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      量子力學導論第5章答案

      2021-11-11 18:40:00下載本文作者:會員上傳
      簡介:寫寫幫文庫小編為你整理了這篇《量子力學導論第5章答案》,但愿對你工作學習有幫助,當然你在寫寫幫文庫還可以找到更多《量子力學導論第5章答案》。

      第五章

      力學量隨時間的變化與對稱性

      5.1)設力學量不顯含,為本體系的Hamilton量,證明

      證.若力學量不顯含,則有,令

      則,5.2)設力學量不顯含,證明束縛定態(tài),證:束縛定態(tài)為::。

      在束縛定態(tài),有。

      其復共軛為。

      5.3)表示沿方向平移距離算符.證明下列形式波函數(shù)(Bloch波函數(shù)),是的本征態(tài),相應的本征值為

      證:,證畢。

      5.4)設表示的本征態(tài)(本征值為),證明

      是角動量沿空間方向的分量的本征態(tài)。

      證:算符相當于將體系繞軸轉角,算符相當于將體系繞軸轉角,原為的本征態(tài),本征值為,經(jīng)過兩次轉動,固定于體系的坐標系(即隨體系一起轉動的坐標系)的軸(開始時和實驗室軸重合)已轉到實驗室坐標系的方向,即方向,變成了,即變成了的本征態(tài)。本征值是狀態(tài)的物理屬性,不受坐標變換的影響,故仍為。(還有解法二,參

      錢..《剖析》.P327)

      5.5)設Hamilton量。證明下列求和規(guī)則。

      是的一個分量,是對一切定態(tài)求和,是相應于態(tài)的能量本征值。

      證:

      ()

      又。

      不難得出,對于分量,亦有同樣的結論,證畢。

      5.6)設為厄米算符,證明能量表象中求和規(guī)則為

      (1)

      證:式(1)左端

      (2)

      計算中用到了公式。

      由于是厄米算符,有下列算符關系:

      (3)

      式(2)取共軛,得到

      (4)

      結合式(2)和(4),得

      證畢。

      5.7)證明schr?dinger方程變換在Galileo變換下的不變性,即設慣性參照系的速度相對于慣性參照系運動(沿軸方向),空間任何一點

      兩個參照系中的坐標滿足下列關系:。

      (1)

      勢能在兩個參照系中的表示式有下列關系

      (2)

      證明schr?dinger方程在參照系中表為

      在參照系中表為

      其中

      證:由波函數(shù)的統(tǒng)計解釋,和的意義完全相同。,是時刻在點找到粒子的幾率密度;,是時刻在點找到粒子的幾率密度。

      但是在給定時刻,給定地點發(fā)現(xiàn)粒子的幾率應與參照系的選擇無關,所以相應的幾率應相等,即

      (6)

      從(1)式有

      (6’)

      由此可以得出,和兩個波函數(shù)彼此只應差絕對值為1的相因子,所以

      (7)

      (7)

      由(1)式,,(3)式變?yōu)椋?/p>

      (8)

      將(7’)代入(8)式,可得

      (9)

      選擇適當?shù)?,使得?)(4)。

      (10)

      (10’)

      從(10)可得。

      (11)

      是的任意函數(shù),將(11)代入(10’),可得

      積分,得。

      為積分常數(shù),但時,系和系重合,應等于,即應等于,故應取,從而得到

      (12)

      代入(7’)式,最后得到波函數(shù)的變換規(guī)律:

      (13)

      逆變換為

      (13’)

      相當于式(13)中的,帶的量和不帶的量互換。

      討論:的函數(shù)形式也可用下法求出:

      因和勢能無關,所以只需要比較平面波(自由粒子)在和系中的表現(xiàn)形式,即可確定.沿方向運動的自由粒子,在伽利略變換下,動量、能量的變換關系為

      (14)

      據(jù)此,系和系中相應的平面波波函數(shù)為,(15)

      (1)、(14)代入(15),即得

      此即(13)式,由于這個變換關系僅取決于和系的相對速度,而與粒子的動量無關,所以上式適用于任何自由粒子。它正是所求的變換關系。

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