第一篇：三角函數(shù)的二倍角公式

三角函數(shù)的二倍角公式

一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

數(shù)學是一門培養(yǎng)人的思維，發(fā)展人的思維的重要學科。因此，在教學中，不僅要使學生“知其然”而且要使學生“知其所以然”。所以在學生為主體，教師為主導(dǎo)的原則下，要充分揭示獲取知識和方法的思維過程。因此本節(jié)課我以建構(gòu)主義的“創(chuàng)設(shè)問題情境——提出數(shù)學問題——嘗試解決問題——驗證解決方法”為主，主要采用觀察、啟發(fā)、類比、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學方法。在教學手段上，則采用多媒體輔助教學，將抽象問題形象化，使教學目標體現(xiàn)的更加完美。

二、教材分析

三角函數(shù)的二倍角公式是普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）數(shù)學必修四，第三章第一節(jié)的內(nèi)容，其主要內(nèi)容是三角函數(shù)二倍角公式。同時教材滲透了轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學思想方法，為培養(yǎng)學生養(yǎng)成良好的學習習慣提出了要求.為此本節(jié)內(nèi)容在三角函數(shù)中占有非常重要的地位。

三、學情分析

本節(jié)課的授課對象是本校高一八班全體同學，本班學生水平處于中等偏下，但本班學生具有善于動手的良好學習習慣，所以采用發(fā)現(xiàn)的教學方法應(yīng)該能輕松的完成本節(jié)課的教學內(nèi)容。

四、教學目標

1、基礎(chǔ)知識目標：理解公式的發(fā)現(xiàn)過程，掌握正弦、余弦、正切的二倍角公式；

2、能力訓(xùn)練目標：能正確運用公式；

3、創(chuàng)新素質(zhì)目標：通過對公式的推導(dǎo)和運用，提高三角恒等變形的能力和滲透化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，提高學生分析問題、解決問題的能力；

4、個性品質(zhì)目標：通過公式的學習和應(yīng)用，感受事物之間的普通聯(lián)系規(guī)律，運用化歸等數(shù)學思想方法，揭示事物的本質(zhì)屬性，培養(yǎng)學生的唯物史觀。

五、教學重點和難點

1、教學重點：理解并掌握公式；

2、教學難點：正確運用公式，求三角函數(shù)值，化簡三角函數(shù)式。

六、教法學法以及預(yù)期效果分析

“授人以魚不如授之以魚”，作為一名老師,我們不僅要傳授給學生數(shù)學知識,更重要的是傳授給學生數(shù)學思想方法, 如何實現(xiàn)這一目的,要求我們每一位教者苦心鉆研、認真探究.下面我從教法、學法、預(yù)期效果等三個方面做如下分析。

（一）、教法

數(shù)學教學是數(shù)學思維活動的教學，而不僅僅是數(shù)學活動的結(jié)果，數(shù)學學習的目的不僅僅是為了獲得數(shù)學知識，更主要作用是為了訓(xùn)練人的思維技能，提高人的思維品質(zhì)。在本節(jié)課的教學過程中，本人以學生為主題，以發(fā)現(xiàn)為主線，盡力滲透類比、化歸、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，采用提出問題、啟發(fā)引導(dǎo)、共同探究、綜合應(yīng)用等教學模式，還給學生“時間”、“空間”，由易到難，由特殊到一般，盡力營造輕松的學習環(huán)境，讓學生體味學習的快樂和成功的喜悅

（二）、學法

“現(xiàn)代的文盲不是不識字的人，而是沒有掌握學習方法的人”，很多課堂教學常常以高起點、大容量、快推進的做法，以便教給學生更多的知識點，卻忽略了學生接受知識需要時間消化，進而泯滅了學生學習的興趣與熱情.如何能讓學生最大程度的消化知識，提高學習熱情是教者必須思考的問題。在本節(jié)課的教學過程中，本人引導(dǎo)學生的學法為思考問題、共同探討、解決問題、簡單應(yīng)用、重現(xiàn)探索過程、練習鞏固。讓學生參與探索的全部過程，讓學生在獲取新知識及解決問題的方法后，合作交流、共同探索，使之由被動學習轉(zhuǎn)化為主動的自主學習。

（三）、預(yù)期效果

本節(jié)課預(yù)期讓學生能正確理解誘導(dǎo)公式的發(fā)現(xiàn)、證明過程，掌握公式，并能熟練應(yīng)用公式了解一些簡單的化簡問題。

七、教學流程設(shè)計

（一）、創(chuàng)設(shè)意境 設(shè)計意圖

自信的鼓勵是增強學生學習數(shù)學的自信，簡單易做的題加強了每個學生學習的熱情，具體數(shù)據(jù)問題的出現(xiàn)，讓學生既有好像會做的心理但又有迷惑的茫然，去發(fā)掘潛力期待尋找機會證明我能行，從而思考解決的辦法。

（二）、新知探究

設(shè)計意圖

由特殊問題的引入，使學生容易了解，實現(xiàn)教學過程的平淡過度,為同學們探究發(fā)現(xiàn)任意角 與 的三角函數(shù)值的關(guān)系做好鋪墊。

（三）、問題一般化 探究

1、探究發(fā)現(xiàn)任意角a 的終邊與360°+a的終邊關(guān)于原點對稱；

2、探究發(fā)現(xiàn)任意角a的終邊和360°+a 的終邊與單位圓的交點坐標關(guān)于原點對稱；

3、探究發(fā)現(xiàn)任意角a 與360°+a 的三角函數(shù)值的關(guān)系。設(shè)計意圖

首先應(yīng)用單位圓，并以對稱為載體，用聯(lián)系的觀點，把單位圓的性質(zhì)與三角函數(shù)聯(lián)系起來，數(shù)形結(jié)合，問題的設(shè)計提問從特殊到一般，從線對稱到點對稱到三角函數(shù)值之間的關(guān)系，逐步上升，一氣呵成誘導(dǎo)公式二．同時也為學生將要自主發(fā)現(xiàn)、探索公式三和四起到示范作用，下面練習設(shè)計為了熟悉公式一，讓學生感知到成功的喜悅，進而敢于挑戰(zhàn)，敢于前進。

（四）、問題變形

學生自主探究。

設(shè)計意圖

遺忘的規(guī)律是先快后慢，過程的再現(xiàn)是深刻記憶的重要途徑，在經(jīng)歷思考問題－觀察發(fā)現(xiàn)－到一般化結(jié)論的探索過程，從特殊到一般，數(shù)形結(jié)合，學生對知識的理解與掌握以深入腦中，此時以類同問題的提出，大膽的放手讓學生分組討論，重現(xiàn)了探索的整個過程，加深了知識的深刻記憶，對學生無形中鼓舞了氣勢，增強了自信，加大了挑戰(zhàn).而新知識點的自主探討，對教師駕馭課堂的能力也充滿了極大的挑戰(zhàn).彼此相信，彼此信任，產(chǎn)生了師生的默契，師生共同進步.展示學生自主探究的結(jié)果給出本節(jié)課的課題 ：三角函數(shù)公式。設(shè)計意圖

標題的后出，讓學生在經(jīng)歷整個探索過程后，還回味在探索，發(fā)現(xiàn)的成功喜悅中，猛然回頭，哦，原來知識點已經(jīng)輕松掌握，同時也是對本節(jié)課內(nèi)容的小結(jié).（五）、概括升華

設(shè)計意圖 簡便記憶公式

（六）、練習強化 求下列三角函數(shù)的值：

1、sin(-100°)；

2、cos(-20400°)。設(shè)計意圖

本練習的設(shè)置重點體現(xiàn)一題多解，讓學生不僅學會靈活運用應(yīng)用三角函數(shù)的公式，還能養(yǎng)成靈活處理問題的良好習慣這里還要給學生指出課本中的“負角”化為“正角”是針對具體負角而言的。

設(shè)計意圖

重點加強對三角函數(shù)的公式的綜合應(yīng)用。

（七）、小結(jié)

1、小結(jié)使用公式化簡任意角的三角函數(shù)為銳角的步驟；

2、體會數(shù)形結(jié)合、對稱、化歸的思想；

3、“學會”學習的習慣。

（八）、作業(yè)

1、課本Ｐ-27,第1,2,3小題;

2、附加課外題。（略）設(shè)計意圖

加強學生對三角函數(shù)的公式的記憶及靈活應(yīng)用，附加題的設(shè)置有利于有能力的同學“更上一樓”。

第二篇：二倍角公式教學設(shè)計方案

“二倍角的正弦、余弦、正切”教學設(shè)計

江門市荷塘職業(yè)技術(shù)學校 李苑華

教學內(nèi)容：《數(shù)學》（普通高中課程標準實驗教科書，高教版），3.1.3節(jié) 設(shè)計理念：

我們是職業(yè)學校，學生上進心很強。不僅要掌握職業(yè)技能，還要參加高考，繼續(xù)深造。他們比一般學生要求更高。然而他們的基礎(chǔ)較低，教、學都要付出多倍努力。我所用的教學方法和手段符合學生的認知能力，效果很好。

在和角公式基礎(chǔ)上，探討研究特殊情況：兩個角相等，得到“二倍角”公式。例題教學體現(xiàn)了把未知變?yōu)橐阎霓D(zhuǎn)化數(shù)學思想。公式的運用，體現(xiàn)了由感性認識上升到理性認識的規(guī)律。

學生的求學，好比響鼓，還需重錘敲，特別引用名言勉勵學子上進。(一)、教學目標：

1.知識目標：從兩角和公式推導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式； 2.技能目標： 通過公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學生的邏輯推理能力。3.情感、態(tài)度與價值觀：強化參與意識，培養(yǎng)學生的綜合分析能力。

設(shè)計意圖：讓學生在求學路上有得學，聽得懂，學得到，用得上。

(二)、過程與方法:

1.過程：推導(dǎo)公式，再綜合運用公式。2.方法：用講授法和探究式教學。

設(shè)計意圖：運用從普遍性到特殊性的認知規(guī)律提，高解題的能力。

（三）、學情分析：

師生都很刻苦教、學，常常進行練習、檢測，經(jīng)過反復(fù)的強化、記憶，學生對知識掌握較好，學習相當感興趣，他們是渴求學習的。

（四）、教材分析：

由和角公式，通過聯(lián)想，設(shè)問特殊況：兩個角相等，得出二倍角公式，學生知道和角公式與二倍角公式的聯(lián)系，由此及彼，由淺入深。

設(shè)計意圖：培養(yǎng)學生嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度，勇于探索新知識的進取精神。

（五）、教學重點與難點分析：

重點：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)過程。難點：二倍角公式的綜合運用。

設(shè)計意圖： 職業(yè)班學生在他們的專業(yè)課中，更多地應(yīng)用二倍角的知識，發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容對所學專業(yè)起的促進作用

（六）、教學過程

一、復(fù)習和角公式：

1、（學生回答）（1分鐘）

2、探究設(shè)問：當???時，公式的變化。（８分鐘）

教師推導(dǎo)

二、例題教學 例1 已知sin?=5?,<α

?2設(shè)計意圖：引導(dǎo)學生開拓思路，找到解題突破口。

方法：先觀察題目，找出二倍角關(guān)系。

過程：求出cos?, cos2?和tan2?用兩種方法求出來。

預(yù)期目標：公式學以致用，優(yōu)選方法，采用計算量最小，最準確的一種。技巧歸納：從條件出發(fā)，順著問題的線索，展開公式的方法。

例2，求下列各式的值（５分鐘）

tan22.5?（1）sin22°30′cos22°30′(2)sin?cos

(3)2881?tan22.5?2?2?選題意圖：根據(jù)本班學生的知識水平，有必要加強公式運用。解題入手：觀察系數(shù)，符號變化，對比公式。思路點撥：仔細對照比較，設(shè)法轉(zhuǎn)化到能應(yīng)用公式。

預(yù)期目標：對公式的正用、逆用，變形用都能舉一反三，應(yīng)用自如。技巧歸納：根據(jù)式子結(jié)構(gòu)特點，對公式有一個整體的感知，進行等價變形。

三、練習固鞏：（6分鐘）

① 已知sin(???)=,求cos2?的值。② 已知tan2?=,，求tan?

③ 高考接觸：（9分鐘）（2012年廣州二模文科）已知函數(shù)f(x)=(cosx+sinx)(cosx-sinx),，(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期。(2)若0????23513，0????2，且f(?2)?1?2,f()?,求sin(???)的值323

設(shè)計意圖：教會學生運用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。

① 運用誘導(dǎo)公式，先把角進行化簡，就可應(yīng)用二倍角公式，② 先用平方差公式，就可應(yīng)用二倍角公式，求出周期。③

把未知的元素變?yōu)橐阎脑亍?/p>

預(yù)期目標：加深鞏固二倍角公式運用，培養(yǎng)學生思維的靈活性。

讓學生接觸高考題型，擴大知識面，解題融會貫通。

7、感悟小結(jié)：（1）、這節(jié)課你學到了什么知識，怎么獲得這些知識？

（2）、你在推導(dǎo)和應(yīng)用公式中，用了什么數(shù)學思想方法？

設(shè)計意圖：（1）、讓學生懂得歸納本節(jié)課的的收獲，獲取知識的途徑。

（2）、讓學生總結(jié)領(lǐng)悟：好好學習，天天進步。

8、回顧反思的

二倍角公式，技巧性強，只要勤奮好學，熟能生巧。

設(shè)計意圖：教師時常反省教學，及時反饋，力求不斷完善，不斷提高。

數(shù)學家啟迪我們學習的方法：

學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思考，知其然，知其所以然?！K步青

設(shè)計意圖：應(yīng)用名人名句激勵學生，增強士氣。

9、課后作業(yè)的設(shè)計意圖

檢查學習質(zhì)量，查漏補缺，鞏固學習成果。

分層次布置作業(yè)，讓一般能力的學生，完成基本的練習，有余力的學生，拓展創(chuàng)新，達到分槽喂馬的目的。

第三篇：《二倍角公式》教學反思

《二倍角的正弦、余弦、正切公式》教學反思

根據(jù)上級教育主管部門關(guān)于高效課堂走進職業(yè)教育的安排，我校近期組織相關(guān)教師開展了高效課堂在文化基礎(chǔ)課、專業(yè)課上的嘗試，作為高效課堂我校職業(yè)教育課堂的開始，我根據(jù)高效課堂教學模式的相關(guān)理論，在本班數(shù)學教學中展開了積極的實踐和探索。本節(jié)《二倍角的正弦、余弦、正切公式》新授課，正是對高效課堂的實踐和探索。

通過近期的教育教學實踐，我認識到高效課堂下的數(shù)學教學是否有效，并不是指教師有沒有教完內(nèi)容或教得認真不認真，而是指學生有沒有學到什么或?qū)W生學得好不好。如果學生不想學或者學了沒有收獲，即使教師教得很辛苦也是無效教學。這就要求教師注重課堂這個沖鋒陷陣的主陣地，它不只是看你備課、上課的認真程度，更關(guān)注一個教師對課堂結(jié)構(gòu)的把握，節(jié)奏的安排，時間的掌控以及對學生學習方法等等多方面的考慮。以下是我的一點體會：

一、課堂教學模式應(yīng)簡單實用

教學中都是采用的“合作-探究”的教學模式。在教學中，老師引導(dǎo)，小組合作，共同探究，然后再做全班展示匯報。做匯報的學生要講出思路、講出方法、講步驟??，匯報展示之后，臺下的學生如果誰有疑問，誰就可以隨時站起來進行質(zhì)疑，主講學生能釋疑的就進行講解，而老師則適時作出補充。這樣的課很有效率，教師講得很少，真正把課堂還給了學生，把時間還給了學生，把教師的“一言堂”變成了“群言堂”，為了讓學生真正成為課堂的主人，在數(shù)學教學過程中,對于學生的提問,教師不必作直接的詳盡的解答,只對學生作適當?shù)膯l(fā)提示,讓學生自己去動手動腦,找出答案,以便逐步培養(yǎng)學生自主學習的能力,養(yǎng)成他們良好的自學習慣。課上教師應(yīng)該做到三“不”：學生能自己說出來的，教師不說；學生能自己學會的，教師不講；學生能自己做到的，教師不教。盡可能地提供多種機會讓學生自己去理解、感悟、體驗，從而提高學生的數(shù)學認識，激發(fā)學生的數(shù)學情感，促進學生數(shù)學水平的提高。這樣的教學模式真正達到了“低耗時高效率”的教學目的，老師教得不累、教得輕松，學生學得快樂、學得扎實，并且效果相當好。同時也體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)，以學生為主體的教學思想。

二、其次教師要轉(zhuǎn)變教育教學的方式。

要注重學生實際，從學生的學習、生活實際出發(fā)，從學生的學習愛好、生活樂趣著手。新的課堂是不可能單純地依靠知識的傳承、講授、灌輸來形成的，必須改變教學策略和改進教學方法，改變學生的學習方式，把學什么變成怎么學，把被動地學轉(zhuǎn)為主動地去學。

三、在課堂教學上突出了精講巧練，做到堂上批改輔導(dǎo)和及時的反饋。

由于人數(shù)較多，學生的數(shù)學層次參差不齊，有針對性的輔導(dǎo)還不完善。另外學生學習的參與度還可以提高，體現(xiàn)在小組討論、新知識的舉例交流等合作學習，本班學生的學習方法比較單一，可加強學法的指導(dǎo)。

四、在數(shù)學教學過程中，討論是情感交流和溝通的重要方法。教師與學生的討論，學生與學生的討論是學生參與數(shù)學教學過程，主動探索知識的一種行之有效的方法。高效課堂要求教學要依照教學目標組織學生充分討論，并以積極的心態(tài)互相評價、相互反饋、互相激勵，只有這樣才能有利于發(fā)揮集體智慧，開展合作學習，從而獲得好的教學效果。我認為高效課堂下教師高超的教學藝術(shù)之一就在于調(diào)動學生的積極情感，使之由客體變?yōu)橹黧w，使之積極地、目的明確地、主動熱情地參與到教學活動中來。

五、課堂上教師可以采用“小組合作學習”的教學形式，以小組成員合作性活動為主體。學生在小組內(nèi)相互討論、評價、傾聽、激勵，加強學生之間的合作與交流，充分發(fā)揮學生群體磨合后的智慧，必將大大拓展學生思維的空間，提高學生的自學能力。另外，教師從講臺上走下來，參與到學生中間，及時了解到、反饋到學生目前學習的最新進展情況。學生出現(xiàn)了問題，沒關(guān)系，這正是教學的切入點，是教師“點”和“導(dǎo)”的最佳時機。通過學生的合作學習和教師的引導(dǎo)、啟發(fā)、幫助，學生必將成為課堂的真正主人。

六、在課堂教學過程中，真誠交流意味著教師對學生的殷切的期望和由衷的贊美。

期望每一個學生都能學好，由衷地贊美學生的成功。我認為，作為教師，應(yīng)該在數(shù)學教學過程的始終，都要對學生寄予一種熱烈的期望，并且要讓學生時時感受到這種期望，進而使學生為實現(xiàn)這種期望而做出艱苦努力。教師在數(shù)學教學過程中以肯定和贊美的態(tài)度對待學生,善于發(fā)現(xiàn)并培養(yǎng)學生的特長,對學生已經(jīng)取得或正在取得的進步和成績給予及時、充分的肯定評價,從而激發(fā)學生的自信心、自尊心和進取心,不斷將教師的外在要求內(nèi)化為學生自己更高的內(nèi)在要求,實現(xiàn)學生在已有基礎(chǔ)上的不斷發(fā)展。

七、高效課堂教學模式下要求教師在數(shù)學教學過程中充分理解和信任學生。

理解是教育的前提。在教學中教師要了解學生的內(nèi)心世界，體會他們的切身感受，理解他們的處境。尊重學生，理解學生，熱愛學生，只要你對學生充滿愛心，相信學生會向著健康、上進的方向發(fā)展的

八、改變單純以成績高低評價學生的學習狀況的傳統(tǒng)評價手段，逐步實施多元化的評價手段與形式。

既關(guān)注學生知識與技能的理解與掌握，又關(guān)注學生情感與態(tài)度的形成與發(fā)展；既關(guān)注學生的學習結(jié)果，又關(guān)注他們在學習過程中的變化與發(fā)展。我所教班的學生生性好動任性，自制的能力比較差，學習基礎(chǔ)薄弱，為此，我在反復(fù)教育的基礎(chǔ)上，注意發(fā)掘他們的閃光點，并給予及時的表揚與激勵，增強他們的自信心。如孟文磊同學身有殘疾，平時不按時上交作業(yè)，但是該生課堂反應(yīng)及時準確，我及時在班中表揚了他，使其感到不小的驚喜，并在之后的學習中更加積極。有好幾個學生如楊邦棟、景瞳、姜妍數(shù)學基礎(chǔ)較差，接受能力較弱，我反復(fù)強調(diào)會與不會只是遲與早的問題，只要你肯學。同時，我加強課外的輔導(dǎo)，想辦法讓他們體驗學習成功的喜悅。經(jīng)過高效課堂的實施，我深感在教學的理念上、教師與學生在教與學的角色上、教學的方式方法上、師生的評價體系上都發(fā)生了根本的轉(zhuǎn)變，這都給教師提出了新的挑戰(zhàn)，因此，只有在教學的實施中，不斷地總結(jié)與反思，才能適應(yīng)新的教學形勢的發(fā)展。

事實證明，小組互助學習在培養(yǎng)學生合作與交流能力的同時，調(diào)動了每一個學生的參與意識和學習積極性。不僅有助于學生的交流，而且對于后進生的轉(zhuǎn)化，尖子生的培養(yǎng)都是一種有利的形式。

九、我認為高效課堂的教學模式對傳統(tǒng)教學方式做出了以下五方面的重要和深刻的改革：

（一）、課堂教學模式的改革：改教師講學生聽的教學模式為學生先自主學習、教師據(jù)學情施教的模式。

（二）、教師工作方式的改革：改備課、上課、批作業(yè)為編制學案、查研學情、設(shè)計導(dǎo)引。

（三）、學生學習方式的改革：改學生先聽講后做練習的方式為學生先自主學習，再與教師互動交流的方式。

（四）、改革教案作業(yè)要求方式：改教案編寫為學案編寫，改作業(yè)為課堂過關(guān)檢測。

（五）、改革課堂布局模式：改過去人人面向黑板的座次布局為以六至八人為一組的小組同學圍坐布局，實施有助于小組互助學習的課堂布局。

總之面對高效課堂，教師要在數(shù)學教學過程中要轉(zhuǎn)變角色，掌握方法，適應(yīng)高效課堂的教學模式的要求，把握高效課堂的教學模式的規(guī)律，認真總結(jié)并汲取正反兩方面的經(jīng)驗教訓(xùn)，學會關(guān)愛、學會理解、學會激勵、學會合作，這樣我們在高效課堂下的數(shù)學教學會更加流暢、更加有效，教師和學生都會有成功和快樂的體驗。

第四篇：二倍角公式的運用

學科：數(shù)學

教學內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（一）【學習目標】

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線、單調(diào)性、極大（?。┲?、函數(shù)在連續(xù)區(qū)間［a，b］上的最大（?。┲?，培養(yǎng)數(shù)學思維能力．

【高考試題剖析】

91．曲線y＝x在點（3，3）處的切線傾斜角α＝__________．

92923【解析】∵y′＝－x，∴y′|x＝3＝－x|x＝3＝－1，∴α＝4π．

3【答案】4π

x－x2．函數(shù)f（x）＝e＋e在（0，＋∞）上的單調(diào)性是___________． 【解析】∵f′（x）＝ex－e－x＝e－x（e2x－1），當x∈（0，＋∞）時，f′（x）>0． ∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)． 【答案】增函數(shù)

3．函數(shù)y＝1＋3x－x3有（）A．極小值－1，極大值1

B．極小值－2，極大值3 C．極小值－2，極大值2

D．極小值－1，極大值3

2【解析】∵f′（x）＝3－3x＝0，∴x＝±1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數(shù)y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15

B．5，4

C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗知，當x＝2時，y極?。剑?5．

又f（0）＝5，f（3）＝2×27－3×9－12×3＋5＝－4 ∴y最大值＝5，y最小值＝－15 【答案】A 5．下面說法正確的是（）

A．函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值一定比極小值大 B．函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值一定是極大值

C．對于f（x）＝x3＋px2＋2x＋1，若|p|<6，則f（x）無極值 D．函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上一定存在最值

【解析】極值是函數(shù)的局部性質(zhì)，最值是函數(shù)的整體性質(zhì)，因此，極大值不一定是最大值，A錯．由于函數(shù)的最值可能在端點取得，因此最大值不一定是極值，B錯．

22對于C，∵f′（x）＝3x＋2px＋2，方程3x＋2px＋2＝0，當|p|<6時無實根，而f（x）在R內(nèi)可導(dǎo)，因此f（x）無極值．

【答案】C 【典型例題精講】

1［例1］研究函數(shù)f（x）＝ax3＋bx2－ax＋1的單調(diào)性，其中a≠0．

1【解】∵f′（x）＝3ax＋2bx－a

2?b?當a＞0時，f′（x）＞0，則x＜

2b?33a或

22x??b?b?33a，2?b?f′（x）＜0時，b?33a2?x??b?b?33ab?32，(??,所以f（x）在在[?b?b3a2?b?2b?33a],[?b?3a,??)上單調(diào)遞增，?3,?b?b3a?3]上單調(diào)遞減．

[當a＜0時，同樣可得f（x）在?b?b?3?b?b?3,]3a3a上單調(diào)遞增，b?3222?b?b?323a3a在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞減．

432［例2］偶函數(shù)f（x）＝ax＋bx＋cx＋dx＋e的圖象過點P（0，1），且在x＝1處的切線方程為y＝x－2，（1）求y＝f（x）的解析式；（2）求y＝f（x）的極值．

【解】（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴b＝d＝0．又圖象過點P（0，1），則e＝1，此時f（x）42＝ax＋cx＋1 ∴y′＝4ax3＋2cx，∴y′|x＝1＝4a＋2c＝1

① 又切線的切點（1，－1）在曲線上，∴a＋c＋1＝－1 ②

由①②得,],[?b?a?52,c??92，∴

f(x)?52x?4923x?12

（2）f′（x）＝10x3－9x＝0，∴x＝0或x＝±10． 通過列表可知：

341當x＝±10時，f（x）極小＝－40

當x＝0時，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個點的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線）

1【解】在曲線y＝3x6上任取一點（x，y），過該點切線的斜率為k＝2x5

1∴法線的斜率為－2x．

51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）

5Y?y?令z＝0，得法線在y軸上的截距：

12x4?x63?12x

4xx則

令Y′＝0，得x＝±1 當x＜－1時，Y′＜0，則Y單調(diào)減??； 當－1＜x＜0時，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； 當0＜x＜1時，Y′＜0，則Y單調(diào)減??； 當x＞1時，Y′＞0，則Y單調(diào)增加； Y??2x?525?2(x105?1)51從而當x＝±1時，Y取得最小值為6，此時點（±1，3）為所求．

32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝±1時取得極值，且f（1）＝－1，（1）試求常數(shù)a、b、c的值；

（2）試判斷x＝±1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由．

【分析】考查函數(shù)f（x）是實數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點，再通過極值點與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點必為f′（x）＝0的根建立起由極值點x＝±1所確定的相關(guān)等式，運用待定系數(shù)法確定a、b、c的值．

2（1）【解法一】f′（x）＝3ax＋2bx＋c，∵x＝±1是函數(shù)的極值點

2∴x＝±1是方程3ax＋2bx＋c＝0的兩根． 由根與系數(shù)的關(guān)系知：

又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③ 由①、②、③解，得：【解法二】由f′（1）＝f′（－1）＝0，得：3a＋2b＋c＝0 ① 3a－2b＋c＝0

② 又f（1）＝－1，∴a＋b＋c＝－1

③

2．1333233f(x)?x?xx??(x?1)(x?1)22，∴f′（x）＝222（2）

當x<－1或x>1時f′（x）>0，當－1

【注】本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進行逆向聯(lián)想，合理地實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問題具體化，在轉(zhuǎn)化的過程中充分運用了已知條件確定了解題的大方向．

［例5］證明方程sinx＝2x只有一個實根：x＝0．

【證明】構(gòu)造函數(shù)f（x）＝2x－sinx，x∈（－∞，＋∞）．

∵f′（x）＝2－cosx>0，∴f（x）在（－∞，＋∞）上是增函數(shù)． 由①、②、③解得：

a?1,b?0,c??3a?12,b?0,c??3又當x＝0時，f（x）＝0，∴方程2x＝sinx有惟一實根x＝0． 【注】本題體現(xiàn)了函數(shù)思想的應(yīng)用．

【達標訓(xùn)練】

1．函數(shù)y＝（x2－1）3＋1在x＝－1處（）A．有極大值

B．有極小值 C．無極值

D．無法確定極值情況

22【解析】∵y′＝3（x－1）·2x，令y′＝0，得：x＝0或x＝1或x＝－1，但當x∈（－∞，－1）時，y′<0，當x∈（－1，0）時，y′<0，因此當x＝－1時無極值．

【答案】C 2．設(shè)y＝（2x＋a）2，且y′（2）＝20，則a等于（）A．－1 B．1

C．0

D．任意實數(shù) 【解析】∵y′＝4（2x＋a），∵y′|x＝2＝20，∴a＝1． 【答案】B 3．函數(shù)y＝sin2x－x，x∈

[???,22上的最大值是___________，最小值是_________．

?32]【解析】∵y′＝2cos2x－1＝0，∴x＝±6

f(?而端點?6)??32??6,f(?6)???6 ,f(??2)??,f()??222

??????所以y的最大值是2，最小值是－2．

【答案】2 －2

4．如果函數(shù)f（x）＝ax3－x2＋x－５在（－∞，＋∞）上單調(diào)遞增，則a__________． 【解析】∵y′＝3ax2－2x＋1＞0

1∴a＞0且Δ＝4－12a＜0，即a＞3．

1【答案】＞3

5．求證：當|x|≤2時，|3x－x3|≤2． 【證明】設(shè)f（x）＝3x－x3

22f′（x）＝3－3x＝3（1－x）當x＝±1時，f′（x）＝0 當x＜－1時，f′（x）＜0 當－1

16．設(shè)f（x）＝x－2x－2x＋５

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；

（2）當x∈［－1，2］時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．

22∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（－3，1）（2）原命題等價于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．

2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．

27．求函數(shù)y＝xlnx的極值． f(?1)?11,f(?2)?522,f(1)?72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x·x＝x（2lnx＋1）．

2?12?12?12?12令y′＝0，得：x＝e時，y′>0，?12，當0e∴y在（e?12，＋∞）上是增函數(shù)．

?1211∴x＝e時，y有極小值（e）2（－2）＝－2e．

【解題指導(dǎo)】

掌握求給定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值的一般方法，會求已知曲線在指定點處的切線的斜率．

【拓展練習】 備選題

1．求y＝excosx的極值．

?【解】y′＝ex（cosx－sinx），令y′＝0，即cosx－sinx＝0，得x＝2kπ＋4或x＝52kπ＋4π，k∈Z．

?35當x∈（2kπ＋4，2kπ＋4π）（k∈Z）時，y′<0，f（x）為減函數(shù)；當x∈（2k??π－4π，2kπ＋4），k∈Z時，y′>0，f（x）為增函數(shù)，因此，當x＝2kπ＋4（k2∈Z）時，y有極大值2·e2k???4（k∈Z）．

52當x＝2kπ＋4π（k∈Z）時，y有極小值－2·e（k∈Z）．

322．已知f（x）＝2x－6x＋m（m為常數(shù)），在［－2，2］上有最大值3，那么此函數(shù)在［－2，2］上的最小值為（）

A．－37

B．－29 C．－5

D．－11

2【解析】∵f′（x）＝6x－12x＝6x（x－2），由f′（x）＝0，得x＝0或2．

∵f（0）＝m，f（2）＝－8＋m，f（－2）＝－40＋m，有f（0）>f（2）>f（－2）∴m＝3，最小值為f（－2）＝－37． 【答案】A 3．函數(shù)y＝3x2－2lnx的單調(diào)增區(qū)間為_____；減區(qū)間為_____． 【解析】函數(shù)的定義域為：（0，＋∞）

42k??5?2300，得x>3，∴單調(diào)增區(qū)間為（3，＋∞），由y′<0，得

3∴單調(diào)減區(qū)間為（0，3）．

33【答案】（3，＋∞）（0，3）

4．求曲線y＝4－x2（x>0）上與定點P（0，2）距離最近的點． 【解】設(shè)曲線y＝4－x2上任意一點為Q（x，y），則

?4|PQ|＝

2423設(shè)f（x）＝|PQ|＝x－3x＋4，則f′（x）＝4x－6x＝2x（2x2－3）(x?0)?(y?2)22?x2?(2?x)22?x4?3x23令f′（x）＝0，∵x>0，∴x＝

32，又當0

32時取極小值，因為f（x）只有一個極3當x>2時，f′（x）>0，∴f（x）在x＝

35,值點，因此該極小值也是最小值，相應(yīng)地|PQ|也取得最小值，這時Q點坐標為（22），35,22）即與點P（0，2）最近的點是Q（．

注：如果函數(shù)f（x）在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點（單峰函數(shù)），那么極小值即為最小值，極大值即為最大值．

學科：數(shù)學 教學內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

（二）【學習目標】

利用導(dǎo)數(shù)求解一些實際問題的最大值和最小值，培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力．

【高考試題剖析】

x?1）的單調(diào)性是______________．

lgelgex2?(1?x?x)??(1?)222x?x?11?x 【解析】y′＝x?x?1lge??021?x，所以f（x）在R上是增函數(shù)． 1．函數(shù)f（x）＝lg（x＋【答案】增函數(shù)

212．已知一直線切曲線y＝10x于x＝2，且交此曲線于另一點，則此點坐標___________．

313【解析】∵k＝y(tǒng)′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝1.2 又切點為（2，0.8），切線方程為6x－5y－8＝0

?x?2?x??4,??聯(lián)立解得?y?0.8?y??6.4 所以另一交點為（－4，－6.4）． 【答案】（－4，－6.4）

3．等邊三角形當高為8 cm時，其面積對高的改變率是__________． 13?x?y?10??6x?5y?8?0?1【解析】∵S＝162163h2，∴S′＝3h ∴S′|h＝8＝3

【答案】3

4．函數(shù)y＝x3＋3x2－24x＋12的極小值是_____．

【解析】∵y′＝3x2＋6x－24＝3（x2＋2x－8）＝3（x＋4）（x－2）令y′＝0，得x＝－4或x＝2，檢驗知：當x＝2時，y取極小值－16． 【答案】－16

【典型例題精講】

1［例1］當x＞0時，證明ln（1＋x）＞x－2x．

21【證明】設(shè)f（x）＝ln（1＋x）＋2x2－x，其定義域為（－1，＋∞），1x?1f′（x）＝x?1

∴f（x）在（－1，＋∞）上是增函數(shù)

由增函數(shù)定義知：當x＞0時，f（x）＞f（0）＝0 1即ln（1＋x）＋2x2－x＞0 ?x?1?x2?01所以當x＞0時，ln（1＋x）＞x－2x．

［例2］設(shè)f（x）＝ax3＋x恰有三個單調(diào)區(qū)間，試確定實數(shù)a的取值范圍，并求出這三個單調(diào)區(qū)間．

2【解】∵f′（x）＝3ax＋1，若a>0，則f′（x）>0，x∈（－∞，＋∞），此時f（x）只有一個單調(diào)區(qū)間，矛盾；若a＝0，則f′（x）＝1>0，此時f（x）仍只有一個單調(diào)區(qū)間．

2(x?若a<0，f′（x）＝3a·

1?3a)(x?11?3a，綜上可知a<0時，f（x）恰有

11?3a，＋∞），增區(qū)間為（－

?3a)三個單調(diào)區(qū)間，其中減區(qū)間為（－∞，－

?3a）和（，1?3a）．

［例3］用總長14.8 m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制容器的底面的一邊比另一邊長0.5 m，那么高為多少時容器的容積最大?并求出它的最大容積? 【解】設(shè)容器底面短邊長為x m，則另一邊長為（x＋0.5）m，高為（3.2－2x）m，由3.2－2x＞0，x＞0，得0＜x＜1.6 設(shè)容器的容積為y m3，則有y＝x（x＋0.5）（3.2－2x）（0＜x＜1.6)

整理y＝－2x3＋2.2x2＋1.6x ∴y′＝－6x2＋4.4x＋1.6

4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．

從而，在定義域（0，1.6）內(nèi)只有在x＝1處使y′＝0，由題意，若x過小（接近0）或過大（接近1.6）時，y值很小（接近0），因此，當x＝1時，ymax＝1.8，此時高1.2 m．

3【答】容器的高為1.2 m時容積最大，最大容積為1.8 m． ［例4］一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最??？

33【解】設(shè)船速為x（x>0）公里/小時，燃料費是Q元，則Q＝kx，由6＝k·10得：k3＝500，331∴Q＝500x3，總費用y＝（500x2＋96）·x?3500x?2966x，∵y′＝500x?96x，2令

y′＝0，得x＝20，由于該函數(shù)在（0，＋∞）內(nèi)有惟一的極值點是極小值點，所以該極小值是最小值．因此，當船速為20公里/小時時，航行每公里的費用總和最?。?/p>

［例5］直線y＝a與函數(shù)f（x）＝x3－3x的圖象有相異三個交點，求a的取值范圍．

2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）>0得單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）<0得單調(diào)減區(qū)間為（－1，＋1），檢驗知x＝1時，f（1）＝－2是極小值，當x＝－1時，f（－1）＝2是極大值，結(jié)合圖象知：

當－2

【達標訓(xùn)練】

1．證明雙曲線xy＝a2上任意一點的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為定值．

a2【證明】設(shè)y＝x上任一點為Q（x0，y0），則

k?y?|x?x??0ax22|x?x??0a22x0，∴切a22線方程為：y－y0＝－x0（x－x0）

令y＝0，則x?x0?y0x0a22?x0?ax0a222?2x0

y?y0?令x＝0，則

a2x02

?x0y0?ax0?2a2x0

1∴S＝2|x|·|y|＝2a（定值）

?22．當0

?【證明】令f（x）＝x－sinx，則當0＜x＜2時，f′（x）＝1－cosx＞0 ?∴f（x）在（0，2）上單調(diào)增加，而f（0）＝0，?∴當0＜x＜2時，f（x）＞0，即x＞sinx

222令ｇ（x）＝sinx－?x，∴ｇ′（x）＝cosx－?

當0＜x＜arccos?時，ｇ′（x）＞0，則ｇ（x）單調(diào)增加；

2?＝0

?當arccos?＜x＜2時，ｇ′（x）＜0，則ｇ（x）單調(diào)減小，而f（0）＝f（2）?2∴當0＜x＜2時，ｇ（x）＞0，即sinx＞?x．

2?綜上，當0＜x＜2時，?x＜sinx＜x．

?3．如圖11—1，扇形AOB中，半徑OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延長線上有一動點C，過C作CD與相切于點E，且與過點B所作的OB的垂線交于點D，當點C在什么位置時，直角梯形OCDB面積最??？

【解】設(shè)OC＝x（x＞0），過D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC

22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－

x?1

1221∴S＝2（BD＋OC）·OB＝2（2x－x?1）

x2∴S′＝1－2x?1＝0，∴x＝23

2所以當OC＝3時，直角梯形OCDB面積最?。?/p>

4．如圖11—2，兩個工廠A、B相距0.6 km，變電站C距A、B都是0.5 km．計劃鋪設(shè)動力線，先求C沿AB的垂線至D，再與A、B相連，D點選在何處時，動力線最短？

【解】設(shè)CD⊥AB，垂足為E，DE的長為x km．

由AB＝0.6，AC＝BC＝0.5得CE＝0.5?0.3＝0.4，CD＝0.4－x AD＝BD＝x?0.3動力線總長l＝22222x?0.3＋0.4－x

2x2222?1?2x?2x?0.3x?0.3222l′＝（2x?0.3＋0.4－x）′＝2·2x?0.33．

令l′＝0，得x＝10≈0.17，由于該函數(shù)只有這一個極值點．因此它是最小值點． 【答】D點選在距AB0.17 km處時，動力線最短．

【解題指導(dǎo)】

應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是要建立恰當?shù)臄?shù)學模型（函數(shù)關(guān)系）．如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′（x）＝0的情形，此時函數(shù)在此點有極大（?。┲?，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大（?。┲担?/p>

【拓展練習】 備選題

1．已知x、y為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式x2－2x＋4y2＝0，求x·y的最大值．

1【解法一】4y＝2x－x，∵y>0，∴y＝2

222x?x2

?x?0?2x2x?x2x?x?0∴xy＝2，由?得0

12?2xx(3?2x)2(2x?x?x?)?22222x?x22x?x∵f′（x）＝

312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）

3333333檢驗知x＝2是極大值點，由極值點是惟一的，知當x＝2時，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）＝8，即x·y的最大值為8．

2222【解法二】由x－2x＋4y＝0，得（x－1）＋4y＝1（x>0，y>0）

1設(shè)x－1＝cosα，y＝2sinα（0<α<π）

111111333∴xy＝2sinα（1＋cosα），設(shè)f（α）＝ 2sinα（1＋cosα）

則f′（α）＝ 2［sinα（－sinα）＋cosα（1＋cosα）］＝2（2cos2α＋cosα－1）＝（cosα＋1）·（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2

??3338333∵0<α<π，∴α＝3，此時x＝2，y＝4，∴［f（α）］max＝8，即當x＝2，y＝4時［x·y］max＝8． 2．如圖，一條河寬1千米，相距4千米（直線距離）的兩座城市A和B分別位于河的兩岸（城市A、B與岸邊的距離忽略不計），現(xiàn)需鋪設(shè)一條電纜連通城市A與B，已知地下電纜的修建費為2萬元／千米，水下電纜的修建費為4萬元／千米．假設(shè)兩岸是平行直線，問應(yīng)如何鋪設(shè)電纜可使總費用最省?（15?3.813,f()?333?1.732，精確到百米、百元）

【解】過B作對岸所在直線的垂線，垂足記為O，設(shè)在到O距離為x km的點C，分別鋪設(shè)BC、CA間的水下、地下電纜可使費用最?。畡tBC＝x?1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，總費用為y，則y＝2（15－x）＋41?x（0≤x≤15）

4x求導(dǎo)y′＝1?x21－2，令y′＝0，∴x＝

1所以當x＝3＝0.6千米時，費用最?。?x23．過曲線4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一點引切線分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點，求當線段|AB|最小時的切點坐標．

【解】設(shè)|AB|＝l，切點為P（x0，y0），則所求切線方程為：x0x＋4y0y－4＝0（x0>0，y0>0），16141?22x0y0x0y02切線在x軸、y軸上的截距分別為、，∴l(xiāng)＝，∵P（x0，y0）在曲線上，∵y＝1?x24，∴

y?|x?x??0x04y0x02∴y02＝1－4，164?22x04?x02∴l(xiāng)＝（0

16令Y＝l＝2x02?44?x0232x（0

2226當Y′＝0時，有x0＝得極小值，也是最小值．

3，在（0，2）內(nèi)Y只有一個極值點，檢驗知，在這點Y取26∴當x0＝

3時，l2取得最小值9，∴l(xiāng)的最小值為3，此時，y0＝3，切點為326（3,33）．

第五篇：二倍角的三角函數(shù)教學設(shè)計

§3 二倍角的三角函數(shù)

一、教學目標

1、知識與技能

以兩角和正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用。

2、過程與方法

通過二倍角的正弦、余弦和正切公式的推導(dǎo)，體會轉(zhuǎn)化化歸、由一般到特殊的數(shù)學思想方法。

3、情感、態(tài)度、價值觀

通過學習，使同學對三角函數(shù)之間的關(guān)系有更深的認識，增強學生邏輯推理和綜合分析能力。

二、教學重、難點

教學重點：以兩角和的正弦、余弦和正切公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)二倍角正弦、余弦和正切公式； 教學難點：二倍角的理解及其靈活運用.三、教材分析

本節(jié)在學習了兩角和與差的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，進一步學習具有“二倍角”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式，它既是兩角和與差的公式的特殊化，又為以后的學習提供了理論基礎(chǔ)，因此，對這一節(jié)的學下就顯得尤為重要。

四、教學流程與教學內(nèi)容

（一）情景引入

生活中我們常常遇見這樣一個現(xiàn)象：對于一件商品，剛出現(xiàn)的時候，價格會非常高，隨著時間的推移，商品的價格會逐漸下降，甚至于出現(xiàn)打折的情況，反過來看其實就是原始價格是現(xiàn)在價格的多少倍。對于這個“倍”字，我們自然而然的想到乘法和除法，對于乘法我們知道就是加法的另外一種運算，例如：6=3+3=3?2。同樣的角與角之間也有一個倍數(shù)關(guān)系，例如： 60度角是30度角的二倍，角2?是角?的二倍。而對于角都有三角函數(shù)值，那么角2?的三角函數(shù)值怎樣計算呢？由乘法我們可以知道2?????，那么對于角2?就可以轉(zhuǎn)換成角???。首先回顧一下兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin? ； sin(???)?sin?cos??cos?sin? cos(???)?cos?cos??sin?sin? ；cos(???)?cos?cos??sin?sin?

tan(???)?tan??tan?tan??tan????)? ； tan（1?tan??tan?1?tan??tan?我們由此能否得到sin2?,cos2?,tan2?的公式呢？（學生自己動手推導(dǎo)并說明過程）【設(shè)計意圖】高中學生已經(jīng)具有豐富的生活經(jīng)驗和一定的科學知識，因此選擇感興趣的、與其生活實際密切相關(guān)的素材，此情景設(shè)計應(yīng)該有助于學生對知識的發(fā)生發(fā)展的理解，而對于這一部分知識只有先理解了，后面對于公式的記憶和應(yīng)用才能信手拈來。

（二）公式推導(dǎo)： sin2??sin??????sin?cos??cos?sin??2sin?cos?；

cos2??cos??????cos?cos??sin?sin??cos2??sin2?；

tan2??tan??????思考：

1、把上述關(guān)于cos2?的式子能否變成只含有sin?或cos?形式的式子呢？

tan??tan?2tan??．

1?tan?tan?1?tan2?cos2??cos2??sin2??1?sin2??sin2??1?2sin2?；

cos2??cos2??sin2??cos2??(1?cos2?)?2cos2??1．

2、把上述關(guān)于cos2?,sin2?的式子能否變成只含有tan?形式的式子呢？

3、二倍角公式中，“倍”字如何理解？（1）sin4（2）cos6?（3）

2tan2???2(sin?cos)

（4）2221?tan2?【設(shè)計意圖】讓學生深刻理解體會二倍角之間的倍數(shù)關(guān)系，學生通過自己動手檢驗公式是否正確，從中讓學生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)。

（三）例題講解 例

1、已知sin??

（四）鞏固練習（1）sin15cos15?（2）2cos（3）sin225??,0＜?＜，求sin2?,cos2?,tan2?,sin的值.1322???8?1?

?8?cos2?8?

（4）8sin（5）cos（6）4?48cos?48cos?24cos?12?

?2?sin4?2?

11??

1?tan?1?tan?

（五）直擊高考 已知函數(shù)f(x)?23sinxcosx?2cos2x，求f(x)的最大值和最小正周期。（學生在此題的基礎(chǔ)上提出其他問題并解決）

【設(shè)計意圖】：對于例題的講解以及練習鞏固和延伸，例題和練習都很簡單，直接利用公式就可以解決，主要目的是幫助學生鞏固三角函數(shù)倍角本質(zhì)特征；而對于延伸的一個題目主要是引導(dǎo)學生自主探究三角函數(shù)有關(guān)問題的思想方法以及三角函數(shù)的綜合應(yīng)用。

（六）課堂小結(jié)：（1）二倍角的正弦、余弦、正切公式

（2）對公式的理解以及靈活運用，注意“倍”角是相對的

（七）課后作業(yè)：

1、教材123頁 練習1 題2、4

2、思考：如何得到三倍角公式？

五、課后反思

教學設(shè)計緊扣課程標準的要求，重點放在二倍角三角函數(shù)的理解上。背景很簡單，就是對乘法的理解，認知過程符合學生的認知特點和學生的身心發(fā)展規(guī)律，這樣有利學生的思考。通過問題引導(dǎo)學生自主探究二倍角的三角函數(shù)的生成過程，讓學生在情境中活動，在活動中體驗數(shù)學與自然和社會的聯(lián)系、新舊知識的內(nèi)在聯(lián)系，在體驗中領(lǐng)悟數(shù)學的價值，使學生在理解數(shù)學的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進步和發(fā)展?！墩n標》把發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識作為其目標之一, 在教學中不僅要突出知識的來龍去脈還要為學生創(chuàng)設(shè)應(yīng)用實踐的空間, 促進學生在學習和實踐過程中形成和發(fā)展數(shù)學應(yīng)用意識,提高學生的直覺猜想、歸納抽象、數(shù)學地提出、分析、解決問題的能力, 發(fā)展學生的數(shù)學應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識,使其上升為一種數(shù)學意識,自覺地對客觀事物中蘊涵的一些數(shù)學模式作出思考和判斷。在解答問題的過程中體驗到從數(shù)學的角度運用學過的數(shù)學思想、數(shù)學思維、數(shù)學方法去觀察生活、解決實際問題,增進了他們對數(shù)學的理解和應(yīng)用數(shù)學的信心。