第一篇：英語(yǔ)學(xué)習(xí)中的點(diǎn)線面

英語(yǔ)學(xué)習(xí)中的點(diǎn)線面

面是由無(wú)數(shù)條線組成，線是由無(wú)數(shù)點(diǎn)組成。英語(yǔ)知識(shí)和技能博大精深，好像一個(gè)面。面越廣越能體現(xiàn)一個(gè)人的綜合素質(zhì)。面又是有無(wú)線的點(diǎn)組成的，如語(yǔ)法線、能力線。線上有無(wú)數(shù)點(diǎn)，如英語(yǔ)單詞、句法等知識(shí)點(diǎn)和聽(tīng)、說(shuō)、讀、寫(xiě)等能力點(diǎn)。我們不可能面面俱到，更不應(yīng)該胡亂學(xué)習(xí)一些知識(shí)點(diǎn)，這些都是沒(méi)有用的。只有走出一條線路，即英語(yǔ)思維習(xí)慣的養(yǎng)成，才是學(xué)習(xí)英語(yǔ)的正確策略。

在這條線路上，見(jiàn)山開(kāi)路，遇河搭橋，才能走向目的地。學(xué)習(xí)英語(yǔ)也不能違背這一規(guī)律，廣闊天地間，每個(gè)人只能走出一條適合自己的線路。知識(shí)點(diǎn)就好像路和河，很多、很雜、也很難通過(guò)。我們要把線路上的知識(shí)點(diǎn)下功夫攻破，其次攻取靠近線路的知識(shí)點(diǎn)。對(duì)于遠(yuǎn)離線路的知識(shí)點(diǎn)、能力點(diǎn)暫緩掌握。

初中階段學(xué)習(xí)目標(biāo)為，使用英語(yǔ)進(jìn)行初步交際的能力，也就是運(yùn)用英語(yǔ)進(jìn)行思維的能力。入門(mén)階段，我們的目標(biāo)就是實(shí)現(xiàn)英語(yǔ)思維，這一點(diǎn)尤為重要，很多人受漢語(yǔ)思維的影響，始終不具備英語(yǔ)思維。所以，我們要從自己的實(shí)際出發(fā)，朝著具備英語(yǔ)思維能力這個(gè)目標(biāo)，開(kāi)辟一線路。從零起步有兩個(gè)階段，第一階段是掌握詞匯；第二階段要掌握句法。第二階段的句法知識(shí)又非常豐富，我們一輩子都學(xué)不完，怎么辦？初級(jí)階段只要掌握簡(jiǎn)單句的五種句型結(jié)構(gòu)和最常用的五種時(shí)態(tài)，正確配合使用，就可以實(shí)現(xiàn)初級(jí)英語(yǔ)思維能力。這雖然是初中階段的英語(yǔ)任務(wù),但真正完成了,它的價(jià)值勝過(guò)一半大學(xué)生、超過(guò)80%的高中生。

讓我們努力在英語(yǔ)學(xué)習(xí)的道路上，走出一條粗且直的線。師傅領(lǐng)進(jìn)門(mén)后，學(xué)生可自己修行，一日千里，快者兩年精通英語(yǔ)。

第二篇：中點(diǎn)四邊形說(shuō)課稿

《中點(diǎn)四邊形》說(shuō)課稿

彭公中學(xué)王小靜

各位領(lǐng)導(dǎo)，老師：

大家好！今天我講課的題目是《中點(diǎn)四邊形》。以下我將從六個(gè)方面說(shuō)給大家聽(tīng)。

一、說(shuō)教材：

（一）教材內(nèi)容：

《中點(diǎn)四邊形》是北師大版教科書(shū)九年級(jí)上冊(cè)第三章第二節(jié)內(nèi)容，也是證明部分最后一節(jié)內(nèi)容，是在學(xué)生已經(jīng)掌握了平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等基本四邊形的性質(zhì)及判定和三角形中位線的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的。因此，學(xué)生已經(jīng)具備了一定的分析和解決問(wèn)題的能力。它在初中數(shù)學(xué)中起著比較重要的作用，通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，準(zhǔn)備使學(xué)生從感性到理性形成一個(gè)飛躍。

（二）教學(xué)目標(biāo)：

根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于數(shù)學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)的基本理念，在分析課標(biāo)和教材的基礎(chǔ)上，我把本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)劃分為以下三個(gè)方面：知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感與態(tài)度觀。具體說(shuō)來(lái)：

1、知識(shí)與技能：

（1）學(xué)生能利用三角形中位線定理判斷中點(diǎn)四邊形的形狀；

（2）感受中點(diǎn)四邊形的形狀取決于原四邊形的兩條對(duì)角線的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系；

（3）通過(guò)圖形變換使學(xué)生掌握簡(jiǎn)單添加輔助線的方法。

2、過(guò)程與方法：

（1）培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、分析、探索知識(shí)的能力及創(chuàng)造性思維和歸納總結(jié)能力；

（2）通過(guò)對(duì)圖形既相互變化，又相互聯(lián)系的內(nèi)在規(guī)律的分析，滲透辯證唯物主義觀點(diǎn)，使學(xué)生領(lǐng)悟事物是運(yùn)動(dòng)、變化、相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化的。

3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：

通過(guò)學(xué)生親自參與、發(fā)現(xiàn)和證明，培養(yǎng)學(xué)生的參與意識(shí)及合作精神，激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的興趣，體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程與探索成功后的喜悅。

（三）教學(xué)重難點(diǎn)：

根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本學(xué)段這部分知識(shí)的建議，我把本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為確定中點(diǎn)四邊形形狀的探究。難點(diǎn)是探索出中點(diǎn)四邊形為特殊平行四邊形的決定因素。

二、說(shuō)教學(xué)方法：

根據(jù)學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，及九年級(jí)學(xué)生思維的感官性，所以本節(jié)課安排由學(xué)生通過(guò)實(shí)際操作去探索中點(diǎn)圖的特征。也為使課堂生動(dòng)、有趣、高效，準(zhǔn)備將整節(jié)課以觀察、思考、討論貫穿于整個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)之中，并準(zhǔn)備通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察，啟發(fā)式教學(xué)法和師生互動(dòng)式教學(xué)模式進(jìn)行教學(xué)，教學(xué)中，最大限度的調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性，以利于最優(yōu)化的達(dá)到教學(xué)目的。

教學(xué)過(guò)程中注意師生之間的情感交流，培養(yǎng)學(xué)生“多觀察、動(dòng)腦筋、大膽猜、勤鉆研”的研討式學(xué)習(xí)模式，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。為突破難點(diǎn)，我在教學(xué)中

適當(dāng)補(bǔ)充練習(xí)題進(jìn)行教學(xué)，重在引起學(xué)生對(duì)新知的鞏固和掌握。

三、說(shuō)學(xué)生學(xué)法：

（1）知識(shí)掌握上：在學(xué)生學(xué)習(xí)任意四邊形中點(diǎn)形的基礎(chǔ)上，再加上九級(jí)學(xué)生理解力強(qiáng)，所以本課安排學(xué)生分析決定中點(diǎn)四邊形形狀主要因素條件不存在太大的問(wèn)題。

（2）知識(shí)障礙上：今天的新知，學(xué)生不易靈活應(yīng)用，容易造成應(yīng)用中的混淆現(xiàn)象，所以教學(xué)中靈活結(jié)合學(xué)生練習(xí)中可能存在的問(wèn)題，進(jìn)行簡(jiǎn)單明了、深入的分析講解。

（3）思維特征上：根據(jù)九年級(jí)學(xué)生，不愛(ài)發(fā)表見(jiàn)解，希望得到老師表?yè)P(yáng)等特點(diǎn)，所以在教學(xué)中準(zhǔn)備靈活抓住學(xué)生這一生理、心理特點(diǎn)，一方面讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)際操作，盡量引發(fā)學(xué)生的興趣，使他們的注意力始終集中在課堂上；另一方面積極創(chuàng)造條件和機(jī)會(huì)，讓學(xué)生發(fā)表見(jiàn)解，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性。

（4）心理特征上：老師抓住學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)課感興趣這一有利因素，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)的科學(xué)性和應(yīng)用性，學(xué)好數(shù)學(xué)有利于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)以及學(xué)科知識(shí)的滲透性。

四、說(shuō)教學(xué)程序設(shè)計(jì)：

教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)為教學(xué)目標(biāo)展開(kāi)，因此，我根據(jù)課改精神以及九年級(jí)學(xué)生的年齡特點(diǎn)、心理特征、學(xué)生學(xué)習(xí)水平。在確立了教學(xué)目標(biāo)以后，將本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路確立為以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：

1、復(fù)習(xí)舊知、導(dǎo)入新課，學(xué)生在已有認(rèn)知的基礎(chǔ)上，從舊知入手，創(chuàng)設(shè)情境，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。而后開(kāi)門(mén)見(jiàn)山，給出課題，并引導(dǎo)學(xué)生探索的方法，從而使學(xué)生對(duì)本課形成整體觀念。這樣導(dǎo)入新課既為后面突破難點(diǎn)節(jié)省了時(shí)間，也激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又引發(fā)了學(xué)生的求知欲，使他們帶著濃厚的興趣進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。

2、動(dòng)手操作探究規(guī)律：：

在大屏上映出做一做的內(nèi)容，是利用學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)踐，得出結(jié)論，并通過(guò)問(wèn)題來(lái)引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展觀察、分析、交流、總結(jié)等活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度去觀察事物，思考問(wèn)題并歸納問(wèn)題。

因這部分內(nèi)容是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)也是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，為突破這一難點(diǎn)，準(zhǔn)備安排十五分種的時(shí)間讓學(xué)生親自動(dòng)手操作、合作交流得出結(jié)論。其間，我準(zhǔn)備參與其中，并及時(shí)給個(gè)別學(xué)生加以引導(dǎo)，突出學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人，教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者的地位。在學(xué)生探索的基礎(chǔ)上，老師提出讓學(xué)生欣賞自己的作品，電腦顯示老師的作品，設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的主要目的是讓學(xué)生進(jìn)一步明確答案，體會(huì)數(shù)學(xué)語(yǔ)言的嚴(yán)密性。另外，學(xué)生在操作的過(guò)程中特別強(qiáng)調(diào)先獨(dú)立完成，再合作交流，從而體現(xiàn)合作是在自主的基礎(chǔ)上進(jìn)行的理念。

3、加深理解形成技能：我們教學(xué)要激發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，讓學(xué)生主動(dòng)探索，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，因此，我先結(jié)合“我會(huì)填”讓學(xué)生學(xué)會(huì)初步應(yīng)用新知，再結(jié)合“動(dòng)腦做”請(qǐng)同學(xué)在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，自動(dòng)形成討論組，對(duì)所提出的問(wèn)題進(jìn)行實(shí)際操作。并引導(dǎo)學(xué)生在動(dòng)手

中思維，在思維中動(dòng)手。再結(jié)合“學(xué)習(xí)了，會(huì)用嗎？”進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的嚴(yán)密性，從而為突破難點(diǎn)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

4、練習(xí)應(yīng)用感受新知：為提高對(duì)重點(diǎn)內(nèi)容的理解和應(yīng)用，因材施教，尊重

學(xué)生的個(gè)性差異的基礎(chǔ)上，特設(shè)計(jì)了三個(gè)題，以達(dá)到本節(jié)課的高潮，三個(gè)題，并且每一部分的出題都圍繞著教學(xué)目的而展開(kāi)。一題著眼于基礎(chǔ)知識(shí)的練習(xí)和鞏固，使絕大部分學(xué)生都能領(lǐng)悟和理解。教學(xué)中，無(wú)須浪費(fèi)更多時(shí)間，學(xué)生自行解決即可。二題則多知識(shí)點(diǎn)交叉。必要時(shí)，老師要適時(shí)給以點(diǎn)播。三題目的是培養(yǎng)解題技能。安排這一內(nèi)容的主要目的是提高學(xué)習(xí)興趣，讓學(xué)生在做對(duì)的基礎(chǔ)上體味成功感，從而提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。而練后教師的點(diǎn)評(píng)更使學(xué)生認(rèn)識(shí)到合作學(xué)習(xí)給大家?guī)?lái)的好處。

五、說(shuō)教學(xué)評(píng)價(jià)：

在教學(xué)中充分考慮到老師的表情神態(tài)、鼓勵(lì)性的語(yǔ)言對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程的影響。同時(shí)從不同角度或側(cè)面了解學(xué)生的跟課情況，以便及時(shí)調(diào)整教學(xué)過(guò)程，從而保證教與學(xué)的統(tǒng)一。我在這節(jié)課的設(shè)計(jì)中十分注意學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性的發(fā)揮，學(xué)生在進(jìn)行操作、展示的過(guò)程中，及時(shí)給以評(píng)價(jià)，提高學(xué)生的自信心，從而體驗(yàn)數(shù)學(xué)，感受數(shù)學(xué)，形成對(duì)數(shù)學(xué)的正確認(rèn)識(shí)，并得到情感態(tài)度與價(jià)值觀的陶冶與升華。

六、說(shuō)教學(xué)反思及再教設(shè)計(jì)

（一）教學(xué)反思：

1、本節(jié)課的指導(dǎo)思想是充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用。從“問(wèn)題提出?小組交流探討?歸納與概括?應(yīng)用”的過(guò)程中，同學(xué)們

主動(dòng)參與、積極探索，并對(duì)難的問(wèn)題同學(xué)們合作研究，整個(gè)課堂學(xué)習(xí)積極性高，研究風(fēng)氣濃。

2、老師充分發(fā)揮在學(xué)習(xí)中的主導(dǎo)作用。對(duì)學(xué)習(xí)能力弱的學(xué)生積極地加以指導(dǎo)，并幫助學(xué)生分析問(wèn)題，概括歸納新知識(shí)。

3、本節(jié)課的突出特點(diǎn)是利用現(xiàn)代技術(shù)，為學(xué)生創(chuàng)建一個(gè)學(xué)習(xí)、研究的學(xué)習(xí)情境。通過(guò)圖形的變換，使學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的規(guī)律、找出解決方法，使學(xué)生學(xué)得輕松，興趣濃厚，精神狀態(tài)極佳。

4、本節(jié)課容量較大，但由于采用了多媒體輔助教學(xué)手段，使學(xué)生在老師的啟發(fā)下，一步一步地探索、歸納、學(xué)習(xí)，使學(xué)生是很容易地掌握了知識(shí)，并在探索的過(guò)程中培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新精神和創(chuàng)新意識(shí)。

（二）再教設(shè)計(jì)：

1、在圖形的制作上再下功夫。

2、在運(yùn)用鼓勵(lì)性的語(yǔ)言，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動(dòng)性以及進(jìn)一步發(fā)揮學(xué)生的主體性上再下功夫。

本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路基本這樣，具體操作可能會(huì)有些疏漏，懇請(qǐng)各位領(lǐng)導(dǎo)、同仁多提寶貴意見(jiàn)。

第三篇：專題線面垂直

專題九： 線面垂直的證明

題型一：共面垂直(實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直)例1：如圖在正方體ABCD?A1BC11D1中，O為底面ABCD的中心，E為CC1中點(diǎn),求證：AO?OE

1題型二：線面垂直證明（利用線面垂直的判斷定理）

例2：在正方體ABCD?AO為底面ABCD的中心，E為CC1,1BC11D1中，?平面BDE 求證：AO1

題型三：異面垂直（利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明，高考中的意圖）例3.在正四面體ABCD中，求證AC?BD

P N D C A M B 練：如圖，PA?平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，求證：MN?AB

題型四：面面垂直的證明(本質(zhì)上是證明線面垂直)

例4.已知PA垂直于正方形ABCD所在平面,連接PB、PC、PD、AC、BD,則下列垂直關(guān)系中正確的序號(hào)

是.①平面PAB?平面PBC ②平面PAB?平面PAD ③平面PAB?平面PCD

例5.如圖，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

第四篇：線面垂直高考題

高考真題演練：

(2012天津文數(shù)).（本小題滿分13分）

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2.（I）求異面直線PA與BC所成角的正切值；

（II）證明平面PDC⊥平面ABCD；

（III）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值。

（2012天津理數(shù)）（本小題滿分13分）P如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.（Ⅰ）證明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）設(shè)E為棱PA上的點(diǎn)，滿足異面

直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長(zhǎng).C

D

（2010年安徽）如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，EF//AB，EF⊥FB，AB=2EF，?BFC?90?,BF=FC，H為BC的中點(diǎn).（I）求證：FH//平面EDB；

（II）求證：AC⊥平面EDB；

（III）求二面角B—DE—C的大小.(2012上海理數(shù))如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD

是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中點(diǎn).已知AB=2，AD=22，PA=2.求：

E

（1）三角形PCD的面積；（6分）（2）異面直線BC與AE所成的角的大小.（6分）

B

（2012山東）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，F(xiàn)C⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB=CD=CF。（Ⅰ）求證：BD⊥平面AED；

（Ⅱ）求二面角F-BD-C的余弦值。

（2012年北京）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大??；

(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說(shuō)明理由

（2012遼寧）如圖，直三棱柱ABC?ABC，?BAC?90，[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]

///?

AB?AC??AA/,點(diǎn)M，N分別為A/B和B/C/的中點(diǎn)。

(Ⅰ)證明：MN∥平面AACC;

(Ⅱ)若二面角A?MN?C為直二面角，求?的值。

（2012江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?ACCC1E分別是棱BC，11，D，上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． A1求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；

（2）直線A1F//平面ADE．

（2012湖南），在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中點(diǎn)。（Ⅰ）證明：CD⊥平面PAE；

（Ⅱ）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積。

B A

D

/

/

/

C1

E

（2012湖北），∠ACB=45°，BC=3，過(guò)動(dòng)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足D在線段BC上且異于點(diǎn)B，連接AB，沿AD將△ABD折起，使∠BDC=90°（如圖2所示），（1）當(dāng)BD的長(zhǎng)為多少時(shí)，三棱錐A-BCD的體積最大；

（2）當(dāng)三棱錐A-BCD的體積最大時(shí)，設(shè)點(diǎn)E，M分別為棱BC，AC的中點(diǎn)，試在棱CD上確定一點(diǎn)N，使得EN⊥BM，并求EN與平面BMN所成角的大小

（2012廣東），在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點(diǎn) E在線段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）證明：BD⊥平面PAC；

（2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；

（2012年福建）在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E為CD中點(diǎn)。（Ⅰ）求證：B1E⊥AD1；

（Ⅱ）在棱AA1上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的行；若存在，求AP的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。（Ⅲ）若二面角A-B1EA1的大小為30°，求AB的長(zhǎng)。

（2012大綱全國(guó)卷）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小。

（2012安徽）平面圖形ABB1AC11C如圖4所示，其中BB1C1C是矩形，BC?2,BB1?

4，AB?AC?，A1B1?A1C1?BC和B1C1折疊，使?ABC

與?A1B1C1所在平面都與平面BB1C1C垂直，再分別連接AA1,BA1,CA1,得到如圖2所示的空間圖形，對(duì)此空間圖形解答下列問(wèn)題。

（Ⅰ）證明：AA1?BC；（Ⅱ）求AA1的長(zhǎng)；（Ⅲ）求二面角A?BC?A1的余弦值。

第五篇：線面垂直教案

2012第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)教案

線面垂直、面面垂直

教學(xué)目標(biāo)：掌握線面垂直、面面垂直的證明方法，并能熟練解決相應(yīng)問(wèn)題.（一）主要知識(shí)及主要方法：

【思考與分析】要證明線面垂直，我們可以把它轉(zhuǎn)化為證明線線垂直，這道題可以通過(guò)證明A1C與平面C1BD內(nèi)兩條相交直線BD，BC1垂直即可.而要證明A1C與相交直線BD、BC1垂直，可利用三垂線定理的三步曲證明．基礎(chǔ)平面分別取下底面及右側(cè)面．

1.線面垂直的證明：?1?判定定理；?2?如果兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于

這個(gè)平面；?3?一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,它也垂直于另一個(gè)平面；?4?兩個(gè)平面垂直,在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面.?5?如果兩個(gè)相交平面都與第三個(gè)平面垂直,那么它們的交線與第三個(gè)平面垂直.P A?6?向量法：

???????????????????PQ?AB?PQ?AB?0

PQ??????? ???????????????

???PQ?AC?PQ?AC?0

CQ

2.面面垂直的證明：?2?如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線,?1?計(jì)算二面角的平面角為90? ；

那么這兩個(gè)平面垂直;

題型講解證明線線垂直

三垂線定理與平面的位置無(wú)關(guān)，即對(duì)水平位置、豎直位置、傾斜位置的平面都能用三垂線定理．下面我們通過(guò)實(shí)例來(lái)體驗(yàn)“三步曲”的具體應(yīng)用過(guò)程．

例1(1)已知PA、PB、PC兩兩互相垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影O是△ABC的垂心．

【思考與分析】 要證O是△ABC的垂心，我們需要證明AO⊥BC、BO⊥AC、CO⊥AB.而AO、BO、CO分別是AP、BP、CP在平面ABC上的射影，因此我們想到應(yīng)用三垂線定理.分三步進(jìn)行：①定線面：即面內(nèi)直線BC與基礎(chǔ)平面為底面ABC，②找三線：即垂線PO，斜線PA，射影AO，③證垂直：即AO⊥BC．同理可證其它兩條．

證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的射影為O，所以PO⊥平面ABC，連結(jié)AO且延長(zhǎng)交BC于D，則AO是PA在平面ABC上的射影．

∵ AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，∴ PA⊥平面PBC，又BC平面PBC，∴ AP⊥BC．根據(jù)三垂線定理的逆定理知，AD⊥BC，所以AD是△ABC中BC邊上的高．連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于F，同理可證CF⊥AB；所以CF是△ABC中AB邊上的高，AD∩CF=O，所以O(shè)是△ABC的垂心．【反思】 解這道題時(shí)，首先應(yīng)用的是線面垂直的判定定理，然后運(yùn)用三垂線定理的逆定理，所以要想快速解題，我們需要熟練掌握并能綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí).(2)正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：對(duì)角線A1C⊥平面C1BD．

證明：∵ A1A⊥平面ABCD，A1C是斜線，連AC，AC⊥BD，由三垂線定理知BD⊥A1C．∵ A1B1⊥平面BCC1B1，A1C是斜線，連B1C，B1C是A1C在BCC1B1內(nèi)的射影，又∵ BC1⊥B1C，由三垂線定理知BC1⊥A1C．又BD∩BC1=B，∴ A1C⊥平面DBC1．

【反思】 應(yīng)用三垂線定理解題一定要熟記這三個(gè)步驟，而且還需要我們有一定的空間立體感.例2在直三棱柱ABC—A1B1C1中，B1C1=A1C1，A1B⊥AC1，求證：A1B⊥B1C

證明：取A1B1的中點(diǎn)D1，連結(jié)C1D1∵B1C1=A1C1，∴C1D1⊥ABB1A連結(jié)AD1，則AD1是AC1在平面ABB1A1內(nèi)的射影，∵A1B⊥AC1，∴A1B⊥AD11取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)CD、B1D，則B1D∥AD1，且B1D是B1C在平面ABB1A1內(nèi)的射影∵B1D⊥A1B，∴A1B⊥B1C點(diǎn)評(píng)：證明異面直線垂直的常用方法有：證明其中一直線垂直于另外一直線所在的平面；利用三垂線定理及其逆定理 證明線面垂直

例3 已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC

證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC

又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC 而PC∩AC=C，∴BC⊥平面又∵AE在平面PAC內(nèi)，∴BC⊥AE∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC 點(diǎn)評(píng)：證明直線與平面垂直的常用方法有：利用線面垂直的定義；利用線面垂直的判定定理；利用“若直線a∥直線b，直線a⊥平面α，則直線b⊥平面α”

練習(xí)：

1.以AB為直徑的圓在平面?內(nèi)PA⊥?于A，C在圓上，連PB、PC過(guò)A作AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，試判斷圖中還有幾組線面垂直。

PA???

BC????

?PAAB為直徑?AC?BC

??

????AF?面PAC

??

??AF?PC

??

?AF?面PBC?PB?面PBC??AF?PB?

?AE?PB???PB?AEF

cos?BAC?

AB2?AC2?BC

22?AB?AC ?

a2?b2?a2?c2?b2?c2

2?AB?AC

?

a

a2?b2?a2?c2

?0

?BAC為銳角，同理?ABC為銳角?。

P在底面射影為?ABC垂心。

BC?面ABC??

PA?BC?

? ?BC?面APQ??AQ?面APQ???BC?AQ?

??Q為?ABC垂心

同理?AC?BQ?

?

?CQ?AB?

??AB?面PQC?PQ?AB?AB?PC

同理A、B5.如圖，?B?AAA?//BB?確定平面?

????A?B??

??AB?????AB//AB??

?

??AB//?????AB?AA??

?

??AB?面AA?CAA??A?B?

??

??

AB?AC

??

?A?B??面CA?A?A?B??CA???CA?B?為直角

證明面面垂直

例4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是BB1，CD的中點(diǎn)（1）求證：AD⊥D1F；（2）求AE與D1F所成的角；（3）證明平面AED⊥平面A1FD

1分析：涉及正方體中一些特殊的點(diǎn)、線、面的問(wèn)題，建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)解，不僅容易找到解題方向，而且坐標(biāo)也簡(jiǎn)單，此時(shí)“垂直”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩向量數(shù)量積為0”的問(wèn)題，當(dāng)然也可用其它的證證明：建立空間直角坐標(biāo)系如圖，并設(shè)AB=2，則A(0,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2)

D1(0,2,2)，E(2,0,1),F(1,2,0)

?????????

(1)AD?(0,2,0),D1F?(1,0,?2)

?????????

? AD?D1F=0×1+2×1+0×(-2)=0, ?AD⊥D1F

??????????????????（2）AE=（2，0，1）D1F=（1，0，-2），|AE|?，|D1F|?設(shè)AE與D1F的夾角為θ，則 cosθ1?

2?1?0?0?1?(?2)

5?0

所以，直線AE與D1F所成的角為90°（3）由（1）知D1F⊥AD，由（2）知D1F⊥AE，又AD∩AE=A，?D1F⊥平面AED，∵D1F?平面A1FD1M

?平面AED⊥平面A1FDB

例5已知AB是圓O的直徑，PA垂直于?O所在的平面，C是圓周上不同于A,B的任一

點(diǎn)，求證：平面PAC?平面PBC．

分析：根據(jù)“面面垂直”的判定定理，要證明兩平面互相垂直，只要在其中一個(gè)平面中尋找一條與另解：∵AB是圓O的直徑，∴AC?BC，又∵PA垂直于?O所在的平面，∴PA?BC，∴BC?平面PAC，又BC在平面PBC中，所以，平面PAC?平面PBC． 點(diǎn)評(píng)：由于平面PAC與平面PBC相交于PC，所以如果平面PAC?平面PBC，則在平面PBC中，垂直于PC的直線一定垂直于平面PAC小結(jié):

1垂直問(wèn)題來(lái)處理或在兩直線上分別取它們的方向向量，然后證它們的數(shù)量積為0

2面垂直的判定定理，證明直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，當(dāng)然再證這直線（這平面）與已知直線（或平面）重合，有時(shí)侯將線面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證面面垂直問(wèn)題，也許會(huì)給你帶來(lái)意想不到的收獲 3如證面面垂直可轉(zhuǎn)化為證明一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線

用向量法證明垂直，就是證有關(guān)向量的數(shù)量積為1“直線l垂直于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線”是“l(fā)⊥α”的 AB

CD 答案：B①直線上有兩點(diǎn)到平面的距離相等，則此直線與平面平行②夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行于這兩個(gè)平面③直線m⊥平面α，直線n⊥m，則n∥α④a、b是異面直線，則存在唯一的平面α，使它與a、b都平行且與a、b距離相等 ABCD 解析：①錯(cuò)誤與平面相交如下圖，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，過(guò)C作CG∥AB交平面β于G，連結(jié)BG、GD設(shè)H是CG的中點(diǎn)，則EH∥BG，HF∥GD∴EH∥平面β，HF∥平面β

∴平面EHF∥平面β∥平面α∴EF∥α，EF∥β

③錯(cuò)誤直線n可能在平面α內(nèi)④正確AB是異面直線a、b的公垂線段，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作a′∥a，b′∥b，則a′、b′確定的平面即為與a、b都平行且與a、b距離相等的平面，并且它是唯一確定的答案：D

3在正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，D是EF的中點(diǎn)，沿SE、SF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為G，那么，在四面體S—EFG中必有 A⊥平面EFGB⊥平面EFG C⊥平面SEF D⊥平面SEF

解析：注意折疊過(guò)程中，始終有SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，即SG⊥GE，SG⊥GF，所以SG⊥平面EFGA答案：A

4PA垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上異于A、B的任一點(diǎn)，則下列關(guān)系不正確的是 A⊥BCB⊥平面PACC⊥PB D⊥BC 解析：由三垂線定理知AC⊥PB，故選答案：C 5ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4 cm，且它們?cè)讦恋耐瑐?cè)，則△ABC的重心到平面α的距離為解析：如下圖，設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′，△ABC的重心為G，連結(jié)CG交

AB于中點(diǎn)E，又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′，則E′∈A′B，G′∈C′E，EE′=A′

A+B′B）=，CC′=4，CG∶GE=2∶1，在直角梯形EE′C′C中可求得GG′=3答案：3 cm

6ABCD—A1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_______時(shí)，有A1C⊥B1D1認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案：A1C1⊥B1D1或四邊形A1B1C1D1為菱形等 7ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，則（1）A點(diǎn)到CD1的距離為_(kāi)_______；（2）A點(diǎn)到BD1的距離為_(kāi)_______；

（3）A點(diǎn)到面BDD1B1的距離為_(kāi)____________；（4）A點(diǎn)到面A1BD的距離為_(kāi)____________；（5）AA1與面BB1D1D的距離為_(kāi)_________6622（2）（3）（4）（5）232

328△ABC在平面α內(nèi)的射影是△A1B1C1，設(shè)直角邊AB∥α，則△A1B1C1的形狀是_____________三角形答案：（1）

解析：根據(jù)兩平行平面的性質(zhì)及平行角定理，知△A1B1C的形狀仍是Rt△答案：直角 4ABCD—A1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：A1O⊥平面MBD證明：連結(jié)MO ∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1A∩AC=A，∴DB⊥平面A1ACC1又A1O?平面A1ACC1，∴A1O⊥DB

（1）解：當(dāng)a=2時(shí)，ABCD為正方形，則BD⊥AC又∵PA⊥底面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA∴BD⊥平面故當(dāng)a=2時(shí)，BD⊥平面PAC（2）證明：當(dāng)a=4時(shí)，取BC邊的中點(diǎn)M，AD邊的中點(diǎn)N，連結(jié)AM、DM、BMN∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM又PA⊥底面ABCD，由三垂線定理得，PM⊥DM，故當(dāng)a=4時(shí)，BC邊的中點(diǎn)M使PM⊥DM（3）解：設(shè)M是BC邊上符合題設(shè)的點(diǎn)M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM因此，M點(diǎn)應(yīng)是以AD為直徑的圓和BC邊的一個(gè)公共點(diǎn)，則AD≥2AB，即a≥4點(diǎn)評(píng)：本題的解決中充分運(yùn)用了平面幾何的相關(guān)知識(shí)因此，立體幾何解題中，要注意有關(guān)的平面幾何知識(shí)的運(yùn)用事實(shí)上，立體幾何問(wèn)題最終是在一個(gè)或幾個(gè)平面中得以解決的在矩形A1ACC1中，tan∠AA1O=

22，tan∠MOC=，22

∴∠AA1O=∠MOC，則∠A1OA+∠MOC=90A1O⊥OM∵OM∩DB=O，∴A1O⊥平面9S—ABC中，N是S在底面ABC上的射影，且N在△ABC的AB邊的高CD上，點(diǎn)M∈SC，截面MAB和底面ABC所成的二面角M—AB—C等于∠NSC，求證：SC⊥截面證明：∵CD是SC在底面ABC上的射影，AB⊥CD，∴AB⊥SCMD∵∠MDC=∠NSC，∴DM⊥SCAB∩DM=D，∴SC⊥截面MABABC中，∠ACB=90°，AB=8，∠BAC=60°，PC⊥平面ABC，PC=4，M為AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求PM的最小值解：∵P是定點(diǎn)，要使PM的值最小，只需使PM⊥AB即可 要使PM⊥AB，由于PC⊥平面ABC，∴只需使CM⊥AB即可

∵∠BAC=60°，AB=8，∴AC=AB·cos60°=4

∴CM=AC·sin60°=4·

=2

B

∴PM=PC2?CM2=?

12P—ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又側(cè)棱PA⊥底面ABCD（1）當(dāng)a為何值時(shí)，BD⊥平面PAC?試證明你的結(jié)論（2）當(dāng)a=4時(shí)，求證：BC邊上存在一點(diǎn)M，使得PM⊥（3）若在BC邊上至少存在一點(diǎn)M，使PM⊥DM，求a的取值范圍分析：本題第（1）問(wèn)是尋求BD⊥平面PAC的條件，即BD垂直平面PAC內(nèi)兩相交直線，易知BD⊥PA，問(wèn)題歸結(jié)為a為何值時(shí)，BD⊥AC，從而知ABCD為正方形-4-