第一篇：量子力學導論 第十章 教案
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
第10章
定態(tài)問題的常用近似方法 §10.0 引言
§10.1 非簡并定態(tài)微擾理論 §10.2 簡并微擾理論 §10.3 變分法
§10.0
引
言
（一）近似方法的重要性
前幾章介紹了量子力學的基本理論，使用這些理論解決了一些簡單問題。如：（1）一維無限深勢阱問題；（2）線性諧振子問題；
（3）勢壘貫穿問題；
（4）氫原子問題。
這些問題都給出了問題的精確解析解。
然而，對于大量的實際物理問題，Schrodinger 方程能有精確解的情況很少。通常體系的 Hamilton量是比較復雜的，往往不能精確求解。因此，在處理復雜的實際問題時，量子力學求問題近似解的方法（簡稱近似方法）就顯得特別重要。
（二）近似方法的出發(fā)點
近似方法通常是從簡單問題的精確解出發(fā)，來求較復雜問題的近似解。
（三）近似解問題分為兩類
（1）體系 Hamilton 量不是時間的顯函數(shù)——定態(tài)問題 1.定態(tài)微擾論；
2.變分法。
（2）體系 Hamilton 量顯含時間——狀態(tài)之間的躍遷問題 1.與時間 t 有關的微擾理論；
2.常微擾。§10.1 非簡并定態(tài)微擾理論
（一）微擾體系方程
（二）態(tài)矢和能量的一級修正
（三）能量的二階修正
（四）微擾理論適用條件
（五）討論
（六）實例 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
（一）微擾體系方程
微擾法不是量子力學所特有的方法，在處理天體運行的天體物理學中，計算行星運行軌道時，就是使用微擾方法。計算中需要考慮其他行星影響的二級效應。
例如，地球受萬有引力作用繞太陽轉動，可是由于其它行星的影響，其軌道需要予以修正。在這種情況下，計算所使用的方法是：首先把太陽和地球作為二體系統(tǒng)，求出其軌道，然后研究這個軌道受其它行星的影響而發(fā)生的變化。
可精確求解的體系叫做未微擾體系，待求解的體系叫做微擾體系。假設體系 Hamilton 量不顯含時間，而且可分為兩部分：
??H??H?? H0?0所描寫的體系是可以精確求解的，其本征值E(0)，本征矢|?(0)?滿足如下本征方Hnn程：
?0|?(0)??E(0)|?(0)? Hnnn??是很小的（很小的物理意義將在下面討論）可以看作加于H?0上的微小擾另一部分H動?，F(xiàn)在的問題是如何求解微擾后 Hamilton 量H的本征值和本征矢，即如何求解整個體系的 Schrodinger 方程：
?|???E|?? Hnnn(0)(0)當H??0時，|?n??|?n ； ?, En?En(0)(0)當H??0時，引入微擾，使體系能級發(fā)生移動，由En狀態(tài)由|?n ?En，??|?n?。為了明顯表示出微擾的微小程度，將其寫為：
????W H其中λ是很小的實數(shù)，表征微擾程度的參量。
為明確起見，我們干脆將量子數(shù)n對應的能級和波函數(shù)分別寫為En、|?n?，請注意與教材中對應
因為En、|?n?都與微擾有關，可以把它們看成是λ的函數(shù)而將其展開成λ的冪級數(shù)：
(0)(1)(2)En?En??En??2En??|?n??|?
(0)n???|?2
(1)n???|?2(2)n??? 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
(0)(1)(2)其中En，?En，?2En，…分別是能量的0 級近似，能量的一級修正和二級修正等；(0)(1)(2)而||?n?，?|?n?，?2|?n?，…分別是狀態(tài)矢量 0 級近似，一級修正和二級修正等。
代入Schrodinger方程得：
???W)(|?(0)???|?(1)???2|?(2)???)(H0nnn?(E乘開得：(0)n??E(1)n??E2(2)n??)(|?(0)n???|?(1)n???|?2(2)n???)
(0)(0)?|?(0)???0???0H?En|?n?0n?1???(1)(0)(0)(1)(1)(0)?H0|?n??W|?n??????1En|?n??En|?n???2???2?(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)??H0|?n??W|?n?????En|?n??En|?n??En|?n??
?3??3???????????????????????????????????????????????????????????????????????根據(jù)等式兩邊λ同冪次的系數(shù)應該相等，可得到如下一系列方程式: ?|?(0)??E(0)|?(0)? ?0:H0nnn?|?(1)??W|?(0)??E(0)|?(1)??E(1)|?(0)? ?1:H0nnnnnn?|?(2)??W|?(1)??E(0)|?(2)??E(1)|?(1)??E(2)|?(0)? ?2:H0nnnnnnnn整理后得：
??E(0)]|?(0)??0?[H0nn???E(0)]|ψ(1)???[W?E(1)]|ψ(0)??[H0nnnn ?(0)(2)(1)(1)(2)(0)??E]|????[W?E]|???E|???[H0nnnnnn???????????????????????(1)(2)上面的第一式就是H0的本征方程，第二、三式分別是|?n?和|?n?|所滿足的方程，由此可解得能量和態(tài)矢的第一、二級修正。
（二）態(tài)矢和能量的一級修正
(0)現(xiàn)在我們借助于未微擾體系的態(tài)矢||?n?和本征能量En來導出擾動后的態(tài)矢
(0)|?n?和能量En的表達式。
(1)(1)能量一級修正?En
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(0)根據(jù)力學量本征矢的完備性假定，H0的本征矢|?n?是完備的，任何態(tài)矢量都可按(1)其展開，|?n? 也不例外。因此我們可以將態(tài)矢的一級修正展開為：
??|ψ(1)n???|ψk?1(0)k??ψ|ψ(0)k(1)n(1)(0)???akn|ψk?
k?1(1)(0)(1)其中akn??ψk|ψn?。
是一組完備基矢。|?k(0)?（k?1,2,?,?）代回前面的第二式并計及第一式得：
??E(0)]?a(1)|?(0)???[W?E(1)]|?(0)? [H0nknknnk?1?或寫成
?ak?1?(1)kn(0)(1)(0)[Ek(0)?En]|?k(0)???[W?En]|?n?
(0)左乘??n|, 有
??k?1(1)(0)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(0)akn[Ek(0)?En]??m|?k?????m|W|?n??En??m|?n?
考慮到本征基矢的正交歸一性：
?ak?1?(1)kn(0)(1)[Ek(0)?En]?mk??Wmn?En?mn
(1)(0)(0)(1)?amn[Em?En]??Wmn?En?mn
考慮兩種情況 1.m?n
(1)(0)(0)En?Wnn???n|W|?n?
2.m?n
a(1)mn(0)(0)Wmn??m|W|?n? ?(0)?(0)(0)(0)En?EmEn?Em可以給出波函數(shù)的展開系數(shù) 準確到一階微擾的體系能量：
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(0)(1)En?En??En(0)(0)(0)?En????n|W|?n?(0)(0)(0)?En???n|?W|?n?
??|?(0)??E(0)???(0)|Hnnn(0)???En?Hnn?????(0)|H??|?(0)? 其中Hnnnn即能量的一級修正等于微擾 Hamilton 量在 0 級態(tài)矢中的平均值
(1)（2）態(tài)矢的一級修正|?n?
?令|?(1)n(1)???akn|?k(0)?
k?1為了求出體系態(tài)矢的一級修正，我們先利用擾動態(tài)矢|?n?的歸一化條件證明上式展開(1)系數(shù)中ann?0（可以取為0）
證：
基于|?n?的歸一化條件并考慮上面的展開式
1???n|?n?(0)(1)(0)(1)?[??n|????n|]?[|?n???|?n?](0)(0)(0)(1)(1)(0)(1)(1)???n|?n?????n|?n?????n|?n???2??n|?n?(1)(0)(1)(0)?1???[akn??n|?k(0)??akn*??k(0)|?n?]??2??k?1(1)(1)?1???[akn?nk?akn*?kn]??2??k?1(1)(1)?1??[ann?ann*]
各級波函數(shù)都可以是歸一的。由于歸一，所以
(1)(1)?[ann?ann*]?0
(1)(1)(1)???0，?[ann?ann*]?0?Re[ann]?0
(1)(1)(1)的實部為0。ann是一個純虛數(shù)，故可令annann?i?（?為實）。
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(0)(1)|?n??|?n????akn|?k(0)?k?1(0)(1)(0)(1)?|?n???ann|?n????akn|?k(0)?k?n(0)(0)(1)?|?n???i?|?n????akn|?k(0)?k?n
(0)(1)?(1??i?)|?n????akn|?k(0)?k?n(0)(1)?e?i?|?n????akn|?k(0)?k?n?(0)?(1)(0)??e?i??|????a|???knk?n?k?n??最后兩步用到公式eiλ??1?iλ?。
（三）能量的二階修正
(0)對|?n??e?i?(|?n????ak?n(1)kn(0)|?k?)
(1)(0)上式結果表明，展開式中，ann|?n?項的存在只不過是使整個態(tài)矢量|?n?增加了(1)一個相因子，這是無關緊要的。所以我們可取? = 0，即ann?0。這樣一來，(1)????akn|?k(0)?k?n?(0)??k(0)|W|?n?(0)????|?k?(0)(0)E?Ek?nnk??|?n??|??|?(0)n(0)n(0)??k(0)|?W|?n?(0)?|????|?k?(0)(0)E?Ek?nnk???|?(0)?(0)??k(0)|H(0)n?|?n???|?k?(0)(0)En?Ekk?n??Hkn(0)?|?n???(0)|?k(0)?(0)k?nEn?Ek(0)n(2)與求態(tài)矢的一階修正一樣，將|?n?按|?n? 展開：
??(0)|?(2)n???|?k?1(0)k???(0)k|?(2)n(2)???akn|?k(0)?
k?1(1)與|?n?展開式一起代入關于? 的第三式 6 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
????E(0)]?a(2)|?(0)???[W?E(1)]?a(1)|?(0)??E(2)|?(0)? [H0nknknknknnk?1k?1??[Ek?1?(0)k?E]a(0)n(2)kn|?(0)k(1)(0)(2)(0)???[W?E]?akn|?k??En|?n?
(1)nk?1(0)左乘態(tài)矢??m|得
???[Ek?1(0)k?E]a(0)n(2)kn???(0)m|?(0)k(1)(0)????akn??m|W|?k(0)?k?1
(1)(1)(0)(2)(0)(0)?En??m|?k(0)??En??m|?n??aknk?1利用正交歸一性，有
?[Ek?1?(0)k?E(0)n]a(2)knmkδ???ak?1(0)n(2)mn?(1)kn?ψ|W|ψ?(0)m(0)k??E(1)n?ak?1?(1)knmkδ(2)?Enδmn
[E1.當m?n時
(0)m?E]a(1)(1)(1)(2)???aknWmk?Enamn?En?mn
k?1(1)(1)(1)(2)0???aknWmk?Enamn?Enk?1?E(2)n??aWnk?Wnna(1)knk?1??(1)nn??aWnk??(1)knk?n?WknWnk(0)(0)k?nEn?Ek?*?WknWkn|Wkn|2??(0)??(0)(0)(0)k?nEn?Ekk?nEn?Ek(1)
利用了akn?Wkn。(0)En?Ek(0)在推導中使用了微擾矩陣的厄密性
*(0)(0)(0)Wkn???k(0)|W|?n?*???n|W?|?k(0)????n|W|?k(0)??Wnk2.當m?n時
[E(0)m?E]a(0)n(2)mn(1)(1)(1)???aknWmk?Enamn
k?1? 7 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
(1)(1)aknWmkWnnamn??(0)?(0)(0)(0)E?EEn?Emk?1nm?a(2)mn??k?n?(0)[EnWknWmkWnnWmn?(0)(0)(0)(0)2?Em][En?Ek(0)][En?Em]
可以給出波函數(shù)的展開系數(shù)。能量的二級修正
?E2(2)n(0)?|Wkn|2|??k(0)|?W|?n?|2???(0)??(0)(0)(0)E?EE?Ek?nk?nnknk
(0)(0)22????||??k|H?|?n?||Hkn????(0)(0)(0)En?Ek(0)k?nk?nEn?Ek2?在計及二階修正后，擾動體系能量本征值由下式給出：
En?E(0)n??E??E(1)n2(2)n?E(0)n?|2|Hkn???(0)?Hnn(0)k?nEn?Ek?
（四）微擾理論適用條件
總結上述，在非簡并情況下，受擾動體系的能量和態(tài)矢量分別由下式給出：
?|2|Hkn???(0)En?E?Hnn??(0)k?nEn?Ek
?H?(0)|?n??|?n???(0)kn(0)|?k(0)???k?nEn?Ek(0)n?欲使二式有意義，則要求二級數(shù)收斂。由于不知道級數(shù)的一般項，無法判斷級數(shù)的收斂性，我們只能要求級數(shù)已知項中，后項遠小于前項。由此我們得到微擾理論適用條件是：
?Hkn(0)(0)，E?E??1nk(0)(0)En?Ek這就是本節(jié)開始時提到的關于H?很小的明確表示式。當這一條件被滿足時，由上式計算得到的一級修正通?？山o出相當精確的結果。
上述微擾適用條件表明：
??|??k|H?|?n（1）Hkn(0)(0)(0)(0)?要小，即微擾矩陣元要??；
（2）En?Ek 要大，即能級間距要寬。
例如：在庫侖場中，體系能量（能級）與量子數(shù)n成反比，即
2En??
?Z2e42?2n28，?n?1,2,3,...? 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
由上式可見，當n大時，能級間距變小，因此微擾理論不適用于計算高能級（n大）的修正，而只適用于計算低能級（n?。┑男拚?。
（五）討論
（1）在一階近似下：
|?n??|?(0)n???k?n??Hkn(0)|?? k(0)(0)En?Ek(0)表明擾動態(tài)矢|?n?可以看成是未擾動態(tài)矢|?k?的線性疊加。
（2）展開系數(shù)
?Hkn(0)表明第k個未擾動態(tài)矢|??對第n個擾動態(tài)矢|?n?的貢k(0)(0)En?Ek(0)獻有多大。展開系數(shù)反比于擾動前狀態(tài)間的能量間隔，所以能量最接近的態(tài)|?k?混合的也越強。因此態(tài)矢一階修正無須計算無限多項。
(0)(0)（3）由En?En加上微擾?Hnn可知，擾動后體系能量是由擾動前第n態(tài)能量En(0)Hamilton量H?在未微擾態(tài)|?n?中的平均值組成。該值可能是正或負，引起原來能級上移或下移。
（4）對滿足適用條件
?Hkn(0)?Ek(0)??1，En(0)(0)En?Ek??0 就需要微擾的問題，通常只求一階微擾其精度就足夠了。如果一級能量修正Hnn求二級修正，態(tài)矢求到一級修正即可。
（5）在推導微擾理論的過程中，我們引入了小量λ，令：H???W只是為了便于將擾動后的定態(tài)Schrodinger方程能夠按λ的冪次分出各階修正態(tài)矢所滿足的方程，僅此而已。一旦得到了各階方程后，λ就可不用再明顯寫出，把W理解為H?即可，因此在以后討論中，就不再明確寫出這一小量。
（六）實例
例1.一電荷為 e 的線性諧振子，受恒定弱電場ε作用。電場沿 x 正向，用微擾法求體系的定態(tài)能量和波函數(shù)。
解：（1）電諧振子Hamilton 量
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?2d21?H???2??2x2?e?x 22?dx將 Hamilton 量分成H0?H?兩部分，在弱電場下，上式最后一項很小，可看成微擾。
???2d21?2μω2x2?H0??22μdx ??H?????exε(0)（2）寫出 H0 的本征值和本征函數(shù)E(0), ?n
???(0)n?Nne??2x2/2Hn(?x)
???，Nn?? n?2n!(0)，n?0,1,2,? En???(n?12)(1)（3）計算En
E(1)n????Hnn????(0)*n?(0)(0)*(0)?H??ndx??e???nx?ndx?0
??上式積分等于 0，是因為被積函數(shù)為奇函數(shù)所致。（4）計算能量二級修正
?矩陣元。欲計算能量二級修正，首先應計算Hkn???Hkn????(0)*k?(0)(0)*(0)?H??ndx??e???kx?ndx
??利用線性諧振子本征函數(shù)的遞推公式：
x?n?1[n?n?1?n?1?n?1] ?22???e??Hkn???(0)n?1?(0)]dx?k(0)*1[n?n?1??22n?1??(0)*(0)(0)n1??e?[??k?n?1dx???k(0)*n?1?n?1dx] ?????22??e?[n?k,n?1?n?1?k,n?1]?22將上式代入能量二級修正公式，得
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
E(2)n??k?n?|2|Hkn(0)En?Ek(0)
|?e?[n?k,n?1?n?1?k.n?1]|2?22??(0)(0)k?nEn?Ek??11n?1?(e?)2?n(0)?(0)(0)(0)???2En?En2E?E?1nn?1?對諧振子有；
(0)(0)(0)(0)En?En?1???, En?En?1????
(2)En?(e?)2[n1?n?11]??(e?)21?2??2????2??(??2???)22???e?22??由此式可知,能級移動與n無關,即與擾動前振子的狀態(tài)無關.(1)?n??k?n?Hkn(0)???k(0)(0)En?Ekk?n?e?[n?k,n?1?n?1?k,n?1]?22(0)?k(0)En?Ek(0)
?n11(0)(0)?e?n?1????n?1??n?1?(0)(0)(0)(0)??2En2?EnE?E?1nn?1?1(0)1?(0)???e??n?n?1?n?1?n??2??2????1???e?12???3?(0)(0)n?1?n?n??1n?1?(5)討論-----電諧振子的精確解
實際上這個問題是可以精確求解的，只要我們將體系Hamilton量作以下整理：
22?d22???H?12??x?e?x22?dx?2d21e?e?2e2?222?????[x?2x?()]?22222?dx????2??2???d1??2[x?e?]2?e??2?dx22??22??22222
?2d2e2ε2221???μωx??222μdx?2μω2 11 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
其中x??x?eε，可見，體系仍是一個線性諧振子。它的每一個能級都比無電場時2μωeεe2ε2的線性諧振子的相應能級低，而平衡點向右移動了距離。22μω2μω由于勢場不再具有空間反射對稱性，所以波函數(shù)沒有確定的宇稱。這一點可以從下式擾
(0)(0)(0)動后的波函數(shù)?n已變成?n,?n?1,?n?1的疊加看出。
(0)(0)1[n?1??n?n?1n?1] 32???(0)(1)(0)?n??n??n??n?e?0??1c??0? 例2.設Hamilton量的矩陣形式為：H??c3?00c?2???（1）設c<<1，應用微擾論求H本征值到二級近似；（2）求H 的精確本征值；
（3）在怎樣條件下，上面二結果一致。解：
（1）c<<1，可取0級和微擾Hamilton量分別為：
?100??0c0??????H0??030?，H??c00?
?00?2??00c?????H0是對角矩陣，是Hamilton H0在自身表象中的形式。所以能量的 0 級近似為：
(0)(0)E1(0)?1，E2?3，E3??2
由非簡并微擾公式
(1)?En??Hnn??|2 ?(2)|Hkn?En??E(0)?E(0)k?nnk?得能量一級修正：
??0?E1(1)?H11?(1)??0 ?E2?H22?(1)??c?E3?H33能量二級修正為： 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
E(2)1?1|2?|2?|2|Hk|H31|H211c2 ??(0)????(0)(0)2?Ek(0)E1(0)?E2E1(0)?E3k?nE1??k?n(2)3E(2)2?2|2?|2?|2|Hk|H32|H121c2 ???(0)(0)(0)(0)2E2?Ek(0)E2?E1(0)E2?E3E?3|2?|2?|2|Hk|H13|H23??(0)?(0)?(0)?0(0)(0)(0)E?EE?EE?Ek?n3k3132準確到二級近似的能量本征值為：
?E?1?1c2?12?12?E2?3?2c ??E3??2?c?(2)精確解：
設 H 的本征值是 E，由久期方程可解得：
1?Ec0c03?E0?0 0c?2?E?(c?2?E)(E2?4E?3?c2)?0
解得：
?E?2?1?c2?1?2?E2?2?1?c ?E??2?c3??(3)將準確解按 c(<<1)展開：
?E?2?1?c2?1?1c2?1c4??28?1?21214?E2?2?1?c?3?2c?8c?? ?E??2?c3??比較（1）和（2）之解
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
?E?1?1c2?E?2?1?c2?121??212??E2?3?2c，?E2?2?1?c ??E??2?c3?E3??2?c???可知，微擾論二級近似結果與精確解展開式不計c及以后高階項的結果相同 §10.2 簡并微擾理論
（一）簡并微擾理論
（二）實例
（三）討論
（一）簡并微擾理論
(0)(0)假設En是簡并的，那末屬于H0的本征值En有k個歸一化本征函數(shù):
4|n1?，|n2?，……，|nk? ?n?|n??????
(0)為描述方便，我們將量子數(shù)n對應的能級和k重簡并波函數(shù)分別寫為En、|n??，請注意與教材中的|n??對應
顯然它們滿足本征方程：
??E(0)]|n???0，??1,2,3,?,k [H0n共軛方程
??E(0)]?0，??1,2,3,?,k ?n?|[H0n在用微擾論求解問題時，需要知道0級近似波函數(shù)，但我們不知道在k個本征函數(shù)中究竟應取哪一個作為波函數(shù)的0級近似。所以在簡并情況下，首先要解決如何選0級近似波函數(shù)的問題，然后才是求能量和波函數(shù)的各級修正。
0級近似波函數(shù)肯定應從這k個|n??中挑選，而它應滿足上節(jié)按?冪次分類得到的方程：
?(0)?E(0)]|?(1)???[H???E(1)]|?(0)? [Hnnnn 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
(0)根據(jù)這個條件，我們選取0級近似波函數(shù)|?n?的最好方法是將其表示成k個|n??的線性組合，因為反正0級近似波函數(shù)要在|n??(??1,2,3,?,k)中挑選。
(0)n|????c?|n??
??1k(0)|?n?已是正交歸一化，系數(shù)c?由 ?一次冪方程定出
?(0)?E(0)]|?(1)???[H???E(1)]?c|n??[Hnnn???1(1)??|n???En?c?|n????c?Hkkk
??1??1左乘?n?|得：
?(0)?E(0)]|?(1)??E(1)?c?n?|n????c?n?|H??|n???n?|[Hnnn????1kkk??1?Ek(1)n???1?c??????c?H????1k
(1)?]c???[En????H????1?(0)?E(0)]?0）（由?n?|[Hn??|n??。???n?|H其中H??得：???1k(1)??En[H?????]c??0。
上式是以展開系數(shù)c?為未知數(shù)的齊次線性方程組,它有不含為零解的條件是系數(shù)行列式為零，即
(1)??EnH11?H21?H12?(1)??EnH22???2Hk????1Hk??(1)??En?Hkk(1)?0
(1)解此久期方程可得能量的一級修正En的k個根：En?（?=1,2,...,k），因為(0)(1)(1)所以若這k個根都不相等,則一級微擾就可以將k度簡并完全消除；若En??En?EnE?n?有幾個重根,則表明簡并只是部分消除,須進一步考慮二級修正才可使能級完全分裂開來。
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
(1)為了確定能量En?所對應的0級近似波函數(shù)，可以把En?之值代入線性方程組從而解得一組c?(?=1,2,...,k)系數(shù)，將該組系數(shù)代回展開式就能夠得到相應的 0 級近似波函數(shù)。
(1)為了能表示出c? 是對應與第?個能量一級修正En我們在其上加上角標?的一組系數(shù)，?而改寫成c??。這樣一來，線性方程組就改寫成：
???1k(1)??En[H??????]c???0，??1,2,?,k
(1)則對應En?修正的0級近似波函數(shù)改寫為：
k|?
（二）實例
例1.氫原子一級 Stark 效應（1）Stark 效應
(0)n????c??|n??
??1氫原子在外電場作用下產(chǎn)生譜線分裂現(xiàn)象稱為 Stark 效應。
我們知道電子在氫原子中受到球對稱庫侖場作用，造成第n 個能級有n度簡并。但是當加入外電場后，由于勢場對稱性受到破壞，能級發(fā)生分裂，簡并部分被消除。Stark 效應可以用簡并情況下的微擾理論予以解釋。
（2）外電場下氫原子 Hamilton 量
2??H??H?? H0???22e2???H0??2?r ????H???e??r?e?z?e?rcos??取外電場沿 z 正向。通常外電場強度比原子內部電場強度小得多，例如,強電場≈107 伏/米，而原子內部電場≈1011伏/米，二者相差 4個量級。所以我們可以把外電場的影響作為微擾處理。
（3）H0 的本征值和本征函數(shù)
??e4n?1,2,3,??En??22 2?n????(r?nlm)?Rnl(r)Ylm(?,?)量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
下面我們只討論 n=2 的情況，這時簡并度 n2=4。
?2e2，a0? En??2??2?e8?8a0?e4屬于該能級的4個簡并態(tài)是：
?1??200?R20Y00?412?(a1)3/2(2?ar)e?r/2a000000?2??210?R21Y10?412?(a1)3/2(ar)e?r/2acos??3??211?R21Y11??81?()13/2ra0a00()e0?r/2a0sin?e0i?
?4??21?1?R21Y1?1??81?(a1)3/2(ar)e?r/2asin?e?i?其中，???|2??，??1,2,3,4。即
??1?|21??ψ200???1?|21??ψ200（4）求H?在各態(tài)中的矩陣元
?1?|21??ψ200?4?|24??ψ21?1
由簡并微擾理論知,求解久期方程,須先計算出微擾Hamilton量H’在以上各態(tài)的矩陣元。
??|???e??R|r|R??Y|cos?|Y?????1|HH12220210010??|???e??R|r|R??Y|cos?|Y? ????2|HH21121201000??????????????????????我們碰到角積分?Yl?m?|cos?|Ylm?需要利用如下公式：
22(l?1)2?m2l?m cos?Ylm?Y?Y(2l?1)(2l?3)l?1,m(2l?1)(2l?1)l?1,m于是
?Yl?m?22(l?1)2?m2l?m|cos?|Ylm???Yl?m?|Yl?1,m???Yl?m?|Yl?1,m?(2l?1)(2l?3)(2l?1)(2l?1)?22(l?1)2?m2l?m?????(2l?1)(2l?3)l?l?1m?m(2l?1)(2l?1)l?l?1m?m欲使上式不為 0，由球諧函數(shù)正交歸一性要求量子數(shù)必須滿足如下條件：
?l??l?1??l?l??l??1??l?l?1 ?????m?m??m?0?m??m? 17 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
?，H21?不等僅當?l??1，?m?0時，H?的矩陣元才不為0。因此矩陣元中只有H12于0。
因為?Y10|cos?|Y00??所以
3??H21??e??R20|r|R21?H123??e??(1)3/2(2?r)e?r/2a0r1(1)3/2(r)e?r/2a0r2dra0a0302a032a0??e?(1)4?(2?r)e?r/a0r4dr24a00a0
???r/a044e?1?()[?2erdr??re?r/a0r4dr]00a24a005?e?(1)4[a04!(2?5)]24a0??3e?a0這是微擾矩陣元的表達式（5）能量一級修正
將H?的矩陣元代入久期方程：
(1)?E2?3e?a0(1)?E2000(1)?E20000(1)?E2?3e?a000解得 4 個根：
?0
0(1)?E21?(1)?E22?(1)?E23?E(1)?24?3e?a0??3e?a0?0?0(0)
由此可見，在外場作用下，原來 4 度簡并的能級E2在一級修正下，被分裂成 3 條能級，簡并部分消除。當躍遷發(fā)生時，原來的一條譜線就變成了 3 條譜線。其頻率一條與原來相同，另外兩條中一條稍高于一條稍低于原來頻率。見下圖：
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
6）求 0 級近似波函數(shù)
(1)分別將E2 的 4 個值代入方程組：
k??E????)c???0(H??? ?(1)n?1??1,2,?k得 四 元一次線性方程組
(1)??E2c1?3e?a0c2?0?(1)0??3e?a0c1?E2c2??(1)?0?E2c3?0?0?0?0????0?00?00?0
(1)?E2c4?0(1)(1)將E2?E21?3e?a0代入上面方程，得：
??c1??c2 ???c3?c4?0(0)所以相應于能級E2?3e?a0 的0級近似波函數(shù)是：
?1(0)?1[?1??2]?1[?200??210]
22(1)(1)將E2?E22??3e?a0代入上面方程，得：
??c1?c2 ???c3?c4?0(0)所以相應于能級E2?3e?a0的0級近似波函數(shù)是：
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
(0)?2?1[?1??2]?1[?200??210]
22(1)(1)(1)將E2?E23?E24?0，代入上面方程，得：
??c1?c2?0 ??0的常數(shù)?c3和c4為不同時等于(0)因此相應與E2?0的0級近似波函數(shù)可以按如下方式構成：
(0)(0)?3(?4)?c3?3?c4?4?c3?211?c4?21?1
我們不妨仍取原來的0級波函數(shù)（經(jīng)常這樣處理），即令：
??c3?1???c4?0(0)???3??211則?(0)。???4??21?1or??c3?0 ???c4?1（7）討論
(0)上述結果表明，若氫原子處于 0 級近似態(tài)?1, ?2, ?3, ?4，那末，氫原子就
(0)(0)(0)好象具有了大小為3ea0的永久電偶極矩一般。對于處在?1, ?2態(tài)的氫原子，其電矩取
(0)向分別與電場方向平行和反平行；而對于處在?3, ?4態(tài)的氫原子，其電矩取向分別與電
(0)(0)(0)場方向垂直。
例2.有一粒子，其 Hamilton 量的矩陣形式為：H?H0?H?，其中
?200??0???H0??020?，H???0?002??????0???00?，???1 00??求能級的一級近似和波函數(shù)的0級近似。
解：H0的本征值問題是三重簡并的，這是一個簡并微擾問題。
(1)(1)求本征能量
由久期方程H??EI?0得：
?E(1)00?E(1)0?0?E(1)?0
??E(1)?E(1)???2?0 2?? 20 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
解得：E(1)?0,??。記為：
(1)?0，E1(1)??? E1(1)???，E2故能級一級近似：
?E1?E0?E1(1)?2???(1)?E2?E0?E2?2?(1)E?E?E?2??303?簡并完全消除
(2)求解 0 級近似波函數(shù) 將E1(1)???代入方程，得：
??0?????0?0???0????由歸一化條件：
?c1???(c1?c3)??????c1??c3c?0?c?0 ???2????2?c2?0?c???(c?c)?13??3???c則ψ1(0)*1?c1??*?0?c1?0??2|c1|2?1取實解：c1?1
2??c??1???1?1????0?。
2????1?將E2?0代入方程，得：(1)?0??0???由歸一化條件：
0???00?00???c1???c3??????c2??0??0??0?c1?c3?0 ?c???c??3??1??0????0c2*0??c2??|c2|2?1取實解：c2?1
?0??? 21 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
則?2(0)?0?????1?。?0???(0)如法炮制，得?3?1?1????0?
2???1?
（三）討論
（1）新 0 級波函數(shù)的正交歸一性 1.正交性
對處理λ一次冪所帶來的系數(shù)公式
??E????]c???0[H????(1)n?1k(1)
取復共厄
?)[(H?????1k*(1)*?Enc???0 ????]??的厄米性，有 由于H??|n??*??n?|H???|n???)*??n?|H(H????|n???H???n?|H????E????]c???0 [H????(1)n*?1k
改記求和指標
???，???
(1)*??En??[H??????]c???0k(2)
??1由前知??E????]c???0[H????(1)n?1k(1)
k(1)?c????(2)?c?? ???*?1?1(1)*??E?]c??c?????[H????En???[H??????]c??c???0
(1)n???*kkkkk??1??1??1??1上式合起來可寫為 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
kk[E??E?]???c??c???0 ????(1)n(1)n*?1?1或[E(1)n?*?E]?c??c???0(1)n?k??1(1)(1)對于En??En?的根，k*c???0??c??(3)
??1(0)(1)(0)(1)對應于En??En?En?和En??En?En?的 0 級近似本征函數(shù)分別為：
kk|?(0)n????c??|n????1|?(0)n????c??|n??
??1??(0)n?|?(0)n?*????c??c???n?|n??kk??1??1kk**???c??c???????c??c???0k
??1??1??1利用了(3)式c??c???0。??*?1k上式表明，新 0 級近似波函數(shù)滿足正交條件。2.歸一性
由于新 0 級近似波函數(shù)應滿足歸一化條件，對于同一能量，即角標???，則上式變?yōu)椋?/p>
??(0)n?|?(0)n?*???c??c???1k(4)
??1Eq.(3)和Eq.(4)合記之為：
c??c????????*?1k(5)
(2)可以證明在新 0 級近似波函數(shù)?n??為基矢的 k 維子空間中，H’從而 H的矩陣形式是對角化的。
證：
(0)23 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
kk??(0)n???|?(0)????c*c?n?|H??|n??|Hn???????1??1kk???c???c??H??????c??c??H??**kk??1??1k*??1??1k
??c???E???c???E(1)n?k(1)n???1??1*c???c????1(1)?En????k第2－3步用到了（1）式
??E????]c???0。[H????(1)n?1上式最后一步利用了Eq.(5)關系式。所以 H’在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中是對角化的。
[證畢] 因為 H0在自身表象中是對角化的，所以在新0級近似波函數(shù)為基矢的表象中也是對角化的。當???時，上式給出如下關系式：
(1)(0)??(0)En????n?|H|?n??
也就是說，能量一級修正是 H’在新 0 級波函數(shù)中的平均值。這一結論也是預料之中的事。
求解簡并微擾問題，從本質上講就是尋找一么正變換矩陣 S，使 H’從而 H 對角化。求解久期方程和線性方程組就是尋找這一么正變換矩陣的方法。例如：前面講到的例 2
?200???H0??020??002????0?H???0???0???00?00?????1
應用簡并微擾論解得的新 0 級近似波函數(shù)是：
?1(0)?1?1????0?2????1?(0)?2?0?????1??0????3(0)?1?1????0?
2???1?這是新 0 級近似波函數(shù)在原簡并波函數(shù)?i，i = 1,2,3.為基矢所張開的子空間中的矩陣表示，即
????ci??i
(0)i?13 24 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
我們求解
?i?13??E?(1)?li)ci??0(Hlil?1,2,3
就是為了尋找一個么正變換 S，使原來的 H = H0 + H’ 在以?i為基矢的表象中的表示變到??(0)為基矢的表象中，從而使 H 對角化。
根據(jù)表象理論，若??(0)在以?i為基矢的表象中的形式由下式給出，?1(0)(0)?1?1????0?2????1?(0)?2?0?????1??0????3(0)?1?1????0?
2???1?則由?表象到?表象的么正變換矩陣為：
?1?2S??0???12?其逆矩陣為
010??0? 1??2?12?12~*??1?S?S?S??0??1?2H’從?表象到?(0)0?10??0? 1??2?12表象由下式給出：
??S?1H?SHS??????????0?1??00α??12????210??000??01??α00???10???2?2?????00?????000??00????120120101??2?0? 1?2??§10.3 變分法
微擾法求解問題的條件是體系的 Hamilton 量 H可分為兩部分
??H??H?? H0 25 量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
其中 H0 的本征值本征函數(shù)已知有精確解析解，而 H’很小。如果上面條件不滿足，微擾法就不適用。這時我們可以采用另一種近似方法—變分法。
（一）能量的平均值
（二）< H >與 E0 的偏差和
（三）如何選取試探波函數(shù)
（四）變分方法
（五）實例
（一）能量的平均值
設體系的 Hamilton 量 H 的本征值由小到大順序排列為：
試探波函數(shù)的關系
E0?E1?E2?......?En?......?0??1??2?......??n?......上式第二行是與本征值相應的本征函數(shù)，其中E0、?0?分別為基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。
為簡單計，假定H本征值是分立的，本征函數(shù)組成正交歸一完備系，即
???H|?n??En|?n????|?n???n|?1?n????m|?n???mnn?0,1,2,?
設??是任一歸一化的波函數(shù)，在此態(tài)中體系能量平均值：
?|????H?，則必有E?E E?H???|H0證： 插入單位算符?|?nn???n|?1，則
?|?????|H?|????|??E?H???|H?nnn??En??|?n???n|??n
?E0???|?n???n|???E0??|???E0n即H?E0。
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
這個不等式表明，用任意波函數(shù)??計算出的平均值
若??未歸一化，則
?|????|HH??E0
??|??基于上述基本原理，我們可以選取很多波函數(shù): ??: ?(1)?，?(2)?，…，?(k)?，…稱為試探波函數(shù)，來計算
H?H1,H2,??Hk
其中最小的一個就最接近基態(tài)能量 E0，即
Min[H1,H2,??Hk]?E0
如果選取的試探波函數(shù)越接近基態(tài)波函數(shù)，則 H 的平均值就越接近基態(tài)能量 E0。這就為我們提供了一個計算基態(tài)能量本征值近似值的方法。
使用此方法求基態(tài)能量近似值還需要解決以下兩個問題：（1）試探波函數(shù)??與?0?之間的偏差和平均值（2）如何尋找試探波函數(shù)。
（二）< H >與 E0 的偏差和試探波函數(shù)的關系
由上面分析可以看出，試探波函數(shù)越接近基態(tài)本征函數(shù)，
.那末，由于試探波函數(shù)選取上的偏差????0?會引起[
為了討論這個問題，我們假定已歸一化的試探波函數(shù)為：
< H > 與 E0之間偏差的關系；
|???|?0???|????|???1
其中?是一常數(shù)，??是任一波函數(shù)，滿足?0?所滿足的同樣的邊界條件。顯然|??有各種各樣的選取方式，通過引入?|??就可構造出在?0?附近的有任意變化的試探波函數(shù)。能量偏差：
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
??E|???H??E0???|H0??E???0|??*??|H0???|?0???|?????E|??????|H??E|?? ???0|H0000??E|???|?|2??|H??E|????*??|H000??E|???|?|2??|H0?|???E|??）（利用了Hnnn可見，若?是一小量，即波函數(shù)偏差????0??|??
是一階小量，那末
??E|?? ?H??E0?|?|2??|H0是二階小量。
這也就是說，? 是小量，??與?0?很接近，則< H >與 E0更接近。當且僅當????0?時，才有< H > = E0。
[結論] 上述討論表明，對本征函數(shù)附近的一個任意小的變化，本征能量是穩(wěn)定的。因此，我們選取試探波函數(shù)的誤差不會使能量近似值有更大的誤差。
（三）如何選取試探波函數(shù)
試探波函數(shù)的好壞直接關系到計算結果，但是如何選取試探波函數(shù)卻沒有一個固定可循的法則，通常是根據(jù)物理上的知覺去猜測。
（1）根據(jù)體系 Hamilton 量的形式和對稱性推測合理的試探波函數(shù)；（2）試探波函數(shù)要滿足問題的邊界條件；
（3）為了有選擇的靈活性，試探波函數(shù)應包含一個或多個待調整的參數(shù)，這些參數(shù)稱為變分參數(shù)；
（4）若體系Hamilton量可分成兩部分H=H0+ H1，而H0 的本征函數(shù)已知有解析解，則該解析解可作為體系的試探波函數(shù)。
例：一維簡諧振子試探波函數(shù) 一維簡諧振子Hamilton 量：
22?d???H?1??2x2 222?dx其本征函數(shù)是：
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
?n(x)?Nne??22x/2Hn(?x)
下面我們根據(jù)上面所述原則構造試探波函數(shù)。方法 I：
試探波函數(shù)可寫成：
?c(?2?x2)?(x)???0|x|??
|x|??顯然，這不是諧振子的本征函數(shù)，但是它是合理的。
1.因為諧振子勢是關于 x = 0 點對稱的，我們的試探波函數(shù)也是關于 x = 0 點對稱的； 2.滿足邊界條件，即當|x| →∞ 時，ψ→ 0； 3.含有一個待定的λ參數(shù)。方法 II:
亦可選取如下試探波函數(shù)：
?(x)?Ae??x2
A ——歸一化常數(shù)，? 是變分參量。這個試探波函數(shù)比第一個好，因為 1.?(x)是光滑連續(xù)的函數(shù)；
2.關于 x = 0 點對稱，滿足邊界條件，即當 |x|→∞ 時，ψ→ 0；
3.?(x)是高斯函數(shù)，高斯函數(shù)有很好的性質，可作解析積分，且有積分表可查。
（四）變分方法
有了試探波函數(shù)后，我們就可以計算< H >
?|???H????|H
????(?)|H|?(?)???H(?)??H(?)能量平均值是變分參數(shù)λ的函數(shù)，欲使< H(λ)>取最小值，則要求：
dH(?)d?H(?)???0 d?d?上式就可定出試探波函數(shù)中的變分參量λ取何值時
（五）實例
對一維簡諧振子試探波函數(shù)，前面已經(jīng)給出了兩種可能的形式。下面我們就分別使用這兩種試探波函數(shù)，應用變分法求解諧振子的基態(tài)近似能量和近似波函數(shù)。
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
方法I 使用第一種試探波函數(shù)：
?c(?2?x2)?(x)???01.首先定歸一化系數(shù)
|x|??
|x|?????c????????????*?dx?1
?????*?dx??0?0dx??c2(?2?x2)2dx??0?0dx??2?15?5?。16??0165c(??x)dx?c??11522222
2.求能量平均值
H(?)????2??dx?*H?22??2d2122??c?(??x)?????x?(?2?x2)dx22???2?dx? 2?222??2222?1?c?(??x)??2??x(??x)?dx?????5?2?21?????2?24?143.變分求極值
dH(?)5?2?31??????2??0 d?2?7??2?35?。
2??代入上式得基態(tài)能量近似值為：
5?2H?4?2??135?5???2????0.5976
35?142??141???0.5??，比較二式可以看出，近似結果還2我們知道一維諧振子基態(tài)能量 E0?不太壞。
方法II 使用第二種試探波函數(shù)：
1.對第二種試探波函數(shù)定歸一化系數(shù)：
?(x)?Ae??x
2量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
1???(x)*?(x)dx?|A|???2????e?2?x2dx?|A|2? 2??|A|2?2??。
2.求能量平均值
H(?)?????2??dx?|A|2?*H???x2????2?e??x2dxe??xH2222??x2d?1?|A|?e[????x]edx??2?dx2222 ??2?2?x221222?2?x2?2??|A|??edx?|A|[????]?xedx?????2??|A|2?2??2?221212?|A|[????]2?2?4??2?帶入|A|?22??，得
?21H(?)?????2??1
2?83.變分求極值
dH(?)?21????2??2?0 d?2?8???1??2??1，?? 2???代入上式得基態(tài)能量近似值為：
?21??12?1H????2???
2?2?8??2這正是精確的一維諧振子基態(tài)能量。這是因為若將
??代入試探波函數(shù)，得：
1?? 2??(x)?Ae??x2???????????1/4e???x2/2???0(x)
量子力學 主講：孟慶田 使用教材：曾謹言《量子力學導論》
正是一維諧振子基態(tài)波函數(shù)。此例之所以得到了正確的結果，是因為我們在選取試探波函數(shù)時要盡可能的通過對體系物理特性（Hamilton量性質）的分析，構造出物理上合理的試探波函數(shù)。
作業(yè)
p309 10.1、10.3、10.6 32
第二篇：量子力學導論第4章答案
第四章
力學量用算符表達與表象變換
4.1）設與為厄米算符，則和也是厄米算符。由此證明，任何一個算符均可分解為，與均為厄米算符，且
證：?。?/p>
為厄米算符。
ⅱ）
也為厄米算符。
ⅲ）令，則，且定義
（1）
由?。?，ⅱ）得，即和皆為厄米算符。
則由（1）式，不難解得
4.2）設是的整函數(shù)，證明
整函數(shù)是指可以展開成。
證：
（1）先證。
同理，現(xiàn)在，而。
又
而
4.3）定義反對易式，證明
證：
4.4）設，為矢量算符，和的標積和矢積定義為，為Levi-civita符號，試驗證
（1）
（2）
（3）
證：
（1）式左端
（1）式右端也可以化成。
（1）式得證。
（2）式左端
（）
（2）式右端
故（2）式成立。
（3）式驗證可仿（2）式。
4.5）設與為矢量算符，為標量算符，證明
（1）
（2）
證：（1）式右端
（1）式左端
（2）式右端
（2）式左端
4.6）設是由，構成的標量算符，證明
（1）
證：
（2）
（3）
同理可證，（4）
（5）
將式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得證。
4.7）證明。
證：
利用基本對易式
即得。
因此
其次，由于和對易，所以
因此，4.8）證明
（1）
（2）
（3）
（4）
證:
（1）利用公式，有
其中
因此
（2）利用公式，（Δ）
可得
①
②
③
由①②③，則（2）得證。
（3）
（4）就此式的一個分量加以證明，由4.4）（2），其中
（即）
類似地。可以得到分量和分量的公式，故（4）題得證。
4.9）定義徑向動量算符
證明：，，證：，即為厄米算符。
據(jù)4.8）（1）。
其中，因而
以左乘上式各項，即得
4.10)利用測不準關系估算諧振子的基態(tài)能量。
解：一維諧振子能量。
又奇，，（由(3.8)、(3.9)題可知），由測不準關系，得。，得
同理有。
諧振子（三維）基態(tài)能量。
4.11)
利用測不準關系估算類氫原子中電子的基態(tài)能量。
解：類氫原子中有關電子的討論與氫原子的討論十分相似，只是把氫原子中有關公式中的核電荷數(shù)換成（為氫原子系數(shù)）而理解為相應的約化質量。故玻爾軌跡半徑，在類氫原子中變?yōu)椤?/p>
類氫原子基態(tài)波函數(shù)，僅是的函數(shù)。
而，故只考慮徑向測不準關系，類氫原子徑向能量為：。
而，如果只考慮基態(tài)，它可寫為，與共軛，于是，（1）
求極值
由此得（：玻爾半徑；：類氫原子中的電子基態(tài)“軌跡”半徑）。代入（1）式，得
基態(tài)能量，運算中做了一些不嚴格的代換，如，作為估算是允許的。
4.12)證明在分立的能量本征態(tài)下動量平均值為0。
證：設定態(tài)波函數(shù)的空間部分為，則有
為求的平均值，我們注意到坐標算符與的對易關系：。
這里已用到最基本的對易關系，由此
這里用到了的厄米性。
這一結果可作一般結果推廣。如果厄米算符可以表示為兩個厄米算符和的對易子，則在或的本征態(tài)中，的平均值必為0。
4.13）證明在的本征態(tài)下。
（提示：利用，求平均。）
證：設是的本征態(tài)，本征值為，即，同理有：。
4.14)
設粒子處于狀態(tài)下，求和
解：記本征態(tài)為，滿足本征方程，，利用基本對易式，可得算符關系
將上式在態(tài)下求平均，因作用于或后均變成本征值，使得后兩項對平均值的貢獻互相抵消，因此
又
上題已證。
同理。
4.15)設體系處于狀態(tài)（已歸一化，即），求
（a）的可能測值及平均值;
（b）的可能測值及相應的幾率；
（c）的可能測值及相應的幾率。
解：，。
（a）由于已歸一化，故的可能測值為，0，相應的幾率為。平均值。
（b）的可能測值為，相應的幾率為。
（c）若，不為0，則（及）的可能測值為：，0。
1）在的空間，對角化的表象中的矩陣是
求本征矢并令，則，得，。
?。┤?，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。
ⅱ）取，得，本征矢為，歸一化后可得本征矢為。
ⅲ）取，得，歸一化后可得本征矢為。
在態(tài)下，取的振幅為，取的幾率為；取的振幅為，相應的幾率為；
取的振幅為，相應的幾率為。總幾率為。
2）在的空間，對角化表象中的矩陣
利用，。，本征方程，，。
?。?，，本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；
ⅱ），，，本征矢為。在態(tài)下，測得的振幅為，幾率為。
ⅲ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得幾率為。
ⅳ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得的振幅為。幾率為；
ⅴ），，，本征矢為，在態(tài)下，測得的幾率為。
在態(tài)中，測（和）的可能值及幾率分別為：
4.16）設屬于能級有三個簡并態(tài)，和，彼此線形獨立，但不正交，試利用它們構成一組彼此正交歸一的波函數(shù)。
解：，。
是歸一化的。。
它們是正交歸一的，但仍然是簡并的（可驗證：它們仍對應于同一能級）。
4.17）設有矩陣等，證明，，，表示矩陣相應的行列式得值，代表矩陣的對角元素之和。
證：（1）由定義，故上式可寫成：，其中是的任意一個置換。
（2）
（3）
（4）
（5）
第三篇：量子力學導論第3章參考答案
第三章一維定態(tài)問題
3.1）設粒子處在二維無限深勢阱中，求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如，能級的簡并度如何？
解：能量的本征值和本征函數(shù)為
若，則
這時，若，則能級不簡并;若，則能級一般是二度簡并的（有偶然簡并情況，如與）
3.2）設粒子限制在矩形匣子中運動，即
求粒子的能量本征值和本征波函數(shù)。如，討論能級的簡并度。
解：能量本征值和本征波函數(shù)為,當時，時，能級不簡并；
三者中有二者相等，而第三者不等時，能級一般為三重簡并的。
三者皆不相等時，能級一般為6度簡并的。
如
3.3）設粒子處在一維無限深方勢阱中，證明處于定態(tài)的粒子
討論的情況，并于經(jīng)典力學計算結果相比較。
證：設粒子處于第n個本征態(tài)，其本征函數(shù)
.（1）
（2）
在經(jīng)典情況下，在區(qū)間粒子除與阱壁碰撞（設碰撞時間不計，且為彈性碰撞，即粒子碰撞后僅運動方向改變，但動能、速度不變）外，來回作勻速運動，因此粒子處于范圍的幾率為，故，（3），（4）
當時，量子力學的結果與經(jīng)典力學結果一致。
3.4）設粒子處在一維無限深方勢阱中，處于基態(tài)，求粒子的動量分布。
解：基態(tài)波函數(shù)為,（參P57，（12））
動量的幾率分布
3.5）設粒子處于半壁高的勢場中
（1）
求粒子的能量本征值。求至少存在一條束縛能級的體積。
解：分區(qū)域寫出:
（2）
其中
（3）
方程的解為
（4）
根據(jù)對波函數(shù)的有限性要求，當時，有限，則
當時，則
于是
（5）
在處，波函數(shù)及其一級導數(shù)連續(xù)，得
（6）
上兩方程相比，得
（7）
即
（7’）
若令
（8）
則由（7）和（3），我們將得到兩個方程：
（10）式是以為半徑的圓。對于束縛態(tài)來說，結合（3）、（8）式可知，和都大于零。（10）式表達的圓與曲線在第一象限的交點可決定束縛態(tài)能級。當，即，亦即
（11）
時，至少存在一個束縛態(tài)能級。這是對粒子質量，位阱深度和寬度的一個限制。
3—6）求不對稱勢阱中粒子的能量本征值。
解：僅討論分立能級的情況，即，當時，故有
由在、處的連續(xù)條件，得
（1）
由（1a）可得
（2）
由于皆為正值，故由（1b），知為二，四象限的角。
因而
（3）
又由（1），余切函數(shù)的周期為，故由(2)式，(4)
由(3)，得
(5)
結合(4),(5)，得
或
（6）
一般而言，給定一個值，有一個解，相當于有一個能級：
（7）
當時，僅當
才有束縛態(tài)，故給定時，僅當
（8）
時才有束縛態(tài)（若，則無論和的值如何，至少總有一個能級）
當給定時，由(7)式可求出個能級（若有個能級的話）。相應的波函數(shù)為:
其中
3—7）設粒子（能量）從左入射，碰到下列勢阱（圖），求阱壁處的反射系數(shù)。
解：勢阱為
在區(qū)域Ⅰ上有入射波與反射波，在區(qū)域Ⅱ上僅有透射波。故
由，得。
由，得。
從上二式消去c,得。
反射系數(shù)
將代入運算，可得
3—8）利用Hermite多項式的遞推關系（附錄A3。式（11）），證明
諧振子波函數(shù)滿足下列關系
并由此證明，在態(tài)下，證：諧振子波函數(shù)
（1）
其中，歸一化常數(shù)
（2）的遞推關系為
（3）
3—9）利用Hermite多項式的求導公式。證明（參A3.式（12））
證：A3.式（12）：
3—10）諧振子處于態(tài)下，計算，解：由題3—6），由題3—7），對于基態(tài)，剛好是測不準關系所規(guī)定的下限。
3—11）荷電q的諧振子，受到外電場的作用，（1）
求能量本征值和本征函數(shù)。
解：
（2）的本征函數(shù)為，本征值
現(xiàn)將的本征值記為，本癥函數(shù)記為。
式（1）的勢能項可以寫成其中
（3）
如作坐標平移，令
（4）
由于
（5）
可表成（6）
（6）式中的與（2）式中的相比較，易見和的差別在于變量由換成，并添加了常數(shù)項，由此可知
（7）
（8）
即
（9）
(10)
其中
(11)
3—12）設粒子在下列勢阱中運動，求粒子能級。
解：既然粒子不能穿入的區(qū)域，則對應的S.eq的本征函數(shù)必須在處為零。另一方面，在的區(qū)域，這些本征函數(shù)和諧振子的本征函數(shù)相同（因在這個區(qū)域，粒子的和諧振子的完全一樣，粒子的波函數(shù)和諧振子的波函數(shù)滿足同樣的S.eq）。振子的具有的奇宇稱波函數(shù)在處為零，因而這些波函數(shù)是這一問題的解（的偶宇稱波函數(shù)不滿足邊條件）所以
3—13）設粒子在下列勢阱中運動，(1)
是否存在束縛定態(tài)？求存在束縛定態(tài)的條件。
解：S.eq:
(2)
對于束縛態(tài)（），令
(3)
則
(4)
積分，得躍變的條件
(5)
在處，方程(4)化為
(6)
邊條件為
因此
(7)
再根據(jù)點連續(xù)條件及躍變條件(5)，分別得
(8)
(9)
由（8）（9）可得（以乘以（9）式，利用（8）式）
(10)
此即確定能級的公式。下列分析至少存在一條束縛態(tài)能級的條件。
當勢阱出現(xiàn)第一條能級時，所以,利用,（10）式化為,因此至少存在一條束縛態(tài)能級的條件為
（11）
純勢阱中存在唯一的束縛能級。當一側存在無限高勢壘時，由于排斥作用（表現(xiàn)為，對）。束縛態(tài)存在與否是要受到影響的。純勢阱的特征長度。
條件（11）可改寫為
（12）
即要求無限高勢壘離開勢阱較遠（）。才能保證勢阱中的束縛態(tài)能存在下去。顯然，當（即），時，左側無限高勢壘的影響可以完全忽略，此時，式（10）給出
即
（13）
與勢阱的結論完全相同。
令，則式（10）化為
（14）
由于，所以只當時，式（10）或（14）才有解。解出根之后，利用，即可求出能級
（15）
第四篇：量子力學導論第2章答案
第二章
波函數(shù)與Schr?dinger方程
2.1設質量為的粒子在勢場中運動。
（a）證明粒子的能量平均值為，（能量密度）
（b）證明能量守恒公式
（能流密度）
證：（a）粒子的能量平均值為（設已歸一化）
（1）
（勢能平均值）
（2）
其中的第一項可化為面積分，而在無窮遠處歸一化的波函數(shù)必然為。因此
（3）
結合式（1）、（2）和（3），可知能量密度
（4）
且能量平均值。
（b）由（4）式，得
（：幾率密度）
（定態(tài)波函數(shù)，幾率密度不隨時間改變）
所以。
2.2考慮單粒子的Schr?dinger方程
（1）
與為實函數(shù)。
（a）證明粒子的幾率（粒子數(shù)）不守恒。
（b）證明粒子在空間體積內的幾率隨時間的變化為
證：（a）式（1）取復共軛，得
（2）
（1）-（2）,得
（3）
即，此即幾率不守恒的微分表達式。
（b）式（3）對空間體積積分，得
上式右邊第一項代表單位時間內粒子經(jīng)過表面進入體積的幾率（），而第二項代表體積中“產(chǎn)生”的幾率，這一項表征幾率（或粒子數(shù)）不守恒。
2.3
設和是Schr?dinger方程的兩個解，證明。
證：
（1）
（2）
?。?）之復共軛：
（3）
（3）（2）,得
對全空間積分：，（無窮遠邊界面上，）
即。
2.4）設一維自由粒子的初態(tài)，求。
解：
2.5
設一維自由粒子的初態(tài)，求。
提示：利用積分公式
或。
解：作Fourier變換：，（）
（指數(shù)配方）
令，則。
2.6
設一維自由粒子的初態(tài)為，證明在足夠長時間后，式中
是的Fourier變換。
提示：利用。
證：根據(jù)平面波的時間變化規(guī)律，任意時刻的波函數(shù)為
（1）
當時間足夠長后（所謂），上式被積函數(shù)中的指數(shù)函數(shù)具有函數(shù)的性質，取，（2）
參照本題的解題提示，即得
（3）
（4）
物理意義：在足夠長時間后，各不同k值的分波已經(jīng)互相分離，波群在處的主要成分為，即，強度，因子描述整個波包的擴散，波包強度。
設整個波包中最強的動量成分為，即時最大，由（4）式可見，當足夠大以后，的最大值出現(xiàn)在處，即處，這表明波包中心處波群的主要成分為。
2.7
寫出動量表象中的不含時Schr?dinger方程。
解：經(jīng)典能量方程。
在動量表象中，只要作變換，所以在動量表象中，Schr?dinger為：。
第五篇：量子力學導論第1章答案
第一章
量子力學的誕生
1.1設質量為m的粒子在一維無限深勢阱中運動，試用de
Broglie的駐波條件，求粒子能量的可能取值。
解：據(jù)駐波條件，有
（1）
又據(jù)de
Broglie關系
（2）
而能量
（3）
1.2設粒子限制在長、寬、高分別為的箱內運動，試用量子化條件求粒子能量的可能取值。
解：除了與箱壁碰撞外，粒子在箱內作自由運動。假設粒子與箱壁碰撞不引起內部激發(fā)，則碰撞為彈性碰撞。動量大小不改變，僅方向反向。選箱的長、寬、高三個方向為軸方向，把粒子沿軸三個方向的運動分開處理。利用量子化條件，對于x方向，有
即
（：一來一回為一個周期）,同理可得，，粒子能量
1.3設質量為的粒子在諧振子勢中運動，用量子化條件求粒子能量E的可能取值。
提示：利用
解：能量為E的粒子在諧振子勢中的活動范圍為
（1）
其中由下式?jīng)Q定：。
0
由此得，（2）
即為粒子運動的轉折點。有量子化條件
得
（3）
代入（2），解出
（4）
積分公式：
1.4設一個平面轉子的轉動慣量為I，求能量的可能取值。
提示：利用
是平面轉子的角動量。轉子的能量。
解：平面轉子的轉角（角位移）記為。
它的角動量（廣義動量），是運動慣量。按量子化條件，因而平面轉子的能量，
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