第一篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例設(shè)計(jì)

12、任意角的三角函數(shù)（1）

一、教學(xué)內(nèi)容分析：

高一年《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)教科書·數(shù)學(xué)（必修4）》（人教版A版）第12頁1.2.1任意角的三角函數(shù)第一課時。

本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里最重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義。在《課程標(biāo)準(zhǔn)》中：三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用?！墩n程標(biāo)準(zhǔn)》還要求我們借助單位圓去理解任意角的三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。在本模塊中，學(xué)生將通過實(shí)例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的問題中的作用。

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

我們的課堂教學(xué)常用“高起點(diǎn)、大容量、快推進(jìn)”的做法，忽略了知識的發(fā)生發(fā)展過程，以騰出更多的時間對學(xué)生加以反復(fù)的訓(xùn)練，無形增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān)，泯滅了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。我們雖然刻意地去改變教學(xué)的方式，但仍太多舊時的痕跡，若為了新課程而新課程又會使得美景變成了幻影，失去新課程自然與清純之味。所以如何進(jìn)行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》(以下簡稱課程標(biāo)準(zhǔn))的教學(xué)設(shè)計(jì)就很值得思考探索。如何讓學(xué)生把對初中銳角三角函數(shù)的定義及解直角三角形的知識遷移到學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)的定義中？ 《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))解讀》中在三角函數(shù)的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注以下兩點(diǎn)：

第一、根據(jù)學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)豐富的情境，例如單調(diào)彈簧振子，圓上一點(diǎn)的運(yùn)動，以及音樂、波浪、潮汐、四季變化等實(shí)例，使學(xué)生感受周期現(xiàn)象的廣泛存在，認(rèn)識周期現(xiàn)象的變化規(guī)律，體會三角函數(shù)是刻畫周期現(xiàn)象的重要模型以及三角函數(shù)模型的意義。第二、注重三角函數(shù)模型的運(yùn)用即運(yùn)用三角函數(shù)模型刻畫和描述周期變化的現(xiàn)象（周期振蕩現(xiàn)象），解決一些實(shí)際問題，這也是《課程標(biāo)準(zhǔn)》在三角函內(nèi)容處理上的一個突出特點(diǎn)。

根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的指導(dǎo)思想，任意角的三角函數(shù)的教學(xué)應(yīng)該幫助學(xué)生解決好兩個問題：

其一：能從實(shí)際問題中識別并建立起三角函數(shù)的模型；

其二：借助單位圓理解任意角三角函數(shù)的定義并認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號。

三、設(shè)計(jì)理念：

本節(jié)課通過多媒體信息技術(shù)展示摩天輪旋轉(zhuǎn)及生成的圖像，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活，數(shù)學(xué)應(yīng)用于生活，激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)的樂趣。并通過問題的探究，體驗(yàn)“數(shù)學(xué)是過程的思想”，改變課程實(shí)施過程于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)，死記硬背，機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動參與，樂于探究，勤于動手，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)生收集和處理信息的能力，獲得新知識的能力，分析與解決問題的能力以及交流合作的能力。

四、教學(xué)目標(biāo)：

1.借助摩天輪的情景問題很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，從通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角的三角函數(shù)的定義； 2.從任意角的三角函數(shù)的定義認(rèn)識其定義域、函數(shù)值的符號； 3.能初步應(yīng)用定義分析和解決與三角函數(shù)值有關(guān)的一些簡單問題。

五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

1.教學(xué)重點(diǎn)：任意角三角函數(shù)的定義.

P2.教學(xué)難點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.OA圖1 具體設(shè)計(jì)如下：

六、教學(xué)過程

第一部分——情景引入

問題1:如圖是一個摩天輪，假設(shè)它的中心離地面的高度為ho，它的直徑為2R，逆時針方向勻速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動一周需要360秒，若現(xiàn)在你坐在座艙中，從初始位置OA出發(fā)（如圖1所示），過了30秒后，你離地面的高度h為多少？過了45秒呢？過了t秒呢？

【設(shè)計(jì)意圖】：高中學(xué)生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗(yàn)和一定的科學(xué)知識，因此選擇感興趣的、與其生活實(shí)際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計(jì)應(yīng)該有助于學(xué)生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解。這個數(shù)學(xué)模型很好融合初中對三角函數(shù)的定交，也能放在直角坐標(biāo)系中，很好地將銳角三角函數(shù)的定義向任意角三角函數(shù)過渡，揭示函數(shù)的本質(zhì)。

第二部分——復(fù)習(xí)回顧銳角三角函數(shù)

讓學(xué)生自主思考如何解決問題：“過了30秒后，你離地面的高度為多少？”

【分析】：作圖如圖2很容易知道：從起始位置OA運(yùn)動30秒后到達(dá)P點(diǎn)位置，由題意知?AOP?300，作PH垂直地面交OA于M，又知MH＝ho，所以本問題轉(zhuǎn)變成求PH再次轉(zhuǎn)變?yōu)榍驪M。要求PM就是回到初中所學(xué)的解直角三角形的問題即銳角的三角函數(shù)。

問題2：銳角?的正弦函數(shù)如何定義？ 【學(xué)生自主探究】：學(xué)生很容易得到

sin??|MP||MP|??|MP|?Rsin??|PH|?h0?Rsin? |OP|R圖2 POMABNHPOaM?h?h0?Rsin?

所以學(xué)生很自然得到“過了30秒后，過了45秒,你離地面的高度h為多少？”

h1?h0?Rsin300 h2?h0?Rsin450

Y【教師總結(jié)】：t在銳角的范圍中，0POMAXh?h0?Rsint0

第三部分——引入新課

問題3：請問t的范圍呢？隨著時間的推移，你離地面的高度h為多少？能不能猜想h?h0?Rsint0？

B【分析】：若想做到這一點(diǎn)，就得把銳角的正弦推廣到任意角的正弦。今天我們就要來學(xué)習(xí)任意角的三函數(shù)角函數(shù)。

問題4：如圖建立直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P(xP,yP)，能你用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來表示銳角?的正弦函數(shù)的定義嗎？能否也定義其它函數(shù)（余弦、正切）？

【學(xué)生自主探究】：sin??|MP|yP? R|OP|cos??|MP|yP|OM|xP?，tan?? ?|OM|xP|OP|R問題5：改變終邊上的點(diǎn)的位置，這三個比值會改變嗎？為什么？ 【分析】：先由學(xué)生回答問題，教師再引導(dǎo)學(xué)生選幾個點(diǎn)，計(jì)算比值，獲得具體認(rèn)識，并由相似三角形的性質(zhì)證明。

【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生深刻理解體會三角函數(shù)值不會隨著終邊上的點(diǎn)的位置的改變而改變，只與角有關(guān)系。

通過摩天輪的演示，讓學(xué)生感受到第一象限角的正弦可以跟銳角正弦的定義一樣。

問題6：大家根據(jù)第一象限角的正弦函數(shù)的定義，能否也給出第二象限角的定義呢？

【學(xué)生自主探究】：學(xué)生通過上面已知知識得到sin??|MP|yP? R|OP|PxyO學(xué)生定義好第二象限角后，讓學(xué)生自己算出摩天輪座艙在第150秒時，離地面的高度h？

通過摩天輪知道：h?h0?Rsin1500?h1?h0?Rsin300 由此得到：sin1500?

|MP|yP?在第二R|OP|12圖3【設(shè)計(jì)意圖】：通過這個，讓學(xué)生檢驗(yàn)sin??象限角是否正確？

問題7：sin??|MP|在第三象限角或第四象限能成立嗎？ |OP|【設(shè)計(jì)意圖】：讓學(xué)生通過模型，檢驗(yàn)定義是否正確，從中讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)正、負(fù)符號的偏差。（可以讓學(xué)生取t?210，從而h?h0?Rsin2100,得到sin2100＝?，發(fā)現(xiàn)這與sin??|MP|?|MP|不相符，實(shí)際上是sin??）|OP||OP|12【教師總結(jié)】：我們通過個模型知道如何在某些范圍內(nèi)如何計(jì)算自已此時離地面的高度，用數(shù)學(xué)模型h?h0?Rsint0來表示，當(dāng)摩天輪轉(zhuǎn)動，角度的概念也不知不覺地推廣到任意角，對于任意角的正弦不能只是依賴于角所在的直角三角形中的對邊的長度比斜邊長度了，我更應(yīng)該用點(diǎn)P的橫坐標(biāo)來代替|MP|或?|MP|，那么這樣就能夠很好表示出正弦的函數(shù)任意角的定義。

第三部分——給出任意角三角函數(shù)的定義

如圖3,已知點(diǎn)P(x,y)為角?終邊上的點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)O的距離為R，則

sin??y（??R）Rx（??R）Ry?（???k?）x2cos??tan??【分析】：讓學(xué)生通過剛才的模型進(jìn)一步體驗(yàn)任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離。

問題8：當(dāng)摩天輪的半徑R＝1時，三角函數(shù)的定義會發(fā)生怎樣的變化。

【學(xué)生自主探究】：sin??y，cos??x，tan??y。x教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行對比，學(xué)生通過對比發(fā)現(xiàn)取到原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)可以使表達(dá)式簡化。教師進(jìn)一步給出單位圓的定義 給出下列表格，讓學(xué)生自己補(bǔ)充完整。三角函數(shù) 定義一：|OP|?1

定義二：

|OP|?R

定義域

sin?

y

y Rx R??R

cos? x

y x??R

?2tan?

y x???k?

及時歸納總結(jié)有利學(xué)生對所學(xué)知識的鞏固和掌握。第三部分——例題講解

例1.（課本P14例2）已知角?終邊經(jīng)過點(diǎn)P0(?3,?4)，求角?的正弦、余弦和正切值。

【分析】：讓學(xué)生現(xiàn)學(xué)現(xiàn)賣，得用上面的定義二就可以得到答案。

例2.（課本P14例1）求

5?的正弦、余弦和正切值。3【學(xué)生自主探究】：讓學(xué)生自己思考并獨(dú)立完成。然后與課本的解答相對比一下，發(fā)現(xiàn)本題的難點(diǎn)。

【教師講解】：本題題意很簡單，但是如何入手卻是難點(diǎn)，關(guān)鍵是對本節(jié)課的三角函數(shù)定義的要點(diǎn)有沒有領(lǐng)會清楚（任意角三角函數(shù)的定義要點(diǎn)：點(diǎn)、點(diǎn)的坐標(biāo)、點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離），因此本題的重點(diǎn)之處是如何利

PMOxy圖4用單位圓找到這個點(diǎn)P，如圖4可以知道?POM?象限，得到P(,?12?3，又點(diǎn)P在第四

3)，這樣就可以很容易得到本題答案。2不妨讓學(xué)生取R?|OP|?4，能否也得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到的三角函數(shù)值是否與單位圓的一樣。這樣可以讓學(xué)生更深刻體驗(yàn)三角函數(shù)的定義。

第四部分——鞏固練習(xí)練習(xí)1.例2變式求

7?的正弦、余弦和正切值。6練習(xí)2.問題9：通過觀察摩天輪的旋轉(zhuǎn)，三角函數(shù)的角的終邊所在象限不同，請說說三角函數(shù)在各個象限內(nèi)的三角函數(shù)值的符號?獨(dú)立完成課本P15的“探究”。

【設(shè)計(jì)意圖】：練習(xí)

1、練習(xí)2的設(shè)計(jì)與例

2、例3銜接，主要目的是幫助學(xué)生鞏固三角函數(shù)的本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從定義出發(fā)利用坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征自主探究三角函數(shù)的有關(guān)問題的思想方法。并在特殊情形中體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

第五部分——小結(jié)與作業(yè) 學(xué)生自我總結(jié)

作業(yè)：P23習(xí)題1.2A組 1,2,3

七、教學(xué)反思

上述教學(xué)設(shè)計(jì)及具體教學(xué)實(shí)施過程我認(rèn)為有以下幾點(diǎn)意義： 1.教學(xué)設(shè)計(jì)緊扣課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，重點(diǎn)放在任意角的三角函數(shù)的理解上。背景創(chuàng)設(shè)是學(xué)生熟悉的摩天輪，認(rèn)知過程符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)和學(xué)生的身心發(fā)展規(guī)律——具體到抽象，現(xiàn)象到本質(zhì)，特殊到一般，這樣有利學(xué)生的思考。

2.情景設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型很好地融合初中對三角函數(shù)的定義，也能很好引入在直角坐標(biāo)系中，很好將銳角三角函數(shù)的定義向任意角的三角函數(shù)過渡，同時能夠揭示函數(shù)的本質(zhì)。

3.通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，讓學(xué)生在情境中活動，在活動中體驗(yàn)數(shù)學(xué)與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗(yàn)中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，它滲透了蘊(yùn)涵在知識中的思想方法和研究性學(xué)習(xí)的策略，使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。這和課程標(biāo)準(zhǔn)的理念是一致的。

4.《標(biāo)準(zhǔn)》把發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標(biāo)之一, 在教學(xué)中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學(xué)生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實(shí)踐的空間, 促進(jìn)學(xué)生在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識,提高學(xué)生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學(xué)地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學(xué)意識,自覺地對客觀事物中蘊(yùn)涵的一些數(shù)學(xué)模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗(yàn)到從數(shù)學(xué)的角度運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)方法去觀察生活、分析自然現(xiàn)象、解決實(shí)際問題的策略, 使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)原來就來自身邊的現(xiàn)實(shí)世界, 是認(rèn)識和解決我們生活和工作中問題的有力武器, 同時也獲得了進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的切身體驗(yàn)和能力。增進(jìn)了他們對數(shù)學(xué)的理解和應(yīng)用數(shù)學(xué)的信心。

第二篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例

高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例：指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

一、提出問題：

新課程認(rèn)為知識不是單方面通過教師傳授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運(yùn)用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并通過與他人（教師指導(dǎo)和同學(xué)的幫助）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的。它強(qiáng)調(diào)以學(xué)生為中心，視學(xué)生為認(rèn)知的主體，教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進(jìn)作用。通過多年教學(xué)實(shí)踐和對新課程的認(rèn)識,我認(rèn)為若遵循這個原則進(jìn)行數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，學(xué)生的學(xué)習(xí)將是一種高效的活動。

二、教材中的地位：

本節(jié)內(nèi)容是在指數(shù)范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)的基礎(chǔ)上引入指數(shù)函數(shù)的，而指數(shù)函數(shù)是高中研究的第一種具體函數(shù)。是在初中已經(jīng)初步探討了正比例函數(shù)，反比例函數(shù)，一次函數(shù)，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)的基礎(chǔ)上，在進(jìn)一步學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念及有關(guān)性質(zhì)的前提下，去研究學(xué)習(xí)的。重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖像及性質(zhì)，難點(diǎn)在于弄清楚底數(shù)a對于函數(shù)變化的影響。這節(jié)課主要是學(xué)生利用描點(diǎn)法畫出函數(shù)的圖像，并描述出函數(shù)的圖像特征，從而指出函數(shù)的性質(zhì)。使學(xué)生從形到數(shù)的熟悉，體驗(yàn)研究函數(shù)的過程與思路，實(shí)現(xiàn)意識的深化。

三、設(shè)計(jì)背景：

在新教材的教學(xué)中，我慢慢體會到新教材滲透的、螺旋式上升的基本理念，知識點(diǎn)的形成過程經(jīng)歷從具體的實(shí)例引入，形成概念，再次運(yùn)用于實(shí)際問題或具體數(shù)學(xué)問題的過程，它的應(yīng)用性，實(shí)用性更明顯的體現(xiàn)出來。學(xué)數(shù)學(xué)重在培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，經(jīng)過多年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生還是害怕學(xué)數(shù)學(xué)，尤其高中的數(shù)學(xué)，它對于學(xué)生來說顯得很抽象。所以如果再讓學(xué)生感到數(shù)學(xué)離我們的生活太遠(yuǎn)，那么將很難激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣。所以在教學(xué)中我盡力抓住知識的本質(zhì)，以實(shí)際問題引入新知識。另外，就本章來說，指數(shù)函數(shù)是學(xué)習(xí)函數(shù)概念及基本性質(zhì)之后研究的第一個重要的函數(shù)，讓學(xué)生學(xué)會研究一個新的具體函數(shù)的方法比學(xué)會本身的知識更重要。在這個過程中，所有的知識都是生疏的，在大腦中沒有形成基本的框架結(jié)構(gòu)，需要老師的引導(dǎo)，使他們逐漸建立。數(shù)學(xué)中任何知識的形成都體現(xiàn)出它的思想與方法，因而授課中注重讓學(xué)生領(lǐng)悟其中的思想，運(yùn)用其中的方法去學(xué)習(xí)新的知識，是非常重要的。

四、教學(xué)目標(biāo)：

（一、）知識：

理解指數(shù)函數(shù)的定義，能初步把握指數(shù)函數(shù)的圖像，性質(zhì)及其簡單應(yīng)用。

（二、）過程與方法：

由實(shí)例引入指數(shù)函數(shù)的概念，利用描點(diǎn)作圖的方法做出指數(shù)函數(shù)的圖像，（有條件的話借助計(jì)算機(jī)演示驗(yàn)證指數(shù)函數(shù)圖像）由圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。利用性質(zhì)解決實(shí)際問題。

（三、）能力：

1．通過指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)的研究，培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析和歸納的能力，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法。

2．通過對指數(shù)函數(shù)的研究，使學(xué)生能把握函數(shù)研究的基本方法。

五、教學(xué)過程：

由實(shí)際問題引入：

問題1：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，?1個這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞的個數(shù)y與x之間的關(guān)系是什么？

分裂次數(shù)與細(xì)胞個數(shù)

1，2；2，2×2=22；3，2×2×2=23；????；x，2×2×……×2=2x

歸納：y=2x

問題2：某種放射性物質(zhì)不斷變化為其它物質(zhì)，每經(jīng)過1年剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，那么經(jīng)過x年后剩留量y與x的關(guān)系是什么？

經(jīng)過1年，剩留量y=1×84%=0.841；經(jīng)過2年，剩留量y=0.84×0.84=0.842????經(jīng)過x年，剩留量y=0.84x

尋找異同：

你能從以上的兩個例子中得到的關(guān)系式里找到什么異同點(diǎn)嗎？

共同點(diǎn)：變量x與y構(gòu)成函數(shù)關(guān)系式，是指數(shù)的形式，自變量在指數(shù)位置，底數(shù)是常數(shù)；不同點(diǎn)：底數(shù)的取值不同。

那么，今天我們來學(xué)習(xí)一個新的基本函數(shù)：指數(shù)函數(shù)

得到指數(shù)函數(shù)的定義：定義：形如y=ax（a>0且a≠1）的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)。

在以前我們學(xué)過的函數(shù)中，一次函數(shù)用形如y=kx+b（k≠0）的形式表示，反比例函數(shù)用形如y=k/x（k≠0）表示，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)表示。對于其一般形式上的系數(shù)都有相應(yīng)的限制。問：為什么指數(shù)函數(shù)對底數(shù)有這樣的要求呢？

若a=0，當(dāng)x>0時，恒等于0，沒有研究價值 當(dāng)x≤0時，無意義。

若a<0，當(dāng)x=1/2，1/4???時是無意義的，沒有研究價值。

若a=1，則=1,是一個常量，也沒有研究的必要。

所以有規(guī)定且a>0且a≠1。

由定義，我們可以對指數(shù)函數(shù)有一初步熟悉。

進(jìn)一步理解函數(shù)的定義：

指數(shù)函數(shù)的定義域：在我們學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算中，指數(shù)可以是有理數(shù)，當(dāng)指數(shù)是無理數(shù)時，也是一個確定的實(shí)數(shù)，對于無理數(shù)，學(xué)過的有理指數(shù)冪的性質(zhì)和運(yùn)算法則都適用，所以指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽.研究函數(shù)的途徑：由函數(shù)的圖像及性質(zhì)，從形與數(shù)兩方面研究。

學(xué)習(xí)函數(shù)的一個很重要的目標(biāo)就是應(yīng)用，那么首先要對函數(shù)作一研究，研究函數(shù)的圖像及性質(zhì)，然后利用其圖像性質(zhì)去解決數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題。根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，你會從那幾個角度考慮？（圖像的分布范圍，圖像的變化趨勢，?）圖像的分布情況與函數(shù)的定義域，值域有關(guān)，函數(shù)的變化趨勢體現(xiàn)函數(shù)的單調(diào)性。引導(dǎo)學(xué)生從定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)情況著手開始。

首先我們做出指數(shù)函數(shù)的圖像，我們研究一般性的事物，常用的方法是：由特殊到一般。我們以具體函數(shù)入手，讓學(xué)生以小組形式取不同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)畫它們的圖像，將學(xué)生畫的函數(shù)圖像展示，（畫函數(shù)的圖像的步驟是：列表，描點(diǎn)，連線。）。

最后，老師在黑板（電腦）上演示列表，描點(diǎn)，連線的過程，并且，畫出取不同的值時，函數(shù)的圖像。

要求學(xué)生描述出指數(shù)函數(shù)圖像的特征，并試著描述出性質(zhì)。

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，每一個重要的數(shù)學(xué)概念的形成和發(fā)展，其中都有豐富的經(jīng)歷，新課程較好的體現(xiàn)了這點(diǎn)。對新課程背景下的學(xué)生而言，數(shù)學(xué)的知識應(yīng)該是一個數(shù)學(xué)化的過程，即通過對常識材料進(jìn)行細(xì)致的觀察、思考，借助于分析、比較、綜合、抽象、概括等思維活動，對常識材料進(jìn)行去粗取精、去偽存真的精加工。該案例正是從數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過程中進(jìn)行設(shè)計(jì)。雖然學(xué)生的思維不一定真實(shí)的重演了人類對數(shù)學(xué)知識探索的全過程，但確確實(shí)實(shí)通過實(shí)驗(yàn)、觀察、比較、分析、歸納、抽象、概括等思維活動，在探索中將數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)化，從而才使學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了樂趣，對數(shù)學(xué)的研究方法有了一定的了解。

雖然學(xué)生要學(xué)的數(shù)學(xué)是歷史上前人已建構(gòu)好了的，但對他們而言，仍是全新的、未知的，需要用他們自己的學(xué)習(xí)活動來再現(xiàn)類似的過程。該案例正是從創(chuàng)設(shè)問題情景作為教學(xué)設(shè)計(jì)的重要的內(nèi)容之一。教師應(yīng)該把教學(xué)設(shè)計(jì)成學(xué)生動手操作、觀察猜想、揭示規(guī)律等一系列過程，側(cè)重于學(xué)生的探索、分析與思考，側(cè)重于過程的探究及在此過程中所形成的一般數(shù)學(xué)能力。教師的地位應(yīng)由主導(dǎo)者轉(zhuǎn)變?yōu)橐龑?dǎo)者，使教學(xué)活動真正成為學(xué)生的活動。在教學(xué)過程中，把學(xué)習(xí)的主動權(quán)交給學(xué)生，在時間和空間上保證學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生能自己獨(dú)立自主的探究學(xué)習(xí)。使教學(xué)活動始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，使每一個學(xué)生通過自己的努力，在自己原有的基礎(chǔ)上都有所獲，都有提高。

總之，通過案例研究，不斷研究新教材、新理念，不斷調(diào)整教學(xué)策略優(yōu)化課堂教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生探究學(xué)習(xí)與創(chuàng)新學(xué)習(xí)能力將是我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中要繼續(xù)探究的課題。

第三篇：高中數(shù)學(xué)教學(xué)案例

教學(xué)精細(xì)化管理有三個層面的涵義。

1.“細(xì)”，即管理覆蓋的教學(xué)環(huán)節(jié)要全。在計(jì)劃制定、個人備課、集體備課、上課、課后反思、輔導(dǎo)、測試、反饋、總結(jié)和教學(xué)評價等各環(huán)節(jié)都要制定規(guī)章，不可或缺。只有關(guān)注每個環(huán)節(jié)、每個細(xì)節(jié)，才不至于影響系統(tǒng)整體功能的發(fā)揮。

2.“精”，即管理工作要突出重點(diǎn)。學(xué)校要根據(jù)實(shí)際確定每個時期的教學(xué)管理工作重點(diǎn)，重點(diǎn)工作重點(diǎn)做，才能把握住方向，才能立竿見影出效益。不分主次地平均用力往往事倍功半。

3.“精細(xì)化管理”要制度化，落實(shí)要到位。有制度不落實(shí)等于沒制度，落實(shí)不堅(jiān)決、不堅(jiān)持，也不出效益。

情境教學(xué)，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中成為提出問題和解決問題的主體，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程?！罢叶ɡ怼笔侨罩破胀ǜ呒壷袑W(xué)教科書(試驗(yàn)修訂本)數(shù)學(xué)第一冊(下)的教學(xué)內(nèi)容之一，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本次課的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索情境教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法和效果。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景；

2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？

3、為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行驗(yàn)證。

二、教學(xué)過程

1、設(shè)置情境

利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度∣vl∣= 5 km∕h，水流速度∣v2∣=3 km∕h。

2、提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個問題：

(l)船應(yīng)開往B處還是C處？

(2)船從A開到B、C分別需要多少時間？(3)船從A到B、C的距離分別是多少？

(4)船從A到B、C時的速度大小分別是多少？(5)船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？ 師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點(diǎn)是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關(guān)問題，因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題(4)和(5)。

師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl與v2的夾角θ：

生：船從A開往C的情況如圖3，∣AD∣=∣v1∣= 5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？

部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？

生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。

生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

3、解決問題

師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關(guān)系？

多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報告檢驗(yàn)結(jié)果。

幾分鐘后，多數(shù)小組報告結(jié)論成立，只有一個小組因測量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。

生：因?yàn)橐C明的是一個等式，所以應(yīng)先找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：

1、三角形的面積不變；

2、三角形同一邊上的高不變；

3、三角形外接圓直徑不變。

師：據(jù)我所知，從AC+CB=AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

生：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生：還要想辦法將有三個項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項(xiàng)的關(guān)系式。

生：因?yàn)閮蓚€垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。

師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。

三、教學(xué)總結(jié)

在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問題為連線組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問引向深入。

教學(xué)精細(xì)化管理有三個層面的涵義。1.“細(xì)”，即管理覆蓋的教學(xué)環(huán)節(jié)要全。在計(jì)劃制定、個人備課、集體備課、上課、課后反思、輔導(dǎo)、測試、反饋、總結(jié)和教學(xué)評價等各環(huán)節(jié)都要制定規(guī)章，不可或缺。只有關(guān)注每個環(huán)節(jié)、每個細(xì)節(jié)，才不至于影響系統(tǒng)整體功能的發(fā)揮。

2.“精”，即管理工作要突出重點(diǎn)。學(xué)校要根據(jù)實(shí)際確定每個時期的教學(xué)管理工作重點(diǎn)，重點(diǎn)工作重點(diǎn)做，才能把握住方向，才能立竿見影出效益。不分主次地平均用力往往事倍功半。

3.“精細(xì)化管理”要制度化，落實(shí)要到位。有制度不落實(shí)等于沒制度，落實(shí)不堅(jiān)決、不堅(jiān)持，也不出效益。

情境教學(xué)，即構(gòu)建一個以情境為基礎(chǔ)，學(xué)生在學(xué)習(xí)中成為提出問題和解決問題的主體，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的過程?！罢叶ɡ怼笔侨罩破胀ǜ呒壷袑W(xué)教科書(試驗(yàn)修訂本)數(shù)學(xué)第一冊(下)的教學(xué)內(nèi)容之一，既是初中“解直角三角形”內(nèi)容的直接延伸，也是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運(yùn)用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計(jì)算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實(shí)際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本次課的主要任務(wù)是引入并證明正弦定理，我們希望通過本課題探索情境教學(xué)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法和效果。

一、教學(xué)設(shè)計(jì)

1、創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實(shí)問題情境作為提出問題的背景；

2、啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實(shí)問題，逐步將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決過渡性問題時需要使用正弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將過渡性問題引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和一邊的對角，求另一邊的對角及第三邊。解決這兩個問題需要先回答目標(biāo)問題：在三角形中，兩邊與它們的對角之間有怎樣的關(guān)系？

3、為了解決提出的目標(biāo)問題，引導(dǎo)學(xué)生回到他們所熟悉的直角三角形中，得出目標(biāo)問題在直角三角形中的解，從而形成猜想，然后引導(dǎo)學(xué)生對猜想進(jìn)行驗(yàn)證。

二、教學(xué)過程

1、設(shè)置情境 利用投影展示：一條河的兩岸平行，河寬d=1km，因上游突發(fā)洪水，在洪峰到來之前，急需將碼頭A處囤積的重要物資及人員用船轉(zhuǎn)運(yùn)到正對岸的碼頭B處或其下游1 km的碼頭C處。已知船在靜水中的速度∣vl∣= 5 km∕h，水流速度∣v2∣=3 km∕h。

2、提出問題

師：為了確定轉(zhuǎn)運(yùn)方案，請同學(xué)們設(shè)身處地地考慮一下有關(guān)的問題，將各自的問題經(jīng)小組(前后4人為一小組)匯總整理后交給我。

待各小組將題紙交給老師后，老師篩選幾張有代表性的題紙通過投影向全班展示，經(jīng)大家歸納整理后得到如下的5個問題：

(l)船應(yīng)開往B處還是C處？

(2)船從A開到B、C分別需要多少時間？(3)船從A到B、C的距離分別是多少？

(4)船從A到B、C時的速度大小分別是多少？(5)船應(yīng)向什么方向開，才能保證沿直線到達(dá)B、C？ 師：大家討論一下，應(yīng)該怎樣解決上述問題？

大家經(jīng)過討論達(dá)成如下共識：要回答問題(l)，需要解決問題(2)，要解決問題(2)，需要先解決問題(3)和(4)，問題(3)用直角三角形知識可解，所以重點(diǎn)是解決問題(4)，問題(4)與問題(5)是兩個相關(guān)問題，因此，解決上述問題的關(guān)鍵是解決問題(4)和(5)。

師：請同學(xué)們根據(jù)平行四邊形法則，先在練習(xí)本上做出與問題對應(yīng)的示意圖，明確已知什么，要求什么，怎樣求解。

生：船從A開往B的情況如圖2，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，可求得船在河水中的速度大小∣v∣及vl與v2的夾角θ：

生：船從A開往C的情況如圖3，∣AD∣=∣v1∣= 5，∣DE∣=∣AF∣=∣v2∣=3，易求得∠AED = ∠EAF = 450，還需求θ及v。我不知道怎樣解這兩個問題，因?yàn)橐郧皬奈唇膺^類似的問題。

師：請大家想一下，這兩個問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)是什么？

部分學(xué)生：在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角和第三邊。

師：請大家討論一下，如何解決這兩個問題？ 生：在已知條件下，若能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，則可以解決上述問題，求出另一邊的對角。

生：如果另一邊的對角已經(jīng)求出，那么第三個角也能夠求出。只要能知道三角形中兩條邊與其對角這4個元素的數(shù)量關(guān)系，則第三邊也可求出。

生：在已知條件下，如果能知道三角形中三條邊和一個角這4個元素之間的數(shù)量關(guān)系，也能求出第三邊和另一邊的對角。

師：同學(xué)們的設(shè)想很好，只要能知道三角形中兩邊與它們的對角間的數(shù)量關(guān)系，或者三條邊與一個角間的數(shù)量關(guān)系，則兩個問題都能夠順利解決。下面我們先來解答問題：三角形中，任意兩邊與其對角之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

3、解決問題

師：請同學(xué)們想一想，我們以前遇到這種一般問題時，是怎樣處理的？ 眾學(xué)生：先從特殊事例入手，尋求答案或發(fā)現(xiàn)解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中試探一下。

師：請各小組研究在Rt△ABC中，任意兩邊及其對角這4個元素間有什么關(guān)系？

多數(shù)小組很快得出結(jié)論：a／sinA = b／sinB = c／sinC。師：a／sinA = b／sinB = c／sinC在非Rt△ABc中是否成立？

眾學(xué)生：不一定，可以先用具體例子檢驗(yàn)。若有一個不成立，則否定結(jié)論；若都成立，則說明這個結(jié)論很可能成立，再想辦法進(jìn)行嚴(yán)格的證明。

師：這是個好主意。請每個小組任意做出一個非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各邊的長和各角的大小，用計(jì)算器作為計(jì)算工具，具體檢驗(yàn)一下，然后報告檢驗(yàn)結(jié)果。

幾分鐘后，多數(shù)小組報告結(jié)論成立，只有一個小組因測量和計(jì)算誤差，得出否定的結(jié)論。教師在引導(dǎo)學(xué)生找出失誤的原因后指出：此關(guān)系式在任意△ABC中都能成立，請大家先考慮一下證明思路。

生：想法將問題轉(zhuǎn)化成直角三角形中的問題進(jìn)行解決。

生：因?yàn)橐C明的是一個等式，所以應(yīng)先找到一個可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系。

師：在三角形中有哪些可以作為證明基礎(chǔ)的等量關(guān)系呢？ 學(xué)生七嘴八舌地說出一些等量關(guān)系，經(jīng)討論后確定如下一些與直角三角形有關(guān)的等量關(guān)系可能有利用價值：

1、三角形的面積不變；

2、三角形同一邊上的高不變；

3、三角形外接圓直徑不變。

師：據(jù)我所知，從AC+CB=AB出發(fā)，也能證得結(jié)論，請大家討論一下。生：要想辦法將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。

生：利用向量的數(shù)量積運(yùn)算可將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。生：還要想辦法將有三個項(xiàng)的關(guān)系式轉(zhuǎn)化成兩個項(xiàng)的關(guān)系式。

生：因?yàn)閮蓚€垂直向量的數(shù)量積為0，可考慮選一個與三個向量中的一個向量(如向量AC)垂直的向量與向量等式的兩邊分別作數(shù)量積。

師：同學(xué)們通過自己的努力，發(fā)現(xiàn)并證明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意兩邊與其對角的關(guān)系，請大家留意身邊的事例，正弦定理能夠解決哪些問題。

三、教學(xué)總結(jié)

在本課的教學(xué)中，教師立足于所創(chuàng)設(shè)的情境，通過學(xué)生自主探索、合作交流，親身經(jīng)歷了提出問題、解決問題、應(yīng)用反思的過程，學(xué)生成為正弦定理的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，切身感受了創(chuàng)造的苦和樂，知識目標(biāo)、能力目標(biāo)、情感目標(biāo)均得到了較好的落實(shí)。

創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是這種教學(xué)模式的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點(diǎn)、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。這種教學(xué)模式主張以問題為連線組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，因此，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題是教學(xué)成敗的關(guān)鍵。教學(xué)實(shí)驗(yàn)表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境，而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。教師還要積極引導(dǎo)學(xué)生對所提的問題進(jìn)行分析、整理，篩選出有價值的問題，注意啟發(fā)學(xué)生揭示問題的數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，將提問引向深入。

第四篇：新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

新課程高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)與案例

李代友

直線與平面平行的性質(zhì)

1.教學(xué)目的

(1)通過教師的適當(dāng)引導(dǎo)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí)，使學(xué)生由直觀感知、獲得猜想，經(jīng)過邏輯論證，推導(dǎo)出直線與平面平行的性質(zhì)定理，并掌握這一定理；

(2)通過直線與平面平行的性質(zhì)定理的實(shí)際應(yīng)用，讓學(xué)生體會定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性；

(3)通過命題的證明，讓學(xué)生體會解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想，培養(yǎng)、提高學(xué)生分析、解決問題的能力。2.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：直線與平面平行的性質(zhì)定理；

難點(diǎn)：直線與平面平行性質(zhì)定理的探索及P61例3。(人教版)3.教學(xué)基本流程

復(fù)習(xí)相關(guān)知識并由現(xiàn)實(shí)問題引入課題

引導(dǎo)學(xué)生探索、發(fā)現(xiàn)直線與平面平行的性質(zhì)定理 分析定理，深化定理的理解 直線與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用 學(xué)生練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果 小結(jié)與作業(yè)4.教學(xué)過程

教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【復(fù)習(xí)】以提問的形式引導(dǎo)學(xué)生回顧相關(guān)的知識：線線、線面的位置關(guān)系及判定線面平行的方法。思考并回答問題。溫故知新，為新課的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備?！疽搿?1)提出例3給出的實(shí)際問題，讓學(xué)生稍作思考；

(2)點(diǎn)明該問題解決的關(guān)鍵是由條件“棱BC平行于面AC”如何在木料表面畫線，使得工人師傅按照畫線加工出滿足要求的工件；

(3)引入課題——在我們學(xué)習(xí)了《直線與平面平行的性質(zhì)》這一節(jié)課之后，我們就知道如何解決這個實(shí)際問題了。思考問題，進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)。通過實(shí)際例子，引發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，突出學(xué)習(xí)直線和平面平行性質(zhì)的現(xiàn)實(shí)意義?！驹O(shè)問】

(1)提出本節(jié)《思考》的問題(1)：如果一條直線與平面平行，那么這條直線是否與這個平面內(nèi)的所有直線都平行? 1 引導(dǎo)學(xué)生做小實(shí)驗(yàn)：利用筆和桌面做實(shí)驗(yàn)，把一支筆放置到與桌面所在平面平行的位置上，把另一支筆放置在桌面，筆所在的直線代表桌面所在平面上的一條直線，移動桌面上的筆到不同的位置，觀察兩筆所在直線的位置關(guān)系。

(2)一條直線與平面平行，那么這條直線與平面內(nèi)的直線有哪些位置關(guān)系? 分析：a∥αa與α無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的任何直線都無公共點(diǎn) a與α內(nèi)的直線是異面直線或平行直線。

(1)學(xué)生動手做實(shí)驗(yàn)，并觀察得出問題的結(jié)論：與平面平行的直線并不與這個平面內(nèi)的所有直線都平行。(2)學(xué)生由實(shí)驗(yàn)結(jié)果猜想問題的答案，再由教師的引導(dǎo)進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治?，確定猜想的正確性。通過學(xué)生的動手實(shí)驗(yàn)，得出問題的結(jié)論，提高學(xué)生的探索問題的熱情。續(xù)表

教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【探究】一條直線與一個平面平行，在什么條件下，平面內(nèi)的直線與這條直線平行? 講述：與平面平行的直線，和平面內(nèi)的直線或是異面直線或是平行直線，它們有一個區(qū)別是異面直線不共面，而平行直線共面，那么如何利用這個不同點(diǎn)，尋找這些平行直線呢? 長方體ABCD-AB(yǎng)CD中，AC平行于面ABCD，請?jiān)诿鍭BCD內(nèi)找出一條直線與AC平行。分析：AC與AC這兩條平行直線共面，同在面AACC內(nèi)，可見AC是過AC的平面AACC與面ABCD的交線。

(2)在面ABCD內(nèi)，除了AC還有直線與AC平行嗎?如果有，可以通過什么方法找到? 利用課件演示AC任意作一平面AEFC與面ABCD相交于線EF，驗(yàn)證學(xué)生的猜想。

分析：因?yàn)锳C∥面ABCD，所以AC與這個面內(nèi)的直線EF沒有公共點(diǎn)，由大家的這個方法做出直線EF，就使得EF與AC共面，故EF∥AC。學(xué)生隨著教師的引導(dǎo)，思考問題，回答問題。(1)根據(jù)長方體的知識，學(xué)生能夠找到直線AC與AC平行。隨教師的引導(dǎo)，發(fā)現(xiàn)AC的特殊位置關(guān)系。(2)由上面特殊例子的啟發(fā)，學(xué)生逐漸形成對問題答案的猜想，隨教師的引導(dǎo)，證明猜想的正確性。以長方體為載體，引導(dǎo)學(xué)生猜想問題成立的條件，推導(dǎo)出定理。續(xù)表教師活動學(xué)生活動設(shè)計(jì)意圖【剖析定理】(1)證明定理；(2)分析定理成立的條件和結(jié)論；(3)指導(dǎo)學(xué)生閱讀課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。要求學(xué)生認(rèn)真聽教師的分析，看定理的證明過程，閱讀和理解課本60頁倒數(shù)第一段的內(nèi)容。深化學(xué)生對定理的理解，明確該定理給出了一種作平行線的重要方法?！眷柟叹毩?xí)】

一、提出本節(jié)開始提出的問題(2)，讓學(xué)生自由發(fā)言。(不局限只有引平行線的方法)

二、判斷題

(1)如果a、b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面。(2)如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行。

(3)如果直線a、b和平面α滿足a∥α，b∥α，那么a∥b。學(xué)生自由舉手發(fā)言，說明理由。通過練習(xí)再次深化對定理的理解?！局v解例題】例

3、例4要求學(xué)生跟隨教師的分析引導(dǎo)，自己思考和解決問題。讓學(xué)生體會定理的現(xiàn)實(shí)意義與重要性及解決立體幾何問題的重要思想方法——化歸思想【課堂練習(xí)】 已知：α∩=CD,β∩γ=AB,AB∥α,α∩γ=EF, 求證：CD∥EF

選取幾份有代表性的做法，利用投影儀，講評練習(xí)，反饋學(xué)習(xí)效果。及時解決學(xué)生學(xué)習(xí)上存在的問題【小結(jié)】(1)直線與平面平行的性質(zhì)定理；(2)直線與平面平行性質(zhì)定理的應(yīng)用。

【作業(yè)】習(xí)題22A組第5、6題總結(jié)歸納學(xué)習(xí)內(nèi)容，安排適當(dāng)?shù)恼n后練習(xí)

第五篇：高中數(shù)學(xué)必修2教學(xué)設(shè)計(jì)案例

篇一：高中數(shù)學(xué)必修2教案

第一章：空間幾何體

1.1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

一、教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能

（1）通過實(shí)物操作，增強(qiáng)學(xué)生的直觀感知。

（2）能根據(jù)幾何結(jié)構(gòu)特征對空間物體進(jìn)行分類。

（3）會用語言概述棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征。

（4）會表示有關(guān)于幾何體以及柱、錐、臺的分類。2．過程與方法

（1）讓學(xué)生通過直觀感受空間物體，從實(shí)物中概括出柱、錐、臺、球的幾何結(jié)構(gòu)特征。

（2）讓學(xué)生觀察、討論、歸納、概括所學(xué)的知識。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）使學(xué)生感受空間幾何體存在于現(xiàn)實(shí)生活周圍，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，同時提高學(xué)生的觀察能力。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力和抽象括能力。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。

難點(diǎn)：柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的概括。

三、教學(xué)用具

（1）學(xué)法：觀察、思考、交流、討論、概括。

（2）實(shí)物模型、投影儀

四、教學(xué)思路

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．教師提出問題：在我們生活周圍中有不少有特色的建筑物，你能舉出一些例子嗎？這些建筑的幾何結(jié)構(gòu)特征如何？引導(dǎo)學(xué)生回憶，舉例和相互交流。教師對學(xué)生的活動及時給予評價。

2．所舉的建筑物基本上都是由這些幾何體組合而成的，（展示具有柱、錐、臺、球結(jié)構(gòu)特征的空間物體），你能通過觀察。根據(jù)某種標(biāo)準(zhǔn)對這些空間物體進(jìn)行分類嗎？這是我們所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

（二）、研探新知

1．引導(dǎo)學(xué)生觀察物體、思考、交流、討論，對物體進(jìn)行分類，分辯棱柱、圓柱、棱錐。2．觀察棱柱的幾何物件以及投影出棱柱的圖片，它們各自的特點(diǎn)是什么？它們的共同特點(diǎn)是什么？

3．組織學(xué)生分組討論，每小組選出一名同學(xué)發(fā)表本組討論結(jié)果。在此基礎(chǔ)上得出棱柱的主要結(jié)構(gòu)特征。（1）有兩個面互相平行；（2）其余各面都是平行四邊形；（3）每相鄰兩上四邊形的公共邊互相平行。概括出棱柱的概念。

4．教師與學(xué)生結(jié)合圖形共同得出棱柱相關(guān)概念以及棱柱的表示。

5．提出問題：各種這樣的棱柱，主要有什么不同？可不可以根據(jù)不同對棱柱分類？

請列舉身邊具有已學(xué)過的幾何結(jié)構(gòu)特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結(jié)構(gòu)特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

6．以類似的方法，讓學(xué)生思考、討論、概括出棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征，并得出相關(guān)的概念，分類以及表示。7．讓學(xué)生觀察圓柱，并實(shí)物模型演示，如何得到圓柱，從而概括出圓標(biāo)的概念以及相關(guān)的概念及圓柱的表示。

8．引導(dǎo)學(xué)生以類似的方法思考圓錐、圓臺、球的結(jié)構(gòu)特征，以及相關(guān)概念和表示，借助實(shí)物模型演示引導(dǎo)學(xué)生思考、討論、概括。

9．教師指出圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體，棱臺與圓臺統(tǒng)稱為臺體，圓錐與棱錐統(tǒng)稱為錐體。10．現(xiàn)實(shí)世界中，我們看到的物體大多由具有柱、錐、臺、球等幾何結(jié)構(gòu)特征的物體組合而成。請列舉身邊具有已學(xué)過的幾何結(jié)構(gòu)特征的物體，并說出組成這些物體的幾何結(jié)構(gòu)特征？它們由哪些基本幾何體組成的？

（三）質(zhì)疑答辯，排難解惑，發(fā)展思維，教師提出問題，讓學(xué)生思考。1．有兩個面互相平行，其余后面都是平行四邊形的幾何體是不是棱柱（舉反例說明，如圖）2．棱柱的何兩個平面都可以作為棱柱的底面嗎？ 3．課本p8，習(xí)題1.1 a組第1題。

4．圓柱可以由矩形旋轉(zhuǎn)得到，圓錐可以由直角三角形旋轉(zhuǎn)得到，圓臺可以由什么圖形旋轉(zhuǎn)得到？如何旋轉(zhuǎn)？

5．棱臺與棱柱、棱錐有什么關(guān)系？圓臺與圓柱、圓錐呢？

四、鞏固深化

練習(xí)：課本p7 練習(xí)1、2（1）（2）

課本p8習(xí)題1.1 第2、3、4題

五、歸納整理

由學(xué)生整理學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容

六、布置作業(yè)

課本p8 練習(xí)題1.1 b組第1題

課外練習(xí)課本p8習(xí)題1.1 b組第2題 1.2.1 空間幾何體的三視圖（1課時）

一、教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能

（1）掌握畫三視圖的基本技能

（2）豐富學(xué)生的空間想象力 2．過程與方法

主要通過學(xué)生自己的親身實(shí)踐，動手作圖，體會三視圖的作用。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）提高學(xué)生空間想象力

（2）體會三視圖的作用

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：畫出簡單組合體的三視圖

難點(diǎn)：識別三視圖所表示的空間幾何體

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1．學(xué)法：觀察、動手實(shí)踐、討論、類比 2．教學(xué)用具：實(shí)物模型、三角板

四、教學(xué)思路

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭開課題

“橫看成嶺側(cè)看成峰”，這說明從不同的角度看同一物體視覺的效果可能不同，要比較真實(shí)反映出物體，我們可從多角度觀看物體，這堂課我們主要學(xué)習(xí)空間幾何體的三視圖。

在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體、長方體、圓柱、圓錐、球的三視圖（正視圖、側(cè)視圖、俯視圖），你能畫出空間幾何體的三視圖嗎？

（二）實(shí)踐動手作圖

1．講臺上放球、長方體實(shí)物，要求學(xué)生畫出它們的三視圖，教師巡視，學(xué)生畫完后可交流結(jié)果并討論;2．教師引導(dǎo)學(xué)生用類比方法畫出簡單組合體的三視圖

（1）畫出球放在長方體上的三視圖

（2）畫出礦泉水瓶（實(shí)物放在桌面上）的三視圖

學(xué)生畫完后，可把自己的作品展示并與同學(xué)交流，總結(jié)自己的作圖心得。

作三視圖之前應(yīng)當(dāng)細(xì)心觀察，認(rèn)識了它的基本結(jié)構(gòu)特征后，再動手作圖。3．三視圖與幾何體之間的相互轉(zhuǎn)化。

（1）投影出示圖片（課本p10，圖1.2-3）

請同學(xué)們思考圖中的三視圖表示的幾何體是什么？

（2）你能畫出圓臺的三視圖嗎？

（3）三視圖對于認(rèn)識空間幾何體有何作用？你有何體會？

教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到的困難，然后讓學(xué)生發(fā)表對上述問題的看法。4．請同學(xué)們畫出1.2-4中其他物體表示的空間幾何體的三視圖，并與其他同學(xué)交流。

（三）鞏固練習(xí)

課本p12 練習(xí)1、2 p18習(xí)題1.2 a組1

（四）歸納整理

請學(xué)生回顧發(fā)表如何作好空間幾何體的三視圖

（五）課外練習(xí) 1．自己動手制作一個底面是正方形，側(cè)面是全等的三角形的棱錐模型，并畫出它的三視圖。2．自己制作一個上、下底面都是相似的正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形的棱臺模型，并畫出它的三視圖。

1.2.2 空間幾何體的直觀圖（1課時）

一、教學(xué)目標(biāo) 1．知識與技能

（1）掌握斜二測畫法畫水平設(shè)置的平面圖形的直觀圖。

（2）采用對比的方法了解在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形兩種方法的各自特點(diǎn)。2．過程與方法

學(xué)生通過觀察和類比，利用斜二測畫法畫出空間幾何體的直觀圖。3．情感態(tài)度與價值觀

（1）提高空間想象力與直觀感受。

（2）體會對比在學(xué)習(xí)中的作用。

（3）感受幾何作圖在生產(chǎn)活動中的應(yīng)用。

二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)、難點(diǎn)：用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

三、學(xué)法與教學(xué)用具

1．學(xué)法：學(xué)生通過作圖感受圖形直觀感，并自然采用斜二測畫法畫空間幾何體的過程。2．教學(xué)用具：三角板、圓規(guī)

四、教學(xué)思路

（一）創(chuàng)設(shè)情景，揭示課題

1．我們都學(xué)過畫畫，這節(jié)課我們畫一物體：圓柱 把實(shí)物圓柱放在講臺上讓學(xué)生畫。

2．學(xué)生畫完后展示自己的結(jié)果并與同學(xué)交流，比較誰畫的效果更好，思考怎樣才能畫好物體的直觀圖呢？這是我們這節(jié)主要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。

（二）研探新知

1．例1，用斜二測畫法畫水平放置的正六邊形的直觀圖，由學(xué)生閱讀理解，并思考斜二測畫法的關(guān)鍵步驟，學(xué)生發(fā)表自己的見解，教師及時給予點(diǎn)評。

畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測畫法的步驟。

練習(xí)反饋

根據(jù)斜二測畫法，畫出水平放置的正五邊形的直觀圖，讓學(xué)生獨(dú)立完成后，教師檢查。2．例2，用斜二測畫法畫水平放置的圓的直觀圖

教師引導(dǎo)學(xué)生與例1進(jìn)行比較，與畫水平放置的多邊形的直觀圖一樣，畫水平放置的圓的直觀圖，也是要先畫出一些有代表性的點(diǎn)，由于不能像多邊那樣直接以頂點(diǎn)為代表點(diǎn)，因此需要自己構(gòu)造出一些點(diǎn)。

教師組織學(xué)生思考、討論和交流，如何構(gòu)造出需要的一些點(diǎn)，與學(xué)生共同完成例2并詳細(xì)板書畫法。

3．探求空間幾何體的直觀圖的畫法

（1）例3，用斜二測畫法畫長、寬、高分別是4cm、3cm、2cm的長方體abcd-a’b’c’d’的直觀圖。

教師引導(dǎo)學(xué)生完成，要注意對每一步驟提出嚴(yán)格要求，讓學(xué)生按部就班地畫好每一步，不能敷衍了事。

（2）投影出示幾何體的三視圖、課本p15圖1.2-9，請說出三視圖表示的幾何體？并用斜二測畫法畫出它的直觀圖。教師組織學(xué)生思考，討論和交流完成，教師巡視幫不懂的同學(xué)解疑，引導(dǎo)學(xué)生正確把握圖形尺寸大小之間的關(guān)系。4．平行投影與中心投影

投影出示課本p17圖1.2-12，讓學(xué)生觀察比較概括在平行投影下畫空間圖形與在中心投影下畫空間圖形的各自特點(diǎn)。

5．鞏固練習(xí)，課本p16練習(xí)1（1），2，3，4

三、歸納整理

學(xué)生回顧斜二測畫法的關(guān)鍵與步驟

四、作業(yè)

1．書畫作業(yè)，課本p17 練習(xí)第5題 2．課外思考 課本p16，探究（1）（2）1.3.1柱體、錐體、臺體的表面積與體積

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）通過對柱、錐、臺體的研究，掌握柱、錐、臺的表面積和體積的求法。

（2）能運(yùn)用公式求解，柱體、錐體和臺全的全積，并且熟悉臺體與術(shù)體和錐體之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。

（3）培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力和思維能力。

2、過程與方法

篇二：新課標(biāo)高中數(shù)學(xué)必修二全冊教案必修2教案

講義1： 空 間 幾 何 體

一、教學(xué)要求：通過實(shí)物模型，觀察大量的空間圖形，認(rèn)識柱體、錐體、臺體、球體及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并

能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)

構(gòu).二、教學(xué)重點(diǎn)：讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型，概括出柱體、錐體、臺體、球體的結(jié)構(gòu)特征.三、教學(xué)難點(diǎn)：柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征的概括.四、教學(xué)過程：

（一）、新課導(dǎo)入：

1.導(dǎo)入：進(jìn)入高中，在必修②的第一、二章中，將繼續(xù)深入研究一些空間幾何圖形，即學(xué)習(xí)立體幾何，注意學(xué)習(xí)方法：直觀感知、操作確認(rèn)、思維辯證、度量計(jì)算.（二）、講授新課：

1.教學(xué)棱柱、棱錐的結(jié)構(gòu)特征：

①、討論：給一個長方體模型，經(jīng)過上、下兩個底面用刀垂直切，得到的幾何體有哪些公共特征？把這些幾何體用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？

②、定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成

的幾何體叫棱柱.→ 列舉生活中的棱柱實(shí)例（三棱鏡、方磚、六角螺帽）.結(jié)合圖形認(rèn)識：底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)、高、對角面、對角線.③、分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等.表示：棱柱abcde-a’b’c’d’e’

④、討論：埃及金字塔具有什么幾何特征？

⑤、定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫棱錐.結(jié)合圖形認(rèn)識：底面、側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)、高.→ 討論：棱錐如何分類及表示？

⑥、討論：棱柱、棱錐分別具有一些什么幾何性質(zhì)？有什么共同的性質(zhì)？ ★棱柱：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都

是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形

★棱錐：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的平方.2.教學(xué)圓柱、圓錐的結(jié)構(gòu)特征：

① 討論：圓柱、圓錐如何形成？

② 定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓柱；以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐.→結(jié)合圖形認(rèn)識：底面、軸、側(cè)面、母線、高.→ 表示方法 ③ 討論：棱柱與圓柱、棱柱與棱錐的共同特征？ → 柱體、錐體.④ 觀察書p2若干圖形，找出相應(yīng)幾何體；

三、鞏固練習(xí)：

1.已知圓錐的軸截面等腰三角形的腰長為 5cm，面積為12cm,求圓錐的底面半徑.2.已知圓柱的底面半徑為3cm，軸截面面積為24cm,求圓柱的母線長.3.正四棱錐的底面積為46cm2,側(cè)面等腰三角形面積為6cm2,求正四棱錐側(cè)棱.（四）、教學(xué)棱臺與圓臺的結(jié)構(gòu)特征：

① 討論：用一個平行于底面的平面去截柱體和錐體，所得幾何體有何特征？

② 定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分叫做棱臺；用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分叫做圓臺.結(jié)合圖形認(rèn)識：上下底面、側(cè)面、側(cè)棱（母線）、頂點(diǎn)、高.討論：棱臺的分類及表示？ 圓臺的表示？圓臺可如何旋轉(zhuǎn)而得？

③ 討論：棱臺、圓臺分別具有一些什么幾何性質(zhì)？

★ 棱臺：兩底面所在平面互相平行；兩底面是對應(yīng)邊互相平行的相似多邊形；側(cè)面是梯形；側(cè)棱的延長線相交于一點(diǎn).★ 圓臺：兩底面是兩個半徑不同的圓；軸截面是等腰梯形；任 意兩條母線的延長線交于一點(diǎn)；母線長都相等.④ 討論：棱、圓與柱、錐、臺的組合得到6個幾何體.棱臺與棱柱、棱錐有什么關(guān)系？圓臺與圓柱、圓錐有什么關(guān)系？（以臺體的上底面變化為線索）2．教學(xué)球體的結(jié)構(gòu)特征：

① 定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體，叫球體.結(jié)合圖形認(rèn)識：球心、半徑、直徑.→ 球的表示.② 討論：球有一些什么幾何性質(zhì)？

③ 討論：球與圓柱、圓錐、圓臺有何關(guān)系？（旋轉(zhuǎn)體）棱臺與棱柱、棱錐有什么共性？（多面體）

3.教學(xué)簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征：

① 討論：礦泉水塑料瓶由哪些幾何體構(gòu)成？燈管呢？

② 定義：由柱、錐、臺、球等幾何結(jié)構(gòu)特征組合的幾何體叫簡單組合體.4.練習(xí)：圓錐底面半徑為１cm，其中有一個內(nèi)接正方體，求這個內(nèi)接正方體的棱長.（補(bǔ)充平行線分線段成比例定理）

（五）、鞏固練習(xí)： 1.已知長方體的長、寬、高之比為4∶3∶12，對角線長為26cm, 則長、寬、高分別為多少？ 2.棱臺的上、下底面積分別是25和81，高為4，求截得這棱臺的原棱錐的高 3.若棱長均相等的三棱錐叫正四面體，求棱長為a的正四面體的高.★例題：用一個平行于圓錐底面的平面去截這個圓錐，截得的圓臺的上、下底面的半徑的比是1：4，截去的圓錐的母線長為3厘米，求此圓臺的母線之長。

●解：考查其截面圖，利用平行線的成比例，可得所求為9厘米。

★ 例題2：已知三棱臺abc—a′b′c′ 的上、下兩底均為正三角形，邊長分別為3和6，平行于底面的截面將側(cè)棱分為1：2兩部分，求截面的面積。（43）

★ 圓臺的上、下度面半徑分別為6和12，平行于底面的截面分 高為2：1兩部分，求截面的面積。（100π）

▲ 解決臺體的平行于底面的截面問題，還臺為錐是行之有效的一種方法。

講義

2、空間幾何體的三視圖和直視圖

一、教學(xué)要求：能畫出簡單幾何體的三視圖；能識別三視圖所表

示的空間幾何體.掌握斜二測畫法；能用斜二測

畫法畫空間幾何體的直觀圖.二、教學(xué)重點(diǎn)：畫出三視圖、識別三視圖.三、教學(xué)難點(diǎn)：識別三視圖所表示的空間幾何體.四、教學(xué)過程：(一)、新課導(dǎo)入：

1.討論：能否熟練畫出上節(jié)所學(xué)習(xí)的幾何體？工程師如何制作工程設(shè)計(jì)圖紙？ 2.引入：從不同角度看廬山，有古詩：“橫看成嶺側(cè)成峰，遠(yuǎn)

近高低各不同。不識廬山真面目，只緣身在此山中?！?對于我們所學(xué)幾何體，常用三視圖和直觀圖來畫在紙上.三視圖：觀察者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形；直觀圖：觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫出的空間幾何體的圖形.用途：工程建設(shè)、機(jī)械制造、日常生活.(二)、講授新課：

1.教學(xué)中心投影與平行投影：

① 投影法的提出：物體在光線的照射下，就會在地面或墻壁上

產(chǎn)生影子。人們將這種自然現(xiàn)象加以的抽象，總結(jié)其

中的規(guī)律，提出了投影的方法。

② 中心投影：光由一點(diǎn)向外散射形成的投影。其投影的大小隨

物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不

能反映物體的實(shí)形.③平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影.分正投影、斜投影.→討論：點(diǎn)、線、三角形在平行投影后的結(jié)果.2.教學(xué)柱、錐、臺、球的三視圖：

① 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖

② 討論：三視圖與平面圖形的關(guān)系？ → 畫出長方體的三視圖，并討論所反應(yīng)的長、寬、高

③ 結(jié)合球、圓柱、圓錐的模型，從正面（自前而后）、側(cè)面（自左而右）、上面（自上而下）三個角度，分別觀察，畫出觀察得出的各種結(jié)果.→ 正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.③ 試畫出：棱柱、棱錐、棱臺、圓臺的三視圖.（④ 討論：三視圖，分別反應(yīng)物體的哪些關(guān)系（上下、左右、前后）？哪些數(shù)量（長、寬、高）

正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；

俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

⑤ 討論：根據(jù)以上的三視圖，如何逆向得到幾何體的形狀.（試變化以上的三視圖，說出相應(yīng)幾何

體的擺放）

3.教學(xué)簡單組合體的三視圖：

① 畫出教材p16 圖（2）、（3）、(4)的三視圖.② 從教材p16思考中三視圖，說出幾何體.4.練習(xí)：

① 畫出正四棱錐的三視圖.④ 畫出右圖所示幾何體的三視圖.③ 右圖是一個物體的正視圖、左視圖和俯視圖，試描述該物體的形狀.(三)復(fù)習(xí)鞏固、篇三：人教版高中數(shù)學(xué)必修2-全冊教案

第一章 空間幾何體 重難點(diǎn)解析

人教版數(shù)學(xué)必修二 第一章 課文目錄

1．1 空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1．2 空間幾何體的三視圖和直觀圖1．3 空間幾何體的表面積與體積

重難點(diǎn)：

1、讓學(xué)生感受大量空間實(shí)物及模型、概括出柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。

2、畫出簡單組合體的三視圖。

3、用斜二測畫法畫空間幾何值的直觀圖。

4、柱體、錐體、臺體的表面積和體積計(jì)算，臺體體積公式的推導(dǎo)。

5、了解推導(dǎo)球的體積和面積公式所運(yùn)用的基本思想方法。

知識結(jié)構(gòu)：

一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖 1．柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

（1）柱

棱柱：一般的，有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn)。

底面是三角形、四邊形、五邊形??的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱?? 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線。

棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體；（2）錐

棱錐：一般的有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱。

底面是三角錐、四邊錐、五邊錐??的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐?? 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面。

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體。（3）臺

棱臺：用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺的下底面和上底面；棱臺也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn)。

圓臺：用一個平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面；圓臺也有側(cè)面、母線、軸。

圓臺和棱臺統(tǒng)稱為臺體。（4）球

以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑。

（5）組合體

由柱、錐、臺、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體。幾種常凸多面體間的關(guān)系

一些特殊棱柱、棱錐、棱臺的概念和主要性質(zhì)：

幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì)： 2．空間幾何體的三視圖

三視圖是觀測者從不同位置觀察同一個幾何體，畫出的空間幾何體的圖形。他具體包括：

（1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和長度；（2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的高度和寬度；

（3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖； 它能反映物體的長度和寬度； 三視圖畫法規(guī)則：

高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長對正：主視圖與俯視圖的長應(yīng)對正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等 3．空間幾何體的直觀圖

（1）斜二測畫法

①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的ox，oy，建立直角坐標(biāo)系；

②畫出斜坐標(biāo)系，在畫直觀圖的紙上（平面上）畫出對應(yīng)的ox,oy,使?xoy=45（或135），它們確定的平面表示水平平面；

‘

③畫對應(yīng)圖形，在已知圖形平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x軸，且長度

‘

保持不變；在已知圖形平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y軸，且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?/p>

④擦去輔助線，圖畫好后，要擦去x軸、y軸及為畫圖添加的輔助線（虛線）。（2）平行投影與中心投影

平行投影的投影線是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)。注意：畫水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫出多邊形來，因此平面多邊形水平放置時，直觀圖的畫法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫法。強(qiáng)調(diào)斜二測畫法的步驟。

例題講解：

’’

’’

[例1]將正三棱柱截去三個角（如圖1所示a，b，c分別是△ghi三邊的中點(diǎn)）得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖（或稱左視圖）為（）a g 側(cè)視 d 圖1 e 圖2 b e a． b． e d e c． e d．

[例2]在正方體abcd?a1b1c1d1中，e，f分別為棱aa1，cc1的中點(diǎn)，則在空間中與三條直線a1d1，ef，cd都相交的直線（）a．不存在

b．有且只有兩條 c．有且只有三條 d．有無數(shù)條

[例3]正方體abcd_a1b1c1d1的棱長為2，點(diǎn)m是bc的中點(diǎn)，點(diǎn)p 是平面abcd內(nèi)的一 個動點(diǎn)，且滿足pm=2，p到直線a1d1p的軌跡是（）a.圓 b.雙曲線 c.兩個點(diǎn) d.直線

解析： 點(diǎn)p到a1d1p到ad的距離為1，滿足此條件的p的軌跡是到直線ad的距離為1的兩條平行直線，又?pm?2，?滿足此條件的p的軌跡是以m為圓心，半徑為2的圓，這兩種軌跡只有兩個交點(diǎn).故點(diǎn)p的軌跡是兩個點(diǎn)。選項(xiàng)為c。

點(diǎn)評：該題考察空間內(nèi)平面軌跡的形成過程，考察了空間想象能力。

[例4]兩相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放棱長為1的正方體內(nèi)，使正四棱

錐的底面abcd與正方體的某一個平面平行，且各頂點(diǎn)均在正方體的面上，則這樣的幾何．．．體體積的可能值有（）

a．1個 b．2個 c．3個 d．無窮多個

解析：由于兩個正四棱錐相同，所以所求幾何體的中心在正四棱錐底面正方形abcd中心，有對稱性知正四棱錐的高為正方體棱長的一半，影響幾何體體積的只能是正四棱錐底面正方形abcd的面積，問題轉(zhuǎn)化為邊長為1的正方形的內(nèi)接正方形有多少種，所以選d。

點(diǎn)評：本題主要考查空間想象能力，以及正四棱錐的體積。正方體是大家熟悉的幾何體，它的一些內(nèi)接或外接圖形需要一定的空間想象能力，要學(xué)會將空間問題向平面問題轉(zhuǎn)化。題型2：空間幾何體的定義

[例5]長方體abcd?a1bc11d1的8個頂點(diǎn)在同一個球面上，且ab=2，ad=，aa1?1，則頂點(diǎn)a、b間的球面距離是()a． 1 22 b． c．2? d．22? 42 解析：?bd1?ac1?2r??r? 設(shè)

bd1?ac1?o,則oa ?ob?r? ??aob? ? 2 ,?l?r??? 2 ,故選

ｂ.點(diǎn)評：抓住本質(zhì)的東西來進(jìn)行判斷，對于信息要進(jìn)行加工再利用。