第一篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—28運籌學(xué)初步二

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—28運籌學(xué)初步二

本教程共30講

運籌學(xué)初步

（二）本講主要研究分配工作問題。

實際工作中經(jīng)常會碰到分配工作的問題。由于工作任務(wù)的性質(zhì)不同，每個人的工作能力不同，因而完成這些任務(wù)所需的時間和花費的代價也不同。我們希望通過合理分配工作，使所用時間最少或花費代價最小。

例1 甲、乙兩廠生產(chǎn)同一規(guī)格的上衣和褲子，甲廠每月用16天生產(chǎn)上衣，14天做褲子，共生產(chǎn)448套衣服（每套上衣、褲子各一件）；乙廠每月用12天生產(chǎn)上衣，18天生產(chǎn)褲子，共生產(chǎn)720套衣服。兩廠合并后，每月（按30天計算）最多能生產(chǎn)多少套衣服？

分析與解：應(yīng)讓善于生產(chǎn)上衣或褲子的廠充分發(fā)揮特長。甲廠生產(chǎn)上衣和褲子的時間比為8∶7，乙廠為2∶3，可見甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。

因為甲廠 30天可生產(chǎn)褲子 448÷14×30＝960（條），乙廠30天可生產(chǎn)上衣720÷12×30=1800（件），960＜1800，所以甲廠應(yīng)專門生產(chǎn)褲子，剩下的衣褲由乙廠生產(chǎn)。

設(shè)乙廠用x天生產(chǎn)褲子，用（30-x）天生產(chǎn)上衣。由甲、乙兩廠生產(chǎn)的上衣與褲子一樣多，可得方程

960＋720÷18×x=720÷12×（30-x），960＋40x＝1800-60x，100x＝840，x=8.4（天）。

兩廠合并后每月最多可生產(chǎn)衣服

960＋40×8.4＝1296（套）。

例2 某縣農(nóng)機(jī)廠金工車間共有77個工人。已知每天每個工人平均可加工甲種部件5個，或乙種部件4個，或丙種部件3個。每3個甲種部件、1個乙種部件和9個丙種部件恰好配成一套。問：分別安排多少人加工甲、乙、丙三種部件時，才能使生產(chǎn)出來的甲、乙、丙三種部件恰好都配套？

分析與解：如果采用直接假設(shè)，那么就要用三個字母分別代替加工甲、乙、丙三種部件的人數(shù)，這已經(jīng)超出了我們的知識范圍。由題目條件看出，每套成品中，甲、乙、丙三種部件的件數(shù)之比是3∶1∶9，因為是配套生產(chǎn)，所以生產(chǎn)出的甲、乙、丙三種部件的數(shù)量之比也應(yīng)是3∶1∶9。

設(shè)每天加工乙種部件x個，則加工甲種部件3x個，丙種部件9x個。從而

加工甲、乙、丙三種部件應(yīng)分別安排12人、5人和60人。

例3 有4輛汽車要派往五個地點運送貨物，右圖○中的數(shù)字分別表示五個地點完成任務(wù)需要的裝卸工人數(shù)，五個地點共需裝卸工20人。如果有些裝卸工可以跟車走，那么應(yīng)如何安排跟車人數(shù)及各點的裝卸工人數(shù)，使完成任務(wù)所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少？

分析與解：可用試探法。因為五個地點中需裝卸工最多的是5個人，所以如果每輛車跟5個工人，那么每輛車到達(dá)任何一個地點，都能正常進(jìn)行裝卸。由此得到，跟車人數(shù)的試探范圍是1～5個人。

若每車跟車5人，則各點不用安排人，共需20人；

若每車跟車4人，則原來需5人的點還需各安排1人，共需18人；

若每車跟車3人，則原來需5人的點還需各安排2人，原來需4人的點還需各安排1人，共需17人；

同理可求出，每車跟車2人，共需18人；每車跟車1人，共需19人。

可見，安排每車跟車3人，原來需5人的兩個點各安排2人，原來需4人的點安排1人，這時所用的裝卸工總?cè)藬?shù)最少，需17人。

在例3中，我們采用試探法，逐一試算，比較選優(yōu)。事實上，此類題目有更簡捷的解法。假設(shè)有m個地點n輛車（n≤m），m個地點需要的人數(shù)按從多到少排列為

A1≥A2≥A3≥…≥Am，則需要的最少總?cè)藬?shù)就是前n個數(shù)之和，即

A1＋A2＋…＋An。

這時每車的跟車人數(shù)可以是An＋1 至An 之間的任一數(shù)。具體到例3，5個點4輛車，5個點中需要人數(shù)最多的4個數(shù)之和，即5＋5＋4＋3=17（人）就是需要的最少總?cè)藬?shù)，因為A4=A5=3，所以每車跟車3人。若在例3中只有2輛車，其它條件不變，則最少需要 5＋5=10（人），因為A2=5，A3=4，所以每車跟車5人或4人。當(dāng)每車跟車5人時，所有點不再安排人；當(dāng)每車跟車4人時，需要5人的兩個點各安排1人，其余點不安排人。

注：如果車輛數(shù)大于地點數(shù)，即n＞m，則跟車人數(shù)是0，各點需要人數(shù)之和就是總共需要的最少人數(shù)。

例4 有17根11.1米長的鋼管，要截成1.0米和0.7米的甲、乙兩種長度的管子，要求截成的甲、乙兩種管子的數(shù)量一樣多。問：最多能截出甲、乙兩種管子各多少根？

分析與解：要想盡量多地截出甲、乙兩種管子，殘料應(yīng)當(dāng)盡量少。一根鋼管全部截成1.0米的，余下0.1米，全部截成0.7米的，余下0.6米。如果這樣截，再要求甲、乙管數(shù)量相等，那么殘料較多。

怎樣才能減少殘料，甚至無殘料呢？我們可以將1.0米的和0.7米的在一根鋼管上搭配著截，所得殘料長度（單位：米）見下表：

由上表看出，方法3和方法10沒有殘料，如果能把這兩種方法配合起來，使截出的甲、乙兩種管子數(shù)量相等，那么就是殘料最少的下料方案了。

設(shè)按方法3截x根鋼管，按方法 10截 y根鋼管。這樣共截得甲管（9x＋2y）根，乙管（3x＋13y）根。由甲、乙管數(shù)量相等，得到

9x＋2y＝3x＋13y，9x-3x＝13y-2y，6x=11y。

由此得到x∶y= 11∶6。用方法3截11根鋼管，用方法10截6根鋼管是符合題意的截法，共可截得甲、乙管各

9×11＋2×6=111（根），或3×11＋13×6=111（根）。

例5 給甲、乙二人分配A，B兩項工作，他們完成這兩項工作所需要的時間如下表：

怎樣分配工作才能使完成這兩項工作所需的總時間最少？

分析與解：因為不同的人要做不同的工作，所以上表中不同行、不同列的兩數(shù)之和對應(yīng)一種方案，共兩種：

（1）甲做 A、乙做 B，需要 7＋6=13（時）；

（2）甲做 B、乙做 A，需要 4＋8=12（時）。

顯然后一種方案優(yōu)于前一種方案。

為了能夠處理更復(fù)雜的問題，我們將上例的數(shù)量關(guān)系盡量簡化。

如果把表中第一行的兩數(shù)都減去該行的最小數(shù)7，變成0和1，那么上面（1）（2）各式也各減少7，不影響它們之間的大小關(guān)系，即不影響最優(yōu)方案的確定。

同理，第二行都減去該行的最小數(shù)4，變成0和2，也不影響最優(yōu)方案的確定。

經(jīng)上述變換后，原表變成左下表：

此時，再將第二列都減去該列的最小數(shù)1，變成0和1，同樣不影響最優(yōu)方案的確定，原表變?yōu)橛疑媳怼?/p>

不同行、不同列的兩個數(shù)之和代表一種方案，因為

0＋0＜0+1，所以最優(yōu)方案為乙做A、甲做B。上面的化簡過程可表示為：

總結(jié)上面的方法：對于n個人n項工作的合理分配問題：

（1）先將各行都減去該行中最小的數(shù)；

（2）再將各列都減去該列中最小的數(shù)；

（3）最后選擇不在同一行，也不在同一列的n個0即可。

在實施上述變換后，如果仍選不出n個不同行也不同列的0，因為我們的目的是選取一組不同行、不同列的n個數(shù)，使這n個數(shù)之和盡量小，既然得不到n個0，可用表中最小的數(shù)代替0（見例6）。

例6 給甲、乙、丙三人分配A，B，C三項工作，他們完成這三項工作的時間如下表：

完成這三項工作所需總時間最少是多少？

分析與解：

因為沒有三個不同行也不同列的0，我們用右下角的1代替0，此時，○內(nèi)的三個數(shù)就是我們要找的最佳方案，即甲做B、乙做A、丙做C。所需總時間為

9＋7＋9=25（時）。

練習(xí)28

1.某種健身球由一個黑球和一個白球組成一套。已知兩個車間都生產(chǎn)這種

現(xiàn)在兩個車間聯(lián)合起來生產(chǎn)，每月最多能生產(chǎn)多少套健身球？

2.某車間有銑床5臺、車床3臺、自動機(jī)床1臺，生產(chǎn)一種由甲、乙兩種零件各1個組成的產(chǎn)品。每臺銑床每天生產(chǎn)甲零件10個，或者生產(chǎn)乙零件20個；每臺車床每天生產(chǎn)甲零件20個，或者生產(chǎn)乙零件30個；每臺自動機(jī)床每天生產(chǎn)甲零件30個，或者生產(chǎn)乙零件80個。這些機(jī)器每天最多可生產(chǎn)多少套產(chǎn)品？

3.車過河交渡費3元，馬過河交渡費2元，人過河交渡費1元。某天過河的車、馬數(shù)目的比為2∶9，馬、人數(shù)目的比為3∶7，共收得渡費945元。問：這天渡河的車、馬、人的數(shù)目各多少？

4.有4輛汽車要派往七個地點運送貨物，右圖中的數(shù)字分別表示這七個地點完成任務(wù)需要的裝卸工人數(shù)。如果裝卸工可以跟車，那么最少要安排多少名裝卸工才能完成任務(wù)？

5.有一批長4.3米的條形鋼材，要截成0.7米和0.4米的甲、乙兩種毛坯，要求截出的甲、乙兩種毛坯數(shù)量相同。如何下料才能使殘料最少？

6.用10米長的鋼筋做原材料，截取3米和4米長的鋼筋各100根，至少要用多少根原材料？

7.給甲、乙、丙分配A，B，C三項工作，他們完成這三項工作的時間如下表。怎樣分配工作才能使完成這三項工作所需總時間最少？最少用多少時間？

答案與提示 練習(xí)28

1.600套。

因為450＜900，所以應(yīng)安排甲車間專門生產(chǎn)黑球，剩下的由乙車間生產(chǎn)。乙車間生產(chǎn)450個白球后，剩下的時間還能生產(chǎn)白球900-450=450（個），因為乙車間生產(chǎn)1個黑球與生產(chǎn)2個白球的時間相同，450÷（1＋2）=150，所以這段時間還能生產(chǎn)黑、白球各150個。

兩車間聯(lián)合生產(chǎn)每月最多生產(chǎn)（450＋150）=600（套）。

2.100套。

甲零件。安排自動車床專門生產(chǎn)乙零件，車床專門生產(chǎn)甲零件，銑床兩種零件都生產(chǎn)，并使其配套。

自動車床一天生產(chǎn)乙零件80個，車床一天生產(chǎn)甲零件20×3=60（個）。銑床一天可生產(chǎn)10×5=50（個）甲零件，補(bǔ)上車床與自動車床的差后，還有生產(chǎn)50-20=30（個）甲零件的時間，這個時間可生產(chǎn)甲、乙零件各20個。

所以，每天最多生產(chǎn)80＋20=100（套）產(chǎn)品。

3.42輛車，189匹馬，441個人。

解：這天過河的車、馬、人的數(shù)量之比是2∶9∶21。以2車9馬21人為一組，每組收渡費

3×2＋2×9＋1×21=45（元）。

這天共渡河945÷45=21（組），由此得到，這天渡河的數(shù)量為

車：2×21=42（輛）；

馬：9×21=189（匹）；

人：21×21=441（個）。

4.26人。提示：每車跟5人。

5.解：每根鋼材有下表所示的7種截法：

無殘料的有第2和第6兩種方法。用第2種方法的條形鋼材數(shù)量與用第6種方法的條形鋼材數(shù)量之比是8∶3，就可使截出的甲、乙兩種毛坯的數(shù)量相同，且無殘料。

6.75根。

解：有三種截法：

（1）截成3米、3米、4米，無殘料；

（2）截成3米、3米、3米，殘料1米；

（3）截成4米、4米，殘料2米。

盡量用方法（1）。50根用方法（1），截出3米的100根，4米的50根，還差50根4米的。再用方法（2）截25根原材料，截出50根4米的。共用原材料50＋25=75（根）。

7.20時。

解：

由此得到，丙做A，甲做B，乙做C。所需時間為6＋6＋8=20（時）。

第二篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—29運籌學(xué)初步三

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—29運籌學(xué)初步三

本教程共30講

運籌學(xué)初步

（三）本講主要講統(tǒng)籌安排問題、排隊問題、最短路線問題、場地設(shè)置問題等。這些都是人們?nèi)粘Ｉ?、工作中?jīng)常碰到的問題，怎樣才能把它們安排得更合理，多快好省地辦事，就是這講涉及的問題。當(dāng)然，限于現(xiàn)有的知識水平，我們僅僅是初步探索一下。

1.統(tǒng)籌安排問題

例1 星期天媽媽要做好多事情。擦玻璃要20分鐘，收拾廚房要15分鐘，洗臟衣服的領(lǐng)子、袖口要10分鐘，打開全自動洗衣機(jī)洗衣服要40分鐘，晾衣服要10分鐘。媽媽干完所有這些事情最少用多長時間？

分析與解：如果按照題目告訴的幾件事，一件一件去做，要95分鐘。要想節(jié)約時間，就要想想在哪段時間里閑著，能否利用閑著的時間做其它事。最合理的安排是：先洗臟衣服的領(lǐng)子和袖口，接著打開全自動洗衣機(jī)洗衣服，在洗衣服的40分鐘內(nèi)擦玻璃和收拾廚房，最后晾衣服，共需60分鐘（見下圖）。

例1 告訴我們，當(dāng)有許多事要做時，科學(xué)地安排好先后順序，就能用較少的時間完成較多的事情。

2.排隊問題

例2 理發(fā)室里有甲、乙兩位理發(fā)師，同時來了五位顧客，根據(jù)他們所要理的發(fā)型，分別需要10，12，15，20和24分鐘。怎樣安排他們的理發(fā)順序，才能使這五人理發(fā)和等候所用時間的總和最少？最少要用多少時間？

分析與解：一人理發(fā)時，其他人需等待，為使總的等待時間盡量短，應(yīng)讓理發(fā)所需時間少的人先理。甲先給需10分鐘的人理發(fā)，然后15分鐘的，最后24分鐘的；乙先給需12分鐘的人理發(fā)，然后20分鐘的。甲給需10分鐘的人理發(fā)時，有2人等待，占用三人的時間和為（10×3）分；然后，甲給需 15分鐘的人理發(fā)，有 1人等待，占用兩人的時間和為（15×2）分；最后，甲給需 24分鐘的人理發(fā)，無人等待。

甲理發(fā)的三個人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理發(fā)的兩個人，共用（12×2＋20）分。總的占用時間為

（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分）。

按照上面的安排，從第一人開始理發(fā)到五個人全部理完，用了 10＋15＋24＝49（分）。如果題目中再要求從第一人開始理發(fā)到五人全部理完的時間最短，那么做個調(diào)整，甲依次給需10，12，20分鐘的人理發(fā)，乙依次給需15，24分鐘的人理發(fā)，總的占用時間仍是128分鐘，而五人全部理完所用時間為

10＋12＋20＝42（分）。

例3 車間里有五臺車床同時出現(xiàn)故障，已知第一臺到第五臺修復(fù)時間依次為18，30，17，25，20分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元?，F(xiàn)有兩名工作效率相同的修理工，怎樣安排才能使得修復(fù)的時間最短且經(jīng)濟(jì)損失最少？

分析與解：因為（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），經(jīng)過組合，一人修需18，17和20分鐘的三臺，另一人修需30和25分鐘的兩臺，修復(fù)時間最短，為55分鐘。

上面只考慮修復(fù)時間，沒考慮經(jīng)濟(jì)損失，要使經(jīng)濟(jì)損失少，就要使總停產(chǎn)時間盡量短，顯然應(yīng)先修理修復(fù)時間短的。第一人按需17，18，20分鐘的順序修理，第2人按需25，30分鐘的順序修理，經(jīng)濟(jì)損失為

5×［（17×3＋18×2＋20）＋（25×2＋30）］=935（元）。

3.最短路線問題

例4 右圖是一張道路示意圖，每段路上的數(shù)字表示小明走這段路所需要的時間（單位：分）。小明從A到B最快要幾分鐘？

分析與解：我們采用分析排除法，將道路圖逐步簡化。

從A到O有兩條路，A→C→O用6分鐘，A→F→O用7分鐘，排除后者，可將FO抹去，但AF不能抹去，因為從A到B還有其它路線經(jīng)過AF，簡化為左下圖。

從A到E還剩兩條路，A→C→G→E用12分鐘，A→C→O→E用10分鐘，排除前者，可將CG，GE抹去，簡化為右上圖。

從A到D還剩兩條路，A→C→O→D用12分鐘，A→H→D用13分鐘，排除后者，可將AH，HD抹去，簡化為左下圖。

從A到B還剩兩條路，A→C→O→E→B用17分鐘，A→C→O→D→B用16分鐘，排除前者，可將OE，EB抹去，簡化為右上圖。

小明按A→C→O→D→B走最快，用16分鐘。

4.場地設(shè)置問題

例5 下圖是A，B，C，D，E五個村之間的道路示意圖，○中數(shù)字是各村要上學(xué)的學(xué)生人數(shù)，道路上的數(shù)表示兩村之間的距離（單位：千米）。現(xiàn)在要在五村之中選一個村建立一所小學(xué)。為使所有學(xué)生到學(xué)校的總距離最短，試確定最合理的方案。

分析與解：我們采用比較學(xué)校設(shè)在相鄰兩村的差別的方法。例如比較 A和 C，若設(shè)在 A村，則在 C村一側(cè)將集結(jié) 20＋20＋35＋50=125（人），這些人都要走 AC這段路；若設(shè)在C村，則只有40人走AC這段路。對這兩種方案，走其余各段路的人數(shù)完全相同，所以設(shè)在C村比設(shè)在A村好。

從上面比較A和C的過程可以看出，場地設(shè)置問題不必考慮場地之間的距離，只需比較兩個場地集結(jié)的人數(shù)多少，哪個場地集結(jié)的人數(shù)越多，就應(yīng)設(shè)在哪。

同理，經(jīng)比較得到C比B好，D比E好。最后比較C和D。若設(shè)在 C村，則在 D村一側(cè)將集結(jié) 35＋ 50= 85（人）；若設(shè)在 D村，則在C村一側(cè)將集結(jié) 40＋20＋20=80（人）。因為在D村集結(jié)的人數(shù)比C村多，所以設(shè)在D村比C村好。

經(jīng)過上面的比較，最合理的方案是設(shè)在D村。

不難發(fā)現(xiàn)，本題的解法與第27講例2的解法十分類似。

例6 某天然氣站要安裝天然氣管道通往位于一條環(huán)形線上的A～G七個居民區(qū)，每兩個居民區(qū)間的距離如下圖所示（單位：千米）。管道有粗細(xì)兩種規(guī)格，粗管可供所有7個居民區(qū)用氣，每千米8000元，細(xì)管只能供1個居民區(qū)用氣，每千米3000元。粗、細(xì)管的轉(zhuǎn)接處必須在居民區(qū)中。問：應(yīng)怎樣搭配使用這兩種管道，才能使費用最省？

分析與解：在長度相同的情況下，每根粗管的費用大于2根細(xì)管的費用，小于3根細(xì)管的費用，所以安裝管道時，只要后面需要供氣的居民區(qū)多于2個，這一段就應(yīng)選用粗管。從天然氣站開始，分成順時針與逆時針兩條線路安裝，因為每條線路的后面至多有兩個居民區(qū)由細(xì)管通達(dá)，共有7個居民區(qū)，所以至少有3個居民區(qū)由粗管通達(dá)。因為長度相同時，2根或1根細(xì)管的費用都低于1根粗管的費用，所以由粗管通達(dá)的幾個居民區(qū)的距離越短越好，而順時針與逆時針兩條線路未銜接部份的距離越長越好。經(jīng)過計算比較，得到最佳方案：

（1）天然氣站經(jīng)G，F(xiàn)，E到D安裝粗管，D到C安裝2根細(xì)管，C到B安裝1根細(xì)管；

（2）天然氣站到A安裝1根細(xì)管。

此時總費用最少，為

8000×（3+12+8+6）+3000×2×5+3000×（9+10）=319000（元）。

練習(xí)29

1.早飯前媽媽要干好多的事：燒開水要15分鐘，擦桌椅要8分鐘，準(zhǔn)備暖瓶要1分鐘，灌開水要2分鐘，買油條要10分鐘，煮牛奶要7分鐘。如果灶具上只有一個火，那么全部做完這些工作最少需要多少時間？怎樣安排？

2.甲、乙、丙三名車工準(zhǔn)備在同樣效率的3個車床上加工七個零件，各零件加工所需時間分別為4，5，6，6，8，9，9分鐘，三人同時開始工作。問：加工完七個零件最少需多長時間？

3.車間里有5臺車床同時出現(xiàn)故障。已知第一臺至第五臺修復(fù)的時間依次為15，8，29，7，10分鐘，每臺車床停產(chǎn)一分鐘造成經(jīng)濟(jì)損失5元。問：（1）如果只有一名修理工，那么怎樣安排修理順序才能使經(jīng)濟(jì)損失最少？（2）如果有兩名修理工，那么修復(fù)時間最少需多少分鐘？

4.下頁左上圖是一張道路圖，每條路上的數(shù)是小王走這段路所需的時間（單位：分）。小王從A到B，最快需要幾分鐘？

5.東升鄉(xiāng)有8個行政村。分布如右上圖所示，點表示村莊，線表示道路，數(shù)字表示道路的長（單位：千米）?，F(xiàn)在這個鄉(xiāng)要建立有線廣播網(wǎng)，沿道路架設(shè)電線。問：電線至少要架多長？

6.有七個村莊A1，A2，?，A7分布在公路兩側(cè)（見下圖），由一些小路與公路相連，要在公路上設(shè)一個汽車站，要使汽車站到各村莊的距離和最小，車站應(yīng)設(shè)在哪里？

7.有一個水塔要供應(yīng)某條公路旁的A～F六個居民點用水（見下圖，單位：千米），要安裝水管，有粗細(xì)兩種水管，粗管足夠供應(yīng)6個居民點用水，細(xì)管只能供應(yīng)1個居民點用水，粗管每千米要7000元，細(xì)管每千米要2000元，粗細(xì)管怎樣互相搭配，才能使費用最??？費用應(yīng)是多少？

答案與提示練習(xí)29

1.22分。

提示：先燒開水后煮牛奶共需22分，其它事情可以在這個期間做，順序是買油條，準(zhǔn)備暖瓶，擦桌椅（水開時暫停，煮上奶），灌開水，繼續(xù)擦桌椅。

2.17分。

3.（1）780元；（2）36分。

提示：（1）按修復(fù)時間需7，8，10，15，29分的順序修理；（2）一人修需7分和29分的，另一人修需8，10，15分的。

4.48分。

提示：A→E→O→G→B。

5.50千米。

提示：架設(shè)的線路如下圖。

6.D。

提示：本題可簡化為“B，C，D，E，F(xiàn)處分別站著1，1，2，2，1個人（見下頁圖），求一點，使所有人走到這一點的距離和最小”。

7.從水塔到C點鋪粗管，最后三個居民點鋪細(xì)管，總費用為297000元。

提示：當(dāng)長度相同時，四根細(xì)管的費用超過一根粗管，所以最后三個居民點用細(xì)管。

第三篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案

小學(xué)六年級奧數(shù)教案：行程問題

第一講 行程問題

走路、行車、一個物體的移動，總是要涉及到三個數(shù)量： 距離走了多遠(yuǎn)，行駛多少千米，移動了多少米等等;速度在單位時間內(nèi)(例如1小時內(nèi))行走或移動的距離;時間行走或移動所花時間.這三個數(shù)量之間的關(guān)系，可以用下面的公式來表示： 距離=速度×?xí)r間

很明顯，只要知道其中兩個數(shù)量，就馬上可以求出第三個數(shù)量.從數(shù)學(xué)上說，這是一種最基本的數(shù)量關(guān)系，在小學(xué)的應(yīng)用題中，這樣的數(shù)量關(guān)系也是最常見的，例如

總量=每個人的數(shù)量×人數(shù).工作量=工作效率×?xí)r間.因此，我們從行程問題入手，掌握一些處理這種數(shù)量關(guān)系的思路、方法和技巧，就能解其他類似的問題.當(dāng)然，行程問題有它獨自的特點，在小學(xué)的應(yīng)用題中，行程問題的內(nèi)容最豐富多彩，饒有趣味.它不僅在小學(xué)，而且在中學(xué)數(shù)學(xué)、物理的學(xué)習(xí)中，也是一個重點內(nèi)容.因此，我們非常希望大家能學(xué)好這一講，特別是學(xué)會對一些問題的思考方法和處理技巧.這一講，用5千米/小時表示速度是每小時5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米

一、追及與相遇

有兩個人同時在行走，一個走得快，一個走得慢，當(dāng)走得慢的在前，走得快的過了一些時間就能追上他.這就產(chǎn)生了“追及問題”.實質(zhì)上，要算走得快的人在某一段時間內(nèi)，比走得慢的人多走的距離，也就是要計算兩人走的距離之差.如果設(shè)甲走得快，乙走得慢，在相同時間內(nèi)，甲走的距離-乙走的距離

= 甲的速度×?xí)r間-乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度-乙的速度)×?xí)r間.通常，“追及問題”要考慮速度差.例1 小轎車的速度比面包車速度每小時快6千米，小轎車和面包車同時從學(xué)校開出，沿著同一路線行駛，小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，當(dāng)面包車到達(dá)城門時，小轎車已離城門9千米，問學(xué)校到城門的距離是多少千米? 解：先計算，從學(xué)校開出，到面包車到達(dá)城門用了多少時間.此時，小轎車比面包車多走了9千米，而小轎車與面包車的速度差是6千米/小時，因此

所用時間=9÷6=1.5(小時).小轎車比面包車早10分鐘到達(dá)城門，面包車到達(dá)時，小轎車離城門9千米，說明小轎車的速度是

面包車速度是 54-6=48(千米/小時).城門離學(xué)校的距離是 48×1.5=72(千米).答：學(xué)校到城門的距離是72千米.例2 小張從家到公園，原打算每分種走50米.為了提早10分鐘到，他把速度加快，每分鐘走75米.問家到公園多遠(yuǎn)? 解一：可以作為“追及問題”處理.假設(shè)另有一人，比小張早10分鐘出發(fā).考慮小張以75米/分鐘速度去追趕，追上所需時間是

×10÷(75-50)= 20(分鐘)? 因此，小張走的距離是 75× 20= 1500(米).答：從家到公園的距離是1500米.還有一種不少人采用的方法.家到公園的距離是

一種解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“計算方便”.那么你更喜歡哪一種解法呢?對不同的解法進(jìn)行比較，能逐漸形成符合你思維習(xí)慣的解題思路.例3 一輛自行車在前面以固定的速度行進(jìn)，有一輛汽車要去追趕.如果速度是30千米/小時，要1小時才能追上;如果速度是 35千米/小時，要 40分鐘才能追上.問自行車的速度是多少? 解一：自行車1小時走了 30×1-已超前距離，自行車40分鐘走了

自行車多走20分鐘，走了

因此，自行車的速度是

答：自行車速度是20千米/小時.解二：因為追上所需時間=追上距離÷速度差

1小時與40分鐘是3∶2.所以兩者的速度差之比是2∶3.請看下面示意圖：

馬上可看出前一速度差是15.自行車速度是 35-15= 20(千米/小時).解二的想法與第二講中年齡問題思路完全類同.這一解法的好處是，想清楚后，非常便于心算.例4 上午8點8分，小明騎自行車從家里出發(fā)，8分鐘后，爸爸騎摩托車去追他，在離家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回頭去追小明，再追上小明的時候，離家恰好是8千米，這時是幾點幾分? 解：畫一張簡單的示意圖：

圖上可以看出，從爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了 8-4=4(千米).而爸爸騎的距離是 4+ 8= 12(千米).這就知道，爸爸騎摩托車的速度是小明騎自行車速度的 12÷4=3(倍).按照這個倍數(shù)計算，小明騎8千米，爸爸可以騎行8×3=24(千米).但事實上，爸爸少用了8分鐘，騎行了 4+12=16(千米).少騎行24-16=8(千米).摩托車的速度是1千米/分，爸爸騎行16千米需要16分鐘.8+8+16=32.答：這時是8點32分.下面講“相遇問題”.小王從甲地到乙地，小張從乙地到甲地，兩人在途中相遇，實質(zhì)上是小王和小張一起走了甲、乙之間這段距離.如果兩人同時出發(fā)，那么 甲走的距離+乙走的距離 =甲的速度×?xí)r間+乙的速度×?xí)r間 =(甲的速度+乙的速度)×?xí)r間.“相遇問題”，常常要考慮兩人的速度和.例5 小張從甲地到乙地步行需要36分鐘，小王騎自行車從乙地到甲地需要12分鐘.他們同時出發(fā)，幾分鐘后兩人相遇? 解：走同樣長的距離，小張花費的時間是小王花費時間的 36÷12=3(倍)，因此自行車的速度是步行速度的3倍，也可以說，在同一時間內(nèi)，小王騎車走的距離是小張步行走的距離的3倍.如果把甲地乙地之間的距離分成相等的4段，小王走了3段，小張走了1段，小張花費的時間是 36÷(3+1)=9(分鐘).答：兩人在9分鐘后相遇.例6 小張從甲地到乙地，每小時步行5千米，小王從乙地到甲地，每小時步行4千米.兩人同時出發(fā)，然后在離甲、乙兩地的中點1千米的地方相遇，求甲、乙兩地間的距離.解：畫一張示意圖

離中點1千米的地方是A點，從圖上可以看出，小張走了兩地距離的一半多1千米，小王走了兩地距離的一半少1千米.從出發(fā)到相遇，小張比小王多走了2千米

小張比小王每小時多走(5-4)千米，從出發(fā)到相遇所用的時間是 2÷(5-4)=2(小時).因此，甲、乙兩地的距離是(5+ 4)×2=18(千米).本題表面的現(xiàn)象是“相遇”，實質(zhì)上卻要考慮“小張比小王多走多少?”豈不是有“追及”的特點嗎?對小學(xué)的應(yīng)用題，不要簡單地說這是什么問題.重要的是抓住題目的本質(zhì)，究竟考慮速度差，還是考慮速度和，要針對題目中的條件好好想一想.千萬不要“兩人面對面”就是“相遇”，“兩人一前一后”就是“追及”.請再看一個例子.例7 甲、乙兩車分別從A，B兩地同時出發(fā)，相向而行，6小時后相遇于C點.如果甲車速度不變，乙車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點12千米;如果乙車速度不變，甲車每小時多行5千米，且兩車還從A，B兩地同時出發(fā)相向而行，則相遇地點距C點16千米.求A，B兩地距離.解：先畫一張行程示意圖如下

設(shè)乙加速后與甲相遇于D點，甲加速后與乙相遇于E點.同時出發(fā)后的相遇時間，是由速度和決定的.不論甲加速，還是乙加速，它們的速度和比原來都增加5千米，因此，不論在D點相遇，還是在E點相遇，所用時間是一樣的，這是解決本題的關(guān)鍵.下面的考慮重點轉(zhuǎn)向速度差.在同樣的時間內(nèi)，甲如果加速，就到E點，而不加速，只能到 D點.這兩點距離是 12+ 16= 28(千米)，加速與不加速所形成的速度差是5千米/小時.因此，在D點

(或E點)相遇所用時間是 28÷5= 5.6(小時).比C點相遇少用 6-5.6=0.4(小時).甲到達(dá)D，和到達(dá)C點速度是一樣的，少用0.4小時，少走12千米，因此甲的速度是

12÷0.4=30(千米/小時).同樣道理，乙的速度是 16÷0.4=40(千米/小時).A到 B距離是(30+ 40)×6= 420(千米).答： A，B兩地距離是 420千米.很明顯，例7不能簡單地說成是“相遇問題”.例8 如圖，從A到B是1千米下坡路，從B到C是3千米平路，從C到D是2.5千米上坡路.小張和小王步行，下坡的速度都是6千米/小時，平路速度都是4千米/小時，上坡速度都是2千米/小時.問：(1)小張和小王分別從A，D同時出發(fā)，相向而行，問多少時間后他們相遇?(2)相遇后，兩人繼續(xù)向前走，當(dāng)某一個人達(dá)到終點時，另一人離終點還有多少千米? 解：(1)小張從 A到 B需要 1÷6×60= 10(分鐘);小王從 D到 C也是下坡，需要 2.5÷6×60= 25(分鐘);當(dāng)小王到達(dá) C點時，小張已在平路上走了 25-10=15(分鐘)，走了

因此在 B與 C之間平路上留下 3-1= 2(千米)由小張和小王共同相向而行，直到相遇，所需時間是 2 ÷(4+ 4)×60= 15(分鐘).從出發(fā)到相遇的時間是 25+ 15= 40(分鐘).(2)相遇后，小王再走30分鐘平路，到達(dá)B點，從B點到 A點需要走 1÷2×60=30分鐘，即他再走 60分鐘到達(dá)終點.小張走15分鐘平路到達(dá)D點，45分鐘可走

小張離終點還有2.5-1.5=1(千米).答：40分鐘后小張和小王相遇.小王到達(dá)終點時，小張離終點還有1千米.二、環(huán)形路上的行程問題

人在環(huán)形路上行走，計算行程距離常常與環(huán)形路的周長有關(guān).例9 小張和小王各以一定速度，在周長為500米的環(huán)形跑道上跑步.小王的速度是180米/分.(1)小張和小王同時從同一地點出發(fā)，反向跑步，75秒后兩人第一次相遇，小張的速度是多少米/分?(2)小張和小王同時從同一點出發(fā)，同一方向跑步，小張跑多少圈后才能第一次追上小王? 解：(1)75秒-1.25分.兩人相遇，也就是合起來跑了一個周長的行程.小張的速度是 500÷1.25-180=220(米/分).(2)在環(huán)形的跑道上，小張要追上小王，就是小張比小王多跑一圈(一個周長)，因此需要的時間是

500÷(220-180)=12.5(分).220×12.5÷500=5.5(圈).答：(1)小張的速度是220米/分;(2)小張跑5.5圈后才能追上小王.例10 如圖，A、B是圓的直徑的兩端，小張在A點，小王在B點同時出發(fā)反向行走，他們在C點第一次相遇，C離A點80米;在D點第二次相遇，D點離B點6O米.求這個圓的周長.解：第一次相遇，兩人合起來走了半個周長;第二次相遇，兩個人合起來又走了一圈.從出發(fā)開始算，兩個人合起來走了一周半.因此，第二次相遇時兩人合起來所走的行程是第一次相遇時合起來所走的行程的3倍，那么從A到D的距離，應(yīng)該是從A到C距離的3倍，即A到D是 80×3=240(米).240-60=180(米).180×2=360(米).答：這個圓的周長是360米.在一條路上往返行走，與環(huán)行路上行走，解題思考時極為類似，因此也歸入這一節(jié).例11 甲村、乙村相距6千米，小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回).在出發(fā)后40分鐘兩人第一次相遇.小王到達(dá)甲村后返回，在離甲村2千米的地方兩人第二次相遇.問小張和小王的速度各是多少? 解：畫示意圖如下：

如圖，第一次相遇兩人共同走了甲、乙兩村間距離，第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村間距離的3倍，因此所需時間是 40×3÷60=2(小時).從圖上可以看出從出發(fā)至第二次相遇，小張已走了 6×2-2=10(千米).小王已走了 6+2=8(千米).因此，他們的速度分別是 小張 10÷2=5(千米/小時)，小王 8÷2=4(千米/小時).答：小張和小王的速度分別是5千米/小時和4千米/小時.例12 小張與小王分別從甲、乙兩村同時出發(fā)，在兩村之間往返行走(到達(dá)另一村后就馬上返回)，他們在離甲村3.5千米處第一次相遇，在離乙村2千米處第二次相遇.問他們兩人第四次相遇的地點離乙村多遠(yuǎn)(相遇指迎面相遇)? 解：畫示意圖如下.第二次相遇兩人已共同走了甲、乙兩村距離的3倍，因此張走了 3.5×3=10.5(千米).從圖上可看出，第二次相遇處離乙村2千米.因此，甲、乙兩村距離是 10.5-2=8.5(千米).每次要再相遇，兩人就要共同再走甲、乙兩村距離2倍的路程.第四次相遇時，兩人已共同走了兩村距離(3+2+2)倍的行程.其中張走了 3.5×7=24.5(千米)，24.5=8.5+8.5+7.5(千米).就知道第四次相遇處，離乙村 8.5-7.5=1(千米).答：第四次相遇地點離乙村1千米.下面仍回到環(huán)行路上的問題.例13 繞湖一周是24千米，小張和小王從湖邊某一地點同時出發(fā)反向而行.小王以4千米/小時速度每走1小時后休息5分鐘;小張以6千米/小時速度每走50分鐘后休息10分鐘.問：兩人出發(fā)多少時間第一次相遇? 解：小張的速度是6千米/小時，50分鐘走5千米我們可以把他們出發(fā)后時間與行程列出下表：

12+15=27比24大，從表上可以看出，他們相遇在出發(fā)后2小時10分至3小時15分之間.出發(fā)后2小時10分小張已走了

此時兩人相距 24-(8+11)=5(千米).由于從此時到相遇已不會再休息，因此共同走完這5千米所需時間是 5÷(4+6)=0.5(小時).2小時10分再加上半小時是2小時40分.答：他們相遇時是出發(fā)后2小時40分.例14 一個圓周長90厘米，3個點把這個圓周分成三等分，3只爬蟲A，B，C分別在這3個點上.它們同時出發(fā)，按順時針方向沿著圓周爬行.A的速度是10厘米/秒，B的速度是5厘米/秒，C的速度是3厘米/秒，3只

爬蟲出發(fā)后多少時間第一次到達(dá)同一位置? 解：先考慮B與C這兩只爬蟲，什么時候能到達(dá)同一位置.開始時，它們相差30厘米，每秒鐘B能追上C(5-3)厘米0.30÷(5-3)=15(秒).因此15秒后B與C到達(dá)同一位置.以后再要到達(dá)同一位置，B要追上C一圈，也就是追上90厘米，需要 90÷(5-3)=45(秒).B與C到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 15，105，150，195，…… 再看看A與B什么時候到達(dá)同一位置.第一次是出發(fā)后 30÷(10-5)=6(秒)，以后再要到達(dá)同一位置是A追上B一圈.需要 90÷(10-5)=18(秒)，A與B到達(dá)同一位置，出發(fā)后的秒數(shù)是 6，24，42，78，96，…

對照兩行列出的秒數(shù)，就知道出發(fā)后60秒3只爬蟲到達(dá)同一位置.答：3只爬蟲出發(fā)后60秒第一次爬到同一位置.請思考，3只爬蟲第二次到達(dá)同一位置是出發(fā)后多少秒? 例15 圖上正方形ABCD是一條環(huán)形公路.已知汽車在AB上的速度是90千米/小時，在BC上的速度是120千米/小時，在CD上的速度是60千米/小時，在DA上的速度是80千米/小時.從CD上一點P，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB中點相遇.如果從PC中點M，同時反向各發(fā)出一輛汽車，它們將在AB上一點N處相遇.求

解：兩車同時出發(fā)至相遇，兩車行駛的時間一樣多.題中有兩個“相遇”，解題過程就是時間的計算.要計算方便，取什么作計算單位是很重要的.設(shè)汽車行駛CD所需時間是1.根據(jù)“走同樣距離，時間與速度成反比”，可得出

分?jǐn)?shù)計算總不太方便，把這些所需時間都乘以24.這樣，汽車行駛CD，BC，AB，AD所需時間分別是24，12，16，18.從P點同時反向各發(fā)一輛車，它們在AB中點相遇.P→D→A與 P→C→B所用時間相等.PC上所需時間-PD上所需時間 =DA所需時間-CB所需時間 =18-12 =6.而(PC上所需時間+PD上所需時間)是CD上所需時間24.根據(jù)“和差”計算得 PC上所需時間是(24+6)÷2=15，PD上所需時間是24-15=9.現(xiàn)在兩輛汽車從M點同時出發(fā)反向而行，M→P→D→A→N與M→C→B→N所用時間相等.M是PC中點.P→D→A→N與C→B→N時間相等，就有 BN上所需時間-AN上所需時間 =P→D→A所需時間-CB所需時間 =(9+18)-12 = 15.BN上所需時間+AN上所需時間=AB上所需時間 =16.立即可求BN上所需時間是15.5，AN所需時間是0.5.從這一例子可以看出，對要計算的數(shù)作一些準(zhǔn)備性處理，會使問題變得簡單些.三、稍復(fù)雜的問題

在這一節(jié)希望讀者逐漸掌握以下兩個解題技巧：(1)在行程中能設(shè)置一個解題需要的點;(2)靈活地運用比例.例16 小王的步行速度是4.8千米/小時，小張的步行速度是5.4千米/小時，他們兩人從甲地到乙地去.小李騎自行車的速度是10.8千米/小時，從乙地到甲地去.他們3人同時出發(fā)，在小張與小李相遇后5分鐘，小王又與小李相遇.問：小李騎車從乙地到甲地需要多少時間? 解：畫一張示意圖：

圖中A點是小張與小李相遇的地點，圖中再設(shè)置一個B點，它是張、李兩人相遇時小王到達(dá)的地點.5分鐘后小王與小李相遇，也就是5分鐘的時間，小王和小李共同走了B與A之間這段距離，它等于

這段距離也是出發(fā)后小張比小王多走的距離，小王與小張的速度差是(5.4-4.8)千米/小時.小張比小王多走這段距離，需要的時間是 1.3÷(5.4-4.8)×60=130(分鐘).這也是從出發(fā)到張、李相遇時已花費的時間.小李的速度10.8千米/小時是小張速度5.4千米/小時的2倍.因此小李從A到甲地需要 130÷2=65(分鐘).從乙地到甲地需要的時間是 130+65=195(分鐘)=3小時15分.答：小李從乙地到甲地需要3小時15分.上面的問題有3個人，既有“相遇”，又有“追及”，思考時要分幾個層次，弄清相互間的關(guān)系，問題也就迎刃而解了.在圖中設(shè)置一個B點，使我們的思考直觀簡明些.例17 小玲和小華姐弟倆正要從公園門口沿馬路向東去某地，而他們的家要從公園門口沿馬路往西.小華問姐姐：“是先向西回家取了自行車，再騎車向東去，還是直接從公園門口步行向東去快”?姐姐算了一下說：“如果騎車與步行的速度比是4∶1，那么從公園門口到目的地的距離超過2千米時，回家取車才合算.”請推算一下，從公園到他們家的距離是多少米? 解：先畫一張示意圖

設(shè)A是離公園2千米處，設(shè)置一個B點，公園離B與公園離家一樣遠(yuǎn).如果從公園往西走到家，那么用同樣多的時間，就能往東走到B點.現(xiàn)在問題就轉(zhuǎn)變成： 騎車從家開始，步行從B點開始，騎車追步行，能在A點或更遠(yuǎn)處追上步行.具體計算如下：

不妨設(shè)B到A的距離為1個單位，因為騎車速度是步行速度的4倍，所以從家到A的距離是4個單位，從家到B的距離是3個單位.公園到B是1.5個單位.從公園到A是 1+1.5=2.5(單位).每個單位是 2000÷2.5=800(米).因此，從公園到家的距離是 800×1.5=1200(米).答：從公園門口到他們家的距離是1200米.這一例子中，取計算單位給計算帶來方便，是值得讀者仿照采用的.請再看一例.例18 快車和慢車分別從A，B兩地同時開出，相向而行.經(jīng)過5小時兩車相遇.已知慢車從B到A用了12.5小時，慢車到A停留半小時后返回.快車到B停留1小時后返回.問：兩車從第一次相遇到再相遇共需多少時間? 解：畫一張示意圖：

設(shè)C點是第一次相遇處.慢車從B到C用了5小時，從C到A用了12.5-5=7.5(小時).我們把慢車半小時行程作為1個單位.B到C10個單位，C到A15個單位.慢車每小時走2個單位，快車每小時走3個單位.有了上面“取單位”準(zhǔn)備后，下面很易計算了.慢車從C到A，再加停留半小時，共8小時.此時快車在何處呢?去掉它在B停留1小時.快車行駛7小時，共行駛3×7=21(單位).從B到C再往前一個單位到D點.離A點15-1=14(單位).現(xiàn)在慢車從A，快車從D，同時出發(fā)共同行走14單位，相遇所需時間是 14÷(2+3)=2.8(小時).慢車從C到A返回行駛至與快車相遇共用了 7.5+0.5+2.8=10.8(小時).答：從第一相遇到再相遇共需10小時48分.例19 一只小船從A地到B地往返一次共用2小時.回來時順?biāo)热r的速度每小時多行駛8千米，因此第二小時比第一小時多行駛6千米.求A至B兩地距離.解：1小時是行駛?cè)痰囊话霑r間，因為去時逆水，小船到達(dá)不了B地.我們在B之前設(shè)置一個C點，是小船逆水行駛1小時到達(dá)處.如下圖

第二小時比第一小時多行駛的行程，恰好是C至B距離的2倍，它等于6千米，就知C至B是3千米.為了示意小船順?biāo)俣缺饶嫠俣让啃r多行駛8千米，在圖中再設(shè)置D點，D至C是8千米.也就是D至A順?biāo)旭倳r間是1小時.現(xiàn)在就一目了然了.D至B是5千米順?biāo)旭?，與C至B逆水行駛3千米時間一樣多.因此 順?biāo)俣取媚嫠俣?5∶3.由于兩者速度差是8千米.立即可得出

A至B距離是 12+3=15(千米).答：A至B兩地距離是15千米.例20 從甲市到乙市有一條公路，它分成三段.在第一段上，汽車速度是每小時40千米，在第二段上，汽車速度是每小時90千米，在第三段上，汽車速度是每小時50千米.已知第一段公路的長恰好是第三段的2倍.現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時出發(fā)，相向而行.1小時20分后，在第二段的

解一：畫出如下示意圖：

當(dāng)從乙城出發(fā)的汽車走完第三段到C時，從甲城出發(fā)的汽車走完第一段的

到達(dá)D處，這樣，D把第一段分成兩部分

時20分相當(dāng)于

因此就知道，汽車在第一段需要

第二段需要 30×3=90(分鐘);

甲、乙兩市距離是

答：甲、乙兩市相距185千米.把每輛車從出發(fā)到相遇所走的行程都分成三段，而兩車逐段所用時間都相應(yīng)地一樣.這樣通過“所用時間”使各段之間建立了換算關(guān)系.這是一種典型的方法.例

8、例13也是類似思路，僅僅是問題簡單些.還可以用“比例分配”方法求出各段所用時間.第一段所用時間∶第三段所用時間=5∶2.時間一樣.第一段所用時間∶第二段所用時間=5∶9.因此，三段路程所用時間的比是 5∶9∶2.汽車走完全程所用時間是 80×2=160(分種).例21 一輛車從甲地開往乙地.如果車速提高20%，可以比原定時間提前一小時到達(dá);如果以原速行駛120千米后，再將速度提高25%，則可提前40分鐘到達(dá).那么甲、乙兩地相距多少千米? 解：設(shè)原速度是1.%后，所用時間縮短到原時間的

這是具體地反映：距離固定，時間與速度成反比.用原速行駛需要

同樣道理，車速提高25%，所用時間縮短到原來的

如果一開始就加速25%，可少時間

現(xiàn)在只少了40分鐘，72-40=32(分鐘).說明有一段路程未加速而沒有少這個32分鐘，它應(yīng)是這段路程所用時間

真巧，320-160=160(分鐘)，原速的行程與加速的行程所用時間一樣.因此全程長

答：甲、乙兩地相距270千米.十分有意思，按原速行駛120千米，這一條件只在最后用上.事實上，其他條件已完全確定了“原速”與“加速”兩段行程的時間的比例關(guān)系，當(dāng)然也確定了距離的比例關(guān)系.全程長還可以用下面比例式求出，設(shè)全程長為x，就有 x∶120=72∶32

第四篇：六年級奧數(shù)教案

思源學(xué)校第二課堂（第六周）

判斷與推理 2 授課人：雍堯

教學(xué)要求:(1)理解邏輯推理的四條基本規(guī)律，學(xué)會運用分析、推理方法解決問題。

(2)培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力.教學(xué)重點:學(xué)會運用分析、推理方法解決問題。

教學(xué)難點: 理解、掌握分析、推理方法。

教學(xué)方法:講解法、圖表法、練習(xí)法。

（一）教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)。

上節(jié)課的習(xí)題例2

二、教學(xué)新課 教學(xué)例3

甲乙丙三人被蒙上眼睛，告訴他們每個人頭上都戴了一頂帽子，帽子的顏色不是紅的就是綠的。然后，就去掉蒙眼睛的布，要求每個人如果看見別人（一個或兩個）戴的是紅帽子就舉手，并且誰能斷定自己頭上帽子的顏色，誰就馬上離開房間。三人碰巧戴的都是紅帽子，因此三個人都舉了手，幾分鐘后，丙首先走開了，他是怎么推導(dǎo)出自己頭上帽子的顏色的？

（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。

（3）分析：此題關(guān)鍵：注意到甲乙兩人沒有立即離開房間這個事實。丙推理，我的帽子如果是綠的，甲根據(jù)乙舉手立即知道自己的帽子是紅的，那他應(yīng)走出房間，乙會做同樣的推理離開房間。甲乙不能很快判斷自己帽子的顏色，說明我的帽子不是綠的，而是紅的。（4）說說你的推理過程。

3、比較前面例2例3有什么相同不同之處。

三、鞏固練習(xí)。教學(xué)例4 學(xué)田小學(xué)舉行科技知識競賽，同學(xué)們對一貫刻苦學(xué)習(xí)愛好讀書的四名學(xué)生的成績作了如下估計：（1）丙得第一，乙得第二；

（2）丙得第二，丁得第三；（3）甲得第二，丁得第四。

比賽結(jié)果一公布，果然是這四名學(xué)生獲得前四名。但以上三種估計，每一種都對了一半錯一半。他們各得第幾名？（1）學(xué)生審題，理解題意。（2）同座位討論。（3）分析：利用圖表幫助學(xué)生去推理判斷。

第一種假定“丙第一錯，乙第二對”出現(xiàn)矛盾。照此推理“丙第一對，乙第二錯”沒有出

現(xiàn)矛盾。所以丙第一，甲第二，丁第三，乙第四。（4）每人口述推理過程。

四、小結(jié)。

這節(jié)課你學(xué)會了什么？

第五篇：小學(xué)六年級奧數(shù)教案—06工程問題二

小學(xué)六年級奧數(shù)教案—06工程問題二

本教程共30講

工程問題

（二）上一講我們講述的是已知工作效率的較簡單的工程問題。在較復(fù)雜的工程問題中，工作效率往往隱藏在題目條件里，這時，只要我們靈活運用基本的分析方法，問題也不難解決。

例1 一項工程，如果甲先做5天，那么乙接著做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接著做8天可完成。如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？

分析與解：本題沒有直接給出工作效率，為了求出甲、乙的工作效率，我們先畫出示意圖：

從上圖可直觀地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。于是可用“乙工作4天”等量替換題中“甲工作5天”這一條件，通過此替換可知乙單獨做這一工程需用20+4=24（天）

甲、乙合做這一工程，需用的時間為

例2 一項工程，甲、乙兩隊合作需6天完成，現(xiàn)在乙隊先做7天，然后

么還要幾天才能完成？

分析與解：題中沒有告訴甲、乙兩隊單獨的工作效率，只知道他們合作

們把“乙先做7天，甲再做4天”的過程轉(zhuǎn)化為“甲、乙合做4天，乙再單獨

例3 單獨完成一件工作，甲按規(guī)定時間可提前2天完成，乙則要超過規(guī)定時間3天才能完成。如果甲、乙二人合做2天后，剩下的繼續(xù)由乙單獨做，那么剛好在規(guī)定時間完成。問：甲、乙二人合做需多少天完成？

分析與解：乙單獨做要超過3天，甲、乙合做2天后乙繼續(xù)做，剛好按時完成，說明甲做2天等于乙做3天，即完成這件工作，乙需要的時間是甲的，乙需要10+5=15（天）。甲、乙合作需要

例4 放滿一個水池的水，若同時打開1，2，3號閥門，則20分鐘可以完成；若同時打開2，3，4號閥門，則21分鐘可以完成；若同時打開1，3，4號閥門，則28分鐘可以完成；若同時打開1，2，4號閥門，則30分鐘可以完成。問：如果同時打開1，2，3，4號閥門，那么多少分鐘可以完成？

分析與解：同時打開1，2，3號閥門1分鐘，再同時打開2，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，3，4號閥門1分鐘，再同時打開1，2，4號閥門1分鐘，這時，1，2，3，4號閥門各打開了3分鐘，放水量等于一

例5 某工程由一、二、三小隊合干，需要8天完成；由二、三、四小隊合干，需要10天完成；由一、四小隊合干，需15天完成。如果按一、二、三、四、一、二、三、四、??的順序，每個小隊干一天地輪流干，那么工程由哪個隊最后完成？

分析與解：與例4類似，可求出一、二、三、四小隊的工作效率之和是

例6 甲、乙、丙三人做一件工作，原計劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流

件工作，要用多少天才能完成？

分析與解：把甲、乙、丙三人每人做一天稱為一輪。在一輪中，無論誰先誰后，完成的總工作量都相同。所以三種順序前面若干輪完成的工作量及用的天數(shù)都相同（見下圖虛線左邊），相差的就是最后一輪（見下圖虛線右邊）。

由最后一輪完成的工作量相同，得到

練習(xí)6

1.甲、乙二人同時開始加工一批零件，每人加工零件總數(shù)的一半。甲完成有多少個？

需的時間相等。問：甲、乙單獨做各需多少天？

3.加工一批零件，王師傅先做6時李師傅再做12時可完成，王師傅先做8時李師傅再做9時也可完成。現(xiàn)在王師傅先做2時，剩下的兩人合做，還需要多少小時？

獨修各需幾天？

5.蓄水池有甲、乙、丙三個進(jìn)水管，甲、乙、丙管單獨灌滿一池水依次需要10，12，15時。上午8點三個管同時打開，中間甲管因故關(guān)閉，結(jié)果到下午2點水池被灌滿。問：甲管在何時被關(guān)閉？

6.單獨完成某項工作，甲需9時，乙需12時。如果按照甲、乙、甲、乙、??的順序輪流工作，每次1時，那么完成這項工作需要多長時間？

7.一項工程，乙單獨干要17天完成。如果第一天甲干，第二天乙干，這樣交替輪流干，那么恰好用整天數(shù)完成；如果第一天乙干，第二天甲干，這樣交替輪流干，那么比上次輪流的做法多用半天完工。問：甲單獨干需要幾天？

答案與提示練習(xí)6

1.360個。

2.甲18天，乙12天。

3.7.2時。

解：由下頁圖知，王干2時等于李干3時，所以單獨干李需12+6÷2×3=21（時），王需21÷3×2=14（時）。所求為

5.上午9時。

6.10時15分。

7.8.5天。

解：如果兩人輪流做完的天數(shù)是偶數(shù)，那么不論甲先還是乙先，兩種輪流做的方式完成的天數(shù)必定相同（見左下圖）。

甲乙甲乙??甲乙甲乙甲乙??甲乙 甲

現(xiàn)在乙先比甲先要多用半天，所以甲先時，完成的天數(shù)一定是奇數(shù)，于是得到右上圖，其中虛線左邊的工作量相同，右邊的工作量也相同，說明乙做1天等于甲做半天，所以乙做17天等于甲做8.5天。