到一般情形。通過(guò)這樣的訓(xùn)練，可以提高學(xué)生邏輯思維能力和分析解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（二）重視知識(shí)間的聯(lián)系與綜合

圓是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)曲線形。學(xué)生由學(xué)習(xí)直線形到曲線形，在認(rèn)識(shí)上是一個(gè)飛躍。在教學(xué)時(shí)，應(yīng)注意充分利用學(xué)生在小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的知識(shí)，搞好銜接。同時(shí)要注意加強(qiáng)圓和直線形的聯(lián)系，把圓和直線形的有關(guān)問(wèn)題對(duì)照講解。如在講“不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓”時(shí)，可以和“兩點(diǎn)確定一條直線”相對(duì)照，這樣可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。教科書在編寫時(shí)，也注意從學(xué)生學(xué)習(xí)的規(guī)律出發(fā)，加強(qiáng)新舊知識(shí)的聯(lián)系，發(fā)揮知識(shí)的遷移作用。例如，在講圓的定義時(shí)，先回顧小學(xué)學(xué)過(guò)的定義，在分析圓上的點(diǎn)的特征的基礎(chǔ)上，用集合語(yǔ)言重新給出描述；在學(xué)習(xí)圓及正多邊形的計(jì)算時(shí)，注意將新知識(shí)與直角三角形的知識(shí)、小學(xué)學(xué)過(guò)的圓的周長(zhǎng)與面積的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，使新知識(shí)在學(xué)生眼里不陌生，容易接受。

圓是一種特殊曲線，它有獨(dú)特的對(duì)稱性。它不僅是軸對(duì)稱圖形、中心對(duì)稱圖形，而且它的任何一條直徑所在直線都是它的對(duì)稱軸。繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度都能與原來(lái)的圖形重合（旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性）。圓的對(duì)稱性在日常生活和生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用，因此應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生很好地掌握。在研究圓的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，充分利用圓的 對(duì)稱性也是本章編寫的一個(gè)特點(diǎn)。如垂徑定理，弧、弦、圓心角的關(guān)系，切線長(zhǎng)定理等，都是讓學(xué)生充分利用圓的這些對(duì)稱性，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)等探究出性質(zhì)，再進(jìn)行證明，體現(xiàn)圖形的認(rèn)識(shí)、圖形的變換、圖形的證明的有機(jī)結(jié)合。這些也是教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)重點(diǎn)注意的。

（三）注意把握好教學(xué)要求

本章教學(xué)內(nèi)容與以往教材內(nèi)容相比，刪減幅度比較大（原義教大綱教材53課時(shí)，現(xiàn)在17課時(shí)），教學(xué)時(shí)要注意把握好教學(xué)要求。教學(xué)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)限制在課標(biāo)和教材所出現(xiàn)的范圍，按照課標(biāo)要求刪減的內(nèi)容，教學(xué)中不要再揀回，以免影響學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)。對(duì)于推理論證的要求，課程標(biāo)準(zhǔn)中在本章沒(méi)有明確規(guī)定。教科書中是按照整套教科書對(duì)于推理證明的要求來(lái)處理的。在本章，要求學(xué)生對(duì)于一些圓的有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行證明，并利用這些性質(zhì)去證明一些相關(guān)的結(jié)論。但要注意，這里的證明也要控制難度，對(duì)于一般學(xué)生，控制在教科書“綜合應(yīng)用”的題目難度內(nèi)，對(duì)于學(xué)有余力的學(xué)生，可以要求他們完成“拓廣探索”欄目的習(xí)題。

反證法的思想在七年級(jí)上冊(cè)教科書代數(shù)部分就有涉及，在后續(xù)的相關(guān)章節(jié)也有應(yīng)用。但當(dāng)時(shí)只是滲透反證法的思想，沒(méi)有作為一種方法提出。在本章，結(jié)合“過(guò)同一直線上的三點(diǎn)不能作圓”，正式提出了反證法，并且在后續(xù)內(nèi)容，如“圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑”的證明時(shí)也有應(yīng)用。由于反證法是一種間接證法，學(xué)生接受起來(lái)有一定困難。因此，教科書主要是要求讓學(xué)生理解反證法的思想，后續(xù)習(xí)題也沒(méi)有安排相應(yīng)的習(xí)題。這里也要注意把握好對(duì)反證法的要求，不要讓學(xué)生作過(guò)多過(guò)難的關(guān)于反證法的習(xí)題。

另外，圓有許多重要性質(zhì)，其中最主要的是圓的對(duì)稱性（軸對(duì)稱和旋轉(zhuǎn)不變性），教科書在證明圓的許多重要性質(zhì)時(shí)，都運(yùn)用了它的對(duì)稱性。但是，因?yàn)橛脤?duì)稱的定義證明問(wèn)題，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)比較困難，所以在本章的教學(xué)中，一方面要重視利用圓的對(duì)稱性（教科書中在使用圓的對(duì)稱性）；另一方面又不應(yīng)要求學(xué)生嚴(yán)格地利用對(duì)稱性寫出證明過(guò)程。教學(xué)中要把握好這個(gè)要求。

（四）重視信息技術(shù)的應(yīng)用

在本章的教學(xué)中，有條件的學(xué)校還是要重視信息技術(shù)工具的使用。利用信息技術(shù)工具，可以很方便地制作圖形，可以很方便地讓圖形動(dòng)起來(lái)。許多計(jì)算機(jī)軟件還具有測(cè)量功能，這也有利于我們?cè)趫D形運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)其中不變的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，有利于發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。

例如，本章許多圖形的性質(zhì)都可以利用計(jì)算機(jī)軟件設(shè)置一些探究活動(dòng)，讓圖形動(dòng)起來(lái)，在這種運(yùn)動(dòng)變化中發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如弧、弦、圓心角之間的關(guān)系。

有許多計(jì)算機(jī)軟件具有測(cè)量功能，可以方便地測(cè)出角的大小和線段的長(zhǎng)度，這也有利于在運(yùn)動(dòng)變化中觀察它們的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)。如圓周角定理。另外還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件讓圖形動(dòng)起來(lái)，在動(dòng)態(tài)變化過(guò)程中去發(fā)現(xiàn)點(diǎn)與圓、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，還可以通過(guò)測(cè)量，去發(fā)現(xiàn)這種位置關(guān)系所對(duì)應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，如直線與圓的位置關(guān)系中直線到圓心的距離與圓的半徑的關(guān)系，兩圓位置關(guān)系中圓心距與圓半徑的關(guān)系等。

第三篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 24.6 正多邊形與圓教案 滬科版

第24章 圓

24.6正多邊形與圓（2）

——正多邊形的性質(zhì)

【教學(xué)內(nèi)容】正多邊形與圓 【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)與技能

了解正多邊形和圓的有關(guān)概念；，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多邊形． 過(guò)程與方法

通過(guò)作圖，培養(yǎng)作圖能力．

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)探究 正多邊形與圓知識(shí)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的研究問(wèn)題能力；培養(yǎng)學(xué)生解 決實(shí)際問(wèn)題的能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。

【教學(xué)重難點(diǎn)】 重點(diǎn)：正多邊形與圓

難點(diǎn)：正多邊形與圓

【導(dǎo)學(xué)過(guò)程】 【知識(shí)回顧】 1.復(fù)習(xí)

（1）什么叫正多邊形？

（2）從你身邊舉出兩三個(gè)正多邊形的實(shí)例，正多邊形具有軸對(duì)稱、?中心對(duì)稱嗎？其對(duì)稱軸有幾條，對(duì)稱中心是哪一點(diǎn)？ 【情景導(dǎo)入】

【新知探究】

探究

一、1、正多邊形和圓有什么關(guān)系？ 只要把一個(gè)圓分成 的一些弧，就可以作出這個(gè)圓的，這個(gè)圓就是這個(gè)正多邊形的。

2、通過(guò)教材圖形，識(shí)別什么叫正多邊形的中心、正多邊形的中心角、正多邊形的邊心距？

3、計(jì)算一下正五邊形的中心角時(shí)多少？正五邊形的一個(gè)內(nèi)角是多少？正五邊形的一個(gè)外角是多少？正六邊形呢？

4通過(guò)上述計(jì)算，說(shuō)明正n邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)是多少？中心角呢？正多邊形的中心角與外角的大小有什么關(guān)系？

5、如何利用等分圓弧的方法來(lái)作正n邊形？ 方法

一、用量角器作一個(gè)等于 的圓心角。

方法

二、正六邊形、正三角形、正十二邊形等特殊正多邊形的作法？

…….【知識(shí)梳理】

正多邊形與圓的概念?！倦S堂練習(xí)】

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）． A．60° B．45° C．30° D．22．5°

BDCA

(1)(2)(3)2．圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（）． A．36° B．60° C．72° D．108°

3．若半徑為5cm的一段弧長(zhǎng)等于半徑為2cm的圓的周長(zhǎng)，?則這段弧所對(duì)的圓心角為（）

A．18° B．36°C．72° D．144°

4．已知正六邊形邊長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)____．

5．如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓交AB于D，若AC=6，則AD的長(zhǎng)為_(kāi)______．

6．四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接梯形，如圖3所示，AB∥CD，且CD為直徑，?如果⊙O的半徑等于r，∠C=60°，那圖中△OAB的邊長(zhǎng)AB是______；△ODA的周長(zhǎng)是_______；∠BOC的度數(shù)是________．

第四篇：九年級(jí)數(shù)學(xué)正多邊形與圓教案

九年級(jí)數(shù)學(xué)正多邊形與圓教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、了解正多邊形的概念、正多邊形和圓的關(guān)系；

2、會(huì)通過(guò)等分圓心角的方法等分圓周，畫出所需的正多邊形；

3、能夠用直尺和圓規(guī)作圖，作出一些特殊的正多邊形；

4、理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念。

學(xué)習(xí)重點(diǎn)：正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形。學(xué)習(xí)過(guò)程：

一、情境創(chuàng)設(shè)：

觀察下列圖形，你能說(shuō)出這些圖形的特征嗎？

提問(wèn)：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

二、探索活動(dòng)：

活動(dòng)一 觀察生活中的一些圖形，歸納它們的共同特征，引入正多邊形的概念

概念： 叫做正多邊形。

（注：各邊相等與各角相等必須同時(shí)成立）

提問(wèn)：矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

活動(dòng)二 用量角器作正多邊形，探索正多邊形與圓的內(nèi)在聯(lián)系

1、用量角器將一個(gè)圓n（n≥3）等分，依次連接各等分點(diǎn)所得的n邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；圓的內(nèi)接正n邊形將圓n等分；

2、正多邊形的外接圓的圓心叫正多邊形的中心?；顒?dòng)三 探索正多邊形的對(duì)稱性

問(wèn)題：正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形、正八邊形中，哪些是軸對(duì)稱圖形？哪些是中心對(duì)稱圖形？哪些既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形？如果是軸對(duì)稱圖形，畫出它的對(duì)稱軸；如果是中心對(duì)稱圖形，找出它的對(duì)稱中心。

問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？什么是正多邊形的中心？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．圓心就是正多邊形的中心。

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？你知道為什么嗎？

思考：任何一個(gè)正多邊形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形嗎？跟邊數(shù)有何關(guān)系？ 結(jié)論：正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形有 條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的 ；一個(gè)正多邊形，如果有偶數(shù)條邊，那么它既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形?；顒?dòng)四 利用直尺與圓規(guī)作特殊的正多邊形 問(wèn)題：用直尺和圓規(guī)作出正方形，正六多邊形。

思考：如何作正八邊形正三角形、正十二邊形？

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

拓展2：各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形？

三、課堂練習(xí)

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

5、P144 練習(xí)1、2

四、課堂小結(jié)

1、正多邊形的概念、正多邊形與圓的關(guān)系以及正多邊形的對(duì)稱性；

2、利用直尺與圓規(guī)作一些特殊的正多邊形。

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

五、課堂作業(yè)：

P108 5 6

第五篇：[初中數(shù)學(xué)]正多邊形和圓教案2 人教版

《正多邊形和圓》教案2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）使學(xué)生理解正多邊形概念，初步掌握正多邊形與圓的關(guān)系的第一個(gè)定理；

（2）通過(guò)正多邊形定義教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生歸納能力；通過(guò)正多邊形與圓關(guān)系定理的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、推理、遷移能力；

（3）進(jìn)一步向?qū)W生滲透“特殊——一般”再“一般——特殊”的唯物辯證法思想．

教學(xué)重點(diǎn)：

正多邊形的概念與正多邊形和圓的關(guān)系的第一個(gè)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對(duì)定理的理解以及定理的證明方法．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）觀察、分析、歸納：

觀察、分析：1．等邊三角形的邊、角各有什么性質(zhì)？

2．正方形的邊、角各有什么性質(zhì)？

歸納：等邊三角形與正方形的邊、角性質(zhì)的共同點(diǎn)．

教師組織學(xué)生進(jìn)行，并可以提問(wèn)學(xué)生問(wèn)題．

（二）正多邊形的概念：

（1）概念：各邊相等、各角也相等的多邊形叫做正多邊形．如果一個(gè)正多邊形有n(n≥3)條邊，就叫正n邊形．等邊三角形有三條邊叫正三角形，正方形有四條邊叫正四邊形．

（2）概念理解：

①請(qǐng)同學(xué)們舉例，自己在日常生活中見(jiàn)過(guò)的正多邊形．（正三角形、正方形、正六邊形，…….）

②矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？為什么？

矩形不是正多邊形，因?yàn)檫叢灰欢ㄏ嗟龋庑尾皇钦噙呅?，因?yàn)榻遣灰欢ㄏ嗟龋?/p>

（三）分析、發(fā)現(xiàn)：

問(wèn)題：正多邊形與圓有什么關(guān)系呢？

發(fā)現(xiàn)：正三角形與正方形都有內(nèi)切圓和外接圓，并且為同心圓．

分析：正三角形三個(gè)頂點(diǎn)把圓三等分；正方形的四個(gè)頂點(diǎn)把圓四等分．要將圓五等分，把等分點(diǎn)順次連結(jié)，可得正五邊形．要將圓六等分呢？

（四）多邊形和圓的關(guān)系的定理

定理：把圓分成n(n≥3)等份：

(1)依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形；

(2)經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形．

我們以n=5的情況進(jìn)行證明．

已知：⊙O中，= = = =，TP、PQ、QR、RS、ST分別是經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D、E的⊙O的切線．

求證：（1）五邊形ABCDE是⊙O的內(nèi)接正五邊形；

（2）五邊形PQRST是⊙O的外切正五邊形．

證明：（略）

引導(dǎo)學(xué)生分析、歸納證明思路：

弧相等

說(shuō)明：(1)要判定一個(gè)多邊形是不是正多邊形，除根據(jù)定義來(lái)判定外，還可以根據(jù)這個(gè)定理來(lái)判定，即：①依次連結(jié)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)，所得的多邊形是正多迫形；②經(jīng)過(guò)圓的n(n≥3)等分點(diǎn)作圓的切線，相鄰切線相交成的多邊形是正多邊形．

(2)要注意定理中的“依次”、“相鄰”等條件．

(3)此定理被稱為正多邊形的判定定理，我們可以根據(jù)它判斷一多邊形為正多邊形或根據(jù)它作正多邊形．

（五）初步應(yīng)用

P157練習(xí)

1、(口答)矩形是正多邊形嗎?菱形是正多邊形嗎?為什么? 2．求證：正五邊形的對(duì)角線相等．

3．如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D、E是⊙O的5等分點(diǎn)，畫出⊙O的內(nèi)接和外切正五邊形．

（六）小結(jié)：

知識(shí)：（1）正多邊形的概念．（2）n等分圓周(n≥3)可得圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．

能力和方法：正多邊形的證明方法和思路，正多邊形判斷能力

（七）作業(yè) 教材P172習(xí)題A組2、3． 教學(xué)設(shè)計(jì)示例2 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）理解正多邊形與圓的關(guān)系定理；

（2）理解正多邊形的對(duì)稱性和邊數(shù)相同的正多邊形相似的性質(zhì)；

（3）理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（4）通過(guò)正多邊形性質(zhì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的探索、推理、歸納、遷移等能力；

教學(xué)重點(diǎn)：

理解正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角的概念和性質(zhì)定理．

教學(xué)難點(diǎn) ：

對(duì)“正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且這兩個(gè)圓是同心圓”的理解．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）提出問(wèn)題：

問(wèn)題：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了正多邊形的定義，并且知道只要n等分(n≥3)圓周就可以得到的圓的內(nèi)接正n邊形和圓的外切正n邊形．反過(guò)來(lái)，是否每一個(gè)正多邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓呢？

（二）實(shí)踐與探究：

組織學(xué)生自己完成以下活動(dòng)．

實(shí)踐：

1、作已知三角形的外接圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

2、作已知三角形的內(nèi)切圓，圓心是已知三角形的什么線的交點(diǎn)？半徑是什么？

探究1：當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，它的外接圓和內(nèi)切圓有什么關(guān)系？

探究2：（1）正方形有外接圓嗎？若有外接圓的圓心在哪？(正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．)（2）根據(jù)正方形的哪個(gè)性質(zhì)證明對(duì)角線的交點(diǎn)是它的外接圓圓心？

（3）正方形有內(nèi)切圓嗎？圓心在哪？半徑是誰(shuí)？

（三）拓展、推理、歸納：

（1）拓展、推理：

過(guò)正五邊形ABCDE的頂點(diǎn)A、B、C、作⊙O連結(jié)OA、OB、OC、OD．

同理，點(diǎn)E在⊙O上．

所以正五邊形ABCDE有一個(gè)外接圓⊙O．

因?yàn)檎暹呅蜛BCDE的各邊是⊙O中相等的弦，所以弦心距相等．因此，以點(diǎn)O為圓心，以弦心距(OH)為半徑的圓與正五邊形的各邊都相切．可見(jiàn)正五邊形ABCDE還有一個(gè)以O(shè)為圓心的內(nèi)切圓．

（2）歸納：

正五邊形的任意三個(gè)頂點(diǎn)都不在同一條直線上

它的任意三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓，即確定了圓心和半徑．

其他兩個(gè)頂點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑．

正五邊形的各頂點(diǎn)共圓．

正五邊形有外接圓．

圓心到各邊的距離相等．

正五邊形有內(nèi)切圓，它的圓心是外接圓的圓心，半徑是圓心到任意一邊的距離．

照此法證明，正六邊形、正七邊形、…正n邊形都有一個(gè)外接圓和內(nèi)切圓．

定理： 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心，外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑，內(nèi)切圓的半徑叫做正多邊形的邊心距．正多邊形各邊所對(duì)的外接圓的圓心角都相等．正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

（3）鞏固練習(xí)：

1、正方形ABCD的外接圓圓心O叫做正方形ABCD的______．

2、正方形ABCD的內(nèi)切圓⊙O的半徑OE叫做正方形ABCD的______．

3、若正六邊形的邊長(zhǎng)為1，那么正六邊形的中心角是______度，半徑是______，邊心距是______，它的每一個(gè)內(nèi)角是______．

4、正n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的______角的度數(shù)相等．

（四）正多邊形的性質(zhì)：

1、各邊都相等．

2、各角都相等．

觀察正三角形、正方形、正五邊形、正六邊形是不是軸對(duì)稱圖形？如果是，它們又各應(yīng)有幾條對(duì)稱軸？

3、正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱軸，每條對(duì)稱軸都通過(guò)正n邊形的中心．邊數(shù)是偶數(shù)的正多邊形還是中心對(duì)稱圖形，它的中心就是對(duì)稱中心．

4、邊數(shù)相同的正多邊形相似．它們周長(zhǎng)的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．

5、任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，這兩個(gè)圓是同心圓．

以上性質(zhì)，教師引導(dǎo)學(xué)生自主探究和歸納，可以以小組的形式研究，這樣既培養(yǎng)學(xué)生的探究問(wèn)題的能力、培養(yǎng)學(xué)生的研究意識(shí)，也培養(yǎng)學(xué)生的協(xié)作學(xué)習(xí)精神．

（五）總結(jié)

知識(shí)：（1）正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角等概念；

（2）正多邊形與圓的關(guān)系定理、正多邊形的性質(zhì)．

能力：探索、推理、歸納等能力．

方法：證明點(diǎn)共圓的方法．

（六）作業(yè) P159中練習(xí)1、2、3．

教學(xué)設(shè)計(jì)示例3 教學(xué)目標(biāo) ：

（1）鞏固正多邊形的有關(guān)概念、性質(zhì)和定理；

（2）通過(guò)證明和畫圖提高學(xué)生綜合運(yùn)用分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

（3）通過(guò)例題的研究，培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和不斷更新的創(chuàng)新意識(shí)及選優(yōu)意識(shí)．

教學(xué)重點(diǎn)：

綜合運(yùn)用正多邊形的有關(guān)概念和正多邊形與圓關(guān)系的有關(guān)定理來(lái)解決問(wèn)題，要理解通過(guò)對(duì)具體圖形的證明所給出的一般的證明方法，還要注意與前面所學(xué)知識(shí)的聯(lián)想和化歸．

教學(xué)難點(diǎn) ：綜合運(yùn)用知識(shí)證題．

教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）知識(shí)回顧

1．什么叫做正多邊形？

2．什么是正多邊形的中心、半徑、邊心距、中心角？

3．正多邊形有哪些性質(zhì)？(邊、角、對(duì)稱性、相似性、有兩圓且同心)4．正n邊形的每個(gè)中心角都等于 ．

5．正多邊形的有關(guān)的定理．

（二）例題研究：

例

1、求證：各角相等的圓外切五邊形是正五邊形．

已知：如圖，在五邊形ABCDE中，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，邊AB、BC、CD、DE、EA與⊙O分別相切于A’、B’、C’、D’、E’．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．

分析：要證五邊形ABCDE是正五邊形，已知已具備了五個(gè)角相等，顯然證五條邊相等即可．

教師引導(dǎo)學(xué)生分析，學(xué)生動(dòng)手證明．

證法1：連結(jié)OA、OB、OC，∵五邊形ABCDE外切于⊙O．

∴∠BAO=∠OAE，∠OCB=∠OCD，∠OBA=∠OBC，又∵∠BAE=∠ABC=∠BCD．

∴∠BAO=∠OCB．

又∵OB=OB

∴△ABO≌△CBO，∴AB=BC，同理 BC=CD=DE=EA．

∴五邊形ABCDE是正五邊形．

證法2：作⊙O的半徑OA’、OB’、OC’，則

OA’⊥AB，OB’⊥BC、OC’⊥CD．

∠B=∠C ∠1=∠2 = ．

同理 = = =，即切點(diǎn)A’、B’、C’、D’、E’是⊙O的5等分點(diǎn)．所以五邊形ABCDE是正五邊形．

反思：判定正多邊形除了用定義外，還常常用正多邊形與圓的關(guān)系定理1來(lái)判定，證明關(guān)鍵是證出各切點(diǎn)為圓的等分點(diǎn)．由同樣的方法還可以證明“各角相等的圓外切n邊形是正邊形”．

此外，用正多邊形與圓的關(guān)系定理1中“把圓n等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)，所得的多邊形是圓內(nèi)接正多邊形”還可以證明“各邊相等的圓內(nèi)接n邊形是正n邊形”，證明關(guān)鍵是證出各接點(diǎn)是圓的等分點(diǎn)。

拓展1：已知：如圖，五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

分小組進(jìn)行證明競(jìng)賽，并歸納學(xué)生的證明方法．

拓展2：已知：如圖，同心圓⊙O分別為五邊形ABCDE內(nèi)切圓和外接圓，切點(diǎn)分別為F、G、H、M、N．

求證：五邊形ABCDE是正五邊形．（證明略）

學(xué)生獨(dú)立完成證明過(guò)程，對(duì)B、C層學(xué)生教師給予及時(shí)指導(dǎo)，最后可以應(yīng)用實(shí)物投影展示學(xué)生的證明成果，特別是對(duì)證明方法好，步驟推理嚴(yán)密的學(xué)生給予表?yè)P(yáng)．

例

2、已知：正六邊形ABCDEF．

求作：正六邊形ABCDEF的外接圓和內(nèi)切圓．

作法：1過(guò)A、B、C三點(diǎn)作⊙O．⊙O就是所求作的正六邊形的外接圓．

2、以O(shè)為圓心，以O(shè)到AB的距離(OH)為半徑作圓，所作的圓就是正六邊形的內(nèi)切圓．

用同樣的方法，我們可以作正n邊形的外接圓與內(nèi)切圓．

練習(xí)：P161

1、求證：各邊相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

2、(口答)下列命題是真命題嗎?如果不是，舉出一個(gè)反例．

(1)各邊相等的圓外切多邊形是正多邊形；

(2)各角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形．

3、已知：正方形ABCD．求作：正方形ABCD的外接圓與內(nèi)切圓．

（三）小結(jié)

知識(shí)：復(fù)習(xí)了正多邊形的定義、概念、性質(zhì)和判定方法．

能力與方法：重點(diǎn)復(fù)習(xí)了正多邊形的判定．正多邊形的外接圓與內(nèi)切圓的畫法．

（四）作業(yè)

教材P172習(xí)題4、5；另A層學(xué)生：P174B組3、4．

探究活動(dòng)

折疊問(wèn)題：（1）想一想：怎樣把一個(gè)正三角形紙片折疊一個(gè)最大的正六邊形．

（提示：①對(duì)折；②再折使A、B、C分別與O點(diǎn)重合即可）

（2）想一想：能否把一個(gè)邊長(zhǎng)為8正方形紙片折疊一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正六邊形．

（提示：可以．主要應(yīng)用把一個(gè)直角三等分的原理．參考圖形如下：

①對(duì)折成小正方形ABCD；

②對(duì)折小正方形ABCD的中線；

③對(duì)折使點(diǎn)B在小正方形ABCD的中線上（即B’）；

④則B、B’為正六邊形的兩個(gè)頂點(diǎn)，這樣可得滿足條件的正六邊形．）

探究問(wèn)題：

（安徽省2002）某學(xué)習(xí)小組在探索“各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接多邊形是否為正多邊形”時(shí)，進(jìn)行如下討論：

甲同學(xué)：這種多邊形不一定是正多邊形，如圓內(nèi)接矩形；

乙同學(xué)：我發(fā)現(xiàn)邊數(shù)是6時(shí)，它也不一定是正多邊形．如圖一，△ABC是正三角形, 形，= =，可以證明六邊形ADBECF的各內(nèi)角相等，但它未必是正六邊形；

丙同學(xué)：我能證明，邊數(shù)是5時(shí)，它是正多邊形．我想，邊數(shù)是7時(shí)，它可能也 是正多邊形．

(1)請(qǐng)你說(shuō)明乙同學(xué)構(gòu)造的六邊形各內(nèi)角相等．

(2)請(qǐng)你證明，各內(nèi)角都相等的圓內(nèi)接七邊形ABCDEFG(如圖二)是正七邊形(不必寫已知、求證)．

(3)根據(jù)以上探索過(guò)程，提出你的猜想(不必證明)．

（1）[說(shuō)明]（2）[證明]（3）[猜想]

解：（1）由圖知∠AFC對(duì) ．因?yàn)?=，而∠DAF對(duì)的 = + = + = ．所以∠AFC=∠DAF．

同理可證，其余各角都等于∠AFC．所以，圖1中六邊形各內(nèi)角相．

（2）因?yàn)椤螦對(duì)，∠B對(duì)，又因?yàn)椤螦=∠B，所以 = ．所以 = ．

同理 = = = = = = ．所以 七邊形ABCDEFG是正七邊形．

猜想：當(dāng)邊數(shù)是奇數(shù)時(shí)(或當(dāng)邊數(shù)是3，5，7，9，……時(shí))，各內(nèi)角相等的圓內(nèi)接多邊形是正多邊形